Laurea specialistica in matematica

Lo studio del gruppo delle trecce e delle sue applicazioni inizia negli anni venti del Novecento, a opera di Emil Artin. Il gruppo delle trecce Bn, presentato in termini di n generatori e opportune relazioni, è un gruppo non abeliano di ordine infinito e pertanto lo studio delle sue rappresentazioni richiede l’impiego di tecniche più sofisticate di quelle utilizzate per i gruppi finiti. Il presente lavoro riguarda proprio l’analisi comparativa di diverse rappresentazioni di Bn e il loro utilizzo per costruire invarianti polinomiali dei nodi. Il gruppo delle trecce compare infatti in modo naturale nella teoria matematica dei nodi, in quanto ogni nodo immerso nello spazio t ridimensionale può essere ottenuto come chiusura di una treccia aperta – rappresentata geometricamente come una collezione di n stringhe intrecciate, i cui estremi superiori e inferiori sono fissati su due dischi paralleli (teorema di Alexander).
Il problema di maggior interesse, rimasto irrisolto per molti decenni, riguarda la linearità dei gruppi delle trecce, vale a dire la ricerca di una rappresentazione fedele di Bn in un gruppo di matrici su un anello commutativo. Nel 1935 Werner Burau introdusse una rappresentazione (n−1)-dimensionale lineare non banale, che per lungo tempo fu considerata un buon candidato per una rappresentazione fedele (si mostra infatti che questa rappresentazione è fedele per n <= 3). Solo alla fine degli anni Novanta è stato realizzato che la rappresentazione di Burau non è fedele per n >= 5 (lasciando aperto l’unico caso n = 4).
Ruth Lawrence nel 1990 ha introdotto una rappresentazione del gruppo delle trecce, dipendente da due variabili, che nel 2000 Daan Krammer ha dimostra-to essere fedele per n = 4 (in realtà la costruzione di Krammer è di tipo algebrico, mentre quella della Lawrence è di tipo topologico). Nel 2001 Stephen Bigelow è riuscito a provare, attraverso una nuova costruzione di natura topologica, che la rappresentazione di Lawrence-Krammer è fedele per ogni n e, quindi, il gruppo delle trecce risulta essere lineare. Il problema a lungo rimasto aperto ha trovato cos’ı una soluzione definitiva.
Questa tesi si ispira al contributo fondamentale di Stephen Bigelow ed è finalizzata a chiarire i legami tra le costruzioni algebrica e topologica della rappresentazione di Lawrence-Krammer e a mettere in luce aspetti relativi alla costruzione di invarianti polinomiali dei nodi.

Dopo aver introdotto la definizione di gruppo delle trecce, le sue relazioni con il mapping class group e con il gruppo libero su n generatori, nel secondo capitolo viene richiamata la rappresentazione di Burau nonché i risultati sulla sua non fedeltà.
Nel terzo capitolo si analizzano in modo critico i risultati riguardanti la rappresentazione di Lawrence-Krammer. In particolare nel paragrafo 3.6 viene presentato uno schema generale in cui si inseriscono le rappresentazioni di Burau e Lawrence-Krammer; tale schema si basa sul fatto che il gruppo delle trecce Bn agisce fedelmente come gruppo degli automorfismi del gruppo libero su uno stesso numero di generatori.
Nel capitolo 4, sulle algebre di Hecke, viene riconosciuto come la rappresentazione di Burau sia in relatà una rappresentazione del gruppo delle trecce in un’opportuna algebra di Hecke. Sull’algebra si introduce una funzione traccia che, nel caso della rappresentazione di Burau, risulta corrispondere all’invariante di Alexander per i nodi.
Nel capitolo 5, l’algebra di Birman-Murakami-Wenzl (BMW) è dapprima considerata relativamente al suo legame con l’algebra di Hecke: si costruisce infatti una decomposizione di tale algebra, che contiene una sottoalgebra isomorfa all’algebra di Hecke. Nella seconda parte del capitolo si mostra, riprendendo i lavori di Matthew Zinno, che la rappresentazione regolare dell’algebra BMW è irriducibile e coincide con la rappresentazione di Lawrence-Krammer del gruppo delle trecce, discussa nel terzo capitolo.
Nel capitolo finale si forniscono i minimi prerequisiti per comprendere il legame tra trecce e nodi (collezione di curve chiuse e semplici nel 3-spazio). Le costruzioni algebriche delle tracce sulle algebre di Hecke e BMW, esaminate nei capitoli precedenti, vengono esplicitamente legate al polinomio HOMFLY (traccia sull’algebra di Hecke) e al polinomio di Kauffman (ricavato dalla funzione traccia sull’algebra BMW). Entrambi questi polinomi dipendono da due variabili e si riferiscono rispettivamente a nodi orientati e non orientati. Viene proposta un’analisi originale delle relazioni tra questi due tipi di invarianti, mettendo in luce il ruolo della rappresentazione di Lawrence-Krammer, non sufficientemente chiarito in letteratura.

La tesi è corredata di un’appendice con richiami sulla teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico, la cui algebra di gruppo è il punto di partenza per le costruzioni delle rappresentazioni del gruppo delle trecce nelle algebre di Hecke.
In questo lavoro non vengono affrontate le numerose applicazioni della teoria delle rappresentazioni del gruppo delle trecce, che in realtà sono estremamente importanti in Fisica teorica ed in particolare nella teoria quantistica dei campi. Rappresentazioni unitarie del gruppo delle trecce compaiono infatti nelle teorie di campo conforme bidimensionale (holonomy representations e rappresentazioni basate sulla matrice R) e nella teoria di campo topologica tridimensionale del tipo Chern-Simons1. In tali teorie, il polinomio HOMFLY, valutato per opportuni valori delle variabili, risulta essere la più generale osservabile fisica, ottenuta come valore di aspettazione quantistico di operatori chiamati “Wilson loops”.
Si osservi infine che problemi algoritmici legati al gruppo delle trecce (problema della parola, problema della coniugazione) sono ingredienti fondamentali di sistemi crittografici, come ad esempio il BCKE (Braid Group Commutator Key Exchange); si stanno attualmente analizzando protocolli che utilizzano le matrici della rappresentazione di Lawrence-Krammer.

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Laurea in Informatica

La matematica si è sempre interessata allo studio dei numeri primi, cercando di evidenziarne le proprietà e accentuarne le differenze con gli altri numeri inteti, detti composti.

Oggi, molte di queste caratteristiche sono ancora da formalizzare e rimangono delle congetture. Recentemente è stato risolto un problema, noto in letteratura come "PRIMES" e che consiste nel trovare un algoritmo efficiente per testare la primalità di un numero. In realtà, l'interesse sull'efficienza computazionale si è diffuso solo negli anni sessanta con l'avvento dei calcolatori elettronici, ma da parecchi secoli, i matematici si sono cimentati nella produzione di algoritmi di primalità più o  meno veloci.

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Laurea in Fisica

Nei rilevatori utilizzati negli esperimenti di fisica nucleare il segnale generato dal passaggio di una particella ionizzante appare come un impulso in tensione o in corrente l’ampiezza di tale impulso è proporzionale all’energia rilasciata dalla particella dentro il rivelatore. Durante l’analisi del segnale si deve prestare attenzione a tutti quei fenomeni che possono modificare la misura dell’ampiezza e del tempo.

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Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni

1.1 Genomic Signal Processing
E’ risaputo che molte delle scoperte scientifiche e tecnologiche che avverranno nel corso del XXI secolo dipenderanno in larga scala dall’essere in grado di processare e interpretare un’enorme quantità di dati.
In questi ultimi anni si è resa necessaria una capacità di gestione e catalogazione sempre maggiore che l’uomo non è più riuscito a garantire: di qui l’importanza del data processing, una nuova frontiera, un nuovo approccio informatico che permette di trattare studi ed esperimenti che generano grandi moli di dati.
Nel campo della genetica, ad esempio, settore di ricerca molto vasto e interdisciplinare che va dalla medicina alla biologia, dall’ingegneria all’agricoltura, sta nascendo un nuovo filone atto a gestire e sondare il libro della vita: il Genomic Signal Processing(GSP), il quale deriva dal Digital Signal Processing (DSP). Si tratta di una disciplina ingegneristica che studia il DNA come un segnale qualsiasi: il segnale genomico.
Considerando il ruolo fondamentale, giocato nella genetica, dai segnali di trascrizione, è naturale che la teoria del Signal Processing debba essere utilizzata per ottenere una comprensione sia della parte strutturale che di quella funzionale del fenomeno in questione.
L’obiettivo del GSP è quello di integrare la teoria e i metodi del SP con una globale comprensione della genomica funzionale e con particolare enfasi sulle regolazioni genomiche; in particolar modo abbraccia svariate tecniche di espressione come la scoperta, la predizione, la classificazione, il controllo e la modellizzazione statistica e dinamica delle reti di geni (gene networks).
Nello studio della genetica, il GSP è diventato una disciplina fondamentale checostituisce un modello strutturale basato su analisi e sintesi che sta alla base del rigore matematico ingegneristico [B.2].
Esempi di tecniche mutuate dall’Ingegneria delle Telecomunicazioni sono:
• Digital Signal Processing (sequence spectral analysis, filtering, prediction, image processing);
• Information theory(entropy, source coding, channel coding);
• Networks theory.
Nei capitoli che seguono ci occupiamo dell’analisi di sequenze di DNA mediante tecniche di Teoria dell’Informazione come misurazioni di entropia, numeri medi calcolati con gli algoritmi di Huffman e Lempel-Ziv applicati a sottosequenze individuate con il metodo della sliding window. Ricerchiamo sequenze ridondanti e periodiche ed infine eseguiamo un’analisi spettrale (Power Spectral Density) delle porzioni di DNA considerate. L’obiettivo è individuare le caratteristiche del segnale genetico, come ad esempio la delimitazione tra aree codificanti (che servono per costruire le proteine) e non codificanti.
Nei due paragrafi che seguono vengono introdotti il Progetto Genoma ed i concettidi base della genetica per fare un po’ di luce in questo nuovo campo di applicazione dell’ingegneria.

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Laurea in matematica

Scopo di questa tesi è dare una breve ma esaustiva spiegazione del funzionamento dell’algoritmo crittografico Advanced Encryption Standard.
Nei quattro capitoli vedremo, rispettivamente, la “storia” di AES ed i motivi per i quali venne adottato, le basi matematiche richieste per comprendere al meglio l’implementazione e le operazioni dell’algoritmo, la descrizione dettagliata di tutte le operazioni svolte all’interno di AES e, infine, la sua rappresentazione polinomiale.
E’ inoltre presente un’appendice utile come ripasso di alcuni concetti utilizzati nella spiegazione delle basi matematiche, quali le definizioni e le proprietà principali riguardanti anelli, campi e polinomi.

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Laurea in Economia marittima e dei trasporti

Questo lavoro tratta sinteticamente alcuni aspetti del problema del cammino minimo in reti urbane. La ristrettezza degli spazi concessi ha fatto sì che il lavoro sia limitato ad un aspetto topico del problema, a mio giudizio importante, ma non unico.
Poiché, secondo le più comuni interpretazioni della riforma dei corsi di laurea, appare che questo “breve elaborato scritto” debba rappresentare una forma di relazione finale con cui lo studente “chiude” il proprio ciclo di studi, ho ritenuto adeguato seguire, durante l’elaborazione di questa tesi, le linee guida apprese dal mio corso di studi.
Ho scelto di trattare una materia matematica per via del personale interesse verso la materia, trovando un ottimo mezzo per unire l’utile al dilettevole.
La ricerca operativa mi ha permesso di unire la mia passione verso la matematica al corso di studi svolto, applicando la stessa al settore dei trasporti.
Ho scelto altresì di fornire un’adeguata introduzione storica all’argomento, ritenendo particolarmente importante questa dimensione della matematica, spesso erroneamente trascurata.
Il primo capitolo introduce la materia, la teoria dei grafi ed il problema del cammino minimo, passando, dall’analisi del problema banale, attraverso l’introduzione di ipotesi e vincoli, allo studio di un problema che rappresenti, in modo il più possibile verosimile, la situazione reale.
Nel secondo capitolo, sono analizzati nel dettaglio tre algoritmi proposti da due ricercatori del dipartimento di ingegneria civile dell’università del Maryland; nel momento in cui questa tesi è scritta, il lavoro dei ricercatori americani è in fase di pubblicazione sul “European Journal of operational research”. Gli algoritmi in questione possiedono un certo grado di sofisticatezza matematica, tale
da richiedere un’analisi approfondita; per questo motivo, e perché lo stesso lavoro rappresenta l’ultimo ritrovato in materia, ho preferito incentrarmi su que-sta “promessa di pubblicazione”. L’innovazione proposta dai due scienziati è stata l’introduzione dell’analisi multicriterio in reti stocastiche e variabili rispetto al tempo.
Nel terzo capitolo sono passato ad analizzare il lavoro svolto da Paola Modesti e Anna Sciomachen nel 1998, che tratta un problema simile da un punto di vistaleggermente diverso.
La mia tesi si risolve quindi con l’analisi delle criticità dei due lavori, con un confronto tra gli stessi e con le considerazioni personali sul problema dell’analisi multicriterio. Questa rappresenta infatti il fulcro del mio lavoro, in cui sono gettati i presupposti per possibili nuovi sviluppi dell’argomento, considerata l’opera di sintesi svolta attraverso la discussione dei lavori analizzati.
Con la speranza che questa conclusione possa tradursi nell’inizio di una nuova affascinante esperienza in ambito matematico.

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Laurea specialistica Ingegneria delle Telecomunicazioni

Era generalmente accettata la definizione del telerilevamento come l'insieme di tecniche, strumenti e mezzi interpretativi che permettono di estendere e migliorare le capacità percettive dell'occhio umano, fornendo informazioni qualitative e quantitative su oggetti posti a distanza dal luogo d'osservazione. Le moderne tecniche di telerilevamento hanno ampliato il campo di indagine ben oltre alle informazioni legate allo spettro elettromagnetico comprendendo misure di campi di forze (gravitazionali, magnetico , elettrico) e utilizzando una grande quantità di strumenti (sistemi laser, ricevitori a radio frequenza, sistemi radar, sonar, dispositivi termici, sismografi, magnetometri, gravimetri, scintillatori). Oggi il telerilevamento comprende tecniche di analisi della radiazione elettromagnetica e dei campi di forze finalizzate ad acquisire ed interpretare dati geospaziali presenti sulla superficie terrestre, negli oceani e nell'atmosfera.
Le informazioni raccolte possono distare dall'osservatore da alcuni metri (Proximal Sensing) fino a migliaia di chilometri (Remote Sensing), come nel caso delle osservazioni effettuate dai satelliti. Il veicolo di informazione del telerilevamento generalmente è l'energia elettromagnetica, sia essa proveniente dal sole, emessa dalla terra o generata da strumenti radar o laser. L'energia elettromagnetica che trasporta le informazioni più utili nel campo del telerilevamento applicato allo studio del territorio è quella delle bande del visibile, infrarosso e delle microonde.
Solitamente il rilievo di una superficie effettuato con tecniche di telerilevamento prevede tre fasi distinte: la ripresa dei dati (da aereo, satellite o da terra), la loro elaborazione e l'analisi. Gli strumenti di rilievo utilizzati possono essere distinti in due categorie e cioè quelli che forniscono delle misure, come radiometri, spettrofotometri, scatterometri o altri, e quelli che forniscono delle immagini, cioè macchine fotografiche, dispositivi digitali di scansione, termocamere ecc.. Tutti gli strumenti da ripresa nel gergo tecnico vengono chiamati sensori. Una distinzione che può essere fatta è quella fra strumenti passivi e attivi: gli strumenti passivi misurano le radiazioni (siano esse emesse o riflesse) provenienti dalle superfici investigate mentre gli strumenti attivi provvedono essi stessi alla illuminazione delle superfici, captando poi la radiazione riflessa.
L'insieme di questi strumenti parallelamente alle moderne tecniche di analisi (interferometria SAR, analisi spettrale, alta risoluzione spaziale, etc.) rappresentano un metodo pratico, sistematico ed economico di mantenere ed aggiornare le informazioni sul mondo che ci circonda ed in particolare nei seguenti campi di applicazione:
· Agricoltura: gestione dei processi produttivi, verifiche di dettaglio di appezzamenti e tipologie di colture, inventario e previsione dei raccolti, controllo delle proprietà, valutazione dei danni post-calamità, etc;
· Scienze Forestali: cartografia forestale, gestione demaniale, monitoraggio aree deforestate o percorse da incendi, etc.;

· Geologia e Geologia Applicata: cartografia geologica, esplorazioni marine e terrestri, valutazioni di impatto ambientale, monitoraggio di attività estrattive, subsidenze, movimenti franosi, etc.;
· Topografia e Cartografia Tematica: realizzazione gestione ed aggiornamento della cartografia, pianificazione territoriale, catasto,
controllo dell'abusivismo edilizio, etc. ;

· Ambiente: classificazione multitemporale di uso e coperture del suolo, controllo e gestione dell'ecosistema, valutazioni di impatto ambientale, monitoraggio inquinamento, discariche e rifiuti urbani e industriali, gestione della rete idrica e aree umide, etc.;
· Gestione del Rischio: monitoraggio di frane, subsidenze, alluvioni, vulcani e terremoti e valutazione dei danni, localizzazione di aree
inquinate, pianificazione delle strutture di pronto soccorso, etc.;
· Difesa del territorio: monitoraggio di obiettivi strategici, pianificazione e preparazione di missioni, verifica della pianificazione e degli accordi, controllo dell'industria estrattiva, etc.;· Mare e Aree Costiere: gestione delle coste, fenomeni di erosione costiera, monitoraggio aree glaciali, pianificazione e controllo delle rotte nautiche, presenza di alghe, etc.;
· Telecomunicazioni: pianificazione e supporto delle reti di trasporto e navigazione a scala urbana e internazionale, etc.;
· Media e Turismo: cartografia, pubblicità, educazione, analisi di proprietà, valorizzazione del territorio, etc..
Attualmente, nell'ambito del telerilevamento a microonde, i SAR rappresentano senza dubbio i sensori attivi più affidabili e maggiormente diffusi. Il SAR o Radar ad Apertura Sintetica, sfruttando lungo l'intera rotta di volo i ritorni provenienti da un generico punto a terra, simula di fatto un'antenna di grandi dimensioni fisiche, o, più precisamente, un allineamento di antenne di dimensioni reali posizionate lungo la direzione di volo, consentendo di raggiungere risoluzioni in azimuth molto spinte. Sensori di questo tipo sono stati, infatti, montati sui satelliti ERS1 ed ERS2 (in orbita, rispettivamente, dal 1991 e dal 1995) e sul satellite ENVISAT
nell'ambito del progetto Osservazione della terra, gestito e finanziato da ESA (European Space Agency).
Allo stesso modo la missione COSMO Sky Med, concepita da Alenia Spazio, gestita e finanziata da ASI (Agenzia Spaziale Italiana) e finalizzata al lancio diuna costellazione di sette satelliti con i quali è stato effettuato il telerilevamento ottico e radar su una vasta area del Mediterraneo, ha previsto l'utilizzo di SAR.

L'attività di ricerca nel settore del telerilevamento a microonde ha condotto negli anni scorsi alla ideazione e sviluppo di modelli elettromagnetici appropriati alla simulazione di segnali SAR (Radar ad Apertura Sintetica) e alla relativa stesura di codici numerici di simulazione per diverse modalità operative e per diversi tipi di scena osservata (scene terrestri naturali, urbane, oceaniche). Infatti il progetto di un SAR richiede innanzitutto la presenza di un simulatore numerico che riesca anzitutto a riprodurre il segnale trasmesso dal sensore e diffuso dalla superficie (mappa di riflettività) e poi ad elaborare il segnale diffuso per simulare il reale segnale grezzo ricevuto dal sensore. Per tale motivo la simulazione del segnale grezzo SAR si basa su tre modelli:Modello di superficie, che consente di descrivere la scena a terra;

· Modello di scattering, che essenzialmente consente di ricavare la mappa di riflettività;
· Modello radar, che invece, permette di stimare la funzione risposta impulsiva del sistema SAR, e quindi di calcolare il segnale grezzo tramite una opportuna serie di operazioni con la mappa di riflettività.
In questa tesi non ci si è soffermati sul modello radar e sulle tecniche di acquisizione ed analisi delle immagini telerilevate, bensì sui modelli di superfici naturali e sui modelli di diffusione elettromagnetica trattati entrambi nel capitolo 2; di solito le superfici naturali vengono descritte statisticamente in termini di processi aleatori bidimensionali stazionari con assegnata densità di probabilità (pdf) e funzione di autocorrelazione. In realtà una tale descrizione ha condotto a dei risultati non troppo coerenti con quelli ricavati da misure reali ed è per tale motivo che sono stati introdotti i modelli frattali come l’fbm (moto frazionario browniano) e WM (Weierstrass-Mandelbrot). Per quanto riguarda, invece, i modelli di scattering, ne sono stati sviluppati diversi, basati sulle approssimazioni di Kirchhoff e delle piccole perturbazioni e sul metodo delle condizioni al contorno estese (EBCM), per la valutazione della diffusione da superfici descritte tramite il moto frazionario Browniano o la funzione di Weierstrass-Mandelbrot.
Nel capitolo 2, inoltre, viene evidenziato anche l’uso congiunto dei modelli di superficie e di scattering, che come detto precedentemente stanno alla base di un qualsiasi simulatore numerico (non solo SAR) e che permettono di risolvere quello che va sotto il nome di problema diretto: noti il profilo altimetrico della scena e le caratteristiche elettromagnetiche del terreno (costante dielettrica e conducibilità), viene ricavato il ritorno elettromagnetico (e quindi il coefficiente di backscattering) e successivamente il segnale grezzo tramite un opportuno modello radar.
La ricerca sta ora proseguendo secondo due linee: da un lato, per il calcolo del campo diffuso da tali superfici si cerca di utilizzare nuovi metodi con ambiti di validità più ampi, come ad esempio il metodo dell'equazione integrale (IEM); dall'altro, si stanno valutando i regimi di validità dei modelli già sviluppati.
Una ulteriore linea di ricerca prevede l’impiego dei modelli di diffusionesviluppati nella determinazione di tecniche per la stima dei parametri dielettrici e di rugosità del suolo a partire da misure di campo diffuso: questo è, invece, il problema inverso. In quest’ultimo caso, quindi, a partire ad esempio dalla misura del coefficiente di backscattering si deve risalire, tramite l’implementazione di opportuni algoritmi, ai parametri superficiali. Questo aspetto viene trattato nei capitoli 3 e 4; nel terzo vengono elencati e discussi i principali modelli teorici, empirici e semi-empirici di recupero dei parametri dielettrici e di rugosità presenti in letteratura, mentre nel quarto viene proposto un algoritmo di recupero di parametri classici e frattali da misure di campo diffuso. In particolare la procedura implementata viene applicata in primo luogo a dati simulati con e senza rumore per testarne l’efficienza e poi a dati sperimentali in nostro possesso ed i differenti risultati ottenuti rispettivamente nel caso classico e frattale sono presentati.

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Laurea triennale in Ingegneria delle Telecomunicazioni

Quando una radiazione elettromagnetica incide sulla superficie di un materiale, possono verificarsi fenomeni di riflessione per cui la radiazione stessa può essere rinviata del tutto o in parte nello stesso mezzo dall’interfaccia che separa i due mezzi considerati, fenomeni di diffrazione per cui l’onda elettromagnetica incidente penetra nella zona d’ombra dell’ostacolo stesso a causa ad esempio dell’incidenza su spigoli che provoca onde da cammini multipli, e fenomeni di diffusione per cui la radiazione viene dispersa in tutte le direzioni a causa di particelle sospese presenti nel mezzo attraversato. Tale radiazione dispersa non è altro che il campo diffuso. La conoscenza del campo diffuso è di notevole importanza per lo studio dell’impatto sull’ambiente delle interazioni elettromagnetiche. Negli ultimi anni sono state sviluppate numerose tecniche di telerilevamento che hanno costituito e costituiscono tuttora una risorsa
importantissima per avere notizie su fenomeni naturali di varia natura e di pari rilevanza. Uno dei sistemi piu’ noti per telerilevare i dati è il SAR , acronimo per radar ad antenna sintetica, grazie al quale è possibile poter lavorare in qualsiasi condizione climatica ed indipendentemente dall’ora del giorno e ricavare le proprietà fisiche di una porzione della superficie terrestre a partire dalla
conoscenza del campo diffuso.

Consci di questo fatto, affronteremo in questa tesi un rilevante problema di diffusione elettromagnetica. Come in ogni problema di questo tipo, vanno stabiliti due modelli:
-modello di superficie;
-modello elettromagnetico.
Per quanto riguarda il modello di superficie, sono stati sviluppati modelli classici che descrivono superfici naturali rugose attraverso processi stocastici bidimensionali che presentano una data densità di probabilità (di solito gaussiana) e funzione di correlazione (anch’essa gaussiana per superfici molto rugose o esponenziale per superfici poco rugose o una combinazione di esse). Tali modelli
si scontrano però con la realtà dal momento che sono incapaci ed inadeguati per descrivere le superfici naturali che sono autosimilari, cioè presentano proprietà di invarianza di scala. Per tale motivo viene introdotta la geometria frattale. I modelli frattali piu’ noti per superfici naturali sono il modello WM (Weierstrass-Mandelbrot) e il modello fBm (Fractional Brownian motion). L’fBm è un processo continuo non differenziabile in alcun punto ad incrementi stazionari. Il vantaggio derivante da quest’ultimo è dovuto al fatto che permette di ricavare in forma chiusa e semplice la densità di potenza diffusa (e quindi il coefficiente di backscattering o retrodiffusione) sia sotto l’approccio di Kirchhoff sia con l’utilizzo del modello elettromagnetico SPM (Small perturbation method), sotto particolari limiti di validità da non violare. Lo svantaggio principale è dovuto al fatto che esso non fornisce un’espressione analitica della superficie. Per risolvere tale problema può essere usata un’altra particolare funzione frattale, la WM a banda limitata, che bene approssima l’fBm. Per quanto riguarda il modello elettromagnetico, viene usato il metodo EBCM, acronimo per ”Metodo delle condizioni al contorno estese”.

La tesi è suddivisa in tre capitoli. Nel primo si evidenzia l’importanza della geometria frattale e vengono descritti i vantaggi e gli svantaggi dei due modelli di superfici frattali sopra citati, l’fBm e la WM. Nel secondo viene affrontato il problema della diffusione elettromagnetica da una superficie monodimensionale che separa due mezzi con permittività e permeabilità diverse. Gli esempi numerici vengono mostrati in relazione a una situazione in cui il profilo superficiale separa lo spazio libero da un mezzo dielettrico di permittività dielettrica r e , con le stesse permeabilità. Utilizzando la proprietà della WM di essere quasi-periodica, il campo diffuso e quello trasmesso risultano scritti come sovrapposizione finita di modi di Floquet espressi in termini di matrici di dimensioni infinite. Per poter avere una soluzione numerica del problema bisogna troncare le matrici in gioco.

Viene così mostrato un criterio di troncamento suffragato da varie considerazioni che ne evidenziano la fondatezza e l’efficienza. I risultati cui giungiamo sono in linea con le aspettative teoriche. Nel terzo capitolo, invece, viene affrontato lo stesso problema nel caso bidimensionale, nell’ipotesi in cui lo spazio dielettrico sia sostituito da un conduttore elettrico perfetto. Anche in tal caso il campo diffuso risulta scritto come sovrapposizione di modi e i risultati sperimentaliconfermano l’efficienza del modello usato.
In fondo, invece, vengono riportate delle appendici in cui sono mostrati i programmi realizzati col software Matematica 5.0, usati per testare e avvalorare il metodo implementato.

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Laurea in Ingegneria

La sempre maggiore diffusione di dispositivi wireless e il crescente bisogno di sicurezza esigono l’utilizzo di sistemi crittografici che possano soddisfare le stringenti limitazioni imposte, in termini di consumo energetico, utilizzo di banda e capacità elaborativa. L’introduzione della Crittografia basata su Curve Ellittiche (ECC, Elliptic Curve Cryptography) è relativamente recente ma negli ultimi dieci anni tale tecnica si è rapidamente imposta come alternativa ai sistemi crittografici a chiave pubblica già largamente utilizzati come RSA e DSA. La principale attrattiva dell’ ECC è che al momento non esistono algoritmi sufficientemente veloci che risolvano il problema matematico sul quale si basa. Ciò significa che l’ECC offre lo stesso livello di sicurezza dei sistemi tradizionali (RSA, DSA, Diffie-Hellman) utilizzando chiavi di dimensione inferiore, richiedendo così elaborazioni più veloci, consumi energetici contenuti e un risparmio di utilizzo della banda. Tali caratteristiche, quindi, rendono l’ECC particolarmente adatta all’utilizzo in ambienti con limitata disponibilità di risorse: palmari, telefoni cellulari, smart cards.
Obbiettivi e Organizzazione della Tesi. Verrà presentata la Crittografia basata su Curve Ellittiche, analizzando sia gli aspetti teorici che i protocolli utilizzati e soprattutto confrontando questa tecnica con le attuali soluzioni a chiave pubblica.
Considerata la natura dell’argomento, l’esposizione sarà caratterizzata da un taglio necessariamente matematico e formale. Il primo capitolo riprende i concetti base della Crittografia. Il Capitolo 2 presenta i principali sistemi asimmetrici e introduce brevemente l’ECC mentre il terzo descrive le Curve Ellittiche e l’aritmetica ad esse abbinata. Il Capitolo 4 affronta lo studio del problema matematico sul quale si basa l’ ECC, ossia l’Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECDLP). Nel Capitolo 5 si analizzano i principali protocolli crittografici basati sulle curve ellittiche. L’ultimo capitolo infine confronta l’ECC con gli altri sistemi a chiave pubblica. In Appendice A sono raccolte le nozioni matematiche fondamentali per la comprensione dell’argomento, l’Appendice B contiene le formule matematiche relative alla regola di addizione su Curve Ellittiche.

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Laurea in matematica

Anche se si tratta di un argomento ben noto, ricordiamo l’idea centrale del “programma di Erlangen” di Felix Klein. Un tipo di geometria è assegnato quando sono dati un insieme X (non vuoto) e un gruppo G di trasformazioni su X.
Noti X e G, ci si propone di studiare le proprietà dei sottoinsiemi di X, le quali sono invarianti rispetto alle trasformazioni di G. Spesso X è dotato di una struttura, che determina il gruppo G. Per esempio, se X è dotato della struttura di spazio topologico, è naturale assumere come G il gruppo degli omeomorfismi di X e chiamare topologiche le proprietà dei sottoinsiemi di X invarianti per gli omeomorfismi di G. Si noti che così si inquadra nel “programma di Erlangen” lo studio di un singolo spazio topologico, non lo studio di tutti gli spazi topologici, cosa che si fa invece abitualmente in topologia generale.

Anche assegnato uno spazio ambiente, ci si può porre, però, oltre al problema indicato sopra, anche un problema leggermente diverso. Assegnamo ancora uno spazio topologico X; consideriamo tutti i suoi sottoinsiemi (non vuoti) e tutti i possibili omeomorfismi tra tali sottoinsiemi (non soltanto le restrizioni degli omeomorfismi dell’intero spazio X).

Gli omeomorfismi che consideriamo ora non formano più gruppo; si può parlare di un gruppoide di trasformazioni.
Per le proprietà di sottoinsiemi di X, abbiamo ora due tipi di invarianza:

1) invarianza rispetto ai soli omeomorfismi di X;

2) invarianza rispetto a tutti gli omeomorfismi tra sottoinsiemi di X.

La seconda invarianza implica la prima (tra gli omeomorfismi tra sottoinsiemi di X ci sono, in particolare, le restrizioni degli omeomorfismi di X), ma non viceversa.

Per esempio, si può considerare come X lo spazio euclideo tridimensionale e come proprietà quella di una curva chiusa semplice di essere annodata (con linguaggio più tecnico: la proprietà di un nodo di essere intrecciato). Si tratta di una proprietà invariante nel primo senso, ma non nel secondo. Chiameremo “punto di vista di Klein” lo studio dell’invarianza nel primo caso, “punto di vista di von Staudt” lo studio dell’invarianza nel secondo. L’uso di questo secondo termine è forse un po’ arbitrario: conviene precisare in quale senso sia stato adottato da alcuni autori, nell’ambito della geometria proiettiva.
Nel 1847, venticinque anni prima del “programma di Erlangen”, von Staudt dimostrò che, nel piano proiettivo reale, esiste una e una sola proiettività tra due rette, che trasforma una terna ordinata di punti distinti della prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda. È stato poi dimostrato:

a) in un qualunque piano proiettivo P, esiste almeno una proiettività tra due rette che trasforma una terna ordinata di punti distinti della prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda;

b) si ha l’unicità se e solo se P è il piano proiettivo su un campo.

Per “punto di vista di von Staudt” si intende, propriamente, lo studio dei legami tra le proprietà di un piano proiettivo P e le proprietà del gruppo delle proiettività su una retta di P. In modo esteso, il termine è stato usato per strutture di incidenza diverse dai piani proiettivi. Con un’estensione ulteriore, e forse eccessiva, nella tesi useremo il termine anche nel senso indicato nel capoverso precedente.

Più in particolare, il contenuto della tesi è il seguente. I primi due capitoli riguardano il “programma di Erlangen” del Klein. Si
tratta di un argomento che si trova spesso esposto nei testi universitari; pertanto, non si è voluto darne una trattazione completa e si è preferito portare l’attenzione su due gruppi di trasformazioni degli spazi euclidei, meno frequentemente citati: il gruppo delle applicazioni bilipschitziane e il gruppo delle trasformazioni cremoniane intere. Entrambi contengono, come sottogruppo, il gruppo delle affinità.
Di conseguenza si inizia l’esposizione, nel primo capitolo, analizzando alcune proprietà invarianti rispetto al gruppo delle affinità, con particolare attenzione alla proprietà che lega la misura di Lebesgue di un insieme alla suddetta collezione.
In seguito, dopo alcuni richiami sulle applicazioni lipschitziane, si introduce la famiglia delle applicazioni bilipschitziane e si studia l’invarianza della dimensione di Hausdorff di un insieme.
Il secondo capitolo è dedicato alle trasformazioni cremoniane, in particolare alle trasformazioni cremoniane intere: alla caratterizzazione di alcune proprietà invarianti, segue la presentazione della “congettura dello jacobiano”.
Si passa poi al “punto di vista” di von Staudt. È sembrato opportuno incominciare con alcuni richiami di geometria proiettiva; questi
rappresentano il contenuto del capitolo successivo: si descrivono tre diverse impostazioni della geometria proiettiva, a cui si fa riferimento per definire le proiettività, le collineazioni e le involuzioni.
La costruzione grafica di un’involuzione permette di caratterizzare le quaterne armoniche: nel quarto capitolo, dopo una breve presentazione di carattere storico, si enuncia un risultato, noto come teorema di Staudt, che lega le proiettività alle corrispondenze staudiane, cioè alle corrispondenze biunivoche che mutano ogni quaterna armonica in una quaterna armonica.
Il quinto capitolo è dedicato alla discussione di alcune proprietà, prevalentemente topologiche, per le quali è possibile distinguere tra “punti di vista” di Klein e di von Staudt.
A conclusione della tesi, si presentano alcune situazioni di invarianza in altri ambiti della Matematica, con casi particolari in cui i due punti di vista coincidono.

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https://www.matematicamente.it//tesi/Paganini-Trasfromazione_geometriche.pdf

Laurea in matematica per le scienze dell'ingegneria 

Il lavoro di tesi nasce nel contesto della progettazione di reti ottiche di telecomunicazioni di tipo IP (Internet Protocol). Il problema di Network Design consiste essenzialmente nell’ottimizzare la topologia di una rete, ciè nel determinare l’installazione di cavi tra coppie di nodi della rete che minimizzi il costo complessivo e che consenta di soddisfare un insieme di richieste di traffico.
Lo sviluppo di reti di telecomunicazioni di tipo IP è attualmente un problema di grande interesse, in connessione con la corrente e continua espansionedi Internet, nel numero di utenti utilizzatori e di servizi offerti.
Il futuro non può che prevedere sempre maggiori richieste da parte degli utenti, e dunque sarà importante progettare reti sicure e veloci, oltre che in grado di fornire servizi sempre più all’avanguardia.
La strategia di instradamento più utilizzata nelle reti IP è quella OSPF (Open Shortest Path First), secondo la quale ogni pacchetto di dati viene instradato su uno dei cammini minimi fra il nodo di partenza e quello di destinazione, e conseguentemente ogni flusso, costituito da tanti pacchetti di dati, viene suddiviso in parti uguali su tutti i cammini minimi possibili.
La formalizzazione matematica in un modello di Programmazione Lineare Misto-Intera di problemi di Network Design è stata affrontata ampliamente in un precedente lavoro di tesi [5], in cui tra l’altro si è tenuto conto anche della possibilità di studiare reti robuste, ovvero in grado di resistere ad eventuali malfunzionamenti di alcuni archi. In questa tesi si è considerato un modello relativamente più semplice, ma ciononostante sempre di notevole complessità computazionale, ed in particolare si è tentato l’approccio risolutivo con un metodo che si colloca in posizione intermedia fra il Branch and Bound esatto ed i metodi euristici. Si tratta del metodo del Local Branching, descritto ampiamente in [1], che consiste in una successione di soft variable fixing: non vengono scelte manualmente le variabili da fissare, ma è l’algoritmo stesso che decide quali sia più conveniente mantenere costanti e quali invece far variare.
Questo tecnica può essere implementata in Programmazione Lineare grazie all’inserimento di un particolare tipo di taglio, detto taglio di Local Branching, in grado di ridurre ad un piccolo sottoinsieme del politopo originale lo spazio di ricerca delle soluzioni.
Il metodo che ne deriva, pur essendo in linea di principio esatto, si comporta essenzialmente come una meta-euristica, e dunque è in grado di trovare in tempi brevi soluzioni molto prossime all’ottimo, ma senza poterne garantire l’ottimalità. Si propone allora in questa tesi un confronto tra questo metodo innovativo ed il più tradizionale Branch and Bound applicato al problema in esame.
I risultati rispecchiano la grande complessità del problema, che può essere risolto con queste tecniche solo per istanze di 6, 7 nodi, ancora troppo lontane da istanze reali, che dovrebbero tenere in conto almeno 15, 20 nodi. Il Local Branching, opportunamente settato, può però risultare nettamente migliore del Branch and Bound classico, soprattutto quando la ricerca è volta a determinare la migliore soluzione possibile in tempi brevi.

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