{etRating 3}Due blocchetti di massa m1 e m2 sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile e sono trascinati lungo un piano orizzontale liscio mediante una forza di modulo F . Determinare la tensione T del filo in funzione degli altri dati.

Se la corda è in tensione le due masse hanno la stessa accelerazione e compiano un atto di moto rigido traslatorio.

Quindi:

$F=(m_1+m_2)a=>a=F/(m_1+m_2)$

Adesso tagliamo la corda ed immaginamo di applicare la stessa forza che la corda dovrebbe esercitare per ottenere le condizioni di moto precedenti, se tale forza è $T$, si ha

$T=m_2a=m_2/(m_1+m_2)F$

avendo scritto l’equazione della dinamica per la massa sulla quale non si applica direttamente la forza trainante.

Se si fosse scelta invece quest’ultima:

$F-T=m_1a=>T=F-m_1a=F-m_1/(m_2+m_1)F=m_2/(m_1+m_2)F$

ossia lo stesso risultato.

FINE 

Un blocco, assimilabile a un corpo puntiforme di massa $M = 4 kg$ è posto in quiete alla base di un piano inclinato scabro, formante un angolo α = 30° con il piano orizzontale.
All’istante $t = 0$ il blocco viene lanciato lungo il piano inclinato con velocità iniziale di modulo $v_0 =6 m/s$. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico $md$ tra il blocco e il piano inclinato vale $0.5$, calcolare con riferimento allo spostamento del blocco tra la posizione iniziale e quella di arresto:
a) il lavoro complessivo fatto dalle forze agenti sul blocco;
b) il lavoro W’ fatto dalla forza di attrito agente sul blocco

Nell’esercizio si lavorerà con i soli simboli, in quanto la risoluzione consiste in quello sostanzialmente(se proprio si vuole conoscere il risultato, basta sostituire i valori numerici).

Per il teorema delle forze vive, sappiamo che il lavoro compiuto da TUTTE le forze agenti sul sistema è uguale alla variazione di energia cinetica:

$L_T=DeltaT=-1/2Mv_0^2$

Il lavoro totale, poi, può esser visto come la somma di due contributi, dovuti alla forza peso ed all’attrito:

$L_T=L_g+L_a=-DeltaU+L_a=-Mgh-\mu_dMgs=-Mgs(1/(sinalpha)+mu_d)

Il che implica dunque 

$s=v_0^2/(2g(1/(sinalpha)+mu_d))$

Da cui si ha infine

$L_a=-\mu_dMv_0^2/(2(1/(sinalpha)+mu_d))$

FINE

{etRating 5}Una centrale termoelettrica a carbone, che fornisce una potenza di 9*10^8 W, utilizza come fluido termodinamico vapore d’acqua surriscaldato immesso nelle turbine alla temperatura di 550°C. La centrale viene raffreddata con acqua di un fiume che entra nell’impianto alla temperatura di 15°C. Per motivi di salvaguardia ambientale l’incremento della temperatura dell’acqua non può essere superiore ai 3 °C. Assumendo che il rendimento della centrale elettrica sia il 60% del massimo rendimento che le leggi della termodinamica consentono, si calcoli:

b) la minima portata del fiume che consente il funzionamento della centrale. (Il potere calorico del carbone è 7500 kcal/kg"

La potenza può essere espressa come:

$P=m_hEeta$                                                                                               (*)

$m_h$= portata massica di carbone (kg/s)
$E$=potere calorifico del carbone$=7500(Kcal)/(kg)=31.4*10^6 J/(kg)$

$eta$=rendimento totale

$eta=eta_(\text(carnot))eta_\text(centrale)$

$eta_(\text(carnot))$ è il rendimento di carnot=$1-T_(min)/T_(max)$ [T espresse in K]

$T_(min)$=minima temperatura raggiunta dal fluido operante (vapore).

Dato il carattere elementare del problema, si assuma $T_(min)=T_(FU)$, dove $T_(FU)$ è la temperatura a cui l’acqua del fiume viene riemessa.

Dai dati si evince che $T_(FU)=15+3=18 C$. (con $C$ si intende l’unità di misura celsius).
$T_(max)$ è la massima temperatura raggiunta dal vapore (550°C), pertanto il rendimento di carnot risulta essere

$eta_(\text(carnot))=1-(273+18)/(273+550)=0.646$

e $eta=0.646*0.6=0.388$.

Invertendo la formula (*) si ottiene:

$m_h=P/(Eeta)=73.9kg/s=266\text(Tonn/h)$

La potenza totale sviluppata è pari a $P_(\text(tot))=m_hE$, o equivalentemente $P_(\text(tot))=P/eta$. Il calore che non viene utilizzato per produrre potenza, viene dissipato. 

$Q_h=(1-eta)P_(\text(tot))=(1-eta)/etaP=1.42cdot10^9 W$

Supponendo che l’acqua del fiume sia l’unico mezzo dissipante, e ricordando che il calore specifico dell’acqua è pari a $1(Kcal)/(kg)=4186J/(kg)$, si ottiene:

$Q=m_(H_2O)cDeltaT => m_(H_2O)=Q/(cDeltaT)=(1.42cdot10^9)/(4186cdot3)=113\text(Tonn/s)=113m^3/s$

FINE

{etRating 2}Un cubo di 3kg scivola su una rampa che forma un angolo di 30° lunga 1m , con forza di attrito 5.00N

La velocità iniziale é zero.

Determinare

i)L’accelerazione

ii)La velocità finale al termine della rampa.

Iniziamo a calcolare l’accelerazione

$F= m*g*sintheta-F_a=ma$  

quindi  $a=(3.00kg*9.80(m/s^2)*sin30-5.00N)/(3.00Kg)=3.23m/s^2$

Si può applicare direttamente la formula apposita per il secondo punto, stando attenti al significato dei singoli termini.

$v_f^2-v_i^2=2as$, dove però $s$ è lo spostamento dal punto preso come origine nella direzione dell’accelerazione e della velocità (dato che il moto è rettilineo) e quindi parallela al piano inclinato (a 30°dall’orizzontale); da cui, visto che $v_i=0$ e che $s=1 m$, possiamo dire che in modulo

$|v_(f)| =|sqrt(2a)|$

In alternativa possiamo usare il principio di conservazione dell’energia considerando anche il lavoro compiuto dalla forza di attrito:

$mgh=mgssintheta=1/2mv_f^2+F_ds=>v_f=sqrt(2(gsintheta-F_d/m)s)=sqrt(2a)$

Basta poi sostiruire il valore di $a$ per trovare la velocità.

Come si nota, il risultato è lo stesso malgrado le due diverse strategie.

FINE

{etRating 2}

Un incauto sciatore è uscito fuori dalla pista a causa di una caduta, e si ritrova a scivolare da un punto $A$ su una superficie ghiacciata che termina con un laghetto (punto $B$)

Sappiamo che il coefficiente di attrito tra il corpo dello sciatore e il ghiaccio vale $k=0.1$ e che la velocità dell’uomo all’inizio della superficie ghiacciata era di $10m/s^2$.

Determinare

1)La decelerazione dell’uomo

2)lLa minima distanza $AB$ che permatte all’uomo di non cadere in acqua

3)Quanto dura il tragitto sul ghiaccio

1)

Per calcolare la decelarazione ci si può servire della classica legge

$vecF=mveca$

In questo caso risulta essere

$F=mg*k$

Pertanto si avrà

$ma=mg*k->a=k*g$

$a=0.98m/s^2$

2)

Questo quesito può essere risolto con l’ausilio della cinematica, ma più facilmente con il teorema dell’energia cinetica (forze vive), pertanto applicando quest’ultimo risulta essere

$L_(at)=1/2mv^2$

$F_(at)*Deltax=1/2mv^2$

$mg*k*Deltax=1/2mv^2$

$Deltax=v^2/(2g*k)$

$Deltax=51m$

Questo risultato deve essere interpretato così: allo sciatore servono 51 metri per arrestarsi, se il lago si trova a una distanza inferiore, inevitabilmente l’uomo vi cadrà dentro.

3)

Per calcolare il tempo, ricorriamo alla legge cinematica per il moto uniformente accelerato

$x=1/2at^2$ con $t$ unica incognita.

$t=sqrt(2x/t)$

$t=10.2sec$

Altrettanto valida per torvare la soluzione era l’equazione

$v_(f)=v_i-at$ ponendo la velocità finale $v_(f)=0$

FINE

{etRating 2} Disponiamo di un fornello e di un contenitore isolante del volume di $2$ litri contenente acqua fino all’orlo.
Abbiamo osservato che scaldando l’acqua per $1$ minuto e mezzo provochiamo un innalzamento della temperatura pari a $3°C$.
Ipotizziamo che il fornello non disperda calore (tutta l’energia va all’acqua)

1)Si calcoli la potenza del fornello
2)Si calcoli quanto tempo occorre per portare l’acqua da 20 a 60 °C
3)Si calcoli l’energia che il fornello deve fornire all’acqua, partendo da una temperatura di $50°C$ per farla evaporare

1)
La potenza è definita come il rapporto tra il lavoro eseguito nell’unità di tempo e il tempo stesso.
Nel nostro caso, sappiamo che il lavoro (calore) può essere espresso mediante la legge della calorimetria
$Q=m*c*DeltaT=2kg*4180J/(Kg*°K)*3°K=25080J$
Si è sostituito l’unità Celsius con l’unità Kelvin perchè la variazione non muta (la variazione di $1°K$ è uguale a quella di $1°C$).
Sapendo che l’unità di tempo è $90sec$ possiamo affermare che la potenza corrisponde a
$W=Q/(Deltat)=(25080J)/(90sec)=278W$

2)

Conoscendo ormai la potenza, è semplice.
Calcoliamo il calore che occorre, innanzitutto.
$Q=mcDeltaT=2*4180*40 J=334400J$
Sapendo che in a potenza è $W=278$, possiamo affermare che in $1sec$ il fornello fornisce $278J$.
Possiamo ricavare il tempo incognito con una proporzione
$278/1=334400/t$
Oppure sfruttando
$t=Q/W=334400/278 sec$
In ambo i casi, la risposta è $1202sec$ (circa 20 minuti)

3)
Per evaporare a condizioni standard, l’acqua raggiunge prima i $343°K$
Calcoleremo separatamente $Q_1$, ovvero il calore necessario per portare il liquido a $343°K$, e $Q_2$, il calore da fornire per l’evaporazione.
$Q_1=mcDeltaT=2*4180*50 J=418000$

Per trovare $Q_2$ ricordiamo che il calore latente d’evaporazione dell’acqua vale $2272000J/(kg)$
$Q_2=2*2272000=4544000$
Il calore totale sarà pari a
$Q=Q_1+Q_2=4962000J$
Ovvero poco meno di $5MJ$

FINE 

{EtRating 3}Una forza $F$ applicata ad un oggetto di massa $M_1$ produce un accelerazione $a_1=3m/s^2
La stessa forsa applicata ad un oggetto di massa $M_2$ produce un accelerazione di $a_2=1m/s^2$.

a) Qual’è il valore del rapporto $m_1/m_2$ ?
b) Se $M_1$ e $M_2$ vengono collegate trovare la loro accelerazione $a_2$sotto l’azione della forza $F$.

a)
Possiamo facilmente trovare una relazione che lega entrambe le masse.

Infatti possiamo scrivere che

${(F=M_1a_1),(F=M_2a_2):}$

Confrontando i secondi membri

$M_1*a_1=M_2*a_2$

$M_1*3m/s^2=M_2*1m/s^2$

Il rapporto è dunque

$M_1/M_2=1/3$

b) Dalla precedente relazione

$M_1/M_2=1/3$

Deriva che

$M_2=3M_1$

Pertanto se la forza è applicata a una massa pari a $M_1+M_2$ possiamo scrivere

$F=(M_1+M_2)a_3=(M_1+3M_1)a_3=4M_1a_3$

$F=4M_1a_3$ (1)

Sapendo inoltre che

$F=M_1*3m/s^2$ (2)

Mettendo a sistema l’equazione (1) con la (2) e dividendo (o sottraendo) membro a membro, otteniamo

$a_3=0,75m/s^2$

FINE