Autore: Francesco Speciale

$int_(1)^(3)(1/(x(1+x)))dx$

Svolgimento:
$int_(1)^(3)(1/(x(1+x)))dx=int_(1)^(3)((1+x-x)/(x(1+x)))dx=$
$=int_(1)^(3)(1/x)dx-int_(1)^(3)(1/(1+x))dx=$
$[log(|x|)-log(|1+x|)]_(1)^(3)=log(1)-log(2)-(log(3)-log(4))=log(4)-log(3)+log(2)$.

$int((3x+2)/(4x+5))dx$

Svolgimento:
$int((3x+2)/(4x+5))dx=1/4int((12x+8)/(4x+5))dx=1/4int((12x+15-7)/(4x+5))dx=$
$=3/4int(1)dx-7/4int(1/(4x+5))dx=$
$=3/4int(1)dx-7/(16)int(4/(4x+5))dx=$
$3/4x-7/(16)log(|4x+5|)+c$.

$int(cos(logx))dx$

Svolgimento:
Con la sostituzione $x=e^t$ ed il metodo di integrazioni per parti, si ha
$int(cos(logx))dx=int(e^tcost)dt=1/2e^t(sint+cost)=$
$=1/2x[sin(logx)+cos(logx)]+c$.

$int(arctg(sqrtx))dx$

Svolgimento:
Con la sostituzione $x=t^2$ ed il metodo di integrazioni per parti, si ha
$int(arctg(sqrtx))dx=int(2tarctg(t))dt=t^2arctg(t)-int(t^2/(1+t^2))dt=$
$=t^2arctg(t)-t+arctg(t)+c=xarctg(sqrtx)-sqrtx+arctg(sqrtx)+c$.

$int_(1)^(8)((sqrt(1+x))/x)dx$

Svolgimento:
Eseguendo la sostituzione $sqrt(1+x)=t$, cioè $x=t^2-1, dx=2tdt$, allora, per $x=1,t=sqrt2$ e per $x=8, t=3$. Pertanto:
$int_(1)^(8)((sqrt(1+x))/x)dx=int_(sqrt2)^(3)((2t^2)/(t^2-1))dt=$
$=[2t+log((t-1)/(t+1))]_(sqrt2)^(3)=6-2sqrt2+log(1/2)+log((sqrt2-1)/(sqrt2+1))$.

$int_(0)^((pi)/2)(sqrt(1+cosx))dx$

Svolgimento:
Ponendo$t=cosx$, risulta $dx=-(dt)/(sqrt(1-t^2))$.Perciò:
$int_(0)^((pi)/2)(sqrt(1+cosx))dx=-int_(0)^(1)((sqrt(1+t))/(sqrt(1-t^2)))dt=$
$int_(0)^(1)(1/(sqrt(1-t)))dt=[2sqrt(1-t)]_(0)^(1)=2$.

$int(x^5e^(x^2))dx$

Svolgimento:
Eseguendo la sostituzione $x^2=t$, cioè $x=sqrtt$, si ha $dx=(1/(2sqrtt))dt$ e perciò
$int(x^5e^(x^2))dx=int(t^2sqrtte^t*1/(2sqrtt))dt=1/2int(t^2e^t)dt$
Integrando per parti, si ha subito
$int(t^2e^t)dt=e^t(t^2-2t+2)+c$
da cui, ponendo $t=x^2$:
$int(x^5e^(x^2))dx=1/2e^(x^2)(x^4-2x^2+2)+c$.

$int(x^2sinx)dx$

Svolgimento:
Assumendo $x^2$ come fattore finito, si ha
$int(x^2sinx)dx=int(x^2D(-cosx))dx=-x^2cosx+2int(xcosx)dx=$
Integrando di nuovo per parti, scegliendo $x$ come fattore finito si ha
$=-x^2cosx+2xsinx-2int(sinx)dx=(2-x^2)cosx+2xsinx+c$.

$(2x+13)/(13-2x)=4$

Svolgimento:
$(2x+13)/(13-2x)=4$
Determinando la C.E. si ha che dovrà essere $x!=(13)/2$.
Ora proseguiamo con lo svolgimento dell’equazione
$((2x-13)-4(13-2x))/(13-2x)=0$
Moltiplichiamo ambo i membri per $(13-2x)$, ricordando che dovrà essere $x!=(13)/2$, e otteniamo
$2x-13-52+8x=0=>10x=65=>x=(65)/(10)=(13)/2$.
Pertanto l’equazione non ammette soluzione reale.

Da un mazzo di $40$ carte si estrae successivamente una carta con reimmissione.

Da un mazzo di $40$ carte si estrae successivamente una carta con reimmissione.
Calcolare il numero minimo di carte da estrarre perchè la probabilità
che esca almeno una volta figura sia almeno del $90%$.

Svolgimento:
La probabilità che in n estrazioni non esca alcuna figura è
$P=(7/(10))^n$
La probabilità di estrarre almeno una figura è la probabilità complementare cioè
$P=1-(7/(10))^n$
Imponendo la condizione del testo si ha l’equazione:
$1-(7/(10))^n=0,9=>(7/(10))^n=1/(10)$
Passando ai logaritmi si trova:
$n=log_(7/(10))(1/(10))$
Trasformando il logaritmo in base $10$ si ottiene:
$n=(Log(1/(10)))/(Log(7/(10)))=1/(1-Log7)=6,4557$
Il numero minimo di estrazioni richiesto è perciò $7$.

$(3+|x|)/(2+|x|)>=6/5$

Svolgimento:
$(3+|x|)/(2+|x|)>=6/5$;
$(3+|x|)/(2+|x|)-6/5>=0$;
$((15+5|x|)-(12+6|x|))/(10+5|x|)>=0$;
$(15+5|x|-12-6|x|)/(10+5|x|)>=0$;
$(3-|x|)/(10+5|x|)>=0$;
la frazione non si annulla mai poichè il denominatore è $>0$ $AAx$, dunque C.E. è tutto $RR$;
dunque la disequazione è verificata quando è verificato il numeratore
$-|x|>=-3$
per $x>0: x<=3$
per $x<0: x>=-3$
Pertanto la soluzione dell’equazione è l’intervallo $[-3;3]$.