Il matematico e teologo inglese Thomas Bayes (1702-1761) introdusse l’uso induttivo della probabilità e gettò le basi dell’inferenza statistica nel saggio: Sulla soluzione di un problema relativo alla dottrina del caso, che fu pubblicato pubblicato postumo nel 1763.

In figura le probabilità condizionate ed il teorema di Bayes sono illustrate con l’aiuto dei diagrammi di Eulero – Venn.

Supponiamo che l’intera area tratteggiata rappresenti l’unità in modo tale che l’area del rettangolo giallo-verde rappresenti la probabilità P(A) dell’evento A e quella del rettangolo azzurro-verde la probabilità P(B) dell’evento B. L’evento congiunto in cui sono veri sia A che B è rappresentato dal rettangolo verde avente probabilità P(A&B).

La probabilità condizionata che, essendosi verificato B si verifichi anche A, é data dalla definizione P(A/B) = P(A&B)/P(B) cioè rettangolo verde rapportato al rettangolo azzurro-verde.

Nel caso semplice di due soli eventi (A e B) il teorema di Bayes, che qualcuno chiama formula di Bayes, si ottiene facilmente eguagliando il termine P(A&B) ricavato dalle due definizioni di probabilità condizionata.

Il teorema ci dice come deve essere modificata la stima della probabilità P(A) dell’evento A alla luce della nuova informazione che l’evento B si è verificato.

Il metodo induttivo di soluzione dei problemi si può avvalere del teorema di Bayes nel senso che esso può indicare man mano, come aumenta la probabilità di veridicità di una ipotesi scientifica con il verificarsi di sperimentazioni che la confermino (vedi Gilles, Giorello, la filosofia della scienza nel XX secolo, Laterza 1995, pag. 19-22).

Tutte le organizzazioni possono avvalersi del modello bayesiano per valutare come, nel tempo e all’accrescersi delle informazioni disponibili, possa variare la probabilità dei rischi e delle opportunità, cui singoli progetti o intere aree di businness sono soggette (vedi R.Chiappi, il foglio elettronico come strumento di problem solving, F.Angeli 2009, pag. 180-182).

Problema di Monty Hall: in un gioco a quiz il conduttore invita il concorrente a scegliere tra tre porte, sapendo che dietro due ci sarà una capra (inutilizzabile) e dietro una un auto che potrà essere, se individuata, un ricco premio. Dunque la probabilità di vincità è di 1/3. Il concorrente sceglie una porta. Supponiamo ora che il conduttore apra una delle due porte rimaste chiuse per fornire una ulteriore informazione al giocatore (naturalmente aprirà comunque una porta dietro cui si trova una capra) prospettando al concorrente la facoltà di cambiare la porta da lui inizialmente scelta con l’unica rimasta chiusa. La maggior parte delle persone, tra cui il celebre matematico ungherese Paul Erdos, hanno sostenuto che cambiare o meno porta sia indifferente: prima le porte chiuse erano tre con probabilità di successo di 1/3 ora le porte chiuse sono due con probabilità di successo di 1/2. E’ corretta questa posizione? Non è corretta perchè il conduttore, tra le due porte non scelte, aprirà obbligatoriamente quella che ha dietro una capra concentrando una probabilità di 2/3 sull’altra porta rimasta chiusa a fronte della probabilità di solo 1/3 di quella inizialmente scelta dal concorrente. Il teorema di Bayes indica correttamente:

P(A/B) = P(A) * P(B/A)/P(B) = 1/3 * [1/(1/2)] = 2/3.

Molti fisici e alcuni ingegneri sono convinti che le probabilità siano sempre e solo qualcosa di insito nel sistema che si sta studiando, invece in molte situazioni la stima delle probabilità dipende dal tipo e dalla quantità delle informazioni disponibili. Le aziende petrolifere, ad esempio, spendono soldi per effettuare test sismici sui giacimenti potenziali proprio allo scopo di accrescere le informazioni, ridurre le probabilità d’insuccesso ed affrontare i grandi investimenti di ricerca e sviluppo solo dove i risultati attesi sono allettanti ed i rischi sostenibili.

Bisogna scorgere la cosa con un solo sguardo, tutta in una volta, e non per processo di ragionamenti, almeno sino ad un certo limite. E’ così raro che i geometri siano spiriti fini e che gli spiriti fini siano geometri: infatti i geometri pretendono trattare geometricamente queste cose fini e si rendono ridicoli, volendo cominciare con le definizioni e farvi seguire i principi, che non è proprio la maniera di condursi in questo genere di ragionamenti". Blaise Pascal (1623-1662), Pensieri: Spirito di geometria e spirito di finezza.

"…se due giocatori si trovano in una situazione tale per cui se uno vince gli apparterrà una certa somma, e se perde apparterrà all’altro e se il gioco è tale che vi è ugual rischio per l’uno e per l’altro e di conseguenza uguali opportunità di vincita per l’uno e per l’altro, allora se i giocatori vogliono separarsi senza giocare la partita e prendere quello che gli appartiene legittimamente allora è necessario che dividano a metà la somma e che ciascuno prenda la sua". Trattato dei triangoli aritmetici.

"Amico lettore questo annuncio servirà per farti sapere che espongo al pubblico una piccola macchina di mia invenzione, per mezzo della quale tu potrai, senza alcun problema, fare tutte le operazioni aritmetiche sollevandoti da quella fatica dello spirito subita quando hai operato con i gettoni o con la penna… addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione si effettuano su questa macchina attraverso un unico movimento." La macchina dell’aritmetica.

Attorno a padre Mersenne si conobbero nella sua cella, o più largamente grazie ad una estesa corrispondenza, matematici, filosofi e astronomi quali: Galileo, Keplero, Hobbes, Desargues, Descartes, Gassendi e Fermat.  Etienne Pascal, padre di Blaise, frequentò attivamente questo circolo e iniziò a portare con se il figlio adolescente anche se al contempo gli sconsigliò d’interessarsi troppo alla matematica.

Non ancora ventenne Blaise ideò la sua famosa macchina calcolatrice capace di eseguire speditamente le principali operazioni aritmetiche (la caratteristica nuova e fondamentale di questa macchina era l’esecuzione del riporto automatico); ciò che lo aveva indotto a dedicarsi a tale argomento, era il desiderio di agevolare i conti del padre, che doveva occuparsi, per motivi di lavoro, della ripartizione delle tasse in Normandia. Il modello definitivo della "pascaline" (ne furono vendute una sessantina di esemplari) risale al 1645 e rappresenta per l’epoca un vero capolavoro. La sorella Gilberte scrisse: "Questa invenzione fa diventare meccanismo quello che per gli altri è solo un ragionamento".

Pascal, assieme a Fermat, è considerato uno dei fondatori dell’analisi combinatoria e del calcolo delle probabilità (vedi anche la scheda relativa ad Archimede). Blaise cominciò ad interessarsi a tali questioni su richiesta di amici che gli ponevano dei problemi relativi al gioco d’azzardo, ed in particolare a quello dei dadi.

Molti attribuiscono a lui la definizione classica di probabilità: rapporto tra risultati favorevoli e risultati totali (altri attribuiscono questa definizione a Laplace).

Oggi il calcolo delle probabilità, come base dell’analisi del rischio e delle opportunità, è considerato fondamentale per affrontare una vasta classe di problemi delle organizzazioni. L’incertezza non può essere eliminata dagli scenari che si costruiscono, ma può essere gestita attraverso due strumenti di cui si tornerà a parlare: il profilo del rischio di tempi e costi e le matrici impatto/probabilità. Esprit de geometrie (mentalità matematica, cartesiana e razionale) ed esprit de finesse (mentalità intuitiva, ed olistica con attenzione ai segnali deboli) sono le due modalità umane di ragionamento e di atteggiamento verso i problemi individuate da Pascal. E’ interessante osservare che oggi le neuroscienze ipotizzano che nel nostro cervello siano presenti due sistemi distinti: Il sistema 1 (simile allo esprit de finesse) intuitivo, veloce e in grado di fornire ai problemi soluzioni approssimate ed il sistema 2 (simile allo esprit de geometrie) logico, analitico, più sicuro, ma più lento.

"Volendo risolvere qualche problema si deve fin da principio considerarlo come già risolto, e assegnare una lettera ad ogni linea che si ritiene necessaria per costruirlo, sia a quelle che non sono note, sia alle altre. Poi senza far nessuna differenza tra quelle note e le incognite, bisogna svolgere il problema seguendo quell’ordine che più naturalmente di ogni altro mostra in qual modo le rette dipendono mutuamente le une dalle altre, fino a che non si sia riusciti a trovare il procedimento per esprimere una stessa quantità in due modi, fino cioè a che non si sia pervenuti a ciò che si chiama Equazione". René Descartes (1596-1650). La Geométrie.

Regulae ad directionem ingenii (i quattro precetti logici): "Il primo era di non accogliere mai nulla per vero, che non conoscessi in modo evidente esser tale, cioè di evitare accuratamente la precipitazione e la prevenzione; e di non comprendere mai nei miei giudizi se non quello che si presentasse così chiaramente e distintamente alla mia mente, da non lasciarmi possibilità di dubbio. Il secondo di dividere ciascuna delle difficoltà da esaminare in tutte le parti in cui fosse possibile e di cui ci fosse bisogno per meglio risolverle. Il terzo di condurre con ordine i miei pensieri, cominciando dagli oggetti più semplici e più facili a conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, sino alla conoscenza dei più composti e supponendo che ci sia pure un ordine tra quelli che non si precedono naturalmente l’un l’altro. E l’ultimo, di far dovunque delle enumerazioni così complete e delle rassegne così generali da non omettere nulla…" Discorsi sul metodo; per pilotare bene la propria ragione e ricercare la verità nelle scienze.

Probabilmente, dopo Aristotele, è Cartesio il filosofo a cui tutti coloro che si sono occupati di problem solving hanno fatto riferimento più o meno consapevolmente. Il fondamento della filosofia di Cartesio è il metodo del dubbio: egli esamina attentamente tutte le convinzioni che possiede cercando le ragioni per dubitare di ciascuna di esse. Una volta spintosi più in la possibile con tale procedura, qualsiasi convinzione rimasta sarà quella immune dal dubbio.

Oggi la scienza si spinge ancora oltre su questo cammino ritenendo che nessuna proposizione o teoria possa essere definitivamente immune dal dubbio: modelli e teorie potranno essere corroborate da nuove esperienze, ma potranno anche essere falsificate. Da qui l’inevitabile provvisorietà degli asserti scientifici.

Dopo il dubbio sistematico la seconda regola è quella di scomporre ogni problema in sottoproblemi più semplici. Questo principio di modularità che procede per scomposizione gerarchica è fondamentale in ogni tipo di organizzazione basti citare: gli organigrammi societari, la distinta base nelle aziende di produzione di serie, i diagrammi causa effetto nel controllo della qualità, le strutture di disaggregazione dei costi, la work breakdown structure nelle aziende operanti per progetto, le strutture di descrizione dei rischi.

Cominciare dalle situazioni più semplici è un metodo fondamentale per portare al successo i progetti di cambiamento incrementale. Con il cambiamento radicale si vuole affrontare tutto è subito, ma il rischio di rigetto da parte dell’organizzazione è forte. Con il cambiamento incrementale si usa spesso la tecnica del prototipo per garantire, velocemente dei successi iniziali dopo i quali è più facile traghettare l’intera organizzazione verso il nuovo.

La quarta ed ultima regola suggerita da Cartesio nei Discorsi sul metodo sembra la regola fondamentale di riferimento della cultura pragmatica anglo americana: fare sempre per ogni situazione problematica complessa delle check list, cioè dei controlli da effettuare prima di attuare le varie linee di azione risolutive.

Il primo pensiero presentato in questa scheda, tratto dalla Geometria, potrebbe essere una guida non solo per chi si occupa di ricerca e sviluppo o per i tecnici professionisti, ma anche per i manager e i quadri generalisti: tracciare grafici ad ascisse ed ordinate o impostare i termini di una equazione è oggi pane quotidiano per dar forma quantitativa a qualunque problema aziendale (marketing, produzione, amministrazione, risorse umane, ecc.).

Le aziende impiantistiche fanno ampio uso del principio di modularità cartesiano suddividendo i progetti in parti via via più piccole e quindi più facilmente gestibili: fasi (ingegneria, approvvigionamenti, costruzione, ecc.); sistemi (struttura, potenza, fluidi, comunicazioni, antincendio, ecc.); pacchetti di lavoro; discipline (elettrica, civile, meccanica, strumentale, ecc.); attività elementari.

Un pacchetto di lavoro, o anche un intero progetto, può essere misurato, pianificato e controllato mediante una serie di grandezze che lo caratterizzano (quantità di lavoro da svolgere, risorse necessarie, durate temporali, avanzamento fisico, costi). La forma letterale permette di rappresentare grandezze note, parametri ed incognite; permette inoltre di scrivere le relazioni tra esse e di rappresentarle con grande naturalezza mediante un sistema di assi cartesiani (vedi ad esempio: R.Chiappi, "Dimensionamento di un pacchetto di lavoro", Ingegneria economica, AICE 2002).

Devo confessare apertamente che non ho mai avuto gusto per lo studio e per la ricerca né in geometria né in fisica se non in quanto esse potevano servirmi come mezzi per arrivare a una qualche sorta di conoscenza delle cause prossime… per il bene e la comodità della vita, nel mantenere la salute, nella pratica di qualche arte… avendo osservato che buona parte delle arti si basa sulla geometria, come fra le altre il taglio delle pietre in architettura, l’arte delle meridiane e in particolare l’arte della prospettiva. (Girarard Desargues (1591-1661), ingegnere e architetto)

"Devo confessare apertamente che non ho mai avuto gusto per lo studio e per la ricerca né in geometria né in fisica se non in quanto esse potevano servirmi come mezzi per arrivare a una qualche sorta di conoscenza delle cause prossime… per il bene e la comodità della vita, nel mantenere la salute, nella pratica di qualche arte… avendo osservato che buona parte delle arti si basa sulla geometria, come fra le altre il taglio delle pietre in architettura, l’arte delle meridiane e in particolare l’arte della prospettiva.
Avendo constatato l’eccellenza e la bellezza di tali arti sono stato preso dal desiderio di capire, se mi fosse stato possibile, sia i fondamenti che le regole delle loro pratiche, quali si trovano e si vedono in uso, e ho scoperto allora che coloro che vi si dedicano ammettono di caricarsi la memoria di un gran numero di insegnamenti diversi, per ognuna di loro, che per la loro natura e condizione producono un ingombro incredibile nella loro mente e invece di aiutarli nell’esecuzione del compito, fanno loro perdere del tempo… oppure che la maggior parte dei pittori e degli altri artigiani lavorano andando alla ventura e a tentoni, senza una guida sicura, e conseguentemente con una incertezza e una fatica inimmaginabile. Il desiderio di alleviare, se possibile, alcune di queste pene, così faticose e spesso ingrate, mi ha spinto a cercare e a pubblicare per ciascuna di queste arti delle regole abbreviate… nuove, dimostrative, più facili da capire, da apprendere e da mettere in pratica."
Girarard Desargues (1591-1661), ingegnere e architetto.

Le idee di Desargues non ebbero risonanza nella comunità scientifica dell’epoca (ebbe però l’approvazione di alcuni geni della filosofia e della matematica tra cui Descartes, Fermat e Pascal che facevano parte del gruppo di matematici organizzato da padre Mersenne), ma furono invece al centro di grandi contestazioni e polemiche tra mediocri tecnici, che lo amareggiarono e stancarono tanto da farlo chiudere in una vita ritirata, a Lione, lontano dalla corte di Parigi, dedito all’insegnamento delle sue tecniche agli artigiani locali, confermando così la sua attenzione alla soluzione di problemi pratici ed applicativi (disegno in prospettiva, costruzione degli orologi, arte dei muratori, taglio delle pietre in architettura).

Il lavoro principale "Progetto di massima per studiare gli effetti dell’incontro di un cono con un piano" non fu compreso dai contemporanei anche se la sua idea era l’incarnazione della semplicità: Tutti sanno che un cerchio se guardato di sbieco, presenta l’aspetto di un ‘ellisse, o che il contorno dell’ombra di un paralume sarà un cerchio o un’iperbole a seconda che sia proiettata sul soffitto o su una parete. Forme e dimensioni mutano a seconda del piano di incidenza che taglia il cono dei raggi visivi o luminosi… nell’accogliere questa concezione Desargues dovette assumere, come aveva fatto Keplero, che la parabola aveva un fuoco all’infinito e che le rette parallele si incontrano in un punto all’infinito (Vedi Carl Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori).

Desargues restò praticamente sconosciuto per quasi due secoli, fino a quando Poncelet, nella prima metà del XIX secolo, leggendo proprio i detrattori di Desargues, si rese pienamente conto dell’importanza di quelle idee che, da un punto di vista teorico diedero origine alla geometria proiettiva e descrittiva.

Nel linguaggio di Desargues una linea retta veniva chiamata palma. Due punti segnati su una retta erano detti tronco. Una retta contenente tre coppie di punti in involuzione era un albero. L’intento di Desargues era quello di conseguire una maggior chiarezza evitando l’ambiguità dei termini usati comunemente.

Le strane definizioni coniate da Desargues hanno lo scopo di creare un nuovo ambiente concettuale, nuove immagini mentali capaci di suggerire all’intuizione uno spazio nel quale far convivere il finito e l’infinito attuale, al fine di rimuovere gli ostacoli derivanti dalla classica visione euclidea del piano e dello spazio. In questo nuovo ambiente la mente può imparare ad orientarsi immaginando le figure dinamicamente nel loro processo di degenerazione quando una loro parte va all’infinito.