$(1-b/(a+b))(1+b/(a-b))(1-b^2 / a^2)$
$a/(a+b) * a/(a-b) * ((a-b)(a+b))/a^2=1$
semplificando numeratori con denominatori
$a^2+3a+2-(x+1)(a+2)$
Scompongo il primo trinomio come trinomio notevole, cercando due numeri la cui somma sia +3, prodotto +2. I due numeri sono +2 e +1.
$(a+2)(a+1)-(x+1)(a+2)$
$(a+2)[a+1-(x+1)]$
$(a+2)(a+1-x-1)$
$(a+2)(a-x)$
$(y+2)(b^2-1)+by-y+2b-2$
$(y+2)(b+1)(b-1)+y(b-1)+2(b-1)$
$(b-1)[(y+2)(b+1)+y+2]$
$(b-1)(by+y+2b+2+y+2)$
$(b-1)(by+2y+2b+4)$
$(b-1)[y(b+2)+2(b+2)]$
$(b-1)(b+2)(y+2)$
Le foto dei vincitori delle nostre gare ma anche di moderatori e amministratori. La grande community degli appassionati di matematica. Partecipa anche tu alle nostre iniziative.
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 Patrizia |
 Alessandro |
 Lorenzo |
Giacomo |
 Antonio Coretti |
 Silvia Rossi [silrossi] |
 Andrea Colongo |
 Guido Giatti [motobi] |
 Francesca Scipioni |
 Pietro Bugnoli |
 Marco Martignetti |
 alexander pigazzini |
 federico conte |
 seven |
 raptorista |
 davide gerosa |
 andreatreno |
 daniele moretto |
 alberto de marco |
 luigi licalsi |
 luca francesca |
 martino |
 fields |
 maria carla palmieri |
 luca lussardi |
 michele bortolazzi |
 cheguevilla |
 luca rognoni |
 gilberto pellati |
 luca arduini |
 pisolo |
 amelia |
 andrea marmiroli |
 cpeg52 |
 fioravante patrone |
 patrizio monatti |
 antonio bruno |
 silvio calgaro |
 camillo enrico |
 luciano bassetti |
 Michele T. Mazzucato |
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$sqrt((x^3 +8)/(2-x)) * root(3)(x^2 /(x^2+2x)) * sqrt((4-x^2)/(2+x))$
Scompongo in fattori
$sqrt(((x +2)(x^2 -2x+4))/(2-x)) * root(3)(x^2 /(x(x+2))) * sqrt(((2-x)(2+x))/(2+x))$
Semplifico numeratore e denominatore nell’ultima radice
$sqrt(((x +2)(x^2 -2x+4))/(2-x)) * root(3)(x^2 /(x(x+2))) * sqrt(2-x)$
m.c.m degli indici delle radici è 6.
Mettendo tutto sotto una stessa radice di indice 6 si ha
$root(6)(((x +2)^3 (x^2 -2x+4)^3)/(2-x)^3 * x^4 /(x^2 (x+2)^2) * (2-x)^3)$
semplificando i termini uguali si ha
$root(6)(x^2 (x+2)(x^2-2x+4)^3)
Scomporre il numero 15 in due numeri la cui somma è 15 e la somma dei loro quadrati è 117.
Pongo $x$ uno dei due numeri, l’altro numero sarà $15-x$
La relazione del problema è
$x^2 +(15-x)^2 =117$
Sviluppo il quadrato di binomio
$x^2+225-30x+x^2-117=0$
$2x^2-30x+108=0$
$x^2-15x+54=0$
Applico la formula risolutiva
$x_(1,2)=(15 \pm sqrt(225-216))/2 = (15 \pm sqrt(9))/2 = (15 \pm 3)/2$
$x_1 =9$
$x_2 = 6$
$(2sqrt(3)-sqrt(2))(sqrt(3)+sqrt(2))-(sqrt(3)-sqrt(2))^2+sqrt(2)(2sqrt(2)-sqrt(3))$
$2 sqrt(9) +2 sqrt(6) – sqrt(6) – sqrt(4) – (3 -2 sqrt(6) +2) +2 sqrt(4) – sqrt(6)$
eliminando le radici di quadrati perfetti
$6+ sqrt(6) -2 -3 +2 sqrt(6) -2+4- sqrt(6)$
$5+2 sqrt(6)$
$(5+2 sqrt(2))*sqrt(33-20*sqrt(2))$
Portiamo sotto radice elevando al quadrato
$sqrt((5+2 sqrt(2))^2 *(33-20*sqrt(2)))$
$sqrt((25+8+20 sqrt(2))*(33-20 sqrt(2)))$
$sqrt((33+20 sqrt(2))*(33-20 sqrt(2)))$
$sqrt(33^2 -400*2)$
$sqrt(1089-800)$
$sqrt(289)$
$17$
$root(6)((x-y)/(x+y)) * root(4)(y/x) * root(3)((x^2 +xy)/(xy-y^2)) : root(12)(x/y)$
Il m.c.m. degli indici è 12
$root(12)((x-y)^2 /(x+y)^2 * (y^3)/(x^3) * (x^4(x+y)^4)/(y^4(x-y)^4) * y/x)$
Semplificando opportunamente i fattori del numeratore con quelli del denominatore si ha
$root(12)((x+y)^2 /(x-y)^2)$
semplificando le potenze con l’indice della radice si ha
$root(6)((x+y)/(x-y))$
$(2x-a)/a – (x+a)/(3a) =1-x/2$
m.c.m. $6a \ne 0 \rarr a \ne 0$
Se $a \ne 0$
$6(2x-a)-2(x+a)=6a-3ax$
$12x-6a-2x-2a=6a-3ax$
$10x+3ax=14a$
$x(10+3a)=14a$
1. Se $10+3a = 0 \rarr a=-10/3$ e $14a=0 \rarr a=0$ l’equazione è indeterminata, tuttavia per le condizioni di esistenza $a=0$ non può verificarsi mai.
2. Se $10+3a=0$ e $14a \ne 0$ l’equazione è impossibile.
3. Se $a \ne 0$ e $a \ne -10/3$ la soluzione è $x=(14a)/(10+3a)$
$2x-1/3 +(1-1/3)(x-1/5)=(x+1)(2-1/5)+3x-2/15$
Eseguo la somma nelle parentesi tonde
$2x-1/3+2/3 (x-1/5)=(x+1)(9/5)+3x-2/15$
$2x-1/3 +2/3 x -2/15 = 9/5 x +9/5+3x-2/15$
m.c.m. 15
$30x-5+10x-2=27x+27+45x-2$
porto a primo membro i termini con la x, a secondo membro quelli senza x
$30x +10x -27x -45x=5+2+27-2$
$-32x=32$
$x=-32/32 = -1$
Di quanto si devono aumentare ugualmente i numeri 8, 10, 16 affinché la somma dei primi due sia i $13/10$ del terzo?
X = aumento
$(8+x)+(10+x)= 13/10 (16+x)$
sommando i termini simili e moltiplicando al secondo membro si ha
$18+2x = 208/10 +13/10 x$
m.c.m. 10
$180+20x=208+13x$
Porto i termini con x al primo membro e quelli senza x al secondo
$7x=28$
$x=4$
$x/(bx+b-x-1) – x/(bx+b+x+1) – 2/(b^2 -1)$
Scompongo in fattori i denominatori raccogliendo a fattore comune parziale
$x/(b(x+1)-(x+1))- x/(b(x+1)+(x+1)) – 2/((b-1)(b+1))$
$x/((x+1)(b-1)) – x/((x+1)(b+1)) – 2/((b-1)(b+1))$
procedo con il m.c.m.
$(x(b+1)-x(b-1)-2(x+1))/((x+1)(b+1)(b-1))$
moltiplo
$(xb+x-xb+x-2x-2)/((x+1)(b+1)(b-1))$
$-2/((x+1)(b+1)(b-1))$
$(4/(x^2-4) – (x-2)/(x+2))(1-6/(4-x))(1-2/x)$
$(4/((x-2)(x+2)) – (x-2)/(x+2))((4-x-6)/(4-x))((x-2)/x)$
$(4-(x-2)(x-2))/((x+2)(x-2))*(-x-2)/(4-x)*(x-2)/x$
$(4-(x-2)(x-2))/((x+2)(x-2))*-(x+2)/(4-x)*(x-2)/x$
$(4-x^2+4x-4)*(-1)/(x(4-x))$
$(-x^2+4x)*(-1)/(x(4-x))$
$x(-x+4)*(-1)/(x(4-x))$
$=-1$
$4(x^2 -1)(x^2 +1)-17x^3 =-17x$
$4(x^2 -1)(x^2 +1)-17x^3 +17x=0$
metto a fattore comune $-17x$ tra gli ultimi due termini
$4(x^2 -1)(x^2 +1)-17x(x^2 -1)=0$
metto a fattore comune $(x^2 -1)$
$(x^2 -1)[4(x^2 +1) -17x]=0$
applicando la legge di annullamento del prodotto pongo uguale a 0 i due fattori
primo fattore
$x^2 -1=0 \rarr x^2=1 \rarr x= \pmsqrt(1) = \pm1$
secondo fattore
$4(x^2 +1) -17x=0$
$4x^2 +4 -17x=0$
$4x^2 -17x +4=0$
Applicando la formula risolutiva
$x_(1,2) = (17 \pm sqrt(289-64))/8 = (17 \pm 15)/8$
$x_1 = (17-15)/8 = 2/8 = 1/4$
$x_2 = (17+15)/8 = 32/8 = 4$
In definitiva le soluzioni sono $-1; +1, 1/4; 4$
$(x-1)/(a-3) + (x+1)/(a-2) = (4(a^2 -6)-2)/(a^2 -5a +6)$
scompongo il denominatore dell’ultima frazione cercando due numeri la cui somma è -5, prodotto è 6. Questi due numeri sono -3 e -2. L’ultima frazione allora si scompone nel seguente modo
$(x-1)/(a-3) + (x+1)/(a-2) = (4(a^2 -6)-2)/((a-3)(a-2))$
il m.c.m. è $(a-3)(a-2)$
$((x-1)(a-2)+ (x+1)(a-3))/((a-3)(a-2)) = (4(a^2 -6)-2)/((a-3)(a-2))$
Nella condizione $(a-3)(a-2) \ne 0$, cioè $a \ne 3; a \ne 2$ il denominatore comune si può togliere.
$xa-2x-a+2+xa-3x+a-3=4a^2 -24-2$
porto a sinistra di = i termini con la x e a destra quelli senza x
$2ax-5x=4a^2 -25$
$x(2a-5)=4a^2 -25$
Discussione dell’equazione
1. se $2a-5 \ne0$ la soluzione è $x = (4a^2 -25)/(2a-5) = ((2a-5)(2a+5))/(2a-5) = 2a+5$
2. se $2a-5=0$ l’equazione diventa $0=0$ equazione indeterminata.
$2[(a+b)/(a-b) : ((2b)/(a-b) +1)]x+ (x-b)/(b-1) =1/2 x -1$
$2[(a+b)/(a-b) : (2b+a-b)/(a-b)]x+ (x-b)/(b-1) =1/2 x -1$
sommando al numeratore
$2[(a+b)/(a-b) : (b+a)/(a-b)]x+ (x-b)/(b-1) =1/2 x -1$
eseguo la divisione nella parentesi quadra sostituendo la seconda frazione con il reciproco
$2[(a+b)/(a-b) * (a-b)/(b+a)]x+ (x-b)/(b-1) =1/2 x -1$
le frazioni nella parentesi quadra si possono semplificare
$2x+ (x-b)/(b-1) =1/2 x -1$
m.c.m. $2(b-1)$
$(4x(b-1)+2(x-b))/(2(b-1)) = (x(b-1)-2(b-1))/(2(b-1))$
Nella condizione $b-1 \ne 0$ si può togliere il denominatore comune
$4bx-4x+2x-2b = bx-x-2b+2$
metto a sinistra dell’uguale i termini con la x, a destra i termini senza la x
$4bx-4x+2x-bx+x=2b-2b+2$
$3bx-x=2$
$x(3b-1)=2$
Discussione dell’equazione
1. se $3b-1 \ne 0$ allora la soluzione è $x= 2/(3b-1)$
2. se $3b-1=0$ l’equazione è del tipo $0=2$, equazione impossibile.
$(1-x)/(x+1) +(a+b)/(a-b) -(2bx+2b)/(ax+a-bx-b)=x^2 /(2b^2 x+2b^2)$
$(1-x)/(x+1) +(a+b)/(a-b) -(2bx+2b)/(a(x+1)-b(x+1))=x^2 /(2b^2 (x+1))$
$(1-x)/(x+1) +(a+b)/(a-b) -(2bx+2b)/((a-b)(x+1))=x^2 /(2b^2 (x+1))$
Il m.c.m. è $2b^2 (x+1)(a-b)
da cui le condizioni di esistenza $b \ne 0$, $x \ne -1$, $a \ne b$
Nelle condizioni in cui il denominatore è diverso da zero si può calcolare il m.c.m. su tutta l’equazione e poi toglierlo, si ottiene
$2b^2 (a-b)(1-x)+2b^2 (x+1)(a+b)-(2bx+2b)2b^2 = x^2 (a-b)$
Eseguiamo parte delle moltiplicazioni
$2b^2 (a-ax-b+bx)+2b^2 (ax+bx+a+b)-4b^3 x -4b^3 = ax^2-bx^2$
$2ab^2 -2ab^2x -2b^3+2b^3x+2ab^2x+2b^3x+2ab^2 +2b^3 -4b^3 x -4b^3 -ax^2 +bx^2 =0$
$bx^2 -ax^2 +x(-2ab^2 +2b^3 +2ab^2 +2b^3 -4b^3) +2ab^2 -2b^3 +2ab^2 +2b^3=0$
eliminando i termini opposti
$bx^2 -ax^2 +2ab^2 +2ab^2 =0$
mettendo a fottore comune $x^2$
$x^2 (b-a)+4ab^2 =0$
Discussione dell’equazione:
1) se $b-a \ne 0$ l’equazione ha soluzione $x^2 =-(4ab)/(b-a) \rarr x= \pm sqrt((4ab^2)/(a-b))$
1.1) Occorre imporre la condizione $x \ne -1$, cioe se $(4ab^2)/(a-b) = 1$ la soluzione $x= -sqrt((4ab^2)/(a-b))$ va scartata.
2) se $b-a=0$ e $ab^2 =0$ l’equazione è indeterminata.
3) se $b-a=0$ e $ab \ne 0$ l’equazione è impossibile.
Per quali valori del parametro $K$ l’equazione
$(2-k)x^2-2(2k-3)x+6-5k=0$
ha radici coincidenti?
ha soluzione -1?
$Delta=0$
$[-2(2k-3)]^2-4(2-k)(6-5k)=0$
$4(4k^2 -12k+9)-4(12-10k-6k+5k^2)=0$
dividendo l’equazione per 4 si ha
$4k^2-12k+9-(12-16k+5k^2)=0$
$4k^2-12k+9-12+16k-5k^2=0$
$-k^2+4k-3=0$
$k^2-4k+3=0$
Invece di applicare la formula risolutiva possiamo cercare due numeri la cui somma è 4, prodotto 3. I due numeri sono 3 e 1.
I valori cercati sono quindi $K=1$, $k=3$
L’equazione ha soluzione -1
$(2-k)(-1)^2-2(2k-3)(-1)+6-5k=0$
$2-k+2(2k-3)+6-5k=0$
$2-k+4k-6+6-5k=0$
$-2k+2=0$
$-2k=-2$
$k=-2/-2=1$
Monica65, Pitocco85 e TheWiz@rd vincono le ultime tre magliette Maticamente.it-Winner.
MA NON FINISCE QUI… si è conclusa la versione estiva della gara ma presto inizierà la gara annuale con ricchissimi premi: scaldate i motori… anzi rinfrescate il cervello Vai ai quiz >> .
Hanno vinto finora: Monica65 (8000), Pitocco85 (8000), TheWiz@rd (8000), elvi 78 (7500), elvi78 (7000), mannrie (6500), marilù (6000), marilù (5500), giovannino.greco (5000), Rinos (4500 punti), Medicum82 (4000 punti), Linuxiano (3500 punti), FriFri (3.000 punti), Cpeg 52 (2.000 punti) .
La teoria copernicana non è per Giordano Bruno (Nola 1548 – Roma 1600) solo un nuovo sistema astronomico e neanche una sola nuova ipotesi matematica: è una nuova concezione del mondo, la conquista di una verità e uno strumento di liberazione: "Questa è quella filosofia che apre gli sensi, contenta il spirito, magnifica l’intelletto e riduce l’uomo alla vera beatitudine, che può avere un uomo".
Ma Bruno andò per alcuni versi oltre Copernico e Galileo affermando l’infinità dell’universo e della relatività di tutte le posizioni dei corpi celesti; a causa della dimensione infinita, tutto è centro e periferia: "Il mondo essere infinito, e però non essere corpo alcuno in quello al quale simplicemente convenga essere nel mezzo o nell’estremo, o fra que’ due termini… Cotal spacio lo diciamo infinito, perché non v’è raggione, convenienza, possibilità, senso o natura che debba finirlo… La Terra dunque non è absolutamente in mezzo dell’universo, ma al riguardo di questa nostra regione… Così si magnifica l’eccellenza di Dio, si manifesta la grandezza dell’imperio suo: non si glorifica in uno, ma in Soli innumerevoli; non in una terra, in un mondo, ma in duecentomila, dico in infiniti". (Opere italiane, I, 275, 309)
Movimento e mutamento sono per Bruno realtà positive. Quiete e stasi sono sinonimo di morte. Solo ciò che muta è vivente e la perfezione coincide con il divenire e il mutamento. Bruno si richiama a Democrito, Epicuro e Lucrezio che ritengono che tutto si rinnovi nell’infinito universo e che questo sia preferibile a quello di coloro che si sforzano "di salvare eterna la costanza dell’universo, perchè medesimo numero a medesimo numero sempre succeda e medesime parti della materia con le medesime sempre si convertano".
L’esistenza di mondi non coordinati e l’idea di un universo "posto a caso" è al centro della speculazione di Bruno. Copernico, Tyco Brahe, Keplero, Galilei e Newton (pur con significative differenze) mantengono invece ben salda l’immagine di un universo ordinato espressione di un disegno divino che si manifesta con principi, archetipi geometrici o leggi matematiche.
Il vuoto infinito della tradizione democritea e lucreziana diventa per Bruno una sorta di sede naturale per il sistema solare di Copernico e per una pluralità di altri sistemi simili. Si è parlato a proposito dell’universo di Bruno (che anticipa in qualche misura il panteismo di Spinoza), di astrobiologia: egli infatti non si limita a interpretare le sfere e gli epicicli come "empiastri e ricettarii per medicar la natura… al servizio di maestro Aristotele"; rifiuta anche la circolarità e la regolarità dei moti celesti e l’idea stessa di ogni movimento "continuo e regolare circa il centro"; afferma l’impossibilità, nell’universo fisico, di moti perfetti e forme perfette (come i solidi platonici da cui Keplero era all’inizio affascinato e condizionato). Nelle leggi dei moti dei corpi celesti Bruno vede qualcosa che è proprio dei singoli astri e pianeti ed affida alla "anima propria" degli astri stessi il cammino che essi compiono nei celi: "Questi corridori hanno il principio di moti intrinseco la propria natura, la propria anima, la propria intelligenza". È probabile che Bruno volesse farsi conoscere, dimostrare l’eccellenza della sua preparazione filosofica e della sue capacità didattiche, per ottenere un incarico d’insegnante, costante ambizione di tutta la sua vita. Anche la sua adesione al calvinismo era mirata a questo scopo; Bruno fu in realtà indifferente a tutte le confessioni religiose: nella misura in cui l’adesione a una religione storica non pregiudicasse le sue convinzioni filosofiche e la libertà di professarle, egli sarebbe stato cattolico in Italia, calvinista in Svizzera, anglicano in Inghilterra e luterano in Germania.
Il secondo dialogo del Cantus Circaeus è un manuale di mnemotecnica, l’arte «che mostra la via e apre l’ingresso a massime invenzioni», ove in particolare Bruno mostra come memorizzare il dialogo precedente. Al testo si fa corrispondere uno scenario che viene via via suddiviso in un maggior numero di spazi, come un appartamento diviso in stanze i cui mobili e i vari oggetti lì contenuti sono le immagini corrispondenti ai concetti espressi nello scritto.
Ricordo un bravissimo consulente britannico che per aiutare a memorizzare il Project Management Body of Knowledge (composto da un capitolo per ogni area di competenza: Scopo del lavoro, Tempi, Costi, Qualità, Rischi, Comunicazione…) suggeriva di rompere il fascicolo e mettere i vari capitoli in stanze diverse così quando si andava in soggiorno si rifletteva sulla comunicazione, in bagno sui tempi, in studio sui costi, in cucina sulla qualità, in camera da letto sui rischi, ecc. Un modo per memorizzare gli argomenti e superare l’esame per divenire Project Management Professional!
L’8 febbraio 1600 Giordano Bruno è costretto ad ascoltare inginocchiato la sentenza di condanna a morte per rogo; si alza e ai giudici indirizza la storica frase: "Forse tremate più voi nel pronunciare questa sentenza che io nell’ascoltarla". Dopo aver rifiutato i conforti religiosi e il crocefisso, il 17 febbraio, con la lingua serrata da una morsa perché non potesse parlare o lanciare maledizioni, muore bruciato a Roma in Campo de’ Fiori.
In Inghilterra, ad Oxford non tutti gradirono le novità di Bruno come testimonierà quattro anni dopo la sua morte l’arcivescovo di Canterbury Georg Abbot, che essendo stato presente alle lezioni di Bruno, scrisse. «quell’omiciattolo italiano… intraprese il tentativo, tra moltissime altre cose, di far stare in piedi l’opinione di Copernico, per cui la terra gira e i cieli stanno fermi; mentre in realtà era la sua testa che girava e il suo cervello che non stava fermo».
Bruno sperò d’ottenere il diritto del filosofo ad esprimere una sua concezione del mondo e del divino, lasciando alla Chiesa il governo delle coscienze del popolo; ma da un lato questa richiesta di libertà di pensiero si scontrò tragicamente con una età che stava invece imboccando la via dell’intolleranza e delle guerre di religione. Dall’altro, come profeta dell’infinito, Bruno inaugurava la grande lotta del pensiero moderno e della scienza contro ogni principio d’autorità e ogni tradizione dogmatica.
Laboratorio di Informatica – Cabri Metodi geometrici per l’algebra. Fisica classica Fenomeni ondulatori in acustica. Calcolo combinatorio.
Si propone un metodo grafico per la risoluzione di equazioni di primo e secondo grado, allo scopo di sottolineare il rapporto strettissimo che intercorre tra l’algebra e la geometria. Questo rapporto, com’è noto, non si stabilisce solo con la geometria cartesiana ma ha la sua origine nella cosiddetta algebra geometrica di Euclide, sviluppata anche dalla tradizione algebrista italiana.
Con la presente attività, a partire da semplici equazioni e traducendo in oggetti geometrici i suoi termini si vuole evidenziare il significato delle equazioni e delle relazioni che sussistono tra i coefficienti dei suoi termini, al di là del mero calcolo risolutivo.
A supporto della teoria, si farà uso del software Cabri che permette di realizzare ambienti didattici fortemente interattivi nei quali si moltiplicano le possibilità di verificare le proprie intuizioni, di vedere" gli oggetti matematici, di capire più a fondo gli aspetti teorici della disciplina.
La possibilità di realizzare figure dinamiche con un software di semplice utilizzo (anche se, purtroppo, commerciale) investe la geometria di un fascino nuovo, verso il quale gli studenti non sono, in genere, insensibili. Inoltre la visualizzazione gra ca aiuta probabilmente la memoria a fissare meglio i concetti appresi.
L’acustica e soprattutto l’acustica musicale è un argomento che suscita grande interesse negli studenti, molti dei quali suonano qualche strumento o più semplicemente sono forti consumatori di musica.
Questo lavoro si divide in due parti: la prima è una breve descrizione della metodologia didattica che secondo me si potrebbe utilizzare per introdurre l’argomento; la seconda una altrettanto breve descrizione dei contenuti, pensata per gli studenti (quindi con gli strumenti matematici in loro possesso) di un triennio della scuola secondaria di secondo grado. In particolare ho assunto lo studio delle onde e delle onde armoniche come prerequisito, esponendo soltanto i fenomeni ondulatori relativi al suono.
Bibliografia e siti web consultati
P.A. Tipler. Corso di sica, vol. 1. Zanichelli.
U. Amaldi. La sica per i licei scienti ci, vol. 2. Zanichelli.
G.P. Parodi, M. Ostili, G. Mochi Onori. L’evoluzione della sica, vol. 2. Paravia.
N. Dodero, P. Baroncini, e R. Manfredi, Lineamenti di analisi e calcolo combinatorio. Ghisetti e Corvi, Milano, 2004.
P. Gangemi. Insalate di matematica. Sironi Editore, Milano, 2006.
L.L. Radice e L. Mancini Proia. Il metodo matematico. Principato editore, Roma, 1978.
G. Zwirner e L. Scaglianti. Conoscenze e strategie nella matematica. CEDAM, Padova, 1991.
http://macosa.dima.unige.it/
http://didmat.dima.unige.it/
http://www.ciram.unibo.it/~barozzi/Net_Schede/
http://math.unipa.it/~grim/
http://www.batmath.it/index.asp
http://it.wikipedia.org
http://www.cpdm-td.unina.it
http://www.uop-perg.unipa.it/promonda/pagine
http://users.libero.it/prof.lazzarini/
http://www.ciim26.unimore.it/abstract/abs_ghione.pdf
http://matematica.unibocconi.it/cardano/equazioni-algebra.htm
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/seconda/MAT_2009.PDF
Scarica la tesina SIIS sull’Acustica
Non è facile vincere il computer al gioco del Tris, si può solo sperare di pareggiare. Il nostro computer però è un po’ distratto, all’inizio è facile vincerlo, poi diventa sempre più difficile. L’importante è cercare di non perdere e sconfiggerlo quando si distrae. I primi 5 nella classifica di questo gioco alle 22.00 di venerdì 26 giugno vincono la maglietta Matematicamente.it-Winner. Chi ha già vinto la maglietta può richiedere la borsa. >> vai al gioco del tris >>
Nella sezione maturità circa 100 temi di matematica svolti degli ultimi anni per l’esame di stato per il liceo sceintifico, sessioni ordinarie, suppletive, scuole italiane all’estero.
Vedi tutti i temi svolti di matematica per il liceo scientifico >>
Nella sezione tesine oltre 600 tesine di ragazzi che si sono maturati negli anni precedenti. E’ sconsigliato copiare le tesine, con una semplice ricerca su Google è possibile rintracciare da dove si è copiato; è utile invece consultare il lavoro degli altri, trarre spunti e idee, consultare la bibliografia e trovare una propria idea originale per la tesina.
Beppe Scienza, Il Risparmio Tradito, Come difendersi da bancari, assicuratori… e giornalisti, Prefazione di Beppe Grillo, Edizioni Libreria Cortina, Torino, 2009.
La prima edizione de “Il risparmio tradito” risale al 2001; Matematicamente.it ne ha già parlato. Beppe Scienza, occasionale collaboratore del nostro sito web, è un matematico (insegna all’Università di Torino) che ama dire quanto la nuda matematica sostiene. Per il mondo del giornalismo economico, e ancor più quello di bancari, assicuratori e consulenti finanziari la matematica è considerata una delle tante opinioni possibili, la realtà e la verità sembrano non esistere, esistono soltanto libere interpretazioni di grafici, percentuali e rendimenti.
Beppe Scienza è matematico coraggioso, anche il suo editore, non tanto perché spara a zero sugli imbrogli dei praticoni del risparmio –troppo facile, è come sparare sul pianista – quanto perché inchioda alla nuda realtà dei numeri i cosiddetti giornalisti economici delle principali testate italiane. Incastrare il modo della carta stampata di settore, con le potenze economiche che lo sostengono, con la impenetrabile e incomprensibile commistione tra editoria, banche e politica, è impresa non da poco.
Il libro riprende il tema delle bugie sui fondi comuni italiani, tema abbondantemente sviluppato anche nelle precedenti edizioni. Mettendo a confronto i dati reali, invece di quelli dei depliant delle stesse banche proponenti, i risultati sono un vero e proprio disastro. Il prof. Scienza denuncia il fatto che la banca è in realtà ‘il peggior nemico del risparmiatore italiano’, in quanto essa si presenta come consulente quando invece è proprio il suo principale concorrente. Il risparmiatore rimane intrappolato tra le argomentazioni di chi crede lo stia consigliando bene (il banchiere di turno) il quale si avvale a volte di articoli della carta stampata che spesso si limitano a ricopiare i depliant pubblicitari dei prodotti bancari dei grossi gruppi, al punto che il disarmato risparmiatore non ha nessun riferimento oggettivo, è vittima di una sistematica opera di disinformazione, di un fuoco incrociato di banche, assicurazioni, reti porta a porta… e giornalisti.
“E’ logico che le banche cerchino il profitto: non sono mica istituzioni benefiche”, sembra essere questa l’affermazione di fondo dei soliti furbi ma anche la rassegnazione del risparmiatore ‘tradito’. Beppe Scienza denuncia:
“Pure un industriale o un negoziante puntano al profitto, ma di regola lo conseguono senza danneggiare i loro clienti. La differenza è che al risparmiatore la banca non mira a offrire una merce o servizio in cambio di denaro, come fa una casa automobilistica, una pettinatrice ecc. Il suo primo obiettivo è impedirgli di investire da solo. Ammettiamo infatti che la banca gli lasci comprare un titolo di stato: in una certa situazione dei tassi il risparmiatore otterrà per es. un 4% annuo e la banca solo una commissione di vendita o collocamento dell’ordine dello 0,50% una tantum. Ecco allora che essa ricorre a ogni mezzo per appioppargli invece una obbligazione scadente, un fondo, una polizza ecc. Così incamererà magari un 3% ogni anno, direttamente o tramite società a essa collegate, e al cliente resterà solo un 1%.”
Ciò che c’è di nuovo nel libro di Scienza rispetto all’edizione precedente è l’attenzione a un vero e proprio imbroglio fatto ai danni dei lavoratori italiani che sono stati convinti, per fortuna solo in parte, ad abbandonare il Trattamento di fine rapporto (TFR) o di fine servizio (TFS) per avventurarsi verso pseudo polizze vita e fondi pensione altamente pericolosi. “Una delle tante frottole sulla previdenza integrativa è che sarebbe più sicura delle pensioni dell’Inps e dello Stato. E’ vero esattamente il contrario” afferma Beppe Scienza. “Le tanto denigrate pensioni pubbliche incorporano garanzie che il privato non offre. Fare affidamento su di esso per la propria vecchiaia è un bell’azzardo. […] non c’è solo il rischio di un crac della compagnia di assicurazione e l’assenza di un fondo di garanzia che invece esiste per conti correnti e libretti bancari.”
La nuova edizione de “Il Risparmio Tradito” contiene una guida di 35 pagine circa su un tema particolarmente delicato in un periodo di grave crisi economica: “Come salvare i propri soldi”. La guida si articola su tre temi principali: l’obiettivo della massima sicurezza, la diversificazione degli investimenti, le forme di previdenza TFR, TFS, fondi pensione e polizza vita.
Il mondo della finanza, avverte Beppe Scienza, è infestato da farabutti, per questo, anche controvoglia è meglio occuparsi in prima persona dei propri soldi. La diffidenza in questo campo è d’obbligo. La prima regola è quella di diffidare delle affermazioni, dei dati, dei consigli contenuti negli articoli e nelle interviste sul risparmio come questo libro documenta con oltre 370 citazioni prese da giornali e riviste specializzate. Per sopravvivere è necessario imparare a filtrare le notizie.
La guida di Beppe Scienza è abbastanza dettagliata e passa in rassegna le numerose forme di investimento trasparenti che pure esistono. Chi si è già reso conto che i propri soldi vanno salvaguardati dai tanti ‘ladri’, anche in giacca e cravatta dall’apparente onestà e operosità, è bene che si metta a leggere con calma questa guida, magari attrezzato di carta, matita e calcolatrice.
http://www.dm.unito.it/personalpages/scienza/
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In questo articolo si presenta un noto algoritmo di clustering che si chiama k-means, inserendolo nel contesto dell’analisi dei dati non tradizionale (Data Mining). Attraverso questa divulgazione, si spera di stimolare la curiosità dei lettori su questa tecnica e sul Data Mining. Si utilizza il software Geogebra per la geometria dinamica, adoperandolo per le rappresentazioni grafiche e per alcuni calcoli elementari.
$1/(x+2a) +1/(x-2a) = (2a)/(x^2-4a^2)$
scompongo in fattori i denominatori
$1/(x+2a) +1/(x-2a) = (2a)/((x-2a)*(x+2a))$
m.c.m. $(x-2a)(x+2a)$
$x-2a \ne 0$ da cui $x \ne 2a$
$x+2a \ne 0$ da cui $x \ne -2a$
L’equazione diventa
$x-2a+x+2a=2a$
$2x=2a$
$x=a$
Il biglietto d’ingresso del museo costa 5€ per i bambini e 10 € per gli adulti. Sapendo che un giorno sono stati venduti 370 biglietti e l’incasso è stato di 3100 € calcola il numero di adulti e di bambini che sono entrati al museo.
x = numero di adulti
y = numero di bambini
$x+y=370$ il totale degli spettatori è stato 370
$5y+10x=3100$ il totale dell’incasso è stato 3100 euro
${(x+y=370),(5y+10x=3100):}$
moltiplichiamo per 5 tutti i termini della prima equazione
${(5x+5y=1850),(5y+10x=3100):}$
sottraiamo membro a membro le due equazioni
$5x=1250$
da cui $x=1250/5=250$
Gli adulti sono stati 250
I bambini sono stati $y=370-250=120$
Un barattolo di marmellata pesa 250g. Dopo aver tolto $2/5$ del suo contenuto il suo peso è di 170g. Calcola il peso della marmellata e del barattolo vuoto.
x = peso del contenuto
y = peso del barattolo
$\{(x+y=250),(x+y-2/5 x=170):}$
$\{(x+y=250),((5-2)/5 x+y=170):}$
$\{(x+y=250),(3/5 x+y=170):}$
sottraendo membro a membro le due equazioni si ha
$2/5 x=80$
$x=80*5/2=200$
Il peso della marmella è quindi 200g
il peso del barattolo vuoto è 250g-200g=50g
Questo lavoro è stato realizzato a conclusione del percorso di studi della durata di due anni presso la Scuola Interuniversitaria di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario per il conseguimento dell’abilitazione nella Classe A049 (Matematica e Fisica). Esso è il frutto del lavoro svolto durante i laboratori didattici e il tirocinio indiretto e dell’attività di tirocinio diretto effettuato presso un Liceo Scientifico.
1.1 Obiettivi
L’obiettivo di questa relazione è proporre una didattica che faccia ampio uso del gioco e del problem solving in modo non banale analizzandone pregi e difetti, metodi e possibilità di realizzazione.
La scelta dell’argomento è dovuta alla mia forte passione per i giochi matematici ma soprattutto alla consapevolezza, maturata in anni di orientamento nelle scuole superiori, di mostre (organizzate o semplicemente visitate) e convegni sul tema, che è importantissimo far conoscere ai ragazzi, e non solo a loro, il lato divertente, interessante, utile della matematica, fornendo loro uno scopo per lo studio di questa materia che a volte resta piuttosto arida. Ad esempio, parlare in quinto superiore dell’utilizzo dell’analisi matematica in campo medico o biologico per lo studio dell’evoluzione e della diffusione di malattie o per la crescita di una colonia batterica o far vedere loro che il momento migliore per infornare la pizza si ha in un istante preciso della lievitazione (che si può trovare risolvendo un semplice problema di massimo) aiuta sicuramente a guardare allo studio della materia da un punto di vista molto differente.
Parlare di gioco significa parlare di problemi e situazioni non standard, è quindi spontaneo legare questo concetto a quello di problem solving. Ritengo infatti che, di fronte ad un problema, non sia tanto importante dare 4 ai ragazzi solo delle formule risolutive, quanto un metodo che permetta loro un approccio cosciente ed efficace al quesito e, più in generale, ai problemi.
Il problem solving infatti non è una competenza tecnica che appartiene ad un settore specifico, bensì una competenza trasversale ad ogni settore che tende a sviluppare capacità di affrontare un problema qualsiasi in maniera razionale.
1.2 Contenuti
Questa relazione è divisa in quattro parti:
Il primo capitolo è un’introduzione al lavoro che ne espone obiettivi e contenuti.
Il secondo illustra brevemente le idee, i concetti ed i metodi che sono alla base di questa proposta didattica.
Il terzo capitolo è quello centrale di tutto il lavoro e verte sull’esperienza del tirocinio diretto seguendo il percorso intrapreso nei tre semestri. Il primo paragrafo contiene, così come previsto dalla fase osservativa, riflessioni sulle difficoltà dell’insegnamento della matematica nel secondo ciclo della scuola secondaria. Seguono poi i quattro paragrafi relativi alla fase attiva del tirocinio, quella appunto in cui, interagendo costruttivamente con la tutor, si sono discussi i punti critici nell’insegnamento delle materie previste dalla classe A049 per trovare gli spunti ed in seguito progettare il mio intervento attivo nella disciplina.
In particolare i paragrafi due, tre e quattro espongono il momento della riflessione effettuata con la tutor ai fini della scelta dell’intervento, della classe, dei tempi e dei modi mentre il quinto paragrafo è un’esposizione critica ed una valutazione di quello che è stato il vero e proprio intervento attivo in aula, col proposito di realizzare una proposta didattica concreta, riproponibile ed esportabile in altri contesti.
Infine il quarto capitolo espone le conclusioni ed i possibili sviluppi futuri.
Indice ………………………………………………………………………………………….. 1 1. Introduzione …………………………………………………………………………….. 3 1.1 Obiettivi ………………………………………………………………………….. 3 1.2 Contenuti………………………………………………………………………… 4 2.
Gioco e problem solving nell’insegnamento della matematica ……. 5
2.1 Il gioco per scoprire una nuova matematica……………………… 5
2.2 Il gioco per trovare stimoli e motivazioni ………………………….. 7
2.3 Apprendimento formale ed apprendimento informale ……….. 8
2.4 Il gioco ed il problem solving nella didattica …………………… 10
2.5 Intuizione e deduzione …………………………………………………… 15
3. L’esperienza della SSIS…………………………………………………………… 18
3.1 Gioco e problem solving nel liceo scientifico PNI……………. 18
3.2 Analisi di una situazione problematica e scelta dell’intervento …………………………………………………………………….. 21
3.3 Obiettivi dell’intervento………………………………………………….. 22
3.4 Inquadramento nella classe e nella programmazione………. 23
3.5 L’intervento attivo …………………………………………………………. 25
3.5.1 Struttura ………………………………………………………………………………………. 25
3.5.2 Svolgimento …………………………………………………………………………………. 26
3.5.3 Verifiche ………………………………………………………………………………………. 41
3.5.4 Valutazione dell’intervento……………………………………………………………… 42
5. Conclusioni ……………………………………………………………………………. 44
Bibliografia e Sitografia………………………………………………………………. 46
Testi
Apprendimento formale e apprendimento informale delle scienze, Pietro Cerreta
Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed euristica nel metodo matematico, George Polya
Come vincere la paura della matematica, S Tobias
Cominciamo da Zero, Vinicio Villani
Donna o Tigre, Raymond M. Sullivan
Enigmi e giochi matematici, Martin Gardner
Esperienza A-AH!, Martin Gardner
Il riso di Talete, Gabriele Lolli
Insegnare le matematiche nella scuola secondaria, F Spagnolo
La matematica nella scuola di base, Giorgio Bolondi
La scoperta matematica. Capire, imparare ed insegnare a risolvere i problemi, George Polya
Matematica Controluce (libro di testo), Andreini, Manara, Prestipino
Una la sorgente: il pensiero matematico!, Liliana Curcio
Siti web
bobcarr.wordpress.com borel.mat.uniroma2.it
www.galileo.it
www.gravita-zero.org
www.matefitness.it
www.matematica.blogscuola.it
www.math.it
www.scuolanet.pd.it
www.wikipedia.it
Scarica la tesi Il gioco come strumenti didattico per la matematica
Vogliamo dimostrare che, assegnata una qualsiasi coppia di funzioni cubiche, esiste un’affinità che trasforma l’una nell’altra. E’ possibile collegare questo fatto con la scelta di un opportuno sistema di riferimento cartesiano.
La fatica maggiore alla quale il docente va incontro è quella di interessare gli allievi. Alcuni docenti sono sconfortati dalla condizione di classe supernumerose, sentono il bisogno di esser motivati dalla diligenza dei ragazzi… L’educazione è un aspetto molto sottolineato, soprattutto da una dei miei tutor "ci sono delle regole e vanno rispettate, si parla per alzata di mano" .Pretendere il rispetto di alcune regole basilari, prima ancora che una buona pagella La ricerca-azione è utilizzata, se pur non da tutti i docenti e per tutti gli argomenti. In questo lavoro tutti i materiali del percorso dela Scuola di Specializzazione per l’insegnamento per la classe di Matematica e Fisica.
Lezioni di fisica: la luce e le illusioni ottiche
La luce e le sue illusioni ottiche
Lezioni di matematica: massimi e minimi di una funzione
Esercitazione: una scatola capiente
Uso di Derive supporto didattico per una migliore comprensione dei concetti incontrati dagli alunni di quinta liceo scientifico nell’apprendimento dell’Analisi
Questionario di gradimento da parte degli alunni
Test sui prerequisiti di fisica
Il percorso ipertestuale completo (5,4 MB)
Sei esercizi svolti sulle serie numeriche a cura di Luigi Lecci di www.matematicaescuola.it
Dal libro magico ritrovato per caso tra libri antichissimi, trascritto da un libro ancora più antico di cui si sono perse le tracce, tutte le formule per indovinare e predire il futuro. Con questa formula sono in grado di indovinare la tua età. Consulta il libro magico.
"Questo giorno è celebrato come la festa di San Crispino: chi sopravvive a questo giorno e se ne torna sano e salvo a casa, si leverà in punta di piedi tutte le volte che questo giorno verra ricordato e si sentirà più grande all’udire il nome di San Crispino… I vecchi dimenticano: eppure, anche quando avrà dimenticato ogni cosa, si ricorderà delle azioni di questo giorno… forse le abbellirà anche un poco". Enrico V°, Atto IV Scena III°.
"…Io so che Antonio è triste perché pensa alle sue mercanzie. No credimi ringrazio la fortuna: i miei investimenti non sono affidati a una sola nave o a un solo approdo, ne tutti i miei averi dipendono dalla fortuna di quest’anno…" Il Mercante di Venezia, AttoI° Scena I°.
Qualcuno ha scritto che Shakespeare è ampio quanto il mondo certo è che nei suoi drammi storici e in alcune tragedie si può trovare molto sulla gestione del potere e sugli stili di leadership nelle organizzazioni:
Riccardo II° è convinto che possedere il titolo di Re per diritto divino gli dovrebbe assicurare l’obbedienza dei sudditi;
Re Lear pensa che anche dopo aver ceduto agli eredi la sua terra il sangue reale gli garantisca un potere illimitato; Antonio crede che il potere affidatogli dipenda unicamente dalla sua persona e non dalla istituzione (l’impero romano) che glielo ha delegato;
Riccardo III° è spinto dalla sua ambizione a pensare che potrà ottenere ciò che vuole;
Macbeth mostra come dietro il potere e la determinazione di un grande uomo (nel bene e nel male) ci sia spesso una donna;
Coriolano è sempre in prima linea nella gestione dei conflitti più duri mostrandosi coraggioso, ma anche implacabile e vendicativo;
Enrico V° considera determinante per la sua leadership ascoltare i propri uomini e saperli motivare. (vedi: P. Carrigan, Shakespeare e il management, Etas, Milano 2002). Antonio, il Mercante di Venezia, esordisce ricordando che i suoi investimenti sono ben distribuiti nello spazio e nel tempo anticipando concetti moderni come la diversificazione e la globalizzazione dei mercati. Le vicende narrate lo contrappongono all’usuraio ebreo Shylock che gli ha prestato del denaro essendo tutti i suoi averi immobilizzati nelle attività commerciali. E’ interessante ricordare che la parola usuraio deriva dal latino usum (cioè colui che dà in uso il denaro) ed è comprensibile che chi dà in uso (affitto, comodato, leasing, prestito,ecc.), per un certo tempo, un bene debba essere adeguatamente remunerato (vedi anche in questa stessa sezione la parabola dei talenti). Nel moderno sistema economico finanziario occidentale si legittima il tasso d’interesse, ma si condanna il suo valore troppo elevato come reato di usura. Shylock si oppone ad Antonio anche perché la consuetudine del Mercante di prestare gratuitamente denaro agli amici gli rovina il mercato (oggi si parla molto di mercato drogato, sussidi di stato ecc.).
Contro l’avanzata della classe mercantile che esaltava i valori della industry, ossia del lavoro produttivo e delle nuove pratiche finanziarie, il vecchio ordine si difendeva con i diritti della nobiltà ereditaria, dei privilegi di sangue e delle proprietà terriere. E’ proprio Porzia, una donna ereditiera delle terre di Belmonte, il terzo attore economico di questa commedia; è lei a comprendere la situazione, i problemi e a portarli a soluzione con sagacia ed intelligenza. Shakespeare, esponente della nuova borghesia, ma con potenti amici aristocratici, non fa trapelare la sua preferenza tra questi tre personaggi in quanto la scelta è fra la nuova etica capitalistica che si affaccia e quella tradizionale che tutela gli antichi privilegi. (vedi: A . Marzola, La Parola del Mercante, Bulzoni 1996; G. Melchiori, Shakespeare: politica e contesto economico, Bulzoni 1992).
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In questo lavoro sono mostrate alcune correlazioni tra la matematica e la musica, riguardanti soprattutto il campo dell’armonia e dei temperamenti musicali. Molte questioni riguardanti la teoria musicale sono state comprese e chiarite grazie all’intervento della matematica, che ha permesso di capire meglio perché, ad esempio, certi suoni risultano piacevoli all’udito e altri sgradevoli (dissonanze).
La teoria della relatività, dopo un secolo dalla sua formulazione, è una teoria ormai consolidata, confermata da migliaia di esperimenti. Ci si deve porre allora il problema se debba diventare parte integrante dell’insegnamento della fisica o continuare a rimanere relegata, nella migliore delle ipotesi, ad un paio di settimane di lezioni. Ovviamente la risposta non può che essere la prima, per diversi motivi. Innanzitutto il processo educativo nella scuola deve guidare lo studente verso la costruzione di una sua consapevole visione del mondo in cui la fisica ha un’importante collocazione culturale in quanto “non solo ci fa conoscere il mondo, non solo è in grado di cambiarlo, ma è capace di trasformare le categorie con le quali lo interpretiamo”.
In questo senso la fisica non solo contribuisce, nel contatto con le altre discipline, ad una visione completa dell’evoluzione del pensiero e della storia dell’umanità e alla formazione culturale dell’allievo (attraverso lo sviluppo di capacità di analisi e di collegamento e delle facoltà di astrazione e di unificazione che la fisica richiede per indagare sul mondo naturale), ma concorre anche alla acquisizione di una mentalità flessibile ed è indispensabile per le scelte che ogni cittadino è chiamato a compiere nella vita democratica. Inoltre analisi recenti mostrano come gli studenti siano affascinati da argomenti di Relatività o di Fisica delle Particelle più di quanto non lo siano, in generale, dalla Fisica Classica; La fisica “è una” e molti concetti (per esempio quelli legati ai principi di conservazione) sono fondamentali tanto per la Fisica Classica che per la Fisica Moderna.
E’ dunque necessario studiare la Fisica Moderna, perché è fondamentale per la cultura del cittadino, suscita interesse negli studenti (con un vantaggio per l’apprendimento) ed è conveniente insegnarla, perché evidenzia principi fisici generali, comuni in parte anche alla Fisica Classica cosa che permette di rivedere e approfondire molti concetti generali, con evidenti benefici per la didattica.
Un altro obiettivo primario dell’insegnamento della disciplina deve essere quello di far nascere nell’allievo la sensibilità e la percezione alla base della capacità di comprendere la linea di demarcazione tra fisica e meta-fisica e (soprattutto all’inizio dello studio di ogni nuovo contenuto) la capacità di superare il cosiddetto “pensiero di senso comune” che troppe volte impedisce la comprensione dei contenuti stessi e del modo di procedere della scienza fisica (si vedano misconcezioni …)
Diventa a questo punto fondamentale “una ridefinizione dei saperi legandolo ad una nuova idea di cultura, di scuola, di processi di insegnamento/apprendimento … si è preso atto della necessità di selezionare nuclei di conoscenza disciplinare da approfondire e sviluppare “[1 ]. Infatti il Documento del Gruppo di Studio AIF-SIF [1], ha individuato il ruolo e il significato di una fisica insegnata per nuclei fondanti, cioè traducendo l’idea di nucleo fondante nel contesto della cultura scientifica: “Un diverso modo di guardare alla cultura scientifica e ai processi di insegnamento/apprendimento implica un diverso modo di individuare i contenuti: dalla quantità alla qualità.
Dovrà essere privilegiata la ricerca di nuclei disciplinari fondanti ai quali ancorare percorsi didattici culturalmente significativi e riflessioni sul significato culturale delle scienze affinché queste emergano come discipline caratterizzate da una propria struttura interna, da specifici metodi di indagine e dall’uso di particolari linguaggi, nonché da una loro fecondità in una dimensione culturale più ampia di interconnessione con altre discipline.”
In questa ottica l’insegnamento della relatività è fondamentale in quanto le concezioni di spaziotempo sono “enti e / o idee centrali per il nostro essere nel mondo e per la nostra conoscenza di esso”, ma sono anche emblematiche del succedersi nel corso dello sviluppo storico dei rapporti tra fisica e meta-fisica, tra fisica e pensiero cultuale. Inoltre la teoria della relatività è anche una teoria quadro, che vincola la forma in cui devono essere espresse teorie specifiche.
INDICE
PREMESSA Pag.1
PROPOSTA DIDATTICA Pag. 5
PERCORSO DIDATTICO : Pag. 7
· Cinematica Pag. 7
o Principio di relatività
o finitezza e invarianza di c; c come velocità limite Pag. 14
o relativita’ ristretta Pag. 16
· Dinamica
o Enermoto Pag. 25
o Urti Pag. 31
· Effetto Doppler Pag. 31
· Esperimento di Michelson-Morly Pag. 34
· Introduzione alla relatività generale Pag. 44
APPENDICE1
o Test iniziale Pag. 55
APPENDICE2
o Esercitazione1 GPS Pag. 55
o Esercitazione2 : Diagrammi spazio- tempo Pag. 59
o Esercitazione3 : dinamica Pag. 70
o Esercitazione4 : relatività generale Pag. 74
APPENDICE3
o Approfondimento1 Pag. 77
o Approfondimento2 : Trasformazioni di Lorentz e Diagrammi spazio- tempo Pag. 79
o Approfondimento3 : dinamica Pag. 89
Note e bibliografia
[1]N. Grimellini Tomasini, O. Levrini. C. Casadio, M. Clementi, S. Medri Senni Insegnare fisica per nuclei fondanti:un esempio riferito al concetto di spazio La Fisica nella Scuola, XXXII, 4, 202-213, 1999.
[2]Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1686)
[3]Kant, Critica della ragion pura ( 1783)
[4]Einstein “L’elettrodinamica dei corpi in movimento” (1905)
[5]Minkowski “Spazio e tempo” (1908).
[6]O. Levrini – Il Contributo della Relatività Ristretta al dibattito sui concetti di Spazio e Tempo in Fisica:Analisi Della Prospettiva Di Einstein,2006
[7]N.Grimellini Tomasini, O. Levrini (2005) – L’Elettrodinamica dei corpi in movimento e i libri di testo: riflessioni sul significato culturale della relatività ristretta – La Fisica nella Scuola, XXXVIII
[8]Resnick R. (1968), Introduzione alla Relatività Ristretta, Casa Editrice Ambrosiana, Milano.
[9]Taylor E. F., Wheeler J. A. 1992, Fisica dello spazio-tempo, ed. it. Zanichelli (1996)
[10]Fabri E., “Insegnare relatività nel XX secolo”, Lezioni alla Scuola Estiva Estiva A.I.F., 2001, Q16
[11]Halliday D., Resnick R., Walker J., Fondamenti di Fisica, Zanichelli editore, 2001,
[12]Carla Casadio e Olivia Levrini -Lo Spazio e il Tempo Assoluti di Newton, 2006
[13]P.Casini – Filosofia e fisica da Newton a Kant -, 1978.
[14]L.Geymonat – Storia del pensiero filosofico e scientifico – Garzanti, 1971.
[15]K.R.Popper – Congetture e Confutazioni – 1972.
[16]T.S.Kuhn – La struttura delle rivoluzioni scientifiche – Einaudi, 1969 .
[17]K.R.Popper – Scienza e filosofia – Einaudi, 1969.
[18]K.R.Popper – La logica della scoperta scientifica – Einaudi, 1970 .
[19]E.Mach – La meccanica nel suo sviluppo storico-critico – Boringhieri, 1968.
[20]S. Bergia – La storia della relatività – La Fisica nella scuola, Anno VIII, n°1, 1975.
[21]G. Boniolo – Filosofia della fisica- Mondatori, 1997
[22]Einstein. (1917) – Relatività esposizione divulgativa, – Boringhieri, 1980
[23]Einstein. – Opere scelte – Boringhieri, 1988
[24]Weinberg S. – Gravitation and Cosmology, Wiley and Sons, 1972
[25]Landau-Lifsits – Teoria dei campi – Ed.Riuniti, 1976
[26]Olivia Levrini _ Analisi della prospettiva di Minkowski
[27]Giordano Bruno “La cena delle ceneri”
[28]Galileo Galilei “Dialogo sopra i massimi sistemi”
[29]www.arrigoamadori.com/lezioni/FdA_WEB/FdA_F02_RelativitaRistretta.htm#_Toc114747483
[30]A.B. Arons, Guida all’insegnamento della fisica, Zanichelli, Bologna, 1992
[31]Possibile modo per ricavare le trasformazioni di Lorentz (da Scorza F., Un esperimento di insegnamento della Relatività in una classe di Liceo Scientifico: dal progetto alla realtà di classe, Tesi di Laurea in Fisica, Università di Bologna, Relatore Prof. N. Grimellini Tomasini, Correlatori Prof. P. Fantini, Dott. O. Levrini)
[32] P.Colella :presentazione della sperimentazione di relatività al WS di Udine
[33]http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/
Scarica la tesi Una sperimentazione didattica sulla relatività
Scarica il file di Geogebra "Viaggio Spaziale con riferimento sul razzo che si allontana"
Scarica il file di Geogebra "Viaggio Spaziale con riferimento sul razzo che ritorna"
Scarica il file di Geogebra "Viaggio Spaziale con riferimento sulla Terra"
In questo lavoro si presenta ed elabora concettualmente la Formulazione di Feynman della Meccanica Quantistica (MQ), i problemi di convergenza dell’integrale sui cammini e la relazione di questa formulazione con i processi stocastici. Dapprima, nella sezione f0.2g, viene derivato l’integrale sui cammini di Feynman attraverso l’utilizzo della formula di Trotter e successivamente, nella sezione f0.3g, sono presentati i postulati della formulazione di Feynman della MQ. Sono poi studiati i cammini di Feynman e le loro caratteristiche peculiari, che offrono uno stretto paragone con i processi stocastici.
Nelle sezioni f0.7g,f0.8g vengono prima mostrate le problematiche di convergenza dell’integrale di Feynman e poi, seguendo la dimostrazione di Nelson del teorema di Kolmogorov, l’approccio di Kac che permette di definire rigorosamente una misura per l’integrale: la misura di Wiener. Nella sezione f0.9g µe mostrata l’equazione del calore e la sua stretta relazione con il moto browniano, esempio più semplice di processo stocastico. Ciò ci permette, nelle due sezioni successive, di paragonare direttamente prima l’integrale di Feynman con quello di Wiener e poi l’equazione di Schroedinger con quella di Fokker-Plank. Da questo confronto si conclude che l’evoluzione temporale di una particella quantistica può essere descritta come un’evoluzione deterministica perturbata da fluttuazioni quantistiche.
Indice
0.1 Introduzione
0.2 Derivazione dell’Integrale sui Cammini di Feynman attraverso la Formula di Trotter
0.3 Formulazione di Feynman della Meccanica Quantistica: Postulati. 4
0.4 Natura e Caratteristiche dei Cammini di Feynman
0.5 Ambiguità di Quantizzazione dell’Integrale di Feynman
0.6 Equivalenza tra la Formulazione di Feynman e la Formulazione Standard della MQ
0.7 Problematiche di Convergenza dell’Integrale di Feynman
0.8 La Formula di Feynman-Kac e la Misura di Wiener
0.9 Equazione del Calore e Moto Browniano
0.10 Integrale di Feynman e Integrale di Wiener
0.11 Equazione di Fokker-Planck e Fluttuazioni Quantistiche
1 Appendice A: Derivazione dell’Integrale di Feynman attraverso l’Operatore Normalmente Ordinato . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Appendice B: un paio di De¯nizioni e un Teorema . . . . . . . . 19
Bibliografia
[1] M.Roncadelli, A.Defendi, I Cammini di Feynman, Quaderni di Fisica Teorica, Università degli Studi di Pavia (1992)
[2] R.Feynman, Space-time Approach to non-relativistic Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics 20 (Cornell University, Ithaca, New York 1948)
[3] F.Strocchi, An introduction to the Mathematical Structure of Quantum Mechanics, Advanced Series in Mathematical Physics Vol.27 (World Scientific 2005)
[4] J.W.Negele, H.Orland, Quantum Many-Particle Systems, Frontiers in Physics (Addison-Wesley 1988)
[5] W.Rudin, Analisi Reale e Complessa, (Boringhieri 1996)
[6] P.Dirac, I Principi della Meccanica Quantistica (IV ed.) (Boringhieri 1959)
Scarica la tesi Integrale di Feynman sui Cammini e Processi Stocastici
Per quale valore di $k$ l’equazione $8x^2-(k-1)x+k-7=0$
a. ha una soluzione uguale a $1/2$
b. la somma delle soluzioni è 9
c. le due soluzioni sono coincidenti
d. le due soluzioni sono opposte: $x_1=-x_2$
e. le due soluzioni sono reciproche: $1/x_1=x_2$
f. la somma dei reciproci delle soluzione è uguale a 4: $1/x_1+1/x_2=4$
g. la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a -2: $x_1^2+x_2^2=-2$
h. l’equazione ha soluzioni reali
i. la somma dei cubi delle radici è 1.
J. La somma di una radice con il doppio dell’altra sia 2.
Svolgimento
L’equazione è $8x^2-(k-1)x+k-7=0$
La somma delle soluzioni $x_1+x_2=-B/A=(k-1)/8$
Il prodotto delle soluzioni è $x_1*x_2=C/A=(k-7)/8$
a. Una soluzione sia $1/2$
Si sostituisce $1/2$ alla $x$
$8*(1/2)^2-(k-1)*1/2+k-7=0$
$8*1/4-1/2*(k-1)+k-7=0$
$2-(k-1)/2+k-7$
m.c.m. su tutta l’equazione è 2
$4-k+1+2k-14=0$
$k-9=0$
$k=9$
Per $k=9$ l’equazione ha come soluzione $1/2$
b. la somma delle soluzioni è 9
$x_1+x_2=-B/A=9$
$=(k-1)/8=9$
$k-1=72$
$k=72+1=73$
c. le due soluzioni sono coincidenti
Delta=0
$(k-1)^2-4*8*(k-7)=0$
$k^2-2k+1-32k+224=0$
$k^2-34k+225=0$
applicando la formula ridotta
$k_1,2 =17+-sqrt(17^2-225)$
$k_1,2 =17+-sqrt(64)$
$k_1=19, k_2=25$
d. le due soluzioni sono opposte: $x_1=-x_2$
La somma è nulla
$S=0\rightarrow (k-1)/8=8\rightarrow k=1$
e. le due soluzioni sono reciproche: $1/x_1=x_2$
$x_1=1/x_2\rightarrow x_1*x_2=1\rightarrow P=1\rightarrow (k-7)/8=1\rightarrow k-7=8\rightarrow k=15$
f. la somma dei reciproci delle soluzione è uguale a 4: $1/x_1+1/x_2=4$
$1/x_1+1/x_2=4$
$(x_1+x_2)/(x_1*x_2)=4$
$S/P=4$
$(k-1)/8:(k-7)/8=4$
$(k-1)/(k-7)=4$
$k-1=4(k-7)$
$k-1=4k-28$
$-3k=-27$
$k=9$
g. la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a -2: $x_1^2+x_2^2=-2$
$x_1^2+x_2^2=-2$
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=-2$
$S^2-2P=-2$
$[(k-1)/8]^2-2*(k-7)/8=-2$
$(k-1)^2/64-2(k-7)/8+2=0$
m.c.m.=64
$(k-1)^2-16(k-7)+128=0$
$k^2-2k+1-16k+112+128=0$
$k^2-18k+141=0$
$k_1,2=9+-sqrt(81-141)$
impossibile, nessuna soluzione
h. l’equazione ha soluzioni reali
$\Delta>0\rightarrow (k-1)^2-4*8*(k-7)>0$
$k^2-2k+1-32k+224>0$
$k^2-34k+225>0$
$k_1,2=17+-sqrt(289-225)=17+-8$
$x<9 \vv k>25$
i. la somma dei cubi delle radici è 1
$x_1^3+x_2^3=1$
tenendo conto che $(x_1+x_2)^3=x_1^3+x_2^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)$
si ha che $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
quindi
$S^3-3*P*S=1$
$((k-1)/8)^3-3(k-7)/8*(k-1)/8=1$
$(k^2-3k+3k^2-1)/8^3-3(k-7)(k-1)/8^2-1=0$
m.c.m.=8^3
ecc.
J. La somma di una radice con il doppio dell’altra sia 2
$\{(x_1+2x_2=2),(x_1+x_2=(k-1)/8):}$
$\{(x_1=2-2x_2),((2-2x_2)+x_2=(k-1)/8):}$
risolvendo l’ultima equazione si ha
$-x_2=(k-1)/8-2$
$-x_2=(k-1-16)/8$
$x_2=(17-k)/8$
sostituendo nella prima equazione
$x_1=2-2*(17-k)/8=(8-17+k)/4=(k-9)/4$
$x_2=(17-k)/8$
da cui, ricordando che
$x_1*x_2=(k-7)/8
si ha
$(k-9)/4*(17-k)/8=(k-7)/8$
$(k-9)(17-k)=4(k-7)$
$17k-k^2-153+9k=4k-28$
ecc.
Curiosando tra i miei libri di matematica delle superiori mi è capitato sottomano il testo di seconda e in esso ho trovato un capitolo sulle geometrie non euclidee con una semplice presentazione attraverso modelli. In quello stesso periodo alcuni colleghi della SILSIS stavano presentando diverse lezioni sulle geometrie non euclidee per il Laboratorio di Autoaggiornamento B tenuto dalla professoressa Turrini. Tali lezioni erano tutte rivolte a classi quinte e avendo fatto tirocinio nel biennio di un liceo scientifico, mi sono chiesta se potesse essere interessante e utile presentare agli studenti l’argomento in questa fase del loro percorso scolastico.
Nonostante i dubbi iniziali ho scelto questo argomento per diversi motivi: durante il Laboratorio di Tirocinio ho sentito parlare spesso di una didattica di tipo elicoidale, che riprende gli argomenti approfondendoli di volta in volta; le geometrie non euclidee generalmente vengono affrontate in quinta, ma effettivamente potrebbe essere utile cominciare a presentarle agli studenti in seconda proprio in vista di un sapere che si costruisce sulla base di conoscenze già acquisite (le conoscenze vanno via via riprese e ‘ristrutturate’ a un livello superiore).
Inoltre, affrontando l’argomento a partire dalle conoscenze dei ragazzi sulla geometria euclidea, ho pensato che poteva essere utile farlo non troppo lontano dalla prima, classe in cui i ragazzi studiano questo argomento.
Infine, la classe in cui avrei fatto il mio tirocinio attivo si presentava come una classe di soggetti molto svegli, attivi, curiosi e interessati.
Nella prima parte di questo lavoro sono descritti il contesto in cui mi sono trovata ad elaborare il mio intervento didattico nell’ambito del tirocinio attivo e l’intervento didattico stesso nelle sue fasi di progettazione, svolgimento e verifica.
Successivamente, dopo una parte dedicata ad alcune riflessioni sull’esperienza, è riportato un modello del pensiero scientifico elaborato da Einstein, nella cui teoria le geometrie non euclidee trovarono una loro applicazione; in questa stessa parte (Einstein: un modello del pensiero scientifico) si trovano alcune riflessioni sulla matematica e le sue applicazioni in campo scientifico.
In appendice viene, infine, presentato a grandi linee un modo alternativo di introdurre la geometria euclidea rispetto all’impostazione tradizionale che prevede la descrizione degli enti primitivi.
INDICE
INTRODUZIONE 2
CONTESTO 3
INTERVENTO DIDATTICO 4
Progettazione 4
Metodologie e strumenti 6
Svolgimento delle lezioni 6
Verifica 15
RIFLESSIONI 16
EINSTEIN: UN MODELLO DEL PENSIERO SCIENTIFICO 17
APPENDICE – Un modo alternativo di introdurre la geometria euclidea 21
ALLEGATO 1 24
ALLEGATO 2 25
Bibliografia 26
E. Agazzi, D. Palladino, Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria, Editrice La Scuola, 1998
M. Battelli, Corso di matematica sperimentale e laboratorio, Le Monnier
A.M. Cappelletti, Didattica interculturale della geometria, EMI, Bologna, 2000
R. Courant & H. Robbins, Che cos’è la matematica?, Boringhieri, 1978
N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi, Nuovi elementi di matematica, Ghisetti e Corvi Editori
F. Fontana & C. Rovelli, Matematica 1, corso di matematica per il biennio della scuola media superiore, a cura di W.Cavalieri e P. Lattanzio, Arnoldo Mondatori Editore
D. Hilbert, Fondamenti della geometria, con i supplementi di Paul Bernays, Feltrinelli, 1970
G. Holton, Einstein e la cultura scientifica del XX secolo, Il Mulino, 1991
W. Maraschini & M. Palma, Format, Spe, Paravia, 2002
W. Maraschini & M. Palma (2), Multi Format, moduli per la formazione matematica nel biennio, 10 Piano euclideo, Paravia, 2000
F. Toscano, Il genio e il gentiluomo. Einstein e il matematico italiano che salvò la teoria della relatività generale, Sironi Editore, 2005
http://www.atuttascuola.it/matematica/geometria.htm
http://www.matefilia.it/argomen/euclide/sommario.htm
http://users.libero.it/prof.lazzarini/geometria_sulla_sfera/geo.htm
http://www.cronologia.it/cronoein.htm
Scarica la tesi sulla didattica delle geometrie non euclidee