Autore: Francesco Speciale

Compro prima $5$ quaderni e $3$ album spendendo $13,24$ €,


Problema

Compro prima $5$ quaderni e $3$ album spendendo $13,24$€,
poi altri $3$ quaderni e $6$ album spendendo $17.73$€.
Quanto costano ciascun quaderno ed album?

Svolgimento

Se comprassi $10$ quaderni e $6$ album, spenderei il doppio del costo di $5$ quaderni e $3$
album, cioè $26,48$€. Sottraendo il costo di $3$ quaderni e $6$ album, ottengo il
costo dei 7 quaderni in più: $26,48-17,73=8,75$€ che, diviso $7$, dà $1,25$€
per ciascun quaderno.Per calcolare, ora, il costo di un album basta sottrarre alla prima spesa
il costo complessivo dei quadeni e dividere per il numero di album,cioè
$13,24-(5*(1,25))=13,24-6,25=6,99$€ che, diviso $3$, dà $2,33$€.

Un ciclista partecipa a una gara in quattro tappe.

 

 

 Un ciclista partecipa a una gara in quattro tappe.
Nella prima tappa percorre i $5/(12)$ dell’intero percorso, nella seconda i $7/(20)$
nella terza $1/6$.
Quale frazione rappresenta la quarta tappa?

 

 

Svolgimento:
Il percorso totale è rappresentato da $1$, mentre la prima tappa è $5/(12)$, la seconda è  $7/(20)$
la terza è $1/6$ e la quarta che non conosciamo chiamiamola $x$.
Deve allora essere che la somma di tutte le tappe darà appunto: $1$.
Quindi $5/(12)+7/(20)+1/6+x=1$.
Da cui si ottiene, semplificando,
$x=4/(60)=1/(15)$.

$2^x+2^(2x)-6=0$

Svolgimento:
Per sostituzione poniamo $y=2^x$ e risolviamo l’equazione di secono grado in $y$
$y^2+y-6=0$
Le soluzioni sono $y_1=-3,y_2=2$
Essendo $y=2^x$ sicuramente $y>0$ e quindi prendiamo in considerazione solo $y_2=2$.
Pertanto si ha
$y=2^x=2=>x=1$.

$y=1/sqrt(1+x^2)$

Svolgimento:
$y=1/sqrt(1+x^2)=(1+x^2)^(-1/2)$
Possiamo quindi considerare la derivata della funzione
$y=(1+x^2)^(-1/2)$
$y’=(-1/2)[(1+x^2)^(-3/2)]*2x$
(Abbiamo derivato anche la funzione nella parentesi)
Semplificando otteniamo
$y’=-(x/((1+x^2)sqrt(1+x^2)))$.

$5^(2x-1)=4+5^(x-1)$

Svolgimento:
$5^(2x-1)=4+5^(x-1)=(5^(2x))/5=4+(5^(x))/5=5^(2x)=20+5^x$
Sostituiamo $t=5^x$, in modo da ottenere un equazione di secondo grado in $t$
$t^2-t-20=0$
Le soluzioni di tale equazione sono: $t_1=5,t_2=-4$ (noi considereremo solo $t_1$,
poichè $t_2$ è negativa).
Essendo $t=5^x=>t_1=5^x=5=>x=1$.

$lim_{xto 0}(sqrt(1-cosx))/x$

Svolgimento:
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $sqrt(1+cosx)$.
cosi otteniamo
$(sqrt(1-(cosx)^2))/(xsqrt(1+cosx))$
cioè,
$(sqrt(sinx)^2)/(xsqrt(1+cosx))$
Essendo $(sqrt(sinx)^2)=|sinx|$si ha
$lim_{xto 0^-}(|sinx|)/(xsqrt(1+cosx))=lim_{xto 0^-}-((sinx)/(xsqrt(1+cosx)))=-(sqrt2)/2$
mentre
$lim_{xto 0^+}(|sinx|)/(xsqrt(1+cosx))=lim_{xto 0^+}(sinx)/(xsqrt(1+cosx))=(sqrt2)/2$.

$sqrt(a^2b^2-16a^2)$

Svolgimento:
Scomponendo otteniamo
$sqrt(a^2(b^2-16))=sqrt(a^2(b-4)(b+4))$
Ora dobbiamo distinguere due casi:
1)se $a=0$, per la legge di annullamento del prodotto, il radicando è zero
quindi il radicale esiste ed è zero anch’esso.
2)se $a!=0=>a^2>0$,
e poichè in un radicale di indice pari il radicando deve essere sempre $>=0$
dobbiamo esaminare il caso in cui $(b-4)(b+4)>=0$.
L’esistenza della radice dipende da $b$.
Per le condizioni di C.E.,deve risultare $b<=-4 ^^ b>=4$.

$y=1/(sqrt(x^3))$

Svolgimento:
$y=1/(sqrt(x^3))=x^(-3/2)$
Ora procediamo a calcolare la derivata seguendo la normale regola di derivazione
Essendo $y=x^(-3/2)=>y’=-3/2*x^(-3/2-1)=-3/2*x^(-5/2)=3/(2(sqrt(x^5)))$.

$lim_{xto infty}(ln(1+x))/(ln(3+x))$

Svolgimento:
Possiamo procedere in questo modo:
$lim_{xto infty}(ln(1+x))/(ln(3+x))=lim_{xto infty}(ln[x(1/x+1)])/(ln[x(3/x+1)])=$
$=lim_{xto infty}(ln(x)+ln(1/x+1))/(ln(x)+ln(3/x+1))=1$
(l’ultimo rapporto scritto tende ad 1 perchè possiamo dividere
numeratore e denominatore per $lnx$).

$(1/2x^2-3y)^2-(x^2-1/2y)^2-7y(5/4y-2/7x^2)$

Svolgimento:
Sviluppando i quadrati e svolgendo i prodotti
$(1/2x^2-3y)^2-(x^2-1/2y)^2-7y(5/4y-2/7x^2)=1/4x^4+9y^2-3x^2y-(x^4+1/4y^2-x^2y)-(35)/4y^2-2x^2y=$
$=1/4x^4+9y^2-3x^2y-x^4-1/4y^2+x^2y)-(35)/4y^2-2x^2y=$
Semplificando i termini simili otteniamo
$=-3/4x^4-4x^2y=x^2(-3/4x^2-4y)$.

$3^(1+2x)+4/3=4*3^x$

Svolgimento:
abbiamo che
$3^(1+2x)=3*3^(2x)$
Quindi l’equazione diventa
$3*3^(2x)-4*3^x+4/3=0$
ovvero
$9*3^(2x)-12*3^x+4=0$
Poniamo $3^x=t$ e risolviamo l’equazione di secondo grado in $t$, cioè
$9t^2-12t+4=(3t-2)^2=0$
La soluzione è $t=2/3$, per cui

$3^x=2/3$, cioè $x=log_3(2/3)$.

$(1+2x)(1-3x)(2+x)(1-2x)>0$

Svolgimento:
La soluzione è molto semplice dobbiamo solo studiare i segni e mettere insieme le soluzioni
Consideriamo il sistema:
$\{(1+2x>0),(1-3x>0),(2+x>0),(1-2x>0):}$
ovvero
$\{(x>-1/2),(x<1/3),(x>-2),(x<1/2):}$
quindi la funzione è positiva per $x<-2; -1/2<x<1/3; x>1/2$.

In un trapezio la differenza fra la base maggiore e la base minore misura $15cm$ elamaggiore è i

 

 

 

In un trapezio la differenza fra la base maggiore e la base minore misura $15cm$ e

la maggiore è i $7/4$ della minore. Sapendo che l’altezza misura $14cm$, calcolare l’area del trapezio.

Svolgimento:
chiamiamo $x$ la base maggiore e $y$ la base minore.
Sappiamo che:
$x-y=15$
e che
$x=7/4y$
Quindi riuniamo queste due equazioni in un sistema:
$\{(x-y=15),(x=7/4y):}$
Sostituiamo $7/4y$ al posto della $x$ nella prima equazione:
$7/4y-y=15$
$7y-4y=60$
$3y=60$
$y=60/3=20cm$

La base maggiore è allora: $x=7/4*(20)=7*5=35cm$

Quindi l’area è: $((35+20)14)/2=55*7=385cm^2$.

$y=ln(sqrt(1+4x^2))$

Svolgimento:
Sfruttando le proprietà dei logaritmi si ha:
$ln[(1+4x^2)]=(1/2)ln[1+4x^2]$
Derivando si ottiene:
$(1/2)[D(1+4x^2)/(1+4x^2)]=(1/2)[8x/(1+4x^2)]=4x/(1+4x^2)$.

$y=x(e^x)ln(x)$

Svolgimento:
$D(x*(e^x)*ln(x))=$
$=xln(x)*D(e^x)+e^x*D(xlnx)=$
$=xlnx*e^x+e^x*D(xlnx)=$
$=xlnx*e^x+e^x*(x*D(lnx)+lnx*D(x))=$
$=xlnx*e^x+e^x*(1+lnx)=e^x*(xlnx+lnx+1)$

$x^2-3x+2=(x-2)(x-1) > 0$

Svolgimento:
scomponiamo il polinomio in un prodotto di monomi e sovrapponiamo le soluzioni

$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)>0$
cioè
$(x-2)>0$ e $(x-1)>0$

ricordando di comporre bene le 2 soluzioni troveremo il seguente risultato
$1<x<2$.

Dimostrare che, se $A$ $B$ e $C$ sono gli angoli di untriangolo, risulta: $sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)$

Svolgimento:
trasformando in prodotto:
$senA+senB+senC=2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2)+senC$
Essendo $A,B,C$ angoli di un triangolo si ha: $A+B=180°-C$:
$2cos(C/2)cos((A-B)/2)+senC$
Scrivendo $C=(2C)/2$, si ha:
$2cos(C/2)cos((A-B)/2)+sen((2C)/2)=2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sen(C/2)cos(C/2)$
mettendo in evidenza $2cos(C/2)$
$2cos(C/2)(cos((A-B)/2)+sen(C/2))$
come $C=180°-(A+B),sen(C/2)=cos((A+B)/2)$,quindi:
$2cos(C/2)(cos((A-B)/2)+ cos((A+B)/2))$.
trasformando in prodotto, si ha:
$4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)$.

$log_(1/3)(x^2–2x)>=-1$

Svolgimento:
Innanzitutto, dev’essere $x^2-2x>0$ e quindi $x<0 vv x>2$
Detto questo, puoi prendere la base del logaritmo ed elevarla alla $-1$.
Quindi:

$x^2-2x<=3$

Abbiamo cambiato il verso della disequazione perché la base del logaritmo, $1/3$, è compresa tra $0$ e $1$.

$x^2-2x-3<=0$

Risolvendo si trova $-1<=x<=3$

Ora consideriamo un sistema tra le condizioni di esistenza ($x<0 vv x>2$) e la soluzione $-1<=x<=3$.
$\{(-1<=x<=3),(x<0 V x>2):}$
Risolvendo questo sistema, che ci dice quando si verificano contemporaneamente le C.E.
si ottiene la soluzione finale: $-1<=x<0 vv 2<x<=3$.