Verificare che il triangolo di vertici $A(3;2); B(6;1); C(5;4)$ è isoscele.

Svolgimento

Dobbiamo dimostrare che due segmenti sono uguali tra loro.

Calcoliamo le misure dei tre segmenti

$ar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((6-3)^2+(1-2)^2)=sqrt(9+1)=sqrt(10)$
$ar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((5-6)^2+(4-1)^2)=sqrt(1+9)=sqrt(10)$
$ar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((5-3)^2+(4-2)^2)=sqrt(4+4)=sqrt(8)=2sqrt2$

Quindi, essendo $ar(AB)=ar(AC)=sqrt(10)$, il triangolo $hat{ABC}$ è isoscele.

Determinare il perimetro del triangolo avente per vertici i seguenti punti:

Determinare il perimetro del triangoloavente per vertici i seguenti punti:
$A(1;1/2); B(-2;3); C(3;-2)$

Svolgimento

Per perimetro si intende la somma dei segmenti $ar(AB), ar(BC), ar(AC)$.
Quindi calcoliamo le misure dei seguenti segmenti:
$ar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((-2-1)^2+(3-1/2)^2)=sqrt(9+(5/2)^2)=$
$=sqrt(9+(25)/4)=sqrt((61)/4)=1/2sqrt(61)$.
$ar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((3+2)^2+(-2-3)^2)=sqrt(25+25)=sqrt(50)=5sqrt2$
$ar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((3-1)^2+(-2-1/2)^2)=sqrt(4+(25)/4)=sqrt((41)/4)=1/2sqrt(41)$

Pertanto $2p=ar(AB)+ar(BC)+ar(AC)=1/2sqrt(61)+5sqrt2+1/2sqrt(41)=1/2(sqrt(61)+sqrt(41)+10sqrt2)$.

Determinare il perimetro del triangolo avente per vertici i seguenti punti:

Determinare il perimetro del triangoloavente per vertici i seguenti punti:
$A(1;0); B(-1;1); C(0;-2)$

Svolgimento

Per perimetro si intende la somma dei segmenti $ar(AB), ar(BC), ar(AC)$.
Quindi calcoliamo le misure dei seguenti segmenti:
$ar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((-1-1)^2+(1-0)^2)=sqrt(4+1)=sqrt5$
$ar(AC)=sqrt((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2)=sqrt((0-1)^2+(-2-0)^2)=sqrt(1+4)=sqrt5$
$ar(BC)=sqrt((x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2)=sqrt((0+1)^2+(-2-1)^2)=sqrt(1+9)=sqrt(10)$

Pertanto $2p=ar(AB)+ar(BC)+ar(AC)=sqrt5+sqrt5+sqrt(10)=2sqrt5+sqrt(10)=sqrt5(2+sqrt2)$.

Determinare la distanza tra le coppie di punti seguenti: $(-3/5;sqrt7); (1/5;sqrt7)$

Indichiamo con $A$ e $B$ i punti di coordinate rispettivamente $(-3/5;sqrt7); (1/5;sqrt7)$.
Dobbiamo calcolare la misura del segmento $\bar(AB)$.
Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ è parallello all’asse delle ascisse,
cioè $y_1=y_2=sqrt7$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
$d=|x_2-x_1|=|1/5+3/5|=|4/5|=4/5$.

Determinare la distanza tra le coppie di punti seguenti: $(0;1/4); (3/4;0)$

Indichiamo con $A$ e $P$ i punti di coordinate rispettivamente $(0;1/4); (3/4;0)$.
Dobbiamo calcolare la misura del segmento $\bar(AB)$.
Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ non è parallello ad alcuno degli assi,
pertanto la loro distanza è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti. In formule, presi P(x_1; y_1) e C(x_2; y_2)
$\bar(PC)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Nel nostro caso si ha:
$\bar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((3/4-0)^2+(0-1/4)^2)=$
$=sqrt(9/(16)+1/(16))=sqrt((10)/(16))=1/4sqrt(10)$.

Determinare la distanza tra le coppie di punti seguenti: $(1/2;-2); (3/4;1)$

Indichiamo con $A$ e $P$ i punti di coordinate rispettivamente $(1/2;-2); (3/4;1)$.
Dobbiamo calcolare la misura del segmento $\bar(AB)$.
Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ non è parallello ad alcuno degli assi,
pertanto la loro distanza è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti. In formule, presi P(x_1; y_1) e C(x_2; y_2)
$\bar(PC)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Nel nostro caso si ha:
$\bar(AB)=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)=sqrt((3/4-1/2)^2+(1+2)^2)=sqrt(((3-2)/4)^2+3^2)=$
$=sqrt(1/(16)+9)=sqrt((145)/(16))=1/4sqrt(145)$.

Determinare la distanza tra le coppie di punti seguenti: $(5;-3); (-1/4;-3)$

Indichiamo con $A$ e $B$ i punti di coordinate rispettivamente $(5;-3); (-1/4;-3)$.
Dobbiamo calcolare la misura del segmento $\bar(AB)$.
Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ è parallello all’asse delle ascisse,
cioè $y_1=y_2=-3$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
$d=|x_2-x_1|=|-1/4-5|=|(-1-20)/4|=|-(21)/4|=(21)/4$.

Determinare la distanza tra le coppie di punti seguenti: $(-4;1+sqrt7); (2;1+sqrt7)$

Indichiamo con $A$ e $B$ i punti di coordinate rispettivamente $(-4;1+sqrt7); (2;1+sqrt7)$.
Dobbiamo calcolare la misura del segmento $\bar(AB)$.
Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ è parallello all’asse delle ascisse,
cioè $y_1=y_2=1+sqrt7$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
$d=|x_2-x_1|=|2+4|=|6|=6$.

Determinare la distanza tra le coppie di punti seguenti: $(-2;3); (-2;-5)$

Indichiamo con $A$ e $B$ i punti di coordinate rispettivamente $(-2;3); (-2;-5)$.
Dobbiamo calcolare la misura del segmento $\bar(AB)$.
Possiamo notare che il segmento $\bar(AB)$ è parallello all’asse delle ordinate,
cioè $x_1=x_2=-2$.
Pertanto la loro distanza è il valore assoluto della differenza delle loro ordinate
$d=|y_2-y_1|=|-5-3|=|-8|=8$.

$|x-1|+2|x^2+5x+4|$

$|x-1|+2|x^2+5x+4|<6x^2-x$

$|x-1|+2|x^2+4x+4|<6x^2-x$
Studiamo il segno degli argomenti dei moduli
Primo modulo
$x-1>=0 => x>=1$

Secondo modulo
$x^2+5x+4>=0$

$Delta=b^2-4ac=(5)^2-(4*(4)*1)=25-16=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-5+-sqrt9)/2=(-5+-3)/2 => x_1=-4 ^^ x_2=-1$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà:
$x<=-4 vv x>=-1$.
Pertanto
Dobbiamo distinguere quattro casi:
Se ${(x<=-4),(-x+1+2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(x<=-4),(-x+1+2x^2+8x+8<6x^2-x):}$;
${(x<=-4),(-4x^2+10x+9<0):}$;
${(x<=-4),(4x^2-10x-9>0):}$;
Studiamo la disequazione di secondo grado:
$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-5)^2-((-9)*4)=25+36=61$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(5+-sqrt(61))/4 => x_1=(5-sqrt(61))/4 ^^ x_2=(5+sqrt(61))/4$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<(5-sqrt(61))/4 vv x>(5+sqrt(61))/4$.
Pertanto $S_1=x<=-4$

Se ${(-4<=x<=-1),(-x+1-2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(-4<=x<=-1),(-x+1-2x^2-8x-8<6x^2-x):}$;
${(-4<=x<=-1),(-8x^2-10x-7<0):}$;
${(-4<=x<=-1),(8x^2+10x+7>0):}$;
Come possiamo notare, la disequazione $8x^2+10x+7>0$ è verificata $AA x in RR$.
Pertanto $S_2=-4<=x<=-1$

Se ${(-1<=x<=1),(-x+1+2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(-1<=x<=1),(-x+1+2x^2+8x+8<6x^2-x):}$;
${(-1<=x<=1),(-4x^2+10x+9<0):}$;
${(-1<=x<=1),(4x^2-10x-9>0):}$;
Quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<(5-sqrt(61))/4 vv x>(5+sqrt(61))/4$
Pertanto $S_3=-1<=x<(5-sqrt(61))/4$

Se ${(x>=1),(x-1+2(x^2+4x+4)<6x^2-x):}$;
${(x>=1),(x-1+2x^2+8x+8<6x^2-x):}$;
${(x>=1),(-4x^2+12x+7<0):}$;
${(x>=1),(4x^2-12x-7>0):}$;
Studiamo la disequazione di secondo grado:
$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-6)^2-((-7)*4)=36+28=64$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(6+-sqrt(64))/4=(6+-8)/4 => x_1=-1/2 ^^ x_2=7/2$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<-1/2 vv x>7/2$.
Pertanto $S_1=x>7/2$

Pertanto soluzione della disequazione iniziale sarà:
$S=x<(5-sqrt(61))/4 vv x>7/2$.

$|2x-5|+4x>=x^2$

$|2x-5|>=x^2-4x$

Per risolvere la disequazione dobbiamo distinguere il caso in cui l’espressione $2x-5$
è positiva o nulla da quello in cui è negativa. Infatti
Se $2x-5>=0$ la disequazione è equivalente a $2x-5>x^2-4x$
Se $2x-5<0$ la disequazione è equivalente a $2x-5<-x^2+4x$

In definitiva, per risolvere la disequazione data, dobbiamo risolvere i due sistemi

${(2x-5>=0),(2x-5>=x^2-4x):} vv {(2x-5<0),(2x-5<-x^2+4x):}$;

Studiamo il primo sistema
${(2x-5>=0),(2x-5>=x^2-4x):}$;
${(2x>=5),(-x^2+6x-5>=0):}$;
${(x>=5/2),(x^2-6x+5>=0):}$;
Studiamo la seconda disequazione
$x^2-6x+5>=0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-3)^2-(5*1)=9-5=4$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(3+-sqrt4)=(3+-2) => x_1=1 ^^ x_2=5$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<=1 vv x>=5$.
Pertanto $S_1= 5/2<=x<=5$

Studiamo ora il secondo sistema
${(2x-5<0),(2x-5<-x^2+4x):}$;
${(2x<5),(x^2-2x-5<0):}$
${(x<5/2),(x^2-2x-5<0):}$

Studiamo la seconda disequazione
$x^2-2x-5<0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-1)^2-((-5)*1)=1+5=6$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(1+-sqrt6) => x_1=(1-sqrt6) ^^ x_2=(1+sqrt6)$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è discorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli interni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$(1-sqrt6)<x<(1+sqrt6)$.

Pertanto $S_1=1-sqrt6<x<5/2$

In definitiva quindi la soluzione è data dalle unioni delle due soluzioni, cioè:
$S=S_1 uu S_2 : 1-sqrt6<x<=5$.

$|x^2-2|+x>0$

$|x^2-2|+x>0$;
$|x^2-2|> -x$
Per risolvere la disequazione dobbiamo distinguere il caso in cui l’espressione $x^2-2$
è positiva o nulla da quello in cui è negativa. Infatti
Se $x^2-2>=0$ la disequazione è equivalente a $x^2-2> -x$
Se $x^2-2<0$ la disequazione è equivalente a $x^2-2<x$

In definitiva, per risolvere la disequazione data, dobbiamo risolvere i due sistemi

${(x^2-2>=0),(x^2-2> -x):} vv {(x^2-2<0),(x^2-2<x):}$;

Studiamo il primo sistema
${(x^2-2>=0),(x^2-2> -x):}$;
${(x^2>=2),(x^2+x-2>0):}$
Studiamo la prima disequazione
1)$x^2>=2$
Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà:
$x<=-sqrt2 vv x>=sqrt2$.
Studiamo la seconda disequazione
$x^2+x-2>0$

$Delta=b^2-4ac=(1)^2-(4*(-2)*1)=1+8=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-1+-sqrt9)/2=(-1+-3)/2 => x_1=-2 ^^ x_2=1$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà:
$x<-2 vv x>1$

Pertanto $S_1=x<-2 vv x>=sqrt2$

Studiamo ora il secondo sistema
${(x^2-2<0),(x^2-2<x):}$;
${(x^2<2),(x^2-x-2<0):}$;
Studiamo la prima disequazione
1)$x^2<2$
Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono discordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo interno,
per cui la soluzione sarà:
$-sqrt2<x<sqrt2$.
Studiamo la seconda disequazione
2)$x^2-x-2<0$

$Delta=b^2-4ac=(-1)^2-(4*(-2)*1)=1+8=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(1+-sqrt9)/2=(1+-3)/2 => x_1=-1 ^^ x_2=2$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono discordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo interno,
per cui la soluzione sarà:
$-1<x<2$
Pertanto $S_2=-1<x<sqrt2$

In definitiva quindi la soluzione è data dalle unioni delle due soluzioni, cioè:
$S=S_1 uu S_2 : x<-2 ^^ x> -1$.

$|3x+2|>x-5$

Per risolvere la disequazione dobbiamo distinguere il caso in cui l’espressione $3x+2$
è positiva o nulla da quello in cui è negativa. Infatti
Se $3x+2>=0$ la disequazione è equivalente a $3x+2>x-5$
Se $3x+2<0$ la disequazione è equivalente a $3x+2> -x+5$

In definitiva, per risolvere la disequazione data, dobbiamo risolvere i due sistemi

${(3x+2>=0),(3x+2>x-5):} vv {(3x+2<0),(3x+2> -x+5):}$;

Studiamo il primo sistema
${(3x+2>=0),(3x+2>x-5):}$;
${(3x>=-2),(2x>-7):}$;
${(x>=-2/3),(x>-7/2):}$;

Pertanto $S_1=x>=-2/3$

Studiamo ora il secondo sistema
${(3x+2<0),(3x+2> -x+5):}$;
${(3x<-2),(4x>3):}$;
${(x<-2/3),(x>3/4):}$;
Pertanto $S_2=x<-2/3$

In definitiva quindi la soluzione è data dalle unioni delle due soluzioni, cioè:
$S=S_1 uu S_2 : x_1<-2/3 ^^ x_2> -2/3 => S=RR$.

$|x^2-9x+15|>1$

$|x^2-9x+15|>1$
La disequazione è equivalente alle due disequazioni: $x^2-9x+15>1 vv x^2-9x+15<-1$.
che possiamo mettere a sistema
${(x^2-9x+15>1),(x^2-9x+15<-1):}$;

Risolviamo il seguente sistema
${(x^2-9x+15>1),(x^2-9x+15<-1):}$;
${(x^2-9x+14>0),(x^2-9x+16<0):}$;
Studiamo singolarmente le due disequazioni
1)$x^2-9x+14>0$

$Delta=b^2-4ac=(-9)^2-(4*14*1)=81-56=25$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(9+-sqrt(25))/2=(9+-5)/2 => x_1=2 ^^ x_2=7$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà:
$x<2 vv x>7$.

2)$x^2-9x+16<0$

$Delta=b^2-4ac=(-9)^2-(4*16*1)=81-64=17$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(9+-sqrt(17))/2 => x_1=(9+sqrt(17))/2 ^^ x_2=(9-sqrt(17))/2$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono discordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo interno,
per cui la soluzione sarà:
$(9-sqrt(17))/2<x<(9+sqrt(17))/2$.
Poichè dobbiamo considerare l’unione delle due soluzioni, si ha

Pertanto la disequazione è verificata per $x<2 vv (9-sqrt(17))/2<x<(9+sqrt(17))/2 vv x>7$.

$|3/2x-x+1| lt 1/2$

$|3/2x-x+1|<1/2$

$|3/2x-x+1|<1/2$
La disequazione è equivalente alle due disequazioni: $3/2x-x+1<1/2 vv 3/2x-x+1> -1/2$.
Studiamo singolarmente le due disequazioni
1)$3/2x-x+1<1/2$;
$3/2x-x<-1/2$;
$(3-2)/2x<-1/2$;
$1/2x<-1/2 => x<-1$

2)$3/2x-x+1> -1/2$
$3/2x-x> -1/2-1$;
$(3-2)/2x> -3/2$;
$1/2x> -3/2 => x> -3$
Poichè dobbiamo considerare l’unione degli insiemi ottenuti, la disequazione è verificata per
$-3<x<-1$

$|5x-6| lt 14$

$|5x-6|<14$

$|5x-6|<14$
La disequazione è equivalente alle due disequazioni: $5x-6<14 vv 5x-6> -14$.
Studiamo singolarmente le due disequazioni
1)$5x-6<14$;
$5x<20 => x<4$.

2)$5x-6> -14$
$5x> -8 => x> -8/5$;
Poichè dobbiamo considerare l’unione degli insiemi ottenuti, la disequazione è verificata per
$-8/5<x<4$

$|3x^2-2x+1|>9$

$|3x^2-2x+1|>9$
Per risolvere la disequazione dobbiamo distinguere il caso in cui l’espressione $3x^2-2x+1$
è positiva o nulla da quello in cui è negativa. Infatti
Se $3x^2-2x+1>=0$ la disequazione è equivalente a $3x^2-2x+1>9$
Se $3x^2-2x+1<0$ la disequazione è equivalente a $3x^2-2x+1<-9$

In definitiva, per risolvere la disequazione data, dobbiamo risolvere i due sistemi

${(3x^2-2x+1>=0),(3x^2-2x+1>9):} vv {(3x^2-2x+1<0),(3x^2-2x+1<-9):}$;

Studiamo il primo sistema
${(3x^2-2x+1>=0),(3x^2-2x+1>9):}$;
${(3x^2-2x+1>=0),(3x^2-2x-8>0):}$
La prima disequazione è verificata $AA x in RR$
Studiamo la seconda disequazione
$3x^2-2x-8>0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-1)^2-((-8)*3)=1+24=25$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(1+-sqrt(25))/3=(1+-5)/3 => x_1=-4/3 ^^ x_2=2$.
Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno,
per cui la soluzione sarà: $S_1=x_1<-4/3 ^^ x_2>2$.

Studiamo ora il secondo sistema
${(3x^2-2x+1<0),(3x^2-2x+1<-9):}$;
${(3x^2-2x+1<0),(3x^2-2x+10<0):}$;
La prima disequazione non ammette soluzione per quanto visto sopra,
quindi l’intero sistema non ammette soluzione, $S_2=Phi$.

In definitiva quindi la soluzione è data dalle unioni delle due soluzioni, cioè:

$S=S_1 uu S_2 : x_1<-4/3 ^^ x_2>2$.

$|2x+1|>6$

$|2x+1|>6$
La disequazione è equivalente alle due disequazioni: $2x+1<-6 vv 2x+1>6$.
Le cui soluzioni sono $x<-7/2$ e $x>5/2$.
Poichè dobbiamo considerare l’unione degli insiemi ottenuti, la disequazione è verificata per
$x<-7/2 vv x>5/2$

$2x+3-|x+1|=|3x+1|$

$2x+3-|x+1|=|3x+1|$;
Studiamo il segno di ciascun argomento dei moduli e costruiamo la tabella
nella quale riportare la loro variazione:
$x+1>=0 => x>=-1$
$3x+1>=0 => x>=-1/3$

Distinguiamo adesso i seguenti casi:
1)Per $x<-1$, entrambi gli argomenti sono negativi

$2x+3-|x+1|=|3x+1|$;
è equivalente all’equazione
$2x+3+x+1=-3x-1$;
Semplificando
$6x=-5 => x=-5/6$.
La soluzione non è accettabile per la condizione $x<-1$.

2)Per $-1<=x<=-1/3$ l’argomento del primo modulo è postivo e quello del secondo è negativo

$2x+3-|x+1|=|3x+1|$;
$2x+3-x-1=-3x-1$;
Semplificando
$4x=-3 => x=-3/4$.

La soluzione è accettabile per la condizione $-1<=x<=-1/3$.

3)Per $x> -1/3$, entrambi gli argomenti sono positivi

$2x+3-|x+1|=|3x+1|$;
$2x+3-x-1=3x+1$;
$-2x=-1 => x=1/2$.
Soluzione accettabile per la condizione $x> -1/3$.

Pertanto la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={1/2; -3/4}$.

$|x^2-4x|=5$

$|x^2-4x|=5$
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$x^2-4x>=0$;
$x(x-4)>=0 => x<=0 vv x>=4$
Quind per $x<=0 vv x>=4$ si ha:
$|x^2-4x|=5$;
è equivalente all’equazione
$x^2-4x=5$;
$x^2-4x-5=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(1*(-5))=4+5=9$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(2+-sqrt9)=(2+-3) => x_1=5 ^^ x_2=-1$.

Entrambi le soluzioni sono accettabili per la condizione $x<=0 vv x>=4$.

Mentre, per $x^2-4x<0$, ovvero $0<x<4$ abbiamo che
$|x^2-4x|=5$;
è equivalente all’equazione
$-x^2+4x=5$;
Cambiando di segno
$x^2-4x+5=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(1*5)=4-5=-1$.
Il $\Delta<0$, quindi l’equazione non ammette soluzioni reali

Pertanto la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={5; -1}$.

$3-|4x^2-9|=0$

$3-|4x^2-9|=0$;
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$4x^2-9>=0$;
$4x^2>=9 => x^2>=9/4 => x<=-3/2 vv x>=3/2$
Per $x<=-3/2 vv x>=3/2$ si ha:
$3-|4x^2-9|=0$;
è equivalente all’equazione
$3-4x^2+9=0$;
$-4x^2=-12$;
cambiando di segno e dividendo ambo i membri per $4$
$x^2=3 => x=+-sqrt3$

Entrambi le soluzioni sono accettabili per la condizione $x<=-3/2 vv x>=3/2$.

Mentre, per $4x^2-9<0$, ovvero $-3/2<x<3/2$ abbiamo che
$3-|4x^2-9|=0$;
è equivalente all’equazione
$3+4x^2-9=0$;
$4x^2-6=0 => x^2=6/4 => x=+-(sqrt6)/2$

Entrambi le soluzioni sono accettabili per la condizione $-3/2<x<3/2$.

Quindi la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={+-(sqrt6)/2; +-sqrt3}$.

$3x|x+1|+4(5x-2)=0$

$3x|x+1|+4(5x-2)=0$
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$x+1>=0 => x>=-1$;

Quindi per $x>=-1$, si ha:
$3x|x+1|+4(5x-2)=0$
è equivalente all’equazione
$3x(x+1)+4(5x-2)=0$;
$3x^2+3x+20x-8=0$;

Semplificando
$3x^2+23x-8=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(23)^2-(4*3*(-8))=529+96=625$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-23+-sqrt(625))/6=(-23+-5)/6 => x_1=-8 ^^ x_2=1/3$.
La soluzione $x_1=-8$ non è accettabile per la condizione $x>=-1$.

Mentre, per $x<-1$,
$3x|x+1|+4(5x-2)=0$;
è equivalente all’equazione
$3x(-x-1)+4(5x-2)=0$;
$-3x^2-3x+20x-8=0$;

Semplificando e cambiando di segno
$3x^2-17x+8=0$.
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(-17)^2-(4*3*8)=289-96=193$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(17+-sqrt(193))/6 => x_1=(17+sqrt(193))/6 ^^ x_2=(17-sqrt(193))/6$.
Entrambe le soluzioni non sono accettabili per la condizione $x<-1$

Quindi le soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={1/3}$.

$x^2-2|x+1|=2x$

$x^2-2|x+1|=2x$;
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$x+1>=0 => x>=-1$
Quind per $x>=-1$ si ha:
$x^2-2|x+1|=2x$;
è equivalente all’equazione
$x^2-2x-2=2x$;
Semplificando
$x^2-4x-2=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(1*(-2))=4+2=6$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(2+-sqrt6) => x_1=(2-sqrt6) ^^ x_2=(2+sqrt6)$.

Entrambi le soluzioni sono accettabili per la condizione $x>=-1$.

Mentre, per $x+1<0$, ovvero $x<-1$ abbiamo che
$x^2-2|x+1|=2x$;
è equivalente all’equazione
$x^2+2x+2=2x$;
Semplificando
$x^2+2=0$; cioè $x^2=-2$
Quindi per $x<-1$, l’equazione non ammette soluzioni reali

Pertanto la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={2+-sqrt6}$.

$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$

$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$;
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$5x^2-2>=0$;
$5x^2>=2 => x^2>=2/5 => x<=-sqrt(2/5) vv x>=sqrt(2/5)$.

Quindi per $x<=-sqrt(2/5) vv x>=sqrt(2/5)$, si ha:
$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$;
è equivalente all’equazione
$1+x-x^2-5x^2+2=0$;
Semplificando e cambiando di segno
$6x^2-x-3=0$.
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-(4*6*(-3))=1+72=73$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(1+-sqrt(73))/(12) => x_1=(1-sqrt(73))/(12) ^^ x_2=(1+sqrt(73))/(12)$.
La soluzione $x_1=(1-sqrt(73))/(12)$ non è accettabile per la condizione $x<=-sqrt(2/5) vv x>=sqrt(2/5)$.

Mentre, per $5x^2-2<0$, ovvero per $-sqrt(2/5)<x<sqrt(2/5)$ abbiamo
$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$;
è equivalente all’equazione
$1+x-x^2+5x^2-2=0$;
Semplificando
$4x^2+x-1=0$.
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(1)^2-(4*(-1)*4)=1+16=17$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-1+-sqrt(17))/8 => x_1=(-1+sqrt(17))/8 ^^ x_2=(-1-sqrt(17))/8$.
La soluzione $x_2=(-1-sqrt(17))/8$ non è accettabile per la condizione $-sqrt(2/5)<x<sqrt(2/5)$

Quindi la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={(1+sqrt(73))/(12); (-1+sqrt(17))/8}$.

$x^2-6|x|+5=0$

$x^2-6|x|+5=0$;
Per $x>=0$ si ha:
$x^2-6|x|+5=0$;
è equivalente all’equazione
$x^2-6x+5=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-3)^2-(1*5)=9-5=4$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(3+-sqrt4)=(3+-2) => x_1=5 ^^ x_2=1$.

Entrambi le soluzioni sono accettabili per la condizione $x>=0$.

Mentre, per $x<0$,abbiamo
$x^2-6|x|+5=0$;
è equivalente all’equazione
$x^2+6x+5=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(3)^2-(1*5)=9-5=4$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(-3+-sqrt4)=(-3+-2) => x_1=-5 ^^ x_2=-1$.

Entrambi le soluzioni sono accettabili per la condizione $x<0$.

Quindi la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={+-1; +-5}$.

$|x^2-1|-3x=3$

$|x^2-1|-3x=3$;
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$x^2-1>=0$;
$x^2>=1 => x<=-1 vv x>=1$

Quindi per $x<=-1 vv x>=1$, si ha:
$|x^2-1|-3x=3$;
è equivalente all’equazione
$x^2-1-3x=3$;
Semplificando
$x^2-3x-4=0$.
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-(4*1*(-4))=9+16=25$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(3+-sqrt(25))/2=(3+-5)/2 => x_1=4 ^^ x_2=-1$.
Entrambi le soluzioni sono accettabili per la condizione $x<=-1 vv x>=1$.

Mentre, per $x^2-1<0$, ovvero per $-1<x<1$ abbiamo
$|x^2-1|-3x=3$;
è equivalente all’equazione
$-x^2+1-3x=3$;
Semplificando e cambiando di segno
$x^2+3x+2=0$.
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(3)^2-(4*1*2)=9-8=1$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-3+-sqrt1)/2=(-3+-1)/2 => x_1=-2 ^^ x_2=-1$.
Entrambi le soluzioni non sono accettabili per la condizione $-1<x<1$.

Quindi la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={-1; 4}$.

$|2x-3|-1=(2x-1)/2$

$|2x-3|-1=(2x-1)/2$;
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$2x-3>=0$;
$2x>=3 => x>=3/2$.

Quindi per $x>=3/2$, si ha:
$|2x-3|-1=(2x-1)/2$
è equivalente all’equazione
$2x-3-1=(2x-1)/2$;
Il m.c.m. è $2$, quindi si ha
$(4x-6-2)/2=(2x-1)/2$
Moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$4x-8=2x-1$
Semplificando
$2x=7 => x=7/2$.
Soluzione accettabile, poichè $x=7/2>3/2$.

Mentre, per $x<3/2$ abbiamo
$-2x+3-1=(2x-1)/2$
Il m.c.m. è $2$, quindi si ha
$(-4x+6-2)/2=(2x-1)/2$
Moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$-4x+4=2x-1$
Semplificando
$-6x=-5 => x=5/6$.
Soluzione accettabile, poichè $x=5/6>3/2$.
Soluzione non accettabile, poichè $x=-1/5> -1$.
Quindi la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={5/6; 7/2}$.

$2x-4|(x+1)/2|=1-x$

$2x-4|(x+1)/2|=1-x$;
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
$(x+1)/2>=0$;
Moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$x+1>=0 => x>=-1$.

Quindi per $x>=-1$, si ha:
$2x-4|(x+1)/2|=1-x$
è equivalente all’equazione
$2x-4(x+1)/2=1-x$;
$2x-2x+2=1-x$;
Semplificando
$x=3$.
Soluzione accettabile, poichè $x=3>-1$.

Mentre, per $x<-1$ abbiamo
$2x+4(x+1)/2=1-x$;
$2x+2x+2=1-x$;
$5x=-1 => x=-1/5$.
Soluzione non accettabile, poichè $x=-1/5>-1$.
Quindi la soluzione dell’equazione di partenza sarà $S={3}$.

$root(3)(27x^3+4x^2+1)>=3x$

$root(3)(27x^3+4x^2+1)>=3x$;
Eleviamo al cubo ambo i membri
$(root(3)(27x^3+4x^2+1))^3>=(3x)^3$;
$27x^3+4x^2+1>=27x^3$;
$4x^2>=-1$.
Questa disequazione è verificata $AA x in RR$.

$root(3)(1-x)+1>x-2$

$root(3)(1-x)+1>x-2$;
$root(3)(1-x)>x-3$
Eleviamo al cubo ambo i membri
$(root(3)(1-x))^3>(x-3)^3$;
$1-x>x^3-27+27x-9x^2$;
Raccogliendo i termini simili e cambiando di segno
$x^3-9x^2+28x-28<0$;
Applichiamo la regola di ruffini:
troviamo il valore di $x$ per cui si ha $P(x)=0$

$P(2)=8-36+56-28=0$.
Pertanto
Disegno
Quindi $x^3-9x^2+28x-28=(x-2)(x^2-7x+14)$.
Ora dobbiamo risolvere la seguente disequazone:
$(x-2)(x^2-7x+14)$
equivalente a quella di partenza.

$(x-2)(x^2-7x+14)$
Risolviamo singolarmente le due parentesi:
1)$x-2<0 => x<2$
2)$x^2-7x+14>0$. E’ evidente che l’equazione è verificata $AA x in RR$.
Intersecando le soluzioni otterremo la soluzione finale della disequazione iniziale

$S={x<2}$

$sqrt(x+3)(2x-1)$

$sqrt(x+3)<sqrtx+sqrt(2x-1)$

Per l’esistenza della disequazione deve essere:
${(x+3>=0),(2x-1>=0),(x>=0):}$;
${(x>=-3),(x>=1/2),(x>=0):}$;
L’unione delle soluzioni sarà:

$S={x>=1/2}$
In tale condizione i due membri sono positivi, elevando al quadrato si deve risolvere il sistema:

${(sqrt(x+3))^2<(sqrtx+sqrt(2x-1))^2),(x>=1/2):}$;
${(x+3<x+2x-1+2sqrt(x(2x-1))),(x>=1/2):}$;
${(sqrt(x(2x-1))>2-x),(x>=1/2):}$;
Eleviamo ancora al quadrato ambo membri della prima equazione:
${(x(2x-1)>(2-x)^2),(x>=1/2):}$;
${(2x^2-x>4-4x+x^2),(x>=1/2):}$;
${(x^2+3x-4>0),(x>=1/2):}$;
Studiamo la disequazione di secondo grado:
$x^2+3x-4>0$

$Delta=b^2-4ac=3^2-(4*1*(-4))=9+16=25$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-3+-sqrt(25))/2=(-3+-5)/2 => x_1=-4 ^^ x_2=1$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<-4 vv x>1$.

L’unione delle soluzioni, darà la soluzione finale

$S={x>1}$.

$sqrt(x^2-3)-sqrt(4x-5) lt=0$

$sqrt(x^2-3)-sqrt(4x-5)<=0$

$sqrt(x^2-3)-sqrt(4x-5)<=0$;
Riscriviamo l’equazione nel seguente modo
$sqrt(x^2-3)<=sqrt(4x-5)$;
Per l’esistenza della disequazione deve essere:
${(x^2-3>=0),(4x-5>=0):}$;
${(x^2>=3),(x>=5/4):}$;
${(x<=-sqrt3 vv x>=sqrt3),(x>=5/4):}$;
L’unione delle soluzioni sarà:

$S={x>=sqrt3}$
In tale condizione i due membri sono positivi, elevando al quadrato si deve risolvere il sistema:
${((sqrt(x^2-3))^2<=(sqrt(4x-5))^2),(x>=sqrt3):}$;
${(x^2-3<=4x-5),(x>=sqrt3):}$;
${(x^2-4x+2<=0),(x>=sqrt3):}$;
Studiamo la disequazione di secondo grado:
$x^2-4x+2<=0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(1*2)=4-2=2$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(2+-sqrt2)=> x_1=(2+sqrt2) ^^ x_2=(2-sqrt2)$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è discorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli interni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$(2+sqrt2)<=x<=(2+sqrt2)$.

L’intersezione delle soluzioni, darà la soluzione finale

$S={sqrt3<=x<=2+sqrt}$.

$sqrt(x+2)+sqrt(x+4)>sqrt(x-3)$

$sqrt(x+2)+sqrt(x+4)>sqrt(x-3)$;
Per l’esistenza della disequazione deve essere:
${(x+2>=0),(x+4>=0),(x-3>=0):}$;
${(x>=-2),(x>=-4),(x>=3):}$;
L’unione delle soluzioni sarà:

ovvero $x>=3$.
In tale condizione i due membri sono positivi, elevando al quadrato si deve risolvere il sistema:
${((sqrt(x+2)+sqrt(x+4))^2>(sqrt(x-3))^2),(x>=3):}$;
${(x+2+x+4+2sqrt((x+2)(x+4))>x-3),(x>=3):}$;
Semplificando
${(x+9+2sqrt((x+2)(x+4))>0),(x>=3):}$;
${(sqrt((x+2)(x+4))>-(x+9)/2),(x>=3):}$;
${(sqrt(x^2+6x+8)>-(x+9)/2),(x>=3):}$;

Risolviamo adesso l’equazione con un solo radicale, tenendo sempre presente la condizione $x>=3$

$sqrt(x^2+6x+8)>-(x+9)/2$;
Essa è del tipo $sqrt(f(x))>g(x)$ quindi sarà equivalente al sistema:

${(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)>[g(x)]^2):}$;
Nel nostro caso $f(x)=x^2+6x+8 ^^ g(x)=-(x+9)/2$.
Quindi la disequazione è equivalente al sistema:
${(x^2+6x+8>=0),(x^2+6x+8>(-(x+9)/2)^2),(-(x+9)/2>0):}$;
${(x^2+6x+8>=0),(x^2+6x+8>(x^2+81+18x)/4),(-x>-9):}$;
${(x^2+6x+8>=0),(4x^2+24x+32>x^2+81+18x),(x<9):}$;
${(x^2+6x+8>=0),(3x^2+6x-49>0),(x<9):}$;
Studiamo separatamente le prime due disequazioni:

1)x^2+6x+8>=0

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(3)^2-(1*8)=9-8=1$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-3+-sqrt1)=(-3+-1) => x_1=-4 ^^ x_2=-2$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<=-4 vv x>=-2$.

2)3x^2+6x-49>0

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(3)^2-(3*(-49))=9+147=156$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-3+-sqrt(156))/3=(-3+-2sqrt(39))/3 => x_1=(-3+2sqrt(39))/3 ^^ x_2=(-3-2sqrt(39))/3$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<(-3-2sqrt(39))/3 vv x>(-3+2sqrt(39))/3$.

La soluzione del sistema si otiene considerando l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni che lo conengono,
ricordando la condizione $x>=3$.

Pertanto $S={x>=3}$.

$sqrt(x^2+5)+sqrt(x^2-1)>0$

$sqrt(x^2+5)+sqrt(x^2-1)>0$;
Per l’esistenza della disequazione deve essere:
$\{(x^2+5>=0),(x^2-1>=0):}$;
$\{(x^2>=-5),(x^2>=1):}$;
La prima disequazione è verificata $AA x in RR$, poichè il quadrato di qualsisi valore di $x$ è sempre positivo
La seconda disequazione, invece è verificata da $x<=-1 vv x>=1$
Pertanto la soluzione del sistema della disequazione sarà: $x<=-1 vv x>=1$.

In tale condizioni il primo membro sarà sicuramente positivo e quindi possiamo concludere che la soluzione sarà:
$S={x<=-1 vv x>=1}$.

$sqrt(x^2-2x-1) lt x-1$

$sqrt(x^2-2x-1)<x-1$

$sqrt(x^2-2x-1)<x-1$;
L’indice della radice è pari ed è del tipo $sqrt(f(x))>g(x)$ quindi sarà equivalente al sistema:

${(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)<[g(x)]^2):}$;
Nel nostro caso $f(x)=x^2-2x-1 ^^ g(x)=x-1$.
Quindi la disequazione è equivalente al sistema:
${(x^2-2x-1>=0),(x^2-2x-1<(x-1)^2),(x-1>0):}$;
${(x^2-2x-1>=0),(x^2-2x-1<x^2-2x+1),(x>1):}$
${(x^2-2x-1>=0),(-1<+1),(x>1):}$
La seconda disequazione è verificata$AA x in RR$.

Studiamo singolarmente la disequazione di secondo grado:
$x^2-2x-1>=0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-1)^2-(1*(-1))=1+1=2$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(1+-sqrt2) => x_1=(1-sqrt2) ^^ x_2=(1+sqrt2)$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$S_2={x<=(1-sqrt2) vv x>=(1+sqrt2)}$.

Intersechiamo, ora, le soluzioni trovate e otterremo la soluzione finale del sistema

$S={x>=(1+sqrt2)}$.

$sqrt(6x-x^2) lt 3-2x$

$sqrt(6x-x^2)<3-2x$

$sqrt(6x-x^2)<3-2x$;
Essa è del tipo $sqrt(f(x))>g(x)$ ed è quindi equivalente al sistema
${(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)<[g(x)]^2):}$;
Nel nostro caso $f(x)=6x-x^2 ^^ g(x)=3-2x$.
Quindi la disequazione è equivalente al sistema:
${(6x-x^2>=0),(6x-x^2<(3-2x)^2),(3-2x>0):}$;
${(6x-x^2>=0),(6x-x^2<9+4x^2-12x),(-2x> -3):}$;
${(6x-x^2>=0),(-5x^2-9+18x<0),(x<3/2):}$;
${(6x-x^2>=0),(5x^2-18x+9>0),(x<3/2):}$;
Studiamo singolarmente le prime due disequazioni:
1)$6x-x^2>=0$;
$x(6-x)>=0 => x>=0 vv 6-x>=0$.
Quindi soluzione della disequazione sarà:
$S_1={0<=x<=6}$.

2)$5x^2-18x+9>0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-9)^2-(9*5)=81-45=36$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(9+-sqrt(36))/5=(9+-6)/5 => x_1=3 ^^ x_2=3/5$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$S_2={x<=3/5 vv x>=3}$.

Intersechiamo, ora, le soluzioni trovate e otterremo la soluzione finale del sistema

$S={0<=x<3/5}$.

$sqrt(x^2+x+1) lt 4$

$sqrt(x^2+x+1)<4$

$sqrt(x^2+x+1)<4$;
Eleviamo ambo i membri al quadrato, ottenendo:
$(sqrt(x^2+x+1))^2<4^2$;
$x^2+x+1<16$;
$x^2+x-15<0$;

Risolviamo la disequazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=1^2-(4*1*(-15))=1+60=61$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-1+-sqrt(61))/2 => x_1=(-1-sqrt(61))/2 ^^ x_2=(-1+sqrt(61))/2$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è discorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli interni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$(-1-sqrt(61))/2<x<(-1+sqrt(61))/2$.

Quindi $S={(-1-sqrt(61))/2<x<(-1+sqrt(61))/2}$.

$sqrt(5-x)>1$

$sqrt(5-x)>1$;
Eleviamo ambo i membri al quadrato
$(sqrt(5-x))^2>1^2$;
$5-x>1$;
Racogliamo i termini simili
$-x> -4 => x<4$.

Pertanto $S={x<4}$.

$root(3)(x^3-3x^2)>=root(3)(-2x)$

$root(3)(x^3-3x^2)>=root(3)(-2x)$
Eleviamo ambo i membri al cubo
$(root(3)(x^3-3x^2))^3>=(root(3)(-2x))^3$;
$x^3-3x^2>=-2x$;
$x^3-3x^2+2x>=0$;
$x(x^2-3x+2)>=0$
Una prima soluzione sarà $x>=0$.
Ora studiamo la disequazione d secondo grado:
$x^2-3x+2>=0$

$Delta=b^2-4ac=(-3)^2-(4*1*2)=9-8=1$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(3+-sqrt1)/2=(3+-1)/2 => x_1=2 ^^ x_2=1$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<=1 vv x>=2$.

Intersechiamo, ora, le soluzioni trovate e otterremo la soluzione finale

$S={0<=x<=1 vv x>=2}$.

$root(3)(x^3-4x) lt = x-1$

$root(3)(x^3-4x)<=x-1$

$root(3)(x^3-4x)<=x-1$
Noi sappiamo che la disequazione del tipo
$root(3)(f(x))>=<g(x)$
è equivalente alla disequazione
$f(x)>=<[g(x)]^3$

Nel nostro caso prendiamo $f(x)=x^3-4x ^^ g(x)=x-1$, otteniamo che la disequazone
$root(3)(x^3-4x)<=x-1$
è equivalente alla disequazione
$x^3-4x<=(x-1)^3$
Risolviamo quindi la seguente disequazione:
$x^3-4x<=(x-1)^3$;
$x^3-4x<=x^3-1+3x-3x^2$
Semplificando
$3x^2-7x+1<=0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-(4*1*3)=49-12=37$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(7+-sqrt(37))/6=(7+-sqrt(37))/6 => x_1=(7+sqrt(37))/6 ^^ x_2=(7-sqrt(37))/6$.

Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prenderemo gli intervalli esterni, quindi soluzione della disequazione sarà:
$x<(7-sqrt(37))/6 vv x>(7+sqrt(37))/6$.

$root(3)(2x-2)$

$root(3)(2x-2)<-root(3)(2x+5)$

$root(3)(2x-2)<-root(3)(2x+5)$;
Eleviamo ambo i membri al cubo
$(root(3)(2x-2))^3<(-root(3)(2x+5))^3$;
$2x-2<-2x-5$;
Racogliamo i termini simili
$4x<-3 => x<-3/4$.

$x+3>root(3)(x^3-1)$

$x+3>root(3)(x^3-1)$
Riscriviamo la disequazione in questo modo
$root(3)(x^3-1)<x+3$
Noi sappiamo che la disequazione del tipo
$root(3)(f(x))>=<g(x)$
è equivalente alla disequazione
$f(x)>=<[g(x)]^3$

Nel nostro caso prendiamo $f(x)=x^3-1 ^^ g(x)=x+3$, otteniamo che la disequazone
$x+3>root(3)(x^3-1)$
è equivalente alla disequazione
$x^3-1<(x+3)^3$;
Risolviamo quindi la seguente disequazione:
$x^3-1<(x+3)^3$;
$x^3-1<x^3+27+9x^2+27x$;
Semplificando
$-9x^2-27x-28<0$
Cambiando di segno
$9x^2+27x+28>0$.
E’ evidente che $AA x in RR$ la disequazione è verificata, pertanto la soluzione sarà $S=RR$.

$sqrt(x-3)=sqrt(3x+2)-sqrtx$

$sqrt(x-3)=sqrt(3x+2)-sqrtx$
Costruamo l’insieme di equivalenza del seguente sistema:
${(x>=0),(x-3>=0),(3x+2>=0):}$;
${(x>=0),(x>=3),(x>=-2/3):}$;

Pertanto $E={x>=3}$.
Ritorniamo ora all’equazione
$sqrt(x-3)=sqrt(3x+2)-sqrtx$
Eleviamo ambo i membri al quadrato, ottenendo:
$(sqrt(x-3))^2=(sqrt(3x+2)-sqrtx)^2$;
$x-3=3x+2+x-2(sqrt(x(3x+2)))$;
$-3x-5=-2(sqrt(x(3x+2)))$;
Cambiando di segno, otteniamo
$3x+5=2(sqrt(x(3x+2)))$;
Eleviamo, ancora, al quadrato ambo i membri
$(3x+5)^2=(2(sqrt(x(3x+2))))^2$;
$9x^2+25+30x=4(3x^2+2x)$;
$9x^2+25+30x=12x^2+8x$;
Raccogliamo termini simili
$-3x^2+22+25=0$;
Cambiando di segno
$3x^2-22-25=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-11)^2-(3*(-25))=121+75=196$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(11+-sqrt(196))/3=(11+-(14))/3 => x_1=(25)/3 ^^ x_2=-1$.

La soluzione $x_2=-1$ non è accettabile, perchè non appartiene all’intervallo di equivalenza.

Quindi soluzione dell’equazione sarà $S={(25)/3}$.

$x^2-2-5sqrt(x^2-2)+6=0$

$x^2-2-5sqrt(x^2-2)+6=0$
Costruamo l’insieme di equivalenza, e quindi deve risultare:
$x^2-2>=0$ cioè, $x^2>=2 => x<=-sqrt2 vv x>=sqrt2$

Pertanto $E={x<=-2 vv x>=2}$.

Poniamo $x^2-2=y$ e quindi avremo
$y-5sqrty+6=0$;
$y+6=5sqrty$
Eleviamo ambo i membri al quadrato, ottenendo:
$(y+6)^2=(5sqrty)^2$;
$y^2+36+12y=25y$
$y^2-13y+36=0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(-13)^2-(4*1*36)=169-144=25$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(13+-sqrt(25))/2=(13+-5)/2 => y_1=9 ^^ y_2=4$.

Pertanto, essendo $y=x^2-2$ si ha
$y_1=9=x^2-2 => x^2=11 => x=+-sqrt(11)$
$y_2=4=x^2-2 => x^2=6 => x=+-sqrt6$

Quindi soluzione dell’equazione sarà l’insieme $S={+-sqrt6; +-sqrt(11)}$.

$sqrt(4x+4)+sqrt(9-2x)=5$

$sqrt(4x+4)+sqrt(9-2x)=5$;
Per semplificare il calcolo, prima di elevare al quadrato i due membri dell’equazione,
trasportiamo al secondo membro uno dei due radicali
$sqrt(4x+4)=5-sqrt(9-2x)$;
Eleviamo al quadrato
$4x+4=25+9-2x-10sqrt(9-2x)$;
Semplificando
$6x-30=-10sqrt(9-2x)$;
Dividiamo ambo i membri per $2$
$3x-15=-5sqrt(9-2x)$;
Eleviamo, ancora, ambo i membri al quadrato
$9x^2+225-90x=25(9-2x)$;
$9x^2+225-90x=225-50x$;
Semplificando
$9x^2-40x=0$;
$x(9x-40)=0 => x=0 vv 9x-40=0$, cioè
$x=0 vv x=(40)/9$.

Quindi soluzione dell’equazione sarà $S={0, (40)/9}$.

$sqrt(x+27)=sqrtx+3$

$sqrt(x+27)=sqrtx+3$;
Eleviamo al quadrato ambo i membri
$(sqrt(x+27))^2=(sqrtx+3)^2$;
$x+27=x+9+6sqrtx$;
Semplificando
$6sqrtx=18 => sqrtx=3$
Elevando, ancora, ambo i membri al quadrato si ha:
$x=9$.

Quindi soluzione dell’equazione sarà $S={9}$.

$root(4)(3x^2-5x+2)=root(4)(-4x-3x^2+4)$

$root(4)(3x^2-5x+2)=root(4)(-4x-3x^2+4)$;
Eleviamo ambo i membri alla quarta, ottenendo:
$3x^2-5x+2=-4x-3x^2+4$
Semplificando
$6x^2-x-2=0$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-§(4*(-2)*6)=1+48=49$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(1+-sqrt(49))/(12)=(1+-7)/(12) => x_1=2/3 ^^ x_2=-1/2$.
Quindi soluzione dell’equazione sarà $S={-1/2, 2/3}$.

$root(3)(x+1)+root(3)(2-x)=root(3)(3)$

$root(3)(x+1)+root(3)(2-x)=root(3)(3)$;
L’equazione contiene radicali di indice dispari, quindi il suo dominio è $RR$.
Per semplificare il calcolo, prima di elevare al cubo i due membri dell’equazione,
trasportiamo al secondo membro uno dei due radicali
$root(3)(x+1)=root(3)(3)-root(3)(2-x)$;
Elevando al cubo otteniamo:
$x+1=(root(3)(3)-root(3)(2-x))^3$;
$x+1=3-3root(3)(9(2-x))+3root(3)(3(2-x)^2)-(2-x)$;
$x+1=3-3root(3)(9(2-x))+3root(3)(3(2-x)^2)-2+x$;
Semplificando
$3root(3)(9(2-x))-3root(3)(3(2-x)^2)=0$;
Dividendo ambo i membri per $3$, si ha:
$root(3)(9(2-x))=root(3)(3(2-x)^2)$;
Eleviamo di nuovo al cubo:
$9(2-x)=3(2-x)^2$;
$18-9x=3(4+x^2-4x)$;
$18-9x=12+3x^2-12x$;
Semplificando e cambiando di segno
$3x^2-3x-6=0$
Dividiamo ambo i membri per $3$
$x^2-x-2=0$

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-(4*(-2)*1)=1+8=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(1+-sqrt9)/2=(1+-3)/2 => x_1=2 ^^ x_2=-1$.
Quindi soluzione dell’equazione sarà $S={-1, 2}$.

$sqrt(x^2+13x-9)-5x=2-4x$

$sqrt(x^2+13x-9)-5x=2-4x$;
Isoliamo il radicale e scriviamo l’equazione nella forma
$sqrt(x^2+13x-9)=2+x$;
eleviamo al quadrato ambo i membri e risolviamo l’equazione ottenuta:
$x^2+13x-9=4+4x+x^2$;
Semplicando
$9x=13 => x=(13)/9$.

$sqrt(x^2-4x)+3=0$

$sqrt(x^2-4x)+3=0$;
Isolando il radicale otteniamo
$sqrt(x^2-4x)=-3$;
Poichè il secondo membro è negativo, non vi può essere concordanza di segnoe si deve concludere
che l’equazione è impossibile in $RR$.