Illustriamo alcuni teoremi sui limiti, supponendo che i limiti di cui si parla esistano, e siano finiti. Tali teoremi sono utili per eseguire operazioni sui limiti.

Teorema: Siano \( f_1(x) \) e \( f_2(x) \) due funzioni che ammettono per x → c (finito o infinito) limiti finiti, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l_1 \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = l_2 \]

allora, il limite della somma delle due funzioni esiste e coincide con la somma dei due limiti; allo stesso modo, il limite della differenza delle due funzioni esiste e coincide con la differenza dei limiti:

\[ \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x)\pm f_2(x)] = \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) \pm \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = l_1 \pm l_2 \]

Il teorema si può applicare anche al caso di più di due funzioni, e anche al caso in cui una di esse sia la funzione costante.

Nel caso in cui, invece, le funzioni abbiano limite infinito, dobbiamo distinguere diversi casi:

• Se una funzione ha limite infinito e l’altra ha limite finito, la loro somma algebrica ha come risultato infinito:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = \pm\infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = \pm \infty \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) – f_2(x)] = \pm \infty \)

• se entrambe le funzioni hanno limite più infinito, la loro somma ha limite più infinito:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = +\infty \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = +\infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = +\infty \)

In questo caso, nulla si può dire della loro differenza;

• se entrambe le funzioni hanno limite meno infinito, la loro somma ha limite meno infinito:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = -\infty \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = -\infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = -\infty \)

nulla si può dire, però, della loro differenza;

• se le funzioni hanno limite infinito, di segno discorde, allora la loro differenza vale infinito, e si ha:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = +\infty \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = -\infty \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) – f_2(x)] = +\infty \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow c} [f_2(x) – f_1(x)] = -\infty \)

Non è invece definita la loro somma.

Nei casi in cui non si può dire nulla di un certo limite, cioè se il limite si presenta nella forma + ∞ – ∞, si parla di forma indeterminata.

Somma e differenza di funzioni continue

Il seguente teorema è una conseguenza immediata del teorema precedente, e afferma che:

Teorema: la somma e la differenza di due funzioni continue in un punto c sono funzioni continue nel punto c.
Allo stesso modo, se le funzioni in questione sono continue in un intervallo I, allora la loro somma e la loro differenza sono funzioni continue in I.

Teorema: Limite del prodotto di due funzioni

Il limite del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \rightarrow c} f(x) \]

In base ai teoremi precedenti, possiamo affermare che il limite di una combinazione lineare di funzioni, è proprio la combinazione lineare dei limiti delle funzioni.

Quindi, se le funzioni in questione sono \(f_1(x)\) e \(f_2(x)\), e hanno limiti, rispettivamente, \(l_1\) e \(l_2\), allora si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} [k\cdot f_1(x) + h \cdot f_2(x)] = k \cdot \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) + h \cdot \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = k \cdot l_1 + h \cdot l_2 \]

Per questo motivo, si usa dire che il limite è un operatore lineare.

Teorema: Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni:

\[ \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l_1 \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = l_2 \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x)\cdot f_2(x)] = l_1 \cdot l_2 \]

Questo teorema può essere esteso al caso di due o più funzioni; possiamo quindi dire che il limite del prodotto di più funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni; in particolare, se uno dei fattori tende a zero, e gli altri tendono al un valore finito, il limite del prodotto tende a zero.

Esaminiamo ora alcuni casi in cui il limite delle funzioni non sia finito.

• se uno dei fattori tende all’infinito, e l’altro ad un valore finito diverso da zero, allora il prodotto delle due funzioni tende all’infinito, con segno dato dalla regola dei segni:

\[ \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l \ne 0 \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = \infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) \cdot f_2(x)] = \infty \]

• se entrambi i fattori tendono all’infinito, il prodotto delle funzioni tende all’infinito, con segno dato dalla regola dei segni.

Nel caso, invece, in cui uno dei fattori tende all’infinito e l’altro tende a zero, non possiamo dire nulla sul prodotto delle funzioni, e ci troviamo di fronte ad una forma di indecisione del tipo ∞ ∙ 0.

Teorema: Il limite della potenza, con esponente intero n positivo, di una funzione che tende ad un limite finito è la potenza ennesima del limite, cioè:

Nel caso in cui il limite della funzione è ±∞, se n è pari il limite della potenza sarà +∞, mentre, se n è dispari, il limite della potenza sarà -∞.

In sintesi

Forme indeterminate o di indecisione

\[ \frac{0}{0} \mbox{; } \frac{\infty}{\infty} \mbox{; } 0 \cdot \infty \mbox{; } \infty – \infty \mbox{; } \infty^{0} \mbox{; } 0^0 \mbox{; } 1^{\infty} \]

Forme determinate in cui compaiono 0 e ∞

\[ \frac{l}{\infty} = 0 \mbox{; } \frac{l}{0} = \infty \mbox{; } \frac{\infty}{0} = \infty \mbox{; } \frac{0}{\infty} = 0 \]

\[ \infty \cdot \infty = \infty \mbox{; } +\infty + \infty = +\infty\mbox{; } -\infty – \infty = – \infty \]

 

Consideriamo una funzione f(x) generica; sappiamo che, per x tendente ad un punto c (x → c), la funzione può avere limite, o può non averlo. Inoltre, questo limite, se esiste, può coincidere con f(c) se questo è definito, o può non coincidere con f(c).

A questo proposito, diamo la seguente definizione:

Definizione di funzione continua in un punto

Una funzione di equazione y = f(x) si dice continua in un punto c quando esiste il limite della funzione per x → c e questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]

Ricordando la definizione di limite, possiamo anche affermare che una funzione f(x) è continua in un punto x = c se, comunque scelto un valore ε arbitrariamente piccolo, è possibile trovare un intorno di c in tutti i punti del quale risulti:

\[ |f(x) – f(c)| < \epsilon \]

Riassumendo, possiamo dire che una funzione f(x) è continua nel punto x = c se:

• esiste il valore della funzione nel punto c;
• esiste il limite della funzione per x tendente a c;
• il valore del limite è uguale al valore della funzione in c.

In particolare, possiamo distinguere due casi; se si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = f(c) \]

si dice che la funzione f(x) è continua in c dalla sinistra; se invece, di ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = f(c) \]

si dice che la funzione f(x) è continua in c dalla destra.

Osserviamo che, se una funzione è continua in un punto c, il punto c deve essere un punto di accumulazione del dominio della funzione, cioè tale che, in ogni suo intorno esiste almeno un elemento del dominio distinto dal punto c stesso.

Definizione di funzione continua in un intervallo

Una funzione f(x) si dice continua in un intervallo I se essa è continua in ogni punto di I.

L’insieme dei valori di x per cui una funzione è continua è detto insieme di continuità di f(x) e, molto spesso, esso coincide proprio con il dominio della funzione.

Continuità delle funzioni elementari

Vediamo alcuni esempi di funzioni elementari continue.

• La funzione costante

La funzione costante f(x) = k è continua per qualunque valore di x; infatti, sappiamo che per ogni c reale, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} k = k \]

e, poiché il valore di f(x) in x = c è proprio k, la funzione è continua per tutti i valori di x.

• La variabile indipendente

La funzione f(x) = x è continua per tutti i valori di x; infatti, consideriamo un generico c reale: abbiamo che f(c) = c. Si può verificare che per qualunque valore di x, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \rightarrow \lim_{x \rightarrow c} x = c \]

• La funzione esponenziale

Anche la funzione esponenziale è continua per ogni x reale, e si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} a^x = a^c \, \, \, \, \forall c \in \mathbb{R} \mbox{, } a \gt 0 \]

• La funzione logaritmica

La funzione logaritmica è continua per ogni valore di x positivo, e si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} \log_a x = \log_a c \, \, \, \, \forall c \in \mathbb{R^{+}} \mbox{, } a \in \mathbb{R^{+}} – \{1\} \]

Calcolo dei limiti delle funzioni continue

Se una funzione è continua, possiamo calcolare facilmente il suo limite per x che tende ad un valore numerico c. Infatti, dalla definizione di funzione continua, sappiamo che se una funzione f(x) è continua in un punto x = c, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]

Quindi, per calcolare il limite della funzione, per x→ c, sapendo che essa è continua in x = c, basta calcolare il valore della funzione in questo punto, cioè f(c).

Esempio di calcolo del limite attraverso la continuità della funzione:

Calcoliamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow 2} 3^x \]

Sappiamo che la funzione esponenziale è una funzione continua in ogni x reale, quindi è continua in particolare anche in x = 2. Quindi, possiamo calcolare facilmente il limite della funzione per x→ 2, in quanto questo corrisponde proprio con il valore che la funzione assume in x = 2:

\[ \lim_{x \rightarrow 2} f(x) = f(2) \rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} 3^x = 3^2 = 9 \]

 

I seguenti teoremi si possono applicare quando si vuole determinare il limite di una funzione.

Primo teorema del confronto

Se due funzioni h(x) e g(x) tendono allo stesso limite finito l, per x → c, con c finito o infinito, e una terza funzione f(x), in tutti i punti di un intorno di c, escluso al più x = c, è compresa tra le due precedenti, allora, anch’essa tende allo stesso limite l, per x → c:

\( \begin{cases} h(x) \le f(x) \le g(x) \\ \lim_{x \rightarrow c} h(x) = l \\ \lim_{x \rightarrow c} g(x) = l \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l \)

In questi casi, quando si hanno delle funzioni h(x) , g(x) e f(x) tali che, in un certo intervallo, si ha h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), allora si dice che, in quell’intervallo, la funzione h(x) è minorante della funzione f(x), e che la funzione g(x) è maggiorante della funzione f(x).

Secondo teorema del confronto

Se in tutti i punti di un intorno c, finito o infinito, escluso al più x = c, due funzioni sono tali che:

\[ |f(x) \le |g(x)| \]

e g(x) tende a zero per x → c, allora anche f(x) tende a zero per x → c.

Terzo teorema del confronto

Se in tutti i punti di un intorno di c, infinito o finito, escluso al più x = c, due funzioni sono tali che:

\[ |g(x)| \ge |f(x)| \]

e f(x) tende all’infinito per x → c, allora anche g(x) tende all’infinito per x → c.

Esistenza del limite per le funzioni monotone

Le funzioni monotone sono funzioni sempre crescenti o sempre decrescenti; per questo tipo di funzioni, vi sono teoremi che garantiscono l’esistenza del limite, sotto alcune condizioni.

Teorema Sia y = f(x) una funzione definita e crescente in un intorno sinistro I del punto c (il teorema è valido anche se I è un intorno di + ∞, cioè se c = +∞); allora, la funzione ammette limite per x che tende a c per difetto (cioè, da sinistra ), e in particolare si ha che:

• se la funzione è limitata superiormente in I e se L è l’estremo superiore dei valori di f(x) al variare di x in I, allora si ha che: \[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = L^{-} \]
• se la funzione non è limitata superiormente in I, allora il limite vale più infinito: \[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = +\infty \]

Teorema Sia y = f(x) una funzione definita e crescente in un intorno destro I del punto c (anche in questo caso, il teorema è valido anche se I è un intorno di – ∞, cioè se c = -∞ ); allora, la funzione ammette limite per x che tende a c per eccesso (cioè, da destra), e in particolare si ha che:

• se la funzione è limitata inferiormente in I e se l è l’estremo inferiore dei valori di f(x) al variare di x in I, allora si ha che: \[ \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = l^{+} \]
• se la funzione non è limitata inferiormente in I, allora il limite vale meno infinito: \[ \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = -\infty \]

I due teoremi precedenti possono essere illustrati anche nel caso di una funzione f(x) che sia definita e decrescente in un intorno I del punto c.

Teoremi sui limiti delle successioni

I teoremi generali sui limiti delle funzioni possono essere estesi anche ai limiti delle successioni.

Vediamo in particolare, i teoremi del confronto estesi alle successioni.

Primo teorema del confronto per le successioni

Se due successioni \( a_n \) e \( b_n \) tendono allo stesso limite finito l, e una terza successione \( c_n \) è compresa, definitivamente, tra le due precedenti, allora anche la successione \( c_n \) tende allo stesso limite l:

\( \begin{cases} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = l \\ \lim_{n \rightarrow +\infty} b_n = l \\ a_n \le c_n \le b_n \end{cases} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} c_n = l \)

Secondo teorema del confronto

Se due successioni \( a_n \) e \( b_n \) sono tali che, definitivamente, si abbia:

\[ |a_n| \le |b_n| \]

e se \( b_n \) ha per limite 0, allora anche \( a_n \) tende a zero:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0 \]

Terzo teorema del confronto per le successioni

Se due successioni \( a_n \) e \( b_n \) sono tali che, definitivamente, si abbia:

\[ |a_n| \le |b_n| \]

se \( a_n \) diverge, allora anche \( b_n \) tende all’infinito.

 

Teoremi generali

Per i limiti valgono i seguenti teoremi

Teorema di unicità del limite:

Se per x → c, la funzione f(x) ammette un limite, questo limite è unico.

Teorema della permanenza del segno:

Se per x → c la funzione f(x) tende al limite finito l diverso da zero, esiste un intorno di c per tutti i punti del quale, escluso a più c, i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite.

Questo teorema è valido anche per x → +∞, per x → -∞ e per x → ∞; inoltre,vale anche se il limite l è uguale a +∞ o -∞, mentre non è valido per l = ∞.

Esempio di verifica del teorema della permanenza del segno

Verifichiamo il teorema della permanenza del segno in un caso particolare; consideriamo la seguente funzione:

\[ f(x) = \frac{1-x^2}{100} \]

Il suo limite per x → 0 è 1/100, infatti possiamo verificare che la disequazione |f(x) – 1/100| < ε ha per soluzione un intorno di zero:

\( \Big|\frac{1-x^2}{100}-\frac{1}{100}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{1-x^2-1}{100}\Big| \lt \epsilon \rightarrow |x^2| \lt 100\epsilon \)

da cui otteniamo:

\[ -100 \epsilon \lt x^2 \lt 100 \epsilon \]

Possiamo separare le due disequazioni, e porle all’interno di un sistema:

\( \begin{cases} x^2 \lt 100\epsilon \\ x^2 \gt -100 \epsilon \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -10\sqrt{\epsilon} \lt x \lt 10\sqrt{\epsilon} \\ \forall x \in \mathbb{R} \end{cases} \)

Le soluzioni della disequazione di partenza, quindi, sono date dal seguente intervallo, che è un intorno di zero:

\[ -10\sqrt{\epsilon} \lt x \lt 10\sqrt{\epsilon} \]

Quindi, possiamo affermare che il limite di f(x), per x → 0, è proprio 1/100:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-x^2}{100} = \frac{1}{100} \]

In questo caso, il limite cui tende la funzione è positivo, quindi per il teorema della permanenza del segno sappiamo che, in tutti i punti di un intorno di x = 0, eccetto al più x = 0, si ha che anche la funzione f(x) è positiva. In effetti, la funzione f(x) è maggiore di zero proprio in un intorno di zero:

\[ f(x) \gt 0 \rightarrow \frac{1-x^2}{100} \gt 0 \rightarrow -1 \lt x \lt 1 \]

Il teorema della permanenza del segno può anche essere invertito. Vediamo alcuni teoremi che ne derivano:

Teorema: Se in un intorno del punto c, escluso al più x = c, la funzione f(x) è positiva o nulla, ed ammette limite l per x → c, allora si ha che l ≥ 0.

Se, però, sappiamo che in un intorno di c, escluso al più x = c, la funzione f(x) è positiva, cioè f(x) > 0, non è detto che il limite l della funzione, per x → c, se esiste è positivo, infatti esso può essere anche nullo.

Infatti, la funzione quadratica elementare, y = x^2, è positiva in un intorno dell’origine, escluso x = 0, ma al tendere di x a zero, cioè per x → 0, assume proprio il valore zero ( l = 0 ).

Teorema: Se in un intorno del punto c, escluso al più x = c, la funzione è negativa o nulla, ed ammette limite l per x → c, allora si ha che l ≤ 0.

I teoremi appena enunciati hanno validità anche per x → +∞, per x → -∞ e per x → ∞. Possiamo, inoltre, estendere questi teoremi al caso dei limiti infiniti; vediamo il seguente teorema:

Teorema: Se una funzione f(x) ha limite infinito per x → c e in tutti i punti di un intorno di c, escluso al più x = c, risulta f(x) ≥ 0, allora per x → c la funzione ha limite +∞; se invece, in un intorno di c, escluso al più x = c, la funzione è negativa o nulla ( f(x) ≤ 0 ), il limite della funzione per x → c vale -∞.

Teorema sul limite del modulo di una funzione

Se per x → c la funzione f(x) tende ad un limite finito l, allora il limite del modulo della funzione equivale al modulo del limite, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} |f(x)| = |l| \]

 

Consideriamo la funzione seguente:

\[ y = f(x) = x^3 \]
Sappiamo che essa è definita per ogni x reale, quindi esaminiamo il comportamento della funzione mano a mano che i valori di x, positivi o negativi, diventano molto grandi, in valore assoluto.

Riassumiamo in uno schema i valori assunti da f(x) al variare di x:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Possiamo quindi notare che, all’aumentare di x, la funzione f(x) assume valori sempre più grandi, quindi, possiamo scrivere che per x → +∞, f(x) → +∞ ; allo stesso modo, al diminuire di x, f(x) assume valori sempre più piccoli, quindi per x → -∞, f(x) → -∞.

In termini generali, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \]

Diamo ora una definizione generale, considerando una generica funzione f(x), definita in un intorno di infinito.

Definizione di limite infinito

Si dice che, per x tendente all’infinito, la funzione y=f(x) ha per limite infinito, e si scrive

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \]

se, comunque si scelga un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare, in corrispondenza di esso, un introno di infinito tale che, per ogni x di tale intorno, si ha:

\[ | f(x) | \gt M \]

cioè, ricordando le proprietà del valore assoluto:

\[ f(x) \lt -M \vee f(x) \gt M \]

Quindi, possiamo dire che, in corrispondenza di un qualunque M > 0 è possibile determinare un intorno di infinito tale che, per ogni x di questo intorno, i corrispondenti punti di f(x) giacciono all’esterno della linea striscia delimitata dalle rette y = M e y = -M.

Per verificare un limite infinito per x che tende all’infinito occorrerà risolvere la disequazione | f (x) | > M, e accertarsi che l’insieme delle soluzioni trovate contenga un intorno di infinito.

Esempio di verifica di un limite infinito

Verifichiamo il seguente limite:

\[ lim_{x \rightarrow \infty} \log(1 + x^2) = \infty \]

Dobbiamo verificare che, comunque scelto un M > 0, arbitrariamente grande, la disequazione |f(x)| > M contenga un intorno di infinito. Risolviamo, quindi, la seguente disequazione:

\( | \log(1+x^2) | \gt M \)

\( \log(1+x^2) \lt -M \vee \log(1+x^2) \gt M \)

Cominciamo risolvendo la prima disequazione:

\( \log(1+x^2) \lt -M \rightarrow 1+x^2 \lt e^{-M} \rightarrow -\sqrt{e^{-M} – 1} \lt x \lt \sqrt{e^{-M}-1} \)

Risolviamo ora la seconda:

\( \log(1+x^2) \gt M \rightarrow 1+x^2 \gt e^M \rightarrow x \lt – \sqrt{e^M – 1} \vee x \gt \sqrt{e^{-M} – 1} \)

Le soluzioni della disequazione di partenza sono date dall’unione delle soluzioni delle due disequazioni, quindi abbiamo il seguente intervallo:

\( (-\infty; -\sqrt{e^M-1}) \cup (-\sqrt{e^{-M}-1}; \sqrt{e^M-1}; +\infty) \)

L’intervallo delle soluzioni contiene un intorno di infinito (dato dalle soluzioni della seconda disequazione ), pertanto possiamo affermare che il limite di partenza è verificato.

In alcuni casi, la funzione poù tendere solo a +∞, o solo a -∞. In particolare, se comunque si scelga M > 0, arbitrariamente grande, è possibile determinare un intorno di infinito per cui sia verificata la disequazione f(x) < -M, si dice che per x → ∞, f(x) tende a -∞:

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty \)

Allo stesso modo, se comunque si scelga M > 0, si può trovare un intorno di ∞ in cui valga f(x) > M, allora per x → ∞, f(x) tende a +∞:

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = +\infty \)

Se, invece, le disequazioni f(x) < -M o f(x) > M sono verificate solo in un intorno di meno infinito, o solo in un intorno di più infinito, si dice che per x tendente a più infinito (x → +∞) , oppure per x tendente a meno infinito (x → -∞), f(x) ha per limite ∞ ( o, rispettivamente, +∞, o – ∞ ).

Esempio di verifica di un limite infinito per x tendente all’infinito

Verificare il seguente limite infinito, per x tendente a infinito:

\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} (1 – \sqrt{x}) = -\infty \]

Vogliamo verificare che, comunque scelto un M > 0, abbastanza grande, esista un intorno di più infinito in cui sia verificata la disequazione f(x) < -M, poiché la funzione tende a – ∞. Quindi, impostiamo la seguente disequazione:

\[ 1 – \sqrt{x} \lt -M \]

Risolviamo la disequazione:

\[ 1-\sqrt{x}\lt -M \rightarrow \sqrt{x} \gt M + 1 \rightarrow x \gt (M + 1)^2 \]

La soluzione della disequazione può anche essere scritta come intervallo, in questo modo:

\[\Big((M+1)^2; +\infty\Big) \]

Che rappresenta proprio un intorno di +∞, quindi il limite di partenza è stato verificato.

 

 

Consideriamo la funzione seguente:

\( y = f(x) = \frac{1}{x-1} \)

Sappiamo che la funzione non è definita per x = 1, esaminiamo il comportamento della funzione per valori di x prossimi a 1.

Riassumiamo in una tabella il valore di f(x) per valori di x che si avvicinano sempre di più a 1, da destra e da sinistra:

 

 

 

Notiamo, anche facendo riferimento al grafico della funzione, che, a mano a mano che x si approssima per difetto al valore 1, tanto più la funzione f(x) assume valori negativi più grandi (in valore assoluto); allo stesso modo, più x si avvicina a 1 per eccesso, tanto più i valori positivi di f(x) aumentano.

Possiamo quindi affermare che, per x tendente a 1 da destra, la funzione f(x) tende a + ∞, mentre, per x tendente a 1 da sinistra la funzione f(x) tende a – ∞.

In simboli, scriviamo:

\( |f(x)| \gt M \)

\( \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{x-1} = +\infty \mbox{    ,    } \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1} = -\infty \)

In particolare, possiamo affermare che, all’approssimarsi si x al valore 1, i valori che assume la funzione f(x) diventano maggiori di qualunque numero prefissato, per quanto grande esso possa essere.

Si verifica, quindi, che, comunque scelto un numero M > 0 grande a piacere, si ha sempre che | f(x) | > M, in tutti i punti di x in un intorno di 1, e per x ≠ 1.

Diamo ora una definizione generale, riferita ad una funzione f(x), definita in un intervallo [a;b], eccetto al più il punto c, interno all’intervallo.

Definizione:

Si dice che, per x tendente a c, la funzione f(x) ha limite infinito, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = \infty \]

se, comunque sia fissato un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare in corrispondenza ad esso, un intorno completo di c tale che, per ogni x di tale intorno, escluso al più x = c, si ha che: |?(?)|>?

Che si può anche scrivere, ricordando le proprietà del valore assoluto, nel seguente modo:

\[ f(x) \lt -M \vee f(x) \gt M \]

Ciò significa che, nel grafico di f(x), è possibile determinare un intorno del punto c tale che, per ogni x appartenente a questo intorno, escluso al più x = c, i corrispondenti punti del grafico di y = f(x) giacciono all’esterno della striscia delimitata dalle rette y = -M e y = M.

Di conseguenza, per verificare un limite infinito per x che tende ad un valore finito, occorre risolvere la disequazione | f(x) | > M, e accertarsi che l’insieme delle soluzioni sia un intorno di c, o comprenda un intorno di c.

Esempio: Verifichiamo il seguente limite:

\( \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x^2-4} = \infty \)

Affinché il limite sia verificato, impostiamo la seguente disequazione:

\( \Big| \frac{1}{x^2-4} \Big| \gt M \)

Dato che al numeratore abbiamo un numero, possiamo separare il valore assoluto, e invertire la frazione:

\( \frac{1}{|x^2-4|} \gt M \rightarrow |x^2-4| \lt \frac{1}{M} \rightarrow -\frac{1}{M} \lt x^2-4 \lt \frac{1}{M} \)

Possiamo spezzare la disequazione e impostare un sistema, da cui otteniamo:

\( \begin{cases} x^2-4 \lt \frac{1}{M} \\ x^2-4 \gt -\frac{1}{M} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x^2 \lt \frac{1}{M} + 4 \\ x^2 \gt -\frac{1}{M} + 4 \end{cases} \rightarrow \)

\( \rightarrow \begin{cases} -\sqrt{\frac{1}{M}+4} \lt x \lt \sqrt{\frac{1}{M} + 4} \\ x \lt -\sqrt{4 – \frac{1}{M}} \vee x \gt \sqrt{4 – \frac{1}{M}} \end{cases} \)

Risolviamo il sistema, e visualizziamo gli intervalli descritti dalle disequazioni in uno schema:

 

 

 

 

 

Poiché il limite di partenza è per x che tende a 2, dei due intervalli che costituiscono le soluzioni del sistema, il secondo è quello che ci interessa maggiormente.

Infatti, l’intervallo

\[ \Big(\sqrt{4 – \frac{1}{M}}; \sqrt{\frac{1}{M}+4}\Big) \]

contiene sicuramente 2, poiché si ha \( 2 = \sqrt{4} \), e sapendo che M è un numero molto grande, sappiamo che 1/M è una quantità piccola.

Quindi, poiché le soluzioni della disequazione contengono un intorno di 2, possiamo concludere che il limite è verificato.

Asintoti verticali

Se per x → c si ha che f(x) → ∞, si dice che la retta x = c è un asintoto verticale per il grafico di f(x).

Si può parlare di asintoto verticale destro o sinistro, in base al modo in cui x tende a c: se x tende a c per eccesso, cioè da destra, si avrà un asintoto verticale destro, mentre se x tende a c per difetto, cioè da sinistra, si avrà un asintoto verticale sinistro.

Vediamo un esempio di asintoto verticale facendo riferimento alla funzione dell’esempio precedente:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideriamo la seguente funzione:

\[ y = f(x) = \frac{x-1}{x} \]

Sappiamo che essa è definita per tutti i valori di \( x \ne 0 \), quindi la funzione è sicuramente definita per valori di x molto grandi o molto piccoli, cioè in un intorno di infinito.

Esaminiamo, quindi, il comportamento della funzione per valori di x positivi sempre più grandi, e per valori di x negativi, sempre più grandi in valore assoluto. Riassumiamo in una tabella i risultati ottenuti:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Notiamo quindi che a mano a mano che i valori di x crescono, la funzione si avvicina sempre di più a 1, e si dice che “per x tendente all’infinito, f(x) ha per limite 1”, o anche “f(x) tende a 1 per x tendente all’infinito”.

Possiamo quindi affermare che, per valori di x abbastanza grandi, in valore assoluto, la distanza di f(x) da 1 è sempre più piccola, possiamo dire che il

valore di \( | f(x) – 1 | \) può essere reso piccolo a piacere, cioè minore di qualsiasi numero positivo arbitrariamente piccolo.

Esprimiamo questo concetto con una definizione formale:

Definizione di limite all’infinito

Si dice che, per x tendente all’infinito, la funzione y = f(x) ha per limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = l \]

se, comunque si scelga un numero positivo ε, arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza di esso, un intorno di infinito tale che, per ogni x appartenente a tale intorno, si ha:

\[ | f(x) – l | \lt \epsilon \]

In particolare, con la scrittura \( x \rightarrow \infty \) intendiamo i valori di x che tendono a \( +\infty \) e a \( -\infty \).

In questo caso, per verificare la correttezza di un limite, dobbiamo accertarci che la disequazione \( | f(x) – l | \lt \epsilon \) abbia come insieme delle soluzioni un intorno di infinito.

Vediamo un esempio:

Esempio di limite all’infinito

Verifichiamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x+2} = 1 \]

Dobbiamo verificare che per valori di x sempre più grandi, o per valori di x sempre più piccoli, la funzione si avvicini sempre di più al valore 1. Quindi, sappiamo che la differenza tra la funzione stessa e il valore 1 diventerà piccola a piacere, per questi valori di x, e in particolare, sarà sicuramente più piccola di un numero arbitrario ε; impostiamo quindi, la seguente disequazione:

\( \Big|\frac{x}{x+2}-1\Big| \lt \epsilon \)

Risolviamo la disequazione:

\( \Big|\frac{x-x-2}{x+2}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{-2}{x+2}\Big| \lt \epsilon \)

Poiché al numeratore abbiamo un valore numerico, possiamo separare i valori assoluti, e girare la frazione, ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:

\( \frac{|2|}{|x+2|} \lt \epsilon \rightarrow \frac{2}{|x+2|} \lt \epsilon \rightarrow \frac{|x+2|}{2} \gt \frac{1}{\epsilon} \rightarrow |x+2| \gt \frac{2}{\epsilon} \)

Da cui otteniamo:

\( x + 2 \lt -\frac{2}{\epsilon} \vee x+2 \gt \frac{2}{\epsilon} \)

Risolviamo le due disequazioni, ricordandoci che le soluzioni finali saranno l’unione delle soluzioni delle singole disequazioni:

\( x \lt -2 – \frac{2}{\epsilon} \vee x \gt \frac{2}{\epsilon} – 2 \)

Possiamo rappresentare l’insieme delle soluzioni anche con un’altra notazione:

\( \Big(-\infty; – 2; -\frac{2}{\epsilon}\Big) \cup \Big(\frac{2}{\epsilon}-2; +\infty\Big) \)

Il risultato ottenuto è un intorno di infinito, quindi concludiamo affermando che il limite è verificato.

 

Casi particolari

Con la notazione \( x \rightarrow \infty \), se non specifichiamo il segno di infinito, intendiamo infinito generico, cioè sia \( +\infty \) che \( -\infty \).

In alcuni casi, però, ci si può riferire solo a valori molto grandi positivi di x, o solo a valori molto piccoli negativi di x.

Vediamo quindi le due seguenti definizioni:

Definizione di limite per x che tende a più infinito

Si dice che, per x tendente a \(+\infty \), la funzione f(x) ha limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l \]

se, comunque fissato un numero positivo \( \epsilon \), arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno di \( +\infty \) tale che, per ogni x di tale intorno, si ha che:

\[ | f(x) – l | \lt \epsilon \]

Definizione di limite a meno infinito

Si dice che, per x tendente a \( -\infty \), la funzione f(x) ha limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = l \]

se, comunque scelto un numero positivo \( \epsilon \), arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno di  \( -\infty \) tale che, per ogni x di tale intorno, si ha che:

\[ | f(x) – l | \lt \epsilon \]

Asintoti orizzontali

Come abbiamo detto prima, se il limite per \( x \rightarrow +\infty \) per una funzione f(x), vale l, sappiamo che la funzione, per valori sempre più grandi di x, si avvicinerà sempre di più alla retta di equazione y = l. Si dice, in questo caso, che la funzione ha un asintoto orizzontale destro.

Allo stesso modo, se per \( x \rightarrow -\infty \) il limite della funzione vale l, diremo che la funzione ha un asintoto orizzontale sinistro di equazione y = l.

In particolare, se non si specifica il segno di \( \infty \), la funzione avrà un asintoto orizzontale sia destro che sinistro.

Riassumiamo i vari casi possibili:

 

\( lim_{x \rightarrow -\infty f(x) = l \)

 

 

 

 

 

 

 

 

\( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l \)

 

 

 

 

 

 

 

 

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = l \)

 

 

 

 

 

 

 

 

Limite destro e limite sinistro

Nella definizione di limite, si afferma che “x tende ad un valore c”, e si scrive x → c; in questo caso, si considera un intorno completo del punto c.

Se, invece, consideriamo solo un intorno destro, o un intorno sinistro, del punto c, cioè se prendiamo solo valori più grandi di c, o solo valori più piccoli, allora si parla di limite destro, o di limite sinistro, della funzione nel punto c.

Vediamo, quindi, le seguenti definizioni:

Definizione di limite destro

Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c dalla destra, cioè per eccesso, ha per limite destro il numero l se, preso un numero piccolo a piacere ε, è possibile determinare, in corrispondenza di esso, un intorno destro di c, in modo che, per tutti i valori appartenenti a tale intorno, si ha che:

\[ |f(x) – l| \lt \epsilon \]

in simboli, abbiamo:

\[ \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = l \]

Allo stesso modo, possiamo dare la

Definizione di limite sinistro

Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c dalla sinistra, cioè per difetto, ha per limite sinistro il numero l se, preso un numero piccolo a piacere ε, è possibile determinare, in corrispondenza di esso, un intorno sinistro di c, in modo che, per tutti i valori appartenenti a tale intorno, si ha che:

\[ | f(x) – l | \lt \epsilon \]

e in simboli si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = l \]

In particolare, si parla di “limite per x che tende a c”, non specificando se da destra o da sinistra, nel caso in cui i limiti destro e sinistro coincidano. Infatti, se il limite destro è diverso dal limite sinistro, cioè se si ha che:

\( \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = l_1 \wedge \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = l_2 \wedge l_1 \ne l_2 \)

allora, la funzione non ammette limite per x tendente a c.

 

Esempio di limite sinistro

Verifichiamo il seguente limite sinistro:

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{-}} (1 + \sqrt{-x}) = 1 \]

Impostiamo una disequazione per verificare che, prendendo un valore piccolo a piacere ε, la distanza della nostra funzione da 1 sia più piccola di ε:

\( |(1+\sqrt{-x})-1| \lt \epsilon \)

Procediamo risolvendo la disequazione:

\( |\sqrt{-x}| \lt \epsilon \rightarrow -\epsilon \lt \sqrt{-x} \lt \epsilon \)

Possiamo risolvere questa disequazione separando i due casi, e mettendoli poi a sistema; cominciamo dal primo:

\( \sqrt{-x} \gt -\epsilon \)

Sapendo che ε è un numero positivo, sicuramente – ε sarà un valore negativo. Dato che \( \sqrt{-x} \), che è definita per tutti i valori di x negativi, è sicuramente maggiore di zero, sarà di certo maggiore di un valore negativo. Possiamo quindi concludere che la disequazione è verificata per tutti i valori di x appartenenti al dominio:

\( \sqrt{-x} \gt -\epsilon \mbox{    ,    } \forall x \le 0 \)

Passiamo ora alla seconda disequazione:

\( \sqrt{-x} \lt – \epsilon \)

Possiamo elevare entrambi i membri al quadrato, e moltiplicare per – 1:

\( \sqrt{-x} \lt -\epsilon \rightarrow x \lt (-\epsilon)^2 \rightarrow x \gt -\epsilon \)

Mettiamo ora a sistema le soluzioni derivanti dalle disequazioni precedenti:

\( \begin{cases} x \le 0 \\ x \gt -\epsilon \end{cases} \)

Il risultato che otteniamo è l’intervallo ( – ε ; 0 ], che è un intorno sinistro di zero. Possiamo quindi concludere affermando che il limite è verificato.

 

Limite per difetto e limite per eccesso

In alcuni casi, anche il limite della funzione può essere un limite per eccesso o un limite per difetto, cioè una funzione f(x) può tendere ad un valore l da destra o da sinistra; in questi casi, si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l^{+} \mbox{    ,    } \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l^{-} \]

Quindi, nel caso in cui la funzione tenda a l per eccesso, si ha che f(x) è maggiore o uguale a \( l (f(x) \ge l) \), mentre, nel caso in cui la funzione tenda a l per difetto, abbiamo che \( f(x) \le l \), in un opportuno intorno di c.

Esempio di limite per eccesso

Verifichiamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} (x^2 + 2) = 2^{+} \]

In questo caso, fissato un valore piccolo a piacere ε > 0, per verificare il limite basta risolvere la seguente disequazione:

\( 0 \le f(x) – l \lt \epsilon \)

e accertarci che la soluzione sia un intorno completo di zero; quindi, risolviamo la seguente disequazione:

\( 0 \le (x^2 + 2) – 2 \lt \epsilon \)

Da cui otteniamo:

\( 0 \le x^2 \lt \epsilon \)

La prima disequazione, cioè \( x^2 \ge 0 \), è verificata per ogni x , mentre la seconda ha come soluzioni i valori interni all’intervallo delle radici.

Mettendo a sistema le soluzioni delle singole disequazioni, otteniamo che:

\( \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R} \\ -\sqrt{\epsilon} \lt x \lt \sqrt{\epsilon} \end{cases} \)

La soluzione ottenuta, cioè l’intervallo \(( -\sqrt{\epsilon}; \sqrt{\epsilon}) \), è effettivamente un intorno di zero, quindi possiamo concludere che il limite è verificato.

 

Consideriamo la seguente funzione:

\[ y = f(x) = \frac{2x^2 – x – 1}{x-1} \]

come sappiamo, la funzione è definita per tutti i numeri reali, escluso 1, quindi possiamo scrivere che il suo dominio è:

\[ D \equiv \mathbb{R} – \{1\} \]

Esaminiamo il comportamento della funzione \( x=1 \), in cui essa non è definita; riassumiamo, quindi, in uno schema i valori che la funzione assume via via che x si avvicina sempre più ad 1:

 

 

Possiamo quindi notare che, più si avvicina al valore 1, più f (x) si avvicina al valore 3; in questo caso, si dice che “per x che tende a 1, f(x) ha limite 3”, oppure che “f(x) tende a 3 per x tendente a 1”.

Queste affermazioni possono essere riassunte con la seguente scritta:

\( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 3 \)

Ciò significa che la distanza di f(x) dal punto cui tende diminuisce sempre di più all’approssimarsi di x a 1; sappiamo che tale distanza può essere espressa come valore assoluto della differenza tra f(x) e 3, in formula \( | f(x) – 3 | \), infatti abbiamo che:

 

 

Possiamo quindi dire che le distanze dei valori di f(x) da 3 possono essere resi piccoli a piacere, cioè possono essere resi più piccoli di qualsiasi numero positivo prefissato, a condizione di scegliere valori di x abbastanza vicini a 1.

In generale, si può verificare che, fissato un numero ε > 0, arbitrariamente piccolo, la distanza di f(x) da 3 risulterà minore di ε per valori di \( x \ne 1 \), appartenenti ad un intorno di 1 dipendente da ε.

In questo caso, quindi, dovremmo verificare che la disequazione \( | f(x) – 3 | \lt \epsilon \) è soddisfatta per un intorno di x = 1.

\(|(f(x) – 3| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{2x^2-x-1}{x-1}-3\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{2x^2-x-1-3x+3}{x-1}\Big| \lt \epsilon \)

\(\Big|\frac{2x^2-4x+2}{x-1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{2(x-1)^2}{x-1}\Big| \lt \epsilon \)

Escludendo il valore x = 1, per il quale la funzione non è definita, possiamo semplificare, e otteniamo:

\(\Big|\frac{2(x-1)^2}{x-1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow |2(x-1)| \lt \epsilon \rightarrow |2x – 2| \lt \epsilon \)

\( -\epsilon \lt 2x – 2 \lt \epsilon \rightarrow 2 – \epsilon \lt 2x \lt \epsilon + 2 \rightarrow 1 – \frac{\epsilon}{2} \lt x \lt \frac{\epsilon}{2} + 1 \)

Quindi, la disequazione è verificata per appartenente all’intervallo \( (1 – \epsilon / 2; \epsilon / 2 + 1)  \) e \( x \ne 1 \), che è un intorno di 1.

 

Definizione di limite

Diamo ora una definizione generale, considerando una funzione f(x), definita in tutti i punti dell’intervallo [a ; b], escluso al più il punto c, interno all’intervallo.

Si dice che per x tendente a c, la funzione y = f(x) ha per limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l \]

se, comunque si scelga un numero positivo ε, arbitrariamente piccolo, si può determinare in corrispondenza di esso, un intorno completo di c tale che per ogni x di tale intorno, escluso al più x = c, si ha che:

\[ |f(x) – l| \lt \epsilon \]

che si può anche scrivere come

\[ l – \epsilon \lt f(x) \lt \epsilon + l \]

Quindi, per verificare il limite per \( x \rightarrow c \) di una funzione f(x), sapendo che tale limite vale l, dobbiamo risolvere la disequazione \( | f(x) – l | \lt \epsilon \): se l’insieme delle soluzioni così determinato è un intorno di c, oppure contiene un intorno completo di c, escluso al più c stesso, il limite è verificato.

 

Esempio di verifica del limite attraverso la definizione

Consideriamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-2x-3}{x+1} = -4 \]

Affinché tale limite sia esatto, dobbiamo imporre che esista un valore ε, piccolo a piacere, tale che la distanza della funzione dal nostro limite, sia minore di ε.

Quindi, impostiamo la seguente disequazione:

\[ \Big|\frac{x^2-2x-3}{x+1} – (-4)\Big| \lt \epsilon \]

Risolviamo la disequazione: se il risultato è un intorno di -1, il limite sarà verificato:

\( \Big|\frac{x^2-2x-3}{x+1}+4\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{x^2-2x-3+4x+4}{x+1}\Big| \lt \epsilon \)

\( \Big|\frac{x^2+2x+1}{x+1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{(x+1)^2}{x+1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow |x+1| \lt \epsilon \)

Da questa espressione otteniamo che:

\[ -\epsilon \lt x+1 \lt \epsilon \rightarrow -1 – \epsilon \lt x \lt \epsilon -1 \]

che è un intorno di – 1; possiamo quindi concludere affermando che il limite è verificato.

 

Materiale di supporto

 

 

 

 

 

 

Videolezione sui limiti delle funzioni elementari