$((2x-3)(2x+3))/2-((5x+2)^2)/3<1/6$

$((2x-3)(2x+3))/2-((5x+2)^2)/3<1/6$;
Il m.c.m. è $6$
$(3(2x-3)(2x+3)-2(5x+2)^2)/6<1/6$;
Moltiplicando ambo i membri per $6$ si ha:
$3(2x-3)(2x+3)-2(5x+2)^2<1$;
$3(4x^2-9)-2(25x^2+4+20x)<1$;
$12x^2-27-50x^2-8-40x<1$
Semplificando
$-28x^2-40x-36<0$;
$4(-7x^2-10x-9)<0$
Dividendo ambo i membri per $4$ e cambiando di segno otteniamo
$7x^2+10x+9>0$
E’ evidente che la disequazione è soddisfatta $AA x in RR$.

$-(x-2)^3+(3x-1)^2-x^2(16-x)+13(x-1)<0$

$-(x-2)^3+(3x-1)^2-x^2(16-x)+13(x-1)<0$;
$-(x^3-8+3x(-2)^2+6x^2)+9x^2+1-6x-16x^2+x^3+13x-13<0$;
$-(x^3-8+12x-6x^2)-7x^2+7x-12+x^3<0$;
$-x^3+8-12x+6x^2-7x^2+7x-12+x^3<0$;
Semplificando
$-x^2-5x-4<0$
Cambiando di segno
$x^2+5x+4>0$
Risolviamo la disequazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=5^2-(4*4*1)=25-16=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-5+-sqrt9)/2=(-5+-3)/2 => x_1=-4 ^^ x_2=-1$
Siccome il segno del coefficiente di $x^2$ è concorde col segno della disequazione,
prendiamo come soluzione gli intervalli esterni, cioè:
$x<-4 vv x> -1$.

$((x+5)^2)/6-((x-3)^2)/4>=(5(9x+5))/6$

$((x+5)^2)/6-((x-3)^2)/4>=(5(9x+5))/6$;
Il m.c.m. è $12$, quindi
$(2(x+5)^2-3(x-3)^2)/(12)>=(10(9x+5))/(12)$;
Moltiplicando ambo i membri per $12$
$2(x+5)^2-3(x-3)^2>=10(9x+5)$;
$2(x^2+25+10x)-3(x^2+9-6x)>=90x+50$;
$2x^2+50+20x-3x^2-27+18x>=90x+50$;
Semplificando
$-x^2-52x-27>=0$
Cambiando di segno
$x^2+52x+27<=0$
Evidentemente $x^2+52x+27>=0 AA x in RR$, quindi la soluzione della disequazione sarà: $\Phi$.

$(x+3)^2<2(x-1)+4x-6$

$(x+3)^2<2(x-1)+4x-6$;
$x^2+9+6x<2x-2+4x-6$;
Semplificando
$x^2+1<0$
Ricordiamo che qualsiasi numero, positivo o negativo, elevato al quadrato sarà sempre positivo;
pertanto la disequazione non ammette soluzione.
Quindi la soluzione sarà: $\Phi$.

$2(x+3)(x-3)+18>2x^2-((x-1)(4x+8))/2$

$2(x+3)(x-3)+18>2x^2-((x-1)(4x+8))/2$;
$2(x^2-9)+18>2x^2-(4x^2+8x-4x-8)/2$;
$2x^2-18+18>2x^2-(4x^2+4x-8)/2$;
Semplificando
$-(4(x^2+x-2))/2<0$
Continuando a semplificare e cambiando di segno si ha:
$2(x^2+x-2)>0$;
Dividendo ambo i membri per $2$, otteniamo
$x^2+x-2>0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$Delta=b^2-4ac=(1)^2-(4*(-2)*1)=1+8=9$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-1+-sqrt9)/2=(-1+-(3))/2 => x_1=-2 ^^ x_2=1$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno.

per cui la soluzione sarà:
$x<-2 vv x>1$.

$x/2(x+1)-3x+5>2$

$x/2(x+1)-3x+5>2$;
$(x^2)/2+x/2-3x+5-2>0$;
$(x^2)/2+x/2-3x+3>0$;
Il m.c.m. è $2$, pertanto:
$(x^2+x-6x+6)/2>0$
Moltiplicando ambo i membri per $2$, si ha:
$x^2-5x+6>0$
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$Delta=b^2-4ac=(-5)^2-(4*6*1)=25-24=1$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(5+-sqrt(1))/2=(5+-(1))/2 => x_1=2 ^^ x_2=3$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono concordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo esterno.

per cui la soluzione sarà:
$x<2 vv x>3$.

$2x^2-7x>=5x-x^2-25$

$2x^2-7x>=5x-x^2-25$;
Semplifichiamo
$x^2-12x+25>=0$
Si nota facilmente che per $x$ negativa la disequazione è sempre verificata, inoltre vale anche per $x=0$
e per valori positivi. Quindi possiamo concludere che la soluzione sarà $RR$.

$(4-2x)(x+3)+(3x-13)(1-x)>=-x(2x+1)-(x-12)$

$(4-2x)(x+3)+(3x-13)(1-x)>=-x(2x+1)-(x-12)$;
$4x+12-2x^2-6x+3x-3x^2-13+13x>=-2x^2-x-x+12$;
Semplificando
$(-2-3+2)x^2+(4-6+3+13+1+1)x+12-13-12>=0$;
$-3x^2+16x-13>=0$
Cambiando di segno si ha:
$3x^2-16x+13<=0$
Risolviamo la disequazione di secondo grado
$3x^2-16x+13<=0$

$Delta=b^2-4ac=(-16)^2-(4*(13)*3)=256-156=100$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(16+-sqrt(100))/6=(16+-(10))/6 => x_1=1 ^^ x_2=(13)/3$.
Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono discordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo interno,

per cui la soluzione sarà:
$1<=x<=(13)/3$.

$3x-3>=x(x+8)-27$

$3x-3>=x(x+8)-27$;
$3x-3>=x^2+8x-27$;
Semplificando
$-x^2-5x+24>=0$;
Cambiando di segno si ha:
$x^2+5x-24<=0$
Risolviamo la disequazione di secondo grado

$Delta=b^2-4ac=(5)^2-(4*(-24)*1)=25+96=121$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-5+-sqrt(121))/2=(-5+-(11))/2 => x_1=-8 ^^ x_2=3$.

Siccome il coefficiente di $x^2$ e il segno della disequazione sono discordi,
prenderemo come soluzione accettabile l’intervallo interno.
 
per cui la soluzione sarà:
$-8<=x<=3$.

$1/4(x+1)^2+x^2>=0$

$1/4(x+1)^2+x^2>=0$;
$1/4(x^2+1+2x)+x^2>=0$;
$1/4x^2+1/4+1/2x+x^2>=0$;
Il m.c.m. è $4$, quindi
$(x^2+1+2x+4x^2)/4>=0$
Moltiplicando ambo i membri per $4$ si ha:
$x^2+1+2x+4x^2>=0$;
$5x^2+2x+1>=0$
E’ evidente che qualunque sia il valore di $x$ la disequazione è verificata. Pertanto la soluzione sarà $RR$.

 $\{((x-1)^2-(x+1)^2-16<=0),((x-1)^2>(x-1)(x+1)):}$

 $\{(x-21<0),(21-x>0),(2(x+13)<0):}$

 $\{(x-21<0),(21-x>0),(2(x+13)<0):}$; $\{(x<21),(x<21),(2x+26<0):}$;
$\{(x<21),(x<21),(2x<-26):}$; $\{(x<21),(x<21),(x<-13):}$;
Intersecando le tre soluzioni il sistema sarà valido per $x<-13$.

 $\{((x+1)/2-(3-7x)/(10)>1-(7-3x)/2),(11-4(17-x)<26x-57):}$

$\{((x+1)/2-(3-7x)/(10)>1-(7-3x)/2),(11-4(17-x)<26x-57):}$;
Il m.c.m. è $10$ nella prima disequazione
$\{((5(x+1)-(3-7x))/(10)>(10-5(7-3x))/(10)),((11-68-4x)<26x-57):}$;
$\{(5(x+1)-3+7x>10-5(7-3x)),((4-26)x<-57-11+68):}$; $\{(5x+5-3+7x>10-35-15x)),(-22x<0):}$;
$\{((5+7-15)x>-5+3+10-35),(x>0):}$;  $\{(-3x>-27),(x>0):}$; $\{(3x<27),(x>0):}$;
$\{(x<9),(x>0):}$;
Il sistema ha soluzione per $0<x<9$.

 $\{((x+1)/2>1-x),(x-1<(x-1)/2):}$

Il m.c.m. è $2$ in entrambi le disequazioni
$\{((x+1)/2>(2-2x)/2),((2x-2)/2<(x-1)/2):}$; $\{(x+1>2-2x),(2x-2<x-1):}$; $\{(3x>1),(x<1):}$;
$\{(x>1/3),(x<1):}$;
La soluzione del sistema sarà $1/3<x<1$.

 $\{(1/2x-1>4(1+x)/9),(1/3(x-1)/2-1>-1/2(x+1)/3):}$

 $\{(x-2>1-x),(3(x-2)<47):}$

$\{(x-2>1-x),(3(x-2)<47):}$; $\{(2x>3),(3x-6<47):}$;
$\{(x>3/2),(3x<53):}$; $\{(x>3/2),(x<(53)/3):}$;
Pertanto la soluzione del sistema sarà $3/2<x<(53)/3$.

 $\{(x-10>=-20),(2x<x-1):}$

$\{(x-10>=-20),(2x<x-1):}$; $\{(x>=-10),(x<-1):}$;
Pertanto la soluzione del sistema sarà $-10<=x<-1$.

 $\{(1/2x>-1/2),(3x<-1/4):}$

$\{(5x-7y=2),(2x+3/2y=3):}$

$\{(5x-7y=2),(2x+3/2y=3):}$; $\{(5x=2+7y),(4x+3y=6):}$;
$\{(x=(2+7y)/5),(4x+3y=6):}$;
Semplificando e applicando il metodo di sostituzione
$\{(x=(2+7y)/5),(4(2+7y)/5+3y=6):}$; $\{(x=(2+7y)/5),(8/5+(28)/5+3y=6):}$;
$\{(x=(2+7y)/5),(28y+8+15y=30):}$; $\{(x=(2+7y)/5),(43y=22):}$;
$\{(x=(2+(22)/(43)*7)/5),(y=(22)/(43)):}$; $\{(x=(2+(154)/(43))*1/5),(y=(22)/(43)):}$;
$\{(x=(2/5+(154)/(215))),(y=(22)/(43)):}$; $\{(x=(86+770)/(215)),(y=(22)/(43)):}$;
Semplificando
$\{(x=(48)/(43)),(y=(22)/(43)):}$.