Campo elettrico generato da un quarto di circonferenza [Richiesto il CALCOLO INTEGRALE]

{etRating 4} (Il livello di difficoltà, come per gli altri esercizi, è riferito a uno studente di scuola superiore).

Un tratto di filo rigido sottile, uniformemente carico con densità lineare di
carica $lambda$, è sagomato in modo da formare un quarto di circonferenza di raggio
$R$ e centro $O$. Calcolare il campo elettrico nel centro $O$.

Poniamo il filo nel primo quadrante con centro nell’origine. Dividendo il filo in parti infinitesime di lunghezza $r*d theta$ si ha che la componente infinitesima del campo elettrico lungo l’asse delle x è data da:

$dE_x=(dq*cos theta )/(4pi*epsilon_0*r^2)=(lambda* d theta* cos theta)/(4pi*epsilon_0*r)$

Integrando da $0$ a $pi/2$ si ottiene:

$E_x=lambda/(4pi*epsilon_0 *r)int_0^(pi/2) cos theta d theta =lambda/(4pi*epsilon_0* r)$

Essendo inoltre $E_x=E_y=E/sqrt2$ si ha:

$E=sqrt2*E_x=(sqrt2*lambda)/(4pi*epsilon_0*r)$.

FINE

$lim_ (x->+infty) sqrt(|x^2-4x-5|) -x$

{etRating 2}

Calcolare
$lim_ (x->+infty) sqrt(|x^2-4x-5|) -x$

Come di norma in questi casi, procediamo razionalizzando il numeratore.
Moltiplicando quindi per $(sqrt(|x^2-4x-5|) + x)/(sqrt(|x^2-4x-5|) + x)$, ovvero 1, si ha
$lim_ (x->+infty) sqrt(|x^2-4x-5|) -x = lim_ (x->+infty) (sqrt(|x^2-4x-5|) – x)*((sqrt(|x^2-4x-5|) + x)/(sqrt(|x^2-4x-5|) + x)) = lim_ (x->+infty) (|x^2-4x-5|-x^2)/(sqrt(|x^2-4x-5|) + x)$

Ma andando a $+infty$ il valore assoluto non ci serve, infatti la parabola sotto modulo è positiva e possiamo giungere a:

$lim_ (x->+infty) (-4x-5)/(sqrt(x^2-4x-5) + x)=lim_ (x->+infty) (-4-5/x)/(sqrt(1-4/x-5/(x^2)) + 1) = -2$, avendo raccolto e semplificato $x$.

FINE

$g(x)=(ln 3x^2)^2$

Derivare la seguente funzione
$g(x)=(ln 3x^2)^2$

Dobbiamo derivare una funzione elevata al quadrato; quindi ricordiamo la formula generale
$Df^(k)(x)=k*f'(x)*f^(k-1)(x)$
Nel nostro caso $k=2$
Quindi il risultato è
La derivata della base (della potenza, ovvero $ln3x^2$ è
$1/(3 x^2) \cdot 6x$
quindi la derivata finale richiesta è
$2 \cdot ln (3 x^2) \cdot 1/(3 x^2) \cdot 6x=(4ln3x^2)/x$

FINE

$int_{2/pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$

Calcolare
$\int_{2/pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$

Calcoliamo una primitiva.
Poniamo $1/x=t$, cioè $x=1/t$, da cui $dx=-dt/t^2$ dal momento in cui $D(1/t)=-1/t^2$
Andando a sostituire, ottieniamo
$\int (1/x^3)*sen(1/x)dx=\int -(t^3)*sent*(dt)/t^2=\int -t*sentdt$.

Procediamo ora per parti.
Si ottiene facilmente
$\int -t*sentdt=tcost-\int costdt=tcost-sint$.
Gli estremi di integrazione adesso sono $1/(2/pi)=pi/2$ e $1/(+oo)=0$, per cui il risultato si ottiene calcolando
$0*cos(0) -sin0 -[pi/2cos(pi/2)-sin(pi/2)]=sin(pi/2)=1$.

FINE

Accelerazione media e caduta libera

{etRating 4}

Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da un’altezza di 4 metri dal pavimento. Rimbalza fino all’altezza di 2 metri. Se è stata in contatto col suolo per 12 microsecondi, quale è stata la sua accelerazione media durante il contatto?

Iniziamo a calcolare la velocità con la quale la palla giunge a terra.
La velocità che la palla acquista dopo $4 m$ può essere calcolata con la nota legge
$v_1^2-v_0^2=2ah_1$
Nel nostro caso $h=4 m$ e $a=g=10m/s^2$ e inoltre la velocità iniziale è nulla, quindi $v_0^2=0$
quindi
$v_1=sqrt(2*10*4)m/s=8.8m/s$
Dai dati del problema possiamo anche calcolare facilmente la velocità con cui la palla riparte dopo l’urto.
Procedendo come prima, ho
$0-v_2^2=-2ah_2$ da cui segue
$v_2=sqrt(2gh_2)=sqrt(2*10*2)=6.4 m/s$

Ora conosciamo dunque le velocità nel momento immediatamente precedente all’urto e in quello subito dopo.
Sappiamo che l’accelerazione è una variazione di velocità diviso l’intervallo di tempo.
Dobbiamo stabilire questa variazione: inizialmente il vettore velocità era rivolto verso il BASSO e aveva modulo $v_1=8,86 m/s$.
Poi, subito dopo l’urto col terreno, è diretto verso l’ALTO e ha modulo $6,4 m/s$.
Se prendi come positiva la direzione del vettore $vecv_1$ allora hai che
$v_1=8,8 m/s$ e
$v_2=-6,4 m/s$ si (noti il "meno", perché le due velocità hanno versi opposti).
Quindi $a=(v_1-v_2)/(Deltat)=(8,8-(-6,4))/(0,012)m/s^2=1260m/s^2$

FINE

$frac{sin2a-sin2b}{cos2a-cos2b}=-cot(a+b)$

Si mostri la seguente identità goniometrica
$frac{sin2a-sin2b}{cos2a-cos2b}=-cot(a+b)$

Applicando la formula di prostaferesi al numeratore e al denominatore, otteniamo
$frac{sin2a-sin2b}{cos2a-cos2b}=frac{2cos frac{2a+2b}{2}sin frac{2a-2b}{2}}{-2sin frac{2a+2b}{2}sin frac{2a-2b}{2}}$
Ma d’altra parte
$frac{2a+2b}{2}=a+b$
$frac{2a-2b}{2}=a-b$
pertanto possiamo dire che otteniamo, semplificando il $2$
$- frac{cos(a+b)sin(a-b)}{sin(a+b)sin(a-b)}$
Semplificando ancora
$-frac{cos(a+b)}{sin(a+b)}$
ovvero, ricordando che
$cottheta=frac{sintheta}{costheta}
si ha
$-cotg(a+b)$

Si è mostrato dunque che il primo membro è equivalente al secondo.

FINE

$lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[sinx*ln(1+5x)]$

Si calcoli il limite che segue
$lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[sinx*ln(1+5x)]$

Può essere riconosciuta con relativa semplicità la presenza di alcuni limiti notevoli.
Proviamo infatti a riscrivere il limite in questa forma
$lim_(x->0) (e^x-1)/x*x/sinx*x/ln(1+5x)$
Questo limite è analogo al precedente, si è giusto moltiplicato e diviso per un termine $x$

Ora passiamo a ricordare un paio di limiti noti
$lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
$lim_(x->0) x/sinx=1$

Inoltre possiamo anche lavorare sulla terza frazione
$lim_(x->0) x/ln(1+5x)$
Moltiplicando i numeratore per $5$ e contemporaneamente per $1/5$ fuori dal limite, otteniamo
$1/5*lim_(x->0) (5x)/ln(1+5x)=1/5*1=1/5$
per il famoso limite notevole
$lim_(y->0) y/ln(1+y)=1$
Nel limite proposto il nostro $y$ sarebbe $5x$, che ugualmente va a zero perché $x$ va a zero.

Riassumendo possiamo affermare che
$lim_(x->0)[x(e^x-1)]/[sinx*ln(1+5x)]=1*1*1/5=1/5$

FINE

$2^(2x+5) +2*3^(x+2)=3^(x+3)+2^(2x+4)$

Sia da risolvere questa equazione esponenziale:
$2^(2x+5) +2*3^(x+2)=3^(x+3)+2^(2x+4)$

Applicando le note proprietà delle potenze, e portando tutti i termini al primo membro, otteniamo
$2^(2x)*2^5+2*3^x*3^2-3^x*3^3-2^(2x)*2^4=0$
ora possiamo raccogliere i fattori comuni $2^(2x)$ e $3^x$, ottenendo
$2^(2x)*(2^5-2^4)+3^x*(2*3^2-3^3)=0$
Ma $2^5-2^4=2^4$ e $2*3^2-3^3=18-27=-9=-3^2$
quindi si ha facilmente
$2^4*2^(2x)=3^2*3^x$
cioè
$2^(2(x+2))=3^(x+2)$
Passando ora ai logaritmi e usando le loro proprietà, abbiamo
$2(x+2)\log(2)=(x+2)log3$
Portando ora tutto a sinistra
$(2log2)*(x+2)-(log3)*(x+2)=0$
e raccogliendo la parentesi si giunge a
$(x+2)*(2log2-log3)=0$

Questa equazione deve essere vista come una del tipo
$ax=0$ dal momento che $2log2-log3$ è un semplice costante.
In definitiva, la quantità di sinistra vale $0$ solo quando si annulla $x+2$, quindi la soluzione è
$x=-2$

FINE

$1-3/(x+2))$

Si risolva
$1-3/(x+2)<(3x)/(6+3x)$

Ovviamente deve essere
$x!=-2$ perché il denominatore deve essere diverso da zero

Eseguiamo la somma al primo membro, e raccogliamo il fattore comune $3$ nella frazione a destra.
$(x+2-3)/(x+2)<(3x)/(3(x+2))$
Sommando e semplificando il possibile ottieniamo facilmente
$(x-1)/(x+2)<x/(x+2)$
Possiamo sfruttare il fatto che le due frazioni hanno il denominatore comune, dunque portiamo tutto al primo membro e sommiamo, ottenendo
$(x-1-x)/(x+2)<0$
ovvero
$-1/(x+2)<0$

Appare chiaro ed evidente che la frazione di sinistra è positiva qualora il denominatore risulti positivo anch’esso (si avrebbe infatti una frazione positiva con il segno "meno" davanti).
Ciò accade se
$x+2>0$
$x> -2$

FINE

$y= sinx^5*cosx^4-5x^2$

Derivare

$y= sinx^5*cosx^4-5x^2$

La derivata di $5x^2$ è abbastanza facile, è $10x$, la parte più ostica è
$D(sinx^5*cosx^4)$
Usando la regola di derivazione del prodotto, ottieniamo
$(Dsinx^5)*cosx^4+(Dcosx^4)*sinx^5$
La prima derivata tra parentesi vale $5x^4cosx^5$, la seconda vale $-4x^3sinx^4$
Si è applicata la regola della derivazione composta.
Quindi la derivata finale di
$y= sinx^5*cosx^4-5x^2$
è
$y’=5x^4cosx^5cosx^4-4x^3sinx^4sinx^5-10x$

FINE

E’ dato il triangolo acutangolo $ABC$. Supposto che la tangente in $C$ alla circonferenza…

E’ dato il triangolo acutangolo $ABC$. Supposto che la tangente in $C$ alla circonferenza intersechi in $P$ la retta $AB$, con $AP>BP$, si dimostri che il triangolo $APC$ è ottusangolo.

Gli angoli $\hat{BAC}$ e $\hat{BCP}$ sono congruenti poiché angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco.
Per ipotesi il triangolo $ABC$ è acutangolo, dunque $\hat{ABC}<90°$, $\hat{ACB}<90°$ e $\hat{BAC}<90°$.
Com’è noto: $\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180°$
Dalla precedente uguaglianza segue che $\hat{ACB}+\hat{BAC}=180-\hat{ABC}$ ed essendo $\hat{ABC}<90°$ è chiaro ed evidente che $\hat{ACB}+\hat{BAC}>90°$.
Finalmente, $\hat{ACP}=\hat{ACB}+\hat{BCP}=\hat{ACB}+\hat{BAC}>90°$.

FINE

In quanti modi possiamo pescare due carte da un mazzo di 52 carte…

In quanti modi possiamo pescare due carte da un mazzo di 52 carte da
gioco in modo tale che la prima carta sia di picche e la seconda non sia una regina?

Sappiamo che la prima carta è picche. Ora distinguiamo due casi:
i)La prima carta è la regina di picche
ii)La prima carta è picche, ma non regina
Abbiamo spezzato gli eventi totali in due categorie.

Prendiamo il primo caso. La prima carta è regina di picche. Questa carta può essere estratta in $1$ solo modo. La seconda estrazione non vuole la regina: le carte che vanno bene sono dunque 48 (perché dalle $52$ iniziali dobbiamo togliere la donna già estratta e le altre tre che dobbiamo escludere). Perciò i modi totali sono $1*48$

Consideriamo ora il secondo caso.
La prima carta è picche, ma non regina. Di carte picche non regine ce ne sono $12$ (tutte le picche meno la donna). La seconda estrazione non vuole regine, quindi dobbiamo togliere quelle quattro carte. Considerando che una carta (la prima) è già stata estratta, di carte rimanenti accettabili ne abbiamo $47$, da cui abbiamo che le configurazioni in questo caso sono $12*47$

Perciò le configurazioni totali sono
$1*48+12*47$

FINE

$int 1/(x^2 -x +1)^2 dx$

Si calcoli
$int 1/(x^2 -x +1)^2 dx$

Partiamo dalla seguente identità, ricavabile con qualche accorgimento algebrico.
$(x^2-x+1)=(x-1/2)^2+3/4=3/4*(4/3(x-1/2)^2+1)=3/4*(((2x-1)/(sqrt3))^2+1)$ per cui
$(x^2-x+1)^2=9/16*(((2x-1)/(sqrt3))^2+1)^2$

Ora eseguiamo la sostituzione $ (2x-1)/(sqrt3)=tant->dx=sqrt3/2*1/(cos^2t)dt$
per cui
$int 1/(x^2 -x +1)^2 dx=(8sqrt3)/9*intcos^2tdt=(8sqrt3)/9*(t/2+(sin2t)/4)=(4sqrt3)/9*t+(2sqrt3)/9*sin2t+K,t=arctgan((2x-1)/(sqrt3))$
Ora
$(2sqrt3)/9sin2t=(2sqrt3)/9*2sintcost=(4sqrt3)/9(tant)/(1+tan^2t)=(4sqrt3)/9*((2x-1)/(sqrt3))/(1+((2x-1)/(sqrt3))^2)=(2x-1)/(3(x^2-x+1))$
da cui giungiamo a
$int 1/(x^2 -x +1)^2dx=(4sqrt3)/9*arctan((2x-1)/(sqrt3))+(2x-1)/(3(x^2-x+1))+K$

FINE

$int(sqrt(4-x^2))/x^2dx$

Calcolare l’integrale
$int(sqrt(4-x^2))/x^2dx$

Procediamo integrando per parti.
$int(sqrt(4-x^2))/x^2dx=-1/x*sqrt(4-x^2)-int1/(sqrt(4-x^2))dx$
Il nuovo integrale da calcolare diventa immediato dopo una semplice trasformazione.
Raccogliendo un $4$ dentro la radice, e portandolo fuori, otteniamo
$-1/x*sqrt(4-x^2)-int1/(2sqrt(1-(x/2)^2))dx$
Cioè
$-1/x*sqrt(4-x^2)-int(1/2)/(sqrt(1-(x/2)^2))dx=-1/x*sqrt(4-x^2)-Arcsin(x/2)+K$

FINE

$int_(-2)^2$$(x+3)sqrt(4-x^2)dx$

Calcolare
$int_(-2)^2$$(x+3)*sqrt(4-x^2)*dx$
scrivendolo come somma di 2 integrali e interpretandone uno in termini di area.

Intanto svolgiamo la moltiplicazione
$(x+3)*sqrt(4-x^2)$ che restituisce $xsqrt(4-x^2)+3sqrt(4-x^2)$
Perciò l’integrale diventa
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx+int_{-2}^{2}3*sqrt(4-x^2)dx$

Ora notiamo che
$int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx=0$
perchè è l’integrale di una funzione dispari in un intervallo simmetrico rispetto all’origine.
Oppure, svolgendo direttamente l’integrale
$int_{-2}^{2}xsqrt(4-x^2)dx=[-1/3*(4-x^2)^(3/2)]_{-2}^{2}=0$

Per cui l’integrale iniziale si riduce a
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A$
dove si può facilmente vedere che $A$ è l’area del semicerchio di raggio $r=2$ che si trova nel semipiano $y>0$

Ora l’area del semicerchio è metà dell’area del cerchio per cui $A=(pi*r^2)/2=pi*4/2=2pi$ per cui
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A=6pi$

Allo stesso risultato si giunge svolgendo l’integrale, infatti
$A=int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=[x/2sqrt(4-x^2)+2Arcsin(x/2)]_{-2}^{2}=(2Arcsin(1)-2Arcsin(-1))=(2*pi/2-2*(-pi/2))=2pi$ per cui
$int_{-2}^{2}(x+3)*sqrt(4-x^2)dx=3int_{-2}^{2}sqrt(4-x^2)dx=3*A=3*2pi=6pi$

FINE

$intlogx/(xsqrt(4+3log^(2)x))dx$

Calcolare il seguente integrale
$intlogx/(xsqrt(4+3log^(2)x))dx$

Procediamo per sostituzione.
Poniamo
$logx=t$ da cui discende ovviamente $x=e^t$
Inoltre risulta
$dx=de^t=e^tdt$
dal momento che $e^t$ che se stessa come derivata.
Detto ciò, attuiamo la sostituzione e semplifichiamo subito $e^t$, ottenendo
$intlogx/(xsqrt(4+3log^(2)x))dx=intt/(sqrt(4+3t^2))dt$
Moltiplicando e dividendo per $3$ possiamo ricondirci a un integrale dalla forma riconoscibile
$1/3*int(3t)/(sqrt(4+3t^2))dt$
il cui risultato è
$1/3sqrt(4+3t^2)+c$
e operando nuovamente la sostituzione, torniamo in $x$
$1/3sqrt(4+3ln^2(x))+c$

Una seconda possibile via di risoluzione poteva esserci suggerita dal fatto che
$D(ln^2x)=2lnx/x$
L’integrale poteva dunque essere riscritto nel seguente modo
$int lnx/x*(4+3*ln^2x)^(-1/2)$
da cui discende il risultato già ottenuto prima.

FINE

$int ln(x^2-2x +2) dx$

Si calcoli
$int ln(x^2-2x +2) dx$

Procediamo per parti. L’integrale iniziale risulta essere quindi uguale a
$int ln(x^2-2x +2) dx=xln(x^2-2x+2)-int(x*(2x-2))/(x^2-2x+2)dx$
Proseguiamo svolgendo la moltiplicazione
$xln(x^2-2x+2)-int(2x^2-2x)/(x^2-2x+2)dx=xln(x^2-2x+2)-int(2+(2x-2)/(x^2-2x+2)-2/(x^2-2x+2))dx$
Nell’ultimo passaggio si è riscritto il numeratore $2x^2-2x$ in una forma più conveniente, ovvero
$(2x^2-4x+4)+(2x-2)-2$
dopodichè abbiamo "spezzato" la frazione.

Ripartendo da dove si era rimasti, abbiamo
$xln(x^2-2x+2)-int2 dx-int(2x-2)/(x^2-2x+2)dx+int2/((x-1)^2+1)dx$
Nel terzo integrale abbiamo agito così: $x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1$
Inoltre l’argomento del modulo è sempre positivo, da cui l’inutilità del valore assoluto.

Ma questi tre integrali sono piuttosto immediati, infatti abbiamo
$xln(x^2-2x+2)-2x-ln(x^2-2x+2)+2arctan(x-1)$
Ricordiamo infatti (per il secondo integrale) che $2x-2$ è la derivata prima di $x^2-2x+2$

Raccogliendo $ln(x^2-2x+2)$ si ha
$(x-1)ln(x^2-2x+2)-2x+2arctan(x-1)+K$

FINE

$lim_(xrarr0)(32^x – 23^x)^(1/x)$

Calcolare il limite che segue
$lim_(xrarr0)(3*2^x – 2*3^x)^(1/x)$

E’ fondamentale in questo caso usare quest’identità
$(3*2^x – 2*3^x)^(1/x)=e^(1/x*ln(3*2^x-2*3^x))$
la quale discende direttamente dalla definizione di logaritmo.

A questo punto dobbiamo calcolare il limite dell’esponente,
$1/x*ln(3*2^x-2*3^x)$
ad esempio applicando de L’Hopital.

Procediamo
$lim_(x->0)(ln(3*2^x-2*3^x))/x$
Derivando numeratore e denominatore, abbiamo
$lim_(x->0)((3ln2*2^x-2ln3*3^x)/(3*2^x-2*3^x))/1$
Il denominatore va direttamente a $1$, mentre il numeratore tende a
$3ln2-2ln3$ ovvero
$ln2^3-ln3^2=ln(8/9)$
per cui

$lim_(x->0)(3*2^x – 2*3^x)^(1/x)=lim_(x->0)e^(1/x*ln(3*2^x-2*3^x))=e^(ln(8/9))=8/9$

FINE

Disposizioni: Calcolare il numero delle targhe che si possono formare nel caso…

Calcolare il numero delle targhe che si possono formare nel caso in cui:
1) ciascuna targa contenga 2 diverse lettere seguite da 3 numeri distinti.
2)il primo numero sia diverso da zero.

Te lo svolgo per intero: se hai altri problemi simili ti indico la strada.
In questo caso è importante che il testo specifichi che le cifre e le lettere devono essere distinte.

1)Vediamo quante coppie di lettere possiamo formare: si tratta di disposizioni semplici.
Assumiamo che le lettere siano $26$, pertanto le disposizioni di $26$ elementi in coppie (classe $2$) sono pari a
$D_(26,2)=26*25=650$
Procediamo analogamente con i tre numeri. Le cifre a disposizioni sono $10$.
Bisogna dunque cercare le disposizioni di $10$ elementi in classe $3$
$D_(10,3)=10*9*8=720$
In definitiva, abbiamo $650$ modi per disporre le lettere e $720$ modi per disporre le cifre.
Le targhe possibili sono tante quante il prodotto di questi due numeri (si immagini di numerare le $650$ coppie di lettere, e abbinare la prima con le $720$ triadi di numeri, e di ripetere il ragionamento con ogni coppia di lettere; contando tutte le targhe, i conti tornano).
Il numero richiesto è $468000$

2)
Il problema è lo stesso di prima, con una minuta differenza.
Le possibili coppie di lettere già le abbiamo contate, sono $650$
Quanto ai numeri: il primo può essere scelto in $9$ modi, lo zero è escluso.
Quindi, le possibili cifre in prima posizione sono $9$.
La seconda posizione può essere occupata da tutti e $10$ i numeri, a eccezione di quello che già occupa la prima posizione; quindi ancora $9$ possibilità.
La terza posizione può essere occupata da $8$ numeri, ovvero i $10$ disponibili meno i $2$ già scelti.
Perciò le configurazioni totali possibili sono $650*(9*9*8)=421200$

Soluzione alternativa al 2):
Il numero di terne di numeri può essere anche determinato come segue.
Calcoliamo le disposizioni semplici, ovvero ignoriamo la limitazione dello zero non consentito al primo posto.
Si ha che esse sono, come già visto al punto 1, $720=10*9*8$
In realtà, di queste $720$, la decima parte ha “zero” al primo posto, questo è intuibile se immaginiamo di incolonnare tutte le terne sistemando prima tutte quelle che iniziano per zero, poi quelle che iniziano per $1$ e così via, fino a $9$.
Appurato che un decimo delle $720$ terne inizia per zero, dobbiamo calcolare i restanti nove decimi, ovvero
$9/10*10*9*8=9*9*8$, a conferma del risultato precedente (resta da moltiplicare per $650$)

FINE

$6a-a^2+49a^4b^4-9$

Si scomponga la seguente espressione
$6a-a^2+49a^4b^4-9$

Riscriviamo l’espressione così
$49a^4b^4-a^2-9+6a$
E’ conveniente mettere in evidenza un segno "meno" in questo modo
$49a^4b^4-(a^2+9-6a)$
Ora però osserviamo che la parentesi è un quadrato, il quadrato di un binomio
$= 49a^4b^4-(a-3)^2$
Non abbiamo ancora finito, perchè possiamo considerare l’espressione come una differenza tra due quadrati.
Infatti $49a^4b^4$ è il quadrato di $7a^2b^2$
Perciò risulta
$49a^4b^4-(a-3)^2\ =\ (7a^2b^2+(a-3))*(7a^2b^2-(a-3))$
Il risultato finale è
$(7a^2b^2+a-3)(7a^2b^2-a+3)$

FINE

Nel triangolo $ABC$ rettangolo in $B$, la bisettrice dell’angolo $hat{A}$ interseca $BC$…

Nel triangolo $ABC$ rettangolo in $B$, la bisettrice dell’angolo $\hat{A}$ interseca $BC$ nel punto $D$ distante $3$ da $B$ e $5$ da $C$.
Sul prolungamento di $AD$ si prende dalla parte di $D$ il punto $E$ distante $25$ da $C$
Sapendo che la perpendicolare in $C$ ad $AC$ è bisettrice dell’angolo $hat{DCE}$, determina il perimetro del triangolo $CDE$.

Si pone $\bar{AB}=x$: essendo $\bar{BC}=\bar{BD}+\bar{CD}=3+5=8$ si ha, per il Teorema di Pitagora, che $\bar{AC}=\sqrt{64+x^2}$.

E’ chiaro ed evidente che i triangoli $ABD$ e $ACF$ sono simili e il triangolo $CDF$ è isoscele su $DF$, ragione per cui vale la seguente proporzione: $\bar{CF} : \bar{BD} = \bar{AC} : \bar{AB}$.

Dalla predetta proporzione segue che $5 : 3 = \sqrt{64 + x^2} : x => 3*\sqrt{64+x^2}=5x => x=6$. Dunque, $\bar{AB}=6$ e, conseguentemente, $\bar{AC}=10$.
Con il Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli $ABD$ e $ACF$ si trova che $\bar{AD}=3\sqrt{5}$ e $\bar{AF}=5\sqrt{5}$: da ciò segue che $\bar{DF}=2\sqrt{5}$.
Con il Teorema della bisettrice dell’angolo interno, applicato al triangolo $CDE$ si trova che $\bar{EF}=10\sqrt{5}$.
Finalmente, $2p(CDE)=\bar{CD} + \bar{CE} + \bar{DE}= 5 + 25 + (10\sqrt{5} + 2\sqrt{5})=30 + 12\sqrt{5}$.

FINE

Risoluzione di un triangolo isoscele

E’ dato un triangolo isoscele, di cui conosciamo la base $b=16$ e l’area $S=(64sqrt(3))/3$.
Identificare il triangolo trovando l’altezza, gli altri due lati e gli angoli.

Iniziamo dai dati che abbiamo. Osserviamo che l’altezza è immediatamente calcolabile, infatti risulta essere
$h=\frac{2*S}{b}$, e sostituendo i dati
$h=\frac{2*S}{b}=\frac{2*\frac{64\sqrt{3}}{3}}{16}=\frac{128\sqrt{3}}{3}*\frac{1}{16}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$

Ora bisogna trovare la lunghezza di uno dei due lati diversi dalla base del triangolo isoscele.
Tracciando l’altezza $h$ relativa alla base $b$, possiamo trovare il lato $a$ considerandolo ipotenusa del triangolo rettangolo che si viene a formare (metà triangolo isoscele). I cateti risultano essere $b/2$ e $h$
Si ha
$b=\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2}=\sqrt{8^2 + (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2}=\sqrt{64 + \frac{64}{9}3}=\sqrt{64 + \frac{64}{3}}=\sqrt{\frac{64*4}{3}}=\frac{8*2}{\sqrt{3}}$
Razionalizzando
$\frac{16}{3}\sqrt{3}$

Passiamo ora agli angoli.
Lavorando sempre sul triangolo rettangolo considerato sopra, possiamo calcolare il seno dell’angolo alla base, poiché sussiste, per un noto teorema riguardante i triangoli rettangoli,
$h=b * sen\theta$
Ovvero
$sen\theta=\frac{h}{b}$
Sostituendo i dati
$\frac{\frac{8}{3}\sqrt{3}}{\frac{16}{3}\sqrt{3}}=\frac{8}{3}\sqrt{3}*\frac{3}{16}*\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$
Ma se il seno di $theta$ vale $1/2$, significa che
$\theta=\frac{\pi}{6}$
risolvendo la banale equazione goniometrica.
In realtà l’equazione goniomietrica
$sintheta=1/2$ restituirebbe anche la soluzione $theta=5pi/6$ ma dobbiamo scartarla, infatti il triangolo isoscele in questo modo avrebbe due angoli ottusi, assurdo.

Gli angoli alla base, in un triangolo isoscele, sono congruenti, perciò anche l’altro angolo risulta essere ampio $pi/6$
L’angolo alla base può essere calcolato per differenze: sappiamo che la somma degli angoli interni vale $pi$, perciò possiamo scrivere, detto $\alpha$ l’angolo da trovare,
$alpha+theta+theta=pi$
ovvero
$alpha+pi/6+pi/6=pi$
da cui facilmente
$alpha=(2pi)/3$

FINE

Identità: $log_(ab) m=frac{log_a m * log_b m}{log_a m+log_b m}$

Dimostrare che vale la seguente proprietà
$log_(ab) m=frac{log_a m * log_b m}{log_a m+log_b m}$
con $a,b,m$ tali da garantire l’esistenza del logaritmo e della frazione.

Ricordiamo innanzitutto due importanti proprietà dei logaritmi:
La prima è sicuramente nota:
$logx+logy=log(xy)$ [b](1)[/b] per qualsiasi base positiva diversa da $1$

La seconda dice che
$log_x y=1/(log_y x)$ [b](2)[/b]
ovvero: un logaritmo in base $x$ di $y$ è uguale al reciproco del logaritmo con argomento e base scambiati di posto.

Iniziamo la dimostrazione sfruttando la prima proprietà [b](1)[/b] citata inserendo i nostri valori $a,b,m$
$log_m ab=log_m a+log_m b$

Usando ora la seconda proprietà [b](2)[/b]possiamo scrivere
$1/(log_(ab) m)=1/(log_a m)+1/(log_b m)$

Sommiamo le frazioni al secondo membro
$1/(log_(ab) m)=(log_a m+log_b m)/(log_a m*log_b m)$

Ora passiamo ai reciproci (se queste due frazioni sono uguali, anche i loro reciproci devono esserlo)
$log_(ab) m=(log_a m*log_b m)/(log_a m+log_b m)$

Questa era la tesi che si richiedeva, pertanto la dimostrazione, partita da una relazione sicuramente vera (la [b](1)[/b]) è conclusa.

FINE

Rapporto tra resistenze $R_1$ e $R_2$

{EtRating 1}Due resistori di resistenza $R_1>R_2$ sono conessi in parallelo.
Sappiamo che resistenza risultante è pari ad $1/3$ di $R_1$
Si determini il rapporto tra $R_1$ e $R_2$

I resistori sono in parallelo: pertanto sappiamo che la resistenza equivalente è legata alle altre due da questa relazione
$1/R_(eq)=1/R_1+1/R_2$
ovvero
$1/R_(eq)=(R_1+R_2)/(R_1R_2)$
passando ai reciproci
$R_(eq)=(R_1R_2)/(R_1+R_2)$
ma nel nostro caso la resistenza equivalente $R_(eq)$ vale $1/3R_1$ perciò possiamo scrivere
$1/3R_1=(R_1R_2)/(R_1+R_2)$
Possiamo semplificare $R_1$
$1/3=R_2/(R_1+R_2)$
da cui otteniamo
$1/3R_1+1/3R_2=R_2$ e con qualche passaggio si ha
$1/2R_1=R_2$
Perciò dividendo per $R_1$ ottengo
$R_2/R_1=1/2$ perciò il rapporto cercato è $1/2$

Oppure più sinteticamente: detto $k=R_2/R_1$ il rapporto tra i due resistori e applicando la formula per ricavare la resistenza equivalente
$1/3R_1=(R_1*R_2)/(R_1+R_2)$ si ha, poichè $R_2=kR_1$
$(R_1*kR_1)/(R_1+kR_1) = R_1/3$
$3kR_1^2 = (1+k)R_1^2$
$3k=1+k$
$k=1/2$

FINE

Un bombaridere, in picchiata ad un angolo di $theta$ rispetto alla verticale…

{etRating 4}

Un bombaridere, in picchiata ad un angolo di $\theta$ rispetto alla verticale, lascia cadere una bomba da un’altezza $h$. La bomba colpisce il suolo $t$ secondi dopo il lancio. Qualè la velocità del bombardiere?
Si assuma
$\theta=53$ (in gradi)
$h=730m$
$Deltat=5sec$

Riferiamoci alla figura che si trova qui: http://img156.imageshack.us/my.php?image=cadutaliberaconangolodd6.png

La bomba appena sganciata ha una velocità pari a quella del bombardiere.

Notiamo che i due angoli segnati in rosso sono uguali perché alterni interni.
Perciò, per i teoremi riguardanti i triangoli rettangoli, possiamo dire che
$v_x=vsintheta$ e
$v_y=vcostheta$
La componente orizzontale $v_x$ rimane costante fino all’impatto, poiché non agiscono forze in direzione orizzontale.
C’è invece variazione delle componente verticale (la bomba descrive un arco di parabola).
Ricordando le leggi del moto uniformemente accelerato, possiamo dire che lo spostamento lungo la verticale è
$S_y=v_yt+1/2g*t^2=vtcostheta+1/2g*t^2$
Perciò possiamo ricavarci $v$, visto che il resto è noto.
Risolvendo rispetto a $v$ ho
$v=frac{2h-g*t^2}{2tcostheta}$
Sostituendo i dati
$v=frac{2*730-10*25}{2*5*0,6}m/s\approx200m/s$

FINE

Si consideri un triangolo $ABC$ e la circonferenza ad esso circoscritta…

Si consideri un triangolo $ABC$ e la circonferenza ad esso circoscritta. Tracciate due altezze del triangolo $BM$ e $CN$, esse vengono prolungate fino ad intersecare la circonferenza in due punti $P$ e $Q$. Se $BC$ misura $5$. e $PQ$ misura $6$, quanto misura il raggio della circonferenza?

Poniamo $hat{BAC}=hat{BPC}=a$
Poiché gli angoli in M ed N sono retti (per ipotesi sono i piedi delle altezze) ne segue che:
$hat{NCA}=hat{MCP}=pi/2-a$
Per il teorema della corda, applicato ai triangoli $PQC$ ed $ABC$,si ha:
$PQ=2R*sin(180°-2a)=2R*sin(2a)=4R*sin(a)cos(a)$
$BC=2R*sin(a)$ (1)
Dividendo membro a membro risulta :
$6/5=2cos(a)$ da cui $cos(a)=3/5$
Pertanto :
$sina=sqrt(1-9/(25))=4/5$ e quindi sostituendo nella (1):
$5=2R*4/5$ da cui $R=(25)/8$

FINE

$lim_(x->-infty) sqrt(x^2+2x+3))+x$

Calcolare il limite
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+2x+3))+x$

La forma è indeterminata, del tipo $+oo-oo$
E’ noto che in casi come questi la via più frequente è quella di moltiplicare per la somma o la differenza dei due addendi.
Moltiplicando dunque numeratore e denominatore per $sqrt(x^2+2x+3)-x$ si ha
$lim_(x->-infty)((sqrt(x^2+2x+3))+x)$=$lim_(x->-infty)(2x+3)/(sqrt(x^2+2x+3)-x)$
Raccogliamo al radicando un fattore $x^2$ e portiamolo fuori dalla radice
$lim_(x->-infty)(2x+3)/(|x|sqrt(1+2/x+3/x^2)-x)$
Inoltre ricordiamo che per $x$ che tende a valori negativi, si ha $|x|=-x$, perciò
$lim_(x->-infty)(2x+3)/(-xsqrt(1+2/x+3/x^2)-x)=lim_(x->-infty)(2x+3)/(-x(sqrt(1+2/x+3/x^2)+1))=-1$

La parentesi al denominatore tendeva infatti a $2$, giacchè la radice tendeva a $sqrt1$ ovvero $1$. Perciò il valore del denominatore è $-2x$. Al numeratore si aveva $2x+3$, ma possiamo trascurare il $3$ per valori grandi di $2x$. Da qui il risultato.

FINE

Nel dipartimento di Ingegneria ci sono 8 dottorandi, ognuno dei quali passa in sede il $50%$…

Nel dipartimento di Ingegneria ci sono 8 dottorandi, ognuno dei quali passa in sede il $50%$ del proprio tempo. Quante scrivanie devo mettere nell’aula nell’ipotesi che ognuno dei presenti debba trovare un posto disponibile per almeno il $90%$ delle volte?

Dal momento che la probabilità di essere presenti è del 50%, possiamo considerare le pure combinazioni semplici, dal momento che ogni eventuale manifestazione sarebbe equiprobabile.

$sum_(i=0)^8((8),(i))$ è il numero delle possibili uscite.
Il risultato è facilmente ottenibile con il triangolo aritmetico ed è 256.

$sum_(i=0)^7((8),(i))=255$ è il numero delle possibili uscite se non fossero mai presenti più di 7 dottorandi. Quindi, la probabilità che siano presenti, al massimo, 7 dottorandi è $255/256=99.6%$.
$sum_(i=0)^6((8),(i))=247$ $P(D<=6)=247/256=96.5%$
$sum_(i=0)^5((8),(i))=219$ $P(D<=5)=219/256=85.5%$
Quindi, poiché il numero di dottorandi presenti in aula è minore di 6 solo nell’85% dei casi, per trovare posto almeno il 90% delle volte, dovrebbero esserci 6 scrivanie.

FINE

$lim_{x to 0}(ln((e^x-1)/x))/x$

{etRating 2}

Calcolare il limite
$lim_{x to 0}(ln((e^x-1)/x))/x$

La forma è indeterminata, $0/0$
Infatti sostituendo il valore $x=0$, abbiamo al numeratore $ln1$ ovvero $0$, per un limite notevole, e al denomintore ovviamente $0$

Procediamo con il teorema di De L’Hopital.
Derivando, si ha
$lim_{x to 0}((D((e^x-1)/x))/(((e^x-1)/x)))/1$ (con D intendiamo la derivata)
$=lim_{x to 0}((xe^x-e^x+1)/(x^2))/((e^x-1)/x)$
Il denominatore della frazione più grande non lo ricopiamo, infatti esso vale $1$ per lo stesso limite notevole di prima.
Si ha
$lim_{x to 0}(xe^x-e^x+1)/(x^2)$
Derivando nuovamente
$lim_{x to 0}(e^x+xe^x-e^x)/(2x)$
Semplificando
$lim_{x to 0}(e^x)/(2)=1/2$ poichè è noto che $e^0=1$ e quindi $e^0/2=1/2$

FINE

Trovare la relazione $omega(theta)$ che lega l’angolo $theta$ alla velocità angolare $omega$

{etRating 3}Una pallina di massa $m$ ruota attorno ad un asse verticale
con velocità angolare $omega$ costante trattenuta da un filo inestensibile di
lunghezza $L$
Sia $theta$ l’angolo evidenziato in figura.
Trovare la relazione $omega(theta)$ che lega l’angolo $theta$ alla velocità angolare $omega$.

Chiamiamo $a_c$ l’accelerazione centripeta.
Uno dei tanti modi di esprimere l’accelerazione centripeta è questo
$a_c=omega^2r$ (1)
Nel nostro caso $r$ è la distanza tra la palla e l’asse di rotazione

La tensione $T$ si compone di due forze: $ma_c$ e $mg$, ovvero i cateti del triangolo rettangolo avente $T$ (i tre vettori formano un triangolo rettangolo).
Per un noto teorema dei triangoli rettangoli, vale
$ma_c=mg*tantheta\implies a_c=g*tantheta$ (2)

Per un altro teorema riguardante i triangoli rettangoli, vale
$r=Lsintheta$ (3)

Sostituendo (3) e (2) nella (1) ottengo
$g*tantheta=omega^2Lsintheta$
da cui, sapendo che $sintheta/(tantheta)=costheta$ e isolando $omega^2$ a secondo membro ho, dopo due conti,
$omega(theta)=sqrt(g/(Lcostheta)$

FINE

$lim_(x->+oo)(x + sqrt(4x^2-4x))/x$

Si calcoli il limite seguente
$lim_(x->+oo)(x + sqrt(4x^2-4x))/x$

La forma è indeterminata: è un rapporto tra infiniti.
In questi casi si procede raccogliendo il termine di grado maggiore al radicando

Si ha dunque
$lim_(x->+oo)(x + sqrt(x^2(4-4/x)))/x$
Portando fuori dalla radice il termine $x^2$ otteniamo
$lim_(x->+oo)(x + |x|sqrt(4-4/x))/x$
Ma noi stiamo analizzando il caso in cui $x$ tende a infinito positivamente, perciò $|x|=x$ e si ha
$lim_(x->+oo)(x + xsqrt(4-4/x))/x$

Raccogliendo $x$ a fattor comune
$lim_(x->+oo)(x(1 + sqrt(4-4/x)))/x = lim_(x->+oo)(1 + sqrt(4-4/x)) = 1+2=3$
Abbiamo infatti semplificato il termine $x$ il quale compariva sia al numeratore che al denominatore.

FINE

Qual è l’intensità della forza-peso e della spinta di Archimede sulla pallina?

{etRating 1}

Una pallina di ferro (densità $7,9*10^3 (kg)/m^3$) del diametro di $9,0 mm$ è immersa completamente in un bicchiere d’acqua.
Qual è l’intensità della forza-peso e della spinta di Archimede sulla pallina?

Calcolare il volume della palla è facile, avendo il raggio, che è $4,5mm$
Si ha, ricordando la formula del volume della sfera,
$V=4/3pir^3=372mm^3=3,72*10^(-7)m^3$
La massa della palla è calcolabile, conoscendo la relazione che la lega alla densità e al volume
$m=dV=7,9*10^3*3,72*10^(-7)=29,4*10^(-4)kg=2,95*10^(-3)kg$
Il peso si ricava con
$P=mg=2.95*10^(-3)*10 N=2,95*10^(-2) N$

La spinta di Archimede è uguale al peso della massa del fluido spostato, l’acqua, con densità $rho=10^3(kg)/m^3$
Perciò
$A=rho*V*g=10^3*3,72*10^(-7)*10 N=3,72*10^(-3)N$

FINE

$lim_{x to 0} {3^{x^2} – 2^{x^2}}/ {xsenx}$

Calcolare
$lim_{x to 0} {3^{x^2} – 2^{x^2}}/ {xsenx}$

Per prima cosa occorre ricordare che, per valori di $x$ prossimi allo zero, si ha l’approssimazione
$x\approx sinx$
Questo è molto utile, perchè possiamo scrivere il nostro limite nella maniera seguente (dato che $xto 0$)
$lim_{x to 0} {3^{x^2} – 2^{x^2}}/ {xsenx}=lim_{x to 0} {3^{x^2} – 2^{x^2}}/ {x*x}$
Perciò si ha
$lim_{x to 0}(3^(x^2)-2^(x^2))/(x^2)$.

Ponendo $x^2=t$ il tutto diventa
$lim_{x to 0}(3^t-1)/t+(1-2^t)/t$ (abbiamo aggiunto e sottratto $1$ al numeratore)
che è la somma di limiti notevoli.
Infatti sappiamo che
$lim_(xto 0) (a^x-1)/x=lna$
Perciò risulterà che
$lim_(xto 0) (3^t-1)/t=ln3$
$lim_(xto 0) (1-2^t)/t=lim_(xto 0) -(2^t-1)/t=-ln2$
Perciò si ha che
$lim_{x to 0}(3^t-1)/t+(1-2^t)/t=ln3-ln2$ che può anche essere espresso in maniera più compatta nella forma $ln(3/2)$ (in virtù di una nota proprietà dei logaritmi).

FINE

$lim_(x->oo) (xe^(1/x) – x)$

Si calcoli il limite seguente
$lim_(x->oo) (xe^(1/x) – x)$

Possiamo notare, più o meno facilmente, che il limite cela una forma notevole, che può venir fuori apportando un’opportuna sostituzione.

Ponendo ad esempio
$1/x=t$ da cui $x=1/t$
si ha che $t->0$ poichè al primo membro $x$ tende a infinito.

Sostituiamo nel limite originario e otteniamo
$lim_(x->oo) (xe^(1/x) – x)=lim_(t->0)(1/te^t-1/t)=lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$

L’ultimo passaggio è giustificato dal fatto che
$lim_(t->0)(e^t-1)/t=1$ è un limite notevole

FINE

$lim_(xto 0) (x(1-e^x))/(cosx-1)$

Si calcoli
$lim_(xto 0) (x(1-e^x))/(cosx-1)$

La forma è chiaramente indeterminata.
Si può procedere usando gli sviluppi asintotici o il teorema di De L’Hopital.
Usando invece i limiti notevoli, possiamo procedere come segue.

Moltiplicando numeratore e denominatore per $x$ si ottiene
$lim_(xto 0) (x(1-e^x))/(cosx-1) = lim_(xto 0)(1-e^x)/x (x^2)/(cosx-1)$

Ora è utile moltiplicare il numeratore e il denominatore della seconda frazione per il termine $1+cosx$
$lim_(xto 0)(1-e^x)/x (x^2)/((cosx-1)(cosx+1))(cosx+1)$
ma poichè $(cosx+1))(cosx+1)=cos^2x-1=-sin^2x$ si ottiene
$lim_(xto 0) (1-e^x)/x (x^2)/(-sin^2x)(cosx+1)=lim_(xto 0) (e^x-1)/x (x^2)/(sin^2x)(cosx+1)$
Ora abbiamo solo limiti notevoli

Ricordando che
$lim_(xto 0) x/(sinx)=1$
$lim_(xto 0) (e^x-1)/x$
si conclude che il valore del limite è $2$

FINE

$lim_(xto+oo)2x(ln(x+1)-lnx)$

Si calcoli il limite seguente
$lim_(xto+oo)2x(ln(x+1)-lnx)$

Sfrutteremo innanzitutto la proprietà dei logaritmi secondo cui
$loga-logb=log(a/b)$

Procediamo
$lim_(xto+oo)(2x(ln(x+1)-lnx))=lim_(xto+oo)2xln((x+1)/x)$
Ma possiamo scrivere il limite anche così
$lim_(xto+oo)2xln(1+1/x)$
Portiamo fuori il $2$, che è costante, e sfruttiamo un’altra proprietà dei logaritmi ($nloga=log(a^n)$)
$2*lim_(xto+oo)ln(1+1/x)^x=2lne=2$
poichè $lim_(xto+oo)(1+1/x)^x=e$ è limite notevole, inoltre è noto che $lne=1$

FINE

$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))(1-x/((x-1)^2))$

Si calcoli
$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))(1-x/((x-1)^2))$

Iniziamo con lo svolgere la somma nella parentesi
$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))(1-x/((x-1)^2))=lim_(x->1^-) (e^(1/(x-1)))(x^2-2x+1-x)/(x-1)^2$

Il numeratore della frazione non fa parte della forma indeterminata perchè vale $-1$, rimane dunque da calcolare
$lim_(x->1^-) (e^(1/(x-1)))/(x-1)^2$
Ora possiamo porre, per comodità,
$1/(x-1) =t$ notando che a questo punto $t->-oo$
Si ottiene dunque
$lim_(t-> -oo) t^2 e^t=lim_(t-> -oo) t^2/ e^(-t)=$
Applicando il teorema di De Hopital otteniamo
$=lim_(t-> -oo) (2t)/(- e^(-t))=$
Derivando nuovamente
$= lim_(t-> -oo) 2/(e^(-t))=0$

In definitiva
$lim_(x->1^-) e^(1/(x-1))/(x-1)^2(x^2-3x+1)= 0*(-1)=0$

FINE

$(a-1)/(a-2)x^2-2x+(5-15a)/(a-2)=0$

E’ data la seguente equazione contenente un parametro $a in RR$
$(a-1)/(a-2)x^2-2x+(5-15a)/(a-2)=0$
Si esaminino le soluzioni dell’equazione e i valori che può assumera il parametro.

Consideriamo le condizioni di esistenza; avendo
$(a-1)/(a-2)x^2-2x+(5-15a)/(a-2)=0$
si deve escludere $a=2$, che annullerebbe i denominatori.

Vediamo cosa succede per eventuali valori del parametro che annullano il coefficiente di $x^2$; ad esempio, tornando all’equazione di prima, se $a=1$ l’equazione si riduce a $-2x+10=0$, da cui $x=5$;

E’ importante ora esaminare il discriminante $Delta$, ovvero, indicando con
$x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ la formula risolutiva, si ha che $Delta=b^2-4ac$;
Ma se il coefficiente di $x$ è pari, si può porre $t=b/2$ ed applicare la formula risolutiva ridotta:
$x=(-t+-sqrt(t^2-ac))/a$, dove, in questo caso, $Delta=t^2-ac$.
Nel nostro caso, eliminiamo i denominatori ottenendo:
$(a-1)x^2-2(a-2)x+(5-15a)=0$

Il discriminante è importante studiarlo: infatti sappiamo da esso se l’equazione ammette radici, ed eventualmente quante.
Ricordiamo che se
$Delta=0$ l’equazione ammette un valore che la soddisfa (diciamo anche due radici reali coincidenti $x_1=x_2$)
$Delta>0$ l’equazione ammette due radici reali distinte
$Delta<0$ l’equazione non ha radici reali

Calcoliamo il valore del discriminante
$Delta=(a-2)^2-(a-1)(5-15a)=(a^2-4a+4)-(5a-15a^2-5+15a)=$
$=16a^2-24a+9=(4a-3)^2>=0$
Se il discriminante vale zero, ovvero
$4a-3=0 \implies a=3/4$
l’equazione ammette la radice $x=5$
Altrimenti, l’equazione ha due radici reali distinte, che sono, applicando la formula
$x_1=((a-2)+(4a-3))/(a-1)=(5a-5)/(a-1)=(5(a-1))/(a-1)=5$
$x_2=((a-2)-(4a-3))/(a-1)=(1-3a)/(a-1)$

Riassumendo:
— se $a=2$ l’equazione perde significato;
— se $a=1$ l’equazione diventa di primo grado e la soluzione è $x_1=5$;
— se $a=3/4$ l’equazione ammette due radici coincidenti $x_1=x_2=5$
— se $a$ assume altri valori, si hanno due radici reali e distinte: ${(x_1=5),(x_2=(1-3a)/(a-1)):}$

FINE

Siano l’arco $AB$ e l’arco $CD$ due archi congruenti di una circonferenza (A,B,C,D nell’ordine)…

Siano l’arco $AB$ e l’arco $CD$ due archi congruenti di una circonferenza (A,B,C,D nell’ordine). Dimostrare che $BC||AD$

Osserviamo il disegno.

Ricordiamo inoltre che due angoli hanno la stessa ampiezza se insistono sul medesimo arco, o su archi congruenti.

In base a ciò, possiamo dire che gli angoli alla circonferenza $\hat(CAD)$ e $\hat(BCA)$ sono congruenti perchè insistono su archi congruenti per ipotesi.

Ora consideriamo le rette su cui giacciono i segmenti $\bar{BC}$ e$\bar{AD}$ e la loro trasversale su cui giace $\bar{AC}$. Per i criteri di parallelismo $\bar{BC}$ e $\bar{Ad}$ sono paralleli in quanto hanno una coppia di angoli alterni interni congruenti.

Pertanto la dimostrazione è completa.

FINE

Molle in serie, costante elastica equivalente

{etRating 4}

In figura si hanno due molle collegate in serie, e una forza $vecF$

Mostrare che la costante elastica equivalente del sistema così costituito è legata alle altre due costanti secondo la legge

$1/k_a+1/k_b=1/k_(eq)$

Abbiamo queste due molle, le cui costanti elastiche sono $k_a$ e $k_b$

Disponendole in serie e applicando una forza $F$ come in figura, si ha che le molle sono entrambe sottoposte a questa forza e avranno allungamento $x_a$ e $x_b$

$k_a*x_a=F$

$k_b*x_b=F$

volendo trovare la $k$ totale, cerchiamo una $k_(eq)$ tale che:

$F=k_(eq)*x_s=k_(eq)(x_a+x_b)$

dal momento che la somma dei due allungamenti corrisponde all’allungamento del sistema.

A questo punto si ha

$x_a=F/k_a$

$x_b=F/k_b$

$x_a+x_b=F/k_(eq)$

dunque:

$F/k_1+F/k_2=F/k_(eq)$

semplifichiamo la $F$

$1/k_a+1/k_b=1/k_(eq)$

FINE

Sia $E$ un punto esterno a una data circonferenza di centro $O$; un angolo di vertice $E$ ha…

Sia $E$ un punto esterno a una data circonferenza di centro $O$; un angolo di vertice $E$ ha i lati secanti la circonferenza. Siano $A$ e $B$ le intersezioni del primo lato dell’angolo con la circonferenza (con $bar{AE}<bar{BE}$) e $C$ e $D$ le intersezioni del secondo lato (con $\bar{CE}<\bar{DE}$). Dimostrare che $hat(BED)=1/2(hat(BOD)-hat(AOC))$

Dopo aver fatto un disegno, osserviamo la figura.

Gli angoli alla circonferenza godono di importanti proprietà: in questo caso ricordiamo che se un angolo alla circonferenza insiste su un certo arco, allora sarà la metà di un angolo al centro che insiste sull’arco medesimo.

In virtù di questo, possiamo dire

$\hat{BAD}=1/2\hat{BOD}$, poiché angolo alla circonferenza e angolo al centro che sottendono lo stesso arco BD.

$\hat{ADE}=1/2\hat{AOC}$ poiché angolo alla circonferenza e angolo al centro che sottendono lo stesso arco AC

Poi, consideriamo il triangolo $\stackrel(Delta)(AED)$ e l’angolo esterno $\hat{BAD}$.

Per il teorema dell’angolo esterno, ogni angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.

Quindi risulta essere

$\hat{BAD}=\hat{AED}+\hat{ADE}$, da cui $\hat{AED}=\hat{BAD}-\hat{ADE}$.

Ora sostituiamo le espressioni trovate precedentemente, nell’ultima relazione.

Otteniamo

$\hat{AED}=1/2\hat{BOD}-1/2\hat{AOC}$, e raccogliendo $1/2$ ottieniamo la tesi.

FINE

$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$

Si calcoli il limite seguente

$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$

La forma è indeterminata, del tipo $1^infty$

Procediamo come segue

$((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=((2+e^(2x)+1)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=(1+1/(2+e^(2x)))^(x+e^x)$

La forma si sta avvicinando a quella del famoso limite notevole

Ora facciamo in modo che l’esponente e il numeratore siano uguali, in modo da poter applicare tale limite.

Moltiplicando e dividendo l’esponente per $2+e^(2x)$ si ottiene

$[(1+1/(2+e^(2x)))^(2+e^(2x))]^((x+e^x)/(2+e^(2x)))$

e ricordando che:

$\{(lim_(xto +oo)(1+1/(2+e^(2x)))^(2+e^(2x))=lim_(y to+oo)(1+1/y)^y=e),(lim_(xto +oo)(x+e^x)/(2+e^(2x))=lim_(xto +oo)(e^x*(x*e^(-x)+1))/(e^(2x)*(2e^(-2x)+1))=0):}$

troviamo facilmente:

$lim_(x->+oo) ((e^(2x)+3)/(2+e^(2x)))^(x+e^x)=e^0=1$.

Il risultato poteva essere previsto, infatti notiamo che

$2+e^(2x)$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x+e^x$, pertanto l’esponente non riesce a far convergere il limite a $e$, ma predomina l’ $1$ della base.

FINE

$tan^2x – sin^2x=tan^2x*sin^2x$

Provare la seguente identità

$tan^2x – sin^2x=tan^2x*sin^2x$

Lavoriamo sul primo membro

$tan^2x – sin^2x =(sin^2x)/(cos^2x)-sin^2x$

Ora raccogliamo $sin^2x$ per ottenere

$sin^2x*(1/(cos^2x)-1)$

Eseguiamo tra parentesi un denominatore comune

$sin^2x*(1-cos^2x)/(cos^2x)$

Sapendo che $1-cos^2x=sin^2x$, otteniamo

$sin^2x*(sin^2x)/(cos^2x)$

ovvero

$tan^2x*sin^2x$

che è il secondo membro dell’identità, che pertanto risulta vera.

Quest’identità mostra che la differenza tra i quadrati della tangente e il seno di un angolo, è uguale al prodotto dei due al quadrato.

Ovviamente l’angolo dovrà essere tale da assicurare l’esistenza della tangente.

$lim_(x->oo)ln(1+1/(2x))/[1-e^(1/x)]$

Calcolare il seguente limite

$lim_(x->oo)ln(1+1/(2x))/[1-e^(1/x)]$

Per semplificare la forma operiamo una sostituzione

$t=1/(2x)$

E’ quindi evidente che se

$x->oo$

si ha che

$t->0$

A questo punto il limite diventa

$lim_(t->0)ln(1+t)/[1-e^(2t)]$

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $2t$ con lo scopo di far apparire dei limiti notevoli

$lim_(t->0)ln(1+t)/t*(2t)/[1-e^(2t)]*1/2$

Ora si osserva che

$lim_(t->0)ln(1+t)/t=1$

e che

$lim_(t->0)[2t]/(e^(2t)-1)=1$

Nel nostro caso in realtà abbiamo

$(2t)/[1-e^(2t)]$ ma non è un problema, basta mettere un meno in evidenza, ottenendo

$-(2t)/[e^(2t)-1]$

Quindi, usando tali risultati nel nostro caso, possiamo facilmente concludere in questo modo

$lim_(t->0)ln(1+t)/t*(2t)/[1-e^(2t)]*1/2=1*(-1)*1/2=-1/2$

FINE

$sin^2x-sin^2y=sen(x+y) sen(x-y)$

Si provi la seguente identità goniometrica

$sin^2x-sin^2y=sen(x+y) sen(x-y)$

Partiamo dal secondo membro per ricondirci al primo.

Sviluppiamolo usando le note formule

$sin(x+y) sin(x-y)=(sinx cosy + cosx siny) (sinx cosy – cosx siny)$

Ora proseguiamo, calcolando il prodotto tra le parentesi

$sin^2 x cos^2 y -cos^2 x sin^2 y$

Ora aggiungiamo e sottraiamo un termine misto, al fine di poter raccogliere.

E’ un trucchetto algebrico che spesso si usa quando si è in difficoltà. Questo termine misto è $sin^2 x*sin^2 y$

$sin^2 x cos^2 y -cos^2 x sin^2 y +sin^2 x sin^2 y -sin^2 x sin^2 y =$

$= sin^2 x (cos^2 y + sin^2 y) – sin^2 y (cos^2 y + sin^2 y )$

Rircordando che la somma del quadrato del seno e del quadrato del coseno è sempre $1$, perciò abbiamo ottenuto il primo membro.

Per fare il termine misto abbiamo preso un elemento del primo addendo ( il $sin^2 x$ da $sin^2 x cos^2 y$)

e uno dal secondo (il $sin^2 y$ da $cos^2 x sin^2 y$).

Se non si avesse pensato a sommare e sottrarre quel termine, potevamo procedere anche come segue

$sin^2xcos^2y-sin^2ycos^2x=sin^2x(1-sin^2y)-sin^2y(1-sin^2x)=$

$=sin^2x-sin^2xsin^2y-sin^2y+sin^2xsin^2y=sin^2x-sin^2y$

FINE

$sin2x-sin4x+sin6x=sin4x(2cos2x-1)$

Si dimostri la seguente identità

$sin2x-sin4x+sin6x=sin4x(2cos2x-1)$

Iniziamo ad operare sul primo membro

$sin2x-sin4x+sin6x=sin2x-sin4x+sin(4x+2x)=sin2x-sin4x+sin4xcos2x+sin2xcos4x$

Abbiamo usato la nota formula della somma.

Ora raccogliamo $sin2x$ nel primo e ultimo due addendo, e $sin4x$ negli altri due

$sin2x(1+cos4x)+sin4x(cos2x-1)$

Ricordiamo inoltre che $1+cos4x=2cos^2 2x$, perciò si ha

$sin2x(2cos^2 2x)+sin4x(cos2x-1)=$

$=2sin2xcos^2 2x+sin4x(cos2x-1)$

Ma osservando che $2sin2xcos^2 2x$ può essere scritto come $2sin2xcos2x*cos2x$ possiamo eseguire una duplicazione in questo modo

$sin4xcos2x+sin4x(cos2x-1)$

Finalmente, raccogliendo a fattor comune $sin4x$ si ottiene

$sin4x(2cos2x-1)$

che è il secondo membro dell’identità, che perciò è vera.

FINE

$(sin(x-30))/(sin(x+30))=(tanx-tan30)/(tanx+tan30)$

Si mostri che la seguente identità è vera

$(sin(x-30))/(sin(x+30))=(tanx-tan30)/(tanx+tan30)$

Il primo membro, in virtù delle note formule riguardanti il seno della differenza di archi, diviene

$(sin(x-30))/(sin(x+30))=(sinx cos30-sin30 cosx)/(sinx cos30+sin30 cosx)$

Per quanto riguarda il secondo membro invece procediamo così

$(tanx-tan30)/(tanx+tan30)=((sinx)/(cosx)-(sin30)/(cos30))/((sinx)/(cosx)+(sin30)/(cos30))$

cioè

$(sinxcos30-sin30 cosx)/(cosx cos30):(sinxcos30+sin30 cosx)/(cosx cos30)

$(sinxcos30-sin30 cosx)/(cosx cos30)*(cosx cos30)/(sinxcos30+sin30 cosx)$

Semplificando, si ha

$(sinxcos30-sin30 cosx)/(sinxcos30+sin30 cosx)$

che è la stessa espressione cui siamo giunti lavorando sul primo membro, pertanto possiamo dire che l’ identità è vera.

FINE

$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)=(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

Dimostrare l’esattezza della seguente identità

$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)=(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

Iniziamo a operare al primo membro.

$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)$

Poichè sappiamo che vale

$tanalpha=sinalpha/(cosalpha)$ esso diventa

$((sin2alpha)/(cos2alpha)+sin2alpha)/(cos^2alpha)$

ovvero, moltiplicando numeratore e denominatore per $cosalpha$, otteniamo

$(sin2alpha+cos2alphasin2alpha)/(cos2alpha*cos^2alpha)$

che diviene, dopo aver raccolto $sin2alpha$ al numeratore,

$(sin2alpha)/(cos2alpha)*(1+cos2alpha)/(cos^2alpha)

cioè, sapendo che $cos2alpha=2cos^2alpha-1$,

$tan2alpha*(1+2cos^2alpha-1)/(cos^2alpha)$

che diviene

$2*tan2alpha$

dopo aver eliminato $1$ e $-1$ e aver semplificato $(2cos^2alpha)/(cos^2alpha)=2$

Cerchiamo ora di scrivere opportunamente il secondo membro

$(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

Facilmente, per considerazione fatte anche prima, si ottiene

$((sin2alpha)/(cos2alpha)-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

da cui

$(sin2alpha-cos2alphasin2alpha)/(cos2alpha*sin^2alpha)$

ovvero

$(sin2alpha)/(cos2alpha)*(1-cos2alpha)/(sin^2alpha)$

ora, ricordando che $1-cos2alpha=2sin^2alpha$ si giunge a

$tan2alpha*(2sin^2alpha)/(sin^2alpha)$

che diventa facilmente

$2*tan2alpha$

Entrambi i membri sono stati ricondotti alla stessa forma, pertanto l’identità è vera.

FINE

Studio di funzione $f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}$

{etRating 3}

Studio della funzione $f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}$

Trovare:

1)Il dominio

2)Eventuali intersezioni con gli assi

3)Eventuali simmetrie

4)Eventuali asintoti

5)Intervalli di crescenza e decrescenza della funzione

Osservando la funzione, si nota che bisogna solo escludere i punti per i quali si ha il denominatore nullo.

Per il resto, la funzione esponenziale

$f(t)=e^t$ è definita $foralltinRR$

Perciò si ha solo

$|x|-1!=0$

ovvero

$x!=+-1$

E’ inutile cercare eventuali intersezioni con l’asse delle ascisse: infatti la funzione esponenziale è strettamente positiva in ogni punto del dominio.

Per quanto riguarda l’asse delle ordinate, si deve risolvere il sistema

${(x=0),(y=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}):}$

Sostituendo

${(x=0),(y=e^9):}$

Quindi il punto è $A=(0,e^9)$

La funzione è pari: questo implica che vi è una simmetria rispetto all’asse delle ordinate.

Si può facilmente provare la parità dal momento che risulta

$f(x)=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=e^{(4(-x)^2-9)/(|-x|-1)}=f(-x)$

Cerchiamo eventuali asintoti verticali.

Osserviamo il comportamento della funzione negli intorni di $1$ e $-1$

$lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(x-1))=e^((-5)/(0^+))=e^(-oo)=0^(+)$

$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=e^((-5)/(0^-))=e^(+infty)=+oo$

$lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(-x-1))=e^((-5)/0^-)=e^(+oo)=+oo$

$lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(-x-1))=e^((-5)/(0^+))=e^(-oo)=0$

Quindi $x=+-1$ asintoto verticale

Asintoti obliqui non ci sono perchè

$lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(x-1)))/x=+infty$

$lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(-x-1)))/x=-infty$

Se $x>0$

$f'(x)=e^((4x^2-9)/(x-1))*((4x^2-8x+9)/(x-1)^2)$

per cui per $x in (0,1)$ U $(1,+infty)$, la funzione è sempre crescente

Se $x<0$

$f'(x)=e^((4x^2-9)/(-x-1))*((-4x^2-8x-9)/(-x-1)^2)$

per cui per $x in (-infty,-1)$ U $(-1,0)$ la funzione è sempre decrescente

FINE

$f(x)=log_3(cosx+2)$

Studiare la funzione seguente

$f(x)=log_3(cosx+2)$

1)Dominio

La funzione coseno è continua e il suo dominio è l’asse reale, mentre il logaritmo necessita di argomento positivo strettamente

$cosx+2>0$

$cosx> -2 \Rightarrow \forall x in RR$

Infatti il coseno assume valori compresi tra $-1$ e $1$, quindi in ogni caso maggiori di $-2$

2)Intersezioni con l’asse $x$ e succesivamente con l’asse $y$

Per il primo si ha

${(y=0),(y=log_3(cosx+2)):}$

ovvero

$log_3(cosx+2)=0$

cioè, poichè la funzione logaritmo è nulla se il proprio argomento assume valore 1,

$cosx+2=1$

$cosx=-1$ $<=>$ $x=pi+2kpi$

Per quanto riguarda ‘intersezione con l’asse $y$ si ha

${(x=0),(y=log_3(cosx+2)):}$

$log_3(cos0+2)=log_3 3=1$

pertanto il punto cercato ha coordinate$(0,1)$

3)Positività:

$ log_3(cosx+2)>0$ implica che

$cosx> -1$ $->$ $ AAx in RR-{pi+2kpi}$

4)Non ci sono asintoti verticali, orizzontali od obliqui

5) Crescenza e decrescenza:

Studiamo il segno della derivata prima

$y’=1/ln3*(-senx)/(cosx+2)$

Quindi

$y’>0$ $->$ $-senx>0$ $->$ $senx<0$ $<=>$ $pi+2kpi<x<2pi+2kpi$ da cui $(pi+2kpi,0)$ sono minimi e $(2pi+2kpi,1)$ sono massimi.

$cosx+2$ è stato trascuarato durante lo studio del segno in quanto strettamente positivo.

6)Flessi:

$y”=-1/ln3*(cosx(cosx+2)-senx*(-senx))/(cosx+2)^2=-1/ln3*(1+2cosx)/(cosx+2)^2$.

Ora

$y”=0$ solo se

$cosx=-1/2$ che restituisce

$x=+-(2pi)/3+2kpi$

che sono punti di flesso

FINE