$cosx/(1+senx)+tanx=2$

Risolvere

Iniziamo a risolvere l’equazione.

Imponiamo che

$x!=pi/2+kpi$ con $kinZZ$

affinchè la funzione tangente sia definita.

Moltiplichiamo ambo i membri per $cosx(1+sinx)$ per eliminare i denominatori.

C’è comunque da assicurarsi che

$sinx+1!=0$ ovvero $sinx!=-1$ che dà $x!=3/2pi+2kpi$

e anche che

$cosx!=0$ ovvero $x!=pi/2+kpi$

In verità questa condizione sono già contenute in $x!=pi/2+kpi$

L’equazione diventa, dopo aver moltiplicato,

$cos^2x+(1+senx)senx=2cosx(1+senx)$ cioè

$cos^2x+sinx+sin^2x=2cosx+2cosxsinx$

Ma poichè si sa che

$sin^2x+cos^2x=1$

otteniamo

$sinx+1=2cosx(1+sinx)$

ovvero

$(senx+1)(2cosx-1)=0$

Abbiamo già avuto modo di vedere che $sinx+1!=0$,perciò lo trascuriamo.

Ci si riduce a

$2cosx-1=0$

cioè

$cosx=1/2$ che ha soluzioni

$x=+-pi/3+2kpi$ con $kinZZ$

FINE

$1/sqrt(sinx+2)+1/(sinx+cosec(pi/6))>0$

Si risolva la disequazione che segue

$1/sqrt(sinx+2)+1/(sinx+cosec(pi/6))>0$

Calcoliamo il valore della cotangente

$cot(pi/6)=1/(sin(pi/6))=\frac{1}{1/2}=2$

Perciò si ha

$1/sqrt(sinx+2)+1/(sinx+2)>0$

Poniamo

$sqrt(sinx+2)=t$

e otteniamo

$1/t+1/t^2>0$

ovvero

$\frac{t+1}{t^2}>0$

Possiamo limitarci a risolvere

$t+1>0$

poichè

$t^2>0$

Inoltre non c’è nemmeno bisogno di considerare il caso in cui il denominatore si annulla: infatti

$sqrt(sinx+2)>0$ perchè il valore minimo del seno $-1$ e quindi si avrebbe al peggio $sqrt(-1+2)=sqrt(1)$ che è maggiore di zero.

Andando avanti, si giunge a

$t> -1$

ovvero

$sqrt(sinx+2)> -1$

In base alle considerazioni precedenti, possiamo dire che la disequazione è sempre verificata, perchè il radicale ha sempre radicando positivo (è sempre definito quindi) e inoltre è sempre positivo, per cui maggiore di un negativo ($-1$ nel nostro caso).

Perciò possiamo scrivere che la disequazione è vera

$forallx inRR$

Fine

Ad inizio anno, in una certa scuola si forma una classe di 20 alunni…

Ad inizio anno, in una certa scuola si forma una classe di 20 alunni

1)Gli studenti devono essere divisi in 4 gruppi, due da $6$ e due da $4$. In quanti modi è possibile suddividerli?

2)Si devono eleggere 4 ragazzi: due rappresentanti e due vicerappresentanti. Determinare in quanti modi è possibile scegliere i 4 ragazzi, sapendo che ovviamente uno studente non può ricoprire la carica di rappresentante e di vice (i 4 devono essere tutti distinti).

I ragazzi sono venti.

Supponiamo che l’insegnante decida i primi sei ragazzi che compongono un gruppo: questi possono essere scelti in

$C_(20,6)$ modi, ovvero $((20),(6))$ modi. L’ordine non conta infatti, i gruppi differiscono solo per qualità.

Scelti $6$ ragazzi qualsiasi, decide di chiamarne altri $6$ per formare il secondo gruppo.

A questo punto questi $6$ possono essere scelti tra i rimanenti $14$ (infatti un gruppo è già determinato)

I possibili modi sono pertanto $((14),(6))$

Mancano $8$ ragazzi all’appello.

L’insegnante ne sceglie $4$. Le possibili combinazioni sono date da

$((8),(4))$

I restanti $4$ possono essere scelti in un modo solo.

Pertanto le possibili configurazioni sono

$((20),(6))*((14),(6))*((8),(4))= 20!/(6!·6!·4!·4!)=8147739600$

Supponiamo che dobbiamo scegliere prima i due rappresentanti, e successivamente i due vice.

I due rappresentanti possono essere scelti in

$C_(20,2)$ modi.

A questo punto i vice possono essere scelti tra i 18 rimanenti in

$C_(18,2)$ modi

Le configurazione possibili sono dunque

$((20),(2))*((18),(2))=29070$

Alternativamente potevamo dire che i $4$ ragazzi addetti alla rappresentanza sono selezianabili in

$((20),(4))$

e tra di essi le possibili configurazioni “primi rappresentanti e vice” sono

$((4),(2))$

Peranto le configurazioni totali sono

$((20),(4))*((4),(2))=29070$

Dominio di $f(x)=log_(1/3)(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx))$

Si trovi il dominio della seguente funzione

$f(x)=log_(1/3)(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx))$

Questa è un’applicazione dei sistemi di disequazioni. Per trovare il dominio della funzione dobbiamo infatti risolvere un sistema di qualche disequazione.

E’ fondamentale ricordare che la funzione logaritmo è definita se l’argomento è strettamente positivo.

${(x>0),(ln^2x-sqrt(5)lnx>0),(ln(ln^2x-sqrt(5)lnx)>0):}$

Consideriamo la seconda disequazione

$ln^2x-sqrt(5)lnx>0$ diventa

$lnx(lnx-sqrt(5))>0$

Prendiamo i valori esterni alle radici, e otteniamo

$lnx<0$ $U$ $lnx>sqrt(5)$

Togliendo i logaritmi

$0<x<1$ $U$ $x>e^(sqrt(5))$

Poi trattiamo la terza disequazione

$ln(ln^2x-sqrt(5)lnx)>0$

Affinchè un logaritmo sia maggiore di zero, il suo argomento deve essere maggiore di $1$. in questo caso l’argomento è

$ln^2x-sqrt(5)lnx>1$

$ln^2x-sqrt(5)lnx-1>0$

Risolvendo l’equazione associata rispetto a $lnx$ e prendendo i valori esterni, si giunge a

$lnx>(3+sqrt(5))/2$ $U$ $lnx<(sqrt(5)-3)/2$

e togliendo i logaritmi

$x>e^((3+sqrt(5))/2)$ $U$ $0<x<e^((sqrt(5)-3)/2)$

Intersecando le soluzioni ottenute da ciascuna disequazione, ottieniamo:

Dominio: $0<x<e^((sqrt(5)-3)/2)$ U $x>e^((3+sqrt(5))/2)$

$ln^2x-sqrt(5lnx)>0$

Si risolva la disequazione che segue

$ln^2x-sqrt(5lnx)>0$

La disequazione la scriviamo in questo modo:

$ln^2x>sqrt(5lnx)$

Ora eseguiamo la quadratura

$ln^4x>5lnx$

Ovviamente dobbiamo però porre delle debite condizioni, che sono

1)Stretta positività dell’argomento del logaritmo

2)Positività del radicando

Tutto ciò si riassume nel sistema seguente, che dobbiamo risolvere

${(x>0),(lnx>=0),(ln^4x-5lnx>0):}$

che diviene

${(x>0),(x>=1),(lnx(ln^3x-5)>0):}$

Risolviamo $lnx(ln^3x-5)>0$. Posto $lnx=t$ si deve risolvere $t(t^3-5)>0$

Questa disequazione è molto semplice, e restituisce

$t<0$ U $t>root(3)5$ cioè

$lnx<0$ $<=>$ $0<x<1$ U $lnx>root(3)5$ $<=>$ $x>e^(root(3)5)$

Per cui $lnx(ln^3x-5)>0$ $<=>$ $0<x<1$ U $x>e^(root(3)5)$

In conclusione il la disequazione

$ln^2x-sqrt(5lnx)>0$

equivale a

${(x>0),(x>=1),(0<x<1 U x>e^(root(3)5)):}$

che risolta dà

$x>e^(root(3)5)$

FINE

$ln^2x-root(5)(lnx)>0$

Si risolva la seguente disequazione

$ln^2x-root(5)(lnx)>0$

Osserviamo subito che in questa disequazione c’è una radice scomoda, ma che può essere tolta eseguendo un’elevazione a potenza opportuna, in questo caso di esponente $5$. Portando $root(5)(lnx)$ al secondo membro, ed elevando il tutto alla quinta, si ha

$ln^10x>lnx$

ovvero

$ln^10x-lnx>0$

Risolvere questa disequazione equivale a risolvere il seguente sistema

${(x>0),(ln^10x-lnx>0):}$

Infatti la disequazione

$x>0$ si rende necessaria perchè non possiamo accettare soluzioni che rendano negativo l’argomento del logaritmo.

Si ha

${(x>0),(lnx(ln^9x-1)>0):}$

Risolviamo $lnx(ln^9x-1)>0$. Posto $lnx=t$ si deve risolvere $t(t^9-1)>0$

La parentesi $t^9-1$ può essere trattata come differenza tra due cubi, infatti

$t^9=(t^3)^3$ e $1=1^3$

Perciò

$t(t^9-1)=t(t^3-1)(t^6+t^3+1)>0$ che a sua volta, eseguento un’altra scomposizione, diviene

$t(t-1)(t^2+t+1)(t^6+t^3+1)>0$

Le ultime due parentesi sono falsi quadrati, che sono sempre positivi, pertanto possono essere trascurati perchè non influiscono sul segno.

Il tutto si riduce a

$t(t-1)>0$ che molto facilmente restituisce

$t<0$ U $t>1$ cioè

$lnx<0$ $<=>$ $0<x<1$ U $lnx>1$ $<=>$ $x>e$

Per cui $lnx(ln^9x-1)>0$ $<=>$ $0<x<1$ U $x>e$

Per cui la disequazione originaria

$ln^2x-root(5)(lnx)>0$ equivale al sistema

${(x>0),(0<x<1 \text(U) x>e):}$

ovvero

$0<x<1$ U $x>e$

FINE

$lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))$

Si calcoli, in funzione dei parametri positivi $a,b,c,d$ il seguente limite

$lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))$

Proponiamo due strade

1°modo

Usiamo De L’Hopital:

Partendo da

$lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d))$

otteniamo

$lim_(xto+oo)((-lna *root (x) (a))/(x^2)+ (lnb*root (x) (b))/(x^2))/((-lnc*root (x) (c))/(x^2)+(lnd*root (x) (d))/(x^2))$ (1)

Proviamo infatti a derivare

$root (x) (a)$,

Questa si può anche scrivere come

$a^(1/x)$ e anche come: $e^(ln(a)/x)$,

Derivando questa funzione con la regola:

$ dot (f(x)) * e^(f(x))$ otteniamo:

$-ln(a)/(x^2)*a^(1/x)$

che è esattamente la derivata riportata nell’uso della regola di De L’Hopital sopra.

Lavoriamo sulla forma trovatara (1): raccogliendo e semplificando $1/(x^2)$ si arriva a:

$lim_(xto+oo)((-lna *root (x) (a))+ (lnb*root (x) (b)))/((-lnc*root (x) (c))+(lnd*root (x) (d)))$

Ma a questo punto è fondamentale osservare che per $xto+oo$ allora $root (x) (n) to1$.

Pertanto all’argomento dei logaritmi rimangono solo $a,b,c,d$

In definitiva si ottiene: $lim_(xto+oo)(root (x) (a)-root (x) (b))/(root (x) (c)-root (x) (d)) $ = $(lna – lnb)/(lnc-lnd)$

2°modo

Innanzitutto ricordiamo questa importante approssimazione: se $x->0$ allora si ha

$e^x-1\approx x$

Ora eseguiamo qualche passaggio algebrico sulla funzione

Raccogliendo ad esempio $a^(1/x)$ al numeratore e $c^(1/x)$ al denominatore, si ha

$\frac(a^(1/x)-b^(1/x))(c^(1/x)-d^(1/x))=\frac(a^(1/x)(1-(b/a)^(1/x)))(c^(1/x)(1-(d/c)^(1/x)))$

Cambiando i segni del numeratore e del denominatore

$=(a/c)^(1/x)\frac((b/a)^(1/x)-1)((d/c)^(1/x)-1)$

E ricordando che vale l’identità

$m^n=e^(n*lnm)$

si ottiene

$(a/c)^(1/x)\frac(e^(\frac(\ln(b/a))(x))-1)(e^(\frac(\ln(d/c))(x))-1)$

sfruttando l’approssimazione detta sopra si ha che $e^(\frac(\ln (b/a))(x))-1$ vale circa $\frac(\ln (b/a))(x)$ ed inoltre $e^(\frac(\ln (d/c))(x))-1$ si approssima con $\frac(\ln (d/c))(x)$ mentre per $x->+\infty$ si ha che $(\frac(a)(c))^(1/x)->1$

In definitiva il imite completo tende quindi a

$\frac(\frac(\ln (b/a))(x))(\frac(\ln (d/c))(x))=\frac(\ln (b/a))(\ln (d/c))$

che è la stessa forma di prima, basta ricordare la proprietà importante dei logaritmi

$logk-logh=log(k/h)$

FINE

Dato il triangolo equilatero $stackrel(Delta){ABC}$ …..determinare il limite del rapporto..

Dato il triangolo equilatero $\stackrel(Delta){ABC}$ di lato 2 tracciare con centro in $A$ la circonferenza di raggio 1 che incontri $\bar{AB}$ in $M$ e $\bar{AC}$ in $N$. Preso un punto $P$ sull’arco $MN$ interno al triangolo,determinare il limite del rapporto $(PB-PA)/(PM)$ al tendere di $P$ ad $M$ sull’arco $MN$

Poniamo

$\hat(PAK)=x$

Inoltre

$\bar{AP}=1$

poichè esso risulta essere raggio della circonferenza, e in virtù di ciò è uguale al segmento $\bar{AM}$

Poi possiamo anche dire che

$\bar{AK}=cos(x)$

$\bar{PK}=sen(x)$

grazie al teorema dei triangoli rettangoli che lega cateto e ipotenusa.

Poi

$\bar{AM}=1$

$\bar{KM}=1 – cos(x)$

Per Pitagora si ha

$\bar{PM}=sqrt{\bar{PK}^2+\bar{KM}^2}=sqrt{(1-cos(x))^2 + sen^2(x)}=sqrt{1-2cos(x)+cos^2(x) + sen^2(x)}=$

$=sqrt{1-2cos(x)+1}=sqrt{2-2cos(x)}$

Troviamo $\bar{KB}$ sommando due segmenti noti.

$\bar{KB}=\bar{KM} + \bar{MB}=1 – cos(x) + 1=2 – cos(x)$

Applicando nuovamente Pitagora

$\bar{PB}=sqrt{\bar{PK}^2 + \bar{KB}^2}=sqrt{sen^2(x) + (2 – cos(x))^2}=sqrt{sen^2(x) + 4 – 4cos(x) + cos^2(x)}=$

$=sqrt{1 + 4 – 4cos(x)}=sqrt{5 – 4cos(x)}$

Il rapporto di cui dobbiamo calcolare il limite è

$frac{\bar{PB}-\bar{PA}}{\bar{PM}}=frac{sqrt{5 – 4cos(x)} – 1}{sqrt{2 – 2cos(x)}}$

$lim_{x to 0}frac{sqrt{5 – 4cos(x)} – 1}{sqrt{2 – 2cos(x)}}=[frac{0}{0}]$

De L’Hopital

$lim_{x to 0}frac{frac{1}{2sqrt{5 – 4cos(x)}}*4sen(x)}{frac{1}{2sqrt{2 – 2cos(x)}}*2sen(x)}=$

$=frac{1}{2sqrt{5 – 4cos(x)}}*4sen(x)*2sqrt{2 – 2cos(x)}*frac{1}{2sen(x)}=frac{2*0}{1}=0$

Eventualmente, si poteva anche tentare la via della razionalizzazione.

FINE

Sono date le curve di equazione [..] Considerato il punto $A(1;0)$ e $O(0,0)$ calcolare il limite..

Sono date le curve di equazione

$y=(x+1)/(2x-1)$ e

$y=(4x)/(1-2x)$

Indicare con $P$ e $Q$ i punti in cui la retta $x=h$ con $h>1/2$ interseca rispettivamente le curve.

Considerato il punto $A(1;0)$ e $O(0,0)$ si traccino i triangoli $stackrel(Delta){PAO}$ e $stackrel(Delta){QAO}$

Calcolare il limite del rapporto delle due aree con $h->+infty$

Iniziamo con il trovare le coordinate di tutti i punti.

Sia $r : x=h$ con $h \in \mathbb{R}$ e $h > 1/2$: con questa condizione si ha che l’intersezione con la curva di equazione $y=(x+1)/(2x-1)$ è nel primo quadrante e l’intersezione con la curva di equazione $y=(4x)/(1-2x)$ è nel quarto quadrante.

Consideriamo anche l’intersezione della retta $x=h$ e l’asse delle ascisse: questa la chiameremo $K(h,0)$

Sia $P \equiv (h;(h+1)/(2h-1))$ e $Q \equiv (h; (4h)/(1-2h))$.

La retta $r$ è ortogonale all’asse delle ascisse, quindi il possiamo dire che il triangolo $stackrel(Delta){PAO}$ ha $OA$ come base, e $\bar{PK}$ l’altezza relativa.

Sapendo che l’area è espressa come il semiprodotto della base per l’altezza, si ha che

$\mathcal{A}_{POA}=\bar{OA}*\bar{PK}*1/2=1*(h+1)/(2h-1)*1/2=(h+1)/(2(2h-1))$.

Nel triangolo $stackrel(Delta){QOA}$ preso $OA$ come base, $QK$ ne è l’altezza relativa: si ha che

$mathcal{A}_{QOA}=\bar{OA}*\bar{QK}*1/2=1*|(4h)/(1-2h)|*1/2=(4h)/(2(2h-1))$

ove il modulo è giustificato da quanto prima detto a proposito della posizione dei punti intersezione.

A questo punto il limite richiesto è il seguente:

$lim_{h to +oo}(\mathcal{A}_{POA})/(mathcal{A}_{QOA})=lim_{h to +oo}( \ \ (h+1)/(2(2h-1)) \ \ )/( \ \ (4h)/(2(2h-1)) \ \ )=lim_{h to +oo}frac{h+1}{4h}=[\frac{+oo}{+oo}]$

La forma è indeterminata, ma trascurando l’uno al numeratore, si ottiene

$lim_{h to +oo}frac{1}{4}=frac{1}{4}$

FINE

Considerate le curve $y=x$ $y=x^2$ e $y=x^3$ Preso su ognuna di esse un punto…

Considerate le curve

$y=x$

$y=x^2$ e

$y=x^3$

Preso su ognuna di esse un punto di uguale ascissa a con $0<=a<=1$ e considerato il punto $A(1;1)$ determinare il limite per $a->1^(-)$ del rapporto delle distanze del punto su $y=x^2$ dai corrispondenti $y=x$ e $y=x^3$

Sia $P\equiv (a;a)$ il punto da scegliere preso sulla retta.

Sia $P’\equiv (a;a^2)$ il punto da scegliere preso sulla parabola e di uguale ascissa al primo.

Sia $P” equiv (a;a^3)$ il punto da scegliere sulla cubica di uguale ascissa ai primi due.

Chiamiamo $d_1$ la distanza tra $P’$ e $P$: si avrà

$d_1=|a^2 – a|=a-a^2$

Abbiamo tolto il modulo e cambiato i segni per il fatto che per $a in [0;1] subset mathbb{R}$ si ha $a^2-a<0$.

Ora chiamiamo $d_2$ la distanza tra $P’$ e $P”$:

$d_2=|a^2-a^3|=a^2-a^3$ ove il modo di togliere il modulo è dovuto al fatto che per $a in [0;1] subset mathbb{R}$ si ha $a^2-a^3>0$.

Abbiamo dunque trovato il modo di esprimere i segmenti in funzione del parametro $a$.

Si ha che il limite cercato è

$lim_{a to 1}( \ \ a-a^2 \ \ )/( \ \ a^2-a^3 \ \ )=lim_{a to 1}( \ \ 1-a \ \ )/( \ \ a-a^2 \ \ )=[0/0]$

che risolto con De L’Hopital dà: $lim_{a to 1}( \ \ -1 \ \ )/( \ \ 1-2a \ \ )=(-1)/(-1)=1$

O senza ricorrere a De L’Hopital, semplificando abbiamo

$lim_{a to 1}( \ \ 1-a \ \ )/( \ \ a-a^2 \ \ )=lim_(ato 1) (1-a)/(a(1-a))=lim_(ato 1) 1/(a)=1/1=1$

FINE

Un rettangolo ha l’altezza che é il $150%$ della base. Se si diminuisce la base di $1 cm$ e se…

Un rettangolo ha l’altezza che é il $150%$ della base.
Se si diminuisce la base di $1 cm$ e se si aumenta l’altezza di $9 cm$ allora l’area aumenta di $3 cm^2$
Calcolare il perimetro del rettangolo.

Se l’altezza è il $150%$ della base, vuol dire che si ha

$150/100=h/b$

ovvero

$h=3/2b$

Per risolvere il problema, poniamo che l’altezza sia lunga $x$

La limitazione impone che $x>0$ perchè un segmento non può avere lunghezza negativa.

L’altezza può essere espressa in tale modo, come già detto
$h=3/2 x

L’area invece risulta valere $3/2x^2$

Infatti

$A=b*h=x*3/2x=3/2x^2$

L’equazione che possiamo scrivere è questa:
$(x-1)(3/2 x +9)=3/2 x^2 +3$

Infatti, al primo membro abbiamo il prodotto tra la base diminuita di $1$e l’altezza aumentata di $9$, mentre a secondo membro abbiamo l’area aumentata di $3$
I termini in x^2 si semplifica, l’equazione è di primo grado

$3/2x^2+9x-3/2x-9=3/2x^2+3$

$x=8/5$

Questa è la lunghezza della base.

L’altezza, sarà uguale alla base moltiplicata per $3/2$ ovvero $12/5$

Infine, il perimetro è dato da

$2p=2(b+h)=2(8/5+12/5)=2*20/5=8$

FINE

$(3/8)^x-(3^(x-2))/2^(3x)>=1/3$

Rispolveriamo le proprietà delle potenze.

Poichè sappiamo che

$(a^m)^n=a^(m*n)$

possiamo dire che

$2^(3x)=(2^3)^x$

in virtù di una nota proprietà.

In finale otteniamo $8^x$ perchè $8=2^3$

Perciò la disequazione diventa

$(3/8)^x-(3^(x-2))/8^x=1/3$

Ma dobbiamo ricordare anche un’altra proprietà:

$a^(m-n)=a^m:a^n$

Perciò sussiste

$3^(x-2)=3^x:3^2>=1/9*3^x$

La disequazione diviene quindi

$(3/8)^x-(3^x:3^2)/8^x>=1/3$

$(3/8)^x-1/9*(3/8)^x>=1/3$

Raccogliendo al primo membro il fattore $(3/8)^x$ otteniamo

$(3/8)^x [1-1/9]>=1/3$

ovvero

$8/9*(3/8)^x>=1/3$

cioè

$(3/8)^x>=3/8$ (abbiamo moltiplicato ambo i membri per $9/8$)

A questo punto si vede banalmente che la soluzione è

$x>=1$

senza dover passare ai logaritmi.

FINE

Costo di una doccia: Una persona ha fatto una doccia di 4 minuti…

{etRating 2}Una persona ha fatto una doccia di 4 minuti usando $10 L$ di acqua calda al minuto; questa proveniva da uno scaldabagno ove l’acqua era stata riscaldata da 20°C a 70°C. Sapendo che $1 kWh =3600 kJ$ e il costo è di $0,13$€ al $kWh$, calcolare l’energia termica usata durante la doccia ed il costo della doccia.

Banalmente ci ricaviamo che la doccia ha consumato 40L di acqua.

$40L$ di acqua sono $40kg$ : dobbiamo calcolare quanta energia è stato necessario spendere, da parte dello scaldabagno, per portare la temperatura di questa massa d’acqua da gradi $20$ a gradi $70$

Questa la ricaviamo usando la legge della calorimetria, infatti abbiamo la variazione di temperatura, la massa e il calore specifico (che possiamo trovare su delle tabelle, e vale $c=4.18 (kJ)/(kg*k)$).

L’equazione è

$Q=mcDeltat$ ovvero, sostituendo i valori

$Q= 40*4.18*50 kJ=8360kJ$

Trovata l’energia consumata, ci riconduciamo al costo, con una semplice proporzione.

$3600kJ$ costano $0,13$ euro, perciò si ha

$3600/(0,13)=8360/x$

da cui si ricava facilmente $x=0,3$

La doccia è costata trenta centesimi.

FINE

Si impiega una potenza di $500W$ per $2min$ per forare una piastra di rame di $1kg$ e calore spec.

{etRating 2}Si impiega una potenza di $500W$ per $2 min$ per forare una piastra di rame di massa $1kg$ e calore specifico $0,38 (kJ)/(kg*C)$. Per l’80% l’energia meccanica impiegata si converte in energia termica che va a riscaldare la piastra. Calcolare l’innalzamento di temperatura del metallo. (R=125°C)

Conoscendo la potenza è il tempo, ottieni subito il lavoro del trapano.

Infatti la potenza è definita come

$P=\frac{DeltaL}{Deltat}$

Perciò il nostro lavoro risulta essere uguale a

$L=P*t=500W*120sec=6*10^4J=60kJ$

L’80% di questo lavoro si trasforma in calore, e possiamo quindi calcolare anche questo, il che equivale a trovare i $4/5$ di $60kJ$, ovvero

$48kJ$

Questo calore quindi va ad innalzare la temperatura della piastra secondo la nota legge

$Q=mcDeltat$

In questo caso la nostra incognita è la variazione di temperatura, che possiamo quinid esprimere come

$Deltat=Q/(mc)$

Sostituendo i valori numerici

$Deltat=48/(1*0,38)=126,3$

Perciò possiamo dire che l’innalzamento della temperatura del metallo è di $126 C$

Ovviamente abbiamo supposto che il rame si trovi a una tempratura iniziale non elevata: se infatti la lastra si trovasse a una tempratura prossima ai $1000$ Celsius, bisogna stare attenti perchè un ulteriore fornitura di calore porterebbe il metallo a $1084$ gradi, punto di fusione del rame, e si sa che l’equazione fondamentale della calorimetria non è valida durante i cambiamenti di fase.

Un corpo omogeneo galleggia sull’acqua, lasciando emergere il 43% del suo volume. Calcolarne..

{etRating 3} [La difficoltà è riferita a uno studente delle scuole superiori]

Un corpo omogeneo galleggia sull’acqua, lasciando emergere il 43% del suo volume. Calcolarne la densità.

Per prima cosa facciamo qualche considerazione dinamica: il corpo galleggia, dunque è in quiete.

Quindi necessariamente la risultante delle forze agenti su esso è nulla.

le due forze che agiscono sul corpo sono il peso e la spinta di Archimede.

Dall’equilibrio delle due forze

$P=S$ (1)

dove $S$ è la spinta di Archimede e $P$ il peso.

Inoltre si ha

$P=mg$; $S=m’g$

dove

$m$ è la massa complessiva del corpo avente volume $V$

$m’$ è la massa di acqua spostata, avente volume $V’=0.57*V$ pari al volume immerso del corpo: infatti sappiamo per ipotesi che il $43%$ è immerso, dunque il restante $57%$ è esterno all’acqua.

Ora, sapendo che in generale la massa è il prodotto del volume per la densità, possiamo scrivere

$m=rho_cV$

$m’=rho_aV’=rho_(a)*0.57*V$

dove $rho_a$ è la densità dell’acqua, che conosciamo, invece $rho_c$ è la densità del corpo in questione.

Fatte queste considerazioni, l’equazione (1) possiamo riscriverla in questo modo

$mg=m’g$

Semplificando $g$

$rho_cV=rho_a0.57*V$

$rho_c=0.57rho_a$

La densità dell’acqua, espressa in $(kg)/m^3$ è $1000$, perciò la densità del corpo sconosciuto

è $0,57*1000=570 (kg)/m^3$

FINE

$(tan5alpha-tan3alpha)/cosalpha=(2sinalpha)/(cos3alphacos5alpha)$

Si mostri la validità dell’identità seguente

$(tan5alpha-tan3alpha)/cosalpha=(2sinalpha)/(cos3alphacos5alpha)$

Partiamo dal primo membro, cercando di ricondurci al secondo.

$(tan5alpha-tan3alpha)/cosalpha=((sin5alpha)/(cos5alpha)-(sin3alpha)/(cos3alpha))/cosalpha=$

sapendo che $tanbeta=(sinbeta)/cosbeta$

Eseguendo il denominatore comune al numeratore della frazione, si ottiene

$(sin5alphacos3alpha-sin3alphacos5alpha)/(cos5alphacos3alpha)*1/cosalpha$

il che equivale a

$(sin5alphacos3alpha-sin3alphacos5alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)$

Applicando ora al numeratore la formula di Werner

$sinxcosy=1/2(sin(x+y)+sin(x-y))$

otteniamo

$(1/2(sin8alpha+sin2alpha)-1/2(sin8alpha+sin(-2alpha)))/(cosalphacos3alphacos5alpha)$

Ricordando che il seno è una funzione dispari, cioè vale

$sinx=-sin(-x)$ abbiamo che $-sin(-2alpha)=sin2alpha$

Perciò

$(1/2sin8alpha+1/2sin2alpha-1/2sin8alpha+1/2sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$

Sommando al numeratore abbiamo

$=(1/2sin2alpha+1/2sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$

$=(sin2alpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=(2sinalphacosalpha)/(cosalphacos3alphacos5alpha)=$

$=(2sinalpha)/(cos3alphacos5alpha)$

Si è dunque mostrato che il primo membro è equivalente al secondo.

FINE

$lim_(x to 0) ((e^x-cosx)x)/(sin^2x)$

Si calcoli il seguente limite

$lim_(x to 0) ((e^x-cosx)x)/(sin^2x)$

Prima di iniziare, ripassiamo questi tre importanti limiti notevoli

$\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x}=1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(x)}{x}=0$

Passiamo al limite: procedendo per sostituzione, otteniamo una forma indeterminata $0/0$

Operiamo qualche modifica: ad esempio moltiplichiamo la frazione per un fattore $x/x$ si ottiene

$lim_(x to 0) ((e^x-cosx)x)/(sin^2x)*(x/x)$

$lim_(x to 0)((e^x-cosx))/(sin^2x)*(x^2/x)$

ovvero

$lim_(x to 0)(e^x-cosx)/x*x^2/(sin^2x)$

E’ evidente che la seconda frazione tende a $1$ in virtù del primo limite notevole.

Per quanto riguarda la prima frazione, proviamo a sommare e sottrarre $1$ a numeratore. Otteniamo

$lim_(x to 0)(e^x-1+1cosx)/x*(x^2/(sin^2x)$

Possiamo quindi "spezzare" la frazione in questo modo

$lim_(x to 0)((e^x-1)/x+(1-cosx)/x)*x^2/(sin^2x)$

A questo punto il limite è pressochè risolto: usando i tre limiti notevoli che abbiamo ricordato, si ottiene

$lim_(x to 0)((e^x-1)/x+(1-cosx)/x)*x^2/(sin^2x)=(1+0)*1=1$

FINE

$(x^2 – 2)/(x^3 – 2x^2 + 4x – 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) >= 1/(x – 2)$

Si risolva la seguente disequazione

$(x^2 – 2)/(x^3 – 2x^2 + 4x – 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) >= 1/(x – 2)$

Iniziamo a portare tutti gli addendi al primo membro.

$(x^2 – 2)/(x^3 – 2x^2 + 4x – 8) + (x + 2)/(x^2 + 4) – 1/(x – 2) >= 0$

Ora scomponiamo il denominatore della prima frazione. Esso si annulla per $x=2$ e usando dunque Ruffini si giunge a

$(x^2 – 2)/((x^2 + 4)(x – 2 )) + (x + 2)/(x^2 + 4) – 1/(x – 2) >= 0$

Ora possiamo calcolare il minimo comun denominatore e ridurre il tutto a una sola frazione.

Facendo dei semplici calcoli, si giunge a

$(x^2 – 2 + (x + 2)(x – 2) – 1(x^2 + 4))/((x^2 + 4)(x – 2)) >= 0$

Svolgendo i prodotti che riguardano le parentesi, si ha

$(x^2 – 2 + x^2 – 4 – x^2 – 4)/((x^2 + 4)(x – 2)) >= 0$

e sommando

$(x^2 – 10)/((x^2 + 4)(x – 2)) >= 0$

La forma della disequazione è abbastanza semplice. Possiamo effettuare un’ulteriore semplificazione.

Il fattore

$x^2+4$ è sempre positivo strettamente (cioè nemmeno può essere nullo) perchè è la somma di due quantità positive.

Perciò possiamo trascurarlo nello studio del segno.

La disequazione si riduce a

$(x^2 – 10)/(x – 2) >= 0$

possiamo anche scrivere

$((x – sqrt10)(x+sqrt10))/(x – 2) >= 0$

Perciò possiamo segnare sulla solita retta che si disegna in questi casi 3 valori: $-sqrt10$ , $2$ , $sqrt10$

Il numeratore risulta positivo per valori esterni ai due radicali: il denominatore è positivo per $x>2$

Si vengono a formare 4 intervalli: i due per i quali abbiamo che la frazione è positiva sono

$-sqrt10<=x<2$

$x>=sqrt10$

Notiamo che prendiamo in considerazione anche i valori $x=-sqrt10$ e $x=sqrt10$ perchè per tali valori la frazione è nulla.

Per $x=2$ la frazione non è definita.

FINE

Discontinuità: $lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)$

{etRating 2}

Si calcoli

$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)$

Vediamo che innanzitutto, procedendo per sostituzione

$lim_(x->1)(x^2+|x-1|-1)/(x-1)=0/0$

si ottiene una forma indeterminata.

Vediamo che è presente un valore assoluto con argomento $x-1$

Discutiamolo, supponenedo prima che $x$ tenda a $1$ da sinistra, ovvero $x->1^-$

Si ha a questo punto

$x-1<0$, quindi $|x-1|=-x+1$.

In questo caso: $lim_(x to 1^-)(x^2-x+1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^-)(x(x-1))/(x-1)=lim_(x to 1^-)x=1$.

I calcoli sono abbastanza semplici.

Ora immaginiamo che $x$ tenda a $1$ da destra, quindi $x->1^+$

quindi si ha che

$x-1>0$

e $|x-1|=x-1$

Procediamo:

$lim_(x to 1^+)(x^2+x-1-1)/(x-1)=lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)$.

Scomponendo in fattori il numeratore, ottieniamo:

$lim_(x to 1^+)(x^2+x-2)/(x-1)=lim_(x to 1^+)((x-1)(x+2))/(x-1)=lim_(x to 1^+)x+2=3$.

Dato che i limiti "da sinistra" e "da destra" sono diversi, il limite per $x->1$ non esiste.

Possiamo dire che la funzione è discontinua in $1$, e la discontinuita è del tipo "con salto", prima specie.

FINE

$tan(pi/4+alpha)=(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$

Si dimostri che vale la seguente identità

$tan(pi/4+alpha)=(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$

Per mostrare la veridicità, operiamo per prima cosa sul primo membro

Per la formula della tangente di angoli sommati, e ricordando che

$tan(pi/4)=1$, avremo

$tan(pi/4+alpha)=(1+tan alpha)/(1-tan alpha)=$

$=\frac{1+(sinalpha)/cosalpha}{1-(sinalpha)/(cosalpha)}=$

$=frac{(cosalpha+sinalpha)/(cosalpha)}{(cosalpha-sinalpha)/(cosalpha)}$

e semplificando

$(cos alpha+sin alpha)/(cos alpha-sin alpha)$

Trattiamo ora il secondo membro

$(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$

Per la prima relazione fondamentale e ricordando che $sin2alpha=2sinalphacosalpha$ si ha

$(sin ^2 alpha +cos^2 alpha + 2 sin alpha cos alpha)/(cos^2 alpha-sin^2 alpha)=(sin alpha+cosalpha)^2/((cosalpha+sinalpha)(cos alpha-sin alpha))=(sin alpha+cosalpha)/(cosalpha-sinalpha)$

dopo aver ricordato la scomposizione che deriva dal prodotto notevole e la semplificazione.

Abbiamo mostrato che entrambi i membri sono equivalenti a una stessa forma.

FINE

$[sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)]/(cosbeta+cosalpha)=cosbeta-cos alpha$

Si dimostri che vale la seguente identità goniometrica

$[sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)]/(cosbeta+cosalpha)=cosbeta-cos alpha$

Trattiamo il primo membro: è in questo caso importante l’uso della fomula che mi consente di calcolare il valore del seno di una somma di angoli.

Usando questa nota formula sul numeratore, otteniamo

$((sin alpha cos beta+sin beta cos alpha)*(sin alpha cos beta-sin beta cos alpha))/(cosbeta+cosalpha)$

Ci accorgiamo però di avere una prodotto notevole (somma per differenza) e perciò possiamo scrivere direttamente, senza svolgere le parentesi,

$(sin^2 alpha cos^2 beta-sin^2 beta cos ^2alpha)/(cosbeta+cosalpha)$

Ora trasformiamo i vari seni al quadrato espressioni contenenti il coseno ricordando che

$sin^2theta=1-cos^2theta$

Procediamo

$=((1-cos^2 alpha)cos^2 beta-(1-cos^2 beta)cos^2alpha)/(cosbeta+cosalpha)$

Svolgendo le parentesi e sommando al numeratore ciò che possiamo si avrà

$(cos^2 beta-cos^2 alpha)/(cosbeta+cosalpha)$

Ma questa espressione equivale a

$((cosbeta-cosalpha)(cosalpha-cosbeta))/(cosbeta+cosalpha)$

e semplificando si ha

$cosbeta-cos alpha$

Quindi abbiamo ottenuto il secondo membro a partire dal primo, e l’identità è valida (tralasciando i casi in cui il denominatore del primo membro è zero, il che toglierebbe significato alla frazione e quindi all’identità).

FINE

Quattro collaboratori devono risolvere 8 diversi problemi: decidono quindi..

Quattro collaboratori di matematicamente.it devono risolvere 8 diversi problemi: decidono quindi di spartirseli in modo che ognuno si debba occupare di due problemi.

In quanti modi diversi possono essere ripartiti gli 8 problemi ai 4 collaboratori?

Indichiamo con

$C(n,k)$

le combinazioni di n oggetti di classe k

Il primo collaboratore può scegliere i due problemi
in

$C(8,2)$

modi.

Ora tocca al secondo scegliere

Essendo rimasti 6 problemi può sceglierli
in

$C(6,2)$ modi.

Il terzo collaboratore a questo punto, essendo rimasti 4 problemi
può scegliere in

$C(4,2)$

modi,

l’ultimo in $C(2,2)$ modi

In totale, per il principio di moltiplicazione, si hanno
$C(8,2) * C(6,2) * C(4,2) * C(2,2) = ((8),(2))*((6),(2))*((4),(2))*((2),(2))=2520$

possibili configurazioni.

FINE

$frac{(6/5)^4(-10/3)^8(2/15)^-6}{(12/5)^5(2/5)^-45^10}$

Si calcoli il valore dell’espressione seguente

$frac{(6/5)^4*(-10/3)^8*(2/15)^-6}{(12/5)^5*(2/5)^-4*5^10}$

Seguiamo questa strategia: semplifichiamo separatamente il numeratore e il denominatore, per poter osservare la situazione con più chiarezza.

Iniziamo con il numeratore.

$(6/5)^4*(-10/3)^8*(2/15)^-6$

Osserviamo il secondo fattore: l’esponente è $8$ e la base $-10/3$, ma siccome essa è elevata a esponente pari, può essere considerata anche positiva.

Infatti ad esempio, non c’è differenza tra $(-2)^2$ e $2^2$.

Il numeratore quindi diviene

$(6/5)^4*(10/3)^8*(2/15)^-6$

Scomponendo in fattori primi

$((2*3)/5)^4*((5*2)/3)^8*(2/(5*3))^-6$

quindi otterremo

$(2^4*3^4)/5^4*(5^8*2^8)/3^8*2^-6/(5^-6*3^-6)$

Ora mettiamo a sinistra tutti i fattori con base $5$, a destra quelli con base $3$ e al centro quelli con base $2$

$(5^8/(5^4*5^-6))*(2^4*2^8*2^-6)*(3^4/(3^8*3^-6))$

Applicando le proprietà delle potenze, si ha

$5^((8-4+6))*2^((4+8-6))*3^((4-8+6))$

Ed eseguendo le semplici somme agli esponenti otterremo

$5^10*2^6*3^2$

Ora passiamo al denominatore.

$(12/5)^5*(2/5)^-4*5^10$

Scomponendo in fattori primi

$((2^2*3)/5)^5*(2/5)^-4*5^10$

ovvero

$((2^10*3^5)/5^5)*(2^(-4)/5^(-4))*5^10$

e "isolando" come prima i termini con base uguale

$(2^10*2^-4)*(5^5/5^-4)*3^5$

applicando le proprietà delle potenze

$2^(10-4)*5^(5-(-4))*3^5$

ovvero

$2^6*5^9*3^5$

A questo punto siamo pronti per in confronto diretto tra numeratore e denominatore.

In virtù dei conti che abbiamo appena eseguito, la nostra espressione è diventata

$frac{5^10*2^6*3^2}{2^6*2^*5^9*3^5}=(5^10/5^9)*(2^6/2^6)*(3^2/3^5)=(5^(10-9))*(2^(6-6))*(3^(2-5))=5^1*2^0*3^-3=5*1*3^-3=5*3^-3$

Volendo, il risultato può essere scritto anche come

$5/27$ dal momento che $3^-3=1/27$

FINE

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2$

Si calcoli il limite seguente

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2$

Proponiamo due strade da seguire per arrivare al risultato

1°MODO

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2$

Il fine è questo: ricondursi ai limiti notevoli.

Ad esempio, sommando e sottraendo $1$ al numeratore, non alteriamo la funzione, e otteniamo

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1+1-cosx)/x^2$

A questo punto possiamo "spezzare" la frazione in due

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/x^2+(1-cosx)/x^2$

Ora eseguiamo quest’altro artificio: moltiplichiamo e dividiamo per $sen^2x$ il denominatore della prima frazione

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2$

adesso si calcolano i limiti separatamente, usando i limiti notevoli, e si ottiene

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/(sen^2 x )=1$

$lim_(x->0)x^2/(sen^2x)=1$

$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$

da cui

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-1)/((sen^2 x )*x^2/(sen^2x)) +(1-cosx)/x^2=1/1+1/2=3/2$

2°Modo

Usando la regola di de l’Hopital, avremo

$lim_(x->0)(e^(sen^2x)-cosx)/x^2=lim_(x->0)(2e^(sen^2x)senxcosx+senx)/(2x)=lim_(x->0)(senx)/x(2e^(sen^2x)cosx+1)1/2=3/2$

FINE

$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$

Si calcoli il seguente limite

$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$

Per questo genere di limiti, è d’abitudine procedere con la razionalizzazione.

Si ha

$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$

Moltiplicando e dividendo per $sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)$ otteniamo:

$lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2))*frac{sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)}{sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)}$

$lim_(x->+infty)(x^2+x+1-(3+x^2))/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))$

Togliendo le parentesi al numeratore e sommando si ottiene

$lim_(x->+infty)(x-2)/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))$

Ora evidenziamo dentro le radici un termine $x^2$ e poi portiamo fuori, ottenendo

$lim_(x->+infty)(x-2)/(|x|(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2))$

(abbiamo messo $sqrt(x^2)=|x|$ in evidenza in ambo le radici e poi lo abbiamo raccolto)

Ora $|x|=x$ per $x->+infty$ per cui

$lim_(x->+infty)(x-2)/(x(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))=lim_(x->+infty)(x-2)/(2x)=1/2$

Infatti dentro la parentesi al denominatore i termini con la $x$ scompaiono perchè essa tende a infinito, rimane dunque solo

$sqrt1+sqrt1$ ovvero $2$

Se invece il limite fosse stato per $x->-infty$, allora $|x|=-x$ per cui con gli stessi calcoli avremmo trovato che

$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$=$lim_(x->-infty)(x-2)/((-x)(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))$=

$lim_(x->-infty)(x-2)/(-2x)=-1/2$

FINE

Asintoti di $f(x)=(lnx -1)/(lnx +1)$

Si trovino gli eventuali asintoti della funzione

$f(x)=(lnx -1)/(lnx +1)$

Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, non ce ne sono. Infatti, se esistessero, avrebbero equazione

$y=mx+q$

con

$m=lim_(x->+infty)1/x*(lnx-1)/(lnx+1)=lim_(x->+infty)1/x*lim_(x->+infty)(lnx-1)/(lnx+1)=1*lim_(x->+infty)1/x$=

$1*0=0$

Cerchiamo eventuali asintoti orizzontali e verticali

I punti di accumulazione sono $\infty$, $0$ e $e^(-1)$, infatti per questo valore attribuito all’ascissa il denominatore assume valore nullo.

Iniziamo con

$lim_{x \to + \infty} (lnx -1)/(lnx +1) =lim_{x \to + \infty} (1/x)/(1/x) =1$

usando la regola di De L’Hopital – Bernoulli.

Tuttavia potevamo anche procedere semplicemente notando che i valori $-1$ e $1$ perdono di significato vicino all’infinito del logaritmo, quindi avremmo avuto

$lim_{x \to + \infty} (lnx -1)/(lnx +1)=lim_{x \to + \infty} lnx/lnx=1$

Ecco un asintoto orizzontale, $y=1$ per $x \to + \infty$.

Ora passiamo a

$lim_{x \to e^(-1)} (lnx -1)/(lnx +1) = lim_{x \to e^(-1)} -2/(lnx +1) = $

$= + \infty$ se x tende a $e^(-1)$ da sinistra

$= – \infty$ se x tende a $e^(-1)$ da destra (è quel -2 a numeratore a determinare il segno).

Questo è un asintoto verticale.

Infine

$lim_{x \to 0^+} (lnx -1)/(lnx +1) =$ (usando De L’Hopital – Bernoulli) $lim_{x \to 0^+} (1/x)/(1/x) =1$

In questo caso però non si tratta di asintoto orizzontale, in $x=0$ la funzione non è definita, però tende ad assumere il valore $f(x)=1$.

$(2x+5)/(1-4x^2)-(x+2)/(4x^2-4x+1)

Si risolva la seguente disequazione

$(2x+5)/(1-4x^2)-(x+2)/(4x^2-4x+1)<=3/(2x+1)$

Iniziamo con il fattorizzare i denominatori delle frazioni, poichè sappiamo che in seguito dovremo eseguire il calcolo del minimo comun denominatore. Si avrà

$(2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)<=3/(1+2x)$

e portando al primo membro la frazione che sta al secondo, otteniamo

$(2x+5)/((1-2x)(1+2x))-(x+2)/((1-2x)^2)-3/(1+2x)<=0$

Il minimo comun denominatore risulta essere

$(1-2x)^2*(1+2x)$

Riconducendo il tutto ad un’unica frazione, otterremo dunque

$((2x+5)(1-2x)-(x+2)(1+2x)-3(1-2x)^2)/((1-2x)^2*(1+2x))<=0$

Ovvero

$(-18x^2-x)/((1-2x)^2*(1+2x))<=0$

Ora nel denominatore $(1-2x)^2>0 AA x in RR -{1/2}$ poichè è un quadrato e non influisce sul segno, per cui discutiamo solo la disequazione

$(-18x^2-x)/(2x+1)<=0$

Andiamo a trovare le radici di numeratore e denominatore, e di conseguenza la loro positività e negatività

$(-18x^2-x)>=0$

Moltiplicando ambo i membri per $-1$ e cambiando verso alla disequazione

$(18x^2+x)<=0$

ovvero

$-1/18<=x<=0$

Infine

$2x+1>0$ $<=>$ $x> -1/2$

Vedendo i punti in cui la disequazione assume valore $<=0$, in un oppurtuno grafico dove sono riporati gli intervalli si ricava:

$-1/2<x<=-1/18$ U $0<=x<1/2$ U $x>1/2$

I due intervalli $0<=x<1/2$ U $x>1/2$ non possone essere uniti perchè per $x=1/2$ non ha senso la disequazione.

FINE

$x(log^2 x +log x)>=0$

Si risolva le seguente disequazione

$x(log^2 x +log x)>=0$

Dobbiamo innanzitutto definire il dominio: in questo caso c’è solo da imporre esistenza del logaritmo, che è assicurata se e solo se l’argomento è strettamente positivo

$x>0$

Ora pssiamo alla risoluzione della disequazione

$x(log^2 x +log x)>=0$,

ma dal momento che $x>0$ per l’esistenza del logaritmo, allora dobbiamo risolvere la sola disequazione $(log^2 x +log x)>=0$.

Infatti abbiamo diviso ambo i membri per $x$: malgrado dividere entrambi i membri per un valore variabile (contenente $x$) è pericoloso in una disequazione per via del segno, questa volta possiamo stare tranquilli perchè il dominio che noi stessi abbiamo definito assicura la positività di $x$

Ora ponendo

$logx=t$

la disequazione diventa

$t^2+t>=0$

ovvero

$t(t+1)>=0$

cioè, osservando che le radici dell’equazione associata sono banalmente

$x=0$

$x=-1$

e sapendo che occorre considerare i valori esterni ad essi per garantire la positività, avremo

$t>=0$ U $t<=-1$

Ora per $t>=0$ si avrà

$logx>=0$ $->$ $x>=1$,

mentre per

$t<=-1$ si ha

$logx<=-1$ $->$ $0<x<=1/e$

In conclusione devono essere verificate contemporaneamente le due condizioni

1)$x>0$

2)$x>=1$ U $0<x<=1/e$

che comportano che la disequazione $x(log^2 x +log x)>=0$ è soddisfatta per

$0<x<=1/e$ U $x>=1$.

FINE

Si considerino i punti $A(2;-2)$ e $C(-8;3)$ .Determinare il punto B appartenente al segmento…

Si considerino i punti $A(2;-2)$ e $C(-8;3)$ .Determinare il punto B appartenente al segmento $\bar{AC}$ tale che si abbia $(\bar{AB})/(\bar{BC})=3/2$

1° SOLUZIONE

La retta $AC$ ha equazione $x+2y+2=0$, ed è facilmente calcolabile da momento che abbiamo a disposizione due punti di passaggio.

Il punto $B$, trovandosi dunque su questa retta, ubbidisce alla sua equazione e possiamo dire che ha coordinate generiche $B=(x,(-2-x)/2)$

Il problema impone dun que

$(\bar{AB})/(\bar{BC})=3/2$

Ma sappiamo che, per la distanza tra due punti, possiamo scrivere

$\bar{AB}=sqrt((-x+2)^2+(-2-(-2-x)/2)^2)=sqrt(5/4)|2-x|$

$\bar{BC}=sqrt((x+8)^2+((-2-x)/2-3)^2)=sqrt(5/4)|x+8|$

La prima rappresenta il calcolo della distanza da $A$ a $B$, la seconda da $B$ a $C$

Per cui

$(\bar{AB})/(\bar{BC})=|2-x|/|x+8|=|(2-x)/(x+8)|=3/2$ col vincolo $-8<=x<=2$

Questo vincolo è necessario dal momento che i due estremi $A$ e $C$ sono fissati, e il punto $B$ si muove all’interno non potendo uscire.

L’espressione $|2-x|/|x+8|$ per $-8<=x<=2$ vale $(2-x)/(x+8)$ (si può discutere l’argomento e notare che proprio in quell’intervallo esso è positivo)

per cui l’equazione diventa:

$(2-x)/(x+8)=3/2$ da cui si ricava $x=-4$ ed $y=1$ per cui $B=(-4,1)$

2 SOLUZIONE

In realtà possiamo anche fornire una soluzione più geometrica.

Consideriamo questo schizzo.

prob.imag.

Siano (vedi fig.) (A’,B’,C’) le proiezioni di A,B,C sull’asse x

e (A",B",C") quelle sull’asse y.

Per il teorema di Talete si ha:

$(\bar{C’B’})/(\bar{B’A’})=(\bar{AB})/(\bar{BC})$

ma poichè il rapporto tra $(\bar{AB})/(\bar{BC})$ vale $2/3$ per ipotesi, abbiamo

$(x+8)/(2-x)=2/3$ da cui risolvendo $x=-4$

Analogamente per l’asse y:

$(\bar{C”B”})/(\bar{B”A”})=(\bar{AB})/(\bar{BC})$ ovvero:

$(3-y)/(y+2)=2/3$ da cui risolvendo $y=1$

In definitiva $B(-4,1)$

$(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$

Si risolva

$(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$

Questa disequazione va trattare studiando il comportamento di numeratore e denominatore separatamente.

Prendiamo il numeratore

$sqrtx+sqrt(x-2)-1 ge 0$.

Come dominio d’esistenza si ha

$x ge 2$

e sostituendo $x=2$ si nota che è verificata, cioè

$sqrtx+sqrt(x-2) ge 1$

Per $x>2$ è evidente che risulta verificata perchè i termini in $x$ possono solo aumentare. Quindi il numeratore è maggiore di zero per ogni valore del dominio $x ge 2$ Inoltre non potrà mai essere $=0$ perchè il dominio di esistenza lo esclude.

Ci siamo risparmiati la quadratura (bisognava effettuarne 2).

Pertanto, possiamo riassumere che il dominio coincide con l’insieme delle soluzioni, che è

$x>=2$

Ora passiamo al denominatore

$sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)>0$

Il dominio è

$x ge -5$

Infatti il primo radicando risulta essere positivo per ogni $x$.

Bisogna quindi verificare quando:

$sqrt(x^2+3)>sqrt(x+5)$

Quadrando

$x^2+3>x+5$

$x^2-x-2>0$

Le radici dell’equazione associata sono

$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+8))/2=(1+-3)/2$

$x_1=2$

$x_2=-1$

Dunque è verificata per $x le -1$ unito a $x>2$ (valori esterni).

In ogni caso dobbiamo eliminare l’intervallo $x<=1$ perchè dobbiamo tener conto del dominio del numeratore.

Perciò anche qui l’insieme delle soluzioni è

$x>2$

Ora osserviamo il quadro generale.

Il numeratore è sempre positivo, quindi la positività della frazione è assicurata solo se anche il denominatore è positivo.

In definitiva il risultato di $(sqrtx+sqrt(x-2)-1)/(sqrt(x^2+3)-sqrt(x+5)) ge 0$ è:

$x>2$

Escludiamo il caso $x=2$ perchè il denominatore si annulla per tale valore.

FINE

$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$

Si calcoli
$lim_(x->0) (sinx+cosx)^(1/x)$

La forma è indeterminata, in particolare vediamo che siamo nel caso di un $1^(infty)$

Eseguiamo qualche semplice trasformazione: raccogliamo $cosx$
$(sinx+cosx)^(1/x)=[cosx((sinx)/(cosx)+1)]^(1/x)=(cosx)^(1/x)*(tanx+1)^(1/x)$

Risolviamo ora separatamente i due fattori.
$lim_(x->0) (cos x)^(1/x)=1$ in effetti questa sarebbe ancora una forma indeterminata,
ma la "velocità" con cui $cosx$ tende a 1 è più forte di quella con cui $1/x$ tende a infinito ( ricordiamo che $lim_(x->0) (1-cos x)/x=0$).

Per il secondo limite notevole, possiamo sfruttare il fatto che se $x->0$ allora i valori di $tanx$ si approssimano con quelli di $x$
$lim_(x->0) (tanx +1)^(1/x)=lim_(x->0) (1+x)^(1/x)$
ma quest’ultimo è un limite notevole che dà come risultato $e$.

Da cui $lim_(x->0) (cos x)^(1/x) *(tanx+1)^(1/x)=1* e^1= e$

FINE

In un triangolo rettangolo la somma delle tangenti degli angoli acuti vale $25/12$…

In un triangolo rettangolo la somma delle tangenti degli angoli acuti vale $25/12$.

Sapendo che l’ipotenusa è lunga 15, determinare la lunghezza dei cateti.

Siano $a$ e $b$ i cateti, $c$ l’ipotenusa, $h$ l’altezza relativa all’ipotenusa.
Per i teoremi sui triangoli rettangoli, sappiamo che catetti e tangente dell’angolo sono legati in questo modo
$a=btanalpha$
$b=atanbeta$
Perciò risulta essere
$tanalpha=a/b$
$tanbeta=b/a$

Nel nostro problema abbiamo
$tanalpha+tanbeta=25/12$
ovvero
$a/b+b/a=25/12$ che possiamo anche scrivere
$(a^2+b^2)/(ab)=25/12$ (1)

Essendo però il nostro un triangolo rettangolo, sussiste il teorema ti pitagora che ci dicre
$a^2+b^2=15^2$ (2)

Mettiamo a sistema la (1) e la (2) ottenendo
${((a^2+b^2)/(ab)=25/12),(a^2+b^2=225):}$
Questo è un sistema simmetrico a due incognite.
Se non si ricorda come trattare questo tipo di sistema, nella sezione "Sistemi" c’è un esempio con lo svolgimento.
Sostituendo il valore di $a^2+b^2$ nella prima equazione, si avrà
${(225/(ab)=25/12),(a^2+b^2=225):}$
ovvero
${(225/(ab)=25/12),(a^2+b^2=225):}$
trovando il valore di $ab$ e ricordando l’identità $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ si ha
${(ab=108),((a+b)^2-2ab=225):}$
sapendo che $ab=108$ la seconda equazione diventa
${(ab=108),((a+b)^2=225+216=441=21^2):}$
Perciò si ottiene
${(ab=108),(a+b=+-21):}$
Ma dobbiamo escludere il caso in cui la somma è $-21$ perchè sia $a$ che $b$ sono positivi, in quanto misure di segmenti.
Ora impostiamo l’equazione che ci fornisce le due soluzioni
$x^2-sx+p=0$ dove $s$ è la somma delle due radici e $p$ il prodotto.
$x^2-21x+108=0$
Le soluzioni sono
$x_1=a=12$
$x_2=b=9$

valori che corrispondoni alla lunghezza dei due lati cercati.

FINE

Una biglia lanciata verticalmente verso l’alto raggiunge la massima altezza h. Se nello stesso…

{etRating 5}Una biglia lanciata verticalmente verso l’alto raggiunge la massima altezza h. Se nello stesso istante in cui questa viene lanciata si lascia cadere dall’altezza h una seconda biglia di uguale massa sulla stessa verticale, quanto vale l’energia potenziale gravitazionale di ciascuna delle due biglie nel punto d’incontro?

Sia $v$ la velocità con la quale la biglia a terra parte, e sia $x$ la distanza del punto di incontro delle biglie dal suolo.

Per il moto della biglia che cade, vale

$h-x=1/2*g*t^2$ (1)

Per la seconda biglia

$x=vt-1/2*g*t^2$ (2)

Sommando membro a membro, avremo

$h=vt$ (3)

Ora facciamo considerazioni energetiche.

Poichè sappiamo che la biglia lanciata con velocità $v$ arriva a quota $h$, possiamo affermare che

$2gh=v^2$ ovvero

$h=v^2/(2g)$(4)

per la conservazione dell’energia meccanica.

Ora mettiamo a sistema la (3) e la (4)

${(h=vt),(h=v^2/(2g)):}$

dobbiamo ricavarci la $h$. Possiamo fare in diversi modi, per esempio quadriamo la prima equazione e dividiamo membro a membro, ottenendo

$h=2*g*t^2$

$t^2=h/(2g)$(5)

Ora andiamo a ripescare la (1)

$x=vt-1/2*g*t^2$

ma poichè abbiamo visto che

$vt=h$

abbiamo

$x=h-1/2*g*t^2$ ma sostituendo il valore di $t$ della (5) otteniamo

$x=h-1/2*g*(h/(2g))=h-1/4h=3/4h$

Abbiamo ricavato l’altezza, perciò l’energia potenziale sarà

$U=mg(3/4h)=3/4mgh$

FINE

Calcolare le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione $y=-x^2+2x+4$condotte…

Calcolare le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione $y=-x^2+2x+4$condotte dal punto $P(1/2,7)$

Delineamo la strategia: calcoliamo l’equazione di una retta generica passante per il punto dato (fascio) dopodichè mettiamo a sistema questo fascio con la parabola data, e poniamo uguale a zero il delta dell’equazione risolvente: questo assicura che quest’equazione risolvente dia una sola soluzione, ovvero graficamente un solo punto (infatti la tangenza riguarda proprio un solo punto di intersezione).

L’equazione della retta possiamo trovarla conoscendo il classico

$y-y_0=m(x-x_0)$ che nel nostro caso è

$y-7=m(x-1/2)$ cioè

$y=mx-m/2+7$

Intersechiamo ora tale fascio di rette con la parabola.

Otteniamo:

${(y=-x^2+2x+4),(y=mx-m/2+7):}$

Procedendo con il metodo del confronto

$mx-m/2+7=-x^2+2x+4$

cioè, portando gli addendi dal secondo al primo membro e raccogliendo opportunamente, avremo

$x^2+x(m-2)+3-m/2=0$

Il delta è

$Delta=(m-2)^2-4*(3-m/2)$

Ponendo $Delta=0$ si trova:

$(m-2)^2-4*(3-m/2)=0$ cioè, sviluppando le parentesi

$m^2-4m+4-12+2m=0$ ovvero

$m^2-2m-8=0$

da cui $m=4$ oppure $m=-2$

Le rette tangenti a questo punto si trovano sostituendo questi due valori trovati.

Esse sono

$y=4x+5$

$y=-2x+8$

FINE

Determinare il punto $Q$ simmetrico di $P(-5;13)$ rispetto alla retta $r: 2x-3y-3=0$

Possiamo procedere in due modi.

1) La strategia è la seguente: calcoliamo l’equazione della retta perpendicolare a $r$ e passante per $P$

Il punto simmetrico che si cerca deve per forza appartenere a tale retta, e deve avere distanza da essa uguale a quella del punto $P$ (la simmetria lo impone).

Procediamo trovando l’equazione della retta parpendicolare a $r$ e passante per $P$

Il suo coefficiente angolare vale $-3/2$, e la retta (che chiamiamo $t$) passa per $P(5,13)$, quindi la sua equazione è

$y-13=m(x+5)$

da cui

$y=-(3/2)x+11/2$.

Ora il punto simmetrico $Q$ deve appartenere alla retta $y=-(3/2)x+11/2$ e deve avere la distanza dalla retta $2x-3y-3=0$ pari alla distanza di $P=(-5,13)$ dalla stessa retta $2x-3y-3=0$.

La distanza di $P=(-5,13)$ dalla retta $2x-3y-3=0$ è

$d=(|-10-39-3|)/sqrt(2^2+3^2)=52/sqrt(13)=4sqrt(13)$

Il punto $Q$ ha generiche coordinate $Q=(x,-(3/2)x+11/2)$ dovendo appartenere alla retta

$y=-(3/2)x+11/2$ e la sua distanza dalla retta $2x-3y-3=0$ è

$d1=|2x-3(-3/2x+11/2)-3|/sqrt(13)=13|x-3|/(2sqrt(13))$

Ora basta risolvere l’equazione $d=d1$ che assicura la simmetria, cioè

$13|x-3|/(2sqrt(13))=4sqrt(13)$ che restituisce

$|x-3|=8$

Ora se $x>3$ allora l’equazione diviene

$x-3=8$ che ha soluzione $x=11$ ed è accettabile perciò abbaimo trovato un punto richiesto $Q=(11,-11)$

Se $x<3$ l’equazione ha soluzione $x=-5$ anch’esso accettabile ed il punto trovato è $(-5,13)$ che non è altro che il punto $P$ di partenza (risultato prevedibile, infatti l’equazione ha restituito entrambi i punti che hanno quella distanza da $r$ e appartengono a $t$, e questi sono solo 2)

In conclusione il punto cercato è $Q=(11,-11)$

Proviamo che il punto $Q=(11,-11)$ calcolato è corretto.

Calcoliamo il punto di intersezione tra le due rette $2x-3y-3=0$ ed $y=-(3/2)x+11/2$. Il punto di intersezione ha coordinate $C=(3,1)$. Ma tale punto di intersezione deve essere il punto medio del segmento $\bar{PQ}$ vista la simmetria.

Tale punto medio ha coordinate $M=((x_P+x_Q)/2,(y_P+y_Q)/2)=((11-5)/2,(13-11)/2)=(3,1)=C$ come volevamo dimostrare e questo ci assicura che il punto $Q=(11,-11)$ è quello che cercavamo

Proponiamo la seconda soluzione

Utilizziamo alcuni risultati della soluzione precedente.

La perpendicolare per P alla retta data e’:

$y=-(3/2)x+11/2$ ed essa interseca la retta data nel punto $C(3,1)$ (facilmente verificabile mettendo a sistema del due rette)

Ora e’ sufficiente scrivere che $C$ e’ il punto medio tra $P$ ed il simmetrico

che indico con $Q(x,y)$ e cioe’:

${((-5+x)/2=3),((13+y)/2=1):}$

da cui si ricava che:

$x=11,y=-11$ che sono le richieste coordinate del simmetrico.

$2cos^2x+|cosx| lt sin^2x-cosx$

Si risolva

$2cos^2x+|cosx| \lt sin^2x-cosx$

La disequazione è abbastanza comune, anche se è presente un valore assoluto che richiede la discussione dell’argomento.

Iniziamo a distinguere i due casi

Se $cosx>0$

la disequazione diventa

$2cos^2x+cosx<sin^2x-cosx$ cioè

$2cos^2x+2cosx-sen^2x<0$ che diventa

$3cos^2x+2cosx-1<0$ cioè, una volta trovate le radici, equivale a

$-1<cosx<1/3$

Ma non dobbiamo dimenticare la condizione iniziale $cosx>0$ che restringe l’intervallo trovato in $0<cosx<1/3$ (si è eseguita l’intersezione dei due insiemi di valori di $cosx$)

cioè

$arccos(1/3)+2kpi<x<pi/2+2kpi$ oppure $3pi/2+2kpi<x<(2pi-arccos(1/3))+2kpi$

Se $cosx<0$ allora la disequazione diventa

$2cos^2x-cosx<sin^2x-cosx$ cioè

$2cos^2x-sen^2x<0$ ovvero

$3cos^2x-1<0$ che è soddisfatta se

$-sqrt(3)/3<cosx<sqrt(3)/3$

Ma anche questa volta dobbiamo restringere il campo, perchè abbiamo pur sempre che $cosx<0$.

Pertanto la disequazione è soddisfatta per quei $x$ tali che $-sqrt(3)/3<cosx<0$ cioè

$pi/2+2kpi<x<arcos(-sqrt(3)/3)+2kpi$ oppure $(2pi-arcos(-sqrt(3)/3))+2kpi<x<3pi/2+2kpi$

Le suddette soluzioni possono essere raggruppate, per cui la disequazione finale è soddisfatta per:

$arcos(1/3)+2kpi<x<arcos(-sqrt(3)/3)+2kpi$ oppure $(2pi-arcos(-sqrt(3)/3))+2kpi<x<(2pi-arcos(1/3))+2kpi$

Se infine

$cosx=0$

la disequazione diventa $sin^2x>0$ che è vera $AAx -{kpi+2kpi}$

FINE

Determina su un segmento di lunghezza $l$, un punto $P$ che divide il segmento stesso in…

Determina su un segmento di lunghezza $l$, un punto $P$ che divide il segmento stesso in due parti tali che la differenza fra i quadrati costruiti su di esse sia equivalente alla quarta parte del quadrato di lato $l$.

Segmento $AB = l$

$P$ divide $AB$ in $AP$ e $PB$

e definiamo $AP$ il piu’ lungo tra i due.

Il problema dice che la differenza tra i quadrati dei segmenti ($AP^2 – PB^2$) è equivalente a $1/4AB^2$

Ora noi sappiamo che

$AB = l$ (1)

$AP + PB = AB$

quindi risulta essere

$AP + PB = l$ (2)

Segue inoltre, per quanto ci dice il problema

$AP^2 – PB^2 = 1/4AB^2$

ovvero per la (1)

$AP^2 – PB^2 = 1/4l^2$ (3)

Applichiamo ora la differenza di due quadrati nella (3)

$(AP – PB)(AP + PB) = 1/4l^2$

per la (2)

$(AP – PB)*l = 1/4l^2$

per $l != 0$ dovrà quindi necessariamente essere

$AP – PB = 1/4l$

si è diviso per $l$

Perciò si ha il sistema

${(AP = 1/4l + PB),(AP + PB =l):}$

sostituiamo AP nella seconda equazione del sistema e avremo

$1/4l + PB + PB = l$

$2PB = 3/4l$

$PB = 3/8l$

sotituiamo PB nell’altra equazione

$AP + 3/8l = l$

$AP = 5/8l$

quindi le due parti sono i 3/8 e i 5/8 di $l$

FINE

$z|z|=2z-1$

Risolvere in campo complesso la seguente equazione

$z|z|=2z-1$

Sia $z=a+jb$

$|z|=sqrt(a^2+b^2)$ per cui l’equazione si riscrive:

$(a+jb)sqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$ cioè

$a*sqrt(a^2+b^2)+jbsqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$

ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha:

$a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ e

$bsqrt(a^2+b^2)=2b$.

L’equazione $bsqrt(a^2+b^2)=2b$ ha soluzione

$b=0$ oppure $sqrt(a^2+b^2)=2$

Considerando allora $sqrt(a^2+b^2)=2$ e sostituendo in $a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ si trova

$2a=2a-1$ cioè $0=-1$ il che è impossibile.

Invece se $b=0$ l’equazione diventa

$a|a|=2a-1$

Se $a>0$ l’equazione diventa $a^2-2a+1=0$ che implica $a=1$

Se $a<0$ l’equazione diventa $a^2+2a-1=0$ da cui $a=-1+-sqrt(2)$ di cui solo $a=-1-sqrt(2)$ è accettabile perchè soddisfa $a<0$

Quindi tali $z$ soddisfano l’equazione:

$z=1$ e

$z=-sqrt(2)-1$

FINE

Deteminare per quali valori del parametro $m$ la retta $y=x+m$ stacca sulla circonferenza…

Deteminare per quali valori del parametro $m$ la retta $y=x+m$ stacca sulla circonferenza

$x^2+y^2-2x+4y-4=0$ una corda la cui lunghezza è $3sqrt2$

Per trovare le intersezioni è necessario risolvere il sistema

${(y=x+m),(x^2+y^2-2x+4y-4=0):}$

Sostituiamo $y=x+m$ nell’equazione della circonferenza ottenendo:

$x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0$

da cui

$2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$

Ora affinchè ci siano due punti in comune tra la retta $y=x+m$ e la circonferenza si dovrà avere che il determinante dell’equazione $2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$ sia maggiore di zero, cioè:

$(m+1)^2-2(m^2+4m-4)>0$ cioè $m^2+6m-9<0$ cioè $-3(1+sqrt(2))<m<3(sqrt(2)-1)$.

Mostreremo che le soluzioni che troveremo in seguito rispettano questa condizione.

Ricaviamo ora le ascisse dei due punti dall’equazione

$2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0$. Troviamo:

$x_1=(-(m+1)+sqrt(9-m^2-6m))/2$ e

$x2=(-(m+1)-sqrt(9-m^2-6m))/2$

da cui

$y_1=[(m-1)+sqrt(9-m^2-6m)]/2$ e

$y_2=[(m-1)-sqrt(9-m^2-6m)]/2$

Calcoliamo ora la distanza al quadrato:

$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=[sqrt(9-m^2-6m)]^2+[sqrt(9-m^2-6m)]^2=2*(9-m^2-6m)$

Imponendo che

$d^2=(3sqrt(2))^2=18$ si trova:

$18-2(m^2+6m)=18$ da cui $(m^2+6m)=0$ e cioè $m=0 U m=-6$ e sono valori entrambi accettabili perchè rispettano la condizione su $m$.

Prova 1:

$m=0 ->y=x$ che intersecata con la circonferenza dà:

$x_1=1$ e $y_1=1$

$x_2=-2$ e $y2=-2$ ed è facile vedere che la distanza è $3sqrt2$

Prova 2:

$m=-6->y=x-6$ che intersecata con la circonferenza dà:

$x_1=4$ e $y1=-2$,

$x_2=1$ e $y_2=-5$ e anche in tal caso è facile constatare che la distanza è $3sqrt2$

$frac{7x+2}{2x-3}+frac{5x+4}{x}=frac{34x^2+43x-2}{4x^2-9}+frac{10-x}{2x^2-3x}$

Risolvere la seguenta equazione

$frac{7x+2}{2x-3}+frac{5x+4}{x}=frac{34x^2+43x-2}{4x^2-9}+frac{10-x}{2x^2-3x}$

Innanzitutto vediamo di scomporre il fattori i denominatori, in vista del futuro minimo comun denominatore che eseguiremo

Otteniamo, eseguendo una differenza di due quadrati e un raccoglimento del termine $x$

$frac{7x+2}{2x-3}+frac{5x+4}{x}=frac{34x^2+43x-2}{(2x-3)(2x+3)}+frac{10-x}{x(2x-3)}$

Il minimo denominatore comune è

$mcd=x(2x+3)(2x-3)$

Eseguendo quinid il minimo comun denominatore, otteniamo

$frac{(7x+2)*x*(2x+3)+(5x+4)(2x+3)(2x-3)}{x(2x-3)(2x+3)}=frac{x(34x^2+43x-2)+(2x+3)(10-x)}{x(2x-3)(2x+3)}$

Eliminando i denominatori, si avrà

$(7x+2)*x*(2x+3)+(5x+4)(2x+3)(2x-3)=x(34x^2+43x-2)+(2x+3)(10-x)$

ponendo però le condizioni che dobbiamo: infatti avendo moltiplicato, dobbiamo escludere, nel caso rientrassero nelle soluzioni, i valori

$x=0$

$x=2/3$

$x=-2/3$

Ora eseguiamo i prodotto delle parentesi

$14x^3+21x^2+4x^2+6x+20x^3-45x+16x^2-36=34x^3+43x^2-2x+20x+30-2x^2-3x$

Sommando, osserviamo che i termini in con la $x$ al quadrato o al cubo scompaiono.

L’equazione si riduce a

$6x-45x+2x-20x+3x=36+30$

ovvero

$-54x=66$

che fornisce

$x=-11/9$

soluzione accettabile.

FINE

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}$

Si risolva il limite seguente

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}$

Possiamo facilmente accorgerci che la forma è indeterminata.

Sostituendo infatti si ha

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}=frac{1-1}{0}=frac{0}{0}$

Usiamo la regola di De L’Hopital.

Poniamo inoltre

$1/x=t$ con $t->0$

$lim_(xtoinfty) frac{xsin(1/x)-1}{1/x^2}=lim_(t->0) frac{1/tsint-1}{t^2}=lim_(t->0) frac{(sint-t)/t}{t^2}=lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}$

Negli ultimi due passaggi abbiamo sommato le frazioni al numeratore, poi abbiamo portato $t$ di sotto, facendo diventare $t^3$ il denominatore.

Ora possiamo passare alle derivate.

Si ha

$lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}=lim_(t->0) frac{cost-1}{3t^2}$

Portando fuori dal limite $1/3$

$1/3lim_(t->0) frac{cost-1}{t^2}=1/3lim_(t->0) -frac{1-cost}{t^2}$

E ricordando il limite notevole

$lim_(yto0) (1-cosy)/y^2=1/2$

si ottiene

$1/3lim_(t->0) -frac{1-cost}{t^2}=1/3*(-1/2)=-1/6$

Volendo, potremmo anche procedere con gli sviluppi asintotici, quindi

$lim_(t rarr0 ) ((sint/t)-1)/t^2$

che si trasforma in

$lim_(t rarr 0)((t-t^3/6)/t -1)/t^2 = -1/6 $

FINE

$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$

Si risolva la seguente disequazione

$x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$

Posto $t=x^3$ si ha

$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6>0$

e l’equazione associata risulta

$t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6=0$

Il discriminante risulta

$\Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2-12sqrt6+(2sqrt2)^2+24sqrt6=(3sqrt3)^2+12sqrt6+(2sqrt2)^2$

e quindi nell’ultimo membro di questa catena di uguaglianze possiamo riconoscere lo sviluppo di un quadrato di binomio

$\Delta = (3sqrt3+2sqrt2)^2$

Quindi le soluzioni dell’equazione associata risultano, usando la nota formula,

$t_1=(-3sqrt3+2sqrt2 + (3sqrt3+2sqrt2))/2=2sqrt2$

$t_2=(-3sqrt3+2sqrt2 – (3sqrt3+2sqrt2))/2=-3sqrt3$

Quindi la disequazione ha soluzioni

$t < -3sqrt3 \quad t > 2sqrt2$

da cui, ricordando che $t=x^3$, si avrà

$x^3 < -3sqrt3 \quad x^3 > 2sqrt2$

e infine

$x < -sqrt3 \quad x > sqrt2$

Infatti risulta essere, usando la regola del portar dentro,

$-3sqrt3=sqrt(-27)$

e anche

$sqrt2=sqrt8$

e a questo punto è facile estrarre la radice cubica

Il trucco sta tutto nella manipolazione del delta. Se si cade nella tentazione di sommare i due quadrati dello sviluppo del primo quadrato di binomio si ottiene

$\Delta=(3sqrt3-2sqrt2)^2+24sqrt6=27-12sqrt6+8+24sqrt6=35+12sqrt6$

che richiederebbe l’uso della formula che tratta i radicali doppi.

Presentiamo anche una via più semplice per risolvere la disequazione

$x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0$

moltiplicando ottengo

$x^6+3sqrt3 x^3 -2sqrt2x^3-6sqrt6>0 $

con il raccoglimento a fattor parziale si ottiene

$(x^3+3sqrt3)*(x^3 -2sqrt2)>0$

Studio il segno dei due fattori

$x^3> -3sqrt3 –> x> -sqrt3 $

$x^3 -2sqrt2>0 –> x> sqrt2$

attraverso il grafico di studio dei segni si ottiene

$x< -sqrt3$

$x> sqrt2$

FINE

Trovare e studiare il luogo dei punti tale che il perimetro del triangolo ABC sia 5, dove…

Trovare e studiare il luogo dei punti tale che il perimetro del triangolo ABC sia 5, dove A(1,1), B(3,1)

Il triangolo $stackrel(Delta)(ABC)$ ha un solo lato definito e fisso, che è $\bar{AB}$

Prendiamo le coordinate generiche del punto $C$ e chiamiamole $C(x,y)$

Il lato $\bar{AB}$ varrà

$\bar{AB}=2$

Questo è banale: basta eseguire la differenza delle ascisse, dal momento che i due punti hanno la stessa ordinata.

Un disegno all’interno di un piano cartesiano può spiegare il tutto senza problemi.

Per la formula che fornisce la distanza tra due punti, il lato $\bar{AC}$ varrà

$\bar{AC}=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)$

E allo stesso modo il lato $\bar{BC}$ può esser così scritto

$\bar{BC}=sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)$

Il problema chiede il luogo dei punti per il quale vale

$\bar{BC}+\bar{AC}+\bar{AB}=5$

ovvero

$sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)+sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)+2=5$

$sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)+sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)=3$

$sqrt((x-1)^2+(y-1)^2)=-sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)+3$

Elevando al quadrato entrambi i membri, otteniamo

$(x-1)^2+(y-1)^2=9+(x-3)^2+(y-1)^2-6sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)$

Sommando e sottraendo ciò che possiamo

$(x-1)^2=9+(x-3)^2-6sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)$

$-(x-1)^2+9+(x-3)^2=6sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)$

svolgendo le parentesi

$6sqrt((x-3)^2+(y-1)^2)=17-4x$

Elevando nuovamente e svolgendo delle semplici somme otteniamo

$20x^2+36y^2-80x-72y+71=0$

Questo luogo è un ellisse, la quale contiene tutti i punti del piano che soddisfano la proprietà del problema.

Abbiamo una carrucola a forma di disco con raggio $r$ e massa $M_c$ con avvolta una fune…

{etRating 4}

Abbiamo una carrucola a forma di disco con raggio $r$ e massa $M_c$, con avvolta una fune.

Tiriamo verso il basso un estremità della fune con una forza di $F$. All’ altra estremità della corda è attaccata una massa di $m$.

Si trovi il modulo delle forze che agiscono sul sistema, l’accelerazione angolare del disco e l’accelerazione della massa attaccata.

Il momento di inerzia vale $1/2M_cr^2$

Osserviamo la figura.

Le due forze a noi note sono $vecF$ e $vecP$.

Dobbiamo trovare le due tensioni.

In realtà la tensione della fune dalla parte opposta al peso, è uguale a $F$ e contraria.

Diverso sarebbe stato il discorso se al posto della forza $vecF$ ci fosse stato un peso: la massa corrispondente avrebbe aumentato l’inerzia del sistema, la tensione avrebbe agito direttamente su questa massa diminuendo l’accelerazione (e risulta diminuito anche il momento sulla carrucola).

Perciò è

$F=T$

Calcoliamo ora $T’$

Per il secondo principio della dinamica (applicato sulla massa $m$, e prendendo come positive le forze in direzione di $T’$), risulterà

$T’-P=ma$

Ma considerando la carrucola, vale anche

$(F-T’)r=I*alpha$ (ho inserito $F$ al posto di $T$ perchè ese sono uguali in modulo.

Infine consideriamo la relazione tra accelerazione lineare a angolare

$a=r*alpha$

Si avrà dunque il sistema

${(T’-P=ma),((F-T’)r=I*alpha),(a=r*alpha):}$

Sostutuendo $ralpha$ al posto di $a$

${(T’-P=mr*alpha),((F-T’)r=I*alpha):}$

Esplicitando la prima rispetto a $T’$

${(T’=mr*alpha+P),((F-T’)r=I*alpha):}$

Sostituendo nella seconda

$(F-P-m*r*alpha)r=I*alpha$

Sostituendo il valore del momento di inerzia

$(F-P-m*r*alpha)r=1/2mr^2*alpha$

semplificando $r$

$F-P-m*r*alpha=1/2mr*alpha$

$F-P=3/2mr*alpha$

ovvero

$alpha=2/3(F-P)/(mr)

Il valore di $a$ (o di $T’$) può essere trovato facendo qualche conto sostituendo questo valore di $alpha$ nelle altre relazioni.

FINE

Determinare i parametri $lim_(xto+oo)[a(e^x)+b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

Determinare il valore dei parametri $a,b$ affinchè sia vero il limite

$lim_(xto+oo)[a(e^x)+b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

Possiamo dire che quando questo limite tende a +oo, la funzione si comporta come questa $(ae^x+bx^2)/(2x^2)$ (l’ "uno" è trascurabile, a fronte di infiniti)

Ma d’altra parte l’esponenziale ha un infinito più "forte" rispetto a una qualsiasi curva di secondo grado, quindi esso farebbe divergere a più infinito tutto il limite, ma questo non è possibile perchè il nostro limite è $1/3$, valore finito.

Quindi deduciamo che deve essere necessariamente

$a=0$

affinchè l’esponenziale sparisca

A questo punto è facile:

abbiamo

$lim_(xto+oo)[b(x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

ma poichè $1$ lo trascuriamo, avremo

$lim_(xto+oo)[b(x^2)]/[2(x^2)]=1/3$

pertanto dovrà per forza essere che

$b/2=1/3$ da cui ricaviamo che

$b=2/3

quindi riscrivendo la funzione viene

$f(x)=[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)]$

e facendo per scrupolo una verifica per sostituzione, una volta sostituiti i valori dei parametri trovati, eseguiamo

$lim_(xto+oo)f(x)=lim_(xto+oo)[(2/3x^2)+1]/[2(x^2)]=1/3$

che è vero.

FINE

Individuare il vertice C di un triangolo isoscele di base AB con $A(-1;1)$ e $B(2;0)$, sapendo….

Individuare il vertice C di un triangolo isoscele di base AB con $A(-1;1)$ e $B(2;0)$, sapendo che l’altezza relativa ad AB misura $(sqrt10)/2$

Iniziamo a calcolare l’equazione della retta su cui giace la base.

Il coefficiente angolare della retta passante per due punti noti (nel nostro caso $A$ e $B$) vale

$m=(y-y_0)/(x-x_0)$

ovvero, nel caso nostro

$m=-1/3$

Il fascio generico è

$y-y_0=m(x-x_0)$

quindi sostituendo i valori noti di $m$ e quelli di $x_0,y_0$ (un punto vale l’altro)

otteniamo che la retta $AB$ ha equazione

$y=-x/3+2/3$.

La retta $CH$ ha coefficiente angolare pari a $3$ essendo perpendicolare alla retta $AB$ e passa per il punto medio del segmento $bar(AB)$

Le coordinate del punto medio $H$ sono facilmente ricavabili, ricordiamo che le coordinate sono

$H((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$

da cui abbiamo che H è pari a

$H=(1/2,1/2)$

per cui la retta $CH$ è:

$y-1/2=3(x-1/2)$

ovvero

$y=3x-1$.

(abbiamo applicato le note formule sui fasci di rette conoscendo un punto e il coefficiente angolare, come sopra).

Quindi $C$ ha coordinate generiche $(a,3a-1)$.

Ma sappiamo che la distanza di $C$ da $H$ è pari a

$(sqrt10)/2$,

cioè, applicando la formula della distanza tra due punti

$sqrt((a-1/2)^2+(3a-3/2)^2)=(sqrt10)/2$

ovvero

$(a-1/2)^2+(3a-3/2)^2=10/4$

svolgendo

$10a^2-10a=0$

e restituisce

$a=0,a=1$.

Ora

$a=0->C=(0,-1)$

mentre

$a=1->C=(1,2)$

FINE

Dato il punto $P(1,7)$ trovare l’equazione delle rette passanti per esso e distanti 5 dall’origine.

Per indicare che passano per il punto P(1;7) usiamo l’equazione del fascio:

$y-y_0=m(x-x_0)$

e otterremo

$y=mx-m+7$

ovvero

$mx-y+7-m=0$

Per la distanza usiamo la formula:

$|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$

nel nostro caso abbiamo

$x_0=0$

$y_0=0$

$c=7-m$

$a=m$

$b=-1$

Perciò sostituendo tali valori nella formula abbiamo

$|m-7|/sqrt(m^2+1)=5*$

ovvero

$|m-7|=5*sqrt(m^2+1)$.

Ora se $m>=7->|m-7|=m-7$ per cui si ha

$m-7=5sqrt(m^2+1)$ da cui elevando al quadrato si ha:

$12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3$ che sono entrambi non accettabili perchè minori di $7$.

se $m<7->|m-7|=7-m$ ed elevando al quadrato si ha

$12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3$ che sono ora entrambi accettabili. per cui le rette sono

$y=3/4x+25/4$

$y=-4/3x+25/3$

Volendo potevamo anche evitare la discussione del valore assoluto ed elevare al quadrato entrambi i membri, ma abbiamo preferito ripassare anche un po’ di moduli.

FINE

$(sec(2x))/ (tg(2x)-tg(x))-1/4(1+cot^2(x))>=0$

Si risolva la seguente disequazione

$(sec(2x))/ (tg(2x)-tg(x))-1/4(1+cot^2(x))>=0$

Iniziamo a definire il dominio.

Per l’esistenza della secante, tangente e cotangente, avremo rispettavamente

$2x!=pi/2+kpi->x!=pi/4+kpi/2$

$x!=pi/2+kpi$

$x!=kpi$

La prima assicura l’esistenza di $sec2x$ e $tan2x$, la seconda di $tanx$ e la terza di $cot^2x$

Passiamo ora alla disequazione e consideriamo la prima frazione. Vediamo di semplificarla

Abbiamo

$(sec2x)/(tg(2x)-tg(x))=(1/(cos(2x)))/((sin(2x))/(cos(2x))-(sinx)/(cosx))=(1/cos(2x))/((sin2xcosx-sinxcos2x)/(cos2x*cosx)$

Ora possiamo eliminare $cos2x$, portare sopra $cosx$ e apportare altre modifiche.

Abbiamo ottenuto

$(cosx)/(sin2x*cosx-sinx*cos2x)=(cosx)/(2sinxcos^2x-sinx(cos^2x-sin^2x))=(cosx)/(2sinxcos^2x-sinx*cos^2x+sin^3x)$

Abbiamo usato la bisezione e poi abbiamo moltiplicato.

Ora andando avanti

$(cosx)/(sinx*cos^2x+sin^3x)=(cosx)/(sinx(cos^2x+sin^2x))$

Ma ricordando che $sin^2x+cos^x=1$ si ha

$(cosx)/(sinx)=cotgx$

per cui l’equazione originaria diventa

$cotgx-1/4(1+cotg^2x)>=0$

ovvero

$1/4(1+cotg^2x)-cotgx<=0$

$cotg^2x-4cotgx+1<=0$

Il che comporta

$2-sqrt3<=cotgx<=2+sqrt3$ e questa è soddisfatta se $pi/12+kpi<=x<=5/12pi+kpi$

Ma osservando le condizioni dobbiamo escludere $x=pi/4+kpi/2$

FINE

$2+sqrt(3) +4(senxcosx-senx-cosx)=0$

Si risolva la seguente equazione simmetrica

$2+sqrt(3) +4(senxcosx-senx-cosx)=0$

Poniamo

$x=pi/4+z$

da cui avremo che

$sinx=sin(pi/4+z)=sin(pi/4)cosz+cos(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz+sinz)$

Inoltre

$cosx=cos(pi/4+z)=cos(pi/4)cosz-sin(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz-sinz)$

E infine

$sinxcosx=1/2(cos^2z-sin^2z)=1/2(2cos^2z-1)=cos^2z-1/2$

per cui l’equazione originaria diventa

$2+sqrt3+4(cos^2z-1/2-sqrt2cosz)=0$

Sviluppando la parentesi

$4cos^2z-4sqrt2cosz+sqrt3=0$

Risolvendo rispetto a $cosz$

$cosz=(2sqrt2+-sqrt(8-4sqrt3))/4=(2sqrt2+-sqrt2(sqrt3-1))/4$

cioè

$cosz=(sqrt2+sqrt6)/4$

$cosz=(3sqrt2-sqrt6)/4$

Ora $cosz=(sqrt2+sqrt6)/4

Comporta

$z=+-pi/12+2kpi$

mentre

$cosz=(3sqrt2-sqrt6)/4$

porta a

$z=+-7/20pi+2kpi$

Per cui ricordando che

$x=z+pi/4$

otteniamo

$x=pi/4+-pi/12+2kpi$

ovvero, considerando separatamente il caso + e il caso –

$x=pi/6+2kpi=30+k*360$

$x=pi/3+2kpi=60+k*360$

Facendo analogamente con l’altra soluzione $z$ avremo

$x=pi/4+-7/20pi+2kpi$

ovvero

$x=3/5pi+2kpi=108+k*360$

$x=-pi/10+2kpi=-18+k*360$

FINE

${(a/bx+b/ay=a+b),(a/by+b/ax=a+b):}$

Si risolva il seguente sistema di equazioni letterali

${(a/bx+b/ay=a+b),(a/by+b/ax=a+b):}$

$a,b!=0$

Salta subito all’occhio che i secondi membri delle equazioni sono uguali, perciò possiamo tentare la strada del confronto tra primi membri.

Eseguendolo, otteniamo

$a/bx+b/ay=a/by+b/ax$

Possiamo a questo punto calcolare il minimo comune multiplo, e procedere come segue

$frac{a^2x+b^2y}{ab}=frac{b^2x+a^2y}{ab}$

Eliminando i denominatori

$a^2x+b^2y=b^2x+a^2y$

Portando da un parte tutti i termini con la $x$ e dall’alta quelli con la $y$ avremo

$a^2x-b^2x=a^2y-b^2y$

Raccogliendo al primo membro $x$ e al secondo $y$ avremo

$x(a^2-b^2)=y(a^2-b^2)$

Semplificando la parentesi, si ottiene

$x=y$

ponendo la condizione opportuna

$a^2-b^2!=0$

Questa informazione possiamo usarla inserendola in un’equazione originaria, ad esempio

$a/bx+b/ay=a+b$

siccome $x=y$ otteniamo

$a/bx+b/ax=a+b$

ovvero

$frac{a^2x+b^2x}{ab}=frac{ab(a+b)}{ab}$

togliendo i denominatori

$a^2x+b^2x=ab(a+b)$

raccogliendo $x$

$x(a^2+b^2)=ab(a+b)$

$x=frac{ab(a+b)}{a^2+b^2}$

L’incognita $y$ avrà lo stesso valore della $x$ poichè abbiamo trovato prima che

$x=y$

FINE