Svolgimento:
$\{(x^2+y^2-4x+3y=0),(y=mx):}$

$x^2+m^2x^2-4x+3mx=0$
$x^2(1+m^2)-x(4-3m)=0$
Raccogliendo $x$:
$x[x(1+m^2)-4+3m]=0$
$\{(x=0),(x=(4-3m)/(1+m^2))$

Allora un punto è $O(0;0)$ e l’altro è $P[(4-3m)/(1+m^2);(4m-3m^2)/(1+m^2)]$
Imponiamo che la distanza $bar(OP)$ sia uguale a due:
$sqrt(((4-3m)/(1+m^2))^2+((4m-3m^2)/(1+m^2))^2)=2$
$((4-3m)/(1+m^2))^2+((4m-3m^2)/(1+m^2))^2=4$
Risolvendo questa equazione ottieniamo due valori di $m$:
$m_1=(12-2*sqrt(21))/5$ e $m_2=(2*sqrt(21)+12)/5$.

Svolgimento:
Il diametro della circonferenza e’ la distanza delle due tangenti:
$d=|c-c’|/sqrt(a^2+b^2)=|2-(-18)|/sqrt(5)=4sqrt(5)$.
Dunque il raggio è $2sqrt(5)$.
Il centro $C(a,b)$ deve stare sulla retta medianadelle due tangenti:
$2x+y-8=0$ e quindi $2a+b-8=0$
L’equazione della circonferenza e’:
$(x-a)^2+(y-b)^2=20$
Imponendo la condizione di appartenenza del punto $A$ ,risulta
$(1-a)^2+b^2=20$.
Pertanto si ha il sistema:
$\{((1-a)^2+b^2=20),(2a+b-8=0):}$
Risolto il quale risulta:
$a_1=5;b_1=-2$
$a_2=9/5;b_2=(22)/5$
da cui si ricavano le due circonferenze richieste:
$(x-5)^2+(y+2)^2=20$
$(x-9/5)^2+(y-(22)/5)^2=20$.

Svolgimento:
La formula per la retta passante per due punti $A$ e $B$ è:
$(x-x_A)/(x_B-x_A)=(y-y_A)/(y_B-y_A)$
In questo caso:
$(x-1)/1=(y-1)/3$
$3x-3=y-1$
$y=3x-2$
Poniamo a sistema questa retta con la parabola e per fare
in modo che i due luoghi risultino tangenti, imponiamo $\Delta=0$
$\{(y=3x-2),(y=ax^2+7x-1):}$

$ax^+7x-1=3x-2$
$ax^2+4x+1=0$
Ora $\Delta=0$ ($b^2-4ac=0$):
$16-4a=0$
$a=4$
Perciò la parabola tangente alla retta $y=3x-2$ è: $y=4x^2+7x-1$.

Svolgimento:
Si tratta solo di sostituire le coordinate dei punti nel fascio e risolvere l’equazione in $k$
che così si viene a creare:

a) $3(k-1)+2k-2+k-3=0$

$k=4/3$

la retta ha equazione:

$x-2y-5=0$

b)$k-1+2-2k+k-3=0$;

qualunque valore di $k$, quindi il centro del fascio è proprio il punto $Q(1;1)$

c) il coeff. angolare dev’essere $1$:

$(1-k)/(2-2k)=1$

$k=1$ non accettabile perché per le condizioni di esistenza $2-2k!=$ e quindi $k$ diverso da $1$.

Svolgimento:
a) va azzerato il coefficiente della $x$, quindi $k=1/2$ e la retta ha equazione $y=1/9$
b) il coeff. angolare di $4x+y+7=0$ è $-4$, quindi la retta perpendicolare avrà coeff. angolare pari a $1/4$.
Allora
$(1-2k)/(k-5)=1/4$

da cui $k=1$; l’equazione della retta è $x-4y+1=0$

c) il coeff. angolare di $2x+y+7=0$ è $-2$, allora
$(1-2k)/(k-5)=-2$
perciò nessun valore di $k$

d) il coeff. angolare dev’essere uguale a $-1$:

$(1-2k)/(k-5)=-1$

da cui $k=-4$ e l’equazione della retta è $9x+9y+4=0$

Il centro del fascio si può calcolare ponendo a sistema
per esempio $x=-5/9$
(retta ottenuta per $k=5, perché in tal modo si azzera il coefficiente della $y$
 e si semplificano i calcoli per il sistema) ed $y=(-1/5)x$ (retta ottenuta per $k=0$).

Quindi
$\{(x=-5/9),(y=(-1/5)x):}$
{y=(-1/5)x

Sostituisco nella seconda e ottengo: $y=1/9$

Quindi il centro ha coordinate $C(-5/9;1/9)$

Svolgimento:

a)$k=-1$ perché va azzerato il coefficiente della $y$; la retta ha equazione $x=0$ (cioè proprio l’asse $y$).

b) qualunque valore di $k$ (sostituendo le coordinate si ottiene l’equazione $2(k+1)-2k-2=0$ che ha soluzioni infinite).
Da ciò si deduce quindi che il centro del fascio è proprio $P(0;2)$; tutte le rette passano quindi per $P$.

c) il coefficiente angolare della retta $8x+4y+1=0$ è $-2$, quindi

$(2k-3)/(k+1)=-2$

da cui si ottiene $k=1/4$;

la retta ha equazione $2x+y-2=0$ (si ottiene sostituendo $k=1/4$ nell’equazione del fascio).