Determina i cateti di un triangolo rettangolo sapendo che la loro somma è $34cm$
e che l’area del triangolo è $120cm^2$.

Svolgimento
Indicando con $x$ e $y$ i due cateti e con $z$ l’ipotenusa, i dati sono:
$x+y=34m ^^ A=120m^2$
Noi sappiamo che $A=(x*y)/2=120m^2$
Mettiamo a sistema le due equazioni e procediamo nella risoluzione

${((x*y)/2=120),(x+y=34):}$;
${(((34-y)y)/2=120),(x=34-y):}$;
${((34y-y^2)/2=120),(x=34-y):}$;
Il m.c.m., nella prima equazione, è $2$ quindi:
${((34y-y^2-240)/2=0),(x=34-y):}$;
Dividendo ambo i membri della prima equazione per $2$ e cambiando di segno si ha:
${(y^2-34y+240=0),(x=34-y):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$y^2-34y+240=0$

$(Delta/4)=(b/2)^2-ac=(-17)^2-((240)*1)=289-240=49$
$y_(1,2)=((-b/2)+-sqrt((Delta/4)))/(a)=(17+-sqrt(49))=(17+-7) => y_1=10 ^^ y_2=24$.

Pertanto
${(y_1=10),(x_1=34-y_1):} => {(y_1=10),(x_1=24):}$ ;
${(y_2=24),(x_2=34-y_2):} => {(y_2=24),(x_2=10):}$.
Quindi se scegliamo come cateto minore $x$ e come cateto maggiore $y$, questi
misurano rispettivamente $10cm$ e $24cm$; altrimenti viceversa.

Determina l’area di un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa misura $45m$
e la somma dei cateti è $63m$.

Svolgimento
Indicando con $x$ e $y$ i due cateti e con $z$ l’ipotenusa, i dati sono:
$x+y=63m ^^ z=45m$
Per il teorema di Pitagora sappiamo che
$z=sqrt(x^2+y^2) => sqrt(x^2+y^2)=45m$.
Mettiamo a sistema le due equazioni e procediamo nella risoluzione

${(sqrt(x^2+y^2)=45),(x+y=63):}$;
${(sqrt(x^2+y^2)=45),(x=63-y):}$;
Eleviamo al quadrato ambo i membri della prima equazione e procediamo per sostituzione
${(x^2+y^2=2025),(x=63-y):}$;
${((63-y)^2+y^2=2025),(x=63-y):}$;
${(3969-126y+y^2+y^2=2025),(x=63-y):}$;
Semplificando
${(2y^2-126y+1944=0),(x=63-y):}$;
Dividendo la prima equazione per $2$ si ha:
${(y^2-63y+972=0),(x=63-y):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$y^2-63y+972=0$

$Delta=b^2-4ac=(-63)^2-(4*(972)*1)=3969-3888=81$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(63+-sqrt(81))/2=(63+-9)/2 => y_1=36 ^^ y_2=27$.

Pertanto
${(y_1=36),(x_1=63-y_1):} => {(y_1=36),(x_1=27):}$ ;
${(y_2=27),(x_2=63-y_2):} => {(y_2=27),(x_2=36):}$.
Le misure dei cateti sono  $27m$ e $36m$

Pertanto $A=(x*y)/2=((27)*(36))/2m^2=486m^2$ .

Individua tre numeri pari consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia $56$.

Svolgimento
Indichiamo con $x,y,z$ i tre numeri  pari consecutivi, allorai dati fornitici dal problema sono:
$y=x+2 ,z=y+2=x+4 , x^2+y^2+z^2=56$
Mettiamo a sistema le tre equazioni e risolviamolo per sostituzione

$\{(y=x+2),(z=y+2=x+4),(x^2+y^2+z^2=56):}$;
$\{(y=x+2),(z=y+2=x+4),(x^2+(x+2)^2+(x+4)^2=56):}$;
$\{(y=x+2),(z=y+2=x+4),(x^2+x^2+4+4x+x^2+16+8x=56):}$;
Semplificando
$\{(y=x+2),(z=y+2=x+4),(3x^2+12x-36=0):}$;
Dividendo ambo i membri della terza equazione per $3$ si ha:
$\{(y=x+2),(z=y+2=x+4),(x^2+4x-12=0):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$x^2+4x-12=0$

$(\Delta/4)=(b/2)^2-ac=2^2-(-12)*1=4+12=16$
$a_(1,2)=((-b/2)+-sqrt((\Delta/4)))/(a)=(-2+-sqrt(16))=-2+-4 => x_1=-6 ^^ x_2=2$
La soluzione $a_1=-6$ non è accettabile, in quanto negativa.
Pertanto
$\{(y_2=x_2+2),(z_2=x_2+4),(x_2=2):} => \{(y_2=4),(z_2=6),(x_2=2):}$.
Quindi i tre numeri  pari consecutivi positivi, la cui somma dei quadrati è $56$ sono:$2,4,6$.

Determina le diagonali di un rombo di cui conosci perimetro e area.

Svolgimento
Il perimetro del rombo è dato dalla somma dei quattro lati uguali, cioè
$2p=4l$, dove $l=sqrt(((d_1)/2)^2+((d_2)/2)^2)$.
Pertanto $2p=4l=4sqrt(((d_1)/2)^2+((d_2)/2)^2)$
L’area del rombo è: $A=((d_1)*(d_2))/2$.
Mettendo a sistema le due equazioni e risolvendolo per sostituzione
troveremo le misure delle due diagonali
${(2p=4sqrt(((d_1)/2)^2+((d_2)/2)^2)),(A=((d_1)*(d_2))/2):}$;
${(2p=4sqrt(((d_1)/2)^2+((d_2)/2)^2)),(d_1=(2A)/(d_2)):}$;
${(2p=4sqrt((((2A)/(d_2))/2)^2+((d_2)/2)^2)),(d_1=(2A)/(d_2)):}$;
${(2p=4sqrt((A/(d_2))^2+((d_2)/2)^2)),(d_1=(2A)/(d_2)):}$.
Procedendo per sostituzione otteniamo le misure delle due diagonali.

Determina le diagonali di un rombo sapendo che la loro differenza è $d$
e che l’area del rombo è $s^2$.

Svolgimento
Poniamo $d_1=x$ e $d_2=y$, i dati fornitici dal problema sono:
$y-x=d ^^ A=(xy)/2=s^2$.
Mettendo a sistema le due equazioni e risolvendolo per sostituzione
troveremo le misure delle due diagonali
${(y-x=d),((xy)/2=s^2):}$; ${(y=d+x),((xy)/2=s^2):}$;
${(y=d+x),((x(d+x))/2=s^2):}$; ${(y=d+x),(xd+x^2-2s^2=0):}$;
Risolviamo la seguente equazione di secondo grado:
$x^2+xd-2s^2=0$

$Delta=b^2-4ac=(d)^2-(4*1*(-2s^2)=d^2+8s^2$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-d+-sqrt(d^2+8s^2))/2 => x_1=(-d+sqrt(d^2+8s^2))/2 ^^ x_2=(-d-sqrt(d^2+8s^2))/2$.
La soluzione $x_2=(-d-sqrt(d^2+8s^2))/2$ non è accettabile, perchè negativa.
Pertanto
${(x_1=(-d+sqrt(d^2+8s^2))/2),(y_1=d+x_1):} => {(x_1=(-d+sqrt(d^2+8s^2))/2),(y_1=(d+sqrt(d^2+8s^2))/2):}$.

Ecco trovae le misure delle due diagonali.

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura $13cm$. Un cateto supera l’altro di $5cm$.
Determina la lunghezza dei due cateti.

Svolgimento
Per il teorema di Pitagora
$a=sqrt(b^2+c^2)=13cm$
inoltre
$c=5cm+b$
Mettiamo a sistema le due equazioni:

${(sqrt(b^2+c^2)=13),(c=5+b):}$;
Eleviamo al quadrato ambo i membri della prima equazione e procediamo per sostituzione
${(b^2+c^2=169),(c=5+b):}$;
${(b^2+(5+b)^2=169),(c=5+b):}$;
${(b^2+25+10b+b^2=169),(c=5+b):}$;
Semplificando
${(2b^2+10b-144=0),(c=5+b):}$;
Dividendo la prima equazione per $2$ si ha:
${(b^2+5b-72=0),(c=5+b):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$b^2+5b-72=0$

$Delta=b^2-4ac=(5)^2-(4*(-72)*1)=25+288=313$
$b_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(-5+-sqrt(313))/2=(-5+-17,69)/2 => b_1=-11,35 ^^ b_2=6,35$.
Escludendo la soluzione negativa si ha

${(b_2=6,35),(c_2=5+b_2):} => {(b_2=6,35),(c_2=11,35):}$
Pertanto i cateti misurano $6,35cm ^^ 11,35cm$.

Determina la lunghezza dei cateti di un triangolo rettangolo sapendo
che la somma delle loro lunghezzeè $21cm$ e che l’ipotenusa misura $15cm$.

Svolgimento
Indichiamo con $x$ e $y$ i due cateti e con $z$ l’ipotenusa, i dati sono:
$x+y=21cm ^^ z=15cm$
Per il teorema di Pitagora sappiamo che
$z=sqrt(x^2+y^2) => sqrt(x^2+y^2)=15cm$.
Mettiamo a sistema le due equazioni e procediamo nella risoluzione

${(sqrt(x^2+y^2)=15),(x+y=21):}$;
${(sqrt(x^2+y^2)=15),(x=21-y):}$;
Eleviamo al quadrato ambo i membri della prima equazione e procediamo per sostituzione
${(x^2+y^2=225),(x=21-y):}$;
${((21-y)^2+y^2=225),(x=21-y):}$;
${(441-42y+y^2+y^2=225),(x=21-y):}$;
Semplificando
${(2y^2-42y+216=0),(x=21-y):}$;
Dividendo la prima equazione per $2$ si ha:
${(y^2-21y+108=0),(x=21-y):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$y^2-21y+108=0$

$Delta=b^2-4ac=(-21)^2-(4*(108)*1)=441-432=9$
$y_(1,2)=(-b+-sqrt(Delta))/(2a)=(21+-sqrt(9))/2=(21+-3)/2 => y_1=9 ^^ y_2=12$.

Pertanto
${(y_1=9),(x_1=21-y_1):} => ${(y_1=9),(x_1=12):}$ ;
${(y_2=12),(x_2=21-y_2):} => ${(y_2=12),(x_2=9):}$.
Quindi se scegliamo come cateto minore $x$ e come cateto maggiore $y$, questi
misurano rispettivamente $9cm$ e $12cm$; altrimenti viceversa.

Determina due numeri reali positivi, sapendo che la loro somma è $50$
e la somma dei loro quadrati è $3650$.

Svolgimento
Indichiamo questi due numeri con le incognite $x , y$,
il problema ci fornisce i seguenti dati:
$x+y=50 ^^ x^2+y^2=3650$
Mettiamo a sistema le due equazionie risolviamo

$\{(x^2+y^2=3650),(x+y=50):}$;
$\{(x^2+y^2=3650),(x=50-y):}$;
Procedo per sostituzione
$\{((50-y)^2+y^2=3650),(x=50-y):}$;
$\{(2500-100y+y^2+y^2=3650),(x=50-y):}$;
Semplificando
$\{(2y^2+100y-1150=0),(x=50-y):}$;
Dividendo la prima equazione per $2$ si ha:
$\{(y^2+50y-575=0),(x=50-y):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$y^2+50y-575=0$

$(\Delta/4)=(b/2)^2-ac=(25)^2-(-575)*1=625+575=1200$
$y_(1,2)=((-b/2)+-sqrt((\Delta/4)))/(a)=(-25+-sqrt(1200))=$
$=25+-20sqrt3 => y_1=25+20sqrt3 ^^ y_2=25-20sqrt3$.
La soluzione $y_2=25-20sqrt3$ non è accettabile, perchè negativa
Pertanto
$\{(y_1=25+20sqrt3),(x_1=50-y_1):}$; $\{(y_1=25+20sqrt3),(x_1=50-25-20sqrt3):}$;
$\{(y_1=25+20sqrt3),(x_1=25-20sqrt3):}$.

La soluzione $x_1=25-20sqrt3$ non è accettabile perchè negativa; allora non esistono
due numeri reali positivi, tali che la somma è $50$ e la somma dei quadrati è $3650$.

Individua un numero tale che la somma del suo quadrato e del doppio del suo quadrato
diminuito del prodotto tra il numero stesso diminuito di $1$ e il numero stesso diminuito di due,
sia uguale a $3$. Tale numero è unico?

Svolgimento
Chiamiamo il nostro numero $x$, il problema ci fornisce i seguenti dati:
$x^2+[2x^2-(x-1)(x-2)]=3$
Semplifichiamo
$x^2+2x^2-(x^2-2x-x+2)=3$;
$x^2+2x^2-x^2+2x+x-2=3$;
$2x^2+3x-3=0$
Studiamo il $\Delta$ di tale equazione:
$\Delta=b^2-4ac=(3)^2-(4*2*(-3))=9+24=33$.
Il $\Delta>0$ implica che la soluzione non è unica,
bensì ammette due soluzioni reali e distinte.
Pertanto la soluzione non è unica.

2)Individua tre numeri positivi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia $29$.

Svolgimento
Indichiamo con $a,b,c$ i tre numeri consecutivi, allorai dati fornitici dal problema sono:
$b=a+1 , c=b+1=a+2 , a^2+b^2+c^2=29$
Mettiamo a sistema le tre equazioni e risolviamolo per sostituzione

$\{(b=a+1),(c=a+2),(a^2+b^2+c^2=29):}$;
$\{(b=a+1),(c=a+2),(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2=29):}$;
$\{(b=a+1),(c=a+2),(a^2+a^2+1+2a+a^2+4+4a=29):}$;
Semplificando
$\{(b=a+1),(c=a+2),(3a^2+6a-24=0):}$;
Dividendo ambo i membri della terza equazione per $3$ si ha:
$\{(b=a+1),(c=a+2),(a^2+2a-8=0):}$;
Risolviamo l’equazione di secondo grado

$a^2+2a-8=0$

$(\Delta/4)=(b/2)^2-ac=1-(-8)*1=9$
$a_(1,2)=((-b/2)+-sqrt((\Delta/4)))/(a)=(-1+-sqrt9)=-1+-3 => a_1=-4 ^^ a_2=2$
La soluzione $a_1=-4$ non è accettabile, in quanto negativa.
Pertanto
$\{(b_2=a_2+1),(c_2=a_2+2),(a_=2):} => \{(b_2=3),(c_2=4),(a_=2):}$.
Quindi i tre numeri consecutivi positivi, la cui somma dei quadrati è $29$ sono:$2,3,4$.

Nella seguente equazione $x$ indica l’incognita, mentre le altre lettere indicano parametri reali.
Individua l’insieme di definizione e insieme delle soluzioni:

$(a^2+b^2)/(x^2-(a+b)x+ab)-(a-b)/(b-x)=(a+b)/(x-a)$

$(a^2+b^2)/(x^2-(a+b)x+ab)-(a-b)/(b-x)=(a+b)/(x-a)$;
Il m.c.m. è $(x-a)(b-x)$, quindi

$(-a^2-b^2-(a-b)(x-a)-(b-x)(a+b))/((x-a)(b-x))=0$;
Affinchè l’equazione abbia significato, deve risultare il denominatore diverso da zero, cioè
$(x-a)(b-x)!=0$, ovvero $x!=a vv x!=b$.
Ora possiamo moltiplicare ambo i membri per $(x-a)(b-x)$ e otteniamo:
$-a^2-b^2-(a-b)(x-a)-(b-x)(a+b)=0$;
$-a^2-b^2-(ax-a^2-bx+ba)-(ab+b^2-xa-xb)=0$;
$-a^2-b^2-ax+a^2+bx-ba-ab-b^2+xa+xb=0$;
Semplificando
$2bx-2b^2-2ab=0$;
$x=(2b^2+2ab)/(2b); => x=b+a$.

Nella seguente equazione $x$ indica l’incognita, mentre le altre lettere indicano parametri reali.
Individua l’insieme di definizione e insieme delle soluzioni:

$(x-1)/(x-a)-(x-a)/(x^2+ax-2a^2)=(x+1)/(x+2a)$

$(x-1)/(x-a)-(x-a)/(x^2+ax-2a^2)=(x+1)/(x+2a)$;
Il m.c.m. è $(x-a)(x+2a)$, quindi

$((x-1)(x+2a)-x+a-(x-a)(x+1))/((x-a)(x+2a))=0$;
Affinchè l’equazione abbia significato, deve risultare il denominatore diverso da zero, cioè
$(x-a)(x+2a)!=0$, ovvero $x!=a vv x!=-2a$.
Ora possiamo moltiplicare ambo i membri per $(x-a)(x+2a)$ e otteniamo:
$(x-1)(x+2a)-x+a-(x-a)(x+1)=0$;
$x^2+2ax-x-2a-x+a-(x^2-ax+x-a)=0$;
$x^2+2ax-x-2a-x+a-x^2+ax-x+a=0$;
Semplificando
$-3x+3ax=0$;
$3x(a-1)=0 => x=0$.
Ma noi abbiamo escluso dall’insieme di definizione $x!=a ^^ x!=-2a$.
Quindi deve risultare anche $a!=0$, altrimenti l’equazione non ammette come soluzione accettabile $x=0$.

Nel quadrato $ABCD$ di lato $l$, prolunghiamo i lati $ar{AB}$ dalla parte di $B$ e $ar{AD}$ dalla parte
di $D$ rispettivamente dei segmenti $ar{BP=2x}$ e $ar{DQ}=3x$. Determina $x$ in modo tale che sia:
$2BD^2-2CQ^2=PQ^2-4CP^2$

Dati
$ar{BP=2x}$
$ar{DQ}=3x$

Svolgimento
$BD^2=2l^2$
$CQ^2=l^2+9x^2$
$CP^2=l^2+4x^2$
$PQ^2=(l+2x)^2+(l+3x)^2=l^2+4x^2+4lx+l^2+9x^2+6x^2=2l^2+10lx+13x^2$

Quindi l’equazione $2BD^2-2CQ^2=PQ^2-4CP^2$, la possiamo riscrivere nel seguente modo:
$2(2l^2)-2(l^2+9x^2)=2l^2+10lx+13x^2-4(l^2+4x^2)$.
Risolviamo ora l’equazione
$2(2l^2)-2(l^2+9x^2)=2l^2+10lx+13x^2-4(l^2+4x^2)$;
$4l^2-2l^2-18x^2=2l^2+10xl+13x^2-4l^2-16x^2$;
Raccogliamo i termini simili
$(-18-13+16)x^2-10lx+(4-2-2+4)l^2=0$
$-15x^2-10lx+4l^2=0$, cioè
$15x^2+10lx-4l^2=0$

$(Delta)/4=(b/2)^2-ac=(5l)^2-(15*(-4l^2))=25l^2+60l^2=85l^2$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((Delta)/4))/a=(-5l+-sqrt(85l^2))/(15)=(-5l+-lsqrt(85))/(15) => x_1=(l(+lsqrt(85)-5))/(15) ^^ x_2=(l(-5-lsqrt(85))/(15)$.

La soluzione $x_2=(l(-5-lsqrt(85))/(15)$ non è accettabile perchè negativa.
Pertanto la soluzione del problema sarà: $x=(l(+lsqrt(85)-5))/(15)$.

Risolvi l’equazione di incognita $x$:
$(p-1)x^2+px-2x=p$
assegnando a $p$ i valori:
a)$p=1/3$
b)$p=sqrt3$
c)$p=0,1$

Svolgimento
$(p-1)x^2+px-2x=p$;
$(p-1)x^2+(p-2)x-p=0$;

a)Per $p=1/3$ si ha:
$(1/3-1)x^2+(1/3-2)x-1/3=0$;
$-2/3x^2-5/3x-1/3=0$;
Moltiplicando ambo i membri per $3$ e cambiando di segno otteniamo
$2x^2+5x+1=0$

$\Delta=b^2-4ac=(5)^2-(4*1*(2))=25-8=17$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-5+-sqrt(17))/4=> x_1=(-5-sqrt(17))/4  ^^ x_2=(-5+sqrt(17))/4 $.

b)Per $p=sqrt3$ si ha:
$(sqrt3-1)x^2+(sqrt3-2)x-sqrt3=0$;

$\Delta=b^2-4ac=(sqrt3-2)^2-(4*sqrt3*(sqrt3-1))=3+4-4sqrt3+4sqrt3(sqrt3-1)=3+4-4sqrt3-4sqrt3+12=19-8sqrt3$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-sqrt3+2+-sqrt(19-8sqrt3))/(2(sqrt3-1))=>$
$=> x_1=(-sqrt3+2+sqrt(19-8sqrt3))/(2(sqrt3-1))  ^^ x_2=(-sqrt3+2-sqrt(19-8sqrt3))/(2(sqrt3-1))$.

c)Per p=0,1=1/(10)
$(1/(10)-1)x^2+(1/(10)-2)x-1/(10)=0$;
$-9/(10)x^2-(19)/(10)x-1/(10)=0$;
Moltiplicando ambo i membri per $10$ e cambiando di segno otteniamo
$9x^2+19x+1=0$

$\Delta=b^2-4ac=(19)^2-(4*1*9)=361-36=325$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-19+-sqrt(325))/(18)=> x_1=(-19+sqrt(325))/(18)  ^^ x_2=(-19-sqrt(325))/(18) $.

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

5)L’equazione $(k+1)x^2-kx+1=0$

a)abbia soluzioni reali distinte;
b)abbia soluzioni reali coincidenti;
c)abbia soluzioni reali inverse rispetto all’addizione;
d)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.

Svolgimento
a)Deve risultare $\Delta>0$

$\Delta=b^2-4ac=(-k)^2-(4*(k+1)*1)=k^2-4k-4$
Quindi
$\Delta>0 <=> k^2-4k-4>0$.
Studiamo la disequazione di secondo grado

$k^2-4k-4>0$

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-((-4)*1)=4+4=8$
$k_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(2+-sqrt8) => k_1=2+sqrt8 ^^ k_2=2-sqrt8$.
Pertanto affinchè si abbiano due soluzioni reali e distinte deve risultare
$k<2-sqrt8 ^^ k>2+sqrt8$

b)deve risultare $\Delta=0$, ovvero $k^2-4k-4=0$.
Dal punto a) possiamo già concludere che l’equazione è verificata per $k=2+-sqrt8$.

c)Deve risultare $x_1+x_2=1$, ovvero $-B/A=1$
Dove $B=-k ^^ A=k+1$
Pertanto bisogna trovare i valori di $k$ che verificano la seguente equazione
$-B/A=k/(k+1)=1$
Risolviamo l’equazione di primo grado
$k/(k+1)=1$;
$k/(k+1)-1=0$;
$(k-k-1)/(k+1)=0$;
$-1/(k+1)=0$.
L’equazione non può essere verificata per nessun valore di $k$.

d)Deve quindi risultare $x_1x_2=1$, ovvero $C/A=1$
Nella nostra equazione si ha:
$C=1 ^^ A=k+1$
Vediamo per quali valori di $k$, è verificata la seguente equazione
$1/(k+1)=1$;
$1/(k+1)-1=0$;
$(1-k-1)/(k+1)=0$;
$-k/(k+1)=0 <=> k=0$.

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

4)L’equazione $x^2+2(1-3m)x+1-9m^2=0$

a)abbia soluzioni reali, distinte o coincidenti;
b)abbia una soluzione uguale a $0$;
c)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.

Svolgimento
a)Deve risultare $\Delta>=0$

Studiamo l’equazione di secondo grado
$x^2+2(1-3m)x+1-9m^2=0$

$\Delta=b^2-4ac=(2-6m)^2-(4*(1-9m^2)*1)=4+36m^2-24m-(4-36m^2)=4+36m^2-24m-4+36m^2)=72m^2-24m$
Quindi
$\Delta>=0 <=> 72m^2-24m>=0 <=> 3m^2-m>=0 <=>  m(3m-1)>=0 <=> m<=0 ^^ m>=1/3$.

b)Deve risultare nullo il termine noto.
Nella nostra equazione il termine noto è : $1-9m^2$.
Vediamo per quali valori di $m$, quest’ultimo risulta nullo
$1-9m^2=0 <=> 9m^2=1 <=> m^2=1/9 <=> m=+-1/9$.

c)Deve quindi risultare $x_1x_2=1$, ovvero $C/A=1$
Nella nostra equazione si ha:
$C=1-9m^2 ^^ A=1$
Vediamo per quali valori di $m$, è verificata la seguente equazione
$1-9m^2=1$;
$-9m^2=0 => 9m^2=0 => m=0$.

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

L’equazione $(2k-1)x^2-x(2k+1)+k+1=0$

a)sia un’equazione di secondo grado;
b)abbia soluzioni reali, distinte o coincidenti;
c)abbia soluzioni reali inverse rispetto all’addizione;
d)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.

b)Deve risultare $\Delta>=0$.
$\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-(4*(2k-1)*(k+1))=4k^2+1+4k-4(2k^2+2k-k-1)=4k^2+1+4k-8k^2-4k+4=-4k^2+5$
Quindi
$\Delta>=0 <=> -4k^2+5>=0 <=> -4k^2>=-5 <=>  4k^2<=5 <=> -(sqrt5)/2<=k<=(sqrt5)/2$.

c)Deve risultare $x_1+x_2=1$ ovvero $-B/A=1$.
Nel nostro caso $B=-(2k+1) ^^ A=2k-1$.
Pertanto dobbiamo trovare i valori di $k$, per cui sia verificata l’equazione
$-B/A=(2k+1)/(2k-1)=1$
Risolviamo l’equazione
$(2k+1)/(2k-1)=1$;
$(2k+1)/(2k-1)-1=0$;
il m.c.m. è $2k-1$
$(2k+1-2k+1)/(2k-1)=0$;
$2/(2k-1)=0$.
Non esistono quindi valori di $k$ per cui $x_1+x_2=1$.

d)Deve risultare $x_1x_2=1$, ovvero $C/A=1$
Nel nostro caso $C=(k+1) ^^ A=2k-1$.
Pertanto dobbiamo trovare i valori di $k$, per cui sia verificata l’equazione
$C/A=(k+1)/(2k-1)=1$
Risolviamo l’equazione
$(k+1)/(2k-1)=1$;
$(k+1)/(2k-1)-1=0$;
il m.c.m. è $2k-1$
$(k+1-2k+1)/(2k-1)=0$;
$2-k/(2k-1)=0$.
L’equazione sarà verificata se e solo se $2-k=0$, cioè solo se $k=2$.

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

L’equazione $x^2+(h-2)x+5/4-h=0$

a)abbia una soluzione uguale a $0$;
b)abbia soluzioni reali e distinte
c)abbia soluzioni reali con somma $4$
d)abbia soluzioni reali il cui prodotto sia $-1$

Svolgimento
a)Deve risultare nullo il termine noto, cioè $C=0$.
Nel nostro caso $C=5/4-h$.
Bisogna trovare per quali valori di $h$ si verifica l’equazione
$5/4-h=0$
che si verifica per $h=5/4$.

b)Risolviamo l’equazione di secondo grado
$x^2+(h-2)x+5/4-h=0$;
$(4x^2+4(h-2)x+5-4h)/4=0$;
Moltiplichiamo ambo i membri per $4$
$4x^2+4(h-2)x+5-4h=0$
Deve risultare (\Delta)/4>0
$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(2h-4)^2-(4*(5-4h))=4h^2+16-16h-20+16h=4h^2-4=4(h^2-1)$
Quindi, affinchè l’equazione abbia soluzioni reali e distinte deve risultare
$4(h^2-1)>0$, cioè
$h^2-1>0 => h^2>1 => h<-1 vv h>1$.

c)Deve risultare $x_1+x_2=4$, ovvero $-B/A=4$
Dove $B=h-2 ^^ A=1$.
Pertanto
$-B/A=-h+2=4 => h=2$.

d)Deve risultare $x_1x_2=-1$, ovvero $C/A=-1$.
Nel nostro caso $C=5/4-h ^^ A=1$
Quindi dobbiamo trovare i valori di $h$, per cui vale l’equazione
$C/A=5/4-h=-1$;
il m.c.m. è $4$
$(5-4h+4)/4=0$;
Moltiplicando ambo i membri per $4$ e semplificando, si ha
$9-4h=0 => h=9/4$.

Determina i valori reali del parametro per i quali nell’equazione di incognita $x$ risultano
verificate le condizioni indicate

1)L’equazione $(k+1)x^2+(2k+1)x+1=0$

a)abbia soluzioni reali e distinte;
b)abbia soluzioni reali e coincidenti;
c)abbia soluzioni reali con somma $2$.

Svolgimento
a)Deve risultare il coefficiente di $x^2$ diverso da zero, e cioè:
$k+1!=0 => k!=-1$.
Se $k!=-1$ allora l’equazione $(k+1)x^2+(2k+1)x+1=0$ ammette soluzioni reali e distinte
se e solo se $\Delta>0$.

$\Delta=b^2-4ac=(2k+1)^2-(4*1*(k+1))=4k^2+1+4k-4k-4=4k^2-3$
Quindi
$\Delta>0 <=> 4k^2-3>0 <=> k<-(sqrt3)/2 ^^ k>(sqrt3)/2$.

b)Deve risultare $\Delta=0$

Abbiamo visto prima che $\Delta=4k^2-3$, quindi
$\Delta=0 <=> 4k^2-3=0 <=> k=+-(sqrt3)/2$.

c)Deve risultare $c=2$, ma nella nostra equazione abbiamo $c=1!=2$.
Pertanto non esiste alcun valore di $k$ che dia soluzioni reali con somma $2$.