Sono date cinque semirette $a$ , $b$, $c$ , $d$ , $e$, tutte di origine $O$ , formanti i quattro angoli congruenti $ab$, $bc$ , $cd$ , $de$. Su tali semirette prendi rispettivamente i punti …

Sono date cinque semirette $a$ , $b$, $c$ , $d$ , $e$, tutte di origine $O$ , formanti i quattro angoli congruenti $ab$, $bc$ , $cd$ , $de$. Su tali semirette prendi rispettivamente i punti $A$, $B$ , $C$, $D$ , $E$ in modo che sia $OA = OB = OC = OD = OE $ .

Dimostra che $AC = CE $ e $AB = BC = CD = DE$.

Svolgimento

Consideriamo i triangoli $AOE$ e $AOB$. Essi hanno:

$EO = BO$ per ipotesi;
$AO$ in comune;
$\hat{EOA} = \hat{AOB}$ per ipotesi;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $AOE$ e $AOB$ sono congruenti.

Possiamo dedurre quindi che $AE = AB$.

Seguiamo lo stesso ragionamento per i triangoli $BOC$, $COD$ e $DOE$, tutti tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente.

Abbiamo quindi dimostrato che $AB = BC = CD = DE = EA$.

Ora consideriamo i triangoli $AOC$ e $EOC$; essi hanno:

$EO = AO $ per ipotesi;
$OC$ in comune;
$\hat{EOC} = \hat{AOC}$ perché somme di angoli congruenti;

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $AOC$ e $EOC$ sono congruenti.

In particolare risulta che $AC = CE$.

Dato il triangolo $ABC$ e un punto $O$ esterno ad esso, siano $A’$ , $B’$ ,$C’$ rispettivamente i simmetrici di $A$ ,$B$ ,$C$ rispetto a $O$. Dimostra che …

Dato il triangolo $ABC$ e un punto $O$ esterno ad esso, siano $A’$ , $B’$ , $C’$ rispettivamente i simmetrici di $A$ , $B$ , $C$ rispetto a $O$.

Dimostra che i triangoli $ABC$ e $A’B’C’$ sono congruenti.

congruenza_triangoli

Svolgimento

Consideriamo i triangoli $BCO$ e $B’C’O$ ; essi hanno:

$BO = B’O$ per ipotesi (in quanto $O$ è il centro di simmetria);
$\hat{BOC} = \hat{B’OC’}$ perché angoli opposti al vertice;
$CO = C’O$ per ipotesi (in quanto $O$ è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $BCO$ e $B’C’O$ sono congruenti.

Da ciò si deduce che $BC = B’C’$ perché lati opposti ad angoli congruenti.

Ora consideriamo i triangoli $ABO$ e $A’B’O$. Essi hanno:

$AO = A’O$ per ipotesi (in quanto $O$ è il centro di simmetria);
$\hat{AOB} = \hat{A’OB’}$ perché angoli opposti al vertice;
$BO = B’O$ per ipotesi (in quanto $O$ è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $ABO$ e $A’B’O$ sono congruenti.

Segue che $AB = A’B’$ perché lati opposti ad angoli congruenti.

Ora consideriamo i triangoli $ACO$ e $A’C’O$. Essi hanno:

$AO = A’O$ per ipotesi (in quanto O è il centro di simmetria);
$\hat{AOC} = \hat{A’OC’}$ perché angoli opposti al vertice;
$CO = C’O$ per ipotesi (in quanto $O$ è il centro di simmetria);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $ACO$ e $A’C’O$ sono congruenti.

Possiamo dedurre quindi che $AC = A’C’$ .

Di conseguenza, i triangoli $ABC$ e $A’B’C’$ sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, avendo tre lati congruenti.

Due triangoli isosceli $ABC $ e $BCD$ hanno in comune la base $BC$ e i vertici $A$ e $D$ sono situati nello stesso semipiano di origine $BC$ , in modo che il triangolo $BCD$ sia contenuto in $ABC$…

Due triangoli isosceli $ABC $ e $BCD$ hanno in comune la base $BC$ e i vertici $A$ e $D$ sono situati nello stesso semipiano di origine $BC$ , in modo che il triangolo $BCD$ sia contenuto in $ABC$ . Dimostra che la semiretta di origine $A$ e passante per $D$ è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.

Svolgimento

Consideriamo i triangoli $ADB$ e $ADC$; essi hanno:

$AB = AC$ per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);
$\hat{ABD} = \hat{ACD}$ perché differenze di angoli congruenti;
$BD = CD$ per ipotesi (poiché lati di un triangolo isoscele);

Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $ADB$ e $ADC$ sono congruenti.

Essendo i due triangoli congruenti, si ha che $\hat{BAH} = \hat{CAH}$ e $\hat{ADB} = \hat{ADC}$.

Ora consideriamo i triangoli $DBH$ e $DCH$; possiamo affermare che $\hat{BHD} = \hat{CDH}$ perché angoli supplementari di angoli congruenti;

Abbiamo quindi dimostrato che la semiretta di origine $A$ e passante per $D$ è la bisettrice degli angoli al vertice dei due triangoli.

Dato un segmento $BC$ prendi, in uno stesso semipiano di origine $BC$ , due punti $A$ e $A’$ , in modo che …

Dato un segmento $BC$ prendi, in uno stesso semipiano di origine $BC$ , due punti $A$ e $A’$ , in modo che sia $ AB = A’C $ , $AC = A’B$ e $AB > AC$ . Sia $Q$ il punto d’intersezione dei segmenti $AB$ e $A’C$ . Dimostra che il triangolo $BCQ$ è isoscele e che i due triangoli $A’BQ$ e $ACQ$ sono congruenti.

congruenza_triangoli

Svolgimento

Consideriamo i triangoli $ACB$ e $A’BC$ . Essi hanno:

$ A’B = AC $ per ipotesi;
$BC$ in comune;
$ AB = A’C $ , per ipotesi.

Di conseguenza, per il per il terzo criterio di congruenza dei triangoli, avendo tre lati congruenti, i triangoli $ACB$ e $A’BC$ sono congruenti.

Si avrà quindi che $\hat{QBC} = \hat{QCB}$ , $\hat{ACB} = \hat{A’BC}$ , $\hat{BA’C} = \hat{CAB}$ .

Il triangolo $BCQ$ è quindi isoscele, perché avente gli angoli alla base congruenti $( \hat{QBC} = \hat{QCB}) $ . Di conseguenza, esso avrà anche due lati congruenti: $QB = QC $.

Ora consideriamo i triangoli $A’BQ$ e $ACQ$ . Essi hanno:

$\hat{BA’C} = \hat{CAB}$ per la precedente dimostrazione;
$\hat{A’BQ} = \hat{ACQ}$ perché differenze di angoli congruenti;
$A’B = AC $ per ipotesi.

Di conseguenza, per il per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, i triangoli $A’BQ$ e $ACQ$ sono congruenti.

Sia $ABC$ un triangolo isoscele di base $BC$ e siano rispettivamente $D$ e $E$ due punti dei lati $AB$ e $AC$ tali che $AD = AE $ ….

Sia $ABC$ un triangolo isoscele di base $BC$ e siano rispettivamente $D$ e $E$ due punti dei lati $AB$ e $AC$ tali che $AD = AE $ . Prolunga il segmento $DE$ di due segmenti $DH$ e $EK$ entrambi congruenti a $DE$ .

Dimostra che $HB = KC$ e che $HC = KB$ .

Svolgimento

Consideriamo i triangoli $BHD$ e $CKE$ ; essi hanno:

$HD = EK$ per ipotesi;
$DB = EC$ per costruzione, essendo $AD = AE $ due segmenti costruiti sui lati di un triangolo isoscele;
$\hat{HDB} = \hat{KEC}$ , poiché angoli opposti al vertice di angoli alla base di un triangolo isoscele $ (ADE) $

Di conseguenza, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $BHD$ e $CKE$ sono congruenti. Possiamo quindi affermare che $HB = KC$, poiché lati opposti ad angoli congruenti.

Consideriamo ora i triangoli $BHK$ e $CKH$ ; essi hanno:

$BH = CK $ per la precedente dimostrazione;
$HK$ in comune;
$\hat{BHK} = \hat{CKH}$ , per la precedente dimostrazione.

Di conseguenza, per il per il primo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso congruente, i triangoli $BHK$ e $CKH$ sono congruenti. In particolare risulta che $HC = KB$ poiché lati opposti ad angoli congruenti.

Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle formule di addizione e sottrazione. $ cos(π/3 + alpha) sin(π/6 – alpha) – sin(2/3 π – alpha) sin(π/3 + alpha) = – sqrt3 sin(alpha) cos(alpha) – frac(cos^2(alpha) – sin^2(alpha))(2) $

Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle formule di addizione e sottrazione.

$ cos(π/3 + alpha) sin(π/6 – alpha) – sin(2/3 π – alpha) sin(π/3 + alpha) = – sqrt3 sin(alpha) cos(alpha) – frac(cos^2(alpha) – sin^2(alpha))(2) $

Svolgimento

Nello svolgimento, lavoriamo con l’espressione del primo membro, cercando di modificarla per renderla uguale a quella del secondo.

Procediamo applicando le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno, ricordando che:

$ sin(alpha + beta) = sin(alpha) cos(beta) + cos(alpha) sin(beta) $

$ sin(alpha – beta) = sin(alpha) cos(beta) – cos(alpha) sin(beta) $

$ cos (alpha + beta) = cos(alpha) cos(beta) – sin(alpha) sin(beta) $

$ cos (alpha – beta) = cos(alpha) cos(beta) + sin(alpha) sin(beta) $

Quindi abbiamo:

$ [cos(π/3)cos(alpha) – sin(π/3)sin(alpha) ] [sin(π/6)cos(alpha) – cos(π/6)sin(alpha)] – [sin(2/3 π)cos(alpha) – cos(2/3 π)sin(alpha)] [sin(π/3)cos(alpha) + cos(π/3)sin(alpha)] $

$ [1/2 cos(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) ] [1/2cos(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha)] – [frac(sqrt3)(2) cos(alpha) + 1/2 sin(alpha)] [frac(sqrt3)(2) cos(alpha) + 1/2 sin(alpha)] $

Notiamo che al primo membro abbiamo due quadrati:

$ [1/2 cos(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) ]^2 – [frac(sqrt3)(2) cos(alpha) + 1/2 sin(alpha)]^2 $

Svolgiamo i quadrati:

$ (1/2 cos(alpha))^2 + (frac(sqrt3)(2) sin(alpha))^2 – 2*1/2*cos(alpha) * frac(sqrt3)(2) sin(alpha)- [(frac(sqrt3)(2) cos(alpha))^2 + (1/2 sin(alpha))^2 + 2 * frac(sqrt3)(2) cos(alpha) * frac(1)(2) sin(alpha)] = $

$ 1/4 cos^2(alpha) + 3/4 sin^2(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) cos(alpha) – [ 3/4 cos^2(alpha) + 1/4 sin^2(alpha) + frac(sqrt3)(2) cos(alpha) sin(alpha)] = $

$ 1/4 cos^2(alpha) + 3/4 sin^2(alpha) – frac(sqrt3)(2) sin(alpha) cos(alpha) – 3/4 cos^2(alpha) – 1/4 sin^2(alpha) – frac(sqrt3)(2) cos(alpha) sin(alpha) $

Calcoliamo il minimo comune multiplo al primo membro:

$ 1/4 {cos^2(alpha) + 3sin^2(alpha) – 2sqrt3 sin(alpha) cos(alpha) – 3 cos^2(alpha) – sin^2(alpha) – 2 sqrt3 cos(alpha) sin(alpha)} $

Sommiamo:

$ 1/4 { 2 sin^2(alpha) – 2 cos^2(alpha) – 4 sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) } $

Sdoppiamo il primo membro, in modo da ricondurlo alla forma del secondo:

$ 1/4 { 2 sin^2(alpha) – 2 cos^2(alpha)} – 1/4 {4 sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) } $

Semplifichiamo:

$ 1/2 { sin^2(alpha) – cos^2(alpha)} – sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) $

Cambiamo segno alla prima frazione:

$ – 1/2 { – sin^2(alpha) + cos^2(alpha)} – sqrt3 cos(alpha) sin(alpha) $

Tale espressione è equivalente a quella del secondo membro, quindi abbiamo ottenuto un’identità.

Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle relazioni fondamentali: $ frac(1)(1 + tg^2(alpha)) + 1 + tg^2(alpha) – 2 cos^2(alpha) – 2sin^2(alpha) = frac(sin^4(alpha))(cos^2(alpha)) $

Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle relazioni fondamentali:

$ frac(1)(1 + tg^2(alpha)) + 1 + tg^2(alpha) – 2 cos^2(alpha) – 2sin^2(alpha) = frac(sin^4(alpha))(cos^2(alpha)) $

Svolgimento

Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza:

$C.E.$

$ ∃ tg^2(alpha) to ∃ tg(alpha) to alpha ≠ π/2 + kπ $

$1 + tg^2(alpha) ≠ 0 to tg^2(alpha) ≠ -1 to ∀ alpha ∈ ℜ $

$ cos^2(alpha) ≠ 0 to tg(alpha) ≠ 0 to alpha ≠ π/2 + kπ $

Concludiamo : $alpha ≠ π/2 + kπ $

Trasformiamo ora in seno e coseno ed eseguiamo i calcoli; lavoriamo sull’espressione al primo membro:

$ frac(1)(1 + (frac(sin(alpha))(cos(alpha)))^2) + 1 + (frac(sin(alpha))(cos(alpha)))^2 – 2 cos^2(alpha) – 2sin^2(alpha) $

$ frac(1)(frac(cos^2(alpha) + sin^2(alpha))(cos^2(alpha))) + 1 + frac(sin^2(alpha))(cos^2(alpha)) – 2 cos^2(alpha) – 2sin^2(alpha) $

$ frac(cos^2(alpha))(cos^2(alpha) + sin^2(alpha)) + 1 + frac(sin^2(alpha))(cos^2(alpha)) – 2 cos^2(alpha) – 2sin^2(alpha) $

Notiamo che, dalla relazione fondamentale, abbiamo che $ cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1$:

$ frac(cos^2(alpha))(1) + 1 + frac(sin^2(alpha))(cos^2(alpha)) – 2 cos^2(alpha) – 2sin^2(alpha) $

$ cos^2(alpha) + 1 + frac(sin^2(alpha))(cos^2(alpha)) – 2 cos^2(alpha) – 2sin^2(alpha) $

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ frac(cos^2(alpha)* cos^2(alpha) + cos^2(alpha) + sin^2(alpha) – 2 cos^4(alpha) – 2 sin^2(alpha) cos^2(alpha))(cos^2(alpha)) $

$ frac(cos^4(alpha) + cos^2(alpha) + sin^2(alpha) – 2 cos^4(alpha) – 2 sin^2(alpha) cos^2(alpha))(cos^2(alpha)) $

$ frac( cos^2(alpha) – cos^4(alpha) + sin^2(alpha) – 2 sin^2(alpha) cos^2(alpha))(cos^2(alpha)) $

Trasformiamo il numeratore in funzione del seno, applicando cioè $ cos^2(alpha) = 1 – sin^2(alpha) $ :

$ frac( 1 – sin^2(alpha) – (1 – sin^2(alpha))^2 + sin^2(alpha) – 2 sin^2(alpha) [1 – sin^2(alpha)])(cos^2(alpha)) $

$ frac( 1 – sin^2(alpha) – (1 + sin^4(alpha) – 2 sin^2(alpha)) + sin^2(alpha) – 2 sin^2(alpha) + 2 sin^4(alpha))(cos^2(alpha)) $

$ frac( 1 – sin^2(alpha) – 1 – sin^4(alpha) + 2 sin^2(alpha) + sin^2(alpha) – 2 sin^2(alpha) + 2 sin^4(alpha))(cos^2(alpha)) $

$ frac( sin^4(alpha))(cos^2(alpha)) $

Tale espressione è uguale a quella del secondo membro, quindi abbiamo ottenuto l’identità.

Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle relazioni fondamentali: $ (frac(1)(tg(alpha)) + frac(1)(cotg(alpha))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 = frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + 2 $

Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle relazioni fondamentali:

$ (frac(1)(tg(alpha)) + frac(1)(cotg(alpha))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 = frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + 2 $

Svolgimento

Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza:

$C.E.$

$ ∃ tg(alpha) to alpha ≠ π/2 + kπ $

$ ∃ cotg(alpha) to alpha ≠ π + kπ $

$ cos(alpha) ≠ 0 to alpha ≠ π/2+ kπ $

$ sin(alpha) ≠ 0 to alpha ≠ π+ kπ $

Da cui: $alpha ≠ kπ/2 $

Procediamo trasformando tutto in seno e coseno; lavoriamo sull’espressione al primo membro:

$ (frac(1)( frac(sin(alpha))(cos(alpha)) ) + frac(1)(frac(cos(alpha))(sin(alpha)))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 $

$ ( frac(cos(alpha))(sin(alpha)) + frac(sin(alpha))(cos(alpha))) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 $

Calcoliamo il minimo comune multiplo dentro parentesi:

$ ( frac(cos(alpha)* cos(alpha) + sin(alpha) * sin(alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 $

$ ( frac(cos^2 (alpha) + sin^2 (alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (sin(alpha) + cos(alpha))^2 $

Svolgiamo il quadrato:

$ ( frac(cos^2 (alpha) + sin^2 (alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (sin^2(alpha) + cos^2(alpha) + 2sin(alpha) cos(alpha)) $

Trasformiamo $sin^2(alpha)$ in $1 – cos^2(alpha)$ :

$ ( frac(cos^2 (alpha) + 1 – cos^2(alpha) )(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (1 – cos^2(alpha) + cos^2(alpha) + 2sin(alpha) cos(alpha)) $

$ ( frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) ) * (1 + 2sin(alpha) cos(alpha)) $

Moltiplichiamo:

$ (frac((1 + 2sin(alpha) cos(alpha)))(sin(alpha) cos(alpha)) ) $

Possiamo sdoppiare il primo membro:

$ frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + frac(2sin(alpha) cos(alpha))(sin(alpha) cos(alpha)) $

Semplificando otteniamo:

$ frac(1)(sin(alpha) cos(alpha)) + 2 $

Essendo tale espressione uguale a quella del secondo membro, abbiamo ottenuto l’identità.

Se $ alpha$ è l’angolo indicato in figura, calcolare: ….

Se $ alpha$ è l’angolo indicato in figura, calcolare:

a) $3 sqrt(13) * (tg(alpha) + cos(alpha)) + 9 $ ;

b) $3 sqrt(13) * (sin(alpha) + sec(alpha)) $

Svolgimento

Sappiamo che, essendo per definizione la cotangente di un angolo l’ascissa del punto di intersezione fra la retta tangente la circonferenza nel punto $(0;1)$ e la retta passante per l’estremo dell’arco, sappiamo che:

$ cotg(alpha) = – 3/2 $

Ricaviamo quindi la tangente dell’angolo:

$ tg(alpha) = frac(1)(cotg(alpha)) = frac(1)(- 3/2) = – 2/3 $

Troviamo ora il seno e il coseno dell’angolo, sapendo che, poiché esso si trova nel secondo quadrante, il primo sarà positivo, mentre il secondo negativo:

$cos(alpha) = – frac(1)(sqrt(1 + tg^2(alpha))) = – frac(1)(sqrt(1 + (- 2/3)^2)) = $

$ – frac(1)(sqrt(1 + 4/9)) = – sqrt(9/(13)) = – frac(3)(sqrt(13)) $

$ sin(alpha) = sqrt(1 – cos^2(alpha)) = sqrt(1 – (- frac(3)(sqrt(13)))^2) = sqrt(1 – 9/(13)) = $

$ sqrt(4/(13)) = frac(2)(sqrt(13)) $

Svolgimento (a)

Per risolvere tale quesito, abbiamo bisogno del coseno dell’angolo $alpha$ e della sua tangente; poiché abbiamo già questi valori, possiamo procedere alla sostituzione:

$3 sqrt(13) * (tg(alpha) + cos(alpha)) + 9 $

$3 sqrt(13) * ( – 2/3 – frac(3)(sqrt(13))) + 9 = $

$3 sqrt(13) * frac(-2sqrt(13) – 9)(3 sqrt(13)) + 9 = $

$ -2sqrt(13) – 9 + 9 = – 2 sqrt(13)$

Svolgimento (b)

In questo caso abbiamo bisogno del seno dell’angolo $alpha$ e della sua secante; abbiamo tutti i dati necessari per poter ricavare questi valori.

Troviamo quindi la secante dell’angolo:

$ sec(alpha) = frac(1)(cos(alpha)) = frac(1)(- frac(3)(sqrt(13))) = – frac(sqrt(13))(3) $

$3 sqrt(13) * (sin(alpha) + sec(alpha)) = 3 sqrt(13) * ( frac(2)(sqrt(13)) – frac(sqrt(13))(3)) = $

$3 sqrt(13) * ( frac(6 – 13)(3sqrt(13)) ) = – 7 $

Determinare per quale valore del parametro $k$ la retta del fascio $(k – 1)x + 3 ky – 5k = 0 $ forma con il semiasse positivo delle ascisse: …

Determinare per quale valore del parametro $k$ la retta del fascio

$(k – 1)x + 3 ky – 5k = 0 $

forma con il semiasse positivo delle ascisse:

un angolo di $30°$;
un angolo di $45°$;
un angolo di $60°$;
un angolo $alpha$ tale che $ cos(alpha) = – frac(1)(sqrt5) $

Svolgimento (1)

In questo caso, sappiamo che l’angolo in questione, che chiamiamo $x$ , formato da una retta del fascio con il semiasse positivo delle ascisse misura $30°$.

Poiché questo è un angolo noto, sappiamo le sue funzioni goniometriche:

$ cos(x) = cos(30°) = frac(sqrt3)(2) $

$ sin(x) = sin(30°) = frac(1)(2) $

$ tg(x) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac(1/2)(frac(sqrt3)(2)) = 1/2 * frac(2)(sqrt3) = frac(1)(sqrt3) = frac(sqrt3)(3) $

Sappiamo che la tangente dell’angolo corrisponde al coefficiente angolare della retta, quindi:

$ tg(x) = m $

Sapendo che il coefficiente angolare di una retta è dato dalla formula

$ m = – a/b $

ricaviamo il coefficiente angolare del fascio in funzione di $k$ :

$ m = – frac(k – 1)(3k) $

Uguagliamo il valore della tangente al coefficiente angolare per trovare k:

$ – frac(k – 1)(3k) = frac(sqrt3)(3) $

Poniamo $k != 0$ :

$ – k + 1 = sqrt3 k $

$ – k + 1 – sqrt3 k = 0$

$ (1 + sqrt3) k – 1 = 0 to k = frac(1)(1 + sqrt3) $

Razionalizziamo:

$ k = frac(1)(1 + sqrt3) * frac(1 – sqrt3)(1 – sqrt3) = frac(1 – sqrt3)((1 + sqrt3)(1 – sqrt3)) = $

$ frac(1 – sqrt3)(1 – 3) = frac(1 – sqrt3)(- 2) = frac(sqrt3 – 1)(2) $

Svolgimento (2)

Applichiamo lo stesso procedimento nel caso in cui l’angolo formato sia di $45°$ :

$ cos(y) = cos(45°) = frac(sqrt2)(2) $

$ sin(y) = sin(45°) = frac(sqrt2)(2) $

$ tg(y) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac (frac(sqrt2)(2))(frac(sqrt2)(2)) = frac(sqrt2)(2) * frac(2)(sqrt2) = 1 $

$ tg(y) = m = – frac(k – 1)(3k) $

$ – frac(k – 1)(3k) = 1$

$ – frac(k – 1)(3k) – 1 = 0 $

$ – k + 1 – 3k = 0 to k = 1/4 $

Svolgimento (3)

Applichiamo lo stesso procedimento nel caso in cui l’angolo formato sia di $60°$ :

$ cos(gamma) = cos(60°) = frac(1)(2) $

$ sin(gamma) = sin(60°) = frac(sqrt3)(2) $

$ tg(gamma) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac (frac(sqrt3)(2))(frac(1)(2)) = frac(sqrt3)(2) * 2 = sqrt3 $

$ tg(gamma) = m = – frac(k – 1)(3k) $

$ – frac(k – 1)(3k) = sqrt3 $

$ – frac(k – 1)(3k) – sqrt3 = 0 $

$ – k + 1 – 3sqrt3 k = 0 $

$ (1 + 3sqrt3) k – 1 = 0 to k = frac(1)(1 + 3sqrt3) $

Razionalizziamo:

$k = frac(1)(1 + 3sqrt3) * frac(1 – 3sqrt3)(1 – 3sqrt3) = frac(1 – 3sqrt3)((1 + 3sqrt3)(1 – 3sqrt3)) = $

$ frac(1 – 3sqrt3)(1- 27) = frac(1 – 3sqrt3)(- 26) = frac(3sqrt3 – 1)(26) $

Svolgimento (4)

Troviamo ora il valore di $k$ nel caso in cui l’angolo formato sia un angolo $alpha$ tale che $cos(alpha) = – frac(1)(sqrt5) $ . Troviamo il suo seno e la tangente:

$ sin(alpha) = sqrt(1 – cos^2(alpha)) = sqrt(1 – (- frac(1)(sqrt5))^2) = sqrt(1 – 1/5) = $

$ sqrt(4/5) = frac(2)(sqrt5) $

$ tg(alpha) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac (frac(2)(sqrt5))(-frac(1)(sqrt5)) = frac(2)(sqrt5) * (- sqrt5) = -2 $

Uguagliamo questo valore della tangente al coefficiente angolare del fascio:

$ – frac(k – 1)(3k) = -2 $

$ frac(k – 1)(3k) = 2 $

$ frac(k – 1)(3k) – 2 = 0 $

$ k – 1 – 6k = 0 to k = – 1/5$

Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione $ cos(x) = frac(2 – k)(k) $ determinare: …

Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale $k$ affinché abbia significato la relazione

$ cos(x) = frac(2 – k)(k) $

determinare:

quali valori può assumere $k$ se $ x ∈ [ π ; 3/2 π] $ ;
se $ x ∈ [ π ; 3/2 π ) $ qual è l’espressione di $tg(x)$ in funzione di $k$ ;
quali valori può assumere $k$ se $ x ∈ [ – π/2 ; 0 ) $ e qual è l’espressione di $cotg(x)$ in funzione di $k$ .

Svolgimento (0)

Sapendo che il seno di un angolo è un valore compreso tra $-1$ e $1$ , sappiamo che $cos(x)$ deve essere compreso in questo intervallo; quindi:

$ -1 ≤ cos(x) ≤ 1 $

$ -1 ≤ frac(2 – k)(k) ≤ 1 $

Determiniamo le condizioni di esistenza, risolvendo la disequazione scomponendola e mettendola a sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{2 – k}{k} ≥ – 1 &\\
\frac{2 – k}{k} ≤ 1 &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo la prima disequazione:

$ frac(2 – k)(k) ≥ – 1 $

$ frac(2 – k)(k) + 1 ≥ 0 $

$ frac(2 – k + k)(k) ≥ 0 $

$ frac(2)(k) ≥ 0 $

$ N ≥ 0 to 2 ≥ 0 ∀ k ∈ ℜ $

$ D > 0 to k > 0 $

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi: $ k > 0$

Passiamo ora alla seconda disequazione:

$ frac(2 – k)(k) ≤ 1 $

$ frac(2 – k)(k) – 1 ≤ 0 $

$ frac(2 – k – k)(k) ≤ 0 $

$ frac(2 – 2k)(k) ≤ 0 $

$ N ≥ 0 to 2 – 2k ≥ 0 to k ≤ 1 $

$ D > 0 to k > 0 $

Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:

studio_del_segno

$ k < 0 ∨ k ≥ 1$

Passiamo al sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
k > 0 &\\
k < 0 ∨ k ≥ 1 &
\end{array}\right.
$$

Affinché la relazione abbia significato deve essere che $ k ≥ 1 $ .

Svolgimento (1)

Poiché in questo caso abbiamo un intervallo di $x$ , cioè $ x ∈ [π ; 3/2 π ] $ , troviamo i valori di $cos(x )$ in questi angolo, che sono gli estremi dell’intervallo:

$ x = π to cos(x) = cos(180°) = -1 $

$ x = 3/2 π to cos(x) = cos(3/2 π) = cos(270°) = 0 $

Abbiamo quindi che $cos(x)$ deve essere compreso nell’intervallo fra $-1$ e $0$ :

$ -1 ≤ cos(x) ≤ 0 $

$ -1 ≤ frac(2 – k)(k) ≤ 0 $

Risolviamo la disequazione come fatto in precedenza:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{2 – k}{k} ≥ – 1 &\\
\frac{2 – k}{k} ≤ 0 &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo la prima disequazione.

$ frac(2 – k)(k) ≥ – 1 $

$ frac(2 – k)(k) + 1 ≥ 0 $

$ frac(2 – k + k)(k) ≥ 0 $

$ frac(2)(k) ≥ 0 $

$ N ≥ 0 to 2 ≥ 0 ∀ k ∈ ℜ $

$ D > 0 to k > 0 $

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi: $ k > 0$

Passiamo alla seconda:

$ frac(2 – k)(k) ≤ 0 $

$ N ≥ 0 to 2 – k ≥ 0 to k ≤ 2 $

$ D > 0 to k > 0 $

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi: $k < 0 ∨ k ≥ 2 $

Mettiamo a sistema le soluzioni ottenute:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
k > 0 &\\
k < 0 ∨ k ≥ 2&
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le soluzioni:

$ k ≥ 2 $

Svolgimento (2)

Essendo $x ∈ [ π ; 3/2 π ) $ sappiamo che l’angolo appartiene al terzo quadrante, poiché abbiamo che $π = 180°$ e $3/2 π = 270° $ .

La tangente di quest’angolo, che ha seno e coseno negativi, è positiva, quindi abbiamo che:

$ tg(x) = frac(sin(x))(cos(x)) $

Determiniamo il seno dell’angolo:

$ sin(x) = – sqrt(1 – cos^2(x)) = – sqrt(1 – (frac(2 – k)(k))^2) = – sqrt(1 – frac(4 + k^2 – 4k)(k^2)) = $

$ – sqrt( frac(k^2 – 4 – k^2 + 4k)(k^2) ) = – sqrt(frac(- 4 + 4k)(k^2)) $

Avendo posto come condizione di esistenza $k >= 1$ , possiamo portate il quadrato fuori radice:

$ – sqrt(frac(- 4 + 4k)(k^2)) = – frac(sqrt(4(k – 1)))(k) = – frac(2 sqrt(k – 1))(k) $

Troviamo ora la tangente dell’angolo:

$ tg(x) = frac(sin(x))(cos(x)) = frac(- frac(2 sqrt(k – 1))(k))(frac(2 – k)(k)) = $

$ – frac(2 sqrt(k – 1))(k) * frac(k)(2 – k) = – frac(2 sqrt(k – 1))(2 – k) = frac(2 sqrt(k – 1))(k – 2) $

Svolgimento (3)

Essendo $x ∈ [ – π/2 ; 0 ) $ , troviamo i valori di $cos(x)$ in questi angolo, che sono gli estremi dell’intervallo:

$ x = – π/2 to cos(x) = cos(270°) = 0 $

$ x = 0 to cos(x) = cos(0°) = 1 $

Abbiamo quindi che $cos(x)$ deve essere compreso nell’intervallo fra $0$ e $1$ :

$ 0 ≤ cos(x) ≤ 1 $

$ 0 ≤ frac(2 – k)(k) ≤ 1 $

Risolviamo impostando un sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{2 – k}{k} ≥ 0 &\\
\frac{2 – k}{k} ≤ 1 &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo la prima disequazione:

$ frac(2 – k)(k) ≥ 0$

$ N ≥ 0 to 2 – k ≥ 0 to k ≤ 2 $

$ D > 0 to k > 0$

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi: $ 0 < k ≤ 2 $

Passiamo alla seconda:

$ frac(2 – k)(k) < 1 $

$ frac(2 – k)(k) – 1 < 0 $

$ frac(2 – k – k)(k) < 0 $

$ frac(2 – 2k)(k) < 0 $

$ N > 0 to 2 – 2k > 0 to k < 1 $

$ D > 0 to k > 0 $

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi: $ k < 0 ∨ k > 1 $

Mettiamo a sistema le soluzioni:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
0 < k ≤ 2 &\\
k < 0 ∨ k > 1&
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le soluzioni:

$ 1 < k ≤ 2 $

Considerando l’intervallo in cui è compresa $x$ , sappiamo che l’angolo si trova nel quarto quadrante, con coseno positivo e seno negativo:

$ cos(x) = frac(2 – k)(k) , sin(x) = – frac(2 sqrt(k – 2))(k) $

Determiniamo $cotg(x)$ in funzione di $k$ :

$ cotg(x) = frac(cos(x))(sin(x)) = frac(frac(2 – k)(k))(- frac(2 sqrt(k – 1))(k)) = $

$ frac(2 – k)(k) * (- frac(k)(2 sqrt(k – 1))) = – frac(2 – k)(2 sqrt(k – 1)) = frac(k – 2)(2 sqrt(k – 1)) $

Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione $sin(x) = frac(k)(k-1) $ determinare: …

Dopo aver determinato quali valori può assumere il parametro reale k affinché abbia significato la relazione

$sin(x) = frac(k)(k-1) $

determinare:

Quali valori può assumere $k$ se $ x ∈ [ 0 ; π/6]$ ;
Se $ x ∈ [ π/2 ; π] $ qual è l’espressione di $cos(x)$ in funzione di $k$ ;
Se $ x ∈ [ – π/2 ; 0] $ qual è l’espressione di $cos(x)$ in funzione di $k$ ;

Svolgimento (0)

Sapendo che il seno di un angolo è un valore compreso tra $-1$ e $1$ , sappiamo che $sin(x)$ deve essere compreso in questo intervallo; quindi:

$ -1 ≤ sin(x) ≤ 1 $

$ -1 ≤ frac(k)(k-1) ≤ 1 $

Determiniamo le condizioni di esistenza, risolvendo la disequazione scomponendola e mettendola a sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
k ≠ 1 &\\
-1 ≤ \frac{k}{k-1} ≤ 1 &
\end{array}\right.
$$

Nel nostro sistema, la disequazione può essere scomposta nel seguente modo:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{k}{k-1} ≥ – 1 &\\
\frac{k}{k-1} ≤ 1 &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo la prima disequazione:

$ frac(k)(k-1) ≥ – 1 $

$ frac(k)(k-1) + 1 ≥ 0 $

$ frac(k + k – 1)(k-1) ≥ 0 $

$ frac(2k – 1)(k-1) ≥ 0 $

$ N ≥ 0$

$ 2k – 1 ≥ 0 to k ≥ 1/2 $

$ D > 0$

$ k -1 > 0 to k > 1$

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

$ k ≤ 1/2 ∨ k > 1 $

Passiamo ora alla seconda disequazione:

$ frac(k)(k-1) ≤ 1 $

$ frac(k)(k-1) – 1 ≤ 0 $

$ frac(k – k – 1)(k-1) ≤ 0 $

$ frac(1)(k-1) ≤ 0 $

$ N ≥ 0$

$ 1 ≥ 0 to ∀ k ∈ ℜ $

$ D > 0$

$ k -1 > 0 to k > 1$

Sudiamo il segno e determiniamo le soluzioni prendendo questa volta gli intervalli negativi:

studio_del_segno

$ k > 1 $

Torniamo al sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
k ≤ 1/2 ∨ k > 1 &\\
k < 1 &
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le soluzioni, ricordando che oltre alle condizioni del sistema, dobbiamo porre $ k ≠ 1 $ :

La relazione, quindi, ha significato solo per $ k <= 1/2 $ .

Svolgimento (1)

Poiché in questo caso abbiamo un intervallo di $x$ , cioè $ x ∈ [0 ; π/6] $ , troviamo i valori di $sin(x)$ in questi angolo, che sono gli estremi dell’intervallo:

$ x = 0 to sin(x) = sin(0°) = 0 $

$ x = π/6 to sin(x) = sin(π/6) = sin(30°) = 1/2 $

Abbiamo quindi che $sin(x)$ deve essere compreso nell’intervallo fra $0$ e $1/2$

$ 0 ≤ sin(x) ≤ 1/2 $

$ 0 ≤ frac(k)(k-1) ≤ 1/2 $

Risolviamo la disequazione come fatto in precedenza:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{k}{k-1} ≥ 0 &\\
\frac{k}{k-1} ≤ 1/2 &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo la prima disequazione:

$ frac(k)(k-1) ≥ 0 $

$ N ≥ 0 to k ≥ 0 $

$ D > 0 to k – 1 > 0 to k > 1 $

Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:

studio_del_segno

$ k ≤ 0 ∨ k > 1 $

Passiamo alla seconda disequazione:

$ frac(k)(k-1) ≤ 1/2 $

$ frac(k)(k-1) – 1/2 ≤ 0 $

$ frac(2k – k + 1)(k-1) ≤ 0 $

$ frac(k + 1)(k-1) ≤ 0 $

$ N ≥ 0 to k + 1 ≥ 0 to k ≥ – 1$

$ D > 0 to k – 1 ≥ 0 to k > 1 $

Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli negativi:

studio_del_segno

$ – 1 ≤ k < 1 $

Torniamo al sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
k ≤ 0 ∨ k > 1 &\\
– 1 ≤ k < 1 &
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le soluzioni:

$ – 1 ≤ k ≤ 0 $

Svolgimento (2)

Nel caso in cui $x ∈ [π/2 ; π] $ , sappiamo che, poiché $ π/2 = 90° $ e $π = 180°$ , l’angolo in questione si troverà nel secondo quadrante, e avrà quindi seno positivo e coseno negativo.

Determiniamo quindi il suo coseno in funzione di $k$:

$ cos(x) = – sqrt(1 – sin^2(x)) = – sqrt(1 – (frac(k)(k-1))^2) = – sqrt(1 – frac(k^2)(k^2 + 1 – 2k)) $

$ = – sqrt( frac(k^2 + 1 – 2k – k^2)(k^2 + 1 – 2k) ) = – sqrt(frac(1 – 2k)(k^2 + 1 – 2k)) $

$ = – sqrt(frac(1 – 2k)((k-1)^2)) $

Sapendo che $k$ deve essere minore di $1/2$ per le condizioni poste in precedenza, possiamo portare il quadrato fuori radice solo rendendolo positivo, cioè cambiandogli segno:

$ – sqrt(frac(1 – 2k)((k-1)^2)) = – frac(sqrt(1 – 2k))(1 – k) = frac(sqrt(1 – 2k))(k – 1) $

Svolgimento (3)

Se $ x ∈ [- π/2 ; 0] $ , sappiamo che l’angolo si trova nel quarto quadrante, poiché $ – π/2 = 3/2 π = 270° $ .

Abbiamo quindi seno negativo e coseno positivo:

$ cos(x) = sqrt(1 – sin^2(x)) = sqrt(1 – (frac(k)(k-1))^2) = sqrt(1 – frac(k^2)(k^2 + 1 – 2k)) = $

$ sqrt( frac(k^2 + 1 – 2k – k^2)(k^2 + 1 – 2k) ) = sqrt(frac(1 – 2k)(k^2 + 1 – 2k)) = $

$ sqrt(frac(1 – 2k)((k-1)^2)) = frac(sqrt(1 – 2k))(1 – k) $

Risolvere la seguente disequazione goniometrica: $sin^2(x/2) – (sqrt3 – 1) sin(x/2) cos(x/2) – sqrt3 cos^2(x/2) ≤ 0 $

Risolvere la seguente disequazione goniometrica:

$sin^2(x/2) – (sqrt3 – 1) sin(x/2) cos(x/2) – sqrt3 cos^2(x/2) ≤ 0 $

Svolgimento

Risolviamo la disequazione dividendo entrambi i membri per $cos^2(x/2)$ :

$ frac(sin^2(x/2) – (sqrt3 – 1) sin(x/2) cos(x/2) – sqrt3 cos^2(x/2))(cos^2(x/2)) ≤ 0 $

Poniamo le condizioni di esistenza:

$ cos^2(x/2) ≠ 0 to cos(x/2) ≠ 0 to x/2 ≠ π/2 + kπ to $

$ x ≠ π + 2kπ $

Ora risolviamo la disequazione:

$ frac(sin^2(x/2))((cos^2(x/2))) – frac((sqrt3 – 1) sin(x/2) cos(x/2))((cos^2(x/2))) – frac(sqrt3 cos^2(x/2))(cos^2(x/2)) ≤ 0$

$ frac(sin^2(x/2))((cos^2(x/2))) – frac((sqrt3 – 1) sin(x/2))((cos(x/2))) – sqrt3 ≤ 0 $

Trasformiamo in tangente:

$ tg^2(x/2) – (sqrt3 – 1) tg(x/2) – sqrt3 ≤ 0 $

Passiamo all’equazione associata:

$ tg^2(x/2) – (sqrt3 – 1) tg(x/2) – sqrt3 = 0 $

Determiniamo le soluzioni:

$ tg(x/2) = frac(-b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) = frac( sqrt3 – 1 ± sqrt((sqrt3 – 1)^2 – 4*(-sqrt3)))(2) =$

$frac( sqrt3 – 1 ± sqrt( 3 + 1 – 2sqrt3 + 4sqrt3))(2) = frac( sqrt3 – 1 ± sqrt( 3 + 1 + 2sqrt3))(2)$

Notiamo che sotto radice abbiamo il quadrato svolto di un binomio:

$ frac( sqrt3 – 1 ± sqrt((sqrt3 + 1)^2))(2) = frac( sqrt3 – 1 ± (sqrt3 + 1))(2) $

Abbiamo quindi:

$ tg_1 (x/2) = frac( sqrt3 – 1 + (sqrt3 + 1))(2) = frac( sqrt3 – 1 + sqrt3 + 1)(2) = $

$ frac(2sqrt3)(2) = sqrt3 $

$ tg_2 (x/2) = frac( sqrt3 – 1 – (sqrt3 + 1))(2) = frac( sqrt3 – 1 – sqrt3 – 1)(2) = $

$ frac(-2)(2) = -1 $

Essendo la disequazione minore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli interni alle radici dell’equazione associata:

$ -1 ≤ tg(x/2) ≤ sqrt3 $

Rappresentiamo la situazione sulla circonferenza goniometrica:

circonferenza_goniometrica

Avremmo quindi che:

$ – π/4 + kπ ≤ x/2 ≤ π/3 + kπ $

Moltiplicando per due otteniamo l’intervallo di x:

$ – π/2 + 2kπ ≤ x ≤ 2/3 π + 2kπ $

Il quadrilatero $OABC$ ha vertici in $O(0;0)$ , $A(1;1)$ , $B (2 ; 3/2)$ , e il vertice $c$ sul semiasse positivo delle $x$ . …

Il quadrilatero $OABC$ ha vertici in $O(0;0)$ , $A(1;1)$ , $B (2 ; 3/2)$ , e il vertice $C$ sul semiasse positivo delle $x$ . Sapendo che , detta $ alpha$ l’ampiezza dell’angolo $\hat{OCB}$ , risulta $ tg(alpha) = 3/4$ , determinare le coordinate di $C$ e le tangenti degli angoli $\hat{OCA}$ e $\hat{ACB}$ .

Svolgimento

Sapendo che $ tg(alpha) = 3/4$ possiamo affermare che il coefficiente angolare della retta $BC$ è

$ m = – tg(alpha) = – 3/4 $

Possiamo trovare l’equazione della retta $BC$ :

$ BC : y – y_0 = m (x – x_0 ) to y – 3/2 = – 3/4 (x – 2 )$

$ y – 3/2 = – 3/4 x + 3/2 to 4y – 6 = – 3x + 6 $

$ BC : 3x + 4y – 12 = 0 $

Possiamo trovare le coordinate del punto $C$ sapendo che esso è il punto di intersezione della retta $BC$ con l’asse $x$ :

$ BC ∩ y = 0 $

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
3x + 4y – 12 = 0 &\\
y = 0 &
\end{array}\right.
$$

Sostituendo il valore di $y$ nella prima equazione si ottiene:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = 4 &\\
y = 0 &
\end{array}\right.
$$

Abbiamo quindi il punto $C$ di coordinate $(4;0)$ .

Ora, l’angolo $\hat{OCA}$ è il supplementare dell’angolo $beta$ che la retta $AC$ forma con la direzione positiva dell’asse $x$ , e poiché la retta $AC$ ha coefficiente angolare $- 1/3$ , si ha che:

$ tg(\hat{OCA}) = – tg(beta) = – (- 1/3) = 1/3 $

Possiamo trovare la tangente dell’angolo $\hat{ACB}$ utilizzando la formula

$ tg(x) = frac(m – m’)(1 + m m’) $

sapendo che l’angolo in questione è formato dalle rette $AC$ e $CB$ , di coefficiente angolare rispettivamente uguale a $- 1/3$ e $- 3/4$ :

$ tg(\hat{ACB}) = frac( -1/3 – (- 3/4))(1 – 1/3 * (- 3/4)) = frac(- 1/3 + 3/4)(1 + 1/4) = $

$ frac(frac(-4+9)(12))(frac(4+1)(4)) = frac(5)(12) * 4/5 = 1/3 $

Scrivere l’equazione della parabola γ avente asse di simmetria parallelo all’asse $y$ e passante per i punti $A(-1 ; 0)$, $B(4 ; 5)$ e $D(3 ; 0)$….

Scrivere l’equazione della parabola $γ$ avente asse di simmetria parallelo all’asse $y$ e passante per i punti $A(-1 ; 0)$, $B(4 ; 5)$ e $D(3 ; 0)$ .

Quindi rispondere ai seguenti quesiti:

determinare le equazioni delle rette $t_1$ e $t_2$ tangenti a $γ$ in $A$ e $B$ e indicare con $C$ il punto d’intersezione tra $t_1$ e $t_2$;
verificare che la retta $MC$ , congiungente $C$ con il punto medio $M$ del lato $AB$ del triangolo $ABC$ , è parallela all’asse di $γ$ .

Svolgimento (0)

Sappiamo che, poiché la parabola ha asse di simmetria parallelo all’asse $y$ , la sua equazione sarà del tipo $y = ax^2 + bx + c$ . Imponiamo il passaggio della parabola per i tre punti assegnati:

$ A ∈ γ to 0 = a – b + c$

$ B ∈ γ to 5 = 16a + 4b + c$

$ D ∈ γ to 0 = 9a + 3b + c$

Mettiamo a sistema le tre equazioni per determinare l’equazione della parabola:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a – b + c = 0 & \\
16 a + 4b + c = 5 & \\
9a + 3b + c = 0 &
\end{array}
\right.
$$

Possiamo cominciare effettuando una sottrazione fra la seconda e la terza equazione:

$ [ 16a + 4b + c = 5 ] + [ – 9a – 3b – c = 0 ] to 7a + b = 5 $

Da questa equazione ricaviamo $b$ :

$ b = 5 – 7a $

Sostituiamo questo valore di b alla prima e alla terza equazione:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
a – (5 – 7a) + c = 0 &\\
9a + 3 (5 – 7a) + c = 0 &
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
8a + c -5 = 0 &\\
-12 a + c + 15 = 0 &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo per sottrazione:

$ [ 8a + c – 5 = 0 ] + [ 12a – c – 15 = 0 ] to 20a – 20 = 0 $

Da cui : $ a = 1 $

Possiamo ora determinare il valore di $b$ :

$b = 5 – 7a = 5 – 7 = – 2 $

Troviamo il valore di $c$ :

$ c = 5 – 8a = 5 – 8 = – 3 $

Determiniamo l’equazione della parabola:

$ γ : y = x^2 – 2x – 3 $

$ V (- frac(b)(2a) ; – frac(∆)(4a) ) to V (1 ; – 4) $

Possiamo ora rappresentare la parabola nel piano cartesiano:

parabola

Ora, rispondiamo ai quesiti:

Svolgimento (1)

Sappiamo che $t_1$ è la tangente in $A$ , mentre $t_2$ la tangente nel punto $B$.

Avendo le coordinate dei punti in questione, possiamo utilizzare la formula di sdoppiamento, con la quale troviamo la tangente alla parabola in un punto dato:

$t : frac(y + y_0)(2) = ax x_0 + b frac(x + x_0)(2) + c $

$t_1 : frac(y + y_A)(2) = ax x_A + b frac(x + x_A)(2) + c $

$t_1 : frac(y + 0)(2) = x (-1) – 2 frac(x – 1)(2) – 3 $

$t_1 : frac(y)(2) = – x – x + 1 – 3 $

$t_1 : frac(y)(2) = – 2x – 2 $

$t_1 : y = – 4x – 4 $

Applichiamo la stessa formula per trovare l’altra tangente:

$t_2 : frac(y + y_B)(2) = ax x_B + b frac(x + x_B)(2) + c $

$t_2 : frac(y + 5)(2) = x * 4 – 2 frac(x + 4)(2) – 3 $

$t_2 : frac(y + 5)(2) = 4x – x – 4 – 3 $

$t_2 : frac(y + 5)(2) = 3x – 7 $

$t_2 : y + 5 = 6x – 14 $

$t_2 : y = 6x – 19$

Determiniamo le coordinate del punto $C$ , punto di intersezione fra le due tangenti, impostando un sistema fra esse:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = – 4x – 4 &\\
y = 6x – 19 &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo con il metodo del confronto:

$ -4x – 4 = 6x – 19 $

$ -4x -6x = 4 – 19 $

$ -10x = – 15 to x = frac(15)(10) = 3/2 $

$ y = -4x – 4 = -4 * 3/2 – 4 = -6-4 = -10 $

Abbiamo quindi il punto $C$ di coordinate $ (3/2 ; – 10) $ .

parabola

Svolgimento (2)

Troviamo il punto medio di $AB$:

$ x_M = frac(x_A + x_B)(2) = frac(-1 + 4 )(2) = 3/2 $

$ y_M = frac(y_A + y_B)(2) = frac( 0 + 5 )(2) = 5/2 $

$ M (3/2 ; 5/2)$

Verifichiamo che la retta $MC$ è parallela all’asse della parabola; l’asse della parabola è parallelo all’asse $y$ .

Notiamo che il punto $M$ e il punto $C$ hanno la stessa ascissa, quindi sappiamo che la retta $MC$ ha equazione $x = 3/2$ , ed è dunque parallela all’asse $y$.

Di conseguenza, essendo entrambe le rette parallele all’asse $y$, saranno sicuramente parallele fra loro.

Data la retta $ y = 1/2 x – 3$ , determinare le equazioni delle rette $t$ e $s$ passanti per l’origine e che formano con $r$ angoli di $30°$.

Verificare, tramite la formula che determina la tangente dell’angolo ottuso formato da due rette, che l’angolo formato da $s$ e $t$ è di $120°$ .

Svolgimento (1)

Sapendo che le rette che stiamo cercando passano per l’origine degli assi, possiamo scrivere la loro equazione generica in questo modo:

$ y = mx $

La formula che determina la tangente dell’angolo ottuso formato da due rette è la seguente:

$ tg(x) = frac(m – m’)(1 + m m’) $

Poiché l’angolo formato con la retta $r$ misura $30°$ , sappiamo che la sua tangente vale $ frac(sqrt3)(3) $ .

Abbiamo inoltre che $m$ , cioè il coefficiente angolare della retta $r$ , vale $1/2$ ; applichiamo quindi la formula (non conoscendo il segno di $m’$ , mettiamo il tutto in valore assoluto):

$frac(sqrt3)(3) = | frac(1/2 – m’)(1 + 1/2 m’) |$

Svolgiamo i calcoli:

$frac(sqrt3)(3) = | frac(frac(1 – 2m’)(2))( frac(2 + m’)(2)) |$

$frac(sqrt3)(3) = | frac(1 – 2m’)(2) * frac(2)(2 + m’) |$

$frac(sqrt3)(3) = | frac(1 – 2m’)(2 + m’) |$

Poniamo $2 + m’ ≠ 0 to m’ ≠ -2 $ ed eleviamo al quadrato:

$(frac(sqrt3)(3))^2 = (frac(1 – 2m’)(2 + m’) )^2 $

$frac(sqrt3^2)(9) = frac((1 – 2m’)^2)((2 + m’)^2) $

$frac(3)(9) = frac(1 + 4m’^2 – 4m’)( 4 + m’^2 + 4m’ ) $

$frac(1)(3) = frac(1 + 4m’^2 – 4m’)( 4 + m’^2 + 4m’ ) $

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ 4 + m’^2 + 4m’ = 3 (1 + 4m’^2 – 4m’) to $

$ 4 + m’^2 + 4m’ = 3 + 12m’^2 – 12m’ $

$ 4 + m’^2 + 4m’ – 3 – 12m’^2 + 12m’ = 0 to $

$ – 11 m’^2 + 16m’ + 1 = 0 $

$ 11 m’^2 – 16m’ – 1 = 0 $

Troviamo le soluzioni con la formula ridotta:

$ m’ = frac(- b/2 pm sqrt((b/2)^2 – ac) )(a) = frac(- (-16)/2 pm sqrt(((-16)/2)^2 + 11) )(11) = $

$frac( 8 pm sqrt( 8^2 + 11) )(11) = frac( 8 pm sqrt(75))(11) $

Possiamo quindi determinare le equazioni delle rette $t$ ed $s$ :

$ t : y = frac( 8 – sqrt(75))(11) x , s : y = frac( 8 + sqrt(75))(11) x $

Rappresentiamo le rette nel piano cartesiano:

Svolgimento (2)

Calcoliamo ora la tangente dell’angolo ottuso $gamma $ da esse formato:

$ tg(x) = frac(m – m’)(1 + m m’) $

Essendo l’angolo ottuso, la tangente sarà negativa:

$ tg(x) = – | frac(frac( 8 – sqrt(75))(11) – frac( 8 + sqrt(75))(11))( 1 + frac( 8 – sqrt(75))(11) * frac( 8 + sqrt(75))(11)) | = $

$ – | frac(frac(8 – sqrt(75) – 8 – sqrt(75))(11) )( 1 + frac((8 – sqrt(75))(8 + sqrt(75)))(11*11) ) | = $

$ – |frac(frac(- sqrt(75) – sqrt(75))(11))(1 + frac(8^2 – (sqrt(75))^2)(121)) | = $

$ – |frac(frac(- 2sqrt(75) )(11))(1 + frac( 64 – 75 )(121)) | = $

$ – |frac(frac(- 2sqrt(75) )(11))(1 + frac( – 11 )(121)) | = – |frac(frac(- 2sqrt(75) )(11))(1 – frac(1)(11)) | = $

$ – |frac(frac(- 2sqrt(75) )(11))(frac(10)(11)) | = – | frac(- 2sqrt(75) )(11) * frac(11)(10) | = $

$ – | frac(- 2sqrt(75) )(10) | = – | frac(- 2 * 5 * sqrt(3) )(10) | = $

$ – | frac(- 10 sqrt(3) )(10) | = – |- sqrt3| = – sqrt3 $

Abbiamo quindi verificato che l’angolo formato dalle rette è proprio di $120°$ , poiché la tangente di $120°$ è $ – sqrt3$ .

Nel triangolo $ABC$ l’angolo di vertice $A$ ha ampiezza $alpha$ e l’angolo in $B$ è di $30°$ . Sapendo che $sin(alpha) = 3/4$ …

Nel triangolo $ABC$ l’angolo di vertice $A$ ha ampiezza $alpha$ e l’angolo in $B$ è di $30°$ .

Sapendo che $sin(alpha) = 3/4$ determinare le funzioni goniometriche dell’angolo in $C$ nei due casi:

a) $alpha$ è acuto;

b) $alpha$ è ottuso.

Verificare che in entrambi i casi il triangolo è ottusangolo.

Svolgimento (a)

Nel caso in cui l’angolo in $A$ sia acuto, determiniamo il suo coseno:

$ cos(alpha) = sqrt(1 – sin^2(alpha)) = sqrt(1 – (3/4)^2) = $

$ sqrt(1 – frac(9)(16)) = sqrt(frac(16-9)(16)) = frac(sqrt7)(4) $

Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo $180°$, sappiamo che l’angolo $gamma$ vale:

$ gamma = 180° – (alpha + \hat{B}) = 180° – (alpha + 30°) $

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] $

Ricorrendo agli angoli associati, possiamo subito scrivere:

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] = – cos(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del coseno:

$ – cos(alpha + 30°) = – (cos(alpha)cos(30°) – sin(alpha) sin(30°)) = – cos(alpha)cos(30°) + sin(alpha) sin(30°) = $

$ – frac(sqrt7)(4) * frac(sqrt3)(2) + 3/4 * 1/2 = – frac(sqrt(21))(8) + 3/8 = frac(3 – sqrt(21))(8) $

Abbiamo ottenuto un risultato negativo, poiché $frac(3 – sqrt(21))(8) $ è minore di zero.

Possiamo affermare quindi che l’angolo $gamma $ è un angolo ottuso; calcoliamo il suo seno:

$ sin (gamma) = sin [180° – (alpha + 30°)] = sin(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del seno:

$ sin(alpha + 30°) = sin(alpha) cos(30°) + cos(alpha) sin(30°) = $

$ 3/4 * frac(sqrt3)(2) + frac(sqrt7)(2) * 1/2 = frac(3sqrt3)(8) + frac(sqrt7)(8) = $

$ frac(3sqrt3 + sqrt7)(8) $

Svolgimento (b)

Calcoliamo il coseno dell’angolo in A, tenendo presente che, poiché l’angolo è ottuso, il coseno sarà negativo:

$ cos(alpha) = – sqrt(1 – sin^2(alpha)) = – sqrt(1 – (3/4)^2) = $

$ – sqrt(1 – frac(9)(16)) = – sqrt(frac(16-9)(16)) = – frac(sqrt7)(4) $

Allo stesso modo, calcoliamo le funzioni goniometriche dell’angolo $gamma$:

$ gamma = 180° – (alpha + \hat{B}) = 180° – (alpha + 30°) $

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] $

Ricorrendo agli angoli associati, possiamo subito scrivere:

$ cos (gamma) = cos [180° – (alpha + 30°)] = – cos(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del coseno:

$ – cos(alpha + 30°) = – (cos(alpha)cos(30°) – sin(alpha) sin(30°)) = – cos(alpha)cos(30°) + sin(alpha) sin(30°) = $

$ – ( – frac(sqrt7)(4)) * frac(sqrt3)(2) + 3/4 * 1/2 = frac(sqrt(21))(8) + 3/8 = frac(3 + sqrt(21))(8) $

$ sin (gamma) = sin [180° – (alpha + 30°)] = sin(alpha + 30°) $

Applichiamo ora la formula di addizione del seno:

$ sin(alpha + 30°) = sin(alpha) cos(30°) + cos(alpha) sin(30°) = $

$ 3/4 * frac(sqrt3)(2) – frac(sqrt7)(2) * 1/2 = frac(3sqrt3)(8) – frac(sqrt7)(8) = $

$ frac(3sqrt3 – sqrt7)(8) $

In questo caso, quindi, l’angolo $gamma$ è acuto; tuttavia, è presente comunque nel triangolo un angolo ottuso, cioè l’angolo $alpha$ .

In ogni caso, quindi, avremmo a che fare con un triangolo ottusangolo.

E’ dato un trapezio isoscele $ABCD$ la cui base maggiore $BC$ è di $44 cm$, la base minore $AD$ è $20 cm$ e il coseno dell’angolo $\hat{ABC}$ è $frac(12)(13) $ …

E’ dato un trapezio isoscele $ABCD$ la cui base maggiore $BC$ è di $44 cm$, la base minore $AD$ è $20 cm$ e il coseno dell’angolo $\hat{ABC}$ è $frac(12)(13) $ .

Determinare il perimetro e l’area del trapezio, la diagonale $AC$ e il coseno dell’angolo $ \hat{ACB}$ .

trapezio_isoscele

Svolgimento

Sapendo che il trapezio in questione è isoscele, possiamo determinare la lunghezza del segmento $BH$ :

$ BH = frac(BC – AD)(2) = frac(44cm – 20 cm)(2) = 12 cm $

Poiché il triangolo $ABH$ è rettangolo, calcoliamo la lunghezza del lato obliquo con il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$ AB = frac(BH)(cos(\hat{ABC})) = frac(12)(frac(12)(13)) = 13 cm $

Troviamo l’altezza $AH$ con il teorema di Pitagora:

$ AH = sqrt(AB^2 – BH^2) = sqrt(13^2 – 12^2) = sqrt(169 – 144) = 5 cm $

Ora abbiamo tutto per calcolare l’area del trapezio:

$A_(ABCD) = frac(BC + AD)(2) * AH = frac(44cm + 20 cm)(2) * 5 cm = 160 cm^2 $

Sapendo che in un trapezio isoscele i lati obliqui sono uguali, possiamo calcolare il perimetro del trapezio:

$P_(ABCD) = BC + AD + AB + CD = $

$ (44 + 20 + 13 + 13) cm = 90 cm $

Consideriamo ora il triangolo $AHC$ , anch’esso rettangolo; sappiamo che il suo cateto minore $AH$ misura $5 cm$ , e possiamo calcolare anche il suo cateto maggiore $HC$ :

$HC = BC – BH = 44 cm – 12 cm = 32 cm $

Con il teorema di Pitagora possiamo risalire alla sua ipotenusa $AC$ , che è anche la diagonale del trapezio:

$ AC = sqrt(AH^2 + HC^2) = sqrt(5^2 – 32^2) = sqrt(25 + 1024) = sqrt(1049) cm $

Tramite il primo teorema sui triangoli rettangoli, possiamo ricavare il coseno dell’angolo $ \hat{ACB}$ :

$ cos(\hat{ACB}) = frac(HC)(AC) = frac(32)(sqrt(1049)) $

Un triangolo ha una base lunga $3 + sqrt3$ e gli angoli ad essa adiacenti di $45°$ e $60°$ . Trovare le lunghezze degli altri due lati …

Un triangolo ha una base lunga $3 + sqrt3$ e gli angoli ad essa adiacenti di $45°$ e $60°$ . Trovare le lunghezze degli altri due lati e i segmenti in cui la base data viene divisa dall’altezza ad essa relativa.

Svolgimento

Per prima cosa, troviamo l’ampiezza del terzo angolo, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è $180°$ :

$\hat{ACB} = 180° – (\hat{CAB} + \hat{CBA}) = 180° – (45° + 60°) = $

$ 180° – 105° = 75° $

Per trovare gli altri due lati del triangolo possiamo applicare il teorema dei seni, secondo il quale il rapporto fra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante:

$ frac(AC)(sin(\hat{CBA})) = frac(AB)(sin(\hat{ACB})) $

Ricaviamo il lato $AC$ :

$ AC = frac(AB * sin(\hat{CBA}))(sin(\hat{ACB})) = frac((3 + sqrt3) * sin(60°))(sin(75°)) $

Un angolo di $75°$ non è un angolo noto, quindi non conosciamo il suo seno; tuttavia possiamo ricavarlo scomponendo l’angolo di $75°$ in un angolo di $30°+45°$ :

$ sin(75°) = sin(30°+45°)$

Applichiamo ora la formula di addizione del seno:

$ sin(75°) = sin(30°+45°) = sin(30°) cos(45°) + cos(30°) sin(45°) $

$ = 1/2 * frac(sqrt2)(2) + frac(sqrt3)(2) * frac(sqrt2)(2) = $

$ frac(sqrt2)(4) + frac(sqrt6)(4) = frac(sqrt2 + sqrt6)(4) $

Sostituiamo il valore trovato nell’uguaglianza precedente:

$ AC = frac((3 + sqrt3) * frac(sqrt3)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = frac(frac(3 + 3sqrt3)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = $

$ frac(3 + 3sqrt3)(2) * frac(4)(sqrt2 + sqrt6) = frac(2*(3 + 3sqrt3))(sqrt2 + sqrt6) $

Razionalizziamo:

$ frac(2*(3 + 3sqrt3))(sqrt2 + sqrt6) * frac(sqrt2 – sqrt6)(sqrt2 – sqrt6) = $

$ frac(2*(3 + 3sqrt3)(sqrt2 – sqrt6))((sqrt2 + sqrt6)(sqrt2 – sqrt6)) = $

$ frac(2*(3sqrt6 – 3sqrt(18) + 3sqrt2 – 3sqrt6))((sqrt2)^2 – (sqrt6)^2) = $

$ frac(2*(- 3sqrt(18) + 3sqrt2))(2 – 6) = frac(2*(- 9sqrt2 + 3sqrt2))(- 4) = frac(- 9sqrt2 + 3sqrt2)(- 2) = $

$ – frac(- 6sqrt2)(-2) = 3sqrt2 $

Con lo stesso procedimento possiamo ricavare l’altro lato:

$ frac(BC)(sin(\hat{CAB})) = frac(AB)(sin(\hat{ACB})) $

$ BC = frac(AB * sin(\hat{CAB}))(sin(\hat{ACB})) = frac((3 + sqrt3) * sin(45°))(sin(75°)) = $

$ frac((3 + sqrt3) * frac(sqrt2)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = frac(frac(3sqrt2 + sqrt6)(2))(frac(sqrt2 + sqrt6)(4)) = $

$ frac(3sqrt2 + sqrt6)(2) * frac(4)(sqrt2 + sqrt6) = frac(2(3sqrt2 + sqrt6))(sqrt2 + sqrt6) $

Razionalizziamo:

$ frac(2*(3sqrt2 + sqrt6))(sqrt2 + sqrt6) * frac(sqrt2 – sqrt6)(sqrt2 – sqrt6) = $

$ frac(2*(3sqrt2 + sqrt6)(sqrt2 – sqrt6))((sqrt2 + sqrt6)(sqrt2 – sqrt6)) = $

$ frac(2(6 – 3sqrt(12) + sqrt(12) – 6))((sqrt2)^2 – (sqrt6)^2) = $

$ frac(2 (-2 sqrt(12)))(2 – 6) = frac(- 4 sqrt(12))(- 4) = sqrt(12) = 2 sqrt3 $

Ora, considerando i triangoli rettangoli $AHC$ e $BHC$ , possiamo determinare le lunghezze dei segmenti creati sulla base dall’altezza, mediante il primo teorema della trigonometria:

$ AH = AC * cos(45°) = 3 sqrt2 * frac(sqrt2)(2) = 6/2 = 3$

$ BH = BC * cos(60°) = 2 sqrt3 * frac(1)(2) = sqrt3$

Scritta l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse $y$ e passante per $ B (0 ; 8)$ e tangente in $A (- 4 ; 0)$ all’asse $x$, determinare sull’arco $AB$ ….

Scritta l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse $y$ e passante per $ B (0 ; 8)$ e tangente in $A (- 4 ; 0)$ all’asse $x$, determinare sull’arco $AB$ di essa un punto $P$ e sulla corda $AB$ un punto $Q$ , in modo che $P$ e $Q$ abbiano la stessa ascissa e risulti $PQ = frac(16)(9) $ .

Svolgimento (prima parte)

Sappiamo che, poiché la parabola ha asse di simmetria parallelo all’asse $y$ , la sua equazione sarà del tipo $ y = ax^2 + bx + c$ . Imponiamo il passaggio della parabola per i due punti assegnati:

$ A ∈ P to 0 = 16a – 4b + c $

$ B ∈ P to 8 = c $

Inoltre, poiché la parabola ha un solo punto in comune con l’asse $x$ , possiamo affermare che quel punto sarà sicuramente il suo vertice, quindi:

$- frac(b)(2a) = – 4 to b = 8a $

Mettiamo a sistema le tre equazioni:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
16a – 4b + c = 0 & \\
c = 8 & \\
b = 8a &
\end{array}
\right.
$$

Sostituiamo $b$ e $c$ alla prima equazione:

$ 16 a – 4 * 8a + 8 = 0 to 16 a – 32a + 8 = 0 $

$ -16 a + 8 = 0 to a = 1/2 $

Sostituendo tale valore di $a$ nel sistema abbiamo:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a = \frac{1}{2} & \\
c = 8 & \\
b = 4 &
\end{array}
\right.
$$

Possiamo scrivere l’equazione della parabola:

$ y = 1/2 x^2 + 4x + 8 $

Ora rappresentiamo la parabola nel piano cartesiano:

parabola

Svolgimento (seconda parte)

Sappiamo che il punto $Q$ appartiene alla corda $AB$ e che $P$ appartiene alla parabola; in ogni caso, questi due punti, che hanno stessa ascissa, avranno:

$ – 4 ≤ x_P = x_Q ≤ 0$

Dal momento che $P$ appartiene alla parabola possiamo determinare le sue coordinate attraverso l’equazione della parabola:

$ P (x ; 1/2 x^2 + 4x + 8 ) $

Troviamo ora l’equazione della retta $AB$ :

$ AB : frac(x – x_1)(x_2 – x_1) = frac(y – y_1)(y_2 – y_1) $

$ AB : frac(x – (-4))(0 – (-4)) = frac(y – 0)(8 – 0) $

$ AB : frac(x + 4)(4) = frac(y)(8) $

$ AB : 2x – y + 8 = 0 $

Allo stesso modo, sapendo che il punto $Q$ appartiene a questa retta possiamo chiamare le sue coordinate in questo modo:

$Q (x ; 2x + 8) $

Possiamo calcolare la distanza fra $P$ e $Q$ , sapendo che in ogni caso il punto $Q$ ha ordinata maggiore del punto $P$ :

$PQ = y_Q – y_P = 2x + 8 – (1/2 x^2 + 4x + 8)$

Sapendo che questa distanza deve essere uguale a $frac(16)(9) $, possiamo impostare l’equazione:

$2x + 8 – (1/2 x^2 + 4x + 8) = frac(16)(9)$

$2x + 8 – 1/2 x^2 – 4x – 8 = frac(16)(9)$

$ – 1/2 x^2 – 2x – frac(16)(9) = 0 $

$ frac (- 9x^2 – 36x – 32)(18) = 0 $

$ – 9x^2 – 36x – 32 = 0 to 9x^2 + 36x + 32 = 0$

$ x = frac(-b/2 pm sqrt((b/2)^2 – ac))(a) = frac(-(36)/2 pm sqrt(((36)/2)^2 – 9*32))(9) = $
$ frac(-18 pm sqrt(18^2 – 9*32))(9) = frac(-18 pm sqrt(324 – 288))(9) = frac(-18 pm 6)(9) $

Si ha quindi:

$ x_1 = frac(-18 + 6)(9) = frac(-12)(9) = – 4/3 $

$ x_2 = frac(-18 – 6)(9) = frac(-24)(9) = – 8/3 $

Abbiamo quindi due diverse ascisse; calcoliamo ora le ordinate dei punti:

$ x_1 = – 4/3 $

$ y_P = 1/2 (- 4/3)^2 + 4* (- 4/3) + 8 = 1/2 * (16)/9 – (16)/3 + 8 = $

$ 8/9 – (16)/3 + 8 = frac(8 – 48 + 72)(9) = frac(32)(9) $

Quindi abbiamo il punto : $ P_1 ( – 4/3 ; frac(32)(9))$

$ y_Q = 2 * (-4/3) + 8 = – 8/3 + 8 = frac(16)(3) $

Quindi abbiamo il punto : $ Q_1 ( – 4/3 ; frac(16)(3))$

Ripetiamo gli stessi passaggi per la seconda ascissa:

$ x_2 = – 8/3 $

$ y_P = 1/2 (- 8/3)^2 + 4* (- 8/3) + 8 = 1/2 * (64)/9 – (32)/3 + 8 = $

$ (32)/9 – (32)/3 + 8 = frac(32 – 96 + 72)(9) = frac(8)(9) $

Quindi abbiamo il punto : $ P_2 ( – 8/3 ; frac(8)(9))$

$ y_Q = 2 * (-8/3) + 8 = – (16)/3 + 8 = frac(8)(3) $

Quindi abbiamo il punto : $ Q_2 ( – 8/3 ; frac(8)(3))$

Determinare il luogo dei vertici del seguente fascio di parabole: …

Determinare il luogo dei vertici del seguente fascio di parabole:

$ y = x^2 – (m-1)x + 1 , m ∈ ℜ $

Svolgimento

Rappresentiamo nel piano cartesiano il fascio di parabole:

fascio_di_parabole

Troviamo il vertice generico del fascio di parabole:

$ x_V = – frac(b)(2a) = – frac(- (m-1))(2) = frac(m-1)(2) $

Quindi abbiamo : $ V ( frac(m-1)(2) ; y_V ) $

Troviamo l’ordinata del vertice sostituendo l’ascissa all’equazione del fascio di parabole:

$ y_V = (frac(m-1)(2))^2 – (m-1) * frac(m-1)(2) + 1 = $

$ frac(m^2 + 1 – 2m)(4) – frac((m-1)(m-1))(2) + 1 = frac(m^2 + 1 – 2m)(4) – frac((m-1)^2)(2) +1 = $

$ frac(m^2 + 1 – 2m)(4) – frac(m^2 + 1 – 2m)(2) +1 = frac(m^2 + 1 – 2m – 2m^2 – 2 + 4m + 4)(4)=$

$ frac( – m^2 + 2m + 3)(4) $

Quindi abbiamo : $ V ( frac(m-1)(2) ; frac( – m^2 + 2m + 3)(4) ) $

Ora impostiamo un sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x_V = \frac{m – 1}{2} &\\
y_V = – \frac{m^2 – 2m – 3}{4} &
\end{array}\right.
$$

Dalla prima equazione ricaviamo m:

$ m = 2 x_V + 1 $

Ora, sostituiamo il valore di m trovato alla seconda equazione e otterremmo l’equazione del luogo geometrico dei vertici delle parabole:

$ y = – frac((2x + 1)^2 – 2 (2x + 1) – 3)(4) $

$ y = – frac(4x^2 + 1 + 4x – 4x – 2 – 3)(4) $

$ y = – frac(4x^2 – 4)(4) to y = – x^2 + 1 $

Abbiamo ottenuto, come luogo geometrico dei vertici del fascio di parabole, una parabola.

Nel punto $A$ è fissata una carica elettrica $Q_1 = 3,68 * 10^(-8) C $ e nel punto $B$, che dista $80,0cm$ da $A$, è fissata una seconda carica elettrica…

Nel punto $A$ è fissata una carica elettrica $Q_1 = 3,68 * 10^(-8) C $ e nel punto $B$, che dista $80,0cm$ da $A$, è fissata una seconda carica elettrica $Q_2 = – 5,74 * 10^(-9) C $. Il punto $P$ è posto sul segmento $AB$ , a una distanza di $50,0 cm$ da $A$. Le cariche sono poste nel vuoto. Calcola il valore del potenziale elettrico in $P$ .

Svolgimento

Il potenziale elettrico nel punto $P$ è dato dalla somma dei potenziali elettrici dovuti valle cariche poste in $A$ e in $B$:

$V_P = V_1 + V_2 $

Calcoliamo quindi i singoli potenziali usando la formula $V = k_0 * Q/r $ :

$V_1 = k_0 * (Q_1)/(r_1) = 8,99 * 10^9 * frac(N * m^2)(C^2) * frac(3,68 * 10^(-8) C)(5,00 * 10^(-1) m ) = 662 V $

$V_2 = k_0 * (Q_2)/(r_2) = 8,99 * 10^9 * frac(N * m^2)(C^2) * frac(- 5,74 * 10^(-8) C)(3,00 * 10^(-1) m ) = – 172 V $

Possiamo ora calcolare il potenziale in $P$ :

$V_P = V_1 + V_2 = 662 V – 172 V = 490 V $

Due lastre parallele e cariche di segno opposto distano fra loro di $3,0 cm$ …

Due lastre parallele e cariche di segno opposto distano fra loro di $3,0 cm$. Fra le due lastre una particella di carica $q = 2,0 * 10^(-15) C $ e di massa $1,5 * 10^(-12) kg $ rimane in equilibrio elettrostatico.

Quanto vale la differenza di potenziale fra le due lastre?

Svolgimento

Sapendo che la particella si trova in equilibrio elettrostatico, possiamo affermare che le forze che agiscono su di essa sono in equilibrio.

In particolare, la particella è sottoposta a due forze: la forza gravitazionale, rivolta verso il basso, e la forza elettrica, che attrae la particella ed è rivolta verso l’alto.

Poiché la particella è in equilibrio, le forze sono uguali.

Possiamo quindi eguagliare le due formule per ricavare così l’intensità del campo elettrico che vi è fra le due piastre:

$F_E = F_a$

$E*q = m*a to E = frac(m*a)(q) $

$ E = frac(m*a)(q) = frac(1,5 * 10^(-12) kg * 9,8 m/s^2)(2,0 * 10^(-15) C) = 7,35 * 10^3 N/C $

Poiché ci troviamo in un campo elettrico uniforme, sappiamo che il campo elettrico è descritto dalla formula $E = – frac(∆V)(∆S) $ .

Possiamo quindi ricavare il potenziale:

$E = – frac(∆V)(∆S) to ∆V = – E * ∆S $

$ ∆V = – E * ∆S = – 7,35 * 10^3 * 3,0 * 10^(-2) = – 2,2 * 10^2 V $

Tre cariche $q_1 = 3,2 nC $ , $q_2 = – 2,7 nC $ , $q_3 = 2,5 nC $ , sono disposte nel vuoto e occupano, rispettivamente, i vertici di un triangolo …

Tre cariche $q_1 = 3,2 nC $ , $q_2 = – 2,7 nC $ , $q_3 = 2,5 nC $ , sono disposte nel vuoto e occupano, rispettivamente, i vertici di un triangolo $ABC$ di lati $AB=4,5cm$, $BC=5,2cm$ e $AC=3,8cm$. Scegliamo lo zero dell’energia potenziale nella condizione in cui le cariche sono a distanza infinita tra loro. Determina l’energia potenziale del sistema in questa configurazione.

Svolgimento

L’energia potenziale del sistema è data dalla somma delle energie potenziali che si ottengono scegliendo le cariche a coppie in tutti i modo possibili.

$ U = U_(1,2) + U_(2,3) + U_(1,3)$

Con la scelte dello zero indicata nel testo, l’energia potenziale del sistema formato da due cariche puntiformi è data dalla formula:

$ U = frac(1)(4πε) * frac(Q_1 * Q_2)(r) $

quindi avremo che:

$ U = U_(1,2) + U_(2,3) + U_(1,3) = $

$ frac(1)(4πε) * frac(q_1 * q_2)(AB) + frac(1)(4πε) * frac(q_2 * q_3)(BC) + frac(1)(4πε) * frac(q_1 * q_3)(AC) = $

$ frac(1)(4πε) * [ frac(q_1 * q_2)(AB) + frac(q_2 * q_3)(BC) + frac(q_1 * q_3)(AC) ]$

Sostituiamo i valori numerici:

$ U = U_(1,2) + U_(2,3) + U_(1,3) = $

$ 8,99 * 10^9 * [ frac(3,2 * 10(-9) * (- 2,7 * 10(-9)))(4,5 * 10(-2)) + frac(- 2,7 * 10(-9) * 2,5 * 10(-9))(5,2 * 10(-2)) + frac(3,2 * 10(-9) * 2,5 * 10(-9))(3,8 * 10(-2)) ] = $

$ 8,99 * 10^9 * [ frac(- 8,6 * 10(-18))(4,5 * 10(-2)) + frac(- 6,8 * 10(-18))(5,2 * 10(-2)) + frac( 8,0 * 10(-18))(3,8 * 10(-2)) ] = $

$ 8,99 * 10^9 * [ – 1,1 * 10^(-16) ] = – 9,9 * 10^(-7) J$

In un punto $A$ , a distanza $r_A = 30 cm$ da una carica $q$ , il potenziale elettrico vale $2,5 * 10^4 V $ …

In un punto $A$ , a distanza $r_A = 30 cm$ da una carica $q$ , il potenziale elettrico vale $2,5 * 10^4 V $ . Nel punto $B$ , sulla stessa linea di campo di $A$, ma a distanza $r_B$ dalla stessa carica, il potenziale vale $6,5 * 10^3 V $ . Calcola la distanza tra i punti $A$ e $B$ .

Svolgimento

Poiché il potenziale in $B$ è maggiore del potenziale in $A$ , deduciamo che il punto $A$ sia più vicino alla carica q rispetto al punto $B$ . Di conseguenza abbiamo che $r_B > r_A$ .

Per determinare la distanza tra i punti $A$ e $B$ basta conoscere il valore di $r_B$.

Per prima cosa, calcoliamo il valore della carica $q$ ricavando la formula inversa da quella che descrive il valore del potenziale:

$ V = k_0 * q/r to q = frac(V * r)(k_0) $

$ q = frac(V_A * r_A)(k_0) = frac(2,5 * 10^4 * 30 * 10^(-2) )( 8,99 * 10^9 ) = 8,34 * 10^7 C $

Partendo dalla stessa formula, ricaviamo la distanza, considerando come potenziale quello nel punto $B$ :

$ V = k_0 * q/r to r = frac(k_0 * q)(V) $

$ r_B = frac(k_0 * q)(V_B) = frac(8,99 * 10^9 * 8,34 * 10^(-7) )( 6,5 * 10^3 ) = 11,54 * 10^(-1) m = 1,154 m $

Calcoliamo la distanza fra i punti $A$ e $B$:

$ d_(A;B) = r_B – r_A = 1,154 m – 0,3 m = 0,85 m $

Una pallina di massa $8 * 10^(-3) kg $ e carica $q = 4 * 10^(-3) C $ , inizialmente ferma all’interno di un campo elettrico, viene messa in moto …

Una pallina di massa $8 * 10^(-3) kg $ e carica $q = 4 * 10^(-3) C $ , inizialmente ferma all’interno di un campo elettrico, viene messa in moto e si sposta da un punto $A$ con potenziale $V_A = 2 V $ fino a un punto $B$ con potenziale nullo alla stessa quota di $A$ . Calcola la velocità acquistata dalla pallina.

Svolgimento

Poiché il potenziale in $B$ è nullo, possiamo affermare che anche l’energia potenziale, che determina appunto il potenziale elettrico, è uguale a zero, quindi:

$V_B = 0 to U_B = 0 $

Conoscendo il potenziale in $A$ , possiamo ricavare con la formula inversa, la distanza alla quale il punto $A$ si trova rispetto a $B$:

$V_A = k_0 * q/r to r = frac(k_0 * q)(V_A) $

$r = frac(k_0 * q)(V_A) = frac(8,99 * 10^9 * 4 * 10^(-3))(2) = 17,98 m $

Ora, poiché ci troviamo in un campo elettrico uniforme, utilizziamo la formula del campo elettrico dedotta dal potenziale:

$ E = – frac(∆V)(∆S) = – frac(2V)(17,98 m) = 0,111 V/m $

La carica, poiché si trova in un campo elettrico, è sottoposta ad una forza elettrica.

Tuttavia, poiché possiede massa e viene accelerata, è sottoposta anche ad un’altra forza, quella descritta dal secondo principio della dinamica.

Possiamo uguagliare le due forze e ricavare da qui l’accelerazione della carica:

$F_E = F_a $

$E * q = m * a to a = frac(E * q)(m) $

$ a = frac(E * q)(m) = frac(0,111 V/m * 4 * 10^(-3) C)(9 * 10^(-3) kg) = 0.0555 m/s^2 $

Conoscendo l’accelerazione, ricaviamo il tempo impiegato con la formula inversa di quella dello spazio nel moto uniformemente accelerato:

$S = 1/2 at^2 to t = sqrt(frac(2S)(a))$

$t = sqrt(frac(2S)(a)) = sqrt(frac(2 * 17,98 m)(0,0555 m/s^2)) = 25,45 s $

Possiamo ora determinare la velocità della pallina:

$ v = a * t = 0,0555 m/s^2 * 25,45 s = 1,41 m/s $

Nell’origine di un sistema di riferimento xOy è posta una carica $q_1 = + 1,4 * 10^(-6) C $ …

Nell’origine di un sistema di riferimento xOy è posta una carica $q_1 = + 1,4 * 10^(-6) C $. Nel punto $P$ di coordinate $P(2,0cm;0,0cm)$ viene posta una seconda carica $q_2$ uguale a $- q_1$ . Calcola il potenziale elettrico nel punto $Q$ di coordinate $Q(5,0cm;0,0cm)$ :

In presenza della sola carica $q_1$;
In presenza delle cariche $q_1$ e $q_2$.

Svolgimento

Calcoliamo il potenziale nel punto Q considerando solo la presenza della prima carica. Utilizziamo la formula $ V = k_0 * q/r $ :

$ V_1 = k_0 * q/r = 8,99 * 10^9 * frac(1,4 * 10^(-6))(5,0 * 10^(-2)) = 2,5 * 10^5 V $

Nel secondo caso, poiché le cariche in questione sono due, il potenziale nel punto $Q$ è dato dalla somma dei potenziali dipendenti dalle due cariche.

Troviamo quindi il potenziale relativo alla seconda carica:

$ V_2 = k_0 * (q_2)/r = 8,99 * 10^9 * frac(- 1,4 * 10^(-6))(3,0 * 10^(-2)) = – 4,2 * 10^5 V $

Sommiamo i due potenziali per determinare quello totale nel punto $Q$ :

$ V_(Tot) = V_1 + V_2 = 2,5 * 10^5 V – 4,2 * 10^5 V = – 1,7 * 10^5 V $

Una particella con carica elettrica $+ 7,2 * 10^(-5) C $ e massa $10g$ si muove, all’interno di un campo elettrico uniforme …

Una particella con carica elettrica $+ 7,2 * 10^(-5) C $ e massa $10g$ si muove, all’interno di un campo elettrico uniforme, tra due punti distanti $10m$. La differenza di potenziale tra i due punti è di $24 * 10^3 V $ . Calcola il tempo impiegato dalla carica $q$ a coprire quella distanza.

Svolgimento

La particella in questione si trova all’interno di un campo elettrico, ed è quindi sottoposta alla forza elettrica del campo.

Avendo però anche una massa, è sottoposta anche alla forza $F$ , descritta dal secondo principio della dinamica.

Per trovare il tempo impiegato dalla particella a percorrere la distanza fra i due punti, uguagliamo prima le due forse e ricaviamo l’accelerazione della particella:

$F_E = F_a $

$ E * q = m * a to a = frac(E * q)(m) $

Poiché non conosciamo il valore del campo elettrico, ma abbiamo la differenza di potenziale e lo spostamento della particella, esprimiamo il campo elettrico in funzione di essi: $E = – frac(∆V)(∆S) $

$ a = frac(E * q)(m) = – frac(∆V)(∆S) * q/m = – frac(- 24 * 10^3 V * 7,2 * 10^(-5) C)(10m *10 * 10^(-3) kg ) = $

$172,8 * 10^(-1) m/s^2 = 17,28 m/s^2 $

Ora, per ricavare il tempo utilizziamo la formula dello spazio nel moto uniformemente accelerato di una particella e ricaviamo la formula inversa:

$ S = 1/2 at^2 to t = sqrt(frac(2S)(a))$

$ t = sqrt(frac(2S)(a)) = sqrt(frac(2 * 10 m )(17,28 m/s^2)) = 1,1 s $

Una carica $q = + 2,4 μC $ si sposta in un campo elettrico di intensità $ E = 4,0 N/C $ …

Una carica $q = + 2,4 μC $ si sposta in un campo elettrico di intensità $ E = 4,0 N/C $ , seguendo la direzione e il verso del campo elettrico. La differenza fra i valori del potenziale nella posizione iniziale e in quella finale è $V_i – V_f = 0,29 V $ . Calcola:

Il lavoro fatto sulla carica dalla forza elettrica;
L’entità dello spostamento subito dalla carica.

Svolgimento

Nel caso di un campo elettrico uniforme, il lavoro è dato dalla formula $L = – q * ∆V $ :

$L = – q * ∆V = – 2,4 * 10^(-6) C * (- 0,29 V) = $

$ 0,696 * 10^(-6) J = 7,0 * 10^(-7) J $

Poiché ci troviamo in un campo elettrico uniforme, l’intensità del campo elettrico è descritta dalla formula $E = – frac(∆V)(∆S) $ . Possiamo ricavare l’entità dello spostamento con la formula inversa:

$E = – frac(∆V)(∆S) to ∆S = – frac(∆V)(E) $

$ ∆S = – frac(∆V)(E) = – frac(- 0,29 V)(4,0 N/C) = 0,0725 m = 7,3 * 10^(-2) m $

Tra due piastre metalliche poste alla distanza di $10 cm$ esiste una differenza di potenziale di $24V$….

Tra due piastre metalliche poste alla distanza di $10 cm$ esiste una differenza di potenziale di $24V$. In un punto equidistante dalle due piastre si trova una carica $q = 4,0 * 10^(-18) C $ .

Disegna le linee del campo elettrico tra le due piastre e determina direzione e verso del campo elettrico;
Calcola l’intensità del campo elettrico fra le due piastre;
Calcola la forza elettrica che si esercita sulla carica $q$ .

Svolgimento

Consideriamo due piastre metalliche poste l’una di fronte all’altra, una positiva e una negativa. Sappiamo che le linee di campo sono uscenti dalla carica positiva e entranti in quella negativa:

Uno schema delle linee di campo può essere il seguente:

campo_elettrico_uniforme

La direzione del campo elettrico è quindi perpendicolare alle due piastre, mentre il verso è uscente dalla piastra positiva e entrante in quella negativa.

L’intensità del campo elettrico fra le due piastre è data dalla formula $ E = – frac(∆V)(∆S) $ :

$ E = – frac(∆V)(∆S) = – frac(24 V)(10 * 10^(-2) m) = – 2,4 * 10^2 m $

La forza elettrica che si esercita sulla carica $q$ è data dal prodotto del campo elettrico per la carica:

$ F = E * q = 2,4 * 10^2 m * 4,0 * 10^(-18) C = 9,6 * 10^(-16) N $

Due punti $A$ e $B$ interni ad un campo elettrico uniforme di intensità $8,0 * 10^4 N/C $ si trovano sulla stessa linea di campo …

Due punti $A$ e $B$ interni ad un campo elettrico uniforme di intensità $8,0 * 10^4 N/C $ si trovano sulla stessa linea di campo e distano tra loro 30 cm. Una carica positiva di valore $3,0 * 10^(-1) C $ si sposta per effetto delle forze del campo tra questi due punti. Calcola:

La differenza di potenziale tra il punto finale e il punto iniziale;
Il lavoro compiuto dalle forze del campo per spostare la carica dal punto $A$ al punto $B$.

Svolgimento

Poiché ci troviamo in un campo elettrico uniforme, l’intensità del campo elettrico è descritta dalla formula $E = – frac(∆V)(∆S)$ . Per conoscere la differenza di potenziale tra il punto finale e il punto iniziale, possiamo ricavarlo con la formula inversa:

$E = – frac(∆V)(∆S) to ∆V = – E * ∆S $

$ ∆V = – E * ∆S = – 8,0 * 10^4 N/C * 30 * 10^(-2) m = – 240 * 10^2 V = -2,4 * 10^4 V $

Possiamo calcolare il lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico per spostare la carica da $A$ a $B$ con la formula $L = – q * ∆V $ :

$L = – q * ∆V = – 3,0 * 10^(-1) C * ( -2,4 * 10^4 V) = 7,2 * 10^3 J $

Un protone si muove tra i punti $A$ e $B$ in un campo elettrico uniforme …

Un protone si muove tra i punti $A$ e $B$ in un campo elettrico uniforme, posti sulla stessa linea di campo e distanti tra loro $0,75 m$ . Tra i punti $A$ e $B$ esiste una differenza di potenziale di $-50V$. Calcola :

Il lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico per spostare il protone da $A$ a $B$ .
L’intensità del campo elettrico.

Svolgimento

Sapendo che un protone ha una carica pari a $1,6022 * 10^(-19) C $ e conoscendo la differenza di potenziale, possiamo calcolare il lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico per spostare il protone da $A$ a $B$ con la formula $L = – q * ∆V $ :

$L = – q * ∆V = – 1,6022 * 10^(-19) C * (- 50 V) = 80,11 * 10^(-19) J = 8,0 * 10^(-18) J $

Possiamo calcolare, poi, l’intensità del campo elettrico utilizzando la formula $E = – frac(∆V)(∆S) $ .

$E = – frac(∆V)(∆S) = – frac(- 50 V)(0,75 m) = 66,67 V/m $

Un campo elettrico uniforme ha intensità di $5 * 10^3 N/C $ . Due punti $A$ e $B$ si trovano sulla stessa linea di campo….

Un campo elettrico uniforme ha intensità di $5 * 10^3 N/C $ . Due punti $A$ e $B$ si trovano sulla stessa linea di campo e la differenza di potenziale elettrico in $A$ e in $B$ vale $4V$ . Calcola la distanza fra i due punti.

Svolgimento

Poiché i punti $A$ e $B$ si trovano sulla stessa line a di campo e sono immersi in un campo elettrico uniforme, possiamo affermare che il campo elettrico è descritto dalla formula $ E = – frac(∆V)(∆S) $ .

Poiché $V_A – V_B = 4 V $ , abbiamo tutti i dati necessari per calcolare la distanza fra i due punti, ricavandola dalla formula precedente:

$ E = – frac(∆V)(∆S) to ∆S = – frac(∆V)(E) $

Trascuriamo il segno meno, dato che una distanza non può essere negativa.

$ ∆S = – frac(∆V)(E) = frac(4 V)(5 * 10^3 N/C) = 0,8 * 10^(-3) m = 8,0 * 10^(-4) m $

Una sfera conduttrice di raggio $50 cm$ e densità superficiale di carica $ σ = 5 * 10^(-6) C/m^2 $ crea un campo elettrico nel vuoto …

Una sfera conduttrice di raggio $50 cm$ e densità superficiale di carica $ σ = 5 * 10^(-6) C/m^2 $ crea un campo elettrico nel vuoto. Calcola:

Il valore del campo elettrico alla distanza di $60 cm$ dal centro della sfera.
La distanza dal centro della sfera alla quale il valore numerico del campo elettrico e quello del potenziale elettrico coincidono, considerando la carica concentrata in un punto.

Svolgimento (1)

Poiché la densità superficiale di carica è data dal rapporto fra la carica totale e la superficie, possiamo ricavare con la formula inversa la carica:

$ σ = frac(Q)(∆S) to Q = σ * ∆S $

$ Q = σ * ∆S = 5 * 10^(-6) C/m^2 * (50 * 10^(-2) m)^2 * 4π = 1,57 * 10^(-5) C $

Determiniamo ora il valore del campo elettrico:

$ E = k_0 * frac(Q)(r^2) = 8,99 * 10^9 * frac(1,57 * 10^(-5))((60*10^(-2))^2) = 3,92 * 10^5 N/C $

Svolgimento (2)

Per il secondo punto, sappiamo che il valore numerico del campo elettrico e quello del potenziale elettrico devono coincidere. Eguagliamo quindi i due valori:

$E = V $

$ k_0 * frac(Q)(r^2) = k_0 * frac(Q)(r) $

$ 1/r = 1 to r = 1,0 m $

Due cariche $q_A = 5,0 nC$ e $q_B = 3,0 nC$ occupano nel vuoto due vertici di un triangolo equilatero …

Due cariche $q_A = 5,0 nC$ e $q_B = 3,0 nC$ occupano nel vuoto due vertici di un triangolo equilatero. Il lato del triangolo misura $50 cm$. Calcola il valore del potenziale elettrico nel terzo vertice.

Svolgimento

Così come nel caso dell’energia potenziale, che nel caso di più cariche puntiformi è data dalla somma delle energie potenziali delle varie coppie di cariche, il potenziale è dato dalla somma dei potenziali delle varie cariche.

Calcoliamo quindi il potenziale in $A$ e in $B$:

$V_A = k_0 * frac(q_A)(l) = 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac(5,0 * 10^(-9) C)(50 * 10^(-2) m) = 0,899 * 10^2 V $

$V_B = k_0 * frac(q_B)(l) = 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac(3,0 * 10^(-9) C)(50 * 10^(-2) m) = 0,539 * 10^2 V $

Calcoliamo il potenziale in $C$ sommando i due potenziali trovati precedentemente:

$V_C = V_A + V_B = 0,899 * 10^2 V + 0,539 * 10^2 V = 1,4 * 10^2 V $

Tra i poli di una batteria da automobile vi è una differenza di potenziale di $24,0 V$. Calcola il lavoro che compie la forza elettrica ….

Tra i poli di una batteria da automobile vi è una differenza di potenziale di $24,0 V$. Calcola il lavoro che compie la forza elettrica quando una carica positiva, equivalente a $1,00 * 10^(18)$ cariche elettriche elementari, si sposta dal polo positivo a quello negativo della batteria.

Svolgimento

Una carica elementare, che può essere considerate quelle di un elettrone, ha un valore di $1,6022 * 10^(-19) C$ .

Di conseguenza, la carica positiva di cui parla il problema corrisponde a

$1,6022 * 10^(-19) C * 1,00 * 10^(18) = 1,6022 * 10^(-1) C $

Per calcolare il lavoro compiuto dalla forza elettrica, consideriamo la formula $∆V = – L/q $ e ricaviamo la formula inversa:

$∆V = – L/q to L = – ∆V * q$

Il lavoro vale quindi:

$ L = – ∆V * q = – 24,0 V * 0,16022 C = 3,84 J $

Il valore del potenziale elettrico generato nel vuoto da una carica elettrica in un punto …

Il valore del potenziale elettrico generato nel vuoto da una carica elettrica in un punto $P$ alla distanza di $6,0 m$ è di $4,2 * 10^2 V $ . Calcola:

L’intensità del vettore campo elettrico nel punto $P$ .
Il valore della carica che genera il campo elettrico.
La distanza alla quale una carica di valore doppio genererebbe l stesso valore di potenziale.

Svolgimento

Sapendo che, in un punto dello spazio in cui conosciamo l’andamento del potenziale, è possibile ricavare il campo elettrico dalla formula $E = – frac(∆V)(∆S) $ , possiamo dedurre il valore del campo elettrico nel punto $P$ :

$E = – frac(∆V)(∆S) = frac(4,2 * 10^2 V)(6,0 m ) = 0,7 * 10^2 V/m = 70 V/m $

Per determinare il valore della carica che genera il campo, consideriamo la formula $ V = k_0 * frac(Q)(r) $ e ricaviamo da qui la carica:

$ V = k_0 * frac(Q)(r) to Q = frac(V * r)(k_0) $

$ Q = frac(V * r)(k_0) = frac(4,2 * 10^2 V * 6,0 m)(8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2)) = 2,8 * 10^(-7) C$

Ipotizziamo che una carica doppia rispetto a quella determinata generi un campo elettrico con lo stesso valore di potenziale. Dalla formula sopra considerata, ricaviamo quindi la distanza:

$ V = k_0 * frac(Q)(r) to r = frac(k_0 * Q)(V) $

$ r = frac(k_0 * Q)(V) = frac(8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * 2 * 2,8 * 10^(-7) C)(4,2 * 10^2 V) = 12 m $

Due cariche $q_1 = 4,0 * 10^(-8) C $ e $q_1 = – 4,0 * 10^(-8) C $ sono poste nel vuoto agli estremi di un segmento ….

Due cariche $q_1 = 4,0 * 10^(-8) C $ e $q_1 = – 4,0 * 10^(-8) C $ sono poste nel vuoto agli estremi di un segmento lungo $30 cm$ . Calcola il valore del potenziale elettrico:

In un punto del segmento che dista $10 cm$ dalla carica $q_1$ ;
Nel unto medio del segmento;
In un punto del segmento che dista $10 cm$ dalla carica $q_2$.

Svolgimento

Calcoliamo l’energia potenziale nel punto $A$ , sapendo che in questo caso essa è data dalla somma delle energie potenziali dipendenti dalle cariche $q_1$ e $q_2$.

$U_A = U_1 + U_2 = k_0 * frac(q_1)(r_a) + k_0 * frac(q_2)(r – r_a) = $

$8.99 * 10^9 * [ frac(4,0 * 10^(-8))(10^(-1)) + frac(- 4,0 * 10^(-8))(20 * 10^(-2)) ] = $

$ 3,596 * 10^3 – 1,798 * 10^3 =1,8 * 10^3 J $

Calcoliamo ora il potenziale in $A$ :

$ V_A = frac(U_A)(q_A) = frac(1,8 * 10^3 J)(1C) = 1,8 * 10^3 V $

Allo stesso modo, calcoliamo l’energia potenziale nel punto medio:

$U_M = U_1 + U_2 = k_0 * frac(q_1)(r_M) + k_0 * frac(q_2)(r_M) = $

$8.99 * 10^9 * [ frac(4,0 * 10^(-8))(15 * 10^(-2)) + frac(- 4,0 * 10^(-8))(15 * 10^(-2)) ] = 0 J $

Il potenziale in tale punto sarà:

$ V_M = frac(U_M)(q_M) = frac(0 J)(1C) = 0 V $

e nel punto $B$ che dista $10 cm$ dalla seconda carica:

$U_B = U_1 + U_2 = k_0 * frac(q_1)(r – r_b) + k_0 * frac(q_2)(r_b) = $

$8.99 * 10^9 * [ frac(4,0 * 10^(-8))(20 * 10^(-2)) + frac(- 4,0 * 10^(-8))(10^(-1)) ] = $

$ 1,798 * 10^3 – 3,596 * 10^3 = – 1,8 * 10^3 J $

Il potenziale in tale punto sarà:

$ V_B = frac(U_B)(q_B) = frac(- 1,8 * 10^3 J)(1C) = – 1,8 * 10^3 V $

Quattro cariche puntiformi di valori rispettivamente $Q_1 = – 4,0 nC$ , $Q_2 = 2,5 nC$ , $Q_3 = – 3,3 nC$ , $Q_4 = – 4,0 nC$, occupano nel vuoto i vertici di un quadrato …

Quattro cariche puntiformi di valori rispettivamente $Q_1 = – 4,0 nC$ , $Q_2 = 2,5 nC$ , $Q_3 = – 3,3 nC$ , $Q_4 = – 4,0 nC$, occupano nel vuoto i vertici di un quadrato di lato $4,8 cm$ . Determina l’energia potenziale del sistema.

Svolgimento

Nel caso di cariche puntiformi, l’energia potenziale del sistema è data dalla somma delle energie potenziali che si ottengono scegliendo le cariche a coppie in tutti i modi possibili.

In questo caso, avendo quattro cariche, abbiamo sei modi possibili di scegliere le cariche a coppie, e quindi sei energie potenziali. Calcoliamo quindi ognuna di esse utilizzando la formula dell’energia potenziale $ U = k_0 * frac(Q_1 Q_2)(r) $ , trasformando prima le grandezze nelle giuste unità di misura.

Cominciamo dalle cariche $Q_1$ e $Q_2$ :

$ U_(1,2) = k_0 * frac(Q_1 Q_2)(l) = $

$ 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac(-4,0 * 10^(-9) C * 2,5 * 10^(-9) C)( 4,8 * 10^(-2) m) = – 18,73 * 10^(-7) J $

Passiamo alle cariche $Q_1$ e $Q_4$ :

$ U_(1,4) = k_0 * frac(Q_1 Q_4)(l) = $

$ 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac(-4,0 * 10^(-9) C * (-4,0 * 10^(-9) C))( 4,8 * 10^(-2) m) = 29,97 * 10^(-7) J $

Per le cariche $Q_2$ e $Q_3$ si ha :

$ U_(2,3) = k_0 * frac(Q_2 Q_3)(l) = $

$ 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac( 2,5 * 10^(-9) C * (-3,3 * 10^(-9) C))( 4,8 * 10^(-2) m) = – 15,45 * 10^(-7) J $

Infine, per le cariche $Q_3$ e $Q_4$ si ha :

$ U_(3,4) = k_0 * frac(Q_3 Q_4)(l) = $

$ 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac( – 3,3 * 10^(-9) C * (-4,0 * 10^(-9) C))( 4,8 * 10^(-2) m) = 24,72 * 10^(-7) J $

Nel caso delle altre due coppie, dobbiamo considerare come distanza la diagonale del quadrato, che si ottiene moltiplicando il lato per $sqrt2$:

$ d = l sqrt2 = 4,8 * 10^(-2) m * sqrt2 = 6,79 * 10^(-2) m $

Calcoliamo quindi l’energia potenziale per le cariche $Q_2$ e $Q_4$ :

$ U_(2,4) = k_0 * frac(Q_2 Q_4)(d) = $

$ 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac( 2,5 * 10^(-9) C * (-4,0 * 10^(-9) C))( 6,79 * 10^(-2) m) = – 13,24 * 10^(-7) J $

E per le cariche $Q_1$ e $Q_3$ :

$ U_(1,3) = k_0 * frac(Q_1 Q_3)(d) = $

$ 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac( – 4,0 * 10^(-9) C * (-3,3 * 10^(-9) C))( 6,79 * 10^(-2) m) = 17,28 * 10^(-7) J $

Sommiamo ora le sei energie potenziali per trovare quella del sistema:

$ U_(TOT) = U_(1,2) + U_(1,4) + U_(2,3) + U_(3,4) + U_(2,4) + U_(1,3) = (-18,73 + 29,97 – 15,45 + 24,72 + 17,28 – 13,24 ) * 10^(-7) J = 24, 75 * 10^(-7) J = 2,5 * 10^(-6) J $

L’atomo di idrogeno è costituito da un protone e da un elettrone posti alla distanza del raggio di Bohr, pari a $ 5,29 * 10^(-11) m $. Calcola l’energia potenziale di questo sistema di cariche nel vuoto.

L’atomo di idrogeno è costituito da un protone e da un elettrone posti alla distanza del raggio di Bohr, pari a $ 5,29 * 10^(-11) m $ .

Calcola l’energia potenziale di questo sistema di cariche nel vuoto.

Svolgimento

Per risolvere il problema, sappiamo che le cariche del protone e dell’elettrone valgono:

$p^+ = 1,6022 * 10^(-19) C$

$e^(-) = – 1,6022 * 10^(-19) C$

Per determinare l’energia potenziale del sistema, è sufficiente applicare la formula $ U = k_0 * frac(Q_1 Q_2)(r) $ :

$ U = k_0 * frac(Q_1 Q_2)(r) = 8.99 * 10^9 frac(N * m^2)(C^2) * frac(- 1,6022 * 10^(-19) C * 1,6022 * 10^(-19) C)(5,29 * 10^(-11) m) = – 4,36 * 10^(-18) J $

Scritta l’equazione della circonferenza tangente in $O$ alla retta $t: 2x – y = 0$ e passante per $ A ( 2 ; 0 ) $ , determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse $y$ , con vertice nel centro $C$ della circonferenza e passante per l’origine degli assi $O$.

Scritta l’equazione della circonferenza tangente in $O$ alla retta $t: 2x – y = 0$ e passante per $ A ( 2 ; 0 ) $ , determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse $y$ , con vertice nel centro $C$ della circonferenza e passante per l’origine degli assi $O$.

Svolgimento

Determiniamo le coordinate del centro della circonferenza, considerando la rette passante per lo stesso e perpendicolare alla tangente $t$; chiamiamo questa retta con $s$ :

$s : ax + by + c = 0 $

Sapendo che la retta $t$ è tangente in $O$ alla circonferenza, anche la retta s passerà per $O$, quindi la sua equazione diventa:

$s : ax + by = 0 $

Sappiamo che il coefficiente angolare della retta $t$ è:

$m_t = – a/b = – 2/(-1) = 2 $

Sapendo che la retta s è perpendicolare a $t$ , il suo coefficiente angolare sarà uguale e opposto:

$ m_s = – 1/2 $

In questo caso possiamo scrivere la sua equazione così:

$s : x + 2y = 0 $

Consideriamo ora la retta formata dall’origine e dal punto $A$ ; possiamo affermare che il centro della circonferenza passa per la retta perpendicolare ad $OA$ e passante per il suo punto medio. Essendo $A$ di coordinate $(2;0)$ il punto medio del segmento $OA$ è $M(1;0)$ ; la retta che cerchiamo è quindi $r : x = 1 $ .

Impostando un sistema fra queste due rette, possiamo risalire alle coordinate del centro della circonferenza:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x + 2y = 0 &\\
x = 1 &
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = – 1/2 &\\
x = 1 &
\end{array}\right.
$$

Otteniamo quindi il punto $ C (1 ; – 1/2)$

Avendo il centro ed un punto appartenente alla circonferenza, possiamo determinare il suo raggio:

$ R = CO = sqrt((x – x_1)^2 + (y – y_1)^2) = sqrt((1-0)^2 + (-1/2 – 0)^2) = $

$ sqrt( 1 + 1/4) = frac(sqrt5)(2) $

Ricaviamo l’equazione della circonferenza:

$ C : (x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = R^2 $

$ C : (x – 1)^2 + (y – (-1/2))^2 = (frac(sqrt5)(2))^2 $

$ C : x^2 + 1 – 2x + y^2 + 1/4 + y – 5/4 = 0$

$ C : x^2 + y^2 – 2x + y = 0 $

Rappresentiamo la circonferenza sul piano cartesiano:

Ora, determiniamo l’equazione della parabola; sappiamo che essa ha asse parallelo all’asse $y$, quindi la sua equazione sarà del tipo $y = ax^2 + bx + c$ .

Le coordinate del suo vertice, coincidente con il centro della circonferenza, sono $(-b/(2a) ; – ∆/(4a))$ .

Conoscendo le coordinate del centro della circonferenza, possiamo scrivere che:

$ – frac(b)(2a) = 1 to -b = 2a to b = – 2a $

Inoltre, poiché anche la parabola passa per l’origine degli assi abbiamo che:

$ O ∈ P to c = 0 $

Possiamo poi imporre il passaggio della circonferenza per il suo vertice:

$ V ∈ P to C (1 ; – 1/2) ∈ P to – 1/2 = a + b + c $

mettiamo a sistema le tre scritture:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
b = – 2a & \\
c = 0 & \\
a + b + c = – 1/2 &
\end{array}
\right.
$$

Risolvendo per sostituzione:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
b = – 1 & \\
c = 0 & \\
a = 1/2 &
\end{array}
\right.
$$

Abbiamo quindi l’equazione della parabola:

$ y = 1/2 x^2 – x $

Rappresentiamola sul piano cartesiano:

Risolvere la seguente equazione goniometrica: $ frac(sin(x + 5/3 π))(1 – cos(x)) – frac(cos(x + 2π) + 1)(sin(-x)) = 0 $

Risolvere la seguente equazione goniometrica:

$ frac(sin(x + 5/3 π))(1 – cos(x)) – frac(cos(x + 2π) + 1)(sin(-x)) = 0 $

Svolgimento

Cominciamo ponendo le condizioni di esistenza:

$C.E.$

$1 – cos(x) ≠ 0 to cos(x) ≠ 1 to x ≠ π + 2kπ $

$ sin(-x) = sin(x) ≠ 0 to x ≠ kπ $

Applichiamo ora le formule di addizione del seno e del coseno; ricordiamo, poi, che essendo la funzione seno una funzione dispari, è tale che $f(-x) = – f(x) $ , quindi:

$ sin(-x) = – sin(x) $

Applicando le formule di addizione del seno e del coseno:

$ frac(sin(x)cos(5/3 π) + cos(x) sin(5/3 π))(1 – cos(x)) – frac(cos(x)cos(2π) – sin(x)sin(2π) + 1)(-sin(x)) = 0 $

Sostituiamo i valori del seno e del coseno degli angoli noti:

$ frac(sin(x) * 1/2 + cos(x) * (- frac(sqrt3)(2)))(1 – cos(x)) – frac(cos(x) * 1 – sin(x)*0 + 1)(-sin(x)) = 0 $

$ frac(1/2 sin(x) – frac(sqrt3)(2) cos(x) )(1 – cos(x)) – frac(cos(x) + 1)(-sin(x)) = 0 $

$ frac( frac(sin(x) – sqrt3 cos(x))(2) )(1 – cos(x)) – frac(cos(x) + 1)(-sin(x)) = 0 $

$ frac( sin(x) – sqrt3 cos(x) )(2 (1 – cos(x))) – frac(cos(x) + 1)(-sin(x)) = 0 $

Calcoliamo ora il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore:

$ sin(x) (sin(x) – sqrt3 cos(x)) + 2 (1 – cos(x))(cos(x) + 1) = 0 $

$ sin^2(x) – sqrt3 sin(x)cos(x) + 2 (1 – cos^2(x)) = 0 $

$ sin^2(x) – sqrt3 sin(x)cos(x) + 2 – 2cos^2(x) = 0 $

Trasformiamo $cos^2(x)$ in $1 – sin^2(x)$ :

$ sin^2(x) – sqrt3 sin(x)cos(x) + 2 – 2(1 – sin^2(x)) = 0 $

$ sin^2(x) – sqrt3 sin(x)cos(x) + 2 – 2 + 2sin^2(x)) = 0 $

$ 3 sin^2(x) – sqrt3 sin(x)cos(x) = 0 $

Eseguiamo un raccoglimento totale:

$ sin(x) [3 sin(x) – sqrt3 cos(x)] = 0 $

Risolviamo con la legge dell’annullamento del prodotto:

$ sin(x) = 0 to x = kπ $

Questa soluzione, tuttavia, non è accettabile, poiché era stata esclusa nelle condizioni di esistenza.

$ 3 sin(x) – sqrt3 cos(x) = 0 $

Dividiamo per $cos(x)$ , ponendo lo stesso diverso da zero:

$cos(x) ≠ 0 to x ≠ π/2 + kπ $

$ frac(3 sin(x) – sqrt3 cos(x))(cos(x)) = 0 $

$ frac(3 sin(x))(cos(x)) – sqrt3 = 0 $

$ 3 tg(x) – sqrt3 = 0 $

$ tg(x) = frac (sqrt3)(3) to x = π/6 + kπ $

Determinare le tangenti goniometriche degli angoli del triangolo individuato dalle rette: $ r : y = – x + 5 , s : 5x – 2y – 18 = 0 , t : 2x – 5y + 18 = 0 $

Determinare le tangenti goniometriche degli angoli del triangolo individuato dalle rette:

$ r : y = – x + 5 , s : 5x – 2y – 18 = 0 , t : 2x – 5y + 18 = 0 $

Svolgimento

Cominciamo rappresentando sul piano cartesiano le seguenti rette per punti:

$ (0,5) ; ( -1,6) ; (1,4) ∈ r $

$ (0,-9) ; ( -1,-(23)/2) ; (1,-(13)/2) ∈ s $

$ (0,(18)/5) ; ( -1,(16)/5) ; (1,4) ∈ t $

Per prima cosa, calcoliamo il coefficiente angolare delle tre rette in questione:

$ m = – a/b $

$ m_r = -1 , m_s = 5/2 , m_t = 5/2 $

Calcoliamo ora le tangenti degli angoli formati dalle rette mediante la formula:

$ tg(x) = frac(m^1 – m)(1 + m^1 * m) $

Due rette incidenti danno origine a due coppie di angoli, due acuti e due ottusi; poiché noi cerchiamo le tangenti degli angoli interni del triangolo, dobbiamo trovare valori positivi delle tangenti.

In caso contrario, basterà cambiare segno al risultato, poiché tangenti di angoli supplementari sono uguali e opposte.

$ tg(x) = frac(m^1 – m)(1 + m^1 * m) = frac(-1-2/5)(1+(-1)*2/5) = frac(-7/5)(1-2/5) = $

$ frac(-7/5)(3/5) = – 7/5 * 5/3 = – 7/3 $

In questo caso, il risultato, essendo negativo, corrisponde all’angolo $180° – alpha$ , poiché la tangente è negativa. Cambiamo segno per trovare la tangente dell’angolo interno al triangolo:

$tg(alpha) = 7/3 $

$ tg(beta) = frac(m_r – m_s)(1 + m_r * m_s) = frac(-1-5/2)(1+(-1)*5/2) = frac(-7/2)(1-5/2) = $

$ frac(-7/2)(-3/2) = – 7/2 * (- 2/3) = 7/3 $

$ tg(gamma) = frac(m_t – m_s)(1 + m_t * m_s) = frac(2/5-5/2)(1+ 2/5*5/2) = frac(-(21)/(10))(2) = $

$ – frac(21)(10) * 1/2 = – frac(21)(20) $

Come prima, cambiamo segno per ottenere la tangente dell’angolo acuto:

$tg(gamma) = frac(21)(20) $

Risolvere la seguente equazione goniometrica: $ frac(1 – cos(2x))(1 + cos(2x)) = tg(x)$

Risolvere la seguente equazione goniometrica:

$ frac(1 – cos(2x))(1 + cos(2x)) = tg(x)$

Svolgimento

Determiniamo le condizioni di esistenza:

$C.E.$

$ 1 + cos(2x) ≠ 0 to cos(2x) ≠ -1 to 2x ≠ π + 2kπ to

$ x ≠ π/2 + kπ $

$ ∃ tg(x) : x ≠ π/2 + kπ $

$ frac(1 – cos(2x))(1 + cos(2x)) = frac(sin(x))(cos(x)) $

Applichiamo le formule di duplicazione:

$ frac(1 – (2cos^2(x) – 1))(1 + 2cos^2(x) – 1) = frac(sin(x))(cos(x)) $

$ frac(1 – 2cos^2(x) + 1)( 2cos^2(x) ) = frac(sin(x))(cos(x)) $

$ frac(2 – 2cos^2(x))( 2cos^2(x) ) = frac(sin(x))(cos(x)) $

$ frac(1 – cos^2(x))( cos^2(x) ) = frac(sin(x))(cos(x)) $

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ frac(1 – cos^2(x))( cos^2(x) ) – frac(sin(x))(cos(x)) = 0 $

$ frac(1 – cos^2(x) – cos(x)sin(x) )( cos^2(x) ) = 0 $

Poniamo $cos^2(x) ≠ 0 to cos(x) ≠ 0 to x ≠ π/2 + kπ $ ed eliminiamo il denominatore:

$ 1 – cos^2(x) – cos(x)sin(x) = 0 $

$ cos^2(x) + cos(x)sin(x) = 1 $

Dalla relazione fondamentale sappiamo che $ cos^2(x) + sin^2(x) = 1 $ ; possiamo sostituire questa scrittura al numero 1 dell’equazione:

$ cos^2(x) + cos(x)sin(x) = cos^2(x) + sin^2(x) $

$ cos^2(x) + cos(x)sin(x) – cos^2(x) – sin^2(x) = 0 $

$ cos(x)sin(x) – sin^2(x) = 0 $

Raccogliamo:

$ sin(x) (cos(x) – sin(x)) = 0 $

Risolviamo con la legge dell’annullamento del prodotto:

$ sin(x) = 0 to x = kπ $

$ cos(x) = sin(x) to x = π/4 + kπ $

Risolvere la seguente equazione goniometrica: $sin^2 (x + π/4) – sin(x – π/4) cos(x + 3/4 π) = 0 $

Risolvere la seguente equazione goniometrica:

$sin^2 (x + π/4) – sin(x – π/4) cos(x + 3/4 π) = 0 $

Svolgimento

Applichiamo le formule di addizione o sottrazione del seno e del coseno:

$ (sinx cos(π/4) + cosx sin(π/4))^2 – (sinx cos(π/4) – cosx sin(π/4)) (cosx cos(3/4 π) – sinx sin(3/4 π)) = 0 $

Sostituiamo i valori degli angoli noti:

$ (sinx * (sqrt2)/2 + cosx * (sqrt2)/2)^2 – (sinx * (sqrt2)/2 – cosx * (sqrt2)/2) (cosx * ( – (sqrt2)/2) – sinx * (sqrt2)/2 ) = 0 $

$ (frac(sqrt2 sinx)(2) + frac(sqrt2 cosx)(2) )^2 – (frac(sqrt2 sinx)(2) – frac(sqrt2 cosx)(2))(- frac(sqrt2 cosx)(2) – frac(sqrt2 sinx)(2)) = 0 $

Cambiamo segno ai prodotti:

$ (frac(sqrt2 sinx)(2) + frac(sqrt2 cosx)(2) )^2 – (frac(sqrt2 sinx)(2) – frac(sqrt2 cosx)(2))(frac(sqrt2 cosx)(2) + frac(sqrt2 sinx)(2)) = 0 $

Notiamo che il prodotto è una somma per una differenza e può essere scritto in questo modo:

$ (frac(sqrt2 sinx)(2) + frac(sqrt2 cosx)(2) )^2 + (frac(sqrt2 sinx)(2))^2 – (frac(sqrt2 cosx)(2))^2 = 0 $

Svolgiamo i quadrati:

$ (frac(sqrt2 sinx)(2))^2 + (frac(sqrt2 cosx)(2))^2 + 2*frac(sqrt2 sinx)(2) * frac(sqrt2 cosx)(2) + (frac(sqrt2 sinx)(2))^2 – (frac(sqrt2 cosx)(2))^2 = 0 $

$ frac(2 sin^2 x)(4) + frac(2 cos^2 x)(4) + frac(2 sinx cosx)(2) + frac(2 sin^2 x)(4) + frac(2 cos^2 x)(4) = 0 $

$ frac(2 sin^2 x)(4) + sinx cosx + frac(2 sin^2 x)(4) = 0 $

$ frac(sin^2 x)(2) + sinx cosx + frac(sin^2 x)(2) = 0 $

$ 2*frac(sin^2 x)(2) + sinx cosx = 0 $

$ sin^2 x + sinx cosx = 0 $

Raccogliamo:

$ sin x ( sin x + cosx ) = 0 $

Risolviamo con la legge dell’annullamento del prodotto:

$ sin x = 0 to x = kπ $

$ sin x = – cosx to x = – π/4 + kπ $

Nel trapezio $ABCD$ , avente base maggiore $AB$ , si sa che: $ AD = 3a , DC = a $ $ sin(alpha) = sin(\hat{BAD}) = 4/5 , cos(γ) = cos(\hat{BCD}) = – frac(5)(13) $ ….

Nel trapezio $ABCD$ , avente base maggiore $AB$ , si sa che:

$ AD = 3a , DC = a $

$ sin(alpha) = sin(\hat{BAD}) = 4/5 , cos(γ) = cos(\hat{BCD}) = – frac(5)(13) $

Determinare:

le altre funzioni goniometriche di α e γ e le funzioni goniometriche di $δ =\hat{ADC}$ e $ β = \hat{ABC}$;
l’altezza $CH$ relativa ad $AB$, il lato obliquo $CB$ e la base maggiore $AB$;
le funzioni goniometriche di $\hat{ABD}$ ;
le funzioni goniometriche di $\hat{DBC}$ .

Svolgimento (1)

Determiniamo le altre funzioni goniometriche di α e γ mediante la relazione fondamentale:

$ cos(α) = sqrt(1 – sin^2 (α)) = sqrt(1 – (4/5)^2) = sqrt(1 – frac(16)(25)) = $

$ sqrt(frac(25-16)(25)) = sqrt(frac(9)(25)) = 3/5 $

$ sin(γ) = sqrt(1 – cos^2 (γ)) = sqrt(1 – (- 5/(13))^2) = sqrt(1 – frac(25)(169)) = $

$ sqrt(frac(169-25)(169)) = sqrt(frac(144)(169)) = frac(12)(13) $

Per trovare le funzioni goniometriche degli angoli δ e β

teniamo presente che il trapezio è un quadrilatero avente gli angoli adiacenti supplementari. Possiamo quindi scrivere che:

$ α + δ = 180° e β + γ = 180° $

Calcoliamo ora le loro funzioni goniometriche:

$ δ = 180° – α $

$ cos δ = cos (180° – α) $

Considerando gli angoli associati abbiamo che:

$ cos δ = cos (180° – α) = – cosα = – 3/5 $

$ sin(delta) = sqrt(1 – cos^2 (delta)) = sqrt(1 – (- 3/(5))^2) = sqrt(1 – frac(9)(25)) = $

$ sqrt(frac(25 – 9)(25)) = sqrt(frac(16)(25)) = frac(4)(5) $

$ β = 180° – γ $

$ cos β = cos (180° – γ) = – cos γ = – (- frac(5)(13)) = frac(5)(13) $

$ sin(beta) = sqrt(1 – cos^2 (beta)) = sqrt(1 – (5/(13))^2) = sqrt(1 – frac(25)(169)) = $

$ sqrt(frac(169 – 25)(169)) = sqrt(frac(144)(169)) = frac(12)(13) $

Svolgimento (2)

Per determinare l’altezza $CH$ , consideriamo il triangolo rettangolo $ADK$, considerando che $CH = DK $ ; applichiamo il primo teorema dei triangoli rettangoli:

$CH = DK = AD * sin(alpha) = 3a * 4/5 = (12)/5 a $

Determiniamo il lato obliquo $CD$ considerando il triangolo $CHB$:

$CB = frac(CH)(sin(beta)) = frac((12)/5 a)((12)/(13)) = (12)/5 a * (13)/(12) = (13)/5 a $

Con il teorema di Pitagora, troviamo il lato $HB$:

$HB = sqrt(CB^2 – CH^2) = sqrt(((13)/5 a)^2 – ((12)/5 a)^2) = $

$ sqrt (frac(169)(25) a^2 – frac(144)(25) a^2) = sqrt(frac(169 – 144)(25) a^2) = a $

Sappiamo che il segmento $HK$ è uguale alla base minore e misura quindi $a$;

Determiniamo ora il lato $AK$ del triangolo $ADK$:

$ AK = AD * sin(alpha) = 3a * 3/5 = 9/5 a $

Possiamo ora trovare la lunghezza della base maggiore:

$ AB = AK + HK + HB = 9/5 a + a + a = frac(19)(5) a $

Svolgimento (3)

Per trovare le funzioni goniometriche di $\hat{ABD}$ consideriamo il triangolo $ADB$.

Possiamo trovare il lato $DB$ con il teorema del coseno:

$ DB^2 = AD^2 + AB^2 – 2 * AD * AB * cos(alpha) = $

$ (3a)^2 + ((19)/5 a)^2 – 2 * 3a * (19)/5 a * 3/5 = 9a^2 + (361)/(25) a^2 – (342)/(25) a^2 = $

$ frac(225 + 361 – 342)(25) a^2 = frac(244)(25) a^2$

$ DB = sqrt(frac(244)(25) a^2) = frac(2 sqrt(61))(5) a $

Applicando ora il teorema del seno, possiamo ricavare il seno dell’angolo $\hat{ABD}$ :

$frac(DB)(sin(alpha)) = frac(AD)(sin(\hat{ABD})) $

$sin(\hat{ABD}) = frac(AD * sin(alpha))(DB) = frac(3a * 4/5)(frac(2 sqrt(61))(5) a) = $

$ frac(12)(5) a * frac(5)(2 sqrt(61) a) = frac(6)(sqrt(61)) $

$ cos(\hat{ABD}) = sqrt(1 – sin^2 (\hat{ABD})) = sqrt(1 – (6/(sqrt(61)))^2) = sqrt(1 – frac(36)(61)) = $

$ sqrt(frac(61 – 36)(61)) = sqrt(frac(25)(61)) = frac(5)(sqrt(61)) $

d) Troviamo ora le funzioni goniometriche dell’angolo $\hat{DBC}$ sapendo che:

$ \hat{DBC} = beta – \hat{ABD} $

$ cos (\hat{DBC}) = cos (beta – \hat{ABD}) $

Applichiamo la formula di sottrazione del coseno:

$ cos (\hat{DBC}) = cos (beta – \hat{ABD}) = cos(beta)cos(\hat{ABD}) + sin(beta)sin(\hat{ABD}) = $

$ frac(5)(13) * frac(5)(sqrt(61)) + frac(12)(13) * frac(6)(sqrt(61)) = $

$ frac(25)(13sqrt(61)) + frac(72)(13sqrt(61)) = frac(97)(13 sqrt(61)) $

$ sin(\hat{DBC}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{DBC})) = sqrt(1 – (frac(97)(13 sqrt(61)))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(9409)(10309)) = sqrt(frac(10309 – 9409)(10309)) = $

$ sqrt(frac(900)(10309)) = frac(30)(13 sqrt(61)) $

Sono date la circonferenza γ di centro $O$ e diametro $AB = 2$ e la corda $AC = frac(6)(sqrt(13))$. Condotta per $C$ la retta tangente a γ che incontri in $D$ il prolungamento di $AB$ , determinare:…

Sono date la circonferenza γ di centro $O$ e diametro $AB = 2$ e la corda $AC = frac(6)(sqrt(13))$. Condotta per $C$ la retta tangente a γ che incontri in $D$ il prolungamento di $AB$ , determinare:

Le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli dei triangoli $ACB$ , $OCD$ e $BCD$ ;
Le funzioni goniometriche degli angoli $\hat{CAE}$ e $\hat{CBE}$, essendo $E$ il simmetrico di $C$ rispetto ad $AB$.

Svolgimento (1)

Cominciamo prendendo in considerazione il primo triangolo, $ACB$ : esso è rettangolo, poiché inscritto in una semicirconferenza.

Conoscendo la misura di due dei suoi lati, possiamo determinare il terzo con il teorema di Pitagora:

$CB = sqrt(AB^2 – AC^2) = sqrt(2^2 – (frac(6)(sqrt(13)))^2) = sqrt(4 – frac(36)(13)) = $

$ sqrt(frac(16)(13)) = frac(4)(sqrt(13))$

ora, ricaviamo le funzioni goniometriche degli angoli mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$AC = AB * sin(\hat{ABC}) = AB * cos(\hat{CAB}) $

$ sin(\hat{ABC}) = cos(\hat{CAB}) = frac(AC)(AB) = frac(frac(6)(sqrt(13)))(2) = $

$ frac(6)(sqrt(13)) * 1/2 = frac(3)(sqrt(13)) $

$CB = AB * cos(\hat{ABC}) = AB * sin(\hat{CAB}) $

$ cos(\hat{ABC}) = sin(\hat{CAB}) = frac(CB)(AB) = frac(frac(4)(sqrt(13)))(2) = $

$ frac(4)(sqrt(13)) * 1/2 = frac(2)(sqrt(13)) $

Per quanto riguarda l’angolo $ \hat{ACB} $, sappiamo che esso è rettangolo, di conseguenza conosciamo già le sue funzioni goniometriche:

$ sin(\hat{ACB}) = 1 , cos(\hat{ACB}) = 0 $

Passiamo ora al secondo triangolo, $OCD$ .

Sappiamo già che $OC = 1$ , poiché corrisponde al raggio della circonferenza.

Inoltre, sappiamo che $\hat{COD} = 2 \hat{CAB}$ , poiché un angolo al centro e uno alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uno il doppio dell’altro.

Cominciamo quindi trovando le funzioni goniometriche di questo angolo:

$ sin(\hat{COD}) = sin(2 \hat{CAB})$

Applichiamo le formule di duplicazione:

$ sin(\hat{COD}) = sin(2 \hat{CAB}) = 2 sin(\hat{CAB}) cos(\hat{CAB}) = $

$2 * frac(2)(sqrt(13)) * frac(3)(sqrt(13)) = frac(12)(13) $

Troviamo ora il suo coseno tramite la relazione fondamentale:

$cos(\hat{COD}) = sqrt(1 – sin^2 (\hat{COD})) = sqrt(1 – (frac(12)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(144)(169)) = sqrt(frac(169 – 144)(169)) = sqrt(frac(25)(169)) = frac(5)(13)$

Il triangolo in questione è rettangolo, poiché il raggio forma con la tangente un angolo di $90°$. Quindi, possiamo trovare il lato $OD$ mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$OD = frac(OC)(cos(\hat{COB})) = frac(1)(5/(13)) = (13)/5 $

Con il teorema di Pitagora ricaviamo l’altro cateto:

$CD = sqrt(OD^2 – OC^2) = sqrt(((13)/5)^2 – 1) = sqrt(frac(169)(25) – 1) = $

$sqrt(frac(169 – 25)(25)) = sqrt(frac(144)(25)) = (12)/5 $

Sempre mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli ricaviamo $cos(\hat{CDO})$:

$cos(\hat{CDO}) = frac(CD)(OD) = frac((12)/5)((13)/5) = (12)/5 * 5/(13) = frac(12)(13) $

$sin(\hat{CDO}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{CDO})) = sqrt(1 – (frac(12)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(144)(169)) = sqrt(frac(169 – 144)(169)) = sqrt(frac(25)(169)) = frac(5)(13)$

Il restante angolo, $\hat{ACB}$ , è rettangolo, di conseguenza conosciamo già le sue funzioni goniometriche:

$ sin(\hat{ACB}) = 1 , cos(\hat{ACB}) = 0 $

Consideriamo il triangolo $BCD$;

abbiamo già trovato in precedenza le funzioni goniometriche dell’angolo $\hat{BDC}$ :

$ cos(\hat{BDC}) = frac(12)(13) , sin(\hat{BDC}) = frac(5)(13) $

Inoltre, abbiamo la lunghezza del lato $CD$ e del lato $CB$ :

$CD = frac(12)(5) , CB = frac(4)(sqrt(13)) $

Ricaviamo la lunghezza di $BD$ per differenza:

$BD = OD – OB = frac(13)(5) – 1 = 8/5 $

Per trovare le funzioni goniometriche dei suoi angoli, applichiamo il teorema dei seni:

$ frac(CB)(sin(\hat{CDB})) = frac(CD)(sin(\hat{CBD})) $

$ sin(\hat{CBD}) = frac(CD * sin(\hat{CDB}))(CB) = frac(frac(12)(5) * frac(5)(13))(frac(4)(sqrt(13))) = $

$ frac(12)(13) * frac(sqrt(13))(4) = frac(3sqrt(13))(13) $

$cos(\hat{CBD}) = sqrt(1 – sin^2 (\hat{CBD})) = sqrt(1 – (frac(3sqrt(13))(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(117)(169)) = sqrt(frac(169 – 117)(169)) = sqrt(frac(52)(169)) = sqrt(frac(4)(13)) = frac(2)(sqrt(13)) $

Poiché però questo angolo è ottuso, il suo coseno è negativo:

$ cos(\hat{CBD}) = – frac(2)(sqrt(13)) $

Applichiamo di nuovo il teorema dei seni per trovare le funzioni goniometriche dell’ultimo angolo:

$ frac(BD)(sin(\hat{BCD})) = frac(CD)(sin(\hat{CBD})) $

$ sin(\hat{BCD}) = frac(BD * sin(\hat{CBD}))(CD) = frac(frac(8)(5) * frac(3sqrt(13))(13))(frac(12)(5)) = $

$ frac(24 sqrt(13))(65) * frac(5)(12) = frac(2sqrt(13))(13) $

$cos(\hat{BCD}) = sqrt(1 – sin^2 (\hat{BCD})) = sqrt(1 – (frac(2sqrt(13))(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(52)(169)) = sqrt(frac(169 – 52)(169)) = sqrt(frac(117)(169)) = sqrt(frac(9)(13)) = frac(3)(sqrt(13)) $

Svolgimento (2)

Determiniamo le funzioni goniometriche dell’angolo $\hat{CAE}$, sapendo che esso è il doppio dell’angolo $\hat{CAB}$ :

$ \hat{CAE} = 2 \hat{CAB}$

$ cos(\hat{CAE}) = cos( 2 \hat{CAB}) = 2 cos^2(\hat{CAB}) – 1 = $

$ 2 * frac(9)(13) – 1 = frac(18)(13) – 1 = frac(5)(13) $

$ sin(\hat{CAE}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{CAE})) = sqrt(1 – (frac(5)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(25)(169)) = sqrt(frac(169 – 25)(169)) = sqrt(frac(144)(169)) = frac(12)(13) $

Applichiamo lo stesso procedimento per l’angolo $\hat{CBE}$ :

$ \hat{CBE} = 2 \hat{CBA}$

$ cos(\hat{CBE}) = cos( 2 \hat{CBA}) = 2 cos^2(\hat{CBA}) – 1 = $

$ 2 * frac(4)(13) – 1 = frac(8)(13) – 1 = – frac(5)(13) $

$ sin(\hat{CBE}) = sqrt(1 – cos^2 (\hat{CBE})) = sqrt(1 – ( – frac(5)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(25)(169)) = sqrt(frac(169 – 25)(169)) = sqrt(frac(144)(169)) = frac(12)(13) $

Nel triangolo $ABC$ rettangolo in $A$ si sa che $AB = 3$ e $BC = 5$ . Siano $D$ un punto di $AC$ tale che $tg(\hat{ABD}) = 2/3 $ ed $E$ il punto di $BC$ tale che risulti $ \hat{EDC} = 2 \hat{ABD}$ .

Determinare perimetro e area del triangolo $DEC$ .

Svolgimento

Consideriamo il triangolo rettangolo $ABD$; possiamo applicare il secondo teorema sui triangoli rettangoli per trovare il cateto $AD$ , conoscendo la tangente dell’angolo $\hat{ABD}$ :

$AD = AB * tg(\hat{ABD}) = 3 * 2/3 = 2 $

Ora, consideriamo il triangolo rettangolo $ABC$ e troviamo il valore del lato $AC$ con il teorema di Pitagora:

$AC = sqrt(BC^2 – AB^2) = sqrt(5^2 – 3^2) = sqrt(25 – 9) = sqrt(16) = 4 $

Troviamo ora, per differenza, il lato $DC$ del triangolo $DEC$:

$ DC = AC – AD = 4 – 2 = 2 $

Ricaviamo ora il seno e il coseno dell’angolo $\hat{ABD}$ dal valore della sua tangente:

$ sin (\hat{ABD}) = frac(tg(\hat{ABD}))(sqrt(1 + tg^2 (\hat{ABD}))) = $

$ frac(2/3)(sqrt(1 + (2/3)^2)) = frac(2/3)(sqrt(1 + 4/9)) = frac(2/3)(sqrt((13)/9)) = $

$ 2/3 * frac(3)(sqrt(13)) = frac(2)(sqrt(13)) $

$ cos(\hat{ABD}) =sqrt(1 – sin^2 (\hat{ABD})) = sqrt(1 – (frac(2)(sqrt(13)))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(4)(13)) = sqrt(frac(9)(13)) = frac(3)(sqrt(13)) $

Sapendo che l’angolo $\hat{EDC}$ è doppio dell’angolo $\hat{ABD}$, possiamo scrivere che:

$ sin(\hat{EDC}) = sin(2 \hat{ABD}) $

Risolviamo con le formule di duplicazione:

$ sin(\hat{EDC}) = sin(2 \hat{ABD}) = 2 sin(\hat{ABD})cos(\hat{ABD}) = $

$ 2 * frac(2)(sqrt(13)) * frac(3)(sqrt(13)) = frac(12)(13) $

$ cos(\hat{EDC}) =sqrt(1 – sin^2 (\hat{EDC})) = sqrt(1 – (frac(12)(13))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(144)(169)) = sqrt(frac(25)(169)) = frac(5)(sqrt(13)) $

Ora, considerando il triangolo rettangolo $ABC$ , possiamo ricavare tramite il primo teorema sui triangolo rettangoli il seno dell’angolo $\hat{DCE}$ :

$ sin(\hat{DCE}) = frac(AB)(BC) = 3/5 $

$ cos(\hat{DCE}) =sqrt(1 – sin^2 (\hat{DCE})) = sqrt(1 – (frac(3)(5))^2) = $

$ sqrt(1 – frac(9)(25)) = sqrt(frac(16)(25)) = frac(4)(5) $

In questo modo possiamo ricavare anche il seno dell’angolo $\hat{DEC}$ , sapendo che

$ \hat{DEC} = 180° – (\hat{EDC} + \hat{DCE})$

$ sin(\hat{DEC}) = sin(180° – (\hat{EDC} + \hat{DCE}))$

Considerando gli angoli associati, possiamo scrivere direttamente che:

$ sin(\hat{DEC}) = sin(\hat{EDC} + \hat{DCE})$

Applichiamo la formula di addizione del seno:

$ sin(\hat{EDC} + \hat{DCE}) = sin(\hat{EDC}) cos(\hat{DCE}) + cos(\hat{EDC}) sin(\hat{DCE}) = $

$ frac(12)(13) * 4/5 + frac(5)(13) * 3/5 = frac(48)(65) + frac(3)(13) = frac(63)(65) $

Applichiamo ora il teorema dei seni al triangolo $DEC$ per trovare il lato $DE$ :

$ frac(DC)(sin(\hat{DEC})) = frac(DE)(sin(\hat{DCE})) $

$ DE = frac(DC * sin(\hat{DCE}))(sin(\hat{DEC})) = frac(2 * 3/5)(frac(63)(65)) = $

$ 6/5 * frac(63)(65) = frac(26)(21) $

Possiamo quindi già determinare l’area del triangolo $DEC$:

$A_(DEC) = 1/2 * DC * DE * sin(\hat{EDC}) = 1/2 * 2 * frac(26)(21) * frac(12)(13) = $
$frac(24)(21) = 8/7 $

Applicando di nuovo il teorema dei seni, possiamo ricavare il terzo lato del triangolo DEC:

$ frac(CE)(sin(\hat{EDC})) = frac(DC)(sin(\hat{DEC})) $

$ CE = frac(DC * sin(\hat{EDC}))(sin(\hat{DEC})) = frac(2 * frac(12)(13))(frac(63)(65)) = $

$ frac(24)(13) * frac(65)(63) = frac(40)(21) $

Troviamo ora il perimetro:

$P_(DEC) = DC + CE + DE = 2 + frac(40)(21) + frac(26)(21) = $

$ frac(42 + 40 + 26)(21) = frac(108)(21) = frac(36)(7) $

Il un triangolo due lati $AB$ e $BC$ misurano rispettivamente $2°$ e $3°$ ed è $ cos(\hat{ABC}) = – 1/5 $ . Detta $H$ la proiezione di $C$ sulla retta $AB$ , calcolare il perimetro del triangolo $AHC$.

Il un triangolo due lati $AB$ e $BC$ misurano rispettivamente $2°$ e $3°$ ed è $ cos(\hat{ABC}) = – 1/5 $ .

Detta $H$ la proiezione di $C$ sulla retta $AB$ , calcolare il perimetro del triangolo $AHC$.

Svolgimento

Ricaviamo il lato $AC$ del triangolo $ABC$ mediante il teorema del coseno:

$ AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 * AB * BC * cos(\hat{ABC})$

$ AC^2 = (2a)^2 + (3a)^2 – 2 * 2a * 3a * (- 1/5) = 4a^2 + 9a^2 + (12)/5 a^2 = (77)/5 a^2$

Quindi:

$ AC = sqrt( (77)/5 a^2 ) = sqrt((77)/5) a $

Consideriamo ora il triangolo rettangolo $CHB$ : possiamo trovare il valore del cateto $CH$ mediante il primo teorema sui triangoli rettangoli:

$ CH = BC * sin(\hat{ABC}) $

Ricaviamo quindi $sin(\hat{ABC}) $ dalla relazione fondamentale:

$ sin(\hat{ABC}) =sqrt(1 – cos^2 (\hat{ABC})) = sqrt(1 – (- 1/5)^2) = $

$ sqrt(1 – 1/(25)) = sqrt(frac(24)(25)) = frac(2 sqrt6)(5) $

$ CH = BC * sin(\hat{ABC}) = 3a * frac(2 sqrt6)(5) = frac(6 sqrt6)(5) a $

Il triangolo $AHC$ è rettangolo, poiché uno dei suoi cateti è costituito dal segmento $CH$ , cioè l’altezza del triangolo $ABC$ relativa al lato $AB$.

Avendo le lunghezze dei lati $AC$ e $CH$ , possiamo trovare con il teorema di Pitagora il cateto $AH$ :

$ AH = sqrt(CA^2 – CH^2) = sqrt((sqrt((77)/5) a)^2 – (frac(6 sqrt6)(5) a)^2 ) = $

$ sqrt( frac(77)(5) a^2 – frac(216)(25) a^2) = sqrt(frac(385 – 216)(25) a^2) =$

$ sqrt(frac(169)(25) a^2) = frac(13)(5) a$

Possiamo ora determinare il perimetro del triangolo $AHC$ :

$ P_(AHC) = AH + HC + CA = frac(13)(5) a + frac(6 sqrt6)(5) a + frac(sqrt(77))(sqrt5) a = $

$ frac(13sqrt5 a + 6 sqrt(30) a + 5 sqrt(77) a)(5sqrt5)$

Razionalizziamo:

$ frac(13sqrt5 a + 6 sqrt(30) a + 5 sqrt(77) a)(5sqrt5) * frac(sqrt5)(sqrt5) = $

$ frac((13sqrt5 a + 6 sqrt(30) a + 5 sqrt(77) a) * sqrt5)(5sqrt5 * sqrt5) = $

$ frac(65a + 6 sqrt(150) a + 5 sqrt(385) a)(25) = frac(65a + 30 sqrt(6) a + 5 sqrt(385) a)(25) $

Mettiamo in evidenza 5 e semplifichiamo:

$ frac(5 ( 13a + 6 sqrt(6) a + sqrt(385) a))(25) = frac(13a + 6 sqrt(6) a + sqrt(385) a)(5) $

Risolvere la seguente disequazione goniometrica: (2 sin^2 x – sqrt2 sinx)(1 – 3 tg^2 x) ≥ 0

Risolvere la seguente disequazione goniometrica:

$ (2 sin^2 x – sqrt2 sinx)(1 – 3 tg^2 x) ≥ 0 $

Svolgimento

Poniamo le condizioni di esistenza:

$ C.E. $

$ ∃ tg x : x ≠ π/2 + kπ $

Ora, risolviamo la disequazione ponendo ciascun termine maggiore o uguale a zero:

$ 2 sin^2 x – sqrt2 sinx ≥ 0 $

Passiamo all’equazione associata e troviamo le soluzioni:

$ 2 sin^2 x – sqrt2 sinx = 0 $

$ ( 2 sin x – sqrt2 ) sinx = 0$

Applicando la regola di annullamento del prodotto:

$ sinx = 0 ∨ sin x = frac(sqrt2)(2) $

Poiché la disequazione è maggiore 0 uguale a zero, le soluzioni sono date dagli intervalli esterni alle radici:

$ sinx ≤ 0 ∨ sin x ≥ frac(sqrt2)(2) $

Passiamo alla seconda disequazione:

$ 1 – 3 tg^2 x ≥ 0 $

Anche in questo caso, passiamo all’equazione associata:

$ 1 – 3 tg^2 x = 0 $

$ 3 tg^2 x = 1 $

$ tg^2 x = 1/3 to tg x = pm frac(1)(sqrt3) $

La disequazione è maggiore 0 uguale a zero, ma il termine di secondo grado è negativo, quindi le soluzioni sono date dagli intervalli interni alle radici:

$ – frac(1)(sqrt3) ≤ tg x ≤ frac(1)(sqrt3) $

Rappresentiamo tutto sulla circonferenza goniometrica e studiamo il segno della disequazione:

Essendo la disequazione di partenza maggiore o uguale a zero, le soluzioni sono rappresentate dai seguenti intervalli:

$ S : π/6 + 2kπ ≤ x ≤ π/4 + 2kπ ∨ $

$ 3/4 π + 2kπ < x ≤ 5/6 π + 2kπ ∨ $

$ π + 2kπ ≤ x < 7/6 π + 2kπ ∨ $

$ (11)/6 π + 2kπ ≤ x < 2π + 2kπ $