Definizione di matrice

Definizione 1: Matrice rettangolare.
Si considerino due numeri naturali $m,n$ entrambi non nulli e $m\cdot n$ numeri reali. Si chiama matrice rettangolare di tipo $(m,n)$ l’insieme dei numeri reali considerati, ordinati secondo righe ed colonne, in una tabulazione come quella che segue:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\]
Ciascuno dei numeri $a_{kj}$, con gli indici $k$ e $j$ rispettivamente variabili tra 1 ed $m$ e tra 1 ed $n$ in tutti le combinazioni possibili, viene detto elemento della matrice. La matrice viene sinteticamente indicata con
\[
A=[a_{kj}],\; k\in\{1,\ldots,m\},\; j\in\{1,\ldots,n\}
\]
Esempio di matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & \displaystyle\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 1 & 2 & -0,5 \\
1 & -3 & 1 & \displaystyle\frac{2}{3} \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

Definizione 2: Matrice (o vettore) riga.
Si chiama matrice riga, o vettore riga, una matrice rettangolare di tipo $(1,n)$, che sia cioè formata da una sola riga con $n$ elementi:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\end{pmatrix}
\]

Definizione 3: Matrice (o vettore) colonna.
Si chiama matrice colonna, o vettore colonna, una matrice rettangolare di tipo $(m,1)$, che sia cioè formata da una sola colonna con $m$ elementi:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots\\
a_{m1}\\
\end{pmatrix}
\]
Osservazione 1: Si presti attenzione al fatto che mentre nei vettori riga l’indice che cambia è il secondo, cioè l’indice di colonna, nei vettori colonna cambia il primo indice, ovvero quello di riga.

Osservazione 2: Una matrice con una sola riga e una sola colonna, cioè di tipo $(1,1)$, è sia un vettore riga che un vettore colonna. Naturalmente essa contiene un unico elemento, $(a_{11}$, ma è fondamentalmente distinta da esso: vale cioè \([a_{11}]\neq a_{11}\). Questo è vero in quanto il primo oggetto scritto è una matrice, mentre il secondo è solo un numero reale.

Definizione 4: Matrice zero.
Una matrice $Z$ i cui elementi siano tutti nulli, indipendentemente dai numeri $m$ ed $n$, viene sempre chiamata matrice zero, o matrice nulla:
\[
\begin{array}
\mbox{Z}=[z_{kj}],\; z_{kj}=0 & \forall k\in\{1,\ldots,m\},\; j\in\{1,\ldots,n\}
\end{array}
\]
Definizione 5: Matrice opposta.
Data una matrice di tipo $(m,n)$ viene detta matrice opposta di $A$ e solitamente indicata con $-A$ quell’unica matrice di tipo $(m,n)$ tale che ogni suo elemento sia l’opposto dell’ omologo elemento di $A$. In breve, deve valere la condizione \(-A=[-a_{kj}]\).

Osservazione 3: In virtù delle definizioni 4 e 5, la matrice opposta della matrice zero di tipo $(m,n)$ è ancora la stessa matrice zero di tipo $(m,n)$. Questa eventualità non si verifica con alcuna altra matrice.

Definizione 6: Matrice trasposta.
Data una matrice $A$ di tipo $(m,n)$ viene detta matrice trasposta di $A$ e solitamente indicata con $A_{T}$ quell’unica matrice di tipo $(n,m)$ che si ottiene da $A$ scambiando righe e colonne:
\[
\begin{array}{ccc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} & \Rightarrow & A_{T}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Osservazione 4: Per le definizioni 2, 3 e 6, le matrici trasposte di un vettore riga e di un vettore colonna sono rispettivamente un vettore colonna e un vettore riga. La matrice trasposta di una matrice nulla è ancora una matrice nulla, ma di tipo differente.

Matrici quadrate

Definizione 7: Matrice quadrata.
Fissato un numero naturale non nullo $n$ una matrice di tipo $(n,n)$ è chiamata per ovvi motivi matrice quadrata; si dice che essa ha ordine $n$.

Definizione 8: Diagonali di una matrice quadrata.
Data una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ qualsiasi, è possibile trovare in essa $n$ elementi che giacciono su una delle diagonali del quadrato, ed $n$ che giacciono sull’altra diagonale. Uno dei due insiemi ha la caratteristica che ciascuno dei suoi elementi ha gli indici uguali: esso è detto diagonale principale; l’altro insieme forma la diagonale secondaria.
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & a_{12} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}3} \\
a_{21} & \color{red}a_{\color{green}2\color{green}2} & a_{23} \\
\color{green}a_{\color{green}3\color{green}1} & a_{32} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} \\
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
\color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & a_{12} & a_{13} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}4} \\
a_{21} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}2} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}3} & a_{24} \\
a_{31} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}2} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} & a_{34} \\
\color{green}a_{\color{green}4\color{green}1} & a_{42} & a_{43} & \color{red}a_{\color{red}4\color{red}4}\\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Osservazione 5: Nell’immagine che precede, vediamo due matrici quadrate di ordini 3 e 4. In entrambe, gli elementi segnati in rosso formano la diagonale principale e quelli segnati in verde formano la diagonale secondaria. Si noti che se $n$ è pari, come nella seconda matrice, allora le due diagonali non hanno elementi in comune; se invece $n$ è dispari, come accade nel primo esempio, esiste un elemento che appartiene a entrambe le diagonali.

Definizione 9: Matrice triangolare.
Una matrice quadrata di ordine $n$ qualsiasi è detta triangolare superiore se tutti gli elementi situati sotto la sua diagonale principale sono nulli; si dice invece triangolare inferiore una matrice quadrata di ordine $n$ qualsiasi tale da avere nulli tutti gli elementi situati al di sopra della sua diagonale principale.
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & 0 & a_{44} \\
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Definizione 10: Matrice diagonale.
Si chiama matrice diagonale una matrice quadrata di ordine $n$ qualsiasi i cui elementi non appartenenti alla diagonale principale sono tutti nulli.
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{33} & 0 \\
0 & 0 & 0 & a_{44} \\
\end{pmatrix}
\]

Definizione 11: Matrice identica.
Si chiama matrice identica, o matrice unità, una matrice diagonale di ordine $n$ qualsiasi i cui elementi appartenenti alla diagonale principale sono tutti 1.
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

Osservazione 6: Nelle tre immagini precedenti sono rappresentate matrici di ordine 4 triangolari superiori, inferiori, diagonali e identiche. Si noti che nelle definizioni 9 e 10 si dice solo che alcuni degli elementi devono essere nulli, non che gli altri, di cui non si parla, non possono essere 0. In particolare, ad esempio, una matrice diagonale è sia una matrice inferiormente triangolare che superiormente triangolare.

Osservazione 7: In virtù della definizione 6, la trasposta di una matrice inferiormente (superiormente) triangolare è una matrice superiormente (inferiormente) triangolare. La trasposta di una matrice diagonale è ancora la stessa matrice; questa eventualità si verifica per tutte e sole le matrici diagonali.

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Operazioni con le matrici
• Proprietà delle operazioni con le matrici
• Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus
• Proprietà dei determinanti
• Matrice inversa e Teorema di Laplace
• Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Altro materiale di supporto

• Appunti di Geometria del Prof. Raffaele Santoro
• Videolezione: “Matrici: prime definizioni”

Se hai qualche dubbio o bisogno d’aiuto, puoi chiedere nella sezione Geometria e Algebra lineare del Forum di Matematicamente.it

Definizioni delle operazioni tra matrici e proprietà elementari

Definizione 1: Somma di matrici.
Date due matrici $A$ e $B$ entrambe di tipo $(m,n)$, si chiama somma di $A$ e $B$ e si indica col simbolo $A+B$ quella matrice di tipo $(m,n)$ i cui elementi sono la somma degli elementi omologhi di $A$ e $B$.
\[
\begin{aligned}
&\begin{array}{cc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} &
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{array} \\
&\begin{array}{c}
& \\
A+B=\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\end{aligned}
\]
Osservazione 1: La differenza di due matrici dello stesso tipo $A$ e $B$ si definisce, usando la definizione 1, come la somma di $A$ con $-B$, cioè con la matrice opposta di $B$.

Osservazione 2: La somma di una matrice e della sua opposta dà come risultato la matrice nulla, indipendentemente dal numero di righe e colonne degli addendi.

Definizione 2: Prodotto di una matrice per uno scalare.
Dati un numero reale $r$ e una matrice $A$, si chima prodotto di $A$ per lo scalare $r$ e si indica con $rA$ quella matrice, dello stesso tipo di $A$, i cui elementi sono i prodotti per degli elementi omologhi di $A$.
\[
rA=\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} & \cdots & ra_{1n} \\
ra_{21} & ra_{22} & \cdots & ra_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ra_{m1} & ra_{m2} & \cdots & ra_{mn} \\
\end{pmatrix}
\]
Osservazione 3: Il prodotto di una qualsiasi matrice $A$ per $r=-1$ dà come risultato $-A$, la matrice opposta di $A$; il prodotto di $A$ con $r=0$ dà la matrice nulla.

Definizione 3: Prodotto scalare di un vettore riga per un vettore colonna.
Dati un vettore riga $u$ ed un vettore colonna $v$ con lo stesso numero di elementi, si chiama prodotto scalare di $u$ per $v$ e si indica con il numero reale $u\cdot v$ che si ottiene sommando gli $n$ prodotti i cui fattori sono gli elementi omologhi di $u$ e $v$.
\[
\begin{array}{cc}
u=\begin{pmatrix}
u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n}
\end{pmatrix}, &
v=\begin{pmatrix}
v_{11} \\
v_{21} \\
\vdots \\
v_{n1} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{cc}
\begin{aligned}
&u\cdot v=u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}+\ldots+u_{1n}v_{n1} & \Leftrightarrow \\
&u\cdot v=\sum_{j=1}^{n}u_{1j}v{j1} &
\end{aligned}
\end{array}
\]

Osservazione 4: Dati due vettori $u$ e $v$ con lo stesso numero di elementi, si può comunque definire il loro prodotto scalare assumendo, come di solito si fa, che il primo sia scritto come vettore riga e il secondo come vettore colonna. Il risultato dell’operazione, $u\cdot v$, si legge pure “$u$ scalato con $v$”.

Definizione 4: Prodotto righe per colonne.
Date una matrice $A$ di tipo $(m,t)$ e una matrice $B$ di tipo $(t,n)$, si chiama prodotto righe per colonne di $A$ per $B$ o prodotto matriciale di $A$ per $B$ e si indica con $A\cdot B$ quella matrice $R$ di tipo $(m,n)$ il cui elemento generico $r_{ik}$ è il prodotto scalare dell’-$i$esima riga di $A$ con la $k$-esima colonna di $B$.
\[
\begin{aligned}
&\begin{array}{cc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1t} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2t} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mt} \\
\end{pmatrix}, &
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{t1} & b_{t2} & \cdots & b_{tn} \\
\end{pmatrix} \\
\end{array} \\
&\begin{array}{cc}
& \\
A\cdot B=R=\begin{pmatrix}
r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\
r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
r_{m1} & r_{m2} & \cdots & r_{mn} \\
\end{pmatrix}, & \mbox{con}\; r_{\color{red}i\color{red}k}=\displaystyle\sum_{\color{green}j=1}^{t}a_{\color{red}i\color{green}j}b_{\color{green}j\color{red}k} \\
\end{array}
\end{aligned}
\]

Osservazione 5: La definizione 4 è ben posta, perché infatti comunque si scelgano $i$ e $k$ l’$i$-esima riga di $A$ e la $k$-esima colonna di $B$ sono vettori di lunghezza $t$, e quindi si può effettuare il loro prodotto scalare secondo la definizione 3.

Osservazione 6: Quando si effettua il prodotto scalare di $A$ e $B$, gli elementi del vettore riga $a$ variano “orizzontalmente”, cioè con il secondo indice, mentre quelli del vettore colonna variano “verticalmente”, ovvero col primo indice. Ne risulta che nel calcolo di $r_{ik}$ gli indici $i$ e $k$, indicati in rosso, restano fissi, mentre l’indice $j$, colorato in verde, varia tra $1$ e $t$.

Osservazione 7: La definizione 4 estende la definizione 3, nel senso che se le matrici $A$ e $B$ sono rispettivamente un vettore riga e un vettore colonna il loro prodotto scalare coincide con il loro prodotto righe per colonne. Quest’ultimo si può effettuare in quanto $A$ è del tipo $1,t$ e $B$ è del tipo $(t,1)$; il risultato è una matrice $(1,1)$, cioè contenente un solo elemento, e in questo caso si assume che tali due oggetti, in principio diversi, coincidano.

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Proprietà delle operazioni con le matrici
• Definizione di determinante e casi elementari
• Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus
• Proprietà dei determinanti
• Matrice inversa e Teorema di Laplace
• Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Altro materiale di supporto

• Videolezione: Esercizi sul prodotto di matrici
• Videolezione: Esercizi sulle operazioni di base delle matrici
• Operazioni su matrici (argomento dal forum)

Se hai qualche dubbio o bisogno d’aiuto, puoi chiedere nella sezione Geometria e Algebra lineare del Forum di Matematicamente.it

Per tutta questa scheda, i simboli $A$, $B$ e $C$ indicheranno matrici qualsiasi, mentre con $\alpha$ e $\beta$ indicheremo degli scalari. Supporremo inoltre che le matrici siano sempre tali da verificare le condizioni necessarie allo svolgimento delle operazioni nelle quali figurano.

Proprietà del prodotto di una matrice per uno scalare

Proprietà 1. Associatività:
\[
(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)
\]
Proprietà 2. Distributività rispetto alla somma di scalari:
\[
(\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A
\]
Proprietà 3. Distributività rispetto alla somma di matrici:
\[
\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B
\]
Osservazione 1: Queste tre proprietà si dicono valere “termine a termine”, nel senso che per il calcolo del termine generico $m_{jk}$ delle matrici da un lato e dall’altro dell’uguale non intervengono altri termini che non quelli di $A$ e $B$ ad esso omologhi, cioè $a_{jk}$ e $b_{jk}$.

Dimostrazione: Grazie all’osservazione 1, le proprietà su elencate sono tutte facilmente dimostrabili, e la loro validità discende dalle relative proprietà valide per i numeri reali. Per dimostrarle faremo vedere che i termini generici di posizione $(j,k)$ dell’una e dell’altra matrice sono uguali. Avremo dunque:
\[
\begin{aligned}
\left[(\alpha\beta)A\right]_{jk} &=(\alpha\beta)a_{jk}=\alpha(\beta a_{jk})=[\alpha(\beta A)]_{jk}\\
[(\alpha+\beta)A]_{jk} &=(\alpha+\beta)a_{jk}=\alpha a_{jk}+\beta a_{jk}=\\
&=\left[\alpha A\right]_{jk}+\left[\beta A\right]_{jk}=\left[\alpha A+\beta A\right]_{jk}\\
\left[\alpha(A+B)\right]_{jk} &=\alpha(a_{jk}+b_{jk})=\alpha a_{jk}+\alpha b_{jk}=\\
&=\left[\alpha A\right]_{jk}+\left[\alpha B\right]_{jk}=\left[\alpha A+\alpha B\right]_{jk}
\end{aligned}
\]
In ciascuna dimostrazione, la seconda uguaglianza deriva dalle note proprietà del prodotto di numeri reali, esattamente dall’associatività nel primo caso e dalla distributività negli altri due.

Proprietà della somma di matrici

Proprietà 4. Commutatività:
\[
A+B=B+A
\]
Proprietà 5. Associatività:
\[
\displaystyle(A+B\displaystyle)+C=A+(B+C)
\]
Dimostrazione: Anche per queste due proprietà vale l’osservazione 1, col che esse sono di semplice dimostrazione. Come prima, ci interesseremo del termine generico di posizione $(j,k)$ di ciascuna matrice, avendo perciò:
\[
\begin{aligned}
\left[A+B\right]_{jk} &=a_{jk}+b_{jk}=b_{jk}+a_{jk}=\left[B+A\right]_{jk}\\
\left[(A+B)+C\right]_{jk} &=\left[A+B\right]_{jk}+c_{jk}=(a_{jk}+b_{jk})+c_{jk}=\\
&=a_{jk}+(b_{jk}+c_{jk})=a_{jk}+\left[B+C\right]_{jk}=\\
&=\left[A+(B+C)\right]_{jk}
\end{aligned}
\]
Nel passaggio centrale delle due dimostrazioni abbiamo adoperato una proprietà già nota della somma di numeri reali: nel primo caso si è trattato della commutatività, mentre nel secondo dell’associatività.

Proprietà del prodotto righe per colonne

Proprietà 6. Associatività:
\[
(A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)
\]
Dimostrazione. Consideriamo gli elementi generici delle due matrici in esame:
\[
\begin{aligned}
\left[(A\cdot B)\cdot C\right]_{jk} &=\sum_{i}\left[A\cdot B\right]_{ji}c_{ik}=\\
&=\displaystyle\sum_{i}\left(\sum_{h}a_{jh}b_{hi}\right)c_{ik}\\
\\
\left[A\cdot(B\cdot C)\right]_{jk} &=\displaystyle\sum_{h}a_{jh}\left[B\cdot C\right]_{hk}=\\
&=\displaystyle\sum_{h}a_{jh}\left(\sum_{i}b_{hi}c_{ik}\right)
\end{aligned}
\]
Ciò è vero in virtù della definizione di elemento generico del prodotto righe per colonne di due matrici date. Poiché tutte le somme considerate sono finite e di numeri reali, dalla distributività destra e sinistra del prodotto rispetto alla somma in $\mathbb{R}$ avremo:
\[
\begin{aligned}
\sum_{i}\left(\sum_{h}a_{jh}b_{hi}\right)c_{ik} &=\sum_{i}\left(\sum_{h}a_{jh}b_{hi}c_{ik}\right)=\sum_{h}\left(\sum_{i}a_{jh}b_{hi}c_{ik}\right)\\
&=\sum_{h}a_{jh}\left(\sum_{i}b_{hi}c_{ik}\right)
\end{aligned}
\]
il che prova infine che $[(A\cdot B)\cdot C]_{jk}=[A\cdot(B\cdot C)]_{jk}$, essendo il primo e l’ultimo termine dell’uguaglianza precedente null’altro che i termini generici trovati in precedenza.

Proprietà 7. Distributività a sinistra e a destra rispetto alla somma:
\[
\begin{array}{cc}
A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C, & (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C
\end{array}
\]
Dimostrazione: Faremo vedere solo la prima delle due uguaglianze, in quanto la seconda si prova in maniera del tutto analoga. Come al solito troviamo i termini generici delle due matrici date:
\[
\begin{aligned}
\left[A\cdot (B+C)\right]_{jk}&=\sum_{h}a_{jh}\left[B+C\right]_{hk}=\\
&=\sum_{h}a_{jh}(b_{hk}+c_{hk})\\
\\
\left[A\cdot B+A\cdot C\right]_{jk} &=\left[A\cdot B\right]_{jk}+\left[A\cdot C\right]_{jk}=\\
&=\sum_{h}a_{jh}b_{hk}+\sum_{h}a_{jh}c_{hk}=\\
&=\sum_{h}a_{jh}b_{hk}+a_{jh}c_{hk}
\end{aligned}
\]
L’uguaglianza desiderata si ottiene semplicemente mettendo in evidenza $a_{jh}$ nell’ultimo termine della seconda equazione: si otterrà così l’ultimo termine della prima equazione, il che prova che $[A\cdot(B+C)]_{jk}=[A\cdot B+A\cdot C]_{jk}$, ovvero la tesi.

Esempi

Esempio 1: Sono date le matrici
\[
\begin{array}{ccc}
A=\begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix}, & B=\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}, & C=\begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}
\end{array}
\] Si verifichi che per esse vale la proprietà 6 di associatività del prodotto righe per colonne.
Per effettuare questa verifica cominciamo col calcolare i seguenti due prodotti:
\[
\begin{aligned}
A\cdot B &=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&2&3\\
-&1&0\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&1&1\\
&0&1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&2&5\\
&1&-1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\\
B\cdot C &=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&1&1\\
&0&1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&3&2\\
-&2&-1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&5&-3\\
-&2&-1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
Moltiplicando adesso il primo di essi a destra per $C$ ed il secondo di essi a sinistra per $A$,
\[
\begin{aligned}
(A\cdot B)\cdot C &=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&2&5\\
&1&-1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&3&2\\
-&2&-1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&16&-9\\
&5&3\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\\
A\cdot(B\cdot C) &=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&2&3\\
-&1&0\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&5&3\\
-&2&-1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&16&-9\\
&5&3\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
Poiché i due risultati ottenuti sono uguali, la proprietà desiderata è verificata.

Esempio 2: Si dimostri, attraverso un controesempio, che il prodotto righe per colonne non gode della proprietà commutativa.
Riprendendo le matrici dell’esempio precedente, potremmo far vedere che $A\cdot B\ne B\cdot A$. In effetti, poiché abbiamo già calcolato il primo prodotto, non resta che calcolare $B\cdot A$:
\[
B\cdot A=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&1&1\\
&0&1\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&2&3\\
-&1&0\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
-&3&-3\\
-&1&0\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
Come si vede, esso è diverso da \(A\cdot B=\begin{pmatrix}-2&5\\1&-1\end{pmatrix}\), col che sappiamo per certo che il prodotto righe per colonne non gode della proprietà commutativa.

Osservazione 2: Ciò che abbiamo dimostrato nell’esempio 2 non esclude che esistano delle matrici per le quali, casualmente, si abbia $A\cdot B=B\cdot A$: il nostro controesempio prova infatti semplicemente che ciò non è vero per tutte le matrici.

Esempio 3: Si dimostri, attraverso un contro esempio, che per il prodotto righe per colonne non vale la legge di annullamento del prodotto.
Ricordiamo che la legge di annullamento del prodotto dice che se il prodotto di due fattori è nullo, allora certamente almeno uno di detti fattori è a sua volta nullo; essa vale ad esempio per i numeri reali. D’altro canto se consideriamo il prodotto
\[
\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&2 & 4\\
-&1 & -2\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&0 & -4\\
&0 & 2\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
&0 & 0\\
&0 & 0\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
è facile osservare che benché nessuno dei due fattori sia nullo, il risultato lo è. Dunque la legge di annullamento del prodotto non vale per le matrici.

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Operazioni con le matrici
• Definizione di determinante e casi elementari
• Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus
• Proprietà dei determinanti
• Matrice inversa e Teorema di Laplace
• Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Altro materiale di supporto

• Videolezione: Esercizi sulle operazioni con le matrici
• Algebra lineare for dummies (dal forum di Matematicamente.it)
• Esercizio proposto nel forum: Problema sulle operazioni tra le matrici

Se hai qualche dubbio o bisogno d’aiuto, puoi chiedere nella sezione Geometria e Algebra lineare del Forum di Matematicamente.it

Definizioni

Ad ogni matrice quadrata $A$ viene assegnata una quantità numerica, detta determinante, che si indica con uno qualsiasi dei due simboli $\detA$, \(\left|A\right|\). Per tutta la durata di questa scheda supporremo che le matrici in esame siano quadrate.

Definizione 1: Determinante di una matrice di ordine 1.
Sia data una matrice quadrata $A=(a_{11})$ di ordine 1, costituita cioè da un solo elemento. In questo caso il determinante di $A$ coincide con detto elemento, ovvero $\detA=a_{11}$.

Definizione 2: Minore complementare.
Sia data una matrice quadrata $A$ di ordine $n>1$, e sia $a_{jk}$ un suo elemento. Si chiama minore complementare di $a_{jk}$ il determinante della matrice quadrata di ordine $n-1$ che si ottiene da $A$ sopprimendo la $j$-esima riga e la $k$-esima colonna.

Esempio 1: Si consideri la generica matrice $A$ di ordine 4 ed il suo elemento $a_{23}$. Il minore complementare di $a_{23}$ è il determinante della matrice $B$ di ordine 3 ottenuta da $A$ tramite la soppressione degli elementi rossi

\[
\begin{array}{ccc}
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}3} & a_{14} \\
\color{red}a_{\color{red}2\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}2} & \mathbf{\color{red}a_{\color{red}2\color{red}3}} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}4} \\
a_{31} & a_{32} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & \color{red}a_{\color{red}4\color{red}3} & a_{44} \\
\end{pmatrix} & \rightarrow &
B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14} & \\
a_{31} & a_{32} & a_{34} & \\
a_{41} & a_{42} & a_{44} & \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]

Definizione 3: Complemento algebrico.
Sia data una matrice quadrata $A$ di ordine $n>1$, e sia $a_{jk}$ un suo elemento. Si chiama complemento algebrico di $a_{jk}$ e si indica col simbolo $A_{jk}$ il minore complementare di $a_{jk}$ moltiplicato per la quantità $(-1)^{j+k}$.

Esempio 2: Nello stesso caso dell’esempio 1, possiamo dire che il complemento algebrico di $a_{23}$ è $A_{23}=-\det B$. Infatti in questo caso la quantità $j+k=2+3=5$ è dispari, e $-1$ elevato a un numero dispari fa ancora $-1$.

Osservazione 1: Se la quantità $j+k$ è pari, il complemento algebrico di $a_{jk}$ coincide con il suo minore complementare; se invece $j+k$ è dispari, il complemento algebrico di $a_{jk}$ è il suo minore complementare cambiato di segno.

Definizione 4: Determinante di una matrice di ordine $n>1$.
Il determinante di una matrice quadrata di ordine $n>1$ è dato dalla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna per i rispettivi complementi algebrici.

Osservazione 2: Il determinante si definisce in maniera ricorsiva: ciò significa che si dà un modo diretto per calcolarlo valido per le matrici di ordine 1, mentre per la generica matrice di ordine $n$ il calcolo si può ricondurre a quello di determinanti di matrici di ordine via via più basso, fino a giungere al primo. Infatti il calcolo dei complementi algebrici degli elementi di una riga o una colonna di una matrice di ordine $n$ consiste nel calcolo di al più $n-1$ determinanti di matrici di ordine $n-1$.

Determinanti di matrici 2×2

Metodo per le matrici di ordine 2. Consideriamo una generica matrice di ordine 2:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix}
\]
In virtù della definizione 4, che è l’unica applicabile in quanto l’ordine di $A$ è maggiore di 1, per calcolare $\detA$ dovremo scegliere in primo luogo una linea della matrice, ovvero una sua riga o una sua colonna. Tipicamente, onde semplificare i calcoli, si sceglie la linea con più zeri; nel nostro caso generico sceglieremo la prima riga. Avremo allora:
\[
\det A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}
\]
$A_{11}$, essendo il complemento algebrico di $a_{11}$, è pari a $(-1)^{1+1}\det(a_{22})$; similmente, per $A_{12}$ avremo la formula $(-1)^{1+2}\det(a_{21})$. In effetti, le matrici $(a_{22})$ e $(a_{21})$, quadrate di ordine 1, sono proprio quelle ottenute da $A$ sopprimendo le linee indicate dagli indici di $a_{11}$ e $a_{12}$ rispettivamente. In ultimo avremo
\[
\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]
ricordando la definizione 1 per calcolare $\det(a_{22})$ e $\det(a_{21})$. A quanto pare, il calcolo del determinante di una matrice quadrata qualsiasi di ordine 2 si riduce al prodotto degli elementi della diagonale principale diminuito del prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

Osservazione 3: Il risultato testé ottenuto sarebbe stato identico qualora, in luogo della prima, avessimo scelto la seconda riga o una qualsiasi delle colonne. Questo fatto, che si dimostra facilmente per la matrici di ordine 2, si può provare in generale adoperando le proprietà dei determinanti.

Esempio 3: Si calcoli il determinante della matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
6 & 2 \\
\end{pmatrix}
\]
Grazie alla formula appena ottenuta, potremo scrivere direttamente
\[
\det A=3\cdot 2-1\cdot 6=6-6=0
\]
Se per esempio avessimo scelto di sviluppare tale determinante rispetto alla prima colonna avremmo invece dovuto scrivere
\[
\det A=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}=3\cdot 2-6\cdot 1=0
\]
ottenendo al fine lo stesso risultato, come da osservazione 3.

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Operazioni con le matrici
• Proprietà delle operazioni con le matrici
• Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus
• Proprietà dei determinanti
• Matrice inversa e Teorema di Laplace
• Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Altro materiale di supporto

• Videolezione: Determinante di una matrice
• Videolezione: Esercizi sui determinanti
• Esercizio (dal forum): Calcolo del determinante di una matrice 4×4

Se hai qualche dubbio o bisogno d’aiuto, puoi chiedere nella sezione Geometria e Algebra lineare del Forum di Matematicamente.it.

Determinanti di matrici 3×3

Metodo per le matrici di ordine 3. Consideriamo una generica matrice di ordine 3:
\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\]
In virtù della definizione di determinante di una matrice di ordine $n>1$, per calcolare il determinante di $A$ dovremo prima di tutto scegliere una linea, diciamo la prima riga, e quindi sviluppare il calcolo nel modo seguente:
\[
\det A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}
\]
Quindi, per la definizione di complemento algebrico, scriveremo
\[
\begin{array}{c}
\begin{aligned}
=&a_{11}(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}+a_{12}(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}+\\
+&a_{13}(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}=\\
=&a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}-a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}+a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{array}
\]
cosicché il calcolo di un determinante di una matrice di ordine 3 si è ridotto al calcolo di 3 determinanti di matrici di ordine 2. Per procedere adopereremo la formula già nota per il calcolo di questi ultimi determinanti:
\[
\begin{aligned}
=&a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+\\
+&a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=\\
=&a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+\\
+&a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}=\\
=&(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})+\\
-&(a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31})
\end{aligned}
\]
Questa formula è certo difficile da ricordare, e ancor più da utilizzare senza fare errori. A questo proposito esistono due regole mnemoniche semplici che consentono di ricavare la suddetta formula:

Regola di Sarrus. A partire dalla matrice $A$ quadrata di ordine 3 data, scriviamo la seguente matrice rettangolare con 3 righe e 5 colonne:
\[
\begin{pmatrix}
\color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}2} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}1} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}2} \\
\color{red}a_{\color{red}2\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}2} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}1} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}2} \\
\color{red}a_{\color{red}3\color{red}1} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}2} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}1} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}2} \\
\end{pmatrix}
\]
Essa si ottiene dalla $A$, qui indicata in rosso, aggiungendovi le due colonne verdi a destra; esse devono essere uguali alla prima e alla seconda colonna di $A$. A questo punto leggiamo la matrice ottenuta diagonalmente nei due modi seguenti:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{cyan}a_{\color{cyan}1\color{cyan}1} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}2} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}3} & a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & \color{cyan}a_{\color{cyan}2\color{cyan}2} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}1} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} & \color{cyan}a_{\color{cyan}3\color{cyan}3} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}1} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}2} \\
\end{pmatrix} &
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \color{cyan}a_{\color{cyan}1\color{cyan}3} & \color{red}a_{\color{red}1\color{red}1} & \color{green}a_{\color{green}1\color{green}2} \\
a_{21} & \color{cyan}a_{\color{cyan}2\color{cyan}2} & \color{red}a_{\color{red}2\color{red}3} & \color{green}a_{\color{green}2\color{green}1} & a_{22} \\
\color{cyan}a_{\color{cyan}3\color{cyan}1} & \color{red}a_{\color{red}3\color{red}2} & \color{green}a_{\color{green}3\color{green}3} & a_{31} & a_{32} \\
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
Nell’immagine a sinistra gli elementi dello stesso colore sono i fattori dei tre prodotti che vanno presi con segno positivo nel calcolo del determinante; nell’immagine a destra, invece, vediamo nello stesso colore i fattori dei prodotti che vanno presi con segno negativo. In questo modo gli allineamenti diagonali ci consentono di non dover ricordare l’intera formula precedente.

Esempio 1. Si calcoli con la regola di Sarrus il determinante della matrice seguente:
\[
A=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
0& & 5& & 4&\\
2& & 1& & -1&\\
-3& & 4& & 2&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
Riscriviamo la matrice $A$ e ripetiamo, alla sua destra, le prime due colonne
\[
A=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
0& & 5& & 4& & 0& & 5&\\
2& & 1& & -1& & 2& & 1&\\
-3& & 4& & 2& & -3& & 4&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
Leggiamo adesso la matrice rettangolare ottenuta secondo i due allineamenti precedenti
\[
\begin{array}{c}
\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
\color{cyan}0& & \color{red}5& & \color{green}4& & 0& & 5&\\
2& & \color{cyan}1& & \color{red}-\color{red}1& & \color{green}2& & 1&\\
-3& & 4& & \color{cyan}2& & \color{red}-\color{red}3& & \color{green}4&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix} \\
\\
\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
0& & 5& & \color{cyan}4& & \color{red}0& & \color{green}5&\\
2& & \color{cyan}1& & \color{red}-\color{red}1& & \color{green}2& & 1&\\
\color{cyan}-\color{cyan}3& & \color{red}4& & \color{green}2& & -3& & 4&\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
&\rightarrow[\color{cyan}0\cdot\color{cyan}1\cdot\color{cyan}2+\color{red}5\cdot\color{red}(\color{red}-\color{red}1\color{red})\cdot\color{red}(\color{red}-\color{red}3\color{red})+\color{green}4\cdot\color{green}2\cdot\color{green}4]+\\
& -[\color{cyan}(\color{cyan}-\color{cyan}3\color{cyan})\cdot\color{cyan}1\cdot\color{cyan}4+\color{red}4\cdot\color{red}(\color{red}-\color{red}1\color{red})\cdot\color{red}0+\color{green}2\cdot\color{green}2\cdot\color{green}5] \\
&\rightarrow[0+15+32]-[-12+0+20]=47-8=39
\end{aligned}
\]
Dunque il determinante della matrice data è $\det A=39$.

Regola dei triangoli. Un altro modo utile per ricordare la formula per il determinante delle matrici quadrate di ordine 3 è il seguente. Scriviamo ancora una volta la generica matrice $A$, segnamone la diagonale principale e dividiamo gli elementi rimanenti in due triangoli:

Facciamo lo stesso una seconda volta, segnando però per prima la diagonale secondaria. Ciò che otteniamo è ancora di dividere gli elementi della matrice in sei gruppi da 3, costituenti i fattori dei prodotti che vanno presi con il più nel primo caso e con il meno nel secondo. Questo metodo è del tutto equivalente a quello di Sarrus, ma ci evita un po’ di scrittura, potendosi i triangoli dati “disegnare” a mente.

Determinanti di matrici n x n

Metodo per le matrici di ordine $n$. Consideriamo la generica matrice quadrata $A$ di ordine $n>1$:
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{pmatrix}
\]
In base alla definizione di determinante, in primo luogo scegliamo una sua linea qualsiasi, ad esempio la $j$-esima riga, e quindi scriviamo
\[
\det A=\sum_{k=1}^n a_{jk}A_{jk}
\]
Ciascun $A_{jk}$, essendo il complemento algebrico di un elemento di una matrice $n\times n$, comporta il calcolo di un determinante di ordine $n-1$: dunque il calcolo del determinante di $A$ si è ridotto a quello di $n$ determinanti ordine $n-1$. Ciascuno di questi determinanti si potrà a sua volta ridurre al calcolo di $n-1$ determinanti di ordine $n-2$, e così via. La semplificazione ha termine allorché i determinanti da calcolare diventano del terzo ordine, perché in questo caso possiamo usare la regola di Sarrus o quella dei triangoli e trovare la soluzione.

Osservazione 1. Se invece della $j$-esima riga avessimo scelto la $k$-esima colonna, la formula da usare per calcolare il determinante di $A$ sarebbe stata quasi identica:
\[
\det A=\sum_{j=1}^n a_{jk}A_{jk}
\]

Osservazione 2. Poiché la parte difficile della formula precedente consiste nel calcolo dei complementi algebrici, e dal momento che ciascuno di questi è moltiplicato per l’elemento di matrice cui corrisponde, il calcolo sarà grandemente semplificato se sceglieremo una linea con molti zeri. In questo caso infatti il prodotto $a_{jk}A_{jk}$ farà automaticamente zero, indipendentemente dal valore del complemento algebrico, per ogni $a_{jk}=0$.

Esempio 2. Si calcoli il determinante della matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
\begin{aligned}
1 & &5 & &7 & &-1\\
0 & &0 & &4 & &0\\
2 & &0 & &-1 & &3\\
0 & &2 & &0 & &-3\\
\end{aligned}
\end{pmatrix}
\]
La linea della matrice $A$ dotata di più zeri in assoluto è la seconda riga; svilupperemo quindi il determinante di $A$ rispetto a tale linea, secondo la formula
\[
\det A=\sum_{k=1}^4 a_{2k}A_{2k}=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+a_{24}A_{24}
\]
Sostituendo i valori degli elementi di $A$, abbiamo subito
\[
\begin{aligned}
&\det A=4A_{23}=4(-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}1&5&-1\\2&0&3\\0&2&-3\end{pmatrix}=\\
&=-4\det\begin{pmatrix}1&5&-1\\2&0&3\\0&2&-3\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
col che l’unico calcolo che resta da fare è quello di un determinante di una matrice di ordine 3. Adoperando la regola dei triangoli, otteniamo
\[
\begin{aligned}
&\det A=-4\, [\,(0+0-4)-(0-30+6)\,]=-4\,[\,-4+24\,]\,=\\
&=-80
\end{aligned}
\]
Osservazione 3. Altre scelte sensate sarebbero state la quarta riga, la prima o la seconda colonna, tutte e tre dotate di due zeri. Se avessimo voluto sviluppare il determinante rispetto alla prima riga avremmo dovuto invece calcolare ben 4 determinanti di ordine 3, allungando moltissimo i calcoli.

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Operazioni con le matrici
• Proprietà delle operazioni con le matrici
• Definizione di determinante e casi elementari
• Proprietà dei determinanti
• Matrice inversa e Teorema di Laplace
• Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Altro materiale di supporto

• Videolezione: Calcolo del determinante con la regola di Sarrus
• Videolezione: Esercizi sui determinanti
• Esercizio (dal forum): Rango e determinante con matrici parametriche

Se hai qualche dubbio o hai bisogno d’aiuto puoi chiedere nella sezione Geometria e Algebra lineare del forum di Matematicamente.it.

Proprietà

Osservazione 1. Il calcolo di un determinante, per quanto in teoria sia semplice, può poi in pratica risultare lungo e complesso, specie quando le matrici esaminate sono di ordine alto e hanno pochi zeri. A questo proposito si ricorre spesso ad un certo numero di proprietà sui determinanti, che consentono di ridurre il problema ad uno più semplice.

Proprietà 1. Se una delle linee di $A$ è composta solo da zeri, allora $\det A=0$.

Proprietà 2. Se $A$ è una matrice diagonale o triangolare, allora \(\det A=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}\).

Proprietà 3. Data una matrice $A$, se $B$ è ottenuta da $A$ moltiplicando per uno stesso scalare $k$ tutti gli elementi di una linea, allora $\det B=k\det A$.

Proprietà 4. Se le matrici $A$, $B$ e $C$ hanno tutti gli elementi uguali esclusi al più quelli della linea $j$-esima, per la quale vale che $a_{j}+b_{j}=c_{j}$, allora $\det A+\det B=\det C$.

Proprietà 5. Se due linee della matrice $A$ sono proporzionali secondo un qualsiasi scalare $k$, allora $\det A=0$.

Proprietà 6. Se a una linea di $A$ si somma una qualsiasi combinazione lineare delle linee di $A$ ad essa parallele, il determinante non cambia.

Proprietà 7. Se una linea di $A$ è combinazione lineare di due o più linee di $A$ ad essa parallele, allora $\det A=0$.

Proprietà 8. Se $B$ si ottiene da $A$ scambiando due linee parallele, allora $\det B=-\det A$.

Teorema di Binet. \(\det(A\cdot B)=\det A\cdot\det B\).

Osservazione 2. La proprietà 1 è un caso particolare sia della 3 che della 5, corrispondente in ambo i casi a $k=0$.

Osservazione 3. La proprietà 2 implica, tra le altre cose, che il determinante di una matrice identica è sempre 1, indipendentemente dal suo ordine.

Osservazione 4. Nel caso particolare che risulti $k=1$, la proprietà 5 dice che una matrice con due linee uguali ha il determinante nullo.

Osservazione 5. La proprietà 7 discende direttamente dalla 6: infatti se la linea $a_{j}$ si scrive come combinazione lineare di una o più linee di $A$ ciò è vero anche per $-a_{j}$; in virtù di ciò, il determinante di $A$ deve rimanere invariato quando ad $a_{j}$ si sommi $-a_ {j}$, ovvero quando la linea $j$-esima sia tutta nulla. Questo, per la proprietà 1, significa che $\det A=0$.

Esempi numerici

Osservazione 6:. Le dimostrazioni inerenti le matrici sono tipicamente lunghe e gravose, e poco aggiungono alla comprensione delle proprietà esaminate. In questa sede si ritiene più opportuno esaminare invece degli esempi applicativi.

Esempio 1. Calcolare il determinante di \(A=\begin{pmatrix}7&0&-1\\0&0&1\\3&0&2\\\end{pmatrix}\).

Grazie alla proprietà 1, possiamo direttamente dire che $\det A=0$ senza necessità di usare la regola di Sarrus: infatti, la seconda colonna è composta interamente da zeri. Per essere più convinti che ciò sia vero, possiamo provare ad usare la regola dei triangoli: ci rendiamo così subito conto che in ognuno dei fattori da considerare c’è almeno uno 0, e che quindi il determinante è nullo.

Esempio 2. Calcolare il determinante di \(A=\begin{pmatrix}3&4&2\\0&0&1\\0&0&9\end{pmatrix}\).

La matrice adesso in esame non ha nessuna linea composta solo da zeri, e quindi la prima proprietà non si può applicare; d’altro canto possiamo utilizzare tanto la seconda quanto la quinta. Nel primo caso, notiamo che $A$ è superiormente triangolare e che quindi sarà $\det A=3\cdot 0\cdot 9=0$; nel secondo caso possiamo invece osservare che la terza riga si ricava dalla seconda moltiplicando per $k=9$ tutti i suoi elementi, e quindi concludere ancora che $\det A=0$.

Esempio 3. Calcolare il determinante di \(C=\begin{pmatrix}6&2&0\\0&-1&0\\0&4&8\\\end{pmatrix}\).

In questo caso possiamo definire due nuove matrici \(A=\begin{pmatrix}6&0&0\\0&-1&0\\0&0&8\\\end{pmatrix}\) e \(B=\begin{pmatrix}6&2&0\\0&0&0\\0&4&8\\\end{pmatrix}\).
Notiamo che tutti gli elementi di $A$, $B$ e $C$ che non si trovino sulla seconda colonna coincidono, e che inoltre la seconda colonna di $A$, sommata a quella di $B$, dà quella di $C$. Ci troviamo perciò nel caso della proprietà 4, e $\det C=\det A+\det B=-48+0=-48$.
Il risultato è stato semplice da ottenere grazie alle proprietà 1 e 2, che si applicano a $B$ ed $A$ rispettivamente.

Esempio 4. Calcolare il determinante di \(A=\begin{pmatrix}3&0&8\\0&-1&0\\0&4&4\\\end{pmatrix}\).

Applichiamo, a titolo d’esempio, la proprietà 6. Sommiamo alla prima riga di $A$ quella combinazione lineare che si ottiene dalle altre due righe moltiplicando la seconda per 7 e la terza per 2:
\[
\begin{pmatrix}3&0&-8\end{pmatrix}+7\begin{pmatrix}0&-1&0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0&4&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1&0\end{pmatrix}
\]
In virtù allora della succitata proprietà,
\[
\det A=\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 4\\
\end{pmatrix}
\]
Adoperiamo adesso la proprietà 3: la matrice $B$ si ottiene dall’ultima scritta moltiplicando per $k=2$ tutti gli elementi dell’ultima colonna, dunque
\[
\begin{aligned}
&B=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix},\\
\\
&\det A=\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 4\\
\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
Applicando nuovamente la proprietà 3, ma stavolta sulla prima riga, ci riportiamo infine a una matrice, la $C$, di cui conosciamo già il determinante perché l’abbiamo calcolato nell’esempio precedente. Concludiamo in tal modo che
\[
\begin{aligned}
&C=\begin{pmatrix}
6 & 2 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix},\\
\\
&\det A=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0\\
0 &-1 & 0\\
0 & 4 & 8\\
\end{pmatrix}=\frac{1}{4}\det C=-\frac{48}{4}=-12
\end{aligned}
\]

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Operazioni con le matrici
• Proprietà delle operazioni con le matrici
• Definizione di determinante e casi elementari
• Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus
• Matrice inversa e Teorema di Laplace
• Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Altro materiale di supporto

• Videolezione: Determinante di una matrice

Se hai qualche dubbio o bisogno d’aiuto, puoi chiedere nella sezione Geometria e Algebra lineare del Forum di Matematicamente.it

Definizioni

Definizione 1. Matrice inversa.
Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$. Si chiama matrice inversa di $A$ e si indica con $A^{-1}$ una matrice quadrata di ordine $n$, se esiste, tale che
\[
\begin{array}{cc}
A \cdot A^{-1}=I, & A^{-1}\cdot A=I
\end{array}
\]
dove $I$ è la matrice identica di ordine $n$.

Definizione 2. Matrice invertibile.
Una matrice quadrata $A$ per la quale esista una matrice inversa è detta invertibile, o non singolare.

Definizione 3. Matrice singolare.
Una matrice quadrata $A$ per la quale non esista una matrice inversa è detta singolare, o non invertibile.

Osservazione 1. Se una matrice $A$ è invertibile, allora la sua inversa $A^{-1}$ è unica. Infatti, se esistessero due matrici $B$ e $C$ entrambe inverse di $A$, potremmo applicare la definizione 1 e l’associatività del prodotto matriciale per provare la seguente uguaglianza
\[
C=I\cdot C=(B\cdot A)\cdot C=B\cdot (A\cdot C)=B\cdot I=B
\]
la quale dimostra che $C=B$, e che quindi esiste solamente un’inversa per la matrice $A$.

Osservazione 2. Se una matrice $A$ è invertibile, allora il suo determinante è diverso da 0 e il determinante della sua inversa, anch’esso non nullo, è il reciproco del determinante di $A$. Infatti se $A$ è invertibile, allora vale
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{aligned}
&A\cdot A^{-1}=I\Rightarrow & &|A\cdot A^{-1}|=|I|=1\Rightarrow & &|A|\cdot |A^{-1}|=1\Rightarrow\\
&\Rightarrow |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} & & & &\\
\end{aligned}
\end{array}
\]
Il terzo passaggio segue dal secondo per il Teorema di Binet, e prova che i determinanti in gioco sono entrambi non nulli. Il quarto passaggio prova poi l’ultima affermazione fatta.

Teorema di Laplace

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$ tale che $|A|\ne 0$. Allora $A$ è invertibile, e la sua inversa è la trasposta della matrice $A’$ dei complementi algebrici di $A$, divisa per $|A|$. In formule,
\[
A^{-1}=\frac{A’_{T}}{|A|}=\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{A_{11}}{|A|} & \displaystyle\frac{A_{21}}{|A|} & \cdots & \displaystyle\frac{A_{n1}}{|A|} \\
\displaystyle\frac{A_{12}}{|A|} & \displaystyle\frac{A_{22}}{|A|} & \cdots & \displaystyle\frac{A_{n2}}{|A|} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\displaystyle\frac{A_{1n}}{|A|} & \displaystyle\frac{A_{2n}}{|A|} & \cdots & \displaystyle\frac{A_{nn}}{|A|} \\
\end{pmatrix}
\]
Dimostrazione. Dall’osservazione 1 sappiamo già che, se l’inversa della matrice $A$ esiste, allora essa è unica. Ciò significa che ci basta dimostrare che la matrice $A^{-1}$ su scritta gode delle proprietà di cui alla definizione 1, ovvero che $A\cdot A^{-1}=I$, poiché l’altra proprietà si prova in maniera molto simile. Effettuiamo dunque il prodotto matriciale
\[
B=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{A_{11}}{|A|} & \displaystyle\frac{A_{21}}{|A|} & \cdots & \displaystyle\frac{A_{n1}}{|A|} \\
\displaystyle\frac{A_{12}}{|A|} & \displaystyle\frac{A_{22}}{|A|} & \cdots & \displaystyle\frac{A_{n2}}{|A|} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\displaystyle\frac{A_{1n}}{|A|} & \displaystyle\frac{A_{2n}}{|A|} & \cdots & \displaystyle\frac{A_{nn}}{|A|} \\
\end{pmatrix}
\]
Il generico elemento della matrice $B$ di posto $(j,k)$, ovvero $b_{jk}$, si potrà scrivere come
\[
b_{jk}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ji}\frac{A_{ki}}{|A|}=\frac{1}{|A|}\sum_{i=1}^{n}a_{ji}A_{ki}
\]
Si distinguono adesso due casi. Se $j=k$, ovvero se l’elemento $b_{jk}$ si trova sulla diagonale principale della matrice $B$, allora scriveremo
\[
b_{jj}=\frac{1}{|A|}\sum_{i=1}^{n}a_{ji}A_{ji}=\frac{1}{|A|}|A|=1
\]
in quanto la somma data è, per definizione, il determinante della matrice $A$ sviluppato rispetto alla $j$-esima riga. Qualora invece dovesse risultare $j\ne k$, la somma scritta appare essere lo sviluppo di un determinante, ma i complementi algebrici associati agli elementi della riga $j$-esima sono quelli relativi alla riga $k$-esima. Si tratta cioè, a tutti gli effetti, del determinante della matrice che si ottiene da $A$ sostituendo alla riga $k$-esima una copia della $j$-esima. Tale matrice ha però due righe uguali, il che significa che il suo determinante è nullo. Riassumendo,
\[
b_{jk}=\begin{cases}
1, & \mbox{se}\; j=k\\
0, & \mbox{se}\; j\ne k\\
\end{cases}
\]
ovvero gli elementi della diagonale principale di $B$ sono 1, e tutti gli altri 0: questo significa che $B$ è la matrice identica, col che il teorema è dimostrato.

Osservazione 3. È subito chiara la motivazione per cui deve risultare $|A|\ne 0$. Se così non fosse, infatti, la divisione per il determinante di $A$ necessaria alla definizione della matrice inversa sarebbe impossibile da eseguire.

Esempi

Esempio 1. Calcolare l’inversa della matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 2\\
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
\]
Per calcolare l’inversa di $A$ vogliamo applicare il Teorema di Laplace; per far ciò dobbiamo prima accertarci che sia $|A|\ne 0$, altrimenti $A$ non sarà invertibile. Utilizzando la regola di Sarrus o sviluppando il determinante rispetto alla terza riga scopriamo subito che $|A|=2$, e dunque esiste l’inversa di $A$. Calcoliamo adesso i complementi algebrici di tutti i suoi elementi:
\[
\begin{array}{cc}
A_{11}=\begin{vmatrix}
0 & -1\\
1 & 0\\
\end{vmatrix}=1, &
A_{12}=-\begin{vmatrix}
1 & -1\\
0 & 0\\
\end{vmatrix}=0\ldots
\end{array}
\]
Terminata questa operazione, scriviamo la matrice dei complementi algebrici, troviamone la trasposta e dividiamo quanto ottenuto per il determinante di $A$:
\[
\begin{array}{ccc}
A’=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
2 & 0 & 0\\
1 & 2 & 1\\
\end{pmatrix}\Rightarrow &
A’_{T}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 2\\
1 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\Rightarrow\\
A^{-1}=\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 & \displaystyle\frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1\\
\displaystyle\frac{1}{2} & 0 & \displaystyle\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix} & \;\\
\end{array}
\]
Così abbiamo trovato l’inversa. Verifichiamo quanto calcolato:
\[
\begin{array}{c}
A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}
0 & -1 & 2\\
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 & \displaystyle\frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1\\
\displaystyle\frac{1}{2} & 0 & \displaystyle\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}=\\
=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1+1\\
\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2} & 1 & \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=I
\end{array}
\]

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Operazioni con le matrici
• Proprietà delle operazioni con le matrici
• Definizione di determinante e casi elementari
• Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus
• Proprietà dei determinanti
• Rango di una matrice e Teorema di Kronecker

Altro materiale di supporto

• Videolezione: Matrice inversa
• Videolezione: Esercizi sulle matrici inverse

Definizioni

Definizione 1. Matrice estratta.
Sia $A$ una matrice qualsiasi di ordine $(m,n)$. Una matrice $B$ di ordine $(m’,n’)$, con $m’\le m$ ed $n’\le n$, si dice estratta da $A$ allorché, scelte in modo opportuno $m’$ righe ed $n’$ colonne di $A$, $B$ risulta formata ordinatamente da quegli elementi di $A$ che appartengono contemporaneamente alle linee prescelte.

Definizione 2. Minore d’ordine $p$.
Sia $A$ una matrice, e sia $B$ una matrice quadrata da essa estratta. Se $B$ ha ordine $p$, ovvero se ha $p$ righe e $p$ colonne, allora $|B|$ è detto minore di ordine $p$ della matrice $A$.

Definizione 3. Rango di una matrice.
Sia $A$ una matrice; si chiama rango di $A$ e si indica con $r$ il massimo ordine dei suoi minori non nulli.

Osservazione 1. La definizione 3 può essere resa meno rigorosa, ma più chiara, nel modo che segue. Consideriamo la matrice quadrata di ordine più alto tra tutte quelle estratte da $A$ aventi determinante non nullo: il suo ordine è il rango di $A$. Ciò equivale ad affermare non solo che esiste una sottomatrice di $A$ di ordine $r$ il cui determinante è non nullo, ma anche che tutte le altre matrici quadrate estratte da $A$ aventi ordine maggiore di $r$ hanno determinante nullo.

Osservazione 2: Per quanto la definizione sia semplice, l’effettivo calcolo del rango di una matrice può rivelarsi complicato. A questo scopo introduciamo la definizione seguente:

Definizione 4. Matrice orlata.
Sia data una matrice $A$ qualsiasi. Una matrice $B$ ricavata da $A$ aggiungendole esattamente una riga ed una colonna viene detta matrice orlata di $A$ o orlato di $A$, ed il passare in tal modo da $A$ a $B$ si dice orlare.

Osservazione 3. Com’è chiaro, se $B$ è un orlato di $A$, allora $A$ è una sottomatrice di $B$ e si può considerare come una sua particolare matrice estratta.

Teorema di Kronecker

Teorema di Kronecker. Sia data una matrice $A$. Essa ha rango $r$ se e soltanto se esiste $B$ un minore di ordine $r$ di $A$ non nullo e tutte le matrici che si ottengono da $B$ orlandolo con righe e colonne di $A$ hanno determinante nullo.

Osservazione 4. In virtù del Teorema di Kronecker, che non dimostriamo, la procedura che è necessario seguire per determinare il rango della matrice $A$ è notevolmente semplificata, e si può riassumere nell’algoritmo seguente:

1. Scegliere un elemento di $A$ non nullo (se $A$ è la matrice nulla, il suo rango è $r=0$).
2. Orlarlo in tutti i modi possibili con righe e colonne di $A$, calcolando tutti i determinanti.
3. Se tutti i determinanti sono nulli, allora $r=1$. Se così non è, abbiamo trovato una
   matrice estratta da $A$ avente ordine 2 il cui determinante è non nullo.
4. Orlare tale matrice in tutti i modi possibili con righe e colonne di $A$.
5. Se tutti i determinanti delle matrici risultanti sono nulli, allora $r=2$. Altrimenti abbiamo una matrice estratta da $A$ avente ordine 3 e determinante non nullo.

Continuando così fino a che non è più possibile orlare il minore in esame, o fermandosi prima se tutti i determinanti esaminati sono nulli, si determina il rango di $A$.

Esempi

Esempio 1. Calcolare il rango della matrice
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
\]
Per risolvere questo esercizio vogliamo adoperare il Teorema di Kronecker, in particolare nella forma fornitaci dall’osservazione 4. A questo proposito osserviamo subito che la matrice è non nulla, e quindi il suo rango non può essere 0; nello scegliere un suo qualsiasi elemento non nullo, tipicamente si preferisce prendere il primo elemento della prima riga, quindi
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}, &
|1|=1\ne 0\Rightarrow &
r\ge 1
\end{array}
\]
Adesso occorre orlare il minore prescelto. Per fare ciò, scegliamo una riga e una colonna cui tale elemento non appartenga, e consideriamo la matrice formata da esse:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & \color{green}-\color{green}1 & 3\\
\color{green}-\color{green}1 & \color{green}1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}, &
\begin{vmatrix}
1 & -1\\
-1 & 1\\
\end{vmatrix}=0
\end{array}
\]
Il determinante di questa matrice è 0. Ciò non aggiunge nulla alla nostra conoscenza del rango della matrice $A$, perchè solo se tutti gli orlati della matrice rossa hanno determinante nullo allora potremo concludere che $r=1$. Orliamo dunque il primo elemento con una differente combinazione di righe e colonne:
\[
\begin{array}{cc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & -1 & \color{green}3\\
\color{green}-\color{green}1 & 1 & \color{green}-\color{green}1\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}, &
\begin{vmatrix}
1 & 3\\
-1 & -1\\
\end{vmatrix}=1+3=4\ne 0\Rightarrow r\ge 2
\end{array}
\]
Questa volta abbiamo trovato un minore non nullo. Ciò ci consente di dire che non tutti i minori di $A$ di ordine 2 sono nulli, e che quindi il rango è per lo meno 2. Per accertarcene non resta che orlare il minore di ordine 2 trovato nell’unico modo possibile:
\[
\begin{array}{ccc}
\begin{pmatrix}
\color{red}1 & \color{green}-\color{green}1 & \color{red}3\\
\color{red}-\color{red}1 & \color{green}1 & \color{red}-\color{red}1\\
\color{green}2 & \color{green}1 & \color{green}0\\
\end{pmatrix}, &
\begin{vmatrix}
1 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}=-6\ne 0\Rightarrow &
r=3
\end{array}
\]
Poiché tale determinante non è nullo, il rango di $A$ è $r=3$.

Potrebbero interessarti

• Definizione di matrice e matrici particolari
• Operazioni con le matrici
• Proprietà delle operazioni con le matrici
• Definizione di determinante e casi elementari
• Determinanti di matrici di ordine superiore. Regola di Sarrus
• Proprietà dei determinanti
• Matrice inversa e Teorema di Laplace

Esercizio proposto

Determinare il rango della seguente matrice:

$((1,b-1,3,1),(b,2,3,1),(1,1,a-1,1),(a+b-5,a-3,a-4,a-4))$

Sei in difficoltà? Guarda la soluzione proposta nel forum di Matematicamente.it!