Calcolare

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))^x}{e – e^{\cos^4(x)}}$

Rciordando le proprietà dei logaritmi, e raccogliendo al denominatore un fattore $-e$, si ottiene

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{-e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{e^{\cos^4(x) – 1} – 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{-e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{"arctg"(x)}{\cos^4(x) – 1} \frac{\cos^4(x) – 1}{e^{\cos^4(x) – 1} – 1} =$

$ = \lim_{x \to 0} \frac{x}{-e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{"arctg"(x)}{(\cos^2(x) – 1)(\cos^2(x) + 1)} \frac{\cos^4(x) – 1}{e^{\cos^4(x) – 1} – 1} =$

$ = \lim_{x \to 0} \frac{x}{e} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{"arctg"(x)}{(1 – \cos^2(x))(\cos^2(x) + 1)} \frac{\cos^4(x) – 1}{e^{\cos^4(x) – 1} – 1} =$

$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e (\cos^2(x) + 1)} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{x "arctg"(x)}{\sin^2(x)} \frac{\cos^4(x) – 1}{e^{\cos^4(x) – 1} – 1} =$

$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e (\cos^2(x) + 1)} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{x}{\sin(x)} \frac{"arctg"(x)}{x} \frac{x}{\sin(x)} \frac{\cos^4(x) – 1}{e^{\cos^4(x) – 1} – 1}$

Ricordando i limiti notevoli

$\lim_{t \to 0} \frac{e^t – 1}{t} =1$

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$

$\lim_{t \to 0} \frac{"arctg"(t)}{t} = 1$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1$

e osservando che $"arctg"(x) \to 0$ e $\cos^4(x) – 1 \to 0$ per $x \to 0$, si ottiene

$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{e (\cos^2(x) + 1)} \frac{\ln(1 + "arctg"(x))}{"arctg"(x)} \frac{x}{\sin(x)} \frac{"arctg"(x)}{x} \frac{x}{\sin(x)} \frac{\cos^4(x) – 1}{e^{\cos^4(x) – 1} – 1} = \frac{1}{2e} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2e}$

FINE

$int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} dx$

Studiare la convergenza del seguente integrale

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ (1)

Dato che $\lim_{x \to \pm \infty} e^{-x^2} = 0$ la condizione necessaria per la convergenza è verificata. La funzione integranda, definita e continua su tutto $\mathbb{R}$ è pari, pertanto (1) può essere riscritto come

$2 \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = 2 (\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx + \int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx)$

Nell’intervallo $[0,1]$ la funzione integranda è continua e limitata, pertanto

$\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx$

è un numero, di conseguenza (1) è convergente se e solo se converge

$\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ (2)

Per $x \ge 1$ risulta $x^2 \ge x$, ovvero

$-x \ge -x^2$ (3)

Dato che l’esponenziale con base $e$ è una funzione monotona crescente, dalla (3) si deduce che, sempre per $x \ge 1$

$e^{-x} \ge e^{-x^2}$

quindi

$\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx \ge \int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ (4)

$\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-x}) |_{1}^{t} = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-t} + e^{-1}) = \frac{1}{e}$ (5)