“La grande invenzione di Bubal” di Anna Cerasoli

cerasoli-bubal.jpgCome nascono i numeri nella preistoria: una fiaba per bambini per capire gli aspetti più significativi del contare con i simboli. Bubal è una bambina ‘preistorica’, il suo papà le affida il difficile compito di accudire il loro gregge, mentre papà e fratello maggiore sono fuori per una battuta di caccia e la mamma è sempre alle prese con sorelle e fratelli più piccoli. Il compito si rivela per Bubal molto più impegnativo del previsto, perché non riesce a ricordare e distinguere tutte le pecore: come farà ad essere certa che tutte le pecore rientrano nel recinto al sicuro?

Finché le pecore sono nel recinto il compito è semplice ma quando l’erba del recinto comincia a scarseggiare mentre tutto intorno fuori dallo steccato l’erba cresce rigogliosa cominciano a sorgere i problemi: se lasciasse le pecore uscire dal recinto come avrebbe fatto a sapere che sarebbero poi tutte rientrate? Per risolvere questo problema Bubal escoga una serie di strategie.

Assegnare un nome a ciascuna pecora e ricordare di ognuna di esse qualche caratterisitca che potesse distinguerla dalle altre? Ricciolo, Barbetta, Grassoccella, Magretta, Bianchissima… impossibile ricordarle tutte! Farle uscire a una per volta e aspettare che rientrasse la prima per far uscire la seconda? Troppo lungo!

Farle uscire a due alla volta? Oppure a tre alla volta? Forse era meglio farle uscire cinque alla volta, in modo che fossero tante quante le dita di una mano. Così fece: "Aveva inventato il primo contatore della storia. Anzi, se lo era trovato proprio lì a portata di mano!"

Ma questa è solo la prima di tante idee che ebbe Bubal e che la portarono a contare con i simboli e scriverli.

La matematica del tempo, corso di formazione aggiornamento

unibocconi.pngCorso di formazione/aggiornamento per insegnanti di matematica e fisica delle scuole superiori, organizzato dal centro di ricerca PRISTEM dell’Università Bocconi. Il Corso ha per oggetto un’introduzione ai sistemi dinamici e si terrà i prossimi 12-13-14 ottobre a Paestum (Salerno). Il suo titolo esatto è: “"La matematica del tempo: sistemi dinamici, complessità e interdisciplinarità". È il V della serie “Matematica in classe”- si prefigge lo scopo di introdurre in modo didattico e operativo i principali concetti della teoria dei sistemi dinamici, prendendo spunto da conoscenze di base come l’equazione della retta o della parabola.

Il Convegno ha lo scopo di introdurre in modo didattico e operativo i principali concetti della teoria qualitativa dei sistemi dinamici, prendendo spunto da conoscenze di base come l’equazione della retta o della parabola. Nel contempo, verranno proposti esempi concreti di come si costruisce un modello dinamico che rappresenta sistemi reali (tratti dalla Fisica, dalla Biologia, dalle scienze sociali) che evolvono nel tempo, attraverso un tipico approccio interdisciplinare.

Le lezioni per definire metodi e concetti della disciplina saranno affiancate da interventi di approfondimento con interessanti applicazioni in contesti non usuali: dallo studio degli “alti e bassi” che si registrano nella creatività individuale o nelle dinamiche amorose, fino ai modelli che descrivono la diffusione delle epidemie o della corruzione.

Il Convegno si pone l’obiettivo di diffondere una maggiore confidenza in concetti come le biforcazioni, l’irreversibilità e il caos deterministico, diffusi in molte discipline e collegati alla non linearità e complessità, utilizzando strumenti che vanno dalla semplice rappresentazione geometrica alla calcolatrice tascabile e ad algoritmi da realizzare mediante opportuni strumenti informatici.

Questi stessi concetti sono entrati a far parte anche di una vasta letteratura divulgativa che ha contribuito a renderli noti non solo fra i vari settori della comunità scientifica ma anche in letteratura, in pittura, nel cinema, e nei vari “salotti” culturali.

Lo spirito di questo breve corso può essere riassunto usando le parole di Robert May (fisico e docente di Ecologia a Oxford) che concludeva un famoso articolo su Nature del 1976, dal titolo "Simple mathematical models with very complicated dynamics" con un “Appello evangelico" (parole sue):“vorrei pregare che i modelli dinamici siano presentati presto nell’educazione Matematica. Il loro studio non richiede più sofisticazione di quanto non richieda un corso elementare di matematica. Tale studio potrebbe arricchire l’intuito di uno studente circa i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”

Ulteriori notizie su

http://matematica.unibocconi.it/articoli/il-prossimo-convegno-del-pristem-paestum-12-14-ottobre-il-tema-sar%C3%A0-la-matematica-del-tempo

“I pantaloni di Pitagora – Dio, le donne e la matematica” di Margaret Wertheim

pantaloni_pitagora.pngA partire da Galilei fino ad oggi, studiare la fisica ha significato cercare le relazioni matematiche dell’universo, ma esprimere materia, spazio e tempo in termini meramente matematici non ha chiuso le porte alla religione: “scienza moderna e cristianesimo sono in fondo tentativi diversi di situare l’umanità in un più ampio quadro cosmico”. L’intento dell’autrice non è solo di valutare il legame tra scienza e religione, ovvero di “tracciare la storia dell’Uomo Matematico in quanto essere religioso”, ma di valutare anche la posizione della donna in ambito scientifico: traccia l’evoluzione della fisica, sottolineando che “tracciare l’ascesa dell’Uomo Matematico significa ripercorrere in parallelo la battaglia affrontata dalla Donna Matematica”.

Gli Ionici furono i primi a tentare di spiegare i fenomeni naturali senza ricorrere a divinità: tra di essi, Pitagora di Samo vedeva l’essenza della realtà nei numeri.

La scuola aperta a Crotone era sostanzialmente una scuola mistica e Pitagora costituiva una guida spirituale.

Nel Medioevo, la rinascita della matematica e della scienza greca segna il “definitivo allontanamento delle donne dal sapere”: con la riforma del clero alla fine dell’VIII secolo, le donne vennero relegate nei loro conventi e allontanate dai centri del sapere, dominio esclusivamente maschile.

All’inizio del XVII secolo, in ambito accademico non c’erano regole formali che impedissero l’accesso delle donne ma le prime astronome furono essenzialmente osservatrici e si videro negare ogni riconoscimento ufficiale. Nello stesso periodo, scienziati e maghi erano rivali: la vittoria sulla scienza fu favorita dal Concilio di Trento che adottò una linea dura contro la magia, mettendo all’Indice i suoi testi. In ambito scientifico, per combattere la magia, prevalse l’applicazione della matematica allo studio della natura, il cui più grande sostenitore fu Cartesio, secondo il quale la logica era la base della vera conoscenza.

Il primo emblematico scontro tra scienza e fede è quello con Galilei: lo scontro fu una lotta “per il diritto a descrivere i Cieli”.

Newton cercò invece di condividere il potere epistemologico in gioco con i rappresentanti della Chiesa: egli riteneva la sua opera scientifica una ricerca di Dio e con la formulazione matematica della legge di gravitazione universale, “la competenza sui Cieli passava dai teologi ai fisici”.

In Inghilterra continuavano a permanere le stesse usanze per quanto riguarda le differenze tra i sessi: la Royal Society continuò a rifiutare qualsiasi candidatura femminile mentre un piccolo numero di donne fu ammesso all’Accademia delle Scienze di Berlino.

L’eccezione delle vicende di Laura Bassi e Maria Gaetana Agnesi evidenzia “le limitazioni imposte alle donne che intraprendevano la carriera scientifica nel XVIII secolo”. Solo dopo il 1870 molte università statali cominciarono ad accettare le ragazze e ci si orientò verso una scuola mista.

Maria Sklodowska Curie, prima persona al mondo a vincere due Nobel per la scienza, è la dimostrazione di “ciò che avrebbero potuto fare le donne nella scienza se in maggior numero avessero avuto la possibilità di parteciparvi”. La sua vita è straordinaria non solo per i risultati che ha conseguito, ma anche per le difficoltà che ha dovuto affrontare e superare: insignita del premio Nobel per la fisica nel 1903, alla morte del marito, si trovò ad affrontare terribili insidie nel mondo scientifico, visto che “era da molti considerata solo la moglie di Pierre”.

Per avere un’idea della condizione delle donne in Europa prima della seconda guerra mondiale, bisogna considerare Emmy Noether e Lise Meitner: la prima è uno dei più grandi matematici del secolo e sviluppò concetti matematici fondamentali per la fisica delle particelle e per l’attuale ricerca di una sintesi tra relatività generale e meccanica quantistica. Purtroppo perse anni preziosi, in quanto donna e non le fu dato uno stipendio adeguato nemmeno quando l’università le concesse finalmente un posto.

Lise Meitner dedicò la sua vita alla fisica. Collaborò con Otto Hahn ad una serie di esperimenti sulla radioattività, ma quando, salito al potere Hitler, riparò in Svezia, nonostante la quotidiana collaborazione con Hahn, fu esclusa dall’assegnazione del premio Nobel per la chimica nel 1944.

“Nel secolo contemporaneo, le donne hanno dovuto, e devono tuttora, combattere per conquistarsi un posto all’interno della comunità dei fisici”. Non è più consentita una discriminazione palese come quella dei secoli scorsi, ma ne esiste ancora una forma strisciante negli ambienti scientifici. La vicenda di Chien-Shiung Wu è emblematica: brillante scienziata delle particelle, nel 1957 verificò sperimentalmente quanto ipotizzato da Lee e Yang, ma solo questi ricevettero il premio Nobel per la fisica.

Nonostante i notevoli miglioramenti degli anni Settanta, la fisica continua a restare un dominio prepotentemente maschile: dall’aggiornamento alla pubblicazione degli articoli, alle possibilità di trovare lavoro, le donne sono sempre svantaggiate e “mediamente ci mettono parecchi anni più dei colleghi maschi per raggiungere certe posizioni”.

Introduzione alla logica booleana

urso-logica.jpgLa logica booleana, argomento destinato in genere a studenti della scuola superiore, viene purtroppo trattata da molti libri di testo in modo troppo rigido e assiomatico per poterne apprezzare la sua straordinaria importanza pratica; viceversa nei testi di elettronica digitale viene trattato in modo troppo tecnico per poter apprezzare tutti gli interessanti risvolti matematici. Questa trattazione viene svolta tenendo in debito conto le varie esigenze al fine di poter fare chiarezza su un tema che ha rivoluzionato il modo di concepire la matematica. http://www.pianetagalileo.eu/

Antonello Urso, Introduzione alla logica booleana, novembre 2013

“I dieci esperimenti più belli – Da Galileo a Millikan” di George Johnson

g.johnson-esperimenti.pngÈ un libro gradevole anche per chi non ha una preparazione in materia: l’autore spiega con estrema chiarezza sia i dieci esperimenti sia il contesto nel quale sono stati concepiti. Gli ideatori degli esperimenti sono descritti nelle loro ambizioni, nella loro genialità, nei punti di forza e nelle debolezze, anche se non ci sono biografie particolareggiate. Il libro può considerarsi un invito all’approfondimento, che può essere guidato dalla nutrita bibliografia fornita dall’autore.

La scienza che emerge da questo libro ha un carattere individuale, a differenza degli esperimenti del XXI secolo che generano una quantità tale di dati, che per processarli ed analizzarli sono necessari supercomputer ed équipe composte da parecchi scienziati.

George Johnson ci presenta solo dieci esperimenti, quelli che, in un certo senso, hanno costituito il fondamento della scienza.
1. Galileo: il vero moto degli oggetti – La trovata geniale di Galileo per studiare la caduta di un grave, senza avere a disposizione strumenti sofisticati.
2. William Harvey: i misteri del cuore – Per risolvere il mistero del funzionamento del cuore e riuscire a stabilire il movimento circolatorio del sangue, estrasse il cuore di un animale ancora in vita.
3. Isaac Newton: che cos’è un colore – Facendo passare un raggio di luce attraverso un prisma e proiettandone lo spettro su una tavola di legno, Newton scoprì cos’era il colore.
4. Antoine-Laurent Lavoisier: la figlia del fattore – Bruciando mercurio, capì che la combustione consuma ossigeno e riuscì a separare ossigeno e azoto. Stabilì anche la legge di conservazione della massa.
5. Luigi Galvani: elettricità animale – La disputa tra Galvani e Volta sull’esistenza dell’elettricità animale obbligò lo stesso Galvani a perfezionare il proprio esperimento, in modo da eliminare qualsiasi influenza esterna.
6. Michael Faraday: qualche cosa di profondamente nascosto – Faraday trova il collegamento tra l’elettricità e il magnetismo con un esperimento nel quale il campo magnetico fa ruotare un fascio di luce.
7. James Joule: lavoro e calore – Joule dimostrò l’equivalenza di calore e lavoro con un celeberrimo esperimento: lasciando cadere un peso, innalzò la temperatura dell’acqua.
8. Albert A. Michelson: persi nello spazio – La storia di un famoso esperimento, che dimostrò il contrario di quanto ci si aspettava e per questo motivo, la sua interpretazione fu difficile: non ci si aspettava che l’etere non esistesse.
9. Ivan Pavlov: misurare l’immisurabile – Conducendo esperimenti sugli animali, arrivò a importanti conclusioni sulla fisiologia della digestione, meritando il premio Nobel nel 1904.
10. Robert Millikan: nella terra di confine – Millikan misurò la carica dell’elettrone, osservando delle goccioline d’olio elettrizzate. L’esperimento non è così semplice come appare, come riconosce lo stesso autore, avendolo provato più volte.

Daniela Molinari

La professionalità dei docenti: un campo inesplorato

maranzana-professione_docente.pngL’Ocse ha invitato l’Italia a investire in educazione di qualità al fine di fermare la dispersione scolastica e dimezzarla entro il 2020. In tale direzione si era e si è mossa l’amministrazione centrale che ha individuato alcune modalità di intervento tra cui: 1. Seguire il cammino dei singoli studenti con modalità individualizzate; 2. Introdurre nuovi ambiti e strumenti di lavoro quali LIM – CLIL – TIC – Elearning – Ebook; 3. Affidare alle università il compito di formare i nuovi docenti1; 4. Certificare le competenze2; 5. Valutare il lavoro delle scuole3. Sono interventi “sparpagliati”: non esiste strategia; l’origine del problema non è stata individuata proprio come ai tempi di Alessandro Magno quando i lacci e i lacciuoli occultavano la soluzione del nodo gordiano; la sfida posta dall’incertezza dell’ambiente in cui vive la scuola non è stata accolta4.


Enrico Maranzana, La professionalità docenti: un campo inesplorato, giugno 2012

Gli impostori non sono solo maghi e streghe, ci sono anche gli impostori intellettuali [Alan Sokal]

alan.sokal.jpg"Confesso di essere un vecchio impassibile uomo di sinistra che non ha mai capito come il decostruzionismo potesse aiutare le classi lavoratrici. Sono anche un vecchio noioso scienziato che continua a credere con ingenuità che esista un mondo esterno, e che esistano delle verità oggettive relativamente a quel mondo, e che il mio lavoro consista nello scoprire alcune di esse."

"Chiunque creda che le leggi della fisica sono mere convenzioni sociali è invitato a trasgredire queste convenzioni dalla finestra del mio appartamento (abito al 21° piano)."

"La nostra attenzione è limitata a taluni aspetti intellettuali del postmodernismo che hanno avuto un impatto sulle scienze umane e su quelle sociali: una fascinazione basata su discorsi oscuri; un relativismo epistemico collegato ad uno scetticismo generalizzato nei confronti della scienza moderna; un eccessivo interesse nelle credenze soggettive indipendentemente dalla loro verità o falsità; infine un’enfasi sui discorsi e sul linguaggio come opposti ai fatti ai quali questi discorsi si riferiscono (o, peggio ancora, il rifiuto dell’evidenza che i fatti esistono o che ad essi ci si possa riferire). … vediamo quali lezioni sul tema del rapporto tra scienze naturali e scienze umane si possono trarre dai testi (di Jacques Lacan, Julia Kristeva, Luce Irigaray, Bruno Latour, Jean Baudrillard, Gilles Deleuze, Felix Guattari, Paul Virilio, ecc.) citati in questo libro:

1. E’ una buona regola conoscere l’argomento di cui si sta parlando…
2. Non tutto quello che è oscuro è necessariamente profondo…
3. La scienza non è un ‘testo’…
4. Non scimmiottare le scienze naturali…
5. Prendete con le pinze le argomentazioni del potere …
6. Lo scetticismo specifico non deve essere confuso con quello radicale.
7. Ambiguità come sotterfugio…

Che cosa verrà dopo il postmodernismo? Dal momento che la principale lezione che ci viene dal passato è che predire il futuro è rischioso noi possiamo solo elencare le nostre paure e le nostre speranze. Una possibilità è il ritorno ad una egemonia di qualche forma di dogmatismo o misticismo (ad esempio la filosofia New Age) o al fondamentalismo religioso. […] In questo caso la vita intellettuale andrà di male in peggio. […] Una seconda possibilità è che gli intellettuali diventino riluttanti (almeno per i prossimi vent’anni) a tentare ogni interpretazione critica esaustiva dell’ordine sociale esistente. Diventeranno i suoi servili sostenitori – come fecero in Francia gli intellettuali di sinistra dopo il 1968 – o si ritireranno completamente da ogni impegno politico. Le nostre speranze tuttavia vanno in una differente direzione: l’affermazione di una cultura razionale, ma non dogmatica, orientata al pensiero scientifico ma non scientista, aperta ma non superficiale, politicamente progressista ma non settaria. Ma questa, naturalmente, è solo una speranza, e forse solo un sogno".
Alan Sokal (1955), Intellectual Impostures.

Nel 1996 Alan Sokal inviò alla prestigiosa rivista americana di filosofia, sociologia e cultural-studies ‘Social Text’, una parodia del tipo di lavori che sono proliferati per tutti gli anni ’90. L’articolo titolato "Transgressing the boundaries: Toward a transformative hermeneutics of quantum gravity" era pieno di assurdità e incoerenze basate su analogie e metafore indebitamente prese a prestito dalle scienze fisiche e matematiche. Inoltre l’articolo sosteneva una forma estrema di relativismo negando l’esistenza di un mondo esterno ed affermando che la realtà fisica e quella sociale non sono niente altro che un costrutto linguistico. Attraverso una serie di ingiustificati salti logici l’articolo giungeva alla conclusione che oggi il pi greco di Eulero e la costante G di gravitazione di Newton sono "ineluttabilmente percepiti nella loro storicità" (Sokal parodiava l’affermazione sulla relatività che Jacques Derrida fece in una conferenza: ‘la costante di Einstein non è una costante’).

Il lavoro fu accettato e pubblicato in un numero speciale della rivista volto a confutare le critiche degli scienziati alla filosofia post-moderna. Sokal rivelò immediatamente la beffa provocando un vespaio di polemiche, non ancora del tutto spente all’inizio del nuovo millennio, tra scienziati e post-moderni, filosofi analitici e continentali, cultura scientifica e cultura umanistica. Sokal spiegò poi che non intendeva solo difendere la scienza, ma, da uomo di sinistra, mostrare anche quanto controproducenti socialmente e culturalmente potessero diventare il relativismo e il soggettivismo impliciti nella prassi e nei dogmi degli amici progressisti.

Al di là degli aspetti ludici e provocatori di questo episodio, l’esperimento di Sokal fu definito da molti, a ragione, di grande utilità pubblica perchè esso dimostra che chi svolge ruoli di responsabilità e potere nella gestione della cultura, della società e delle organizzazioni non è esente dal pregiudizio, dalla superficialità, dal dogmatismo e dai condizionamenti delle mode dominanti.

In "Beyond the Hoax. Science Philosophy and Culture" pubblicato nel 2010, Sokal riprende il discorso su scienza, società e organizzazioni sottolineando " l’importanza non della scienza in quanto tale, ma della visione scientifica del mondo per i processi di decisione collettiva dell’umanità. […] La chiarezza del pensiero e il rispetto per l’evidenza empirica, specialmente quella scomoda che ci sorprende e che sfida i nostri pregiudizi, sono di importanza capitale per la sopravvivenza del genere umano nel ventunesimo secolo".

Può sembrare un’ iperbole, ma Sokal ha buon gioco a mostrare con numerosi esempi, che i nemici di questa semplice verità si annidano ovunque: nei tribunali, nei giornali, nelle aule universitarie, nei parlamenti, nei salotti intellettuali, nei governi e nelle chiese. Queste ultime in particolare, e la religione in generale, rischiano spesso di essere ancora più dannose perché è assai diffusa l’idea che debbano essere al di sopra di ogni possibile critica.

I problemi delle organizzazioni non si possono risolvere decostruendoli o semplicemente negandone l’esistenza, ma si possono affrontare con un lavoro serio di sintesi e di analisi, di induzione e di deduzione, di verifica e di falsificazione, di razionalità e di creatività, di tradizione e di innovazione, di filosofia e di matematica, di intelligenza emotiva e razionale, di cultura umanistica e di cultura scientifica.

CrYpTo: gioco di enigmi on line

crypto.pngCrYpTo è un browsergame della famiglia degli "enigmi online". Si tratta di un gioco in cui viene richiesta la risoluzione di un certo numero di enigmi disposti in sequenza, in modo che risolvendone uno si possa accedere al successivo e così via, fino a raggiungere il traguardo finale posto dagli autori. E’ quindi una vera e propria sfida senza tempo, nella quale nessuno dei partecipanti è a conoscenza del percorso che lo aspetta, nè del numero di enigmi che compongono il gioco.

Anche per CrYpTo è così. Il sito è stato pubblicato nel 2009. Ad oggi, il gioco è rimasto ancora irrisolto nonostante le migliaia di appassionati che hanno sfidato l’opera dei tre autori. CrYpTo detiene infatti il record di maggiore longevità tra i giochi di enigmi online italiani. Quale sarà il mistero? Ancora nessuno lo sa!

Vediamo di capire meglio come funziona il gioco. Per partecipare è necessaria la registrazione al sito. Si gioca gratuitamente con il proprio browser, senza bisogno di installare alcun software. Il primo step consiste nell’affrontare dei livelli Tutorial, ovvero 7 enigmi diversi che si "celano" dietro altrettante carte da gioco. Si muovono i primi passi e si entra nella mentalità del gioco prima di addentrarsi nell’avventura vera e propria.

Ogni enigma è costituito da un’immagine, un titolo ed in indirizzo URL. E’ in tali elementi infatti che bisognerà scrutare attentamente per raccogliere tutti gli indizi utili alla risoluzione del livello. Gli enigmi proposti dal trio di autori del gioco spaziano dai classici bisensi, giochi di parole, rebus ed anagrammi fino agli enigmi laterali e le cacce al tesoro da svolgere online usando Google o Wikipedia. La logica che c’è dietro ogni livello permette l’individuazione di una soluzione univoca, sebbene gli indizi messi a disposizione si prestino spesso pernumerose interpretazioni, a volte fuorvianti. Questa caratteristica del gioco è stata fortemente voluta dagli autori, che si sono sforzati di creare degli enigmi che fossero al tempo stesso semplici da risolvere ma piuttosto difficili da comprendere. Questo per mettere in difficoltà un po’ tutti, dai principianti ai giocatori più esperti. E’ disponibile un forum di supporto nel quale viene lasciata la possibilità di scambiare aiuti e idee con gli altri giocatori. Per i meno esperti è presente anche una versione demo del gioco che si può giocare senza registrarsi, e della quale vengono fornite su richiesta le soluzioni.

172. Attraversamento di un fiume

alonso_inostrosa-boat_on_the_shore.jpgQuesto articolo analizza i problemi di attraversamento di un fiume con una barca e una serie di vincoli, il cui caso più semplice è costituito dal notissimo indovinello del contadino con lupo, capra e cavolo. Si esamineranno i problemi di questa tipologia, indicando un procedimento utile per trovare una soluzione generale, indipendentemente dal numero di attori coinvolti e dai vincoli assegnati.


ico-pdf.pngStefano Borgoni, Attraversamento di un fiume


Nel cervello i numeri sono rappresentati da… una retta numerica [Stanislas Dehaene]

stanislas.dehaene.png“Bisogna dire e ripetere ai genitori dei bambini dislessici che la genetica non è una condanna per l’eternità; che il cervello è un organo plastico, perennemente in costruzione, dove l’esperienza detta legge tanto quanto il gene; che le anomalie delle migrazioni neurali, quando esistono, colpiscono solo piccolissime regioni della corteccia; che il cervello del bambino comprende milioni di circuiti ridondanti che possono compensarsi tra loro; e che, infine, la nostra capacità di intervento non è nulla: ogni nuovo apprendimento modifica l’espressione dei nostri geni e trasforma i nostri circuiti neurali”. Stanislas Dehaene, I neuroni della lettura, Cortina 2009

Il cervello umano sembra più assimilabile ad un computer analogico piuttosto che digitale: i numeri sono rappresentati in esso da una retta numerica orientata come l’asse delle ascisse di Cartesio. I cuccioli umani, così come alcuni animali, sanno di solito contare da 1 a 3. La matematica non cresce per accumulazione progressiva, ma è soggetta anch’essa all’evoluzione darwiniana. La teoria intuizionista sembra descrivere meglio i fondamenti della matematica rispetto alle teorie platoniche o a quelle logico formali. Essa inoltre suggerisce di insegnare la matematica anche lasciando i bimbi liberi di esercitare la propria inventività giocando con un pallottoliere, con i dadi o, i più grandicelli, con una calcolatrice tascabile piuttosto che limitarsi al formalismo dell’insiemistica, delle formule e dei teoremi. Tra l’intuizionismo di Brouwer, che rifiuta il principio del terzo escluso, e quello più aperto di Poincaré è da privilegiare il secondo.

Sono queste alcune posizioni di Stanislas Dehaene (matematico, computer scientist e psicologo cognitivo francese nato nel 1965) da lui riportate nel libro: Il pallino della matematica, Oscar Mondadori 2000. Queste idee sono preziose per l’insegnamento della matematica e più in generale per il problem solving, ma è forse meglio lasciare a lui direttamente la parola.

"Tutto avviene come se avessimo in testa, per confrontare, una bilancia per soppesare i numeri o, più verosimilmente, una rete di neuroni che si comporta allo stesso modo. Le capacità aritmetiche del nostro cervello si lasciano modellizzare più facilmente da una macchina analogica come una bilancia, piuttosto che da un programma digitale… il nostro cervello non si serve di un codice digitale come farebbe un computer, ma di una rappresentazione interna quantitativa e continua. Il cervello non è una macchina logica, bensì un dispositivo analogico. R. Gallistel ha espresso questa conclusione con grande semplicità: Di fatto il sistema nervoso inverte la convenzione rappresentativa secondo la quale i numeri vengono utilizzati per rappresentare grandezze lineari. Invece di servirsi dei numeri per rappresentare le grandezze, il ratto [proprio come l’Homo sapiens!] utilizza le grandezze per rappresentare i numeri." pag. 263

"L’associazione tra numero e spazio è all’origine dell’immagine con cui le quantità numeriche sono rappresentate nel nostro cervello, ossia quello di una retta numerica. Tutto avviene in effetti come se i diversi numeri fossero allineati mentalmente su una retta ove, a ogni posizione, corrispondesse una certa quantità. Numeri vicini sono rappresentati da posizioni vicine sulla retta; non c’è da meravigliarsi quindi che sia più facile confonderli: ciò rivela appunto l’effetto di distanza numerica. Inoltre questa è orientata nello spazio: lo zero si trova all’estrema sinistra mentre i numeri più grandi si estendono verso destra… L’assorbimento di questo sistema ha inizio già nell’infanzia, ancor prima di cominciare ad andare a scuola. Fin dalla scuola materna i bambini americani imparano a esplorare il loro ambiente da sinistra verso destra mentre i piccoli israeliani, che imparano a leggere e a scrivere da destra a sinistra fanno esattamente il contrario.", pag. 91-92.

"Il nostro cervello non si seve di assiomi. Perché insistiamo su questo punto? Il fatto è che, se il mondo degli educatori avesse prestato un po’ più di attenzione, una catastrofe senza precedenti nell’insegnamento della matematica sarebbe potuta essere evitata: parlo del triste episodio della matematica moderna. Con il pretesto di insegnare ai ragazzi un po’ più di rigore (idea tutto sommato ragionevole), venivano loro propinati, fin dalla più tenerea età, assiomi e formalismi astrusi. Dietro questa riforma si nascondeva una teoria implicita dell’apprendimento fondata sulla metafora del cervello-computer, che vedeva nel bambino un sistema per il trattamento dell’informazione praticamente vergine…. Il cervello di un bambino non è una spugna, ma un organo già strutturato che impara soltanto ciò che è in risonanza con le sue conoscenze anteriori. E’ adeguato alla rappresentazione delle quantità continue e alla loro manipolazione approssimativa sotto forma analogica. L’evoluzione però non l’ha mai preparato a ingurgitare vasti sistemi di assiomi o lunghi algoritmi simbolici e nei loro confronti si mostra molto riluttante. E’ così che l’intuizione ha la meglio sugli assiomi. Come osservava acutamente Locke nel 1689: Sono molti quelli che sanno che 1+2 = 3 senza mai aver riflettuto sugli assiomi che lo dimostrano.", pag. 267.

"Il cucciolo umano viene al mondo con meccanismi innati di individuazione degli oggetti e di percezione dei piccoli numeri. Questo senso dei numeri è presente anche negli animali ed è quindi indipendente dalla capacità di linguaggio e possiede una lunga storia evolutiva. Nel bambino la stima numerica, il confronto, il contare, le addizioni, e le sottrazioni semplici esistono spontaneamente, senza una educazione esplicita. La regione parietale inferiore dei due emisferi cerebrali contiene circuiti neurali preposti alla manipolazione delle quantità numeriche. L’intuizione dei numeri è dunque saldamente ancorata nel nostro cervello. Il numero vi compare come una delle categorie fondamentali tramite le quali il nostro sistema nervoso rappresenta il mondo esterno.", pag 271.

"L’universo è stato davvero concepito secondo leggi naturali matematiche? non pretenderò certo di risolvere questo problema metafisico che lo stesso Einstein considerava come il mistero più profondo. Suscita tuttavia meraviglia vedere eminenti scienziati enunciare, nel corso delle loro ricerche, la loro fede in un disegno universale e la loro sottomissione a entità non visibili, siano esse chiamate "Dio" o "leggi matematiche dell’universo". In biologia, la rivoluzione darwiniana ci ha insegnato che l’esistenza di strutture organizzate, che sembrano concepite per uno scopo preciso, non è necessariamente l’opera di un grande Architetto… La selezione della matematica è un fatto indiscusso. Conosciamo la storia della sua lunga ascesa attraverso tentativi ed errori verso una maggior efficacia. Non è dunque necessario supporre che l’universo sia stato concepito per essere conformato alle leggi matematiche. Non potrebbe essere piuttosto che le nostre leggi matematiche e, prima ancora, i principi di organizzazione del cervello siano stati selezionati in funzione del loro adattamento alla struttura dell’Universo? Il miracolo dell’efficacia della matematica caro a Wigner, si spiegherebbe allora con una evoluzione selettiva, proprio come il miracolo dell’adattamento dell’occhio alla vista. Se la matematica di oggi è efficace, forse dipende dal fatto che tanta matematica inefficace di un tempo è stata spazzata via senza pietà… In ultima analisi il problema dell’irragionevole efficacia della matematica perde molto del suo mistero se si tiene presente che i modelli matematici si adattano raramente in modo perfetto alla realtà fisica. Le traiettorie dei pianeti non sono delle ellissi, checché ne dica Keplero… In pratica tutti i pianeti seguono traiettorie caotiche, impossibili da calcolare con precisione al di la di qualche migliaio di anni, e che assomigliano localmente a delle ellissi.", pag. 277-278.

"La dottrina platonica è molto diffusa tra i matematici (Hardy, Hermite,ecc.) e sono convinto che descriva esattamente la loro introspezione: hanno veramente l’impressione di muoversi in un paesaggio di numeri e di figure indipendenti dalle loro persone… Per l’epistemologo, il neurobiologo o il neuropsicologo la posizione platonica sembra difficile da difendere, quasi altrettanto inaccettabile del dualismo cartesiano come teoria scientifica del cervello. Proprio come l’ipotesi dualistica si scontra con la difficoltà di spiegare come l’anima immateriale può interagire con il corpo fisico, la dottrina platonica lascia in ombra come un matematico in carne ed ossa riesca ad esplorare l’universo astratto degli oggetti matematici. Se questi oggetti sono reali ma immateriali, per quale tramite extrasensoriale il matematico riesce a percepirli? Anche se l’introspezione del matematico lo persuade della realtà degli oggetti che studia è probabile che questo sentimento sia soltanto una illusione. Abbandoniamo ora la dottrina platonica e occupiamoci di una seconda categoria di matematici, i "formalisti", i quali, al contrario ritengono che il problema della esistenza degli oggetti matematici non si ponga. Secondo loro la matematica è soltanto un gioco in cui si maneggiano dei simboli con regole formali precise. Oggetti matematici come i numeri non hanno alcuna realtà: essi possono definirsi semplicemente come un insieme di simboli che verificano assiomi arbitrari. David Hilbert, il capogruppo dei formalisti, una volta disse scherzando che, invece di affermare che per due punti passa una retta e una sola, si potrebbe benissimo dire che per due boccali di birra passa una tavola ed una sola; questo non modificherebbe per niente i teoremi della geometria! O per tornare alle parole di Wittgenstein: "Tutte le proposizioni matematiche vogliono dire la stessa cosa, ossia niente".

I formalisti sono certo nel vero quando affermano che buona parte della matematica è diventata un gioco formale… Eppure io non credo che si possa ridurre così tutta la matematica all’esplorazione di scelte formali ed arbitrarie… A me pare che i matematici, per lo meno all’inizio delle loro ricerche, non maneggino i simboli secondo regole puramente arbitrarie. Al contrario, si sforzano di cogliere nei loro teoremi alcune intuizioni fisiche, numeriche, geometriche o logiche. Una terza categoria di matematici è dunque quella degli "intuizionisti" o "costruzionisti" per i quali gli oggetti matematici non sono che costruzioni dello spirito umano. Secondo loro la matematica non esiste nell’universo, ma soltanto nel cervello del matematico che la inventa. L’aritmetica, la geometria, la logica non preesistono alla specie umana… Sebbene sia persuaso che i dati empirici avvalorino un intuizionismo vicino a quello professato da Poincaré desidero dissociare la mia posizione da una versione estrema di intuizionismo, il costruttivismo difeso con ardore da Lucient Browuer… che rifiutava l’applicazione agli insiemi infiniti del principio del terzo escluso; una legge dall’apparenza innocente che afferma che una proprietà P o è vera o e falsa… I criteri che presiedono alle costruzioni matematiche sono molteplici. In matematica pura, è l’assenza di contraddizioni, ma anche l’eleganza e la semplicità che garantiscono che una costruzione matematica verrà conservata, perché entra in risonanza con le nostre rappresentazioni cerebrali. Nella matematica applicata vi è anche un criterio che permette di adeguare gli oggetti matematici al mondo fisico. Nel corso degli anni le costruzioni matematiche contraddittorie, poco eleganti o inutili vengono individuate ed eliminate senza pietà. Solo le più solide resistono alla prova del tempo.", pag. 268-273.

Due amici escono di casa alla stessa ora e si dirigono verso lo stesso cinema. Il primo abita a 8.3

Due amici escono di casa alla stessa ora e si dirigono verso lo stesso cinema. Il primo abita a 8.3 km dal luogo dell’appuntamento e usa il motorino con una velocità media di 50 k m/h. Il secondo abita a 1.6 km e va a piedi con una velocità di circa 6 km/h. 1) Quale dei due amici arriva prima al cinema? 2) Quanto tempo deve aspettare prima che arrivi l’altro?

 Francesca Ricci, Esercizio svolto di meccanica

Segnaposti

segnaposti80.jpgPartire dal numero 1, attraversare tutte le caselle e terminare al numero 16; si può saltare di quanti spazi si vuole, ma sempre muovendosi nella direzione dell’ultima freccia visitata; ogni casella riceve un numero progressivo man mano che viene visitata.

Gioco 1

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La Soluzione alla pagina seguente

Segnaposti 2

segnaposti2-100.jpgPartire dal numero 1, attraversare tutte le caselle e terminare al numero 16; si può saltare di quanti spazi si vuole, ma sempre muovendosi nella direzione dell’ultima freccia visitata; ogni casella riceve un numero progressivo man mano che viene visitata.

Gioco 2

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La Soluzione alla pagina seguente

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Soluzione

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Quanti solidi platonici esistono?

articoli12.jpgUn poliedro è una figura geometrica solida, che viene detta semplice se è topologicamente simile ad una sfera, cioè se è senza “buchi”. Si dice poi regolare o platonico se tutte le facce sono poligoni regolari tutti uguali fra loro, e tutti gli angoloidi interni sono uguali. Infine un poliedro si dice archimedeo, se è convesso. Indicando con V i vertici, con S gli spigoli e con F le facce di un poliedro semplice, e vediamo quanto vale l’espressione: V – S + F

Carlo Sintini, Quanti solidi platonici esistono?

171. Simmetrie e risoluzione di problemi di minimo e massimo per mezzo della geometria elementare

articoli117.jpgLa simmetria bilaterale è presente nell’Universo sin dai primordi: particelle e antiparticelle, etc. Dopo circa 300.000 anni dal Big Bang emerse la luce la cui riflessione è strettamente legata alla simmetria. Questa è frequente nel campo microscopico e in quello macroscopico e nei mondi minerale, vegetale e animale, in quest’ultimo in particolare: ciò significa che nell’evoluzione e nella selezione naturale essa è risultata una strategia vincente.

ico-pdf.png171. Alfino Grasso, Simmetrie e risoluzione di problemi di minimo e massimo per mezzo della geometria elementare

Sul calcolo approssimato della radice di indice k di un numero a

avignon-tgv-3-by-nelson-minar.pngQueste pagine descrivono un metodo per calcolare $root(k)(a)$ in modo approssimato utilizzando le quattro operazioni elementari; il valore ricavato al primo tentativo e in genere abbastanza accurato da consentire di raggiungere una precisione notevole attraverso poche iterazioni di approssimazione successive. Nella pratica il calcolo manuale e applicabile per radici quadrate o cubiche, ma il me todo verrà esposto nella sua generalita, con esempi per radici di ordine superiore.

Stefano Costa, Sul calcolo approssimato di radice di indice k di a

K.Alder, La misura di tutte le cose. L’avventurosa storia dell’invenzione del sistema metrico decima

alder-misura_di_tutte_le_cose.pngNel giugno del 1792, due astronomi, Jean-Baptiste-Joseph Delambre e Pierre-François-André Méchain partono da Parigi per misurare l’arco di meridiano compreso tra Dunkerque e Barcellona: hanno il compito di effettuare queste misurazioni, per fissare una nuova unità di misura della lunghezza – il metro – che sarebbe stato un decimilionesimo della distanza tra il Polo Nord e l’Equatore. Nel manifestare gli intenti dell’Accademia delle Scienze francese, era stato dichiarato che il sistema metrico decimale era destinato “a tutti gli uomini e a tutti i tempi”, esattamente come la Terra che appartiene a tutti.

Nel XVIII secolo, le unità di misura erano molto numerose e questo costituiva un ostacolo per la comunicazione e il commercio, oltre a impedire un’onesta amministrazione dello stato. Si stimava che all’interno dell’Ancien Régime francese ci fossero duecentocinquantamila diverse unità di peso e di misura: all’indomani di una Rivoluzione che aveva proclamato diritti universali per tutti gli uomini, era una situazione paradossale.

Delambre e Méchain viaggiarono lungo il meridiano per sette anni, dal 1792 al 1799. Durante la loro missione, vennero scambiati per spie e spesso rischiarono di morire per la rivoluzione in atto. L’operazione mostrava tutta la sua delicatezza, in proporzione alla violenza sempre più diffusa nella nazione. Durante la missione, Méchain, bloccato nei pressi di Barcellona per un infortunio, notò un’incongruenza nelle misurazioni, ma non riuscì a risolvere il problema e fu costretto a lasciare la città senza trovare una spiegazione, visto che nel frattempo Francia e Spagna erano entrate in guerra. Vista la sua propensione al perfezionismo, non poteva accettare un errore nelle sue misurazioni, ma temeva di confidarsi e quel peso interiore minò le sue energie fisiche.

Al termine della missione, i due astronomi decisero di convergere a Carcassonne, da dove tornarono a Parigi per presentare i propri dati a una Commissione internazionale. Dopo aver fatto di tutto per evitare di incontrarsi con Delambre e dopo aver ottenuto dall’Accademia di non presentare i suoi diari – la testimonianza del suo errore – Méchain, al termine dell’impresa e ossessionato dall’imperfezione, si fece assegnare una nuova missione, per estendere la misurazione del meridiano a sud di Barcellona. Approdato vicino a Valencia, sulle coste infestate dalla malaria, fu vittima dell’epidemia e morì il 20 settembre 1804.

Attualmente, solo Stati Uniti, Myanmar (ex Birmania) e Liberia non hanno riconosciuto come sistema di misura ufficiale il sistema metrico decimale, ma in anni recenti i produttori americani hanno dato inizio a una riconversione, una rivoluzione silenziosa e necessaria, viste le pressioni della nuova economia globale. Altri eventi premono per questa riconversione, basti ricordare che nel 1999 alla base della perdita del Mars Climate Orbiter c’era il lavoro di due squadre di ingegneri, che avevano usato due diverse unità di misura: tale differenza generò un errore di traiettoria di 96,5 km e una perdita di 125 milioni di dollari.

Anche la Francia, nonostante sia stata la nazione che inventò il sistema metrico, lo respinse: la gente comune rifiutò con forza la nuova unità di misura, vedendo minacciati i propri guadagni e sentendosi ingannata. Alla vigilia dell’invasione della Russia, Napoleone dovette tornare alle antiche unità di misura e solo nel 1840 la Francia riuscì a riavere il metro.

L’errore commesso da Méchain era in qualche modo annunciato nella relazione ufficiale redatta da Delambre, la Base du système métrique décimal: “Non ho rivelato al pubblico ciò che non è obbligato a sapere. Ho eliminato tutti quei dettagli che potrebbero ridurre la sua fiducia in una missione così importante, per la quale non ci sarà data occasione di fare una verifica.” Ma in una scatola di cartone accuratamente sigillata, l’autore ha trovato dozzine di lettere, nelle quali è raccontato l’errore. Secondo gli odierni rilevamenti satellitari, il metro elaborato da Delambre e Méchain è più corto di circa 0,2 mm, perché la lunghezza del meridiano equivale a 10.002.290 metri. Eppure, come ci dice lo stesso autore, “persino nel fallimento, Delambre e Méchain ebbero successo, poiché attraverso il loro lavoro, non soltanto rielaborarono la nostra conoscenza della forma della Terra, ma anche la nostra conoscenza dell’errore”.

Esercizio sui luoghi geometrici

Nel piano, riferito ad un sistema d’assi cartesiani ortogonali, si consideri la circonferenza C di raggio unitario e con centro nell’origine O degli assi e sia P un suo punto; si tracci la tangente in P a C indicando con A e B i punti in cui tale tangente incontra rispettivamente l’asse x e l’asse y. Si consi-deri il rettangolo OAQB e si esprimano le coordinate del punto Q in funzione dell’angolo θ che la retta OP forma con il semiasse positivo delle x ; si trovi quindi l’equazione cartesiana del luogo descritto dal punto Q al variare del punto P sulla circonferenza C.

Leggi l’esercizio svolto

170. Laboratorio di matematica: il teorema di Pitagora

mix-competenze.pngIl ministro Francesco Profumo, in concerto con la fondazione Agnelli, ha individuato nella scuola media il punto più debole del sistema scolastico e ha espresso la volontà di riformarla: "Quelli transitori sono i momenti più difficili ai quali fino ad oggi la scuola ha dedicato poca attenzione e sui quali lavoreremo con impegno". Quale sarà la direzione dei lavori? In questo scritto si vuole mostrare come all’origine del malessere della scuola secondaria di primo grado sia da collocare l’elusione delle disposizioni ministeriali: le scuole le hanno fraintese, ancorate a una logora concezione di disciplina. La progettazione dell’insegnamento del teorema di Pitagora mostrerà il cambiamento che la riforma del 79 avrebbe dovuto innescare.

Bridges

kamil.porembinski-bridge.jpgTra le varie isole, rappresentate dai dischi numerati, vanno stesi opportunamente alcuni ponti. I ponti possono essere solamente verticali ed orizzontali, e due (o più) ponti non possono incrociarsi. Tra due isole possono essere stesi 0, 1, o 2 ponti, ma non di più. Il numero su ogni isola rappresenta la quantità totale di ponti che partono dall’isola stessa. Infine, tutto l’arcipelago deve essere interconnesso: deve essere possibile raggiungere qualsiasi isola.

bridges1.jpg

La soluzione è alla pagina seguente

Il software che ha decretato il successo di Internet [Tim Berners-Lee]

timbernerslee.png"A short summary of the World Wide Web project: A wide-area hypermedia information retrival initiative aiming to give universal access to a large universe of documents" (Tim Berners-Lee, 6 Agosto 1991, w3.org).

La storia di Internet è direttamente collegata allo sviluppo delle reti di telecomunicazioni. I primi progetti di questo disegno apparvero alla fine degli anni cinquanta (La rete ARPA fu creata nel 1958 nell’ambito del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti). L’applicazione pratica iniziò alla fine degli anni sessanta. Arpanet venne pianificata e realizzata dal Massachusetts Institute of Technology di Boston ed al progetto aderirono in seguito diverse altre università americane.

E’ l’ingegnere informatico Ray Tomlinson a inventare, nel 1971, la posta elettronica: con la rete Arpanet è possibile scambiarsi messaggi tra atenei americani. Nel 1972 il simbolo @ viene introdotto per separare il nome del destinatario dal server di destinazione. Dagli anni 80 le tecnologie che oggi costituiscono la base di Internet cominciarono a diffondersi in tutto il globo (Italia compresa). Ma è solo nel corso degli anni novanta che la popolarità e l’utilizzo della rete è divenuta globale in seguito al lancio del World Wide Web ideato da Berners-Lee del Cern di Ginevra.

Interrogato sul perché non abbia brevettato il software del Web e nemmeno il marchio, Tim Berners-Lee, ingegnere, fisico e informatico inglese nato nel 1955, risponde: «Se avessi creato la Web Inc. avrei semplicemente dato vita ad un nuovo standard e la diffusione universale del WWW non si sarebbe mai verificata. Perché esista qualcosa come il Web è necessario che tutto il sistema si basi su standard aperti, pubblici».

"Quando cominciai a lavorare con il programma che avrebbe poi fatto nascere l’idea del World Wide Web, lo chiamai Enquire, da Enquire Within upon Everything (entrate pure per avere informazioni su ogni argomento).

* Considero il Web come un tutto potenzialmente collegato a tutto, come un’utopia che ci regala una libertà mai vista prima.

* Il Web è nato come risposta a una sfida aperta, nel mescolarsi di influenze, idee e conclusioni di origini diverse, fino a coagulare un concetto nuovo grazie alla mediazione meravigliosa della mente umana.

* Il Web è ben lungi dall’essere "completato", è solo in una fase farraginosa di costruzione.

* Se il World Wide Web vuole rappresentare e sostenere la ragnatela della vita, deve permetterci di agire in modo diverso con gruppi differenti di differenti dimensioni e fini, in differenti luoghi ogni giorno, nelle nostre case, uffici, scuole, chiese, città, paesi e culture.

* Il Web è più un’innovazione sociale che un’innovazione tecnica.

* Il fine ultimo del Web è migliorare la nostra esistenza reticolare nel mondo. Di solito noi ci aggreghiamo in famiglie, associazioni e aziende. Ci fidiamo a distanza e sospettiamo appena voltato l’angolo.

* Il Web non si limita a collegare macchine, connette delle persone". (Berners-Lee, L’architettura del nuovo Web, 1999).

"Sul Web dovremmo essere in grado non solo di trovare ogni tipo di documento, ma anche di crearne, e facilmente. Non solo di seguire i link, ma di crearli, tra ogni genere di media. Non solo di interagire con gli altri, ma di creare con gli altri. L’intercreatività vuol dire fare insieme cose o risolvere insieme problemi. Se l’interattività non significa soltanto stare seduti passivamente davanti a uno schermo, allora l’intercreatività non significa solo starsene seduti di fronte a qualcosa di interattivo.

Ho fatto un sogno riguardante il Web… ed è un sogno diviso in due parti. Nella prima parte, il Web diventa un mezzo di gran lunga più potente per favorire la collaborazione tra i popoli. Ho sempre immaginato lo spazio dell’informazione come una cosa a cui tutti abbiano accesso immediato e intuitivo, non solo per navigare ma anche per creare…. Inoltre, il sogno della comunicazione diretta attraverso il sapere condiviso dev’essere possibile per gruppi di qualsiasi dimensione, gruppi che potranno interagire elettronicamente con la medesima facilità che facendolo di persona. Nella seconda parte del sogno, la collaborazione si allarga ai computer. Le macchine diventano capaci di analizzare tutti i dati sul Web, il contenuto, i link e le transazioni tra persone e computer. La "Rete Semantica" che dovrebbe renderlo possibile deve ancora nascere, ma quando l’avremo i meccanismi quotidiani di commercio, burocrazia e vita saranno gestiti da macchine che parleranno a macchine, lasciando che gli uomini pensino soltanto a fornire l’ispirazione e l’intuito. Finalmente, si materializzeranno quegli "agenti" intelligenti sognati per decenni. Questo Web comprensibile alle macchine si concretizzerà introducendo una serie di progressi tecnici e di adeguamenti sociali attualmente in fase di sviluppo." (Berners-Lee, L’architettura del nuovo Web, 1999).

Berners-Lee ha coniato il nome di World Wide Web, ha scritto il primo programma server per il World Wide Web, httpd, ed il primo programma client (un browser e un editor) nell’ottobre del 1990. Ha scritto inoltre la prima versione del linguaggio di formattazione di documenti con capacità di collegamenti ipertestuali conosciuto come HTML. Ha identificato le prime specifiche per: URL (indirizzi), HTTP (protocolli di rete) e HTML (linguaggio di programmazione). Tutte queste innovazioni sono state in seguito discusse e perfezionate da una vasta comunità di utenti, sistemisti, ingeneri e informatici.

Nel 1993 Tim Berners-Lee venne intervistato dalla testata TG1 della RAI. I suoi diretti superiori al CERN di Ginevra vennero interrogati, nel corso dell’intervista, sulla possibilità che il CERN promuovesse, anche con fondi speciali di ricerca delle Commissioni Europee, l’idea del WWW e la sua realizzazione industriale. Il direttore del CERN, il fisico italiano Carlo Rubbia, disse che non riteneva compito del CERN promuovere quella pur brillante idea. Tim Berners Lee, di conseguenza, accettò l’offerta di Mike Dertouzos del MIT di lasciare il CERN per il Laboratory for Computer Science del prestigioso Massachusetts Institute of Technology (MIT) di Boston, dove nel 1994 fondò il World Wide Web Consortium (W3C). Il 15 aprile 2004 gli è stato assegnato il premio Millennium Technology per l’invenzione del World Wide Web. Il 16 luglio 2004 Berners-Lee è stato insignito del titolo di Knight Commander dell’Ordine dell’Impero Britannico dalla regina Elisabetta II d’Inghilterra.

I contenuti del Web sono organizzati nei siti a loro volta strutturati nelle cosiddette pagine web le quali si presentano come composizioni di testo e/o grafica visualizzate sullo schermo del computer dal browser. Le pagine web, anche appartenenti a siti diversi, sono collegate fra loro in modo non sequenziale attraverso i link (in italiano collegamenti). In questa maniera parti di testo e/o grafica di una pagina web permettono di accedere ad un’altra pagina web, di scaricare particolari contenuti, o di accedere a particolari funzionalità, cliccandoci sopra con il mouse e creando così un ipertesto che può essere inviato anche per posta elettronica. Tutti i siti sono identificati dall’ indirizzo web, una sequenza di caratteri univoca chiamata in termini tecnici URL che ne permette la rintracciabilità nel Web. Il Web è realizzato attraverso un insieme di standard, i principali dei quali quelli già descritti sopra:
* HTML: il linguaggio con cui sono scritte le pagine dei siti del web,
* HTTP: il protocollo di rete,
* URL: lo schema di identificazione degli indirizzi dei siti e dei servizi del Web.

La peculiarità dei contenuti del Web è quella di non essere memorizzati su un unico computer, ma di essere distribuiti su più computer, caratteristica da cui discende robustezza e sicurezza in quanto non si è vincolati ad una particolare localizzazione fisica. Tale peculiarità è realizzata dal protocollo di rete HTTP il quale permette di vedere i contenuti della rete come un unico insieme di argomenti anche se fisicamente risiedono su una moltitudine di computer di Internet (i server) sparsi per il pianeta.

Non è previsto un indice aggiornato in tempo reale dei contenuti del Web, quindi nel corso degli anni sono nati ed hanno riscosso notevole successo i cosiddetti motori di ricerca, siti web (ad esempio Google e Yahoo!) da cui è possibile ricercare contenuti della rete in modo automatico sulla base di parole chiave inserite dall’utente. La diffusione di queste soluzioni ha consentito di avviare l’utilizzo della rete come piattaforma applicativa che oggi trova la sua massima espressione nei Web Service (ad esempio le Itranet e le Extranet aziendali) alla cui realizzazione e diffusione sta lavorando l’intera industria mondiale del software per la gestione d’azienda, dai grandi nomi del software gestionale e di business intelligence (come SAP, Oracle e Sas) fino alle comunità Open Source. L’utilizzo dei web-service permetterà anche alle piccole imprese di gestire senza grandi sforzi i propri processi aziendali.

L’intranet è una rete locale (LAN), o un raggruppamento di reti locali, usata all’interno di una organizzazione per facilitare la comunicazione dell’informazione, che solitamente è ad accesso ristretto e protetta da firewall. Attualmente la concezione più comune di intranet prevede un portale aziendale come punto di ingresso ad applicazioni specifiche, quali:
* Publishing: pubblicazione, personalizzazione e visualizzazione dei contenuti sull’intranet, realizzando la comunicazione monodirezionale di contenuti verso il personale;
* Knowledge e Document management: supporto all’acquisizione ed alla gestione della conoscenza esplicita, con funzioni di archiviazione, indicizzazione, correlazione e ricerca;
* Community: supporti alla comunicazione e all’interazione tra utenti attraverso servizi interattivi (forum, mailing list, instant messaging, chat etc), finalizzati alla gestione della conoscenza implicita all’interno dell’azienda;
* Collaborative work: supporto alla collaborazione e al teamworking (ad esempio groupware, e- room, videoconferenze etc);
* Legacy integration: supporto all’accesso ai sistemi informativi aziendali, ai dati e alle procedure dei sistemi gestionali e di tutti gli altri applicativi in azienda;
* Self Service: funzionalità in grado di erogare servizi interattivi ai dipendenti, come e-learning, rubrica del personale, modulistica, help desk informatico etc.

Le modalità di impiego, utilizzo e gestione di queste funzionalità possono essere estremamente diverse da azienda ad azienda; tanto che sotto il termine ‘intranet’ ricadono applicazioni difformi per obiettivi, funzionalità, attività supportate, tecnologie usate e legami con gli altri sistemi aziendali.

Nonostante tutte queste evoluzioni, il web rimane, ancora e soprattutto, una gigantesca biblioteca di pagine on-line. Però, se da un lato lo standard HTML con la sua semplicità ha contribuito all’affermazione della rete, dall’altro ha la grossa limitazione di tralasciare del tutto la struttura e il significato del contenuto (la semantica).

Questo pone notevoli difficoltà nel reperimento e riutilizzo delle informazioni. Per rendersi conto di questo è sufficiente eseguire una ricerca utilizzando uno dei molti motori disponibili in rete e ci si accorgerà che, delle migliaia di documenti risultanti dalla query, spesso solo una piccola percentuale è d’interesse per la ricerca che s’intendeva fare. Ad esempio, per un qualsiasi motore di ricerca, non esiste alcuna differenza fra il termine Rossi nel contesto "Il Sig. Rossi" ed il termine rossi nel contesto "capelli rossi", rendendo la ricerca problematica e assai lunga.

La risposta a questo problema è venuta, ancora una volta da Tim Berners-Lee che, abbandonato il CERN, con il suo consorzio W3C ha assunto il ruolo guida nello sviluppo di standard e protocolli legati al web. Egli nel 1998 ha definito lo standard XML (eXtensible Markup Language), un metalinguaggio che consente la creazione di nuovi linguaggi di marcatura (ad es. lo stesso HTML è stato ridefinito come XHTML). La caratteristica innovativa è la possibilità di aggiungere informazioni semantiche sui contenuti attraverso la definizione di opportuni marcatori.

Internet offre infinite opportunità che possono essere usate per amplificare oppure per addormentare le capacità dei singoli. I detrattori come Nicholas Carr, sostengono che ci fa diventare superficiali. La tesi è semplice: leggiamo un sacco di notizie, ma non ci soffermiamo mai abbastanza a pensare e dunque non assimiliamo quanto ci passa davanti. Per di più non siamo stimolati a ricordare: sappiamo che basterà mettere qualche parola chiave in un motore di ricerca per ritrovare le informazioni dimenticate. Proponendoci una soluzione per tutti i problemi, internet non ci stimola a pensare in proprio, piuttosto ci induce a lavorare quasi sempre su più livelli disperdendo il nostro patrimonio di attenzione.

Sono effetti di poco conto, ribattono gli estimatori, dovuti a un utilizzo passivo di internet (Michael Nielsen, "Le nuove vie della scoperta scientifica", Giulio Einaudi, Torino 2012). Nielsen sottolinea come la rete, e tutti i mezzi che attraverso essa ci vengono offerti, possono invece stimolare enormemente la creatività facendo superare le barriere e le limitazioni dei singoli.

Illuminante la storia di Tim Gowers, un matematico dell’università di Cambridge, medaglia Field nel 1998. Gowers nel 2009 pubblicò un post sul suo blog dove chiedeva se fosse possibile risolvere un difficile problema che lo assillava. Gowers descriveva il problema che non riusciva a risolvere e il blog lentamente cominciava ad animarsi: partecipavano altri matematici, professori di liceo, studiosi e qualche curioso. Era nato Polimath, un processo che non solo risolse il problema in meno di due mesi, ma permise anche di generalizzarlo. Da allora Polimath (e i suoi numerosi imitatori su internet) hanno attaccato problemi ancora più complessi riportando successi notevoli.

Pensare ad un problema in compagnia di altri permette di sfruttare le capacità e le esperienze collettive, senza contare gli effetti trainanti positivi dello spirito di gruppo. Nessuno sa tutto, ma ognuno ha punte di eccellenza che possono essere preziose. Tradizionalmente i ricercatori e gli scienziati che arrivano ad un punto morto si guardano intorno e chiedono consiglio ai colleghi. Nel 1912 Albert Einstein stava elaborando la teoria della relatività generale, ma si era reso conto che la geometria euclidea non era adatta a descrivere la gravità: non era un matematico e non sapeva come proseguire. Per fortuna ne parlò con Marcel Grossmann che gli suggerì di studiare la geometria di Riemann. Riemann aveva proposto la sua geometria partendo da basi teoriche, ed in particolare dalla sospensione del postulato sulle parallele di Euclide, ma non pensava certo che essa sarebbe potuta servire per descrivere fenomeni come quello della gravità fisica. Nessuno sa cosa sarebbe potuto succedere senza questo prezioso suggerimento che mise le ali alla creatività di Einstein.

La rete amplifica le possibilità di trovare queste coincidenze fortuite (serendipity) e, se ben gestita, è una miniera di informazioni e di conoscenze che reinventa il metodo di fare scoperte ed invenzioni. Si cercano connessioni impreviste tra le conoscenze dei singoli che permettono di arrivare alle soluzioni attraverso proposte, critiche, analisi, sintesi, valutazioni, respingimenti, accettazioni: la rete, se ben usata, può essere un potente strumento di problem solving.

Quando gruppi numerosi di persone si trovano ad interagire con gli strumenti resi disponibili dal web possono riuscire a risolvere problemi o a realizzare compiti che sono anche molto al di sopra delle capacità di ogni singolo individuo del gruppo. E’ sicuramente da ingenui considerare l’intelligenza collettiva la panacea del problem solving, ma sicuramente le potenzialità della rete assieme alle sterminate ricchezze delle banche dati (vedi Codd), ha modificato profodamente il modo di fare scienza. In futuro, nei campi più disparati, è plausibile ipotizzare mutamenti ancor più radicali: nella biologia, nella chimica, nella fisica, nell’astronomia e nella matematica, un numero sempre maggiore di tragurdi sarà raggiunto non grazie all’intuizione di un singolo scienziato, ma attraverso la cooperazione creativa di gruppi di individui, ognuno con le sue competenze, per modeste e settoriali che siano.

Scuole di eccellenza: esce il Bando di Ammissione 2012 – 2013 per Scuola Galileiana di Padova

scuola-galileiana.pngLa Scuola Galileiana di Studi Superiori di Padova apre le porte ai futuri “Galileiani” per l’anno accademico 2012 – 2013. E’ uscito il Bando di Ammissione per accedere ai due percorsi formativi proposti dalla Scuola Galileiana di Padova: 10 posti per Scienze Morali, indirizzo umanistico, e 14 posti per Scienze Naturali, indirizzo tecnico scientifico. La domanda di ammissione alla selezione dovrà essere debitamente sottoscritta dal candidato e spedita entro il 3 settembre 2012.

La Scuola è un percorso parallelo a quello universitario tradizionale, perfettamente integrato con orari ed esami a quello di un normale corso universitario.

Una delle poche Scuole di eccellenza presenti in Italia, assieme alla Normale di Pisa, che offre un’esperienza formativa ricca di stimoli: partecipazione a convegni con relatori internazionali, possibilità di imparare nuove lingue e viaggi organizzati all’estero.

La Scuola, nata dalla collaborazione tra l’Ateneo di Padova e la Scuola Normale di Pisa, si avvale di ricerca e sperimentazione per far raggiungere agli alumni una preparazione universitaria eccezionalmente qualificata.

I “galileiani”, ospitati presso il Collegio Morgagni, potranno usufruire di significativi vantaggi economici e importanti esperienze formative.

Per tutti coloro che desiderano ricevere maggiori informazioni, è possibile consultare il Bando di ammissione direttamente dal sito web della Scuola Galileiana oppure visitare la Pagina Facebook della Scuola, sempre aggiornata su notizie ed eventi provenienti dall’istituto e dall’Università di Padova. Per ulteriori info: [email protected]

2° convegno sull’insegnamento della Analisi Non Standard nelle scuole superiori

ans-convegno.pngIl 2° convegno sull’insegnamento della Analisi Non Standard nelle scuole superiori si terrà a Modena il 16 settembre 2012 presso il CeSDA, Centro Sperimentale per la Didattica dell’Astronomia Civico Planetario "Francesco Martino" viale Jacopo Barozzi, 31 41124 MODENA. Si ricorda che gli atti del primo convegno si possono acquistare presso lo shop di Matematicamente.

Per informazioni: tel. 059 22 47 26 – fax: 059 43 34 19

e-mail [email protected]

Sito web http://www.planetariodimodena.it/

dove siamo http://www.planetariodimodena.it/come_raggiungerci_it.htm

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Magneti

magnets80.jpgUn gioco di collocazione: bisogna determinare se le piastre grigie dello schema sono neutre, o altrimenti in che modo sono polarizzate. Se sono polarizzate, un’estremità è positiva e l’altra è negativa. Due estremità con la stessa polarità non possono toccarsi lungo un lato, ma possono essere vicine in diagonale. Ci sono dei numeri lungo il bordo dello schema. Ogni numero indica quanti sono i segmenti con polarità positiva e negativa lungo la rispettiva riga. In particolare, i numeri in alto e a sinistra indicano le polarità positive, mentre i numeri in basso e a destra indicano le polarità negative. Se è la prima volta che provi a risolvere uno schema di questo tipo, lo troverai difficile, se sei un esperto questo schema sarà abbastanza facile.

MAGNETI

1) Determinare la polarità magnetica di ciascuna piastra grigia.

2) Alcune piastre hanno polarità positiva da un lato, e negativa dall’altro. Altre piastre sono invece neutre.

3) Due estremità positive non possono toccarsi tra loro, ma possono essere vicine in diagonale. Stesso dicasi per due estremità negative.

4) I numeri accanto ad ogni riga indicano quante sono le estremità positive e negative che si incontrano lungo quella riga.

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Soluzione

Ingegneria inversa [Steven Pinker]

steven.pinker.pngConoscendo lo scopo di una macchina, si tratta di capire in che modo  i suoi vari pezzi servono a realizzare quello scopo.

"Gli obiettivi inscritti nell’Homo Sapiens, questa specie sociale esperta nel problem solving, non consistono solo nel nutrimento, nella lotta o nella fuga e nella sessualità. In cima alla lista c’è il capire l’ambiente ed assicurarsi la cooperazione altrui… Deve impegnare il suo corpo su un obiettivo per volta e gli obiettivi vanno messi in corrispondenza con i momenti migliori per raggiungerli. L’Ecclesiaste dice che: per ogni cosa c’è il suo momento, il suo tempo per ogni faccenda sotto il cielo: un tempo per piangere e un tempo per ridere, un tempo per amare e un tempo per odiare".

"… la mente è un sistema di organi di computazione designato per selezione naturale a risolvere i problemi posti ai nostri antenati dalla loro condizione di cacciatori e raccoglitori, in particolare come capire e sfruttare oggetti, animali, piante e altre persone. … La mente è organizzata in moduli … I vari problemi dei nostri antenati erano sottocompiti di un unico grande problema dei loro geni: massimizzare il numero di copie capaci di giungere alla generazione successiva" (vedi Dawkins).

"In questa ottica la psicologia è ingegneria inversa. Nell’ingegneria normale si costruisce una macchina per un certo scopo; nell’ingegneria inversa si cerca di capire perchè una macchina è stata costruita. Ingegneria inversa è quella che fanno segretamente gli scienziati della Sony quando la Panasonic annuncia un nuovo prodotto, o viceversa: lo comprano, lo portano in laboratorio, prendono un cacciavite è cercano di capire a che serve ognuno dei suoi elementi e come sono stati messi insieme per farlo funzionare. Tutti noi facciamo ingegneria inversa quando ci troviamo di fronte a un nuovo interessante aggeggio. … Nel XVII secolo William Harvey (e fu lui ad aver ragione, nella celebre disputa avuta con Cartesio sulla circolazione del sangue) scoprì che le vene sono munite di valvole, e ne dedusse che dovevano servire a far circolare il sangue.

Da allora siamo giunti a intendere il corpo come una macchina di mirabile complessità, un assemblaggio di puntoni, cavi, molle, pulegge, leve, giunti, perni, incassature, serbatoi, tubi, valvole, guaine, pompe, scambiatori, filtri…

La legittimazione dell’ingegneria inversa degli esseri viventi viene, è naturale, da Charles Darwin. Fu lui ad indicare come ‘organi di estrema perfezione e complessità, che giustamente suscitano la nostra ammirazione’ provengano non dalla preveggenza di Dio, ma dall’evoluzione di replicatori lungo immensi periodi di tempo. Mentre i replicatori replicano, si verificano a volte casuali errori di copiatura e quelle modifiche, cui accade spesso di accrescere il tasso di sopravvivenza e riproduzione del replicatore, tendono ad accumularsi lungo le generazioni … Darwin ha insistito sul fatto che la sua teoria non avrebbe spiegato soltanto la complessità delle specie animali ma anche le loro menti".

"L’ingegneria inversa è possibile solo se si ha una qualche idea dello scopo per il quale il congegno è stato progettato. Non si capisce lo snocciolaolive finché non si capisce che è stato progettato per snocciolare le olive, non per fare da fermacarte o per esercitare il polso. Gli scopi del progettista vanno cercati per ogni parte di un congegno complesso e per il congegno nel suo insieme. Le automobili hanno una componente, il carburatore, progettata per miscelare aria e benzina, e miscelare aria e benzina è un sottoscopo dello scopo ultimo, far viaggiare la gente". Steven Pinker (1954). Come funziona la mente.

Di seguito alcuni punti centrali sul funzionamento della mente umana secondo Pinker:
1) Il mondo mentale può essere radicato nel mondo fisico tramite i concetti di "informazione, computazione e feedback".
2) La "tabula rasa" non spiega l’apprendimento, mentre è necessario spiegare come la mente riconosca e associ segni e rifletta su di essi.
3) "La mente è un sistema complesso composto da molte parti interagenti".
4) Le neuroscienze cognitive hanno mostrato che il cervello non è una tabula rasa: «l’anatomia globale del cervello è in gran parte modellata dai geni nel normale sviluppo prenatale».
5) La genetica del comportamento, con esperimenti su gemelli monozigotici (cresciuti insieme o separatamente) e «gemelli virtuali» (cioè bambini adottati ma cresciuti insieme nello stesso ambiente), ha mostrato come differenze mentali e comportamentali possano derivare da differenze genetiche.
6) La psicologia evoluzionistica, che spiega come la mente non sia affatto una tabula rasa, ma sia invece il frutto di competizione darwiniana, esclude la possibilità di una mente totalmente «malleabile» dall’ambiente e dagli attori che vi operano.
7) In relazione alla filosofia del "buon selvaggio", Pinker dimostra che «aveva ragione Hobbes e torto Rousseau» sul pacifismo dei selvaggi: vari studi mostrano infatti che le società prestatuali presentano un tasso di violenza, aggressività e bellicosità di gran lunga superiore a quello degli stati europei e americani.

Smontare apparecchi, capire il funzionamento di organi, individuare le motivazioni dei comportamenti, decrittare messaggi cifrati sono certamente modi per fare ingegneria inversa e per risolvere problemi di comprensione del funzionamento di sistemi più o meno complessi, ma per qualcuno gli entusiasmi debbono essere quantomeno moderati.

In una sua recensione del volume di Pinker Diego Marconi scrive: ‘Il libro ‘Come funziona la mente’ spiega tra l’altro: la formazione dell’occhio, l’autismo, il ragionamento, gli errori cognitivi e la genialità, la paura dei ragni e la nostra riluttanza a mangiare cavallette, l’amore romantico, perchè agli uomini piacciono le donne belle e alle donne gli uomini ricchi e potenti, la differenza tra la gelosia maschile e quella femminile, il gusto per il paesaggio e l’amore per i fiori, le arti visive, la letteratura, la musica e l’umorismo… Il modo in cui Pinker consegue questi risultati mirabolanti è piuttosto semplice. Si assume che un organismo vivente sia essenzialmente una macchina per la propagazione dei propri geni. Data questa premessa, spiegare una caratteristica che risulta prevalente in una popolazione (per esempio nella nostra specie, gli esseri umani) è mostrare in che modo quella caratteristica serve allo scopo della propagazione dei geni.

E’ il metodo detto della ingegneria inversa: conoscendo lo scopo di una macchina, si tratta di capire in che modo i suoi vari pezzi servono a realizzare quello scopo. Questo meccanismo esplicativo è applicato sistematicamente da Pinker, spesso facendo uso di un’ammirevole inventiva personale, altre volte riferendo ipotesi altrui. In particolare se Chomsky era l’eroe dell’istinto del linguaggio, qui gli eroi sono l’antropologo John Tooby e la psicologa Leda Cosmides, che hanno rinverdito i fasti della sociobiologia sotto il nome di psicologia evoluzionistica, Pinker si sforza di prendere le distanze dalla sociobiologia a cui rimprovera un certo semplicismo, ma le differenze non paiono così significative.

Il fatto è che la sociobiologia era arrivata troppo presto, in tempi ancora di relativismo culturale, ed era stata travolta da accuse (spesso eccessive) di razzismo, sciovinismo maschilista, giustificazione della guerra e chi più ne ha più ne metta. Ora l’aria è cambiata: il relativismo culturale, che vedeva anche nel pancreas un "oggetto culturale" e un "prodotto storico", è in netto regresso ed è probabile che le idee di Pinker, Dawkins, Dennet e di molti altri trovino oggi un’accoglienza migliore’.

In "Come funziona la mente" esistono anche aspetti interessanti che facilitano la comprensione di problematiche e pregiudizi della società contemporanea; anzitutto, Pinker sottolinea con molta fermezza che "naturale" non implica "necessario" ne "buono": che un comportamento possa essere ritenuto naturale, ovvero che gli venga riconosciuta una base genetica non vuol dire che non possa, ed eventualmente non debba essere contrastato dalla società e dalla cultura. Un altro aspetto è una chiara presa di posizione basata sulla analisi di gemelli monozigoti cresciuti insieme o separatamente che porta Pinker a concludere: "…La più grossa influenza che i genitori esercitano sui figli è al momento del concepimento". Il che dovrebbe contribuire a ridurre i sensi di colpa dei genitori, e anche a limitare in modo salutare il loro senso di onnipotenza nei confronti dei figli.

La filosofia dominante del Politically Correct spesso impedisce, nonostante le sue buone intenzioni, di comprendere e valorizzare al massimo le differenze di genere, di etnia e, più in generale le differenze culturali. L’enfasi sul riconoscimento delle ‘pari opportunità ‘ si riduce spesso ad una assegnazione, calibrata in percentuali prefissate di ruoli decisionali che, pur in sè auspicabile, finisce per neutralizzare e appiattire il potenziale innovativo delle culture differenti, esse rappresentano invece nella risoluzione di molti problemi, uno strumento di straordinaria efficacia.

Oltre ad aver avuto per collaboratori donne e persone di diversi paesi, ho anche avuto la fortuna di lavorare alla dipendenza (abbastanza raro per gli ingegneri della mia generazione) di project manager donne e di contract manager indiani constatando dal vivo la innovatività (rispetto ai miei standard culturali) estremamente produttiva dei loro approcci ai problemi, alle ricerche di soluzioni e alla presa di decisioni.