Scomponi in fattori la seguente espressione letterale:
$ x^2 + 9 y^2 + 4 – 6xy + 4x – 12y$
Possiamo scomporre questo polinomio come quadrato di un trinomio:
$ (x – 3y^2 + 2)^2$
Infatti:
$(x – 3y^2 + 2)^2 = x^2 + (-3y)^2 + 2^2 + 2*x*(-3y) + 2*(-3y)*2 + 2*2*x = $
$ x^2 + 9 y^2 + 4 – 6xy + 4x – 12y$
Scomponi in fattori la seguente espressione letterale:
$ 2a^2 – 8ab + 8b^2 $
Anche se a prima vista non sembrerebbe, il polinomio è il quadrato di un binomio:
$ 2a^2 – 8ab + 8b^2 = (sqrt2 a – 2sqrt2 b)^2$
Infatti:
$(sqrt2 a – 2sqrt2 b)^2 = (sqrt2 a)^2 + (- 2sqrt2 b)^2 + 2 * sqrt2 a * (-2sqrt2 b) = $
$2a^2 – 8ab + 8b^2 $
Scomponi in fattori la seguente espressione:
$ 16x^4 – 1$
Scomponiamo come differenza fra due quadrati:
$ 16x^4 – 1 = (4x^2 – 1)(4x^2 + 1)$
Possiamo nuovamente scomporre $(4x^2 – 1) $ come differenza di due quadrati:
$ (4x^2 – 1)(4x^2 + 1) = (4x – 1)(4x + 1)(4x^2 + 1)$
Scomponi in fattori la seguente espressione letterale:
$ – 8a^4y + 6a^3x – 12aby + 9bx $
Effettuiamo un raccoglimento parziale:
$ 2a^3 (- 4 ay + 3x) + 3b (-4 ay + 3x) $
$ (2a^3 + 3b) (-4 ay + 3x) $
Scomponi in fattori la seguente espressione letterale:
$ 9 a^2b + 18 ab^2 + 6ab $
Mettiamo in evidenza $3ab$ :
$ 3ab (3a + 6b + 2) $
Determina il valore di $k$ in modo che l’equazione $ kx^2 – (2k + 1)x + k – 5 = 0$ abbia:
Nello svolgimento ci riferiremo all’equazione come considerando l’espressione generica di un’equazione di secondo grado:
$ ax^2 + bx + c = 0$
Affinché l’equazione abbia soluzioni reali, è necessario che il suo $Δ$ sia maggiore o uguale a zero.
Per prima cosa, troviamo il delta dell’equazione:
$ kx^2 – (2k + 1)x + (k – 5) = 0$
$ Δ = b^2 – 4ac $
$ Δ = (2k + 1)^2 – 4 * k * (k – 5) = 4k^2 + 1 + 4k – 4k^2 + 20k = 1 + 24k$
Imponiamo quindi che
$Δ ≥ 0 to 1 + 24k ≥ 0 to k ≥ – 1/(24) $
Per far sì che la somma delle radici sia 2, è necessario imporre che
$ x_1 + x_2 = 2 to – b/a = 2 $
$ – frac(-(2k + 1))(k) = 2$
Poniamo $ k ≠ 0$ e risolviamo l’equazione:
$ frac(2k + 1)(k) = 2$
$ frac(2k + 1)(k) – 2 = 0$
$ frac(2k + 1 – 2k)(k) = 0 $
$ 1 = 0 to $ IMPOSSIBILE
Non esistono quindi valori di k affinché la somma delle radici dell’equazione sia 2.
Poiché il reciproco di un numero $a$ è $ 1/a$ , la somma dei reciproci delle radici sarà $ 1/(x_1) + 1/(x_2)$ .
Abbiamo quindi che:
$ 1/(x_1) + 1/(x_2) = 1$
Minimo comune multiplo:
$ frac(x_1 + x_2)(x_1 * x_2) = frac(x_1 * x_2)(x_1 * x_2)$
Togliamo il denominatore:
$ x_1 + x_2 = x_1 * x_2$
La somma delle radici è data da $ – b/a$ , mentre il loro prodotto da $ c/a$ , quindi:
$ – b/a = c/a $
$ – frac(- (2x + 1))(k) = frac(k -5)(k) $
Poniamo $ k ≠ 0$:
$ 2k + 1 = k – 5 to k = – 6$
Considerando il segno del discriminante, non possiamo accettare le soluzioni che siano minori di $ – 1/(24) $:
Di conseguenza, la soluzione $ k = – 6$ non è accettabile.
$ x_1 ^2 + x_2 ^2 = 0$
Per poter calcolare questa somma di quadrati, passiamo per il quadrato del binomio costituito dalla somma delle radici, al quale sottrarremo il doppio prodotto del primo per il secondo termine:
$ x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x-1 x_2$
Se svolgessimo il quadrato avremmo infatti:
$ (x_1 + x_2)^2 – 2x-1 x_2 = x_1 ^2 + x_2 ^2 + 2x-1 x_2 – 2x-1 x_2 = x_1 ^2 + x_2 ^2 $
Procediamo ora sostituendo alla somma $ – b/a$ e al prodotto $ c/a$ :
$ (x_1 + x_2)^2 – 2x-1 x_2 = 0$
$ (- b/a)^2 – 2 * c/a = 0$
$ b^2/a^2 – (2c)/a = 0$
$ [- (2k + 1)]^2/k^2 – (2(k – 5))/k = 0$
Poniamo le condizioni di esistenza e risolviamo l’equazione:
$ C.E. : k ≠ 0 $
$ [- (2k + 1)]^2/k^2 – (2k – 10))/k = 0$
$ (4k^2 + 1 + 4k)/k^2 – (2k – 10))/k = 0$
Calcoliamo il minimo comune multiplo e togliamo il denominatore:
$ frac(4k^2 + 1 + 4k – k *(2k – 10) )(k^2) = 0$
$ frac(4k^2 + 1 + 4k – 2k^2 + 10k ))(k^2) = 0$
$ 2k^2 + 14k + 1 = 0$
Troviamo le soluzioni con la formula $ k = frac(-b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a)$ :
$ k = frac(-(14)/2 ± sqrt(((14)/2)^2 – 1 * 2))(2) = frac(-7 ± sqrt(7^2 – 2))(2) = $
$ frac(-7 ± sqrt(47))(2)$
Considerando il segno del discriminante, non possiamo accettare le soluzioni che siano minori di $ – 1/(24) $ .
La soluzione $ frac(-7 + sqrt(47))(2)$ , che corrisponde a circa $-0,07$ , non è accettabile, poiché $ – 1/(24) = – 0,04 $ .
Dobbiamo scartare anche la soluzione $ frac(-7 + sqrt(47))(2) = – 6,92 $.
$ x_1 + x_2 > x_1 x_2 $
La somma delle radici è data da $ – b/a$, mentre il loro prodotto da $c/a$, quindi:
$ – b/a > c/a $
$ – (-(2k + 1))/k > (k – 5)/k $
Risolviamo la disequazione:
$ (2k + 1)/k – (k – 5)/k > 0$
$ (2k + 1 – k + 5)/k > 0$
$ (k + 6)/k > 0$
$ N > 0 to k + 6 > 0 to k > – 6$
$ D > 0 to k > 0 $
Studiamo il segno:
Dato che la disequazione è maggiore di zero, prendiamo gli intervalli positivi:
$ k < -6 ∨ k > 0$
I coefficienti a e b di un’equazione di secondo grado $ ax^2 + bx + c = 0 $ sono $a=3$ e $ b=5$ e una soluzione è $ x = 1/3$ .
Data l’equazione $ ax^2 + bx + c = 0 $ , sapendo che $a=3$, $b = 5$, una soluzione è $x = 1/3$ , determina l’altra soluzione e il coefficiente c.
Sapendo che $a=3$ e $ b=5$ , possiamo scrivere l’equazione in questo modo:
$ ax^2 + bx + c = 0 $
$ 3x^2 + 5x + c = 0 $
Inoltre, poiché una delle soluzioni è $x = 1/3$, possiamo sostituire $ 1/3$ alla x, per poter trovare il valore del termine noto:
$ 3 * (1/3)^2 + 5 * 1/3 + c = 0 $
$ 3 * 1/9 + 5 * 1/3 + c = 0 $
$ 1/3 + 5/3 + c = 0 $
$ frac(1 + 5 + 3c)(3) = 0$
$ 6 + 3c = 0 to c = – 2$
L’equazione diventa quindi :
$ 3x^2 + 5x – 2 = 0 $
Troviamo le sue soluzioni:
$ x = frac(- 5 ± sqrt(5^2 – 4 * (-2) * 3))(3 * 2) = $
$ frac(- 5 ± sqrt(25 + 24))(6) = frac(- 5 ± sqrt(49))(6) = $
$ frac(- 5 ± 7)(6) to x = -2 ∨ x = 1/3$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{x^2 + x + 1}{x^3 – x} ≥ 0 &\\
3 – 4x^2 < 0 &
\end{array}\right.
$$
Cominciamo dalla prima disequazione, ponendo numeratore maggiore o uguale a zero e denominatore maggiore di zero, poi studiamo il segno:
$ frac(x^2 + x + 1)(x^3 – x) ≥ 0 $
$ N ≥ 0 to x^2 + x + 1 ≥ 0 $
Passiamo all’equazione associata e troviamo le soluzioni:
$x^2 + x + 1 = 0 $
$ x = frac(-1 ± sqrt(1 – 4))(2)$
L’equazione è impossibile, poiché $ Δ < 0$ .
La disequazione corrispondente, quindi, sarà risolta $ ∀ x ∈ ℜ $.
$ D > 0 to x^3 – x > 0 $
Raccogliamo la x:
$ x (x^2 – 1) > 0 $
Studiamo il segno:
$ x > 0$
$ x^2 – 1 > 0$
$ x^2 – 1 = 0 to x = ± 1$
$ to x < -1 ∨ x > 1 $
Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo gli intervalli positivi:
$ -1 < x < 0 ∨ x > 1 $
Studiamo ora il segno fra numeratore e denominatore:
Ecco quindi le soluzioni della prima disequazione:
$ S : -1 < x < 0 ∨ x > 1 $
Passiamo ora alla seconda:
$ 3 – 4x^2 < 0 $
$ – 3 + 4x^2 > 0 $
Equazione associata:
$ – 3 + 4x^2 = 0 to 4x^2 = 3 $
$ x^2 = 3/4 to x = ± sqrt(3/4) = ± sqrt(3)/2 $
Poiché la disequazione è maggiore di zero, sarà risolta per valori esterni all’intervallo delle radici:
$ S : x < – sqrt(3)/2 ∨ x > sqrt(3)/2 $
Ecco quindi il sistema:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
-1 < x < 0 ∨ x > 1 &\\
x < – \frac{\sqrt3}{2} ∨ x > \frac{\sqrt3}{2} &
\end{array}\right.
$$
Troviamo le soluzioni:
$ S : – 1 < x < – sqrt(3)/2 ∨ x > 1 $
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado:
$ 3x^2 – 2x < 0 $
Passiamo all’equazione associata, poi procediamo con il raccoglimento della x:
$ 3x^2 – 2x = 0 $
$ x (3x – 2) = 0 $
Risolviamo con la legge dell’annullamento del prodotto:
$ x = 0$
$ 3x – 2 = 0 to x = 2/3 $
Poiché la disequazione è minore di zero, sarà risolta per valori interni all’intervallo delle radici:
$ S : 0 < x < 2/3 $
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado:
$ 4x^2 – 4x + 1 ≥ 0 $
Notiamo che il polinomio è il quadrato di un binomio:
$ (2x – 1)^2 ≥ 0 ∀ x ∈ ℜ $
Qualsiasi numero elevato al quadrato è sempre positivo, cioè sempre maggiore o uguale a zero.
Determinare le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:
$ x^2 – 4 ≤ 0 $
Passiamo all’equazione associata e troviamo le soluzioni:
$ x^2 – 4 = 0 $
$ x^2 = 4 to x = ± sqrt4 = ± 2$
Poiché la disequazione è minore di zero, sarà risolta per valori interni all’intervallo delle radici:
$ S : – 2 ≤ x ≤ 2 $
Risolvere la seguente disequazione di secondo grado:
$1/2 x^2 – 3x + 4 > 0$
Calcoliamo il minimo comune multiplo, togliendo poi il denominatore, poiché è un numero positivo e diverso da zero:
$frac(x^2 – 3x * 2 + 4 * 2)(2) > 0$
$ x^2 – 6x + 8 > 0$
Passiamo all’equazione associata:
$ x^2 – 6x + 8 = 0$
Troviamo le soluzioni con la formula $ x = frac(- b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a)$ :
$ x = frac(- (-6)/2 ± sqrt((6/2)^2 – 8))(1) = 3 ± sqrt(3^2 – 8) = $
$ 3 ± sqrt(9 – 8) = 3 ± 1 to x = 4 ∨ x = 2$
Poiché la disequazione è maggiore di zero, sarà risolta per valori esterni all’intervallo delle radici:
$ x < 2 ∨ x > 4 $
(Dalle prove Invalsi 2012)
Un turista italiano in viaggio in Svizzera, prima di cambiare i suoi euro in franchi esamina le seguenti proposte fatte da due banche:
Banca A: 1 euro viene scambiato con 1,412 franchi senza spese.
Banca B: 1 euro viene scambiato con 1,416 franchi con una commissione fissa di 2 franchi.
Se il turista cambia 300 euro, quanti franchi ottiene presso la banca A? E presso la banca B? È vero che è sempre più conveniente la banca A? Motiva la risposta.
Per sapere quanti franchi ottiene il turista basta impostare una proporzione:
Banca A:
$ 1 € : 1,412 F = 300 € : xF $
$ x = 300 * 1,412 = 423,6 F$
Banca B:
$ 1 € : 1,416 F = 300 € : xF $
$ x = 300 * 1,416 = 424,8 F$
Poiché in questa banca deve pagare una commissione di 2 franchi, la quantità totale del suo denaro è di 422,8F.
Per piccole cifre è più conveniente per il turista cambiare valuta nella banca A;
tuttavia, più la soma aumenta, maggiore sarà il guadagno se si va nella banca B.
Infatti, più la cifra iniziale è alta, maggiore è la differenza fra l’importo nella banca A e nella banca B, e quando questa differenza supera i due franchi, la seconda banca diventa più vantaggiosa.
In un triangolo rettangolo ABC rettangolo in A il cateto AB è lungo 16cm, una delle due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa supera l’altra proiezione di 2cm. Calcola perimetro e area del triangolo rettangolo.
Ipotizziamo che il cateto $\hat{AB}$ , di 16 cm, sia il cateto maggiore; chiamiamo con $x$ la proiezione sull’ipotenusa del cateto minore $\hat{AC}$ , mentre con $x+2$ la proiezione del cateto maggiore $\hat{AB}$.
Possiamo sfruttare il primo teorema di Euclide, secondo il quale in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.
$ \hat{CB}: \hat{AB} = \hat{AB} : \hat{HB}$
Sapendo che $\hat{CB} = \hat{CH} + \hat{HB}$ possiamo scrivere che
$\hat{CB}= x + (x + 2) = x + x + 2 = 2x + 2$
Sappiamo che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:
$ \hat{AB} * \hat{AB} = \hat{CB} * \hat{HB}$
$\hat{AB} ^2 = \hat{CB} * \hat{HB}$
Sostituiamo e ricaviamo x dall’equazione:
$ 16^2 = (2x + 2) * (x + 2)$
$ 256 = 2x^2 + 4x + 2x + 4$
$ 2x^2 + 4x + 2x + 4 – 256 = 0$
$ 2x^2 + 6x – 252 = 0$
$ x^2 + 3x – 126 = 0$
Troviamo le soluzioni usando la formula $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a)$
$ x = frac(- 3 ± sqrt(3^2 – 4 * (-126)))(2) = $
$ x = frac(- 3 ± sqrt(9 + 504))(2) = frac(- 3 ± sqrt(513))(2) $
Possiamo portare fuori radice, sapendo che $ 513 = 9 * 57 $
$ x = frac(- 3 ± 3 sqrt(57))(2) to $
$ x = frac(- 3 + 3 sqrt(57))(2) ∨ x = frac(- 3 – 3 sqrt(57))(2) $
Sapendo che $x$ rappresenta la lunghezza di un segmento, essa non può essere negativa; dobbiamo quindi scartare la soluzione negativa e accettare solo $x = frac(- 3 + 3 sqrt(57))(2)$.
Calcoliamo quindi la lunghezza dell’ipotenusa $ \hat{BC}$ :
$ \hat{BC} = 2x + 2 = 2 * frac(- 3 + 3 sqrt(57))(2) + 2 = -3 + 3sqrt(57) + 2 = -1 + 3sqrt(57)$
Con il teorema di Pitagora, determiniamo la lunghezza del cateto $ \hat{AC}$:
$\hat{AC} = sqrt(\hat{CB} ^2 – \hat{AB}^2) = $
$ sqrt((-1 + 3sqrt(57))^2 – 16^2) = $
$ sqrt((1 + 513 – 6sqrt(57) – 256) = $
$ sqrt((258 – 6sqrt(57)) $
Risolvere la seguente equazione fratta:
$ frac(6)(x + 1) – frac(1)(x^2 – 1) = 2$
$ frac(6)(x + 1) – frac(1)((x + 1)(x – 1)) = 2$
$ frac(6)(x + 1) – frac(1)((x + 1)(x – 1)) – 2 = 0$
Poniamo le condizioni di esistenza:
C.E.
$ x + 1 ≠ 0 to x ≠ – 1$
$ x – 1 ≠ 0 to x ≠ 1$
Calcoliamo il minimo comune multiplo:
$ frac(6(x – 1) – 1 – 2(x + 1)(x – 1))((x – 1)(x + 1)) = 0$
$ 6(x – 1) – 1 – 2(x + 1)(x – 1) = 0$
$6x – 6 – 1 – 2(x^2 – 1) = 0 $
$ 6x – 7 – 2x^2 + 2 = 0$
Cambiamo segno e risolviamo con la formula $ x = frac(- b/2 ± sqrt((- b/2)^2 – ac))(a)$
$ 2x^2 – 6x + 5 = 0$
$ x = frac(- (-6)/2 ± sqrt((- (-6)/2)^2 – 2*5))(2) =$
$ x = frac(3± sqrt(9 – 10))(2) = frac(3± sqrt(-1))(2) $
Poiché il delta è minore di zero, l’equazione è impossibile.
Risolvere la seguente equazione fratta:
$ frac(x + 9)(x – 3) = 2 – frac(x – 3)(x + 9)$
Portiamo tutto al primo membro:
$ frac(x + 9)(x – 3) – 2 + frac(x – 3)(x + 9) = 0$
Poniamo le condizioni di esistenza:
C.E.
$ x – 3 ≠ 0 to x ≠ 3$
$ x + 9 ≠ 0 to x ≠ – 9$
Calcoliamo il minimo comune multiplo e poi togliamo il denominatore.
$ frac((x + 9)(x + 9) – 2(x – 3)(x + 9) + (x – 3)(x – 3))((x – 3)(x + 9)) = 0$
$(x + 9)^2 – 2(x – 3)(x + 9) + (x – 3)^2 = 0$
Svolgiamo i quadrati:
$ x^2 + 81 + 18x -2(x^2 + 9x – 3x – 27) + x^2 + 9 – 6x = 0$
$ x^2 + 81 + 18x -2x^2 – 18x + 6x + 54 + x^2 + 9 – 6x = 0$
$ 81 + 54 + 9 = 0$
$ 144 = 0 to $ impossibile
Risolvere la seguente equazione di secondo grado
$ (1 + 4/3) x^2 = 2/3 (2x^2 + 2 + 3/4 x) – 4/3$
Moltiplichiamo togliendo le parentesi tonde:
$ x^2 + 4/3 x^2 = 2/3 * 2x^2 + 2/3 * 2 + 2/3 * 3/4 x – 4/3$
$ x^2 + 4/3 x^2 = 4/3 x^2 + 4/3 + 1/2 x – 4/3$
$ x^2 + 4/3 x^2 – 4/3 x^2 – 4/3 – 1/2 x + 4/3 = 0$
$ x^2 – 1/2 x = 0$
Calcoliamo il minimo comune multiplo e poi togliamo il denominatore:
$ frac(2x^2 – x)(2) = 0$
$2x^2 – x = 0 $
Mettiamo in evidenza e risolviamo con la legge dell’annullamento del prodotto:
$x (2 x – 1) = 0 $
$x = 0 $
$ 2 x – 1 = 0 to x = 1/2 $
Risolvere la seguente equazione di secondo grado:
$ 25x – x^2 = 0$
Raccogliamo la x:
$ x (25 – x) = 0$
Risolviamo con la legge dell’annullamento del prodotto:
$ x = 0$
$ 25 – x = 0 to x = 25 $
Risolvere la seguente equazione di secondo grado:
$x^2 – 2 sqrt3 x – 4 = 0$
Risolviamo con la formula ridotta:
$ x = frac(- b/2 ± sqrt((- b/2)^2 – ac))(a)$
$ x = frac(- (- 2 sqrt3)/2 ± sqrt((- (- 2 sqrt3)/2)^2 + 4))(1) = $
$ x = frac( sqrt3 ± sqrt((sqrt3)^2 + 4))(1) = $
$ sqrt3 ± sqrt(3 + 4) = sqrt3 ± sqrt7 $
Risolvere la seguente equazione di secondo grado:
$ (x – sqrt3)(x + sqrt3) = 13$
Moltiplichiamo: poiché abbiamo una somma per un prodotto, calcoleremo direttamente il quadrato del primo meno il quadrato del secondo:
$x^2 – 3 = 13 to x^2 = 13 + 3$
$x^2 = 16 to x = ± 4$
Risolvere la seguente equazione di secondo grado:
$ x^2 + 49 = 0$
$ x^2 + 49 = 0 to x^2 = – 49 $
Poiché sappiamo che un numero elevato al quadrato sarà sempre positivo, questa equazione è impossibile.
$ x^2 = – 49 to $ impossibile
Semplifica la seguente espressione:
$$\biggl( \sqrt[3]{(x + 1) \sqrt{\frac{1}{x^2 – 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}} \biggl) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} $$
Cominciamo ponendo le condizioni di esistenza;
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x^2 – 1} ≥ 0 & \\
\frac{x + 1}{x – 1} ≥ 0 & \\
\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}} ≥ 0 &
\end{array}
\right.
$$
Risolviamo la prima disequazione:
$frac(1)(x^2 – 1) ≥ 0 $
$ N ≥ 0 to 1 ≥ 0 ∀ x ∈ℜ $
$ D > 0 to x^2 – 1 > 0 $
Risolviamo questa disequazione prendendo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione associata:
$ x^2 – 1 = 0 to x^2 = 1 to x = ± 1 $
Si ha quindi: $ x < – 1 ∨ x > 1$
Passiamo alla seconda disequazione:
$ frac(x + 1)(x – 1) ≥ 0 $
$ N ≥ 0 to x + 1 ≥ 0 to x ≥ – 1$
$ D > 0 to x – 1 > 0 to x > 1 $
Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:
$ x ≤ – 1 ∨ x > 1 $
Passiamo alla terza disequazione:
$$ \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}} ≥ 0 $$
Affinché una radice cubica sia maggiore o uguale a zero, è necessario che lo sia il suo radicando:
$ frac(x + 1)(x – 1) ≥ 0 $
Questa disequazione, però, è identica alla precedente; possiamo quindi scrivere direttamente le soluzioni:
$ x ≤ – 1 ∨ x > 1 $
Il sistema sarà quindi
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x < – 1 ∨ x > 1 & \\
x ≤ – 1 ∨ x > 1 & \\
x ≤ – 1 ∨ x > 1 &
\end{array}
\right.
$$
Si ottiene: $ x < – 1 ∨ x > 1 $
Procediamo alla semplificazione dell’espressione:
$$\biggl( \sqrt[3]{(x + 1) \sqrt{\frac{1}{x^2 – 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}}\biggl) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} $$
Non sapendo il segno di $x+1$, dobbiamo studiare il segno della disequazione $ x + 1 ≥ 0 $ tenendo conto delle condizioni di esistenza:
Procediamo, quindi, distinguendo i due casi:
$$\biggl(\sqrt[3]{(x + 1) \sqrt{\frac{1}{x^2 – 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}}\biggl) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
$$\biggl(\sqrt[3]{ \sqrt{\frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x- 1)}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}}\biggl) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
$$\biggl(\sqrt[3]{ \sqrt{\frac{x + 1}{x- 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}}\biggl) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
Moltiplichiamo gli indici delle radici:
$$\biggl(\sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}}\biggl) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
Riduciamo le radici all’interno della parentesi tonda allo stesso indice:
$$\biggl( \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1}} : \sqrt[6]{\biggl(\frac{x + 1}{x – 1}\biggr) ^3}\biggl) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$\biggl( \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1}} : \sqrt[6]{\frac{(x + 1)^3}{(x – 1)^3}} \biggl) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
Portiamo sotto un’unica radice ed effettuiamo la divisione:
$$\biggl( \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1} : \frac{(x + 1)^3}{(x – 1)^3}} \biggl) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$\biggl( \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1} * \frac{(x – 1)^3}{(x + 1)^3}} \biggl) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$ \sqrt[6]{\frac{(x – 2)^2}{(x + 1)^2}} * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
Allo stesso modo, svolgiamo la moltiplicazione:
$$\sqrt[6]{\frac{(x – 1)^2}{(x + 1)^2} * \frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$\sqrt[6]{\frac{x – 1}{x + 1}} $$
$$\biggl( \sqrt[3]{(x + 1) \sqrt{\frac{1}{x^2 – 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}} \biggr) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
$$\biggl( \sqrt[3]{- \sqrt{\frac{(x + 1)^2}{x^2 – 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}} \biggr) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
$$\biggl( \sqrt[3]{ – \sqrt{\frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x- 1)}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}} \biggr) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
$$\biggl( \sqrt[3]{ -\sqrt{\frac{x + 1}{x- 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}} \biggr) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
Possiamo portare il meno fuori dalla radice cubica:
$$\biggl( – \sqrt[3]{\sqrt{\frac{x + 1}{x- 1}}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}} \biggr) * \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x – 1}}} = $$
Moltiplichiamo gli indici delle radici:
$$ \biggl( – \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1}} : \sqrt{\frac{x + 1}{x – 1}} \biggr) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
Riduciamo le radici all’interno della parentesi tonda allo stesso indice:
$$ \biggl( – \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1}} : \sqrt[6]{ \biggl( \frac{x + 1}{x – 1} \biggr)^3} \biggr) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$ \biggl( – \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1}} : \sqrt[6]{\frac{(x + 1)^3}{(x – 1)^3}}\biggr) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
Portiamo sotto un’unica radice ed effettuiamo la divisione:
$$ \biggl( – \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1} : \frac{(x + 1)^3}{(x – 1)^3}} \biggr) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$ \biggl( – \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x- 1} * \frac{(x – 1)^3}{(x + 1)^3}} \biggr) * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$ – \sqrt[6]{\frac{(x – 2)^2}{(x + 1)^2}} * \sqrt[6]{\frac{x + 1}{x – 1}} = $$
Allo stesso modo, svolgiamo la moltiplicazione:
$$ – \sqrt[6]{\frac{(x – 1)^2}{(x + 1)^2} * \frac{x + 1}{x – 1}} = $$
$$ – \sqrt[6]{\frac{x – 1}{x + 1}} $$
Razionalizzare il denominatore della seguente frazione letterale:
$ frac(a^2 – 4)(sqrt(a – 2))$
Poniamo le condizioni di esistenza, tenendo presente che questa volta dobbiamo porre il radicando solo maggiore di zero, non uguale, poiché si trova al denominatore.
C.E.
$ a – 2 > 0 to a > 2$
Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per $ sqrt(a – 2)$ :
$ frac(a^2 – 4)(sqrt(a – 2)) * frac(sqrt(a – 2))(sqrt(a – 2)) = $
$ frac((a^2 – 4) * sqrt(a – 2))(sqrt(a – 2) * sqrt(a – 2)) =$
Scomponiamo il numeratore della frazione come differenza di due quadrati:
$ frac((a + 2)(a – 2) * sqrt(a – 2))((sqrt(a – 2))^2) = $
Tenendo conto delle condizioni di esistenza, possiamo tranquillamente elevare al quadrato il denominatore:
$ frac((a + 2)(a – 2) * sqrt(a – 2))(a – 2) = (a + 2) * sqrt(a – 2)$
Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:
$ frac(2 + sqrt2)(sqrt2)$
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per $ sqrt2$ :
$ frac(2 + sqrt2)(sqrt2) * frac(sqrt2)(sqrt2) = $
$ frac((2 + sqrt2) * sqrt2)(sqrt2 * sqrt2) =$
$ frac(2 * sqrt2 + sqrt2 * sqrt2)((sqrt2)^2) =$
$ frac(2 sqrt2 + (sqrt2)^2)(2) = frac(2sqrt2 + 2)(2)$
Mettiamo in evidenza e semplifichiamo:
$ frac(2 (sqrt2 + 1))(2) = sqrt2 + 1$
Per razionalizzare, moltiplichiamo numeratore e denominatore per $sqrt3$ :
$ frac(3)(sqrt3) * frac(sqrt3)(sqrt3)= $
$ frac(3 * sqrt3)(sqrt3 * sqrt3) = frac(3 sqrt3)(sqrt3 ^2) =$
$ frac(3sqrt3)(3) = sqrt3$
Semplifica le seguenti espressioni con i radicali :
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt(a^2 – 1)$
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt(a^2 – 1)$
Poniamo le condizioni di esistenza: C.E:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{a – 1}{a + 1} ≥ 0 &\\
a^2 – 1 ≥ 0&
\end{array}\right.
$$
Cominciamo dalla prima disequazione:
$ frac(a – 1)(a + 1) ≥ 0$
$ N ≥ 0 to a – 1 ≥ 0 to a ≥ 1 $
$ D > 0 to a + 1 > 0 to a > – 1 $
Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:
$ a < – 1 ∨ a ≥ 1 $
Passiamo alla seconda disequazione:
$ a^2 – 1 ≥ 0 $
Passiamo all’equazione associata:
$ a^2 – 1 = 0$
$ a^2 = 1 to a = ± 1$
Prendiamo come soluzioni l’intervallo che ha per estremi le radici dell’equazione associata:
$ a ≤ -1 ∨ a ≥ 1$
Il sistema sarà quindi:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
a < – 1 ∨ a ≥ 1 &\\
a ≤ -1 ∨ a ≥ 1&
\end{array}\right.
$$
Si ottiene: $ a < – 1 ∨ a ≥ 1 $
Semplifichiamo ora l’espressione:
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt(a^2 – 1) = $
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1)) * sqrt((a + 1)(a – 1)) $
Portiamo sotto un’unica radice:
$ sqrt(frac(a – 1)(a + 1) * (a + 1)(a – 1) ) = $
$ sqrt((a – 1)(a – 1)) =$
$ sqrt((a – 1)^2)$
Dato che $a-1$ può essere sia positivo che negativo, dobbiamo portarlo fuori radice in valore assoluto:
$ sqrt((a – 1)^2) = | a – 1| $
Trasforma il radicale doppio nella somma di due radicali semplici : $sqrt(3 + sqrt5) $
Un radicale doppio può essere trasformato nella somma di due radicali semplici applicando la seguente formula, nel caso in cui vi sia il segno + fra i due termini:
$sqrt(a + sqrtb) = sqrt(frac(a + sqrt(a^2 – b))(2)) + sqrt(frac(a – sqrt(a^2 – b))(2)) $
Prima di tutto, verifichiamo che $a^2 – b $ sia maggiore o uguale a zero, e che sia un quadrato perfetto:
$ 3^2 – 5 = 9 – 5 = 4$
Procediamo:
$sqrt(3 + sqrt5) = sqrt(frac(3 + sqrt(3^2 – 5))(2)) + sqrt(frac(3 – sqrt(3^2 – 5))(2)) = $
$sqrt(frac(3 + sqrt(4))(2)) + sqrt(frac(3 – sqrt(4))(2)) = $
$sqrt(frac(3 + 2)(2)) + sqrt(frac(3 – 2)(2)) = $
$ sqrt(5/2) + sqrt(1/2) = sqrt(5/2) + 1 / sqrt(2) $
Possiamo razionalizzare, moltiplicando numeratore e denominatore per $ sqrt2$ :
$ sqrt(5/2) + 1 / sqrt(2) = sqrt(5)/sqrt(2) * sqrt(2)/ sqrt(2) + 1/sqrt(2) * sqrt(2) /sqrt(2) =$
$frac(sqrt(5) * sqrt(2))(sqrt(2) * sqrt(2)) + frac(sqrt(2))(sqrt(2) * sqrt(2)) = $
$ frac(sqrt(5 * 2))(sqrt(2)^2) + frac(sqrt(2))(sqrt(2)^2) =$
$ frac(sqrt(10))(2) + frac(sqrt(2))(2) $
Semplificare la seguente espressione letterale:
$ frac(a + 1)(a + 2) * sqrt(frac(2 – a)(a + 1)) $
Poniamo le condizioni di esistenza:
C.E.
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{2 – a}{a + 1} ≥ 0 &\\
a + 2 ≠ 0&
\end{array}\right.
$$
Risolviamo la prima disequazione:
$ frac(2 – a)(a + 1) ≥ 0$
$ N ≥ 0 to 2 – a ≥ 0 to a ≤ 2 $
$ D > 0 to a + 1 > 0 to a > – 1 $
Studiamo il segno e prendiamo come soluzioni gli intervalli positivi:
$ -1 < a ≤ 2 $
Poniamo a sistema con la condizione $ a ≠ – 2 $ :
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
-1 < a ≤ 2 &\\
a ≠ – 2&
\end{array}\right.
$$
Otteniamo: $ -1 < a ≤ 2 $
Sapendo che $ -1 < a ≤ 2$ , possiamo affermare che la frazione fuori dalla radice sarà sempre positiva, e quindi non è necessario distinguere i due casi:
$ frac(a + 1)(a + 2) sqrt(frac(2 – a)(a + 1)) =$
$ sqrt((frac(a + 1)(a + 2))^2 frac(2 – a)(a + 1)) =$
$sqrt(frac((a + 1)(2 – a))((a + 2)^2)) $
Poiché l’indice della radice è pari, non possiamo portare dentro radice il meno davanti al tre; lasciamo quindi fuori il segno meno e portiamo dentro radice solo il valore assoluto del numero tre, elevato alla seconda:
$ – sqrt(3^2 * 2) = – sqrt(9 * 2) = – sqrt(18) $
Semplificare la seguente espressione \( \sqrt[5]{x^{17} y^2} \)
Facciamo in modo che l’indice di x sia divisibile per 5, per poterlo portare fuori radice:
\( \sqrt[5]{x^{15} * x^2 * y^2} = \sqrt[5]{x^{15}} * \sqrt[5]{x^2 y^2} = \)
\( x^{\frac{15}{5}} * \sqrt[5]{x^2 y^2} =\)
\( x^3 * \sqrt[5]{x^2 y^2} \)
Semplificare la seguente espressione: $$ \sqrt[3] {50^{20} *4 }$$
Scomponiamo i numeri sotto radice:
$$ \sqrt[3]{(25 * 2)^{20} * 2^2 } = \sqrt[3]{(5^2 * 2)^{20} * 2^2 }$$
Eleviamo i numeri all’interno della parentesi tonda alla potenza:
$$ \sqrt[3]{(5^2)^{20} * 2^{20} * 2^2} = \sqrt[3]{5^{2 * 20} * 2^{20 + 2}} =$$
$$ \sqrt[3]{(5)^{40} * 2^{22}}$$
Essendo la radice cubica, dobbiamo cercare di far sì che gli esponenti dei numeri al suo interno siano divisibili per tre, per poter portare fuori radice:
$$ \sqrt[3] {5^{39} * 5 * 2^{21} * 2} $$
Separiamo le radici:
$$ \sqrt[3]{5^{21}} * \sqrt[3]{5} * \sqrt[3]{2^{21}} * \sqrt[3]{2} $$
Semplifichiamo l’indice con l’esponente:
$$ 5^ {\frac{39}{3}} * \sqrt[3]{5} * 2^{\frac{21}{3}} * \sqrt[3]{2} = $$
$$ 5^{13} * \sqrt[3]{5} * 2^7 * \sqrt[3]{2} = $$
Moltiplichiamo ora i numeri sotto radice:
$$ 5^{13} * \sqrt[3]{5 * 2} * 2^7 = $$
$$ 5^{13} * 2^7 * \sqrt[3]{10} $$
Esegui le seguenti operazioni con i radicali e semplifica i risultati:
$ a) sqrt3 * sqrt(27) ; b) sqrt(27) : sqrt3 $
$ c) sqrt(18) + sqrt(27) + sqrt(50) – sqrt(48)$
$$ d) \sqrt[3] {2} * sqrt2 $$
Poiché 27 è il cubo di tre possiamo scrivere in questo modo:
$ sqrt3 * sqrt(27) = sqrt3 * sqrt(3^3) $
Moltiplichiamo, portando tutto sotto un’unica radice:
$sqrt3 * sqrt(3^3) = sqrt(3 * 3^3) = sqrt(3^(1 + 3)) =$
$ sqrt(4^4) = sqrt((3^2)^2) $
Portiamo fuori radice:
$ sqrt((3^2)^2) = 3^2 = 9$
Procediamo scomponendo 27 e portando poi tutto sotto un’unica radice:
$ sqrt(27) : sqrt3 = sqrt(3^3) : sqrt3 = $
$ sqrt(3^3 : 3) = sqrt(3^(3-1)) = sqrt(3^2) = 3$
$ sqrt(18) + sqrt(27) + sqrt(50) – sqrt(48)$
Scomponiamo i numeri sotto radice:
$ sqrt(9 * 2) + sqrt(3^3) + sqrt(25 * 2) – sqrt(16 * 3) =$
$ sqrt(3^2 * 2) + sqrt(3^2 * 3) + sqrt(5^2 * 2) – sqrt(4^2 * 3) =$
Possiamo portare fuori radice i quadrati:
$ sqrt(3^2) * sqrt2 + sqrt(3^2) * sqrt3 + sqrt(5^2) * sqrt2 – sqrt(4^2) * sqrt3 =$
$ 3 * sqrt2 + 3 * sqrt3 + 5 * sqrt2 – 4 * sqrt3 =$
$ 3 sqrt2 + 3 sqrt3 + 5 sqrt2 – 4 sqrt3 =$
Sommiamo i termini simili:
$ (3 + 5) sqrt2 + (3 – 4) sqrt3 = 8 sqrt2 – sqrt3 $
$$ \sqrt[3] {2} * sqrt2$$
Riduciamo le radici allo stesso indice:
$$ \sqrt[6] {2^2} * \sqrt[6] {2^3} $$
Moltiplichiamo:
$$ \sqrt[6] {2^2 * 2^3} = \sqrt[6] {2^{2+3}} = \sqrt[6] {2^5} $$
Massimo sa che camminando impiega 24 minuti per andare da casa sua alla stazione, mentre correndo ne impiega 12. Dovendo prendere un treno alle 12:30, parte da casa per tempo alle 12:00 (camminando).
Durante il tragitto però si accorge di aver dimenticato il portafoglio. Immediatamente torna a casa di corsa, e poi corre in stazione, dove arriva puntuale alle 12:30. A che ora si è reso conto di aver dimenticato il portafoglio?
Per risolvere il problema, partiamo dall’ultimo dato fornitoci, cioè il fatto che Massimo percorre di corsa il tragitto casa-stazione e arriva a destinazione alle 12.30. Poiché correndo impiega 12 minuti per questa distanza, egli sarà partito da casa alle 12.18.
La prima volta che esce di casa, lo fa alle ore 12.00. Di conseguenza, passano 18 minuti durante i quali Massimo comincia a percorrere il tragitto, si accorge di aver dimenticato il portafoglio e torna a casa correndo. Sappiamo quindi che, per il primo tratto di strada (l’andata) che egli percorre camminando, la sua andatura è la metà di quella del tragitto di ritorno, che percorre di corsa.
Rappresentiamo la situazione, indicando con v la velocità nell’andata e con t il tempo impiegato all’andata.
Indichiamo con 2v la velocità del ritorno, percorso di corsa, che è doppia di quella dell’andata; con t/2 il tempo che impiega per tornare a casa, dal momento in cui si accorge di aver dimenticato il portafogli (la metà del tempo che impiega per arrivare a quel punto).
Sapendo che questo tragitto dura 18 minuti, possiamo impostare un’equazione:
$ t + t/2 = 18 to 2t + t = 36 $
$ 3 t = 36 to t = 12 $
Sappiamo, quindi, che Massimo impiega 12 minuti, camminando, per arrivare al punto B, dopodiché si accorge di aver dimenticato il portafogli e torna a casa, in 9 minuti. A questo punto, riparte e, correndo, arriva alla stazione in 12 minuti.
Poiché parte da casa alle 12.00, possiamo affermare che si rende conto di aver dimenticato il portafogli dopo 12 minuti, cioè alle 12.12.
In un triangolo ABC prolunga la mediana AM di un segmento MD congruente a MA. Dimostra che il triangolo AMC è congruente al triangolo BMD e che il triangolo ABM è congruente al triangolo CMD.
Per prima cosa disegniamo il triangolo in questione:
Dimostriamo ora che i triangoli AMC e BMD sono equivalenti.
Consideriamo, quindi, questi due triangoli; essi hanno:
Quindi, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti, per il primo criterio di confluenza dei triangoli, essi sono congruenti.
Allo stesso modo, i triangoli ABM e CMD sono equivalenti, poiché essi hanno:
Quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, anch’essi sono congruenti.
Determinare il risultato della seguente divisione tra monomi:
$(-5/2 a^3 b^2 x^4 y) : (- 4/5 a^2 b x^4 )$
$(-5/2 a^3 b^2 x^4 y) : (- 4/5 a^2 b x^4 ) =$
$(-5/2 a^3 b^2 x^4 y) * (- frac(5)(4 a^2 b x^4) ) =$
$ (25)/8 aby$
Semplificare la seguente espressione letterale:
$ 1/5 a^2 x – (- 1/2 a^2 x) – 1/2 a^2 x + 2/3 a^2 x – (3/4 a^2 x) $
$ 1/5 a^2 x + 1/2 a^2 x – 1/2 a^2 x + 2/3 a^2 x – 3/4 a^2 x = $
$ (1/5 + 1/2 – 1/2 + 2/3 – 3/4) a^2 x = $
$ (1/5 + 2/3 – 3/4) a^2 x = $
$ (frac(12 + 40 – 45)(60)) a^2 x = 7/(60) a^2 x$
Semplificare la seguente espressione letterale :
$ 6(x – 2) + 5x – 5(x + 1) – 2(x – 3) + 5 = $
$6x – 12 + 5x – 5x – 5 – 2x + 6 + 5 =$
$ 4x – 6 =$
$2 (2x – 3)$
Studia il fascio di parabole di equazione:
$ (m + 1) x^2 – 4(m + 1) x – (m + 1) y + 4 + 5m = 0$
e determina poi:
Cominciamo studiando il fascio di parabole, cioè determinando le generatrici, gli eventuali punti base e le parabole degeneri.
Per determinare le parabole generatrici del fascio, scriviamo in forma implicita la sua equazione e raccogliamo rispetto al parametro m:
$ m x^2 + x^2 – 4mx – 4 x – my – y + 4 + 5m = 0$
$ (x^2 – 4x – y + 5) m + x^2 – 4x – y + 4 = 0$
Le equazioni delle due generatrici si ottengono una per m=0 e l’altra uguagliando a zero l’espressione che è moltiplicata per m:
$ m = 0$
$ (x^2 – 4x – y + 5) * 0 + x^2 – 4x – y + 4 = 0$
$ x^2 – 4x – y + 4 = 0 to y = x^2 – 4x + 4$
$x^2 – 4x – y + 5 = 0 to y = x^2 – 4x + 5$
Per trovare i punti base risolviamo il sistema delle equazioni delle due generatrici:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = x^2 – 4x + 4 &\\
y = x^2 – 4x + 5&
\end{array}\right.
$$
Risolviamo con il metodo del confronto:
$x^2 – 4x + 4 = x^2 – 4x + 5 to 4 = 5$
Abbiamo ottenuto una falsa identità, di conseguenza non abbiamo punti base.
Le parabole, quindi, potrebbero essere esterne oppure congruenti e con lo stesso asse.
Le parabole degeneri si ottengono uguagliando a zero il coefficiente di $x^2$ se dipende dal parametro, o uguagliando a zero il coefficiente di y. In questo caso, i due coefficienti sono uguali:
$ m + 1 = 0 to m = -1$
Sostituiamo questo valore all’equazione:
$(- 1 + 1)^2 – 4(- 1 + 1) – (- 1 + 1) y + 4 + 5 * (-1) = 0 $
$ 4 – 5 = 0$
Poiché non abbiamo ottenuto un’equazione, possiamo affermare che non esistano parabole degeneri in questo fascio.
Ora, rappresentiamo nel piano cartesiano il fascio di parabole.
Per farlo dobbiamo individuare il suo asse; quindi, scriviamo l’equazione della parabola in forma esplicita e troviamo il suo vertice in funzione del parametro:
$ (m + 1) y = (m + 1) x^2 – 4(m + 1) x + 4 + 5m $
$ y = frac((m + 1) x^2 – 4(m + 1) x + 4 + 5m)(m + 1) $
$ y = x^2 – 4x + frac(4 + 5m)(m + 1)$
Possiamo affermare che la parabola ha l’asse parallelo all’asse delle ordinate, quindi il suo vertice sarà:
$ V ( – b/(2a); – Δ/(4a)) $
$ x_V = – b/(2a) = – frac(-4)(2) = 2$
Per semplificare i calcoli, possiamo trovare l’ordinata del vertice sostituendo l’ascissa all’equazione del fascio:
$ y = 2^2 – 4*2 + frac(4 + 5m)(m + 1) = 4 – 8 + frac(4 + 5m)(m + 1) =$
$ – 4 + frac(4 + 5m)(m + 1) = frac(- 4m – 4 + 4 + 5m)(m + 1) = frac(m)(m + 1)$
$ V ( 2 ; frac(m)(m + 1)) $
Notiamo quindi che l’asse delle parabole è di equazione $ x = 2$.
Inoltre, poiché il coefficiente della x di secondo grado è 1, tutte le parabole del fascio sono con la concavità rivolta verso l’alto.
Rappresentiamo ora il fascio di parabole, dando dei valori arbitrari al parametro m.
Sapendo cha la parabola in questione passa per il punto A(3;-3), sostituiamo le coordinate di questo punto all’equazione del fascio per trovare il valore del parametro m:
$ y = x^2 – 4x + frac(4 + 5m)(m + 1)$
$ -3 = 3^2 – 4*3 + frac(4 + 5m)(m + 1)$
$ -3 = 9 – 12 + frac(4 + 5m)(m + 1) to frac(4 + 5m)(m + 1) = 0 $
$ 4 + 5m = 0 to m = – 4/5 $
Sostituiamo ora questo valore del parametro m all’equazione del fascio, trovando così l’equazione della parabola richiesta.
$ y = x^2 – 4x + frac(4 + 5 * ( – 4/5))( – 4/5 + 1)$
$ y = x^2 – 4x + frac(4 – 4)( 1/5)$
$ y = x^2 – 4x $
La parabola che stiamo cercando intercetta sull’asse delle ascisse un segmento di lunghezza 6, cioè interseca in due punti l’asse x e questi due punti distano 6.
Quindi, per prima cosa, determiniamo le intersezioni del fascio con l’asse x:
$ F ∩ y = 0$
$ 0 = x^2 – 4x + frac(4 + 5 * ( – 4/5))( – 4/5 + 1)$
$ x^2 – 4x + frac(4 + 5 * ( – 4/5))( – 4/5 + 1) = 0 $
Risolviamo con la formula ridotta $ x = frac(-b/2 ± sqrt((-b/2)^2 – ac))(a)$ :
$ x = frac(-(-4)/2 ± sqrt((-(-4)/2)^2 – frac(4 + 5m)(m + 1)))(1) = 2 ± sqrt(4 – frac(4 + 5m)(m + 1)) =$
$ 2 ± sqrt(frac(4m + 4 – 4 – 5m)(m + 1)) = 2 ± sqrt(frac( – m)(m + 1))$
Abbiamo due soluzioni:
$ x_1 = 2 – sqrt(frac( – m)(m + 1)) , x_2 = 2 + sqrt(frac( – m)(m + 1))$
Sappiamo che la distanza fra $ x_1$ e $x_2$ vale 6 e che $x_2 > x_1$ .
Per trovare la distanza fra due punti appartenenti alla stessa retta, sottraiamo l’ascissa del più piccolo a quella del più grande:
$ d (x_1 ; x_2) = x_2 – x_1 = 2 + sqrt(frac( – m)(m + 1)) – (2 – sqrt(frac( – m)(m + 1)))$
Poniamo questa distanza uguale a 6:
$ 2 + sqrt(frac( – m)(m + 1)) – (2 – sqrt(frac( – m)(m + 1)) )= 6$
Determiniamo le condizioni di esistenza, quindi poniamo il radicando maggiore o uguale a zero:
$ frac( – m)(m + 1) ≥ 0$
$ N ≥ 0 to – m ≥ 0 to m ≤ 0$
$ D > 0 to m + 1 > 0 to m > -1$
$ 0 ≤ m < 1$
Risolviamo l’equazione e determiniamo il valore di m:
$ 2 sqrt(frac( – m)(m + 1)) = 6$
$sqrt(frac( – m)(m + 1)) = 3$
$ [sqrt(frac( – m)(m + 1))]^2 = 3^2$
$frac( – m)(m + 1) = 9$
$ – m = 9m + 9 to m = – 9/(10)$
Sostituendo il valore ottenuto di m all’equazione del fascio troviamo l’equazione della parabola richiesta:
$ y = x^2 – 4x + frac(4 + 5 * (- 9/(10)))(- 9/(10) + 1)$
$ y = x^2 – 4x + frac(4 – 9/2)( 1/(10))$
$ y = x^2 – 4x + frac( – 1/2)( 1/(10))$
$ y = x^2 – 4x – 5$
Determiniamo ora la parabola tangente alla retta $2x – y – 3 = 0$. Sappiamo che la parabola e la retta hanno solo un punto in comune, quindi sappiamo che il sistema fra le equazioni del fascio e della retta avrà due soluzioni reali coincidenti.
Impostiamo quindi il sistema, dopo aver reso le due equazioni in forma esplicita:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = x^2 – 4x + \frac{4 + 5m}{m + 1}&\\
y = 2x – 3&
\end{array}\right.
$$
Risolviamo il sistema con il metodo del confronto:
$ x^2 – 4x + frac(4 + 5m)(m + 1) = 2x – 3$
$ x^2 – 4x + frac(4 + 5m)(m + 1) – 2x + 3 = 0$
$ x^2 – 6x + frac(4 + 5m)(m + 1) + 3 = 0$
$ x^2 – 6x + frac(4 + 5m + 3m + 1)(m + 1) = 0$
$ x^2 – 6x + frac(8m + 7)(m + 1) = 0$
Risolviamo con la formula ridotta $ x = frac(-b/2 ± sqrt((-b/2)^2 – ac))(a)$ :
$ x = frac(-(-6)/2 ± sqrt((-(-6)/2)^2 – frac(4 + 5m)(m + 1)))(1) = 3 ± sqrt(9 – frac(7 + 8m)(m + 1)) =$
$ 3 ± sqrt(frac(9m + 9 – 7 – 8m)(m + 1)) = 3 ± sqrt( frac(m + 2)(m + 1)) $
Sapendo che l’equazione deve avere due soluzioni reali coincidenti, poniamo $Δ = 0$ :
$ frac(m + 2)(m + 1) = 0 to m + 2 = 0 to m = -2$
Sostituendo il valore ottenuto di m all’equazione del fascio troviamo l’equazione della parabola richiesta:
$ y = x^2 – 4x + frac(4 + 5 * (- 2))(- 2 + 1)$
$ y = x^2 – 4x + frac(4 – 10)(-1)$
$ y = x^2 – 4x + frac(-6)(-1)$
$ y = x^2 – 4x + 6$
Nella famiglia F di circonferenze di equazione:
$2 x^2 + 2 y^2 + 2ax + 2by + 4a + 3b = 0 $
determinare quella il cui centro C appartiene alla bisettrice del 1°e del 3° quadrante e che passa per $P(1;-2)$ e l’area e il perimetro del quadrilatero convesso ottenuto congiungendo i punti di intersezione della circonferenza con gli assi coordinati.
Determinare inoltre:
Sapendo che il centro della circonferenza appartiene alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante, cioè a $ y = x$ , sappiamo che le sue coordinate sono uguali.
Possiamo quindi scrivere che:
$ C ( – a/2 ; – a/2 )$
Poiché $ – a/2 = – b/2$ , possiamo affermare che a=b. In questo caso l’equazione della circonferenza diventa:
$ 2x^2 + 2y^2 + 2ax + 2ay + 4a + 3a = 0 $
$2 x^2 + 2 y^2 + 2ax + 2ay + 7a = 0 $
Dividiamo tutto per 2:
$ x^2 + y^2 + ax + ay + 7/2 a = 0 $
Determiniamo ora il valore del raggio utilizzando la formula $ r = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2 – c ) $ , che nel nostro caso diventa:
$ r = sqrt((a/2)^2 + (a/2)^2 – c ) = sqrt(2 (a/2)^2 – c ) = sqrt(2 * (a^4)/4 – c ) = sqrt((a^2)/2 – c ) $
Sappiamo che la circonferenza passa per il punto P di coordinate (1;-2) e abbiamo le coordinate del suo centro $ C ( – a/2 ; – a/2 )$ .
Possiamo trovare quindi il suo raggio calcolando la distanza fra i punti C e P:
$ CP = sqrt((x_1 – x_2)^2 + (y_1 – y_2)^2) = sqrt((1 + a/2)^2 + (-2 + a/2)^2) = $
$ sqrt(1 + (a^2)/4 + a + 4 + (a^2)/4 – 2a) = sqrt( (a^2)/2 – a + 5 ) $
Possiamo ora eguagliare i due valori del raggio trovati:
$ sqrt( (a^2)/2 – c ) = sqrt( (a^2)/2 – a + 5 ) $
Eleviamo tutto al quadrato e risolviamo l’equazione:
$ (a^2)/2 – c = (a^2)/2 – a + 5 $
$ – c = – a + 5 to a – c = 5 $
Considerando l’equazione della circonferenza $ x^2 + y^2 + ax + ay + 7/2 a = 0 $ , sappiamo che $ c = 7/2 a$ , quindi:
$ a – 7/2 a = 5 to 2a – 7a = 10 to a = -2 $
Di conseguenza sappiamo che $ b = a = – 2$ e che $ c = 7/2 a = 7/2 * (-2) = – 7 $ ; l’equazione della circonferenza è quindi:
$ x^2 + y^2 – 2x – 2y – 7 = 0 $
Rappresentiamo la circonferenza nel piano cartesiano, sapendo che il suo centro è in C(1;1) e che il suo raggio misura 3:
Troviamo ora i suoi punti di intersezione con gli assi; cominciamo trovando l’intersezione con l’asse y:
$ C ∩ x = 0 $
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = 0 &\\
x^2 + y^2 – 2x – 2y – 7 = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = 0 &\\
y^2 – 2y – 7 = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = 0 &\\
y = \frac{1 ± \sqrt{1 + 7}}{2} = \frac{1 ± \sqrt(8)}{2} = \frac{1 ± 2\sqrt(2)}{2} &
\end{array}\right.
$$
Abbiamo quindi due punti, che chiamiamo A e B:
$ A ( 0 ; 1 + 2sqrt2 ) , B ( 0 ; 1 – 2sqrt2 ) $
Determiniamo ora le intersezioni con l’asse x:
$ C ∩ y = 0 $
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = 0 &\\
x^2 + y^2 – 2x – 2y – 7 = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y = 0 &\\
x^2 – 2x – 7 = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = 0 &\\
x = \frac{1 ± \sqrt{1 + 7}}{2} = \frac{1 ± \sqrt(8)}{2} = \frac{1 ± 2\sqrt(2)}{2} &
\end{array}\right.
$$
Chiamiamo gli altri due punti D ed E:
$ A ( 1 + 2sqrt2 ; 0 ) , B (1 – 2sqrt2 ; 0 ) $
Congiungiamo i punti:
Troviamo il perimetro del quadrilatero formatosi calcolando la distanza fra i punti A e D, D e B, B ed E, E ed A mediante la formula:
$ d = sqrt((x_1 – x_2)^2 + (y_1 – y_2)^2) $
$ \bar{AC} = sqrt((0 – 1 – 2sqrt2)^2 + (1 + 2sqrt2 – 0)^2) = sqrt((- 1 – 2sqrt2)^2 + (1 + 2sqrt2)^2) = $
$ sqrt(1 + 8 + 4sqrt2 + 1 + 8 + 4sqrt2) = sqrt(18 + 8sqrt2) $
Possiamo scomporre il risultato considerando che esso è un radicale doppio:
$ sqrt(a + sqrt(b)) = sqrt(frac(a + sqrt(a^2 – b^2))(2)) + sqrt(frac(a – sqrt(a^2 – b^2))(2))$
$ sqrt(18 + sqrt(128)) = sqrt(frac(18 + sqrt(18^2 – (sqrt(128))^2))(2)) + sqrt(frac(18 – sqrt(18^2 – (sqrt(128))^2))(2)) = $
$ sqrt(frac(18 + sqrt(324 – 128))(2)) + sqrt(frac(18 – sqrt(324 – 128))(2)) = $
$ sqrt(frac(18 + sqrt(196))(2)) + sqrt(frac(18 – sqrt(196))(2)) = sqrt(frac(18 + 14)(2)) + sqrt(frac(18 – 14)(2)) = $
$ sqrt((32)/2) + sqrt(4/2) = sqrt(16) + sqrt2 = 4 + sqrt2 $
Passiamo ora alla distanza DB:
$ \bar{DB} = sqrt((0 – 1 – 2sqrt2)^2 + (1 – 2sqrt2 – 0)^2) = sqrt((- 1 – 2sqrt2)^2 + (1 – 2sqrt2)^2) = $
$ sqrt(1 + 8 + 4sqrt2 + 1 + 8 – 4sqrt2) = sqrt(18) = 3 sqrt2 $
Calcoliamo BE:
$ \bar{BE} = sqrt((0 – 1 + 2sqrt2)^2 + (1 – 2sqrt2 – 0)^2) = sqrt((- 1 + 2sqrt2)^2 + (1 – 2sqrt2)^2) = $
$ sqrt(1 + 8 – 4sqrt2 + 1 + 8 – 4sqrt2) = sqrt(18 – 8sqrt2) $
Come prima, scomponiamo il radicale doppio:
$ sqrt(a – sqrt(b)) = sqrt(frac(a + sqrt(a^2 – b^2))(2)) – sqrt(frac(a – sqrt(a^2 – b^2))(2))$
$ sqrt(18 – sqrt(128)) = sqrt(frac(18 + sqrt(18^2 – (sqrt(128))^2))(2)) – sqrt(frac(18 – sqrt(18^2 – (sqrt(128))^2))(2)) = $
$ sqrt(frac(18 + sqrt(324 – 128))(2)) – sqrt(frac(18 – sqrt(324 – 128))(2)) = $
$ sqrt(frac(18 + sqrt(196))(2)) – sqrt(frac(18 – sqrt(196))(2)) = sqrt(frac(18 + 14)(2)) – sqrt(frac(18 – 14)(2)) = $
$ sqrt((32)/2) – sqrt(4/2) = sqrt(16) – sqrt2 = 4 – sqrt2 $
Infine calcoliamo EA:
$ \bar{EA} = sqrt((0 – 1 + 2sqrt2)^2 + (1 + 2sqrt2 – 0)^2) = sqrt((- 1 + 2sqrt2)^2 + (1 + 2sqrt2)^2) = $
$ sqrt(1 + 8 – 4sqrt2 + 1 + 8 + 4sqrt2) = sqrt(18) = 3 sqrt2 $
Notiamo quindi che due dei lati del quadrilatero sono uguali, in particolare $ \bar{EA} = \bar{DB} $ ; verifichiamo che $ \bar{AD} /// \bar{EB} $ calcolando i coefficienti angolari delle due rette:
$ m = frac(y_2 – y_1)(x_2 – x_1)$
$ m_(AD) = frac(0 – 1 – 2sqrt2)(1 + 2sqrt2 – 0) = frac (- 1 – 2sqrt2)(1 + 2sqrt2) = $
$ – frac(+ 1 + 2sqrt2)(1 + 2sqrt2) = -1 $
$ m_(AD) = frac(0 – 1 + 2sqrt2)(1 – 2sqrt2 – 0) = frac (- 1 + 2sqrt2)(1 – 2sqrt2) = $
$ – frac(+ 1 – 2sqrt2)(1 – 2sqrt2) = -1 $
Possiamo affermare, quindi, che il quadrilatero in questione è un trapezio isoscele.
Determiniamo il suo perimetro:
$ P = \bar{AD} + \bar{DB} + \bar{BE} + \bar{EA} = 4 + sqrt2 + 3sqrt2 + 4 – sqrt2 + 3sqrt2 = 8 + 6sqrt2 $
Per calcolare la sua area dobbiamo conoscere la sua altezza, cioè la distanza del punto B dalla retta AD.
Troviamo l’equazione della retta AD:
$ AD: frac(x – x_1)(x_2 – x_1) = frac(y – y_1)(y_2 – y_1)$
$ AD: frac(x – 0)(1 + 2sqrt2 – 0) = frac(y – 1 – 2sqrt2)(0 – 1 – 2sqrt2)$
$ AD: frac(x)(1 + 2sqrt2) = frac( – y + 1 + 2sqrt2)(1 + 2sqrt2)$
$ AD : x = – y + 1 + 2sqrt2 to AD : x + y – 1 – 2sqrt2 = 0 $
Calcoliamo la distanza del punto $ B ( 0 ; 1 – 2sqrt2) $ dalla retta AD:
$ d = frac(| ax_0 + by_0 + c |)(sqrt(a^2 + b^2))$
$ d(b ; AD) = frac(| 1 * 0 + 1 * (1 – 2sqrt2) – 1 -2sqrt2 |)(sqrt(1^2 + 1^2)) = $
$ frac(| 1 – 2sqrt2 – 1 -2sqrt2 |)(sqrt(1^2 + 1^2)) = frac(| -4 sqrt2 |)(sqrt2) = frac(4 sqrt2)(sqrt2)= 4 $
Sapendo che l’altezza del trapezio vale 4, possiamo calcolare la sua area:
$ A = frac(\bar{AD} + \bar{EB})(2) * h = = frac(4 + sqrt2 + 4 – sqrt2)(2) * 4 = 8/2 * 4 = 4 * 4 = 16 $
Sappiamo che a parabola passa per i punti C e P; possiamo quindi escludere che il suo asse sia parallelo all’asse y.
La sua equazione sarà quindi:
$ x = ay^2 + by + c $
e il suo vertice di coordinate $ (- frac(Δ)(4a) ; – b/(2a)) $
Imponiamo quindi il passaggio per i due punti:
$ C (1 ; 1) to 1 = a + b + c $
$ P (1 ; -2) to 1 = 4a – 2b + c $
Poiché il vertice della parabola appartiene all’asse y, sappiamo che $- frac(Δ)(4a) = 0$, quindi :
$ – frac(b^2 – 4ac = 0)(4a) = 0 to b^2 – 4ac = 0 $
Mettiamo a sistema le tre scritture:
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a + b + c = 1 & \\
4a – 2b + c = 1 & \\
b^2 – 4ac = 0 &
\end{array}
\right.
$$
Risolviamo per sottrazione le prime due equazioni:
$a + b + c = 1$
$-4a + 2b – c = – 1$
$__________$
$-3a + 3b = 0 to – a + b = 0 to a = b $
Sostituiamo questa uguaglianza ad una delle prime equazioni e alla terza:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
a + a + c = 1 &\\
a^2 – 4ac = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
2a + c = 1 &\\
a^2 – 4ac = 0&
\end{array}\right.
$$
Ricaviamo C dalla prima equazione e risolviamo per sostituzione:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
c = 1 – 2a &\\
a^2 – 4ac = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
c = 1 – 2a &\\
a^2 – 4a (1 – 2a) = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
c = 1 – 2a &\\
a^2 – 4a + 8 a^2 = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
c = 1 – 2a &\\
9 a^2 – 4a = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
c = 1 – 2a &\\
a ( 9a – 4) = 0&
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
c = 1 – 2a &\\
a = 0 ∨ a = \frac{4}{9} &
\end{array}\right.
$$
Dobbiamo escludere il caso in cui a sia uguale a zero, altrimenti l’equazione non rappresenterebbe una parabola;
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
c = 1 – 2 * 4/9 = 1/9 &\\
a = \frac{4}{9} , b = \frac{4}{9} &
\end{array}\right.
$$
Possiamo scrivere l’equazione della parabola:
$ x = 4/9 y^2 + 4/9 y + 1/9 $
Rappresentiamo la parabola sul piano cartesiano tenendo presente che il suo vertice è di coordinate
$ V ( 0 ; – b/(2a)) $ , cioè $ V (0 ; – 1/2) $
Prendiamo sull’arco di parabola situato nel 4° quadrante un punto S in modo che
$ \bar{SH} + \bar{SK} = \bar{CP}$
Sapendo che il punto S appartiene alla parabola, possiamo indicare le sue coordinate in questo modo:
$ S ( 4/9 y^2 + 4/9 y + 1/9 ; y) $
Calcoliamo la distanza fra il punto C(1;1) e il punto P(1;-2), considerando che essi appartengono alla stessa retta:
$ \bar{CP} = 1 – (-2) = 3 $
Allo stesso modo possiamo calcolare le distanze di S dagli assi, sottraendo la coordinata più piccola a quella più grande:
$ \bar{SH} = y_H – y_S = 0 – y = – y$
$ \bar{SK} = x_S – x_K = 4/9 y^2 + 4/9 y + 1/9 – 0 = 4/9 y^2 + 4/9 y + 1/9 $
Impostiamo ora l’equazione:
$ – y + 4/9 y^2 + 4/9 y + 1/9 = 3 $
$ – 9 y + 4 y^2 + 4 y + 1 = 27 $
$ 4 y^2 – 5 y – 26 = 0 $
$ y = frac(5 ± sqrt(25 + 4 * 4 * 26))(4 * 2) = frac(5 ± sqrt(25 + 416))(8) = $
$ frac(5 ± sqrt(441))(8) = frac(5 ± 21)(8) $
Dal momento che il punto P deve essere posto nel quarto quadrante, sappiamo che la sua ordinata è negativa; quindi escludiamo il risultato positivo.
$ y = frac(5 – 21)(8) = – frac(16)(8) = – 2$
$ x_S = 4/9 * (-2)^2 + 4/9 * (-2) + 1/9 = 4/9 * 4 – 4/9 * 2 + 1/9 = $
$ (16)/9 – 8/9 + 1/9 = frac(16 – 8 + 1)(9) = 9/9 = 1$
Di conseguenza, il punto S di coordinate (1;-2) coincide con il punto P.
Data l’equazione $ (2k – 1) x^2 + ky^2 + (1-k) y – 8k + 4 = 0$ :
L’equazione di una circonferenza è del tipo $ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ ; notiamo che i coefficienti delle incognite di secondo grado sono uguali e valgono (nel caso generale) 1. Quindi, per prima cosa, imponiamo che:
$ 2k – 1 = k$
Risolviamo l’equazione e determiniamo k:
$ 2k – 1 – k = 0 to k – 1 = 0 to k = 1$
Sostituendo questo valore di k all’equazione parametrica otteniamo l’equazione della circonferenza C :
$ (2 * 1 – 1) x^2 + 1 * y^2 + (1-1) y – 8 * 1 + 4 = 0$
$ (2 – 1) x^2 + y^2 + 0 * y – 8 + 4 = 0$
$ x^2 + y^2 – 4 = 0$
Essendo i coefficienti dei termini di secondo grado uguali a 1 non sono necessari ulteriori passaggi.
Disegniamo la circonferenza, tenendo conto che il suo centro è situato in
$ C (-a/2 ; – b/2) to C(-0/2 ; -0/2) to C(0 ; 0) $
e che il suo raggio misura
$ r = sqrt((-a/2)^2 + (-b/2)^2 – c) = sqrt(0 + 0 – (-4)) = sqrt(4) = 2 $
Rappresentiamo la circonferenza:
Abbiamo quindi due punti di intersezione con l’asse x: $ A (-2 ; 0) , B (2 ; 0)$
Per far in modo che l’equazione rappresenti una parabola, ricordiamo che con asse parallelo all’asse y ha un’equazione del tipo $ y = ax^2 + bx + c $ ; non compare quindi un termine y di secondo grado. Poniamo quindi il coefficiente di $y^2$ uguale a zero, quindi abbiamo k=0. Sostituiamo questo valore all’equazione parametrica:
$ (2 * 0 – 1) x^2 + 0 * y^2 + (1-0) y – 8 * 0 + 4 = 0$
$ – x^2 + y + 4 = 0$
Ricaviamo la y e portiamo l’equazione in forma esplicita:
$ y = x^2 – 4 $
Per tracciare il grafico della parabola troviamo il suo vertice:
$ V (0 ; c) to V (0 ; -4) $
Ora diamo dei valori arbitrari alla variabile indipendente, e determiniamo almeno due punti appartenenti alla parabola; per comodità determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani:
$ P ∩ {x = 0} $
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x =0 &\\
y =x^2 – 4 &
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x =0 &\\
y =0^2 – 4 to y = -4 &
\end{array}\right.
$$
$P ∩ {y = 0} $
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y =0 &\\
y =x^2 – 4 &
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
y =0 &\\
0 =x^2 – 4 to x = ± 2 &
\end{array}\right.
$$
Rappresentiamo quindi la parabola:
Verifichiamo che anche la parabola passa per A e B sostituendo le coordinate dei due punti alle variabili dell’equazione della parabola; se otteniamo un’identità i punti appartengono al luogo geometrico.
$ A ∈ P to 0 = (-2)^2 – 4 to 0 = 4 – 4 to 0 = 0$
$ B ∈ P to 0 = (2)^2 – 4 to 0 = 4 – 4 to 0 = 0$
I due punti appartengono alla parabola.
Per determinare glia altri due punti comuni alla parabola e alla circonferenza impostiamo un sistema fra le due equazioni:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x^2 + y^2 – 4 =0 &\\
y =x^2 – 4 &
\end{array}\right.
$$
Risolviamo il sistema per sostituzione, sostituendo la y della seconda equazione all’incognita della prima:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x^2 + (x^2 – 4)^2 – 4 =0 &\\
y =x^2 – 4 &
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x^2 + x^4 + 16 – 8x^2 – 4 =0 &\\
y =x^2 – 4 &
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x^4 – 7 x^2 + 12 =0 &\\
y =x^2 – 4 &
\end{array}\right.
$$
Dalla prima equazione troviamo $x^2$ mediante la formula $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $ :
$ x^2 = frac(- (-7) ± sqrt((-7)^2 – 4 * 12))(2) = frac(7 ± sqrt(49 – 48))(2) = frac(7 ± 1)(2)$
$ x_1 ^2 = frac(7 + 1)(2) = 8/2 = 4 to x_1 = ± sqrt(4) = ± 2$
Questo primo risultato corrisponde all’ascissa dei punti A e B trovati in precedenza;
$ x_2 ^2 = frac(7 – 1)(2) = 6/2 = 3 to x_2 = ± sqrt(3) $
Determiniamo ora le ordinate dei due punti:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = \sqrt{3} &\\
y =(\sqrt{3})^2 – 4 to y = 3 – 4 = -1 &
\end{array}\right.
$$
Abbiamo quindi il punto $ C ( sqrt(3) ; -1 )$
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x = – \sqrt{3} &\\
y =(- \sqrt{3})^2 – 4 to y = 3 – 4 = -1 &
\end{array}\right.
$$
Abbiamo quindi il punto $ D (- sqrt(3) ; -1 )$
Notiamo che esistono due punti P, simmetrici rispetto all’asse y, che hanno la proprietà richiesta dal problema. Prendiamo in considerazione il punto P’, poiché esso ha ascissa positiva.
Sappiamo che questo punto appartiene alla parabola, di conseguenza possiamo scrivere le sue coordinate in questo modo:
$ P (x , x^2 – 4)$
La sua distanza dall’asse y $ P’H $ , quindi, ci è già nota e corrisponde a x, l’ascissa del punto P:
$ d _(P’H) = x$
Dobbiamo ora trovare la distanza del punto P dalla retta CD.
Determiniamo l’equazione della retta CD, sapendo che essa è parallela all’asse x:
$ CD : y = – 1 $
Determiniamo la distanza del punto P dalla retta CD sottraendo all’ordinata di H’ (ortogonale al punto P) l’ordinata del punto P stesso:
$ d _(P’H’) = – 1 – (x^2 – 4) = – 1 – x^2 + 4 = – x^2 + 3$
Sapendo che $ d _(P’H’) + d _(P’H) = frac(13)(4) $ possiamo determinare il valore di x:
$ – x^2 + 3 + x = frac(13)(4)$
$ – 4 x^2 + 12 + 4x = 13 to – 4 x^2 + 12 + 4x + 13 = 0$
$ – 4 x^2 + 4x – 1 = 0 to 4 x^2 – 4x + 1 = 0 $
$ (2x – 1)^2 = 0 to x = 1/2 $
Abbiamo quindi che $P’ ( 1/2 ; x^2 – 4) $; troviamo l’ordinata di P:
$ y_P’ = x^2 – 4 = (1/2)^2 – 4 = 1/4 – 4 = frac(1 – 16)(4) = – 15/4 $
$P’ ( 1/2 ; – (15)/4)$
Il punto P, simmetrico di P’ rispetto l’asse y, avrà la stessa ordinata di P’, ma ascissa opposta:
$P ( 1/2 ; – (15)/4)$
Risolvere la seguente espressione letterale:
$ [(- 1/3 a^2 )^2 – (1 + 2a) – (-a)^2] – (1/9 a^4 – a^2 – 3) – (-2)^2 $
Cominciamo a risolvere le operazioni all’interno delle parentesi tonde:
$ [1/9 a^4 – 1 – 2a – a^2] – 1/9 a^4 + a^2 + 3 – 4 = $
Procediamo togliendo le parentesi quadre:
$ 1/9 a^4 – 1 – 2a – a^2 – 1/9 a^4 + a^2 + 3 – 4 = $
$ – 1 – 2a + 3 – 4 = -2 – 2a $
Calcola il valore del polinomio $x^4-2x^3+3x^2-2x+1$ per i seguenti valori della x:
Per calcolare il valore del polinomio al variare dell’incognita x, sostituiamo i vari valori della x al polinomio stesso:
$ x = 0 to 0^4-2 * 0^3+3 * 0^2-2 * 0+1 = 1$
$ x = 1 to 1^4-2 * 1^3+3 * 1^2-2 * 1+1 = 1 – 2 + 3 – 2 + 1 = 1$
$ x = – 1 to (-1)^4-2 * (-1)^3+3 * (-1)^2-2 * (-1)+1 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9$
$ x = 2 to 2^4-2 * 2^3+3 * 2^2-2 * 2+1 = 16 – 16 + 12 – 4 + 1 = 9$
$ x = – 1/2 to (- 1/2)^4-2 * (- 1/2)^3+3 * (- 1/2)^2-2 * (- 1/2)+1 = $
$ 1/(16) + 1/4 + 3/4 + 1 + 1 = frac(1 + 4 + 12 + 16 + 16)(16) = (49)/(16)$
$ x = 0,1 = 1/(10) to (1/(10))^4-2 * (1/(10))^3+3 * (1/(10))^2-2 * (1/(10))+1 = $
$ 1/(10^4) – 2/(10^3) + 3/(10^2) – 2/(10) + 1 = frac(1 – 2 * 10 + 3 * 10^2 – 2 * 10^3 + 10^4)(10^4) = $
$ frac(1 – 20 + 300 – 2000 + 10000)(10000) = frac(8281)(10000)$
Siano $ A = { x ∈Z | -10 ≤ x ≤ +1 } $ , $ B = { x ∈Z | -1 ≤ x ≤ +1 } $ e $ C = { x ∈Z | x > -5 } $; determina: $A ∩ C $ , $B ∪ C $ , $B – C $ , $(A ∩ B) ∪ C $
Consideriamo i seguenti insiemi:
$ A = { x ∈Z | -10 ≤ x ≤ +1 } $
$ B = { x ∈Z | -1 ≤ x ≤ +1 } $
$ C = { x ∈Z | x > -5 } $;
L’intersezione di due insiemi è l’insieme degli elementi appartenenti sia al primo insieme che al secondo.
$A ∩ C = { x ∈Z | -4 ≤ x ≤ +1 }$
L’unione di due insiemi è, invece, l’insieme di tutti gli elementi appartenenti al primo o al secondo insieme.
Poiché B è un sottoinsieme di C, l’insieme derivato dall’unione di B con C consiste nell’insieme C stesso.
$B ∪ C = C = { x ∈Z | x > -5 } $;
Per differenza di due insieme si intende l’insieme degli elementi del primo insieme che non appartengono al secondo.
Poiché non vi sono elementi dell’insieme B che non appartengono all’insieme C ( B è un sottoinsieme di C ), la differenza di questi due insiemi sarà un insieme vuoto.
$B – C = ∅ $
Procediamo determinando prima l’intersezione fra l’insieme A e l’insieme B.
Poiché l’insieme B è un sottoinsieme dell’insieme A, la loro intersezione sarà data dall’insieme B stesso.
$A ∩ B = B = { x ∈Z | -1 ≤ x ≤ +1 } $
A questo punto, procediamo con l’unione con l’insieme C, che ci riporta all’esercizio precedente: poiché $ A ∩ B $ è un sottoinsieme di C, l’insieme dato dall’unione di $A ∩ B$ con C sarà l’insieme C stesso.
$(A ∩ B) ∪ C = C = { x ∈Z | x > -5 }$
Date le proposizioni elementari p e q, stabilisci la tavola di verità di $ p ∧ (p ∨\bar q) $ e di $ (\bar p ∨ q) to (p ∧\bar q) $
Nel determinare le tavole di verità di queste proposizioni elementari, ripassiamo le caratteristiche dei loro connettivi:
Prendiamo in esame la prima proposizione: $ p ∧ (p ∨\bar q) $
Costruiamo una tabella per esaminare la seconda parte della proposizione:
Sulla base di questo, disegniamo la tabella generale:
Procediamo allo stesso modo con la seconda proposizione: $ (\bar p ∨ q) to (p ∧\bar q) $
Costruiamo le tabelle di verità relative alle singole proposizioni:
Infine ricaviamo la tabella di verità generale:
In una classe di 28 allievi, 15 frequentano il laboratorio di teatro, 12 il laboratorio di fotografia, 10 non frequentano nessun laboratorio. Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn. Quanti allievi frequentano entrambi i laboratori? Quanti frequentano almeno un laboratorio? Quanti non frequentano il laboratorio di teatro?
Rappresentiamo la classe dei 28 ragazzi (indichiamo ciascun alunno con un numero):
Sappiamo che di questi, 15 frequentano il laboratorio teatrale, mentre 10 non partecipano a nessuna attività;
Possiamo notare che sono rimasti fuori 3 ragazzi, che sicuramente frequentano il laboratorio di fotografia.
Poiché, però, a frequentare questo laboratorio sono in 12, dobbiamo prendere i restanti 9 per forza fra quelli che frequentano il laboratorio di teatro.
Possiamo ora dedurre che 9 allievi frequentano entrambi i laboratori;
18 ragazzi frequentano almeno un laboratorio (sono coloro che o frequentano uno solo dei due, o entrambi);
i ragazzi che non frequentano il laboratorio di teatro sono quelli che partecipano solo a quello di fotografia e quelli che non partecipano a nessuno, quindi in tutto 13 persone.
Verifica se la funzione $ f : Q → Q $ definita da $f(x)=3x-1$ è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
Determina, se esiste, l’espressione analitica della funzione inversa $f^(-1) (x) $ .
Data la funzione $g(x)=2x$ determina le espressioni analitiche delle seguenti funzioni composte: $f(g(x))$; $g(f(x))$; $g(f^(-1) (x)) $; $f(f(x))$; $g(g(x))$.
Una funzione è iniettiva quando ad elementi distinti corrispondono immagini distinte; la funzione$ f : Q → Q $ definita da $f(x)=3x-1$ è, quindi, iniettiva.
La funzione è anche suriettiva, poiché il suo codominio corrisponde all’insieme di arrivo Q. Quindi, essendo sia iniettiva che suriettiva, è anche biiettiva.
Essendo biiettiva, la funzione è sicuramente invertibile. Calcoliamo quindi l’equazione della funzione inversa.
$ f(x) = 3x – 1$
$y = 3x – 1 to 3x = y + 1 to x = frac(y + 1)(3) $
$ f(y) = frac(y + 1)(3) to f^(-1) (x) = frac(x + 1)(3) $
Calcoliamo ora le funzioni composte:
$y = 3x – 1 to y = 3 * g(x) – 1 $
$ y = 3 * 2x – 1 to y = 6x – 1$
$y = 2x to y = 2 * f(x) $
$ y = 2 * (3x – 1) to y = 6x – 2$
$y = 2x to y = 2 * f^(-1) (x) $
$ y = 2 * frac(x + 1)(3) to y = frac(2x + 2)(3) $
$y = 3x – 1 to y = 3 * f(x) -1 $
$ y = 3 * (3x – 1) to y = 9x – 4$
$y = 2x to y = 2 * g(x) $
$ y = 2 * 2x to y = 4x $
Verificare che la relazione ℜ da Ζ a Z definita da xℜy ⇔ x ha lo stesso numero di cifre di y è una relazione di equivalenza.
Verifica se la corrispondenza che a un numero associa il numero delle cifre di cui è composto è una funzione, se questa funzione è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
Una relazione si dice di equivalenza se gode della proprietà transitiva, simmetrica e riflessiva.
La relazione ℜ da Ζ a Z definita da ” xℜy ⇔ x ha lo stesso numero di cifre di y ” gode della proprietà transitiva; se x ha lo stesso numero di cifre di y, e y ha lo stesso numero di cifre di z, allora possiamo affermare che z ha lo stesso numero di cifre di x;
E’ verificata anche la proprietà simmetrica, poiché se x ha lo stesso numero di cifre di y, anche y ha lo stesso numero di cifre di x.
Vale anche la proprietà riflessiva, poiché è possibile affermare che x ha lo stesso numero di cifre di se stesso.
Per questi motivi, la relazione è una relazione di equivalenza.
Una relazione fra due insiemi si dice funzione se ogni elemento di un insieme è in relazione con uno e un solo elemento dell’altro.
In questo caso, abbiamo un insieme composto da numeri relativi, e un altro insieme composto da numeri (sempre relativi) che esprimono il numero di cifre dei numeri dell’altro insieme. La relazione è quindi una funzione; ad un numero, infatti, viene associata una ed una sola quantità di cifre (al numero 20 corrispondono solo 2 cifre).
Valutiamo, quindi, se la funzione è iniettiva, suriettiva e biiettiva.
Una funzione è iniettiva se ad elementi distinti corrispondono immagini distinte, cioè se
$ ∀ x_1 , x_2 ∈ Z , x_1 ≠ x_2 ⇒ f (x_1) ≠ f (x_2) $
Poiché esistono più numeri che hanno lo stesso numero di cifre (10, 11, 15, 20, 56… hanno tutti due cifre), possiamo affermare che la funzione non è iniettiva.
Una funzione è suriettiva se il codominio coincide con l’insieme di arrivo, cioè se ogni elemento dell’insieme di arrivo è un’immagine di almeno un elemento dell’insieme di partenza. Di conseguenza, la nostra funzione è suriettiva.
La funzione non è però biiettiva; per esserlo sarebbe dovuta essere sia iniettiva che suriettiva, mentre gode solo di quest’ultima proprietà.
Un pattinatore scende lungo una discesa, percorre poi un tratto orizzontale di 10 m e risale lungo una salita. Parte da un’altezza di 4,o m con una velocità iniziale di 4,2 m/s. Supponi che gli attriti siano trascurabili.
Per risolvere il problema, teniamo presente che in un sistema soggetto alla forza-peso, in assenza di attriti, l’energia meccanica totale (energia cinetica + energia potenziale) si conserva, cioè rimane sempre uguale.
Sappiamo quindi che l’energia del pattinatore che si trova nel punto A (il punto di partenza) sarà uguale a quella che avrà nel punto B (il punto di arrivo). In base a questo possiamo impostare il problema:
$E_A = E_B to U_A + K_A = U_B + K_B $
Nel punto A il pattinatore possiede una certa energia potenziale, perché si trova ad un’altezza di 4,0 m (abbiamo scelto arbitrariamente il livello 0 dell’energia potenziale quello del tratto in piano), e un energia cinetica, poiché ha una velocità iniziale di 4,2 m/s.
Nel punto B il pattinatore possiede energia potenziale perché si trova ad una certa altezza, ma non possiede energia cinetica. Infatti, la massima altezza viene raggiunta nel momento in cui il pattinatore rimane sospeso, ed è quindi fermo; è l’attimo prima dell’inizio della sua discesa.
$ U_A + K_A = U_B $
Sostituiamo le formule:
$mgh_A + 1/2 mv_a ^2 = mgh_B$
Possiamo semplificare la massa, che è trascurabile; svolgiamo poi il minimo comune multiplo e ricaviamo l’altezza in B:
$gh_A + 1/2 v_a ^2 = gh_B$
$2gh_A + v_a ^2 = 2gh_B to h_B = frac(2gh_A + v_a ^2)(2g)$
Sostituiamo ora i valori numerici:
$ h_B = frac(2 * 9,8 m/s^2 * 4,0 m + (4,2 m/s)^2)(2 * 9,8 m/s^2) = frac(96,04 m^2/s^2)(19,6 m/s^2) = 4,9 m$
Possiamo affermare che l’altezza alla quale arriva il pattinatore non dipende dal tratto orizzontale, ma solo perché abbiamo supposto che l’attrito sia trascurabile.
In presenza di attrito, infatti, il tratto orizzontale avrebbe rallentato il pattinatore, diminuendo così l’altezza massima da lui raggiungibile.
Un gas perfetto contiene $10,35 * 10^23$ molecole ed è sottoposto a un trasformazione ciclica composta da due isoterme (BC e DA) e da due isobare (AB e CD) come nella figura.
I valori del volume e della pressione negli stati B e D sono:
$V_B = 4,15 dm^3 , V_D = 1,04 dm^3 $
$p_B = 2,50 * 10^5 Pa , p_D = 1,52 * 10^5 Pa $
Per prima cosa, trasformiamo i valori del volume nella giusta unità di misura:
$V_B = 4,15 dm^3 = 4,15 * 10^(-3) m^3$
$ V_D = 1,04 dm^3 = 1,04 * 10^(-3) m^3$
Per calcolare la temperatura nei tratti in cui avviene la trasformazione isoterma consideriamo l’equazione di stato dei gas perfetti:
$pV = nRT$
dove n è il numero di moli.
Poiché noi abbiamo il numero di molecole possiamo sfruttare la formula
$ n = frac(N)(N_A) $
dove $N_A$ è il numero di Avogadro.
Sostituiamo questa formula all’equazione di stato dei gas perfetti:
$pV = frac(N)(N_A) RT$
Notiamo che la formula può essere scritta anche in questo modo:
$pV = N frac(R)(N_A) T$
Abbiamo quindi un quoziente fra due costanti: $frac(R)(N_A)$ che corrisponde alla costante di Boltzmann ( $k_B = 1,38 * 10^(-23) J/K $):
$pV = N k_B T$
Sostituiamo la pressione e il volume nel punto B per calcolare la temperatura a cui avviene la trasformazione nel tratto BC:
$p_B V_B = N k_B T_(BC) to T_(BC) = frac(p_B V_B)(N k_B)$
Quindi abbiamo:
$T_(BC) = frac(2,50 * 10^5 Pa * 4,15 * 10^(-3) m^3 )(10,35 * 10^23 * 1,38 * 10^(-23) J/K) = 72,6 K$
Allo stesso modo calcoliamo la temperature nel tratto DA:
$p_D V_D = N k_B T_(DA) to T_(DA) = frac(p_D V_D)(N k_B)$
$T_(BC) = frac(1,52 * 10^5 Pa * 1,04 * 10^(-3) m^3 )(10,35 * 10^23 * 1,38 * 10^(-23) J/K) = 11,1 K$
Per calcolare il volume negli stati A e C consideriamo che le trasformazioni nei tratti BC e AD sono isoterme, cioè a temperatura costante. Possiamo quindi utilizzare la legge di Boyle:
$p_0 V_0 = pV to V = frac(p_0 V_0)(p)$
Quindi: $ V_C = frac(p_B V_B)(p_C)$
Poiché nel tratto CD la pressione è costante, la pressione nello stato c è uguale a quella nello stato D.
$ V_C = frac(2,50 * 10^5 Pa * 4,15 * 10^(-3) m^3)(1,52 * 10^5 Pa) = 6,83 * 10^(-3) m^3$
Allo stesso modo calcoliamo il volume nello stato A, tenendo presente che la pressione in quello stato è uguale a quella nel punto B:
$ V_A = frac(p_D V_D)(p_A)$
$ V_A = frac(1,52 * 10^5 Pa * 1,04 * 10^(-3) m^3)(2,50 * 10^5 Pa) = 6,32 * 10^(-4) m^3$
Il carrello che trasporta le persone lungo la pista delle montagne russe ha la velocità di 90 Km/h in un punto all’altezza di 20,0 m dal suolo.
Poiché il livello 0 dell’energia potenziale può essere scelto in odo arbitrario, per comodità scegliamo di posizionarlo nel punto B, cioè a 11,0 m dal suolo.
Sapendo che in un sistema soggetto alla forza-peso, in assenza di attriti, l’energia meccanica totale (energia cinetica + energia potenziale) si conserva, cioè rimane sempre uguale, possiamo affermare che l’energia del carrello nel punto A è uguale a quella nel punto B:
$E_A = E_B$
$U_A + K_A = U_B + K_B$
Avendo posto, però, come livello zero dell’energia potenziale quello situato a 11,0 m dal suolo, nel punto B l’energia potenziale sarà pari a zero.
$U_A + K_A = K_B$
Ricaviamo quindi la velocità del carrello nel punto B:
$mgh_A + 1/2 mv_A ^2 = 1/2 mv_B ^2$
La massa del carrello è trascurabile, possiamo quindi eliminarla:
$gh_A + 1/2 v_A ^2 = 1/2 v_B ^2$
$2gh_A + v_A ^2 = v_B ^2$
Ricaviamo quindi la velocità nel punto B:
$v_B = sqrt (2gh_A + v_A ^2)$
Considerando il livello 0 dell’energia potenziale, l’altezza alla quale si trova il carrello nel punto A sarà uguale a
$20,0 m – 11,0 m = 9,00 m$
Trasformiamo poi la velocità, che deve essere espressa in m/s:
$90 (km)/h = 90/3,6 m/s = 25 m/s $
Sostituiamo all’equazione i valori numerici:
$v_B = sqrt (2 * 9,8 m/s^2 * 9,00 m + + (25 m/s) ^2) = sqrt(801,4 m^2/s^2) = 28,3 m/s $
Poiché la velocità nel punto A era espressa in km/h, possiamo trasformare anche questa in km/h:
$28,3 m/s = (28,3 * 3,6) (km)/h = 102 (km)/h $