Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado irrazionale:

$  sqrt(x^2 – 4x) < x – 1 $

Svolgimento

Per risolvere questa disequazione irrazionale, dobbiamo impostare un sistema a tre disequazioni in questo modo:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x – 1 > 0 & \\
x^2 – 4x ≥ 0 & \\
(\sqrt{x^2 – 4x})^2 < (x –  1)^2 &
\end{array}
\right.
$$

Risolviamo le disequazioni:

1. $  x – 1 > 0    to    x > 1$

2. $  x^2 – 4x ≥ 0  $

$  x^2 – 4x = 0  $

$   x(x – 4) = 0      to   x = 0  ∨  x = 4 $

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione:

$  x ≤ 0    ∨    x ≥ 4 $

3.  $  (sqrt(x^2 – 4x))^2 < (x – 1)^2  $

$  x^2 – 4x < x^2 + 1 – 2x  $

$  x^2 – 4x – x^2 – 1 + 2x < 0 $

$  – 2x – 1 < 0 $

$  2x + 1 > 0     to    x > -1/2 $

Torniamo al sistema:

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x > 1 & \\
x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 & \\
x > – \frac{1}{2} &
\end{array}
\right.
$$

Determiniamo le soluzioni:

 

$  S : x ≥ 4 $

 

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado con valore assoluto:

$  x ( 5 – x) + | 3x^2 + 1/2 x | ≥ 1 + 6x – x^2 $

Svolgimento

Per risolvere questa disequazione, dobbiamo distinguere due casi: quando l’argomento del valore assoluto è maggiore o uguale a zero e quando è minore di zero. Primo, però, svolgiamo i calcoli e lasciamo il valore assoluto al primo membro:

$  | 3x^2 + 1/2 x | ≥ 1 + 6x – x^2 – x ( 5 – x)  $

$  | 3x^2 + 1/2 x | ≥ 1 + 6x – x^2 – 5x + x^2 $

$  | 3x^2 + 1/2 x | ≥ 1 + x $

Impostiamo ora i due sistemi:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
3x^2 + \frac{1}{2} x ≥ 0 &\\
3x^2 + \frac{1}{2} x  ≥ 1 + x &
\end{array}\right.
$$

e

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
3x^2 + \frac{1}{2} x < 0 &\\
– (3x^2 + \frac{1}{2} x)  ≥ 1 + x &
\end{array}\right.
$$

Primo sistema

Cominciamo con il primo sistema e risolviamo la prima disequazione:

$  3x^2 + 1/2 x ≥ 0 $

$  3x^2 + 1/2 x = 0 $

$  frac(6x^2 + x)(2) = 0 $

$ 6x^2 + x = 0 $

$  x (6x + 1) = 0 $

$  6x + 1 = 0     to    x = – 1/6$

$  x = 0 $

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell’equazione associata:

$   S :  x ≤ – 1/6    ∨    x ≥ 0 $

 

Passiamo alla seconda disequazione, sempre del primo sistema:

$  3x^2 + 1/2 x ≥ 1 + x $

$  frac(6x^2 + x)(2) ≥  frac(2 + 2x)(2) $

$  6x^2 + x  ≥  2 + 2x $

$  6x^2 + x  – 2 – 2x  ≥  0 $

$  6x^2 – x  – 2  ≥  0 $

Passiamo all’equazione associata e prendiamo come soluzioni della disequazione gli intervalli esterni alle radici:

$  6x^2 – x  – 2  =  0 $

$  x = frac(- (-1) ± sqrt((-1)^2 – 4*(-2)*6))(2*6) = frac( 1 ± sqrt(1 + 48))(12) = $

$ frac(1 ± sqrt(49))(12) = frac(1 ± 7)(12)     to    $

$ x = frac(1 + 7)(12) = 8/(12) = 2/3     ∨     x = frac(1 – 7)(12) = – 6/(12) = – 1/2 $

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell’equazione associata:

$   S : x ≤ – 1/2     ∨   x ≥  2/3  $

Il primo sistema sarà quindi

 

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x ≤ – \frac{1}{6} ∨ x ≥ 0 &\\
x ≤ – \frac{1}{2} ∨ x ≥ \frac{2}{3} &
\end{array}\right.
$$

Determiniamo le sue soluzioni:

 

$   S : x ≤ – 1/2     ∨   x ≥  2/3  $

 

Secondo sistema

Passiamo ora al secondo sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
3x^2 + \frac{1}{2} x < 0 &\\
-3x^2 – \frac{1}{2} x  ≥ 1 + x &
\end{array}\right.
$$

Risolviamo la prima disequazione, che avevamo scomposto in precedenza; questa volta prendiamo gli intervalli interni alle radici dell’equazione associata:

$   S :  -1/6  ≤  x ≤ 0   $

Risolviamo l’altra:

$   -3 x^2 – 1/2 x ≥ 1 + x  $

$   frac (-6 x^2 – x)(2)  ≥  frac (2 + 2x)(2)  $

$  -6 x^2 – x ≥  2 + 2x  $

$  -6 x^2 – x  – 2 – 2x  ≥  0 $

$  -6 x^2 – 3 x  – 2  ≥  0 $

$  6 x^2 + 3 x  + 2  ≤  0 $

$  6 x^2 + 3 x  + 2  = 0 $

$  x = frac(- 3 ± sqrt(3^2 – 4*2*6))(2*6) =  frac(- 3 ± sqrt(9 – 48))(12) $

Poiché il delta è minore di zero e la disequazione è minore o uguale a zero, essa non sarà verificata da nessuna x appartenente ai reali.

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
– \frac{1}{6} ≤ x ≤ 0&\\
∅  &
\end{array}\right.
$$

$ S : ∅ $

Le soluzioni finali della disequazione sono date dall’unione delle soluzioni dei due sistemi, quindi avremo come soluzione:

$ S : x ≤ – 1/2    ∨   x ≥ 2/3 $

 

Risolvi il seguente sistema di disequazioni di secondo grado:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
\frac{(2x – 1)^2}{4} – x + 1 > \frac{1}{4} &\\
(x + 1)^2 + 2x > 1 &
\end{array}\right.
$$

Svolgimento

Cominciamo risolvendo la prima disequazione:

$ frac((2x – 1)^2)(4) – x + 1 > 1/4 $

Svolgiamo il quadrato e calcoliamo il minimo comune multiplo.

$ frac(4x^2 + 1 – 4x)(4) – x + 1 – 1/4 > 0$

$ frac(4x^2 + 1 – 4x – 4x + 4 – 1)(4) > 0$

$ frac(4x^2 – 8x + 4 )(4) > 0$

Mettiamo in evidenza e semplifichiamo:

$ frac(4 (x^2 – 2x + 1) )(4) > 0$

$ x^2 – 2x + 1 > 0 $

Questo trinomio è il quadrato di un binomio:

$ (x – 1) ^2 > 0 $

Un quadrato è sempre positivo, ma in questo caso dobbiamo escludere il caso in cui esso sia nullo:

$ (x – 1) ^2 > 0     ∀ x ∈ ℛ ,   x ≠ 1$

 

Passiamo ora alla seconda disequazione:

$ (x + 1)^2 + 2x > 1 $

Svolgiamo il quadrato:

$ x^2 + 1 + 2x + 2x – 1 > 0 $

$ x^2 + 4x > 0 $

Passiamo all’equazione associata e troviamo le soluzioni mediante la legge dell’annullamento del prodotto:

$ x^2 + 4x = 0 $

$ x ( x + 4) = 0 $

$  x + 4 = 0     to    x = – 4 $

$  x = 0 $

Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell’equazione associata:

$  S : x < – 4   ∨   x > 0 $

Torniamo al sistema:

$$
\left\{ \begin{array}{rl}
∀ x ∈ ℛ ,   x ≠ 1 &\\
x < – 4   ∨   x > 0 &
\end{array}\right.
$$

Troviamo le soluzioni:

 

$  S : x < – 4   ∨   x > 0   ∧   x ≠ 1 $

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

$  frac((4x^2 – 1)(3x + 1))(3x(2x^2 – 7x + 6))  ≥ 0$

Svolgimento

Studiamo il segno di numeratore e denominatore:

$ N ≥ 0    to    (4x^2 – 1)(3x + 1) ≥ 0$

$ 4x^2 – 1 ≥ 0$

Passiamo all’equazione associata, troviamo le soluzioni e prendiamo come soluzioni della disequazione gli intervalli esterni alle radici dell’equazione associata:

$ 4x^2 – 1 = 0$

$ 4x^2 =  1$

$ x^2 =  1/4      to    x = ± 1/2 $

$  S :   x ≤ – 1/2    ∨   x ≥ 1/2  $

$ 3x + 1 ≥ 0    to   x ≥ – 1/3$

Studiamo il segno del numeratore:

Avremo quindi che   $ – 1/2 ≤ x ≤ -1/3   ∨   x ≥  1/2 $

 

Passiamo allo studio del segno del denominatore:

$ D > 0$

$ 3x(2x^2 – 7x + 6) > 0 $

$ 3x > 0     to    x > 0$

$ 2x^2 – 7x + 6 > 0 $

Passiamo all’equazione associata:

$ 2x^2 – 7x + 6 = 0 $

Determiniamo le soluzioni con la formula :

$ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ x = frac(- (-7) ± sqrt((-7)^2 – 4*2*6))(2*2) = $

$ frac( 7 ± sqrt( 49 – 48 ))(4) = frac( 7 ± 1)(4)     to    $

$ x = frac( 7 + 1)(4) = 8/4 = 2     ∨     x = frac( 7 – 1)(4) = 6/4 = 3/2 $

Prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici dell’equazione:

$  S :    x < 3/2   ∨   x > 2 $

Studiamo il segno del denominatore:

 

Avremo quindi come soluzioni

$ 0 < x < 3/2   ∨  x > 2 $

Studiamo ora il segno fra numeratore e denominatore:

$  N  :   – 1/2 ≤ x ≤ -1/3    ∨  x ≥  1/2 $

$  D  :    0 < x < 3/2   ∨  x > 2 $

Poiché la disequazione di partenza è maggiore o uguale a zero, secondo la regola dei segni avremmo che :

$ S  :   x ≤ – 1/2    ∨    -1/3 ≤ x < 0   ∨    1/2 ≤ x < 3/2     ∨    x  > 2 $

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

$ frac(x + 1)(x – 3) – frac(x – 2)(6 + 2x) ≤ frac(x)(2x^2 – 18) $

Svolgimento

Portiamo tutti i termini al primo membro, poi effettuiamo le scomposizioni necessarie ai denominatori:

$ frac(x + 1)(x – 3) – frac(x – 2)(6 + 2x) – frac(x)(2x^2 – 18) ≤  0$

$ frac(x + 1)(x – 3) – frac(x – 2)( 2 (3 + x)) – frac(x)(2 (x^2 – 9)) ≤  0$

$ frac(x + 1)(x – 3) – frac(x – 2)( 2 (3 + x)) – frac(x)(2 (x- 3)(x + 3)) ≤  0$

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

$ frac( 2 (x + 3)(x + 1) – (x – 2)(x – 3) – x)(2 (x – 3) (x + 3)) ≤  0$

$ frac( 2 (x^2 + 3x + x + 3) – (x^2 – 3x – 2x + 6) – x)(2 (x – 3) (x + 3)) ≤  0$

$ frac( 2x^2 + 6x + 2x + 6 – x^2 + 3x + 2x – 6 – x)(2 (x – 3) (x + 3)) ≤  0$

$ frac( x^2 + 12x )(2 (x – 3) (x + 3)) ≤  0$

$ N  ≥  0    to     x^2 + 12x  ≥  0 $

Passiamo all’equazione associata:

$ x^2 + 12x  =  0 $

$ x ( x + 12)  =  0 $

Troviamo le soluzioni con la legge dell’annullamento del prodotto:

$ x + 12 =  0     to    x = – 12$

$ x  =  0 $

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell’equazione associata:

$  S :  x ≤ – 12    ∨    x  ≥ 0 $

$ D  >  0      to     (x – 3) (x + 3) > 0$

Passiamo all’equazione associata:

$ (x – 3) (x + 3) = 0$

Troviamo le soluzioni con la legge dell’annullamento del prodotto:

$ x + 3 = 0    to    x = – 3$

$ x – 3 = 0    to    x = 3$

Ricordiamo che  $ (x – 3) (x + 3) = x^2 – 9 $ , ed è quindi un polinomio di secondo grado;

quindi, poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell’equazione associata:

$  S  :  x <  – 3    ∨    x > 3 $

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore:

Dato che la disequazione di partenza è minore o uguale a zero, secondo la regola dei segni, avremo come soluzioni

$  S  :   – 12 ≤ x <  – 3    ∨   0 ≤  x < 3 $

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

$ ( x^2 + sqrt2) ≤ 1/5 x (5 + 5sqrt2) $

Svolgimento

Portiamo tutti i termini al primo membro, poi moltiplichiamo togliendo le parentesi tonde:

$ x^2 + sqrt2 – 1/5 x (5 + 5sqrt2) ≤  0$

$ x^2 + sqrt2 – 1/5 x * 5 – 1/5 x *  5sqrt2 ≤  0$

$ x^2 + sqrt2 – x  – sqrt2 x ≤  0$

Ordiniamo e mettiamo in evidenza la x di primo grado:

$ x^2 – x  – sqrt2 x + sqrt2 ≤  0$

$ x^2 – (1 + sqrt2) x + sqrt2 ≤  0$

Passiamo all’equazione associata e troviamo le soluzioni con la formula:

$ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ x^2 – (1 + sqrt2) x + sqrt2 = 0$

$ x = frac(- [- (1 + sqrt2)] ± sqrt([- (1 + sqrt2)]^2 – 4* sqrt2))(2) =$

$ frac( 1 + sqrt2 ± sqrt( 1 + (sqrt2)^2 + 2sqrt2 – 4sqrt2))(2) =$

$ frac( 1 + sqrt2 ± sqrt( 1 + 2 + 2sqrt2 – 4sqrt2))(2) =$

Sotto radice, sommiamo soli i termini simili, che moltiplicano  $ sqrt2$ ; notiamo che in questo modo si formerà il quadrato di un binomio:

$ frac( 1 + sqrt2 ± sqrt( 1 + 2 – 2sqrt2))(2) =$

$ frac( 1 + sqrt2 ± sqrt((sqrt2 – 1)^2))(2) = frac( 1 + sqrt2 ± (sqrt2 – 1))(2) $

$ x_1 = frac( 1 + sqrt2 + (sqrt2 – 1))(2) = frac( 1 + sqrt2 + sqrt2 – 1)(2)  =$

$ frac( 2 sqrt2)(2)  = sqrt2 $

$ x_2 = frac( 1 + sqrt2 – (sqrt2 – 1))(2) = frac( 1 + sqrt2 – sqrt2 + 1)(2)  =$

$ frac( 2)(2)  = 1 $

Poiché la disequazione è minore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli interni alle radice dell’equazione associata:

$ S : 1 ≤ x ≤ sqrt2 $

 

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

$  – x^2  + 8 ≥ 0 $

Svolgimento

Cambiamo segno alla  $x$ di secondo grado, in modo da averla positiva, ricordandoci di cambiare anche il verso della disequazione:

$  x^2  – 8 ≤ 0 $

Passiamo all’equazione associata:

$  x^2  – 8 = 0 $

$  x^2  = 8     to    x = ± sqrt8     to    x = ± 2 sqrt2 $

Poiché la disequazione è minore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli interni alle radici dell’equazione associata:

$ S :   – 2 sqrt2  ≤ x ≤ 2 sqrt2 $

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

$  -2 x^2 < 0 $

Svolgimento

Sappiamo che  $x^2$  è un numero positivo, perché elevato ad un indice pari; poiché però il suo coefficiente è  $-2$ , numero negativo, l’intera scrittura $ – 2x^2$  è sicuramente un valore negativo.

Di conseguenza:

$  -2 x^2 < 0     ∀ x ∈ ℛ $

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

$ 3x^2 + 1 < 0 $

Svolgimento

Passiamo all’equazione associata:

$ 3x^2 + 1 = 0 $

$ 3x^2 = -1 $

$ x^2 = -1/3     to   $    IMPOSSIBILE

L’equazione associata risulta impossibile; poiché la disequazione di partenza è minore di zero, essa non sarà verificata per nessuna  $x$  appartenente ai reali.

 

Determina le soluzioni della seguente disequazione di secondo grado:

$ – x^2 – 3x ≤ 0 $

Svolgimento

Cambiamo segno alla x di secondo grado, in modo da averla positiva, ricordandoci di cambiare anche il verso della disequazione:

$ x^2 + 3x ≥ 0 $

Passiamo all’equazione associata:

$ x^2 + 3x = 0 $

Raccogliamo e troviamo le soluzioni tramite la legge dell’annullamento del prodotto:

$ x ( x+ 3) = 0 $

$ x = 0 $

$ x+ 3 = 0     to    x = – 3$

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell’equazione associata:

$   S :  x ≤ – 3     ∨    x  ≥ 0$

 

 

Risolvi la seguente disequazione di secondo grado:

$ 1/2 x^2 – 3x + 4 > 0$

Svolgimento

Calcoliamo il minimo comune multiplo, eliminando poi il denominatore che, essendo un valore numerico positivo, non altera il verso della disequazione:

$ frac(x^2 – 3*2x + 4*2)(2) > 0$

$ x^2 – 6x + 8 > 0$

Passiamo all’equazione associata:

$ x^2 – 6x + 8 = 0$

Troviamo le soluzioni mediante la formula   $ x = frac(- b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $

$ x = frac(- (-6)/2 ± sqrt(((-6)/2)^2 – 8))(1) =  3 ± sqrt((-3)^2 – 8) $

$  3 ± sqrt( 9 – 8) = 3 ± 1     to   $

$ x = 3 + 1 = 4     ∨     x = 3 – 1 = 2 $

Poiché la disequazione è maggiore zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radice dell’equazione associata:

$  S :   x < 2      ∨     x > 4 $

 

 

 

Risolvi la seguente disequazione di secondo grado:

$ 2x^2 – 5x – 3 ≤ 0 $

Svolgimento

Passiamo all’equazione associata:

$ 2x^2 – 5x – 3 = 0 $

Troviamo le soluzioni mediante la formula   $ x = frac(- b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $

$ x = frac(- (-5) ± sqrt((-5)^2 – 4*2*(-3)))(2*2) = $

$ frac( 5 ± sqrt(25 + 24))(4) = frac( 5 ± sqrt(49))(4) = frac( 5 ± 7)(4) $

$ x = frac(5 + 7)(4) = (12)/4 = 3     ∨     x = frac(5 – 7)(4) = (- 2)/4 = – 1/2$

Poiché la disequazione è minore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli interni alle radice dell’equazione associata:

$ S : – 1/2 ≤ x ≤ 3$