Da una sezione dell’acquedotto transitano in media ogni giorni 240 metri cubi di acqua, con una varianza pari a 120. i) Calcolare la probabilità che in tre mesi (90 giorni) passino per tale sezione almeno 21500 metri cubi di acqua. ii) Sia Z ~ N( μ , 120); determinare μ e q affinché siano valide entrambe le seguenti espressioni $P(Z ≤ q) = 1/2$, $P(Z ≤ 2μ) = 0,975$

i) Indichiamo con $X_i$ la quantità di acqua che transita per la sezione in un giorno i-esimo. Possiamo supporre che tali variabili aleatorie siano indipendenti ed identicamente distribuite, e che abbiamo media $E[X_i] = 240$ e varianza $σ^2 = 120$.

La probabilità richiesta dal problema è la seguente:

$P(X_1 + … + X_(90) ≥ 21500) = P( S_(90) ≥ 21500)$

Tale probabilità può essere stimata utilizzando l’approssimazione normale; ricordiamo che la quantità $frac(S_n – nμ)(σ*sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande (con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$ P( S_(90) ≥ 21500) = P( frac(S_(90) – nμ)(σ*sqrt(n)) ≥ frac(21500 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$ P( S_(90) ≥ 21500) = P( W ≥ frac(21500 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici forniti dal problema:

$ P( S_(90) ≥ 21500) = P( W ≥ frac(21500 – 90*240)(sqrt(90)*sqrt(120)) ) = $

$ P( W ≥ frac(21500 – 21600)(60sqrt(3)) ) = $

$P( W ≥ frac(- 100)(60sqrt(3)) ) = P( W ≥ 0,96225) = $

$ 1 – P( W ≤ -0,96225) $

Introducendo la funzione di distribuzione Φ della normale, possiamo determinare l’approssimazione richiesta facendo riferimento ai valori numerici presenti sulle tavole:

$ 1 – P( W ≤ -0,96225) = 1 – Φ( -0,96225) = $

$ Φ(0,96225) = 0,832 $

ii) Se Z è una normale di parametri μ e 120, allora applicando l’approssimazione normale alla prima diseguaglianza otteniamo:

$P(Z ≤ q) = 1/2 to P(frac(Z-μ)(sqrt(120)) ≤ frac(q-μ)(sqrt(120))) = 1/2 $

Tale quantità equivale alla seguente:

$Φ(frac(q-μ)(sqrt(120))) = 1/2 $

dalle tavole della normale standard vediamo che $ 0,5 = Φ(0)$, quindi dalla prima relazione otteniamo:

$ frac(q-μ)(sqrt(120)) = 0 to q = μ$

Allo stesso modo possiamo procedere con la seconda relazione:

$P(Z ≤ 2μ) = 0,975 to P(frac(Z-μ)(sqrt(120)) ≤ frac(2μ-μ)(sqrt(120))) = 0,975 $

e quindi:

$Φ(frac(2μ-μ)(sqrt(120))) = 0,975 $

Dalle tavole della normale standard si ricava che il quantile di ordine 0,975 vale 1,96, ovvero che :

$ 0,975 = Φ(1,96)$

Quindi per trovare il valore di μ basta porre:

$ frac(2μ-μ)(sqrt(120)) = 1,96$

Risolviamo l’equazione:

$ frac(μ)(sqrt(120)) = 1,96 to μ = 1,96 * sqrt(120) = 21,47 $

La probabilità che uno studente dimentichi (in maniera indipendente dagli altri) di portare con sé la calcolatrice alla prova scritta di un esame è $p = frac(1)(100)$. Supponiamo che 200 studenti partecipino alla prova. i) Calcolare l probabilità che tutti gli studenti abbiano la calcolatrice e la probabilità che vi siano più di 2 studenti senza calcolatrice. ii) Stimare il valore di quest’ultima probabilità utilizzando l’approssimazione di Poisson. iii) Stimare lo stesso valore utilizzando l’approssimazione normale. Che valutazione si può dare per queste due approssimazioni?

i) Possiamo rappresentare il numero di studenti che dimenticano la propria calcolatrice con una variabile aleatoria X che è una binomiale di parametri n = 200 (numero degli studenti) e $p = frac(1)(100)$ (probabilità di “successo”).

Quindi, possiamo calcolare la probabilità che tutti gli studenti abbiano con se la calcolatrice nel modo seguente:

$P = (1 – frac(1)(100))^(200) = 0,0134$

La probabilità che vi siano più di due studenti senza calcolatrice è data da:

$P(X > 2) = P(X ≥ 3)$

Possiamo calcolare tale probabilità sfruttando la seguente proprietà:

$ P(X ≥ 3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2)$

Procediamo sostituendo i valori numerici:

$ P(X ≥ 3) = 1 – frac(200!)(0! 200!) * (1 – frac(1)(100))^(200) – frac(200!)(1! 199!) * frac(1)(100) * (1 – frac(1)(100))^(199) – frac(200!)(2! 198!) * frac(1)(100^2) * (1 – frac(1)(100))^(198) = $

Svolgendo i calcoli si ottiene : $ P(X ≥ 3) = 0,3233213 $

ii) Proviamo ora a calcolare la stessa probabilità sfruttando l’approssimazione di Poisson. Ricordiamo che una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p può essere approssimata con una di Poisson di parametro np. In questo caso, quindi, la variabile di Poisson da utilizzare ha parametro:

$ λ = np = frac(200)(100) = 2 $

La probabilità richiesta è quindi:

$ P(X ≥ 3) = 1 – e^(-2) (1 + 2 + 2) = 1 – 5e^(-2) = 0,3233236 $

iii) Ripetiamo ora lo stesso calcolo utilizzando l’approssimazione normale. In questo caso per ottenere una variabile W approssimabile con una normale standard, sottraiamo ad X la sua media e dividiamo tutto per $σ*sqrt(n)$:

$ P(X ≥ 3) = P(X > 2,5) = P(frac(X – μ)(σ*sqrt(n)) ≥ frac(2,5 – μ)(σ*sqrt(n))) = P( W ≥ frac(2,5 – μ) (σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici:

$ P(X ≥ 3) = P( W ≥ frac(2,5 – 2)(sqrt(0,01 * 0,99) *sqrt(200))) = $

$ 1 – Φ(frac(0,5)(1,407)) = $

$ 1 – Φ(0,35537) ~ 0,3611695 $

Possiamo notare dai risultati ottenuti che l’approssimazione normale è molto meno precisa rispetto ai metodi utilizzati precedentemente.

Supponiamo che il numero di incidenti stradali che avvengono giornalmente in una certa città sia una variabile aleatoria di Poisson di media 1. i) Qual è la probabilità che si veriﬁchino più di 20 indicenti in due settimane? ii) Ipotizzando sempre una distribuzione di Poisson, quale dovrebbe essere la media del numero di incidenti giornalieri aﬃnché con una probabilità maggiore (≥) del 95% si abbiano meno di 13 incidenti in 20 giorni?

i) Per rappresentare il nostro problema possiamo utilizzare delle variabili aleatorie $X_i$ tale che la variabile i-esima indica il numero di incidenti avvenuto nel giorni i-esimo. Sappiamo dai dati forniti dal problema che tali variabili aleatorie sono di Poisson di parametro 1.

Se indichiamo con $S_n$ la somma $X_1 + … + X_n$, la probabilità da calcolare è la seguente:

$P( X_1 + … + X_n > 20) = P(S_n > 20) $

per n = 14.

Possiamo utilizzare l’approssimazione normale per stimare tale probabilità;

Ricordiamo che la quantità $frac(S_n – nμ)(σ*sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande (con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$P(X_1 + … + X_(14) > 20) = P( S_(14) > 20) = P( frac(S_(14) – nμ)(σ*sqrt(n)) > frac(20 – nμ) (σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$ P( W > frac(20 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) $

Sapendo che per una variabile di Poisson di parametro 1, la media e la varianza valgono 1, possiamo procedere sostituendo i valori numerici forniti dal problema:

$ P( W > frac(20 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) = P( W > frac(20 – 14 * 1)(sqrt(1)*sqrt(14)) ) = $

$ P( W > frac(6)(3,74) ) = P( W > 1,604 ) = 1 – P(W ≤ 1,604 )$

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ 1 – P(W ≤ 1,604 ) = 1 – Φ( 1,604 ) $

Dalla tavola della normale standard possiamo ricavare i valori numerici:

$ 1 – Φ( 1,604 ) = 0,0548 $

ii) Supponiamo ora che il parametro λ della distribuzione di Poisson sia incognito (quindi la media e la varianza sono incognite); possiamo procedere come in precedenza applicando le regole dell’approssimazione normale:

$P(X_1 + … + X_(20) < 13) = P( S_(20) < 13) = P( frac(S_(20) – nμ)(σ*sqrt(n)) < frac(13 – nμ) (σ*sqrt(n))) = P( W < frac(13 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici noti:

$ P( W < frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) $

Introduciamo come in precedenza la funzione Φ:

$ P( W < frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) = Φ( frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) $

Affinché tale quantità sia maggiore o uguale di 0,95, ovvero:

$ Φ( frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ) ≥ 0,95 $

Osserviamo le tabelle della normale standard per ricavare i valori numerici inversi di Φ; troviamo che 0,95 è circa Φ(1,65). Ciò signiﬁca che per rendere vera la disuguaglianza deve essere:

$ frac(13 – 20 λ)(sqrt(λ)*sqrt(20)) ≥ 1,65$

Risolviamo la disequazione e troviamo il valore di n:

$ 13 – 20 λ ≥ 1,65(sqrt(λ)*sqrt(20))$

$ 13 – 20 λ ≥ 7,38 sqrt(λ)$

$ 20 λ – 7,38 sqrt(λ) – 13 ≤ 0$

Risolviamo ponendo $x = sqrt(λ)$, e analizziamo l’equazione associata:

$ 20 x^2 – 7,38 x – 13 = 0$

Si ottiene solo un valore positivo per x: x = 0,642

Da cui si ottiene:

$ λ ≤ 0,642^2 = 0,41 $

Un commerciante di accessori per computer sa che il numero di articoli di una certa marca che può vendere in un giorno è una variabile aleatoria di Poisson di media 4. i) Quanti articoli di quella marca dovrebbero immagazzinare per essere sicuri al 95% che gli basteranno per 25 giorni? ii) Qual è il numero atteso di giorni entro i 25 che il commerciante passerà senza vendere articoli di quella marca?

i) Indichiamo con $X_i$ il numero di articoli venduti nell’i-esimo giorno; sappiamo che tale variabile aleatoria è di Poisson di parametro 4. Il problema chiede di trovare un valore intero k per cui risulta:

$P(X_1 + … + X_(25) ≤ k) ≥ 0,95$

Possiamo utilizzare l’approssimazione normale per risolvere tale questione.

$P(X_1 + … + X_(25) ≤ k) = P( S_(25) ≤ k) = P( frac(S_(25) – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ frac(k – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$ P( W ≤ frac(k – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Sostituiamo i valori numerici forniti dal problema:

$ P( W ≤ frac(k – nμ)(σ*sqrt(n))) = P( W ≤ frac(k – 25 * 4)(sqrt(4)*sqrt(25))) = $

$ P( W ≤ frac(k – 100)(2*5) ) = P( W ≤ frac(k – 100)(10) ) $

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ P( W ≤ frac(k – 100)(10) ) = Φ( frac(k – 100)(10) ) $

Aﬃnché tale quantità sia maggiore o uguale di 0,95 ovvero:

$ Φ( frac(k – 100)(10) ) ≥ 0,995$

possiamo osservare le tabelle della normale standard, e ricavare i valori numerici inversi di Φ; troviamo che 0,995 è circa Φ(1,65). Ciò signiﬁca che per rendere vera la disuguaglianza deve essere:

$ frac(k – 100)(10) ≥ 1,65$

Risolviamo la disequazione e troviamo il valore di n:

$ frac(k – 100)(10) ≥ 1,65 to k ≥ 1,65 * 10 +100 = 116,5 $

In conclusione, il commerciante dovrebbe possedere almeno 117 articoli.

ii) Per risolvere il secondo punto, consideriamo il fatto che la probabilità che nessun articolo sia venduto in un determinato giorno è $P(X_i = 0) = e^(-4)$; se indichiamo con Z il numero di giorni su 25 il cui nessun articolo viene venduto, allora Z è una variabile aleatoria binomiale di parametri n = 25 e $p = e^(-4)$. Dalle formule note possiamo ricavare la media di tale variabile aleatoria:

$E[Z] = np = 25 * e^(-4) = 0,4578$

Tale valore indica esattamente il numero atteso di giorni entro i 25 che il commerciante passerà senza vendere tali articoli.

Supponiamo che il tempo di vite di un certo modello di processore per computer sia una variabile aleatoria di media μ=10 e deviazione standard σ=5, dove l’unità di misura è 1 anno. Si provano n = 100 processori di questo tipo: siano $bar T_(100) = 1/(100) (T_1 + … + T_(100))$ la media campionaria dei tempi di vita osservati. Utilizzando il teorema del limite centrale, stimare approssimativamente: i) $P(bar T_(100) > 9,5)$; ii) $P(9,5 ≤ bar T_(100) ≤ 10,5)$

Ricordiamo che uno dei risultati derivanti dal teorema del limite centrale è il fatto che la quantità $frac(S_n – nμ)(σ*sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande (con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$P(bar T_(100) > 9,5) = P(1/(100) * S_(100) > 9,5) = P(S_(100) > 9,5 * 100) = P(S_(100) > 950 ) = $

$P(frac(S_(100) – nμ)(σ*sqrt(n)) > frac(2,3 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$P(W > frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n))) $

Il problema fornisce tutti i dati necessari; sostituiamo i valori numerici:

$ P(W > frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n))) = $

$P(W > frac(950 – 100 * 10)(5*sqrt(100)) ) = $

$ P(W > frac(950 – 1000)(5*10) ) = P(W > frac(-50)(50) ) = $

$P(W > -1) = 1 – P(W<-1)$

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ 1 – P(W<-1) = 1 – Φ(-1) = 1 – [1 – Φ(1)] = Φ(1) $

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di Φ:

$ Φ(1) = 0,8413 $

ii) Per la seconda parte possiamo procedere in maniera simile alla precedente; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:

$P(9,5 ≤ bar T_(100) ≤ 10,5)$

Procediamo applicando le regole per l’approssimazione normale:

$P(9,5 ≤ bar T_(100) ≤ 10,5) = $

$P(9,5 ≤ 1/(100) * S_(100) ≤ 10,5) = $

$P(950 ≤ S_(100) ≤ 1050) $

$ P( frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ frac(S_(100) – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ frac(1050 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) $

Introduciamo la variabile W:

$ P( frac(950 – nμ)(σ*sqrt(n)) ≤ W ≤ frac(1050 – nμ)(σ*sqrt(n)) ) $

Sostituiamo i valori numerici:

$ P( frac(950 – 100 * 10)(5*sqrt(100)) ≤ W ≤ frac(1050 – 100 * 10)(5*sqrt(100)) ) = $

$ P( frac(950 – 1000)(5*10) ≤ W ≤ frac(1050 – 1000)(5*10) ) = $

$ P( frac(-50)(50) ≤ W ≤ frac(50)(50) ) = $

$P( -1 ≤ W ≤ 1 ) = P( W ≤ 1 ) – P( W ≤ -1 ) $

Introduciamo come in precedenza la funzione Φ:

$ P( W ≤ 1 ) – P( W ≤ -1 ) = Φ(1) – Φ(-1) = $

$Φ(1) – [1 – Φ(1)] = 2Φ(1) – 1 $

Dalle tabelle della normale standard ricaviamo:

$ 2Φ(1) – 1 = 2 * 0,8413 – 1 = 0,6826 $

Siano $X_1, …, X_n$ variabili aleatorie e con la stessa distribuzione, e sia $bar X_n = 1/n (X_1 + … + X_n)$. Inoltre, siano μ=2 e $σ^2 = 4$ media e varianza delle variabili aleatorie in questione. i) Scrivere la disuguaglianza di Chebyshev per $P(|X_1 – 2| ≥ 5)$. ii) Scrivere la disuguaglianza di Chebyshev per $P(|bar x_(10) – 2| ≥ 5)$. iii) Calcolare $P(bar X_(100) < 2,3)$ con l'approssimazione normale

i) Sappiamo che la forma generale della disuguaglianza di Chebyshev per una variabile aleatoria X con media E[X] e varianza Var(X) è la seguente:

$P(|X – E[X] ≥ η|) ≤ frac(Var(X))(η^2) $

Nel nostro caso, poiché la media di $X_i$ è 2, e conosciamo anche la sua varianza, possiamo applicare la formula precedente, considerando η = 5:

$P(|X_1 – 2| ≥ 5) ≤ frac(Var(X_1))(η^2) = frac(4)(5^2) = frac(4)(25) $

ii) Nel secondo caso possiamo proseguire come in precedenza; questa volta, però, dobbiamo calcolare la media e la varianza di $bar x_(10)$ :

$E[bar x_(10)] = E[1/n (X_1 + … + X_(10))] = 1/n E[X_1 + … + X_(10)] = $

$1/n (E[X_1] + … + E[X_(10)]) = 1/n * (n * E[X_i]) = E[X_i] = 2$

$Var[bar x_(10)] = Var[1/n (X_1 + … + X_(10))] = $

$1/n^2 Var[X_1 + … + X_(10)] = $

$1/n^2 (Var[X_1] + … + Var[X_(10)]) = 1/n^2 * (n * Var[X_i]) = 1/n Var[X_i] = 4/(10)$

Procediamo sostituendo tali valori nell’espressione generale:

$P(|bar x_(10) – 2| ≥ 5) ≤ frac(Var(bar x_(10)))(η^2) = frac(4/(10))(25) = frac(2)(125)$

iii) Ricordiamo che uno dei risultati derivanti dal teorema del limite centrale è il fatto che la quantità $frac(bar X_n – μ)(σ/sqrt(n))$ si comporta come una normale standard per n molto grande. Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:

$P(bar X_(100) < 2,3) = P(frac(bar X_n – μ)(σ/sqrt(n)) < frac(2,3 – μ)(σ/sqrt(n))) $

Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:

$P(bar X_(100) < 2,3) = P( W < frac(2,3 – μ)(σ/sqrt(n))) $

Il problema fornisce tutti i dati necessari; sostituiamo i valori numerici:

$ P(bar X_(100) < 2,3) = P( W < frac(2,3 – 2)(2/sqrt(100))) = P( W < frac(0,3)(2/(10)) ) =$

$ P( W < frac(3)(2) ) = P( W < 1,5 ) $

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ P( W < 1,5 ) = Φ(1,5) $

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di Φ:

$ Φ(1,5) = 0,93319 $

Il tempo di vita di un componente elettrico è una variabile aleatoria di media μ = 100 (ore) e deviazione standard σ = 20 (ore). Se si provano 16 componenti di questo tipo, quanto vale (approssimativamente) la probabilità che la media campionaria delle loro durate sia: i) minore di 104 ore; ii) compresa tra 98 ore e 104 ore (calcolare tali probabilità utilizzando l’approssimazione normale)

i) Indichiamo con $X_i$ l’i-esimo componente; abbiamo per n = 16 che la media e la deviazione standard di ciascun componente valgono:

$E[X_i] = μ = 100 $

$sqrt(Var[X_i]) = σ = 20 $

Dal teorema del limite centrale sappiamo che la quantità $frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) $ si comporta come una normale standard per n grande, dove con $S_n$ abbiamo indicato la somma campionaria. Considerando che la probabilità richiesta è:

$ P(bar X_n < 104) $

possiamo procedere nel modo seguente:

$ P(bar X_n < 104) = P(1/n (X_1 + … + X_n) < 104) = P( X_1 + … + X_n < 104n) = $

$ P( S_n < 104n) = P( frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) < frac(104 n – E[S_n])( σ sqrt(n))) $

Se indichiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard abbiamo:

$ P( S_n < 104n) = P( W < frac(104 n – E[S_n])( σ sqrt(n))) $

Dai dati per problema sappiamo che:

$ E[S_n] = n * μ = 16 * 100 = 1600 $

$ σ = 20 $

Quindi possiamo procedere sostituendo i valori numerici:

$ P( S_n < 104n) = P( W < frac(104 * 16 – 1600)( 20 * sqrt(16))) = P( W < frac(1664 – 1600)( 20 * 4)) = $

$ P( W < frac(64)(80) ) = P( W < 0,8 ) $

Introduciamo la funzione Φ, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:

$ P( W < 0,8 ) = Φ(0,8) $

Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici di Φ:

$ Φ(0,8) = 0,7881 $

ii) Per il secondo punto possiamo procedere in maniera analoga alla precedente; questa volta la probabilità da calcolare è la seguente:

$P(98 ≤ bar X_n ≤ 104) $

Ovvero:

$P(98 ≤ 1/n * S_n ≤ 104) = P(98 n ≤ S_n ≤ 104 n)$

Procediamo applicando le regole per l’approssimazione normale:

$ P(98 n ≤ S_n ≤ 104 n) = $

$P( frac(98 n – E[S_n])( σ sqrt(n)) ≤ frac(S_n – E[S_n])( σ sqrt(n)) ≤ frac(104 n – E[S_n])( σ sqrt(n)) ) = $

$ P( frac(98 n – E[S_n])( σ sqrt(n)) ≤ W ≤ frac(104 n – E[S_n])( σ sqrt(n)) ) = $

Sostituiamo i valori numerici trovati precedentemente:

$ P( frac(98 * 16 – 1600)( 20*4) ≤ W ≤ frac(104 * 16 – 1600)( 20*4) ) = $

$P( frac(-32)(80) ≤ W ≤ frac(64)(80) ) = $

$ P( -0,4 ≤ W ≤ 0,8 ) = P(W ≤ 0,8) – P(W ≤ -0,4) $

Come in precedenza, introducendo la funzione Φ abbiamo:

$ P(W ≤ 0,8) – P(W ≤ -0,4) = Φ(0,8) – Φ(-0,4) = $

$ Φ(0,8) – [1 – Φ(0,4)] $

Dalle tavole otteniamo i valori numerici:

$ Φ(0,8) – [1 – Φ(0,4)] = 0,6554 – 1 + 0,7881 = 0,4435 $

Si lanciano una moneta e un dado non truccati. Se la moneta da testa, si lancia il dado e si pone uguale a X il valore della faccia uscita. Se invece la moneta da croce, si lancia il dado due volte e si pone uguale a X il massimo dei valori ottenuti nei due lanci

i) Trovare la densità discreta della variabile aleatoria X.

ii) Risolvere il punto i) nel caso in cui la moneta sia truccata e la probabilità che esca testa in un lancio della moneta è p.

iii) Provare che, detti $U_1$ e $U_2$ i risultati dei due lanci, risulta che: $P{max(U_1, U_2) = k} + P{min(U_1, U_2) = k} = 1/3$.

i) Per risolvere il primo quesito, poiché il valore della variabile aleatoria X dipende dal risultato del lancio della moneta, possiamo procedere considerando due tipi di eventi: l’evento T “la moneta da testa” e l’evento C “la moneta da croce”.

Considerando il teorema delle probabilità totali, possiamo aﬀermare che:

$ P(X=k) = P( X=k | C) * P(C) + P( X=k | T) * P(T) $

Dove k è uno dei valori possibili che la variabile X può assumere. Poiché tali valori corrispondono ai possibili valori delle facce di un dado, la variabile X può assumere uno qualsiasi dei valori
nell’insieme ${1,2,3,4,5,6}$.

Le probabilità $P(C)$ e $P(T)$ rappresentano, rispettivamente, la probabilità che esca croce e la probabilità che esca testa dal lancio di una moneta, e come sappiamo, si ha il 50% di probabilità per ciascun evento:

$P(C) = P(T) = 1/2 $

Consideriamo la probabilità $P( X=k | T) $; in questo caso, dal testo del problema sappiamo che la variabile X può assumere uno dei valori derivanti dal lancio di un dado; poiché il dado non è truccato, la probabilità che la variabile assume uno dei possibili valori è $1/6$, quindi:

$P( X=k | T) = 1/6$

Consideriamo ora la probabilità $P( X=k | C) $; in questo caso, sappiamo che il dado viene lanciato due volte, e la variabile X può assumere il minimo dei valori derivanti da tali lanci.

Per determinare tale valore, chiamiamo con $V_1$ e $V_2$ i risultati rispettivamente del primo lancio e del secondo lancio del dado; allora, indicato con $V$ il valore massimo dei due lanci, si ha :

$ V = max(V_1 , V_2) $

La legge di X può essere scritta in questo modo:

$ P(X=k | C) = P(V=k) = P(V<k+1) – P(V<k) $

Per determinare la legge di X, quindi, dobbiamo trovare il valore della probabilità $P(V<k)$; tale espressione può essere scritta come:

$ P(V<k) = P(V_1 < k , V_2 < k) $

Poiché le variabili in questione sono indipendenti, possiamo scrivere:

$ P(V<k) = P(V_1 < k , V_2 < k) = P(V_1 < k) * P(V_2 < k) $

Il numero dei lanci favorevoli per ciascuno degli eventi ${V_1 < k}$ e ${V_2 < k}$ è esattamente $k-1$, e di conseguenza la probabilità che tali eventi si veriﬁchino è data da:

$ P(V_1 < k) = P(V_2 < k) = 1/6 * (k-1) $

Sostituendo nella precedente espressione abbiamo:

$ P(V<k) = P(V_1 < k) * P(V_2 < k) = [frac(k-1)(6)]^2 $

In maniera analoga possiamo ragionare per determinare il valore della probabilità $P(V<k+1) $; otteniamo il seguente risultato:

$ P(V<k+1) = P(V_1 < k+1) * P(V_2 < k+1) = [frac(k+1-1)(6)]^2 = [frac(k)(6)]^2 $

Possiamo ora determinare il valore della probabilità cercato:

$ P(X=k | C) = P(V=k) = $

$ = P(V<k+1) – P(V<k) = frac(k^2)(36) – [frac(k-1)(6)]^2 = $

$ frac(k^2)(36) – frac(k^2 + 1 – 2k)(36) = frac(k^2 – k^2 – 1 + 2k)(36) = frac(2k-1)(36) $

Inﬁne, applicando la legge delle probabilità totali possiamo ricavare la legge della variabile aleatoria X:

$ P(X=k) = P( X=k | C) * P(C) + P( X=k | T) * P(T) = frac(2k-1)(36) * 1/2 + 1/6 * 1/2 = $

$ frac(2k-1)(72) + 1/(12) = frac(2k – 1 + 6)(72) = frac(2k + 5)(72) $

ii) In questo caso, supponiamo che la moneta sia truccata; il testo del problema suggerisce di chiamare la probabilità che esca testa con p, di conseguenza abbiamo:

$ P(T) = p $ $ P(C) = 1-p $

Il problema può essere risolto come in precedenza, considerando il teorema delle probabilità totali e i nuovi valori delle probabilità forniti (i valori delle probabilità condizionate invece non cambiano):

$ P(X=k) = P( X=k | C) * P(C) + P( X=k | T) * P(T) = frac(2k-1)(36) * (1-p) + 1/6 * p = $

$ frac((2k-1)(1-p))(36) + 1/6 p = frac(2k – 1 + p – 2kp + 6p)(36) $

iii) Consideriamo due variabili $V_(max)$ e $V_(min)$ tali che:

$ V_(max) = max(V_1 , V_2) $

$ V_(min) = min(V_1 , V_2) $

e calcoliamo le probabilità di ognuno dei due; nel primo caso, il calcolo è stato già fatto in precedenza, e il risultato è il seguente:

$ P(V_(max) = k) = frac(2k-1)(36) $

Per il secondo caso possiamo procedere in maniera simile a quanto fatto in precedenza; possiamo scrivere la seguente legge per $V_(min)$:

$ P(V_(min) = k) = P(V>=k) – P(V>=k+1) $

A questo punto occorre trovare il valore della probabilità $P(V>=k)$; tale espressione può essere scritta come:

$ P(V_(min) >= k) = P(V_1 >= k , V_2 >= k) $

Poiché le variabili in questione sono indipendenti, possiamo scrivere:

$ P(V_(min) >= k) = P(V_1 >= k , V_2 >= k) = P(V_1 >= k) * P(V_2 >= k) $

Per risolvere l’espressione, possiamo scrivere le probabilità in una forma equivalente:

$ P(V_1 >= k) * P(V_2 >= k) = [ 1 – P(V_1 < k) ] * [ 1 – P(V_2 < k) ] $

In queso caso, il numero dei lanci favorevoli per ciascuno degli eventi ${V_1 < k}$ e ${V_2 < k}$ è esattamente $k-1$, e di conseguenza la probabilità che tali eventi si veriﬁchino è data da:

$ P(V_1 < k) = P(V_2 < k) = 1/6 * (k-1) $

Sostituendo nella precedente espressione abbiamo:

$ P(V_(min) >= k) = [ 1 – P(V_1 < k) ] * [ 1 – P(V_2 < k) ] = $

$ = [1 – frac(k-1)(6) ] * [1 – frac(k-1)(6)] = (1 – frac(k-1)(6))^2 $

In maniera analoga possiamo ragionare per determinare il valore della probabilità $P(V>=k+1) $; otteniamo il seguente risultato:

$ P(V_(min) >= k+1) = [ 1 – P(V_1 < k+1) ] * $

$ * [ 1 – P(V_2 < k+1) ] = $

$ = [1 – frac(k+1-1)(6) ] * [1 – frac(k+1-1)(6)] =$

$ = (1 – frac(k+1-1)(6))^2 = (1 – frac(k)(6))^2$

Possiamo ora determinare il valore della probabilità cercato:

$ P(V_(min) = k) = P(V>=k) – P(V>=k+1) = $

$ = (1 – frac(k-1)(6))^2 – (1 – frac(k)(6))^2 = $

$ = 1 + frac((k-1)^2)(36) – frac(k-1)(3) – 1 – frac(k^2)(36) + frac(k)(3) = $

$ frac(k^2 + 1 – 2k)(36) – frac(k^2)(36) + frac(k-k+1)(3) = $

$ = frac(k^2 + 1 – 2k – k^2)(36) + frac(1)(3) = $

$ = frac(1 – 2k)(36) + frac(1)(3) = frac(1-2k + 12)(36) = frac(13 – 2k)(36) $

Il problema chiedeva di dimostrare che vale la seguente espressione:

$ P(V_(min) = k) + P(V_(max) = k) = 1/3 $

Sommiamo quindi le due leggi trovate per veriﬁcare il risultato:

$ P(V_(min) = k) + P(V_(max) = k) = frac(13 – 2k)(36) + frac(2k-1)(36) = frac(13 – 2k + 2k-1)(36) = $

$ frac(12)(36) = 1/3 $

L’espressione è quindi veriﬁcata.

Due dadi equilibrati vengono lanciati separatamente più volte. Indichiamo con X il numero di lanci necessario ad ottenere 3 gettando il primo dado, e con Y il numero di lanci necessario ad ottenere 2 oppure 5 lanciando il secondo

Qual è la legge di X? e di Y? Qual è $E(X)$ ? e $E(X)$?
Trovare la densità discreta di $ Z = max(X,Y)$ e $E(Z)$
Calcolare $P(X>=Y)$

1) Le variabili X ed Y indicano il numero di lanci necessari per ottenere un determinato valore lanciando uno dei sue dadi; tali variabili, quindi, rappresentano l’istante di primo successo in uno
schema successo-insuccesso, dove le prove sono indipendenti e la probabilità di successo in ciascuna prova è $p_X = 1/6$ nel caso della variabile X, e $p_Y = 1/3$ nel caso della variabile Y.
Tali variabili, quindi, seguono una legge geometrica modiﬁcata; ricordiamo che le leggi delle variabili sono le seguenti:

$ P(X=k) = p_X * (1 – p_X)^(k-1) $

$ P(Y=k) = p_Y * (1 – p_Y)^(k-1) $

dove il parametro k assume i valori 1,2,….

Per calcolare la speranza matematica delle due variabili, ovvero $E[X]$ e $E[Y]$, possiamo procedere nel seguente modo: dalla deﬁnizione sappiamo che per una variabile aleatoria X:

$ E[X] = sum_j x_j * P(X=x_j)$

per valori di $j >= 0$, possiamo scrivere la speranza nel modo seguente:

$ E[X] = 1* P(X=1) + 2* P(X=2) + 3* P(X=3) + …. $

ovvero:

$ E[X] = P(X=1) + P(X=2) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=3) + P(X=3) + …. $

$ E[X] = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + …. ] + [P(X=2) + P(X=3) + ….] + [P(X=3) +… ] + …. $

è facile vedere che tale scrittura può essere sempliﬁcata nel seguente modo:

$ E[X] = P(X>0) + P(X>1) + P(X>2) + P(X>3) …. $

Quindi, riassumendo si avrebbe:

$ E[X] = sum_j x_j * P(X=x_j) = sum_j P(X>j) $

In questo modo, possiamo calcolare più facilmente la speranza cercata; cominciamo determinando la probabilità $P(X<=k)$:

$ P(X<=k) = sum_(j=1)^k p_X(1-p_X)^(j-1) = p_X * sum_(h=0)^(k-1) (1-p_X)^(h) $ Tale somma ha per risultato: $ p * sum_(h=0)^(k-1) (1-p_X)^(h) = p_X * frac(1 – (1-p_X)^k)( 1 – (1-p_X) ) = 1 – (1-p_X)^k $ Per il calcolo della media abbiamo bisogno della probabilità $P(X>k)$, che possiamo ricavare dal complementare della precedente:

$P(X>k) = 1 – P(X<=k) = 1 – [1 – (1-p_X)^k] = (1-p_X)^k $ A questo punto possiamo riprendere la formula della speranza ricavata precedentemente, e sostituire la probabilità che abbiamo trovato: $ E[X] = sum_k P(X>k) = sum_k (1-p_X)^k = frac(1)(1 – (1-p_X)) = 1/p_X = 1/(1/6) = 6$

Con lo stesso procedimento possiamo determinare $E[Y]$, che risulterà essere:

$ E[Y] = 1/p_Y = 1/(1/3) = 3$

2) In questo secondo punto consideriamo la variabile aleatoria deﬁnita come $Z = max(X,Y)$; per trovare la sua densità dobbiamo trovare la legge $P(Z=k)$ con k = 1,2,…

Per determinare tale legge, possiamo notare che la probabilità $P(Z=k)$ è data dalla diﬀerenza seguente:

$P(Z=k) = P(Z<=k) – P(Z<=k-1)$

Dalla deﬁnizione della variabile aleatoria Z, possiamo scrivere che:

$ P(Z<=k) = P(X<=k , Y<=k) $

e, poiché le variabili X ed Y sono indipendenti, abbiamo che:

$ P(X<=k , Y<=k) = P(X<=k ) * P(Y<=k) $

Dai risultati trovati precedentemente, abbiamo che:

$P(X<=k ) = 1 – (1-p_X)^k $

$P(Y<=k ) = 1 – (1-p_Y)^k $

Sostituendo tali valori nella precedente espressione abbiamo:

$ P(X<=k , Y<=k) = P(X<=k ) * P(Y<=k) = [1 – (1-p_X)^k] * [1 – (1-p_Y)^k] $

Conoscendo i valori delle probabilità di successo $p_X$ e $p_Y$, e sostituendo tali valori troviamo:

$ P(Z<=k) = [1 – (1-1/6)^k] * [1 – (1-1/3)^k] = [1 – (5/6)^k] * [1 – (2/3)^k] $

Allo stesso modo possiamo trovare il valore della probabilità $P(Z<=k-1) $:

$ P(Z<=k-1) = [1 – (1-1/6)^(k-1)] * [1 – (1-1/3)^(k-1)] = [1 – (5/6)^(k-1)] * [1 – (2/3)^(k-1)] $

La legge di Z è data dalla diﬀerenza delle due quantità precedentemente trovate:

$P(Z=k) = P(Z<=k) – P(Z<=k-1) = [1 – (5/6)^k] * [1 – (2/3)^k] – [1 – (5/6)^(k-1)] * [1 – (2/3)^(k-1)] $

Svolgiamo i calcoli e sempliﬁchiamo:

$P(Z=k) = 1 – (5/6)^k – (2/3)^k + (5/6)^k*(2/3)^k – 1 + (5/6)^(k-1) + (2/3)^(k-1) – (5/6)^(k-1)*(2/3)^(k-1) = $

$ – 5/6 * (5/6)^(k-1) – 2/3 * (2/3)^(k-1) + (5/6 * 2/3)^k + (5/6)^(k-1) + $

$+ (2/3)^(k-1) – (5/6 * 2/3)^(k-1) = $ $ (1- 5/6) * (5/6)^(k-1) + (1- 2/3) * (2/3)^(k-1) +$

$+ (5/9)^k – (5/9)^(k-1) = $ $ 1/6 * (5/6)^(k-1) +$

$+ 1/3 * (2/3)^(k-1) + 5/9 * (5/9)^(k-1) – (5/9)^(k-1) = $

$ = 1/6 * (5/6)^(k-1) + 1/3 * (2/3)^(k-1) – 4/9 * (5/9)^(k-1)$

La media della variabile Z si può ottenere applicando la deﬁnizione di speranza matematica, ovvero:

$ E[Z] = sum_(k=1)^inf k * P(Z=k) $

e dal risultato precedentemente trovato si ha:

$ E[Z] = sum_(k=1)^inf k * [1/6 * (5/6)^(k-1) + 1/3 * (2/3)^(k-1) – 4/9 * (5/9)^(k-1)] $

Per semplicità possiamo spezzare la sommatoria in questo modo:

$ E[Z] = sum_(k=1)^(inf) k * 1/6 * (5/6)^(k-1) + sum_(k=1)^inf k * 1/3 * (2/3)^(k-1) – sum_(k=1)^inf k * 4/9 * (5/9)^(k-1) $

Ricordiamo che è possibile risolvere questo tipo di serie matematiche nel modo seguente:

$ sum_(i=1)^(inf) i * x_i = frac(x)((1-x)^2) $

Pertanto, la prima sommatoria può essere risolta come segue:

$ sum_(k=1)^(inf) k * [1/6 * (5/6)^(k-1) = sum_(k=1)^(inf) k * 1/6 * 6/5 (5/6)^(k) = $

$1/6 * 6/5 * sum_(k=1)^(inf) k * (5/6)^(k) = 1/5 * frac(5/6)((1 – 5/6)^2) =1/5 * 5/6 * 36 = 6 $

In modo analogo, la seconda sommatoria risulta:

$ sum_(k=1)^(inf) k * 1/3 * (2/3)^(k-1) = sum_(k=1)^(inf) k * 1/3 * 3/2 (2/3)^(k) = $

$1/3 * 3/2 * sum_(k=1)^(inf) k * (2/3)^(k) = 1/2 * frac(2/3)((1 – 2/3)^2) =1/2 * 2/3 * 9 = 3 $

E inﬁne la terza sommatoria:

$ sum_(k=1)^(inf) k * 4/9 * (5/9)^(k-1) = sum_(k=1)^(inf) k * 4/9 * 9/5 (5/9)^(k) = $

$ = 4/9 * 9/5 * sum_(k=1)^(inf) k * (5/9)^(k) = 4/5 * frac(5/9)((1 – 5/9)^2) =4/5 * 5/9 * (81)/(16) = 9/4 $

La speranza matematica è quindi data da:

$ E[Z] = 6 + 3 – 9/4 = 9 – 9/4 = (27)/4 $

) Il terzo punto chiede di determinare la probabilità $P(X>=Y)$; tale probabilità può essere calcolata considerando tutti i valori k per cui risulta $Y=k$ e $X>=k$, ovvero risolvendo la seguente espressione:

$ P(X>=Y) = sum_(k=1)^(inf) P( X>=k , Y=k) $

Poiché le variabili sono indipendenti, possiamo scrivere:

$ sum_(k=1)^(inf) P( X>=k , Y=k) = sum_(k=1)^(inf) P( X>=k) * P(Y=k) $

In particolare, la probabilità $ P( X>=k) $ può essere espressa come somma di tutte le probabilità $P(X=h)$ per tutti i valori possibili di h, ovvero:

$P( X>=k) = sum_(h=k)^(inf) P(X=h)$

Tale sommatoria può anche essere scritta nel modo seguente:

$ sum_(h=k)^(inf) P(X=h) = sum_(h=1)^(inf) P(X=h) – sum_(h=1)^(k-1) P(X=h) $

Riportiamo tale espressione all’interno della sommatoria generale:

$ sum_(k=1)^(inf) P( X>=k) * P(Y=k) = sum_(k=1)^(inf) [ (sum_(h=1)^(inf) P(X=h) – sum_(h=1)^(k-1) P(X=h)) * P(Y=k) ]$

Sappiamo che la legge delle variabili X ed Y è una legge geometrica modiﬁcata, quindi possiamo scrivere:

$ sum_(k=1)^(inf) [ (sum_(h=1)^(inf) P(X=h) – sum_(h=1)^(k-1) P(X=h)) * ( p_Y * (1-p_Y)^(k-1) ) ]$

Riportiamo anche la legge della variabile X:

$ sum_(k=1)^(inf) [ (sum_(h=1)^(inf) p_X * (1-p_X)^(k-1) – sum_(h=1)^(k-1) p_X * (1-p_X)^(k-1)) * ( p_Y * (1-p_Y)^(k-1) ) ]$

Come in precedenza, possiamo determinare il valore di ogni sommatoria interna:

$ sum_(k=1)^(inf) [ ( p_X * frac(1)(1-(1-p_X)) – p_X * frac(1 – (1-p_X)^(k-2+1))(1-(1-p_X)) ) * ( p_Y * (1- p_Y)^(k-1) ) ]$

$ sum_(k=1)^(inf) [ ( 1 – (1 – (1-p_X)^(k-1)) ) * ( p_Y * (1-p_Y)^(k-1) ) ]$

$ sum_(k=1)^(inf) [ (1-p_X)^(k-1) * p_Y * (1-p_Y)^(k-1) ]$

$ p_Y * sum_(k=1)^(inf) [ (1-p_X)^(k-1) * (1-p_Y)^(k-1) ]$

$ p_Y * sum_(k=1)^(inf) ((1-p_X)*(1-p_Y))^(k-1) $

Applicando le note proprietà della serie in questione, possiamo determinare il risultato ﬁnale:

$P( X>=Y) = p_Y * frac(1)(1 – (1-p_X)(1-p_Y) ) = $

$ ?frac(p_Y)( 1 – (1 – p_X – p_Y + p_X * p_Y) ) = $

$ frac(p_Y)( 1 – 1 + p_X + p_Y – p_X * p_Y) = $

$ = frac(p_Y)( p_X + p_Y – p_X * p_Y) ) $

Sostituendo i valori numerici abbiamo:

$ P( X>=Y) = frac(1/3)( 1/6 + 1/3 – 1/6 * 1/3) ) = frac(1/3)( 1/6 + 1/3 – 1/6 * 1/3) ) = $

$ frac(1/3)(4/9) = 1/3 * 9/4 = 3/4 $

Una variabile aleatoria discreta X assume i valori 1,2,3,4 e $P(X=1) = P(X=2) = 1/4$. Sapendo che $E(X) = 21/8$, trovare la densità discreta di X e $Var(X)$

Il problema chiede di determinare la densità discreta di X e la sua varianza. Cominciamo dal primo punto, e ricordiamo che la densità discreta di X è una funzione $p(x) = P(X = x)$.

Poiché il problema fornisce delle informazioni riguardo la speranza atematica di X, possiamo applicare la deﬁnizione di speranza per determinare le probabilità $P(X=x)$ per ogni valore assunto da X:

$ E[X] = sum_(j) x_j P(X=x_j)$

Sostituiamo a tale formula tutti i possibili valori assunti dalla variabile aleatoria X, che vengono forniti dal problema:

$ E[X] = 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3) + 4 * P(X=4) = (21)/8$

Due delle probabilità sono già fornite dal problema, e si ha che: $P(X=1) = P(X=2) = 1/4$; sostituiamo tali valori nella precedente espressione:

$ 1 * 1/4 + 2 * 1/4 + 3 * P(X=3) + 4 * P(X=4) = (21)/8$

$ 1/4 + 1/2 + 3 * P(X=3) + 4 * P(X=4) = (21)/8$

$ 3/4 + 3 * P(X=3) + 4 * P(X=4) = (21)/8$

$ 3 * P(X=3) + 4 * P(X=4) = (21)/8 – 3/4$

$ 3 * P(X=3) + 4 * P(X=4) = (15)/8$

Dalla deﬁnizione di probabilità, sappiamo che la somma di tutte le probabilità relative ad una determinata variabile deve essere uguale ad uno; quindi, possiamo imporre la seguente
condizione:

$ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$

Sostituendo i precedenti valori abbiamo:

$ 1/4 + 1/4 + P(X=3) + P(X=4) = 1$

$ 1/2 + P(X=3) + P(X=4) = 1$

$ P(X=3) + P(X=4) = 1/2$

$ P(X=3) = 1/2 – P(X=4) $

Possiamo mettere a sistema questa equazione con la precedente, e ricavare così i valori delle probabilità cercati:

$ 3 * [1/2 – P(X=4)] + 4 * P(X=4) = (15)/8$

$ 3/2 – 3* P(X=4) + 4 * P(X=4) = (15)/8$

$ P(X=4) = (15)/8 – 3/2 = 3/8$

Possiamo inﬁne ricavare anche l’ultimo valore:

$ P(X=3) = 1/2 – P(X=4) = 1/2 – 3/8 = 1/8$

Passiamo ora al secondo punto, e determiniamo il valore della varianza di X; dalla deﬁnizione sappiamo che:

$ Var(X) = E[X^2] – E[X]^2$

Il secondo termine può essere determinato facilmente calcolando il quadrato della speranza matematica:

$E[X]^2 = [(21)/8]^2 = (441)/(64)$

Per determinare il primo termine, ovvero $E[X^2] $, possiamo utilizzare la seguente formula:

$ E[X^k] = sum_(j) (x_j)^k *p(x_j) = sum_(j) (x_j)^k *p(X = x_j) $

Applichiamo la formula precedente con $k = 2$ per tutti i valori che possono essere assunti dalla variabile aleatoria X:

$ E[X^k] = sum_(j) (x_j)^2 *p(X = x_j) = 1^2 * P(X=1) + $

$ 2^2 * P(X=2) + 3^2 * P(X=3) + 4^2 * P(X=4) = $

$1^2 * 1/4 + 2^2 * 1/4 + 3^2 * 1/8 + 4^2 * 3/8 = $

$ 1/4 + 1 + 9/8 + 6 =(67)/8 = 8,375 $

Possiamo quindi calcolare il valore della varianza:

$ Var(X) = E[X^2] – E[X]^2 = (67)/8 – (441)/(64) = (95)/(64) = 1,4844$

Sia data la seguente seguente funzione: $f(x)=cos(5 tan(x))-cos(5 sin(x))$ calcolare lo sviluppo in serie di Taylor (centrata nel punto $x = 0$) della funzione al quarto ordine $( T_4 ( f , 0 ))$

L’esercizio chiede di calcolare lo sviluppo di Taylor al quarto ordine della funzione; possiamo procedere, in questo caso, senza applicare direttamente la formula del polinomio di Taylor: possiamo calcolare inizialmente gli sviluppi delle funzioni che sono argomento dei coseni, in quanto si tratta di funzioni che presentano sviluppi noti.

In particolare, lo sviluppo al quarto ordine della funzione tangente è il seguente:

$ tg(x) = x + frac(x^3)(3) + o(x^4) $

Mentre per il seno abbiamo:

$ sin(x) = x – frac(x^3)(6) + o(x^4) $

Sostituiamo tali sviluppi nella funzione originale:

$ f(x) = cos(5 (x + frac(x^3)(3) + o(x^4)) ) – cos( 5 (x – frac(x^3)(6) + o(x^4)) ) $

Svolgiamo le moltiplicazioni:

$ f(x) = cos( 5x + frac(5 x^3)(3) + o(x^4)) ) – cos( 5x – frac(5x^3)(6) + o(x^4)) ) $

Possiamo quindi procedere calcolando ora il polinomio di Taylor della funzione coseno; nel caso in cui l’argomento del coseno è $y$, si ha il seguente sviluppo:

$ cos(y) = 1 – frac(y^2)(2) + frac(y^4)(24) – …. + frac((-1)^n x^(2n))( (2n)! ) + o(x^(2n)) $

Tenendo conto degli argomenti delle funzioni coseno, per ottenere uno sviluppo di Taylor al quarto ordine della funzione, possiamo sviluppare i coseni al quarto ordine:

$ f(x) = 1 – frac( (5x + frac(5 x^3)(3) + o(x^4))^2)(2) + frac((5x + frac(5 x^3)(3) + o(x^4))^4)(24) + o(x^4) – $

$ [1 – frac((5x – frac(5x^3)(6) + o(x^4))^2)(2) + frac((5x – frac(5 x^3)(6) + o(x^4))^4)(24) + o(x^4) ] $

Procediamo con lo svolgimento; nel calcolo delle potenze possiamo omettere tutti i monomi con $x$ di grado superiori al quarto, che vengono inglobati all’interno dell’o-piccolo.

$ f(x) = 1 – 1/2 (25x^2 + frac(50)(3) x^4) + 1/(24) ( 25x^2 + frac(50)(3) x^4 )^2 + o(x^4) – [1 – 1/2 ( 25x^2 – (25)/3 x^4) + 1/(24)( 25x^2 – (25)/3 x^4 )^2 + o(x^4)] = $

$1 – (25)/2 x^2 – frac(25)(3) x^4 + 1/(24) ( 625 x^4 ) + o(x^4) – [1 – (25)/2 x^2 + (25)/6 x^4 + 1/(24) ( 625 x^4 ) + o(x^4)] = $

$1 – (25)/2 x^2 – frac(25)(3) x^4 + (625)/(24) x^4 + o(x^4) – [1 – (25)/2 x^2 + (25)/6 x^4 + (625)/(24) x^4 + o(x^4)] = $

$1 – (25)/2 x^2 – frac(25)(3) x^4 + (625)/(24) x^4 + o(x^4) – 1 + (25)/2 x^2 – (25)/6 x^4 – (625)/(24) x^4 + o(x^4) $

Eliminando i termini opposti si ottiene:

$ – frac(25)(3) x^4 – (25)/6 x^4 + o(x^4) = – (75)/6 x^4 + o(x^4) = – (25)/2 x^4 + o(x^4) $

La figura a fianco rappresenta il tragitto fatto da Pluto per andare dalla sua cuccia, posta in $A$ , al bar, posto in $D$ . I tre segmenti …

La figura a fianco rappresenta il tragitto fatto da Pluto per andare dalla sua cuccia, posta in $A$ , al bar, posto in $D$ . I tre segmenti $AB$ , $BC$ e $CD$ sono lunghi $100$ metri ciascuno. Se l’angolo $\hat{ABC}$ (interno al triangolo $ABC$ ) è di $120°$ e l’angolo $\hat{BCD}$ (interno al triangolo $BCD$ ) è di $60°$ , quanto dista in linea retta il bar dalla cuccia?

Svolgimento

Sappiamo per ipotesi che:

$AB = BC = CD = 100 m$

$ \hat{ABC} = 120° $

$ \hat{BCD} = 60° $

Il problema chiede di determinare la distanza fra la cuccia posta nel punto $A$ e il bar posto nel punto $D$ , cioè la lunghezza del segmento $AD$ .

Poiché sappiamo già che $AB$ misura $100 m$ , dobbiamo solo trovare la lunghezza di $BD$ .

Consideriamo il triangolo $BCD$ : possiamo calcolare l’ampiezza dell’angolo $\hat{CBD}$ sottraendo all’angolo piatto l’ampiezza di $\hat{ABC}$.

Quindi:

$\hat{CBD} = 180° – \hat{CBD} = 180° – 120° = 60° $

Il triangolo $BCD $ ha quindi due angoli di $60°$ , e avrà di questa ampiezza anche il terzo.

Di conseguenza, il triangolo in questione è equilatero.

Essendo i suoi lati tutti uguali, possiamo affermare che $BC = CD = BD = 100 m$ .

Di conseguenza la distanza che separa il punto $A$ dal punto $D$ è

$ AB + BD = 100 m + 100 m = 200 m $

In un triangolo $ABC$ di base $CB$ , prolunga la mediana $AM$ fino al punto $S$, esterno al triangolo, intersezione della mediana con la semiretta avente origine in $B$ e tale che gli angoli …

In un triangolo $ABC$ di base $CB$ , prolunga la mediana $AM$ fino al punto $S$, esterno al triangolo, intersezione della mediana con la semiretta avente origine in $B$ e tale che gli angoli $\hat{ACB}$ e $\hat{MBS}$ abbiano la stessa ampiezza.

Dimostra che $ MS = AM $ .

Svolgimento

Disegniamo il triangolo descritto dal problema:

triangolo

Per ipotesi sappiamo che:

$ CM = MB $ perché segmenti generati dalla mediana $AM$ ;
$\hat{AMC} = \hat{BMS} $ perché angoli opposti al vertice;
$\hat{ACM} = \hat{MBS} $ per ipotesi.

Di conseguenza, i triangoli $ACM$ e $BMS$ hanno due angoli e il lato fra essi compreso congruenti.

Possiamo quindi affermare che, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, che essi sono congruenti.

Quindi risulterà che anche il lato $SM$ è congruente a $MA$ , poiché sono opposti a due angoli congruenti.

In questo modo abbiamo dimostrato che $ MS = AM $ .

Determinare il valore della seguente espressione letterale : $ [(-1/3 a^2)^2 – (1 + 2a) – (-a)^2 ] – (1/9 a^4 – a^2 – 3) – (-2)^2 $

^{Determinare il valore della seguente espressione letterale :}

^{$ [(-1/3 a^2)^2 – (1 + 2a) – (-a)^2 ] – (1/9 a^4 – a^2 – 3) – (-2)^2 $}

^Svolgimento

^{Cominciamo togliendo le parentesi tonde e cambiando segno ai monomi; calcoliamo le potenze:}

^{$ 1/9 a^4 – 1 – 2a – a^2 – 1/9 a^4 + a^2 + 3 – 4 $}

^{Sommiamo i termini simili:}

^{$ 1/9 a^4 – 1 – 2a – a^2 – 1/9 a^4 + a^2 + 3 – 4 = $}

^{$ -1 – 2a + 3 – 4 = -2 – 2a $}

Semplificare la seguente espressione letterale: $ (- a^(2n))^2 + (a^(3n))^2 – (a^6)^n + a^(4n)$

Semplificare la seguente espressione letterale:

$ (- a^(2n))^2 + (a^(3n))^2 – (a^6)^n + a^(4n)$

Svolgimento

Moltiplichiamo gli indici delle potenze e togliamo le parentesi tonde:

$ a^(2n * 2) + a^(3n * 2) – a^(6n) + a^(4n) $

Calcoliamo i prodotti:

$ a^(4n) + a^(6n) – a^(6n) + a^(4n) $

Semplifichiamo i termini simili:

$ a^(4n) + a^(6n) – a^(6n) + a^(4n) = 2 a^(4n)$

Semplificare la seguente espressione letterale: $ (3/4 a b^2 x^4 y^2) : (- 1/3 a b x^4) $

Semplificare la seguente espressione letterale:

$ (3/4 a b^2 x^4 y^2) : (- 1/3 a b x^4) $

Svolgimento

Cominciamo togliendo le parentesi tonde e calcolando la divisione; dobbiamo quindi moltiplicare la prima frazione con l’inverso della seconda:

$ 3/4 a b^2 x^4 y^2 * ( – frac(3)(a b x^4) ) $

Semplificando si ottiene :

$ – frac(9)(4) by^2 $

Risolvere la seguente espressione: $ 3/5 a x^3 – (+ 1/3 a^3 x) + 3/2 x^3 a – 5/3 x a^3 – (- 1/2 a^3 x) $

Risolvere la seguente espressione:

$ 3/5 a x^3 – (+ 1/3 a^3 x) + 3/2 x^3 a – 5/3 x a^3 – (- 1/2 a^3 x) $

Svolgimento

Cominciamo togliendo le parentesi tonde:

$ 3/5 a x^3 – 1/3 a^3 x + 3/2 x^3 a – 5/3 x a^3 + 1/2 a^3 x $

Sommiamo i termini simili:

$ (3/5 + 3/2) a x^3 + (- 1/3 – 5/3 + 1/2) a^3 x $

Svolgiamo i calcoli dentro le parentesi tonde:

$ frac(6 + 15)(10) a x^3 + frac(-2 – 10 + 3)(6) a^3 x $

$ frac(21)(10) a x^3 + frac(9)(6) a^3 x $

Semplifichiamo:

$ frac(21)(10) a x^3 + frac(3)(2) a^3 x $

Sono dati i seguenti insiemi: $ A = { x ∈ ℜ : -1 <= x <= 10}$ $ B = { x ∈ ℜ : -7 <= x <= 1}$ $ C = { x ∈ ℜ : x > 2}$ …

Sono dati i seguenti insiemi:

$ A = { x ∈ ℜ : -1 <= x <= 10}$

$ B = { x ∈ ℜ : -7 <= x <= 1}$

$ C = { x ∈ ℜ : x > 2}$

Fornire una rappresentazione schematica degli insiemi;
Calcolare l’insieme $ A ∩ B $
Determinare l’insieme $ A ∪ C $ ;
Calcolare la differenza tra due insiemi : $ C – B $
Determinare gli elementi dell’insieme $ (A ∪ B) ∩ C $ ;

Svolgimento (1)

Rappresentiamo schematicamente questi insiemi:

insiemi

Ricordiamo che:

per intersezione di due insiemi si intende l’insieme degli elementi appartenenti sia ad $A$ che a $B$ ;
per unione di due insiemi si intende l’insieme di tutti gli elementi appartenenti ad $A$ o a $B$ .

Svolgimento (2)

Calcoliamo l’intersezione tra i due insiemi: $ A ∩ B $

I due insiemi hanno in comune solo i numeri $-1$ , $0$ , $1$ ; quindi l’insieme che si formerà sarà composto solo da questi tre elementi.

intersezione_di_insiemi

$ A ∩ B = { x ∈ Z : -1 <= x <= 1 }$

Svolgimento (3)

Calcoliamo l’unione dell’insieme $A$ e dell’insieme $C$ : $ A ∪ C $

Prendiamo tutti gli elementi di $A$ e di $C$ :

unione_di_insiemi

$ A ∪ C = { x ∈ Z : x >= -1 }$

Svolgimento (4)

Calcoliamo la differenza tra due insiemi: $ C – B $

La differenza di due insiemi sarà l’insieme degli elementi di $C$ che non appartengono a $B$ ; poiché non ci sono elementi in comune tra i due insiemi, la differenza sarà data dai soli elementi di $C$ .

$ C – B = C = { x ∈ Z : x > 2 }$

Svolgimento (5)

Calcoliamo $ (A ∪ B) ∩ C $

Per prima cosa dobbiamo determinare l’insieme $ A ∪ B $, cioè l’insieme degli elementi di $A$ più gli elementi di $B$ .

$ A ∪ B = {x ∈ Z : -7 <= x <= 10}$

A questo punto possiamo determinare l’intersezione tra i due insiemi, cioè gli elementi che questi hanno in comune:

L’insieme risultante sarà quindi

$ (A ∪ B) ∩ C = { x ∈ Z : 3 <= x <= 10 }$

Calcolare il valore del polinomio $x^3 – 2x^2 + 4x – 5 $ per i seguenti valori di x:….

Calcolare il valore del polinomio $x^3 – 2x^2 + 4x – 5 $ per i seguenti valori di x:

$ x = 0$ , $ x = 1$ , $ x = – 1$ , $ x = 2$ , $ x = 1/2$ .

Svolgimento

Per calcolare il valore del polinomio $x^3 – 2x^2 + 4x – 5 $ avendo diversi valori della variabile, dobbiamo sostituire questi valori alla x del polinomio stesso.

Cominciamo dal caso $ x = 0 $ :

$ x = 0 to 0^3 – 2 * 0^2 + 4 * 0 – 5 = – 5$

Passiamo ora al caso $ x = 1 $ :

$ x = 1 to 1^3 – 2 * 1^2 + 4 * 1 – 5 = – 2$

Determiniamo il valore del polinomio per $ x = – 1 $ :

$ x = – 1 to (-1)^3 – 2 * (-1)^2 + 4 * (-1) – 5 = – 12$

Troviamo il valore per $ x = 2$ :

$ x = 2 to 2^3 – 2 * 2^2 + 4 * 2 – 5 = 3 $

Concludiamo, infine, con $ x = 1/2 $ :

$ x = 1/2 to (1/2)^3 – 2 * (1/2)^2 + 4 * (1/2) – 5 = – frac(27)(8) $

Costruire la tabella di verità della seguente implicazione logica: $ ( p ∧ q ) to ( p ∨ \bar{q}) $

Svolgimento

Per quanto riguarda l’implicazione ricordiamo che l’enunciato risulterà falso solo nel caso in cui $p$ sia vero e $q$ sia falso, mentre è vero in tutti gli altri casi.

Per comodità costruiamo prima le tabelle delle due parti dell’enunciato:

tabella_di_verità

Ora la tabella generale:

tabella_di_verità

Costruire la tabella di verità della seguente funzione logica : $ p ∨ ( p ∧ \bar{q}) $

Svolgimento

Consideriamo che sia $p$ che $q$ possono essere veri o falsi e prendiamo in analisi i vari casi.

Ricordiamo che $\bar{q}$ è la negazione di $q$ .

In presenza della disgiunzione logica ( $∨$ ) l’enunciato è vero se almeno uno dei due enunciati è vero, mentre è falso se entrambi sono falsi; in caso di congiunzione dei due enunciati ( $∧$ ) l’enunciato è vero se $p$ e $q$ sono contemporaneamente veri, mentre è falso negli altri casi.

Costruiamo una tabella prendiamo prima in esame la seconda parte della formula, cioè $( p ∧ \bar{q}) $.

tabella_di_verità

A questo punto possiamo risolvere l’intera formula:

tabella_di_verità

Una classe è composta da 29 alunni, dei quali 6 hanno preso la sufficienza allo scritto, 8 all’orale …

Una classe è composta da 29 alunni, dei quali 6 hanno preso la sufficienza allo scritto, 8 all’orale; mentre 18 hanno un’insufficienza sia allo scritto che all’orale.

Trovare il numero di alunni che ha una sufficienza sia allo scritto che all’orale. Costruire un diagramma di Eurelo-Venn per rappresentare la situazione della classe.

Svolgimento

Se 18 alunni hanno preso a tutte e due le verifiche un’insufficienza, significa che rimangono 11 alunni che possono aver preso una insufficienza ad una sola prova o una sufficienza a tutte e due.

Possiamo quindi impostare un grafico di Eulero-Venn considerando un’ insieme di 11 elementi.

diagramma_di_Eurelo-Venn

Di questi, 8 hanno preso la sufficienza all’orale:

diagramma_di_Eurelo-Venn

Ora rimangono tre elementi: questi possono essere solo ragazzi che hanno preso una sufficienza allo scritto, poiché l’insieme generale degli undici ragazzi comprendeva coloro che avevano preso la sufficienza ad una sola prova o a tutte e due.

Di conseguenza, possiamo dedurre che solo tre alunni sono riusciti ad avere una sufficienza a tutte e due le prove.

diagramma_di_Eurelo-Venn

Data la funzione $ f : ℜ to ℜ $ definita da $f(x) = 2x+5$ , analizzare il tipo di funzione e stabilire se essa è iniettiva, suriettiva e biiettiva …

Data la funzione $ f : ℜ to ℜ $ definita da $f(x) = 2x+5$ , analizzare il tipo di funzione e stabilire se essa è iniettiva, suriettiva e biiettiva; se opportuno, determinare la funzione inversa.

Calcolare poi:

– $f(g(x))$

– $g(f(x))$

– $g(f^(-1)(x))$

– $ f(f(x))$

– $ g(g(x))$

dove $g(x)$ è la funzione $ g(x) = x^2 $ .

Svolgimento (0)

La funzione $ f : R to R $ definita da $f(x) = 2x+5$ è una retta.

Di conseguenza possiamo affermare che essa sia iniettiva, poiché prendendo valori distinti della variabile indipendente si ottengono immagini distinte.

In particolare

$ ∀ x_1 , x_2 ∈ A : x_1 ≠ x_2 ⇔ f(x_1) ≠ f(x_2) $

E’ suriettiva, poiché il suo insieme di arrivo corrisponde al codominio, cioè ogni elemento dell’insieme di arrivo è un’immagine di almeno un elemento del dominio.

E’ quindi biiettiva, poiché è sia suriettiva che iniettiva.

La funzione inversa è una funzione simmetrica a quella di partenza rispetto la bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Poiché la nostra funzione è biettiva, è sicuramente invertibile. L’equazione di $f^(-1) (x)$ può essere trovata in questo modo:

$f(x) = 2x+5 to y = 2x + 5$

Ricaviamo x dall’equazione:

$ 2x = y – 5 to x = frac(y – 5)(2) $

Invertiamo $x$ con $y$ :

$ y = frac(x – 5)(2) $

Svolgimento (1)

Ora data la funzione $g(x) = x^2 $ determiniamo $f(g(x))$ .

Per farlo basta sostituire $g(x)$ alla variabile indipendente della nostra funzione di partenza.

$ y = 2x + 5 to y = 2 * g(x) + 5 $

$ y = 2 * x^2 + 5 to y = 2x^2 + 5 $

Svolgimento (2)

Consideriamo $g(f(x))$ : sostituiamo alla $x$ di $g(x)$ la funzione $f(x)$ :

$ y = x^2 to y = (2x + 5)^2$

$ y = 4x^2 + 20x + 25 $

Svolgimento (3)

Consideriamo $g(f^(-1)(x))$ : dobbiamo sostituire alla variabili indipendente di $g(x)$ la funzione $f^(-1)(x)$ che abbiamo trovato in precedenza.

$ y = x^2 to y = (frac(x – 5)(2))^2$

$ y = frac(x^2 – 10x + 25)(4) $

Svolgimento (4)

Consideriamo $ f(f(x))$ : si sostituisce alla variabile indipendente di $f(x)$ la finzione stessa $f(x)$ :

$ y = 2x + 5 to y = 2 * (2x + 5) + 5 $

$ y = 4x + 10 + 5 to y = 4x + 15 $

Svolgimento (5)

La stessa cosa si fa per $g(g(x))$ :

$ y = x^2 to y = (x^2)^2$

$ y = x^4$

E’ data la seguente relazione: $ x ℜ y ⇔ $ $x$ ha la stessa mamma di $y$ Dire se si tratta di una relazione di equivalenza; dire se la relazione è anche funzione …

E’ data la seguente relazione: $ x ℜ y ⇔ $ $x$ ha la stessa mamma di $y$

Dire se si tratta di una relazione di equivalenza; dire se la relazione è anche funzione e, in tal caso, s essa è iniettiva, suriettiva e biiettiva.

Svolgimento

Nel determinare le proprietà che soddisfa la relazione, possiamo affermare che è presente la proprietà riflessiva, poiché nell’insieme degli esseri umani un qualsiasi individuo ha la stessa mamma di se stesso.

Di conseguenza, escludiamo la proprietà antiriflessiva.

Sarà soddisfatta anche la proprietà simmetrica, poiché prendendo un elemento $x$ in relazione con un elemento $y$ , possiamo affermare che anche $y$ è in relazione con $x$ (se $x$ ha la stessa mamma di $y$ , $y$ ha la stessa mamma di $x$ ).

Di conseguenza, non è possibile la proprietà antisimmetrica.

La relazione gode della proprietà transitiva, perché se $x$ ha la stessa mamma di $y$, e $y$ ha la stessa mamma di $z$ , allora anche $x$ avrà la stessa mamma di $z$.

L’insieme preso in esame gode quindi della relazione di equivalenza, poiché sono soddisfatte le proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica.

Una relazione tra due insiemi di dice funzione se ogni elemento di un insieme è in relazione con uno e un solo elemento dell’altro.

Per questo, la corrispondenza che ad un essere umano associa la propria madre è una funzione.

Tuttavia, non esiste la funzione inversa, poichè si avrebbe una relazione che associa ad ogni madre un figlio, ma può capitare che una madre ne abbia più di uno.

La funzione considerata è suriettiva, poichè ogni elemento dell’insieme di arrivo (la madre) è un’immagine di almeno un elemento dell’insieme di partenza (l’essere umano).

La funzione non è iniettiva, poiché è possibile che più esseri umani abbiano la stessa madre.

Di conseguenza, non è biiettiva, poiché è suriettiva ma non iniettiva.

Un treno parte da fermo e, con accelerazione costante, raggiunge in $2.0 min$ la velocità di $150 (km)/h$ . Dopo aver viaggiato per $1 h$ e $30$ min a velocità costante inizia a frenare …

Un treno parte da fermo e, con accelerazione costante, raggiunge in $2.0 min$ la velocità di $150 (km)/h$ . Dopo aver viaggiato per $1 h$ e $30$ min a velocità costante inizia a frenare fino a fermarsi con un’accelerazione di $ – 0,60 m/s^2 $.

Calcola l’accelerazione nei primi due minuti.
Calcola la distanza percorsa nei primi due minuti.
Quanti kilometri ha percorso il treno complessivamente?

Svolgimento (1)

Per ricavare l’accelerazione facciamo ricorso alla formula $ a = v/t$ ; dato che l’accelerazione è espressa in $ m/s^2$ , dobbiamo trasformare il tempo in secondi e la velocità in $m/s$ :

$ 2,0 min = 2,0 * 60 = 120 s $

$ 150 (km)/h = 150 * frac(1000)(3600) = 41,67 m/s $

A questo punto applichiamo la formula:

$ a = v/t = frac(41,67 m/s)(120 s) = 0,347 m/s^2 $

Svolgimento (2)

Per calcolare la distanza percorsa, dobbiamo applicare la seconda legge oraria del moto uniformemente accelerato: $s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 $ , tenendo presente che lo spazio iniziale ($ s_0 $) è zero, poiché il treno parte da fermo, lo stesso vale per la velocità iniziale ( $v_0$).

$s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 = 0 + 0 * 120 s + 1/2 * 0,347 m/s^2 * (120 s)^2 = $

$ 1/2 * 0,347 m/s^2 * (120 s)^2 = 2498,4 m $

Essendo una grande distanza, possiamo trasformarla in km:

$ 2498,4 m = frac(2498,4)(1000) = 2,4984 km $

Svolgimento (3)

Dopo i primi due minuti il treno viaggia per $1 h$ e $30$ min alla velocità costante di $150 (km)/h$ .

Per calcolare lo spazio percorso, facciamo riferimento alle formule del moto rettilineo uniforme, quindi $ s = v * t $ .

Prima però dobbiamo trasformare il tempo tutto in ore:

$ 1 h 30 min = 1 h + 30 min = 1 h + 0,5 h = 1,5 h $

$ s = v * t = 150 (km)/h * 1,5 h = 225 km$

A questo punto, però il treno comincia a fermarsi e rallenta con una decelerazione di $ – 0,60 m/s^2 $ .

Prima di determinare lo spazio occorre saper il tempo che il treno impiega per fermarsi.

$ t = frac(∆v)(a) = frac(v_f – v_i)(a) = frac(0 m/s – 41,67 m/s)(- 0,60 m/s^2) = frac(- 41,67 m/s)(- 0,60 m/s^2) = 69,45 s $

A questo punto applichiamo la seconda legge oraria:

$ s = v_0 t + 1/2 at^2 = frac(150)(3,6) * 69,45 + 1/2 * (- 0,60 m/s^2) * (69,45 s)^2 = $

$ 2893,75 m – 1446,99 = 11446,76 m = 1,447 km $

Per trovare lo spazio totale che percorre il treno, sommiamo le distanze percorse nei tre intervalli di tempo ( i primi due minuti, l’ora e trenta minuti, l’ultimo tratto, in cui il treno decelera):

$ s_(TOT) = 225 km + 2,4984 km + 1,447 km = 228,94 km $

Un automobilista fermo ad un semaforo riparte nell’istante in cui scatta il verde con accelerazione costante di $2.2 m/s^2$ . Contemporaneamente un pullman sulla corsia adiacente …

Un automobilista fermo ad un semaforo riparte nell’istante in cui scatta il verde con accelerazione costante di $2.2 m/s^2$ . Contemporaneamente un pullman sulla corsia adiacente che viaggia alla velocità costante di 11 m/s sorpassa l’automobile.

Dopo quanto tempo l’automobile raggiunge il pullman?
Con quale velocità l’automobile sorpassa il pullman?

Svolgimento (1)

L’automobile raggiungerà il pullman quando i loro spazi saranno uguali. Dobbiamo, quindi, uguagliare due equazioni in modo che la nostra incognita sia il tempo. Per il pullman sappiamo che, dato che si tratta di un moto rettilineo uniforme, $ s = v * t $ , quindi $s = 11 * t $ .

Per quanto riguarda l’automobile, visto che si tratta di un moto uniformemente accelerato, ricorriamo alla seconda legge oraria $ s = 1/2 a t^2 $ , quindi :

$ s = 1/2 * 2,2 * t^2 = 1,1 t^2$ .

Uguagliamo le due equazioni:

$ 11t = 1,1 t^2$

$ 1,1 t^2 – 11 t = 0 $

Risolviamo con la legge di annullamento del prodotto:

$ t = 0 ∨ t = frac(11)(1,1) = 10 s$

Ignoriamo $t = 0$ e consideriamo $t = 10 s$ .

Svolgimento (2)

Per calcolare la velocità dell’automobile, consideriamo la prima legge oraria del moto uniformemente accelerato $v = v_0 + at $ , dove $v_0$ è zero perché la macchina parte da ferma.

$v = v_0 + at = 0 + 2,2 m/s^2 * 10 s = 22 m/s $

Un vigile urbano viaggia in moto alla velocità di $36 (km)/h$ , e viene superato da un’automobile alla velocità di $72 km/h$ . Il vigile accelera al massimo per raggiungerlo ma nello stesso istante ….

Un vigile urbano viaggia in moto alla velocità di $36 (km)/h$ , e viene superato da un’automobile alla velocità di $72 (km)/h$ . Il vigile accelera al massimo per raggiungerlo ma nello stesso istante anche l’automobilista accelera per fuggire.

La massa del vigile e della moto è di $300 kg$ e la forza massima del suo motore è $6.0 kN$ . La massa del guidatore e dell’automobile è $900 kg$ e la forza massima del suo motore è $12 kN$ .

Dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere il guidatore?

Svolgimento

Prima di tutto, trasformiamo le velocità in m/s, perché ci saranno più comode in seguito:

$ 36 (km)/h = frac(36)(3,6) = 10 m/s $

$ 72 (km)/h = frac(72)(3,6) = 20 m/s $

Ora calcoliamo con quale accelerazione i guidatori avanzano quando accelerano, usando la formula della seconda legge della dinamica:

$ F = m * a to a = F/m $

$ a_v = frac(F_v)(m_v) = frac(6,0 kN)(300 kg) = frac(6000 N)(300 kg) = 20 N/(kg) $

$ a_a = frac(F_a)(m_a) = frac(12 kN)(900 kg) = frac(12000 N)(900 kg) = 13,3 N/(kg) $

A questo punto, dobbiamo calcolare dopo quanto tempo il vigile riesce a raggiungere il guidatore; questo accadrà quando entrambi avranno percorso lo stesso spazio.

Quindi troviamo lo spazio di entrambi con la formula del moto uniformemente accelerato ($s = s_0 + v_0 t + 1/2 at^2 $ ), poi li uguagliamo creando così un’equazione, che risolvendo, ci permetterà di trovare il tempo impiegato.

$s_v = v_0 t + 1/2 at^2 = 10 t + 1/2 * 20 * t^2 = 10 t + 10 t^2$

$s_a = v_0 t + 1/2 at^2 = 20 t + 1/2 * 13,3 * t^2 = 20 t + 6,65 t^2$

Poniamo $ s_a = s_v $

$ 10 t + 10 t^2 = 20 t + 6,65 t^2$

Risolviamo e troviamo il tempo:

$ 10 t + 10 t^2 – 20 t – 6,65 t^2 = 0$

$ 3,35 t^2 – 10 t = 0 $

Con la legge di annullamento del prodotto si ottiene:

$ t = 0 ∨ t = frac(10)(3,35) = 2,98 s $

Escludiamo il risultato nullo e consideriamo $t = 2,98 s$ .

Due pattinatori, Francesco e Alba, sono fermi uno di fronte all’altro nel mezzo di una pista ghiacciata. Francesco, che ha una massa di $70 kg$ , spinge Alba, che ha una massa di $50 kg$ , con una forza di $30 N$…

Due pattinatori, Francesco e Alba, sono fermi uno di fronte all’altro nel mezzo di una pista ghiacciata. Francesco, che ha una massa di $70 kg$ , spinge Alba, che ha una massa di $50 kg$ , con una forza di $30 N$ .

Calcola le accelerazioni di Alba e di Francesco.
Calcola la distanza fra i due pattinatori dopo $2s$ .

Svolgimento (1)

Prendiamo in considerazione la formula della seconda legge della dinamica e da qui ricaviamo la formula inversa, dell’accelerazione:

$ F = m * a to a = F/m $

$ a_F = frac(F)(m_F) = frac(30 N)(70 kg) = 0,42 N/(kg) $

$ a_A = frac(F)(m_A) = frac(30 N)(50 kg) = 0,6 N/(kg) $

Tuttavia, poiché Alba è spinta da Francesco e si muove all’indietro, la sua accelerazione è da considerarsi negativa.

$ a_A = – 0,6 N/(kg) $

Svolgimento (2)

Per calcolare la distanza fra i due pattinatori, dobbiamo prendere in considerazione il terzo principio della dinamica, secondo il quale quando un oggetto $A$ esercita una forza su un oggetto $B$ , anche $B$ esercita una forza su $A$ e queste forze sono uguali e opposte.

Quindi calcoliamo lo spazio che percorrono entrambi i pattinatori in due secondi.

$s_F = 1/2 at^2 = 1/2 * 0,42 m/s^2 * (2 s)^2 = 0,84 m $

$s_A = 1/2 at^2 = 1/2 * 0,6 m/s^2 * (2 s)^2 = 1,2 m $

Pur essendo sottoposti alla stessa forza, Francesco, essendo più pesante, subirà una spinta minore di Alba. La distanza totale sarà data dalla somma delle due.

$ s_(TOT) = s_F + s_A = 0,84 m + 1,2 m = 2,04 m $

Un locomotore di massa pari a $3,6 * 10^4 kg $ traina un vagone di massa pari a un terzo della propria. Esso esercita sui binari una forza di valore pari a $6.4 kN$ , producendo un’accelerazione …

Un locomotore di massa pari a $3,6 * 10^4 kg $ traina un vagone di massa pari a un terzo della propria. Esso esercita sui binari una forza di valore pari a $6.4 kN$ , producendo un’accelerazione dell’intero sistema locomotore + vagone.

locomotore

Qual è l’accelerazione del sistema?
Calcolare il valore della forza esercitata dal locomotore sul vagone.
Calcolare il valore della forza esercitata dal vagone sul locomotore.
Quale il valore totale della forza sul locomotore?

Svolgimento (1)

Per determinare l’accelerazione, facciamo ricorso alla seconda legge della dinamica:

$ F = m*a to a = F/m$

$ a = F/m = frac(6,4 kN)(3,6 * 10^4 kg) = frac(6400 N)(3,6 * 10^4 kg) = 0,133 N/(kg) $

Svolgimento (2)

Sappiamo che la forza è data dalla massa per l’accelerazione. Per trovare la forza esercitata dal locomotore sul vagone, dobbiamo sottrarre dalla forza totale la forza del locomotore:

$ F_1 = m*a = 3,6 * 10^4 kg * 0,133 N/(kg) = 4788 N $

$ F – F_1 = 6400 N – 4788 N = 1612 N = 1,6 kN $

Svolgimento (3)

In base al terzo principio della dinamica, quando un oggetto $A$ esercita una forza su un oggetto $B$ , anche $B$ esercita una forza su $A$ e queste forze sono uguali e opposte.

Proprio per questo, il vagone esercita la stessa forza sul locomotore, di $1,6 kN$ .

Svolgimento (4)

Per trovare il valore totale della forza esercitata dal locomotore, procediamo come nel punto 2:

$ F_2 = m*a = 1,2 * 10^4 kg * 0,133 N/(kg) = 1596 N $

$ F – F_2 = 6400 N – 1596 N = 4804 N = 4,8 kN $

Un pistone in un cilindro orizzontale ben lubrificato si muove con un attrito trascurabile. La massa del pistone è di $420 g$ . Il pistone, inizialmente fermo, è soggetto a una forza costante di $15.0 N$ per un intervallo di $0.12 s$ ….

Un pistone in un cilindro orizzontale ben lubrificato si muove con un attrito trascurabile. La massa del pistone è di $420 g$ . Il pistone, inizialmente fermo, è soggetto a una forza costante di $15.0 N$ per un intervallo di $0.12 s$ .

Determina:

l’accelerazione del pistone durante l’azione della forza;
la velocità del pistone quando ha termine l’azione della forza;
la distanza percorsa dal pistone durante l’azione della forza.

Svolgimento (1)

Ricaviamo l’accelerazione dalla formula della seconda legge della dinamica:

$ F = m * a to a = F/m$

$ a = F/m = frac(15,0 N)(420 g) = frac(15,0 N)(0,42 kg) = 35,7 N/(kg) $

Svolgimento (2)

Ricaviamo la velocità dalla formula $ v = a * t $ :

$ v = a * t = 35,7 m/s^2 * 0,12 s = 4,28 m/s $

Svolgimento (3)

Per la distanza usiamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato:

$s = 1/2 at^2 = 1/2 * 35,7 m/s^2 * (0,12 s)^2 = 25 m $

Un’automobile di massa $800 kg$ parte da ferma con un’accelerazione di $0,50 m/s^2 $ e la mantiene per $10 s$ . Poi prosegue a velocità costante per $15 s$ …

Un’automobile di massa $800 kg$ parte da ferma con un’accelerazione di $0,50 m/s^2 $ e la mantiene per $10 s$ . Poi prosegue a velocità costante per $15 s$ .

Determina il valore della forza totale che agisce in ognuno dei tratti indicati.
Calcola la velocità finale raggiunta.
Calcola la distanza totale percorsa.

Svolgimento (1)

In base al secondo principio della dinamica la forza è data dalla formula $ F = m * a $ :

$ F = m * a = 800 kg * 0,50 N/(kg) = 400 N $

Successivamente l’automobile prosegue a velocità costante, quindi la sua accelerazione è pari a zero, quindi anche la forza che agisce su di essa è uguale a zero.

$ F_2 = m * a = 800 kg * 0 N/(kg) = 0 N $

Svolgimento (2)

Possiamo trovare la velocità dalla formula dell’accelerazione $ a = v/t $ :

$ a = v/t to v = a * t = 0,50 m/s^2 * 10 s = 5,0 m/s $

Svolgimento (3)

Per determinare la distanza percorsa nel primo tratto, usiamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato:

$s = 1/2 at^2 = 1/2 * 0,50 m/s^2 * (10 s)^2 = 25 m $

Per la distanza del secondo tratto, invece, la formula del moto rettilineo uniforme:

$ s_2 = v * t = 5,0 m/s * 15 s = 75 m $

Lo spazio totale sarà quindi

$ s_(TOT) = s_1 + s_2 = 25 m + 75 m = 100 m $

Una motocicletta di massa $200 kg$ , inizialmente ferma, raggiunge la velocità di $30 m/s$ in $10 s$ . Quanto vale l’intensità della forza che ha agito nell’intervallo di tempo considerato? …

Una motocicletta di massa $200 kg$ , inizialmente ferma, raggiunge la velocità di $30 m/s$ in $10 s$ .

Quanto vale l’intensità della forza che ha agito nell’intervallo di tempo considerato?
Se la motocicletta avesse continuato la sua corsa a velocità costante, quanto sarebbe stata l’intensità della forza che ha agito su di essa?
Quale distanza ha percorso la motocicletta nello stesso tempo?

Svolgimento (1)

Per trovare l’intensità della forza che ha agito sulla motocicletta, applichiamo la formula $F = m * a $ . Prima troviamo l’accelerazione:

$ a = v/t = frac(30 m/s)(10s) = 3 m/s^2$

Possiamo esprimere l’accelerazione anche come $N/(kg)$ .

$ F = m * a = 200 kg * 3 N/(kg) = 600 N $

Svolgimento (2)

Se la motocicletta avesse continuato la sua corsa a velocità costante, la forza che agirebbe su di essa sarebbe nulla, infatti poiché viaggia a velocità costante l’accelerazione è pari a zero.

$ F = m * a = 200 kg * 0 N/(kg) = 0 N $

Svolgimento (3)

In questo caso, consideriamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato:

$s = 1/2 at^2 = 1/2 * 3 m/s^2 * (10 s )^2 = 150 m $

Una gru ha un braccio di $25 m$ . All’estremità del braccio si trova un carrello mobile di massa pari a $50 kg$ , a cui è agganciato un carico di $340 kg$ …

Una gru ha un braccio di $25 m$ . All’estremità del braccio si trova un carrello mobile di massa pari a $50 kg$ , a cui è agganciato un carico di $340 kg$ .

gru_e_leve

Qual è l’intensità della forza-peso del sistema formato dal carrello e dal carico?
Qual è il valore del momento della forza-peso, rispetto all’inizio del braccio, nella situazione descritta?
Il carrello è spostato lungo il braccio della gru finché il momento della forza-peso si riduce a $72 * 10^3 N*m$ : a che distanza dall’inizio del braccio si trova ora il carrello?

Svolgimento (1)

La forza-peso si trova moltiplicando la massa per l’accelerazione di gravità:

$ F_P = m * g = (50 kg + 340 kg) * 9,8 m/s^2 = 3822 N = 3,8 * 10^3 N $

Svolgimento (2)

Il modulo del momento di una forza è dato dal prodotto della forza per il braccio:

$ M = F * b = 3822 N * 25 m = 95550 N * m = 9,5 * 10^4 N*m $

Svolgimento (3)

Dobbiamo trovare la lunghezza del nuovo braccio; utilizziamo quindi la formula del punto precedente e ricaviamo la formula inversa:

$ M = F * b to b = M/F$

$ b = M/F = frac(72 * 10^3 N*m)(3,8 * 10^3 N) = 18,94 m $

Claudio e Francesco, di massa rispettivamente $40 kg$ e $51 kg$ , stanno giocando con un’altalena. Claudio è seduto a un estremo dell’altalena a una distanza di $1.2 m$ dal fulcro centrale …

Claudio e Francesco, di massa rispettivamente $40 kg$ e $51 kg$ , stanno giocando con un’altalena.

Claudio è seduto a un estremo dell’altalena a una distanza di $1.2 m$ dal fulcro centrale.

Calcola a quale distanza da Claudio deve sedersi Francesco affinché l’altalena sia in equilibrio in posizione orizzontale e non ruoti.

leva

Svolgimento

Per risolvere il problema, dobbiamo prima trovare la distanza di Francesco dal fulcro, che corrisponde ad uno dei due bracci.

Indichiamo Claudio come forza motrice e Francesco come forza resistente. Il braccio che dobbiamo trovare, quindi, è quello resistente.

$ F_M : F_R = b_R : b_M$

$ b_R = frac(F_M * b_M)(F_R) = frac(40 kg * 1,2 m)(51 kg) = 0,94 m $

A questo punto, per trovare la distanza fra Claudio e Francesco, basta sommare i due bracci:

$ d( C ; F ) = b_R + b_M = 0,94 m + 1,2 m = 2,14 m $

Nella figura è rappresentata una leva sottoposta all’azione di una forza resistente di $12 N$ …. Di che genere è la leva? E’ vantaggiosa o svantaggiosa? …

Nella figura è rappresentata una leva sottoposta all’azione di una forza resistente di $12 N$ .

leva_vantaggiosa

Quanto vale l’intensità della forza motrice in grado di equilibrare la forza resistente?
Di che genere è la leva?
E’ vantaggiosa o svantaggiosa?

Svolgimento (1)

Sapendo che una leva è in equilibrio quando il momento della forza resistente è uguale al momento della forza motrice, possiamo facilmente trovare la forza motrice; il problema fornisce, infatti, la lunghezza del braccio motore (dal fulcro alla forza motrice) e del braccio resistente (dal fulcro alla forza resistente).

$ F_R * b_R = F_M * b_M $

$ F_M = frac(F_R * b_R)(b_M) = frac(12 N * 8,0 cm)((32 + 8,0) cm) = frac(96 N*cm)(40 cm) = 2,4 N $

Svolgimento (2)

Poiché la forza resistente si trova tra il fulcro e la forza motrice e il braccio resistente è più corto del braccio motore, questa leva è di secondo genere.

Svolgimento (3)

Le leve sono vantaggiose quando la forza motrice è minore di quella resistente e quando il braccio motore è maggiore di quello resistente, per questo tutte le leve di secondo genere sono sempre vantaggiose.

Due operai devono trasportare una cassa del peso di $1000 N$ , appoggiata su un’asta lunga $2.0 m$ e di peso trascurabile. La cassa dista $80 cm$ da uno dei due operai. Quanto valgono le intensità delle forze …

Due operai devono trasportare una cassa del peso di $1000 N$ , appoggiata su un’asta lunga $2.0 m$ e di peso trascurabile. La cassa dista $80 cm$ da uno dei due operai.

Quanto valgono le intensità delle forze che devono applicare gli operai per poterla sostenere?
Quale dei due operai deve applicare la forza di intensità maggiore?

forza_applicata

Svolgimento (1)

Il problema fornisce i seguenti dati: la somma delle distanze ( $2.0 m$ ), uno delle due distanze ( $0.8 m$), la somma delle forze ( $1000 N$ ).

Possiamo ricavare la prima distanza facendo la differenza fra la distanza totale e la prima.

$ d_2 = d_(TOT) – d_1 = 2,0 m – 0,8 m = 1,2 m $

Per trovare le intensità delle forze che devono applicare gli operai possiamo impostare una proporzione e sfruttare la regola del comporre:

$ (F_1 + F_2) _ F_1 = (d_2 + d_1) : d_2 $

$ 1000 N : F_1 = 2,0 m : 1,2 m $

$ F_1 = frac(1000 N * 1,2 m)(2,0 m ) = 600 N $

Per trovare l’altra forza, facciamo la differenza fra la forza totale e la forza 1:

$ F_2 = F_(TOT) – F_1 = 1000 N – 600 N = 400 N $

Svolgimento (2)

Sapendo che, quando si ha a che fare con forze parallele concorde, la forza risultante è più vicina alla forza più intensa, possiamo affermare che l’operaio che eserciterà la forza maggiore è quello che dista dalla cassa $0.8 m$ .

I valori delle forze sono $F_2 = 200 N $ e $F_1 = 100 N $ . Inoltre la distanza fra il punto di applicazione della risultante e quello della forza $F_2 $ è …

I valori delle forze sono $F_2 = 200 N $ e $F_1 = 100 N $ . Inoltre la distanza fra il punto di applicazione della risultante e quello della forza $F_2 $ è $d_2 = 0,60 m $ .

Trovare il valore della risultante.
A quale distanza dalla forza $F_1$ risulta applicata la forza risultante?

forze_e_forza_risultante

Svolgimento (1)

Per trovare il valore della risultante, cioè la forza totale, basta fare la somma delle due forze, poiché queste sono parallele concordi:

$F_(TOT) = F_1 + F_2 = 100 N + 200 N = 300 N $

Svolgimento (2)

Il secondo punto chiede di trovare la seconda distanza, che sarà sicuramente maggiore della prima, poiché il punto di applicazione è più vicino alla forza maggiore.

Applichiamo quindi la proporzione:

$ F_2 : F_1 = d_1 : d_2 $

$ 200 N : 100 N = d_1 : 0,60 m $

$ d_1 = frac(200 N * 0,60 m )(100 N) = 1,2 m $

La rampa di carico di un magazzino permette di superare un dislivello di $1.5 m$. Su di essa è fermo un carrello, la cui massa è di $130 kg$ . Per trattenere il carrello occorre esercitare una forza, parallela alla rampa, di $91 N$ …

La rampa di carico di un magazzino permette di superare un dislivello di $1.5 m$. Su di essa è fermo un carrello, la cui massa è di $130 kg$ . Per trattenere il carrello occorre esercitare una forza, parallela alla rampa, di $91 N$ .

Qual è la lunghezza della rampa?

piano_inclinato

Svolgimento

Per trovare la lunghezza della rampa, quindi l’ipotenusa del triangolo, utilizziamo la formula $ F_(||) = F_P * h/l $.

Da questa ricaviamo la formula inversa per trovare la lunghezza:

$ F_(||) = F_P * h/l to l = frac(F_P * h/l)(F_(||)) $

Per poter risolvere questa equazione, abbiamo bisogno della forza peso, che possiamo ricavare tramite la massa:

$F_P = m * g = 130 kg * 9,8 N/(kg) = 1274 N $

$ l = frac(F_P * h/l)(F_(||)) = frac(1274 N * 1,5 m)(91 N) = 21 m $

Il rapporto tra il peso di un uomo sulla Terra e il peso dello stesso uomo su Mercurio è $2.6$ . Il suo peso sulla Terra è $686 N$ …

Il rapporto tra il peso di un uomo sulla Terra e il peso dello stesso uomo su Mercurio è $2.6$ . Il suo peso sulla Terra è $686 N$ .

Quanto vale la costante di proporzionalità fra la forza-peso e la massa su Mercurio?
Qual è la massa dell’uomo?
Quanto peserebbe lo stesso uomo sulla Luna?

$ (g_(Luna) = 1,6 N/(kg) ) $

Svolgimento (1)

Sappiamo che il rapporto tra il peso di un uomo sulla Terra e il peso dello stesso uomo su Mercurio è $2.6$ , quindi:

$ frac(P_T)(P_M) = frac(m_T * g_T)(m_M * g_M) $

Poiché la massa del corpo è sempre la stessa, possiamo semplificare:

$ frac(g_T)(g_M) = 2,6 $

Quindi la costante di proporzionalità fra la forza-peso e la massa su Mercurio sarà data dal rapporto fra la forza di gravità terrestre ( $9,8 N/(kg)$ ) e il rapporto tra il peso di un uomo sulla Terra e il peso dell’uomo su Mercurio:

$ g_M = frac(g_T)(2,6) = frac( 9,8 N/(kg))(2,6) = 3,77 N/(kg)$

Svolgimento (2)

Per trovare la massa dell’uomo usiamo la formula $F_P = m * g $ , e prendiamo in considerazione la forza peso e la gravità terrestre, perché sono quelli di cui disponiamo.

$F_P = m * g to m = frac(F_P)(g) = frac(686 N)(9,8 N/(kg)) = 70 kg $

Svolgimento (3)

Applichiamo la stessa formula per sapere il peso dell’uomo sulla luna, sapendo che la forza di gravità sulla luna è pari a $1,6 N/(kg)$.

$F_P = m * g = 70 kg * 1,6 N/(kg) = 112 N $

Un mulino a vento fa girare il suo perno, che ha un diametro di $40 cm$ , con un periodo di $11 s$ . Il perno azione una macina che acquista una velocità di $0.63 m/s$ . Calcola …

Un mulino a vento fa girare il suo perno, che ha un diametro di $40 cm$ , con un periodo di $11 s$ . Il perno azione una macina che acquista una velocità di $0.63 m/s$ . Calcola:

Il valore della velocità del perno;
Il valore dell’accelerazione centripeta del perno;
Il diametro della macina;
Il valore dell’accelerazione centripeta della macina.

Svolgimento (1)

Poiché abbiamo il periodo ( $11 s$ ) e il raggio del perno ( $20 cm$ ), possiamo risalire facilmente alla sua velocità:

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 0,2 m)(11 s) = 0,114 m/s$

Svolgimento (2)

L’accelerazione centripeta è data dalla formula $ a_c = frac(v^2)(r) $:

$ a_c = frac(v^2)(r) = frac((0,114 m/s)^2)(0,2 m) = 0,06498 m/s^2 $

Svolgimento (3)

Possiamo ricavare il raggio della macina dalla formula della sua velocità:

$ v = frac(2πr)(T) to r = frac(v * T)(2π) = frac(0,63 m/s * 11 s)(2 * 3,14) = 1,1 m $

Il diametro sarà quindi $ 1,1 m * 2 = 2,2 m $ .

Svolgimento (4)

L’accelerazione centripeta si trova utilizzando la formula $ a_c = frac(v^2)(r) $.

$ a_c = frac(v^2)(r) = frac((0,63 m/s)^2)(1,1 m) = 0,36 m/s^2 $

In una centrifuga da laboratorio le provette si muovono di moto circolare uniforme con un’accelerazione centripeta di $ 1,4 * 10^5 m/s^2$ . La distanza delle provette dal centro di rotazione …

In una centrifuga da laboratorio le provette si muovono di moto circolare uniforme con un’accelerazione centripeta di $ 1,4 * 10^5 m/s^2$ . La distanza delle provette dal centro di rotazione della centrifuga è di $10 cm$ .

Qual è il valore della velocità delle provette?
Quanto vale la velocità angolare delle provette?
Calcola il periodo del moto delle provette.

Svolgimento (1)

Possiamo ricavare la formula della velocità è data dalla formula dell’accelerazione $ a_c = frac(v^2)(r) $ :

$ a_c = frac(v^2)(r) to v^2 = a_c * r to v = sqrt(a_c * r)$

$ v = sqrt(a_c * r) = sqrt(1,4 * 10^5 m/s^2 * 0,1 m ) = 118,32 m/s $

Svolgimento (2)

Possiamo ricavare anche la formula della velocità angolare dalla formula dell’accelerazione $ a_c = omega^2 * r $ :

$ a_c = omega^2 * r to omega^2 = frac(a_c)(r) to omega = sqrt(frac(a_c)(r)) $

$ omega = sqrt(frac(a_c)(r)) = sqrt(frac(1,4 * 10^5 m/s^2)(0,1 m)) = 1183,21 (rad)/s $

Svolgimento (3)

Possiamo ricavare il periodo dalla formula della velocità, dato che questa già l’abbiamo trovata.

$ v = frac(2πr)(T) to T = frac(2πr)(v) = frac(2 * 3,14 * 0,1 m)(118,32 m/s) = 0,0053 s $

Il raggio medio di una pulsar, ultimo stadio evolutivo di alcuni tipi di stelle, è di circa $15 km$. Le pulsar ruotano molto rapidamente intorno al proprio asse …

Il raggio medio di una pulsar, ultimo stadio evolutivo di alcuni tipi di stelle, è di circa $15 km$. Le pulsar ruotano molto rapidamente intorno al proprio asse ed emettono onde radio. Per esempio, la pulsar $PSR1749$ emette un impulso radio ogni $0.5626451 s$ .

Qual è la frequenza di rotazione della $PSR1749$ ?
Qual è il valore della velocità di un punto sull’equatore della $PSR1749$ ?

Svolgimento (1)

Poiché sappiamo che la pulsar emette un impulso radio ogni $0.5626451 s$ , per trovare la frequenza, cioè, in questo caso, gli impulsi al secondo, basta impostare una proporzione:

$ 1_(IMP) : 0.5626451 s = x : 1 s $

$ x = frac(1_(IMP) * 1 s)(0.5626451 s) = 1,77731_(IMP)$

La pulsar, quindi, emette $1.77731$ impulsi radio ogni secondo, e questa è la sua frequenza.

Oppure, più semplicemente, dato che il problema fornisce già il periodo, possiamo ricavare la frequenza così:

$F = frac(1)(T) = frac(1)(0.5626451 s) = 1.77731 Hz$

Svolgimento (2)

La formula della velocità è $ v = frac(2πr)(T) $ ; poiché il raggio è espresso in $km$ , occorrerà prima trasformarlo in metri, e scriverlo in notazione esponenziale per semplificare i conti:

$ 15 km = 15000 m = 1,5 * 10^4 m $

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 1,5 * 10^4 m)(0.5626451 s) = 16,74 * 10^4 m/s $

Un oggetto si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio $30 cm$ e compie $1$ giro completo in $1.5 s$ …

Un oggetto si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio $30 cm$ e compie $1$ giro completo in $1.5 s$ . Considera il moto armonico che si ottiene proiettando su un diametro della circonferenza le posizione occupate dall’oggetto durante il suo moto.

Calcola il periodo e la frequenza del moto armonico.
Calcola il valore della pulsazione.
Disegna il grafico spazio-tempo relativo a tale moto.

Svolgimento (1)

Nel moto armonico, il periodo di oscillazione è la durata di un’oscillazione completa, cioè l’intervallo di tempo che intercorre tra due massimi consecutivi.

Mentre nel moto circolare, è il tempo che si impiega per fare un giro completo.

Il problema, quindi fornisce il periodo del moto circolare ( $1.5 s$ ), che corrisponde anche a quello del moto armonico.

La frequenza è data dalla formula : $ F = 1/T$

Sostituendo i valori numerici si ha:

$ F = frac(1)(T) = frac(1)(1,5 s) = 0,667 s^(-1) = 0,667 Hz $

Svolgimento (2)

Per calcolare il valore della pulsazione usiamo la formula : $ omega = frac(2π)(T) $

Sostituendo i valori numerici si ha:

$ omega = frac(2π)(T) = frac(2π)(1,5 s) = 4,19 (rad)/s $

Svolgimento (3)

Il grafico spazio tempo potrebbe essere così:

grafico_spazio_tempo

Un pendolo verticale a molla è costruito come nello schema qui sotto … Determina il periodo e la frequenza del moto armonico dell’oggetto …

Un pendolo verticale a molla è costruito come nello schema qui sotto. L’oggetto appeso alla molla percorre il tragitto dal punto più alto al punto più basso della traiettoria in $0.770 s$ .

Determina il periodo e la frequenza del moto armonico dell’oggetto.
Traccia uno schizzo del grafico spazio-tempo di questo moto .

Svolgimento (1)

Nel moto armonico, il periodo di oscillazione è la durata di un’oscillazione completa, cioè l’intervallo di tempo che intercorre tra due tra due massimi consecutivi.

Nel nostro caso il problema fornisce l’intervallo di tempo dal punto più alto al punto più basso della traiettoria. Per ottenere il periodo, basta moltiplicare questo dato per due. .

$ T = 0,770 * 2 = 1,54 s $

Svolgimento (2)

Un esempio di grafico spazio-tempo, potrebbe essere questo:

grafico_spazio_tempo

Nel passare il pallone ad un compagno, un giocatore di pallacanestro descrive con il braccio un arco di circonferenza di ampiezza $60.0°$ in $0.750 s$ …

Nel passare il pallone ad un compagno, un giocatore di pallacanestro descrive con il braccio un arco di circonferenza di ampiezza $60.0°$ in $0.750 s$ , a velocità approssimativamente costante. La lunghezza del braccio del giocatore è di $80.0 cm$ .

Calcola con quale velocità viene lanciato il pallone.
Qual è il valore dell’accelerazione centripeta impressa al pallone durante la rotazione del braccio?

Svolgimento (1)

La formula della velocità è $ v = frac(2πr)(T) $ . Dobbiamo quindi determinare il periodo, cioè, il tempo che si impiega a fare un giro completo, di $360°$ , basta quindi impostare una proporzione:

$ 60° : 0,750 s = 360° : x $

$ x = frac(0,750 s * 360°)(60°) = 4,5 s $

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 0,8 m)(4,5 s) = 1,11 m/s $

Svolgimento (2)

Possiamo usare due formule per determinare l’accelerazione centripeta: $ a_c = frac(v^2)(r) $ o $a_c = omega^2 * r $ . Poiché abbiamo sia la velocità che il raggio, conviene utilizzare la prima formula.

$ a_c = frac(v^2)(r) = frac((1,11 m/s)^2)(0,8 m) = 1,54 m/s^2 $

Un elicottero sta scaldando il motore, e le pale, ciascuna di $5.70 m$ di lunghezza, ruotano a una velocità angolare di $6.28 (rad)/s$ . Un’ape è appoggiata su una delle pale a $3.00 m$ dal rotore…

Un elicottero sta scaldando il motore, e le pale, ciascuna di $5.70 m$ di lunghezza, ruotano a una velocità angolare di $6.28 (rad)/s$ . Un’ape è appoggiata su una delle pale a $3.00 m$ dal rotore.

Qual è l’accelerazione centripeta dell’ape?
L’ape si sposta fino all’ estremità della pala e scivola. Con quale velocità viene proiettata lontano?

Svolgimento (1)

L’accelerazione centripeta si ottiene dalla formula $ a_c = frac(v^2)(r) $.

Per prima cosa quindi cerchiamo di determinare la velocità.

La velocità si ottiene dalla formula $ v = frac(2πr)(T) $ ; sappiamo che il raggio è $3.00 m$, poiché questa è la distanza che separa l’ape dal rotore.

La velocità angolare è data dalla formula $ omega = frac(∆ alpha)(∆t) $ .

Noi non conosciamo il valore di $∆ alpha$, cioè l’angolo al centro, per questo prendiamo in considerazione l’angolo giro, di $360°$ .

Poiché l’angolo al centro si ricava dalla formula $ ∆ alpha = l/r $ , cioè la lunghezza dell’arco fratto il raggio, la lunghezza dell’arco sarà la lunghezza della circonferenza.

Quindi:

$ ∆ alpha = l/r = C/r = frac(2πr)(r) = 2π $

Possiamo considerare l’intervallo di tempo $∆t$ come il periodo $T$ . In questo modo, la formula della velocità angolare diventa:

$ omega = frac(∆ alpha)(∆t) to omega = frac(2π)(T) $

Quindi, per ricavare il periodo usiamo la formula inversa:

$ T = frac(2π)(omega) = frac(2 * 3,14)(6,28 (rad)/s) = 1 s $

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 3 m)(1 s) = 18,84 m/s $

$ a_c = frac(v^2)(r) = frac((18,84 m/s)^2)(3 m) = 118,31 m/s^2 $

In alternativa, possiamo ricorrere alla formula $ a_c = omega^2 * r $ . In questo caso, avendo tutti i dati, possiamo velocemente arrivare alla conclusione:

$ a_c = omega^2 * r = (6,28 (rad)/s)^2 * 3 m = 118,31 m/s^2 $

Svolgimento (2)

A questo punto, l’ape si trova all’estremità della pala, quindi il raggio da considerare è la lunghezza della pala stessa ( $5.70 m$).

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 5,7 m)(1 s) = 35,79 m/s $

Una pattinatrice rotea su se stessa compiendo $42$ giri al minuto. Durante l’esecuzione, tiene i gomiti verso l’esterno: la distanza tra i gomiti è di $0.60 m$ . Quali sono la frequenza e il periodo del moto della pattinatrice? …

Una pattinatrice rotea su se stessa compiendo $42$ giri al minuto. Durante l’esecuzione, tiene i gomiti verso l’esterno: la distanza tra i gomiti è di $0.60 m$ .

Quali sono la frequenza e il periodo del moto della pattinatrice?
Con quale velocità e con quale accelerazione si muovono i gomiti della pattinatrice?

Svolgimento (1)

Sapendo che la pattinatrice ruota su se stessa compiendo $42$ giri al minuto, possiamo trasformare questo dato nella frequenza calcolando i giri che compie al secondo:

$ F = 42 g/(min) = frac(42 giri)(60 s) = 0,7 Hz $

Per trovare il periodo, basta applicare la formula $ T = 1/F $ :

$ T = 1/F = frac(1)(0,7 Hz) = 1,42 s $

Svolgimento (2)

Per calcolare la velocità, si applica la formula $ v = frac(2πr)(T) $ ; sapendo che la distanza fra i gomiti, e quindi il diametro, misura $0.60 m$ , possiamo facilmente risalire al raggio :

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 0,30 m)(1,42 s) = 1,31 m/s $

Per calcolare l’accelerazione, usiamo la formula $a = frac(v^2)(r) $ :

$a = frac(v^2)(r) = frac((1,31 m/s)^2)(0,30 m) = 5,72 m/s^2 $

I lettori di CD-ROM possono essere classificati in base alla tecnologia di fabbricazione: …

I lettori di CD-ROM possono essere classificati in base alla tecnologia di fabbricazione: CLV (Constant Linear Velocity) o CAV (Constant Angular Velocity).

I lettori di questa ultima tipologia, mantenendo costante la velocità di rotazione del disco, presentano una velocità di trasferimento dei dati variabile.

Un normale lettore CD a tecnologia CAV fa ruotare il disco a una frequenza di circa $5000$ giri/min. Considera un settore inciso del CD-ROM posizionato a $4.00 cm$ dal centro del disco.

Calcola la velocità di quel settore.

Svolgimento

In un moto circolare uniforme, la velocità è data dalla formula $ v = frac(2πr)(T) $ .

Il problema fornisce la frequenza, cioè numero di giti nell’unità di tempo, che non è il minuto, ma il secondo.

In questo caso, il disco compie $5000$ giri/min, basterà quindi trasformare questo dato.

$ F = 5000 g/(min) = frac(5000 giri)(60 s) = 83,3 g/s $

Il periodo è dato dalla formula $T = 1/F $ :

$ T = 1/F = frac(1)(83,3) = 0,012 s $

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 0,04 m)(0,012 s) = 20,93 m/s $

Una piattaforma rotante ha un raggio di $50 cm$ e descrive un angolo di $90°$ in un intervallo di tempo pari a $0.60 s$ . Calcola …

Una piattaforma rotante ha un raggio di $50 cm$ e descrive un angolo di $90°$ in un intervallo di tempo pari a $0.60 s$ . Calcola:

il valore della velocità angolare;
la frequenza di rotazione della piattaforma;
il periodo di rotazione della piattaforma;
il modulo della velocità di un oggetto che si trova sul bordo della piattaforma.

Svolgimento (1)

Il problema riguarda il moto circolare uniforme. In questo caso, la velocità angolare è data dalla formula $ omega = frac(∆ alpha)(∆t) $ ; prendiamo quindi in considerazione l’angolo di $90°$ e il tempo di $0.60 s$.

Per questa formula, però dobbiamo considerare la misura dell’angolo non in gradi ma in radianti.

Sappiamo che un angolo di $90°$ corrisponde a $π/2 rad $ , quindi circa $ 1,57 rad$ .

$ omega = frac(∆ alpha)(∆t) = frac(1,57 rad)(0,60 s) = 2,61 (rad)/s $

Svolgimento (2)

La frequenza è data dal rapporto fra uno e il periodo ( $ F = 1/T$ ).

Poiché il problema fornisce un tempo relativo ad un arco di circonferenza con un angolo al centro di $90°$ e il periodo è relativo all’angolo giro, di $360°$ , per ottenere il periodo basterà moltiplicare il tempo per $4$ :

$ T = 0,6 s * 4 = 2,4 s $

$ F = 1/T = frac(1)(2,4 s) = 0,316 s^(-1) = 0,416 Hz $

Svolgimento (3)

Il periodo lo abbiamo già trovato e corrisponde a $ 2,4 s$.

Svolgimento (4)

La velocità angolare è data dalla formula $ v = frac(2πr)(T) $ .

Il raggio è $50 cm$ , che corrispondono a $0.5 m$ , il periodo è $2,4 s $ .

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 0,5 m)(2,4 s) = 1,308 m/s $

Per questo punto avremo potuto utilizzare anche un’altra formula, forse più veloce.

La formula $ v = frac(2πr)(T) $ potrebbe anche essere scritta $ v = (frac(2π)(T)) r $.

Sappiamo però che la formula della velocità angolare, oltre a quella scritta in precedenza, è $ omega = frac(2π)(T) $ , quindi possiamo scrivere $v = omega * r $ .

In questo modo la formula si semplifica:

$v = omega * r = 2,61 (rad)/s = 0,5 m = 1,305 m/s $

La distanza media Venere-Sole è di $ 1,1 * 10^8 km $ . Il periodo orbitale è di $224.70$ giorni. Quanto vale il valore della sua velocità media? …

La distanza media Venere-Sole è di $ 1,1 * 10^8 km $ . Il periodo orbitale è di $224.70$ giorni.

Quanto vale il valore della sua velocità media?
Quanto la velocità angolare di rotazione attorno al sole?

( Assumi che l’orbita di Venere intorno al Sole sia circolare. )

Svolgimento (1)

Dato che Venere compie un moto circolare intorno al Sole, la sua distanza da questo rappresenta il raggio della circonferenza.

Scegliamo di esprimere la velocità in $m/s$ e trasformiamo le grandezze:

$ r = 1,1 * 10^8 km = 1,1 * 10^8 * 10^3 m = 1,1 * 10^(11) m $

Trasformiamo il tempo in ore:

$ T = 224,70 d = 224,70 * 24h = 5392,8 h $

Trasformiamo il tempo in minuti:

$ 5392,8 h = 5392,8 * 60 min = 323568 min $

Trasformiamo il tempo in secondi:

$ 323568 min = 323568 * 60 s = 19414080 s $

Nel moto circolare uniforme la velocità è data dalla formula $ v = frac(2πr)(T) $ ; per semplificare i calcoli, scriviamo il periodo in forma esponenziale:

$ 19414080 = 1,9414080 * 10^7 s $

$ v = frac(2πr)(T) = frac(2 * 3,14 * 10^(11) m)(1,9414080 * 10^7 s) = 3,558 * 10^4 m/s $

Svolgimento (2)

La velocità angolare è data dalla formula $ omega = frac(∆ alpha)(∆t) $ .

Noi non conosciamo il valore di $∆ alpha$ , cioè l’angolo al centro, per questo prendiamo in considerazione l’angolo giro, di $360°$ .

Poiché l’angolo al centro si ricava dalla formula $∆ alpha = l/r $ , cioè la lunghezza dell’arco fratto il raggio, la lunghezza dell’arco sarà la lunghezza della circonferenza.

Quindi:

$ ∆ alpha = l/r = C/r = frac(2πr)(r) = 2π $

Possiamo considerare l’intervallo di tempo $∆t$ come il periodo $T$.

In questo modo, la formula della velocità angolare diventa:

$ omega = frac(∆ alpha)(∆t) to omega = frac(2π)(T) $

La velocità angolare è espressa in $ (rad)/s $ :

$ omega = frac(2π)(T) = frac(2 * 3,14)(1,9414080 * 10^7 s) = 3,23 * 10^(-7) (rad)/s $

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