Per risolvere questo tipo di equazioni con i numeri complessi, è utile trattare tali numeri esprimendoli in forma esponenziale; a tal proposito, ricordiamo che vale la seguente uguaglianza per ogni numero complesso $z$:

\[ z = \rho \cdot e^{i \theta} \]

dove $rho$ è il modulo del numero complesso, mentre $theta$ è l’angolo che sulla circonferenza goniometrica rappresenta tale numero.

Prima di procedere alla sostituzione, però, dobbiamo modificare la frazioni al secondo membro, che altrimenti non siamo in grado di rappresentare; svolgiamo, quindi, il quadrato al numeratore:

$frac((1 + i)^2)(1 – i) = frac( 1 + i^2 + 2i )(1 – i)$

Ricordiamo la relazione fondamentale, per cui $i^2 = -1$:

$ frac( 1 + i^2 + 2i )(1 – i) = frac( 1 – 1 + 2i )(1 – i) = frac(2i)(1 – i)$

Al fine di rappresentare tale numero in forma trigonometrica, è necessario renderlo della forma $ a + ib$, cioè dobbiamo rendere il denominatore reale; per farlo, possiamo moltiplicare e dividere la frazione per la quantità $ 1 + i $:

$ frac(2i)(1 – i) = frac(2i)(1 – i) * frac(1+i)(1+i)$

Svolgiamo la moltiplicazione:

$ frac(2i(1+i))((1 – i)(1+i)) = frac(2i – 2)(1+1) = frac(2i – 2)(2) =$
$ = i – 1$

Ora possiamo determinare la forma esponenziale di tale numero complesso; ricordiamo che vale la seguente uguaglianza:

$ z = rho * e^(i phi) = rho ( cos(phi) + i sin(phi))$

Il modulo del numero complesso vale:

$ rho = sqrt(1^1 + (-1)^2) = sqrt2 $

Quindi dobbiamo trovare un angolo $theta$ per cui:

$ sqrt2 cos(phi) = -1 to cos(phi) = – frac(sqrt2)(2) $
$ sqrt2 sin(phi) = 1 to sin(phi) = frac(sqrt2)(2) $

Risulta evidente che tale angolo è $ 3/4 pi $.
Quindi, siamo ora in grado di rappresentare tutti i termini che compaiono nell’equazione:

$frac((1 + i)^2)(1 – i) = sqrt2 * e^(i 3/4 pi) $
$z^4 = (rho * e^(i theta))^4 = rho^4 * e^(i 4theta) $
$\bar{z} = rho * e^( – i theta) $

Procediamo, quindi, sostituendo alla nostra equazione i numeri complessi in forma esponenziale:

$rho^4 * e^(i 4theta) = sqrt2 * e^(i 3/4 pi) * rho * e^( – i theta) $

Possiamo moltiplicare i termini al secondo membro:

$rho^4 * e^(i 4theta) = sqrt2 rho * e^(i 3/4 pi – i theta) $

Affinché l’uguaglianza sia valida, è necessario che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

${(rho^4 = sqrt2 rho),(e^(i 4theta) = e^(i 3/4 pi – i theta)) :}$

Dalla prima equazione possiamo ricavare il modulo del numero complesso che soddisfa l’equazione:

$ rho^4 = sqrt2 rho to rho^4 – sqrt2 rho = 0$
$ rho ( rho^3 – sqrt2) = 0 $

Quindi otteniamo i seguenti valori di $rho$:

$ rho = 0$
$ rho^3 – \sqrt{2} = 0 to rho^3 =\sqrt2 to rho = root(6)(2) $

Risolviamo ora la seconda equazione:

$ e^(i 4theta) = e^(i 3/4 pi – i theta) $

Eguagliamo gli esponenti, tenendo presente che vanno considerati anche gli angoli multipli di $360°$:

$ 4theta = 3/4 pi – theta + 2kπ $
$ 5theta = 3/4 pi + 2kπ to theta = 3/(20) π + 2/5 kπ $

Procediamo determinando i valori degli angoli che identificano i numeri complessi cercati; sostituiamo, quindi, i seguenti valori del parametro $k$:

$ k = 0 to theta = 3/(20) π $
$ k = 1 to theta = (11)/(20) π $
$ k = 2 to theta = (19)/(20) π $
$ k = 3 to theta = (27)/(20) π $
$ k = 4 to theta = (35)/(20) π $

Dopo tale valore di $k$ si otterrebbe di nuovo il primo angolo.
Determiniamo ora i numeri complessi relativi a tali angoli:

$ z_0 = 0$
$ z_1 = root(6)(2) e^{\frac{3}{20} pi i } $
$ z_2 = root(6)(2) e^{\frac{11}{20} pi i } $
$ z_3 = root(6)(2) e^{\frac{19}{20} pi i } $
$ z_4 = root(6)(2) e^{\frac{27}{20} pi i } $
$ z_5 = root(6)(2) e^{\frac{35}{20} pi i } $

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Per risolvere l’equazione non è conveniente utilizzare la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Procediamo, quindi, rappresentando il numero complesso $z$ nella forma $ a + ib$, e sostituendo all’interno dell’equazione; ricordiamo che se $ z = a + ib$, allora si ha che:

$ \bar{z} = a – ib$
$ |z| = sqrt(a^2 + b^2) $

Procediamo con la sostituzione:

$ (a + ib)^2 = ( a – ib )^2 * (4 (sqrt(a^2 + b^2))^2 – 1 ) $

Svolgiamo i calcoli a primo e secondo membro:

$ a^2 + (ib)^2 + 2abi = (a^2 + (-ib)^2 – 2abi) * (4 (a^2 + b^2) – 1 ) $

Ricordiamo la relazione fondamentale per cui $ i^2 = -1$:

$ a^2 – b^2 + 2abi = (a^2 – b^2 – 2abi) * (4 a^2 + 4b^2 – 1 ) $

Svolgiamo il prodotto a secondo membro:

$ a^2 – b^2 + 2abi = 4a^4 + 4a^2b^2 – a^2 – 4a^2b^2 – 4b^4 +b^2 – 8a^3b i – 8 ab^3 i + 2ab i$

$ a^2 – b^2 + 2abi – 4a^4 – 4a^2b^2 + a^2 + 4a^2b^2 + 4b^4 – b^2 + 8a^3b i + 8 ab^3 i – 2ab i= 0 $

Eliminiamo i termini opposti:

$ a^2 – b^2 + 2abi – 4a^4 + a^2 + 4b^4 – b^2 + 8a^3b i + 8 ab^3 i – 2ab i= 0 $

$ 2a^2 – 2b^2 – 4a^4 + 4b^4 + 8a^3b i + 8 ab^3 i = 0 $

Ora che abbiamo semplificato l’equazione, possiamo procedere al passo successivo: per determinare i valori di $a$ e $b$ che soddisfano l’uguaglianza, dobbiamo uguagliare parti reali e parti immaginarie.
In questo caso, quindi, deve valere il seguente sistema:

$ {(8a^3b + 8 ab^3 = 0), (2a^2 – 2b^2 – 4a^4 + 4b^4 = 0):} $

Dalla prima equazione si ha:

$ a^3b + ab^3 = 0 $

Mettiamo in evidenza il termine $ab$:

$ ab (a^2 + b^2) = 0 $

Poiché il secondo fattore è sempre positivo o nullo, l’uguaglianza è verificata per $ ab = 0$, ovvero $ a = 0 V b = 0$.
Studiamo, quindi, cosa accade nella seconda equazione per i valori di $a$ e $b$ determinati al passo precedente:

$ a = 0 to – 2b^2 + 4b^4 = 0 $

Risolviamo in $b$:

$ – b^2 + 2b^4 = 0 to 2b^4 – b^2 = 0 $
$ b^2 (2b^2 – 1) = 0 $

Da cui si ottengono i seguenti valori di $b$:

$ b^2 = 0 to b = 0$
$ 2b^2 – 1 = 0 to b^2 = 1/2 to b = pm frac(1)(sqrt2) $

Applichiamo lo stesso procedimento nel caso $ b = 0$:

$ b = 0 to 2a^2 – 4a^4 = 0 $
$ a^2 – 2a^4 = 0 to 2a^4 – a^2 = 0 $

$ a^2 (2a^2 – 1) = 0 $

Da cui si ottengono i seguenti valori di $a$:

$ a^2 = 0 to a = 0$
$ 2a^2 – 1 = 0 to a^2 = 1/2 to a = pm frac(1)(sqrt2) $

Concludiamo, quindi, che i numeri complessi che soddisfano l’equazione iniziale sono quelli per cui:

$ b = 0 , a = pm frac(1)(sqrt2) $

ovvero:

$ z_(1,2) = pm frac(1)(sqrt2) $

e quelli per cui:

$ a = 0 , b = pm frac(1)(sqrt2) $

ovvero:

$ z_(3,4) = pm i frac(1)(sqrt2) $

E’ inoltre valida anche la soluzione nulla, ovvero $z=0$.

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Per risolvere un’equazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso $z$ può essere scritto in questo modo:

$ z = rho e^(i theta)$

dove $rho$ rappresenta il modulo di $z$, mentre $theta$ è un angolo che rappresenta l’argomento del numero complesso.
L’angolo $theta$ servirà per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:

$ e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta) $

Vediamo, quindi, come esprimere in forma esponenziale tutti i termini della nostra equazione.

$ (iz)^3 = i^3 * z^3 $

Iniziamo dal termine $i^3$ ; dalla relazione fondamentale si ha che $i^2 = -1$, quindi:

$i^3 = i^2 * i = – i $

Tale numero complesso può essere rappresentato da $ e^( 3/2 π i)$, infatti:

$ e^( i 3/2 π) = cos(3/2 π) + i sin(3/2 π) = – i $

Mentre il termine $ z^3$ può essere rappresentato come:

$ z^3= (rho e^(i theta))^3 = rho^3 e^( i 3theta) $

Ora consideriamo i termini $z$ e $\bar{z}$; possiamo esprimere i due termini nel seguente modo:

$ z = rho e^(i theta) , \bar{z} = rho e^( -i theta)$

In quanto se $z$ è espresso da:

$ e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta) $

necessariamente il suo coniugato sarà:

$ cos(theta) – i sin(theta) = e^( – i theta) $

Torniamo ora alla nostra equazione e scriviamo tutti i termini in forma esponenziale:

$ e^( 3/2 π i) * rho^3 e^( i 3theta) = rho e^(i theta) * rho e^(- i theta) $

Svolgiamo i prodotti al primo e al secondo membro:

$ rho^3 * e^( 3/2 π i + i 3theta) = rho^2 * e^(i theta – i theta) $

Da cui si ottiene:

$ rho^3 * e^( i (3/2 π + 3theta)) = rho^2 $

Da questa relazione, procediamo impostando un sistema che rappresenta le condizioni che devono essere verificate per ottenere l’uguaglianza:

$ { ( rho^3 = rho^2 ),( e^( i (3/2 π + 3theta)) = e^0 = 1 ):} $

Nella risoluzione dell’equazione dobbiamo tener conto del fatto che, poiché l’esponente di $z$ massimo è 3, quindi avremo esattamente tre soluzioni.

Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere $ ro = 1 V rho = 0$.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sonho validi tutti gli angoli $theta$ multipli di $360°$.

$ e^( i (3/2 π + 3theta)) = e^0 to 3/2 π + 3theta = 2kπ $

Quindi:

$ 3theta = 2kπ – 3/2 π to theta = frac(2kπ – 3/2 π)(3) $
$ theta = frac(4kπ – 3π)(6) $

Dato che dobbiamo ottenere esattamente tre soluzioni, i valori che può assumere il coefficiente $k$ sono $ 0, 1, 2$.
Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dell’equazione:

$ k = 0 to theta = -π/2 $
$ k = 1 to theta = frac(π)(6) $
$ k = 2 to theta = frac(5π)(6) $

Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi $ z_1$ , $ z_2$, $ z_3$ nella forma $ a + ib$.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo l’uguaglianza:

$ z = e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta) $

Nel primo caso abbiamo:

$ z_1 = cos(-π/2) + i sin(-π/2) = – i $

Nel secondo caso:

$ z_2 = cos(π/6) + i sin(π/6) = frac(sqrt3)(2) + frac(1)(2) i $

Nel terzo caso:

$ z_3 = cos(5π/6) + i sin(5π/6) = – frac(sqrt3)(2) + frac(1)(2) i $

Nel caso $rho=0$ abbiamo la soluzione nulla, ovvero $z=0$.

Come possiamo notare, le soluzioni sono tutte e quattro complesse, a due a due coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un triangolo equilatero.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Per risolvere un’equazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso $z$ può essere scritto in questo modo:

$ z = rho e^(i theta)$

dove $ro$ rappresenta il modulo di $z$, mentre $theta$ è un angolo che rappresenta l’argomento del numero complesso.
L’angolo $theta$ servirà per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:

$ e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta) $

La nostra equazione, quindi, può essere espressa in una nuova forma, più facilmente risolvibile:

$ (rho e^(i theta))^4 = -1 to rho^4 e^( 4i theta) = -1 $

Notiamo che, affinché l’uguaglianza sia verificata, è necessario che $ rho = 1$ e che $ e^(i theta) = e^(iπ) = -1$, in quanto, ricordando la notazione esponenziale, si ha:

$ e^(i pi) = cos(pi) + i sin(pi) = -1 $

Possiamo quindi impostare il seguente sistema:

SISTEMA

Nella risoluzione dell’equazione dobbiamo tener conto del fatto che, poiché l’esponente di $z$ è 4, avremo esattamente quattro soluzioni; ciò significa che i valori che può assumere il coefficiente $k$ sono $ 0, 1, 2, 3$.

Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere $ rho = 1$.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sono validi tutti gli angoli $theta$ multipli di $360°$:

$ e^( 4i theta) = e^(pi) to 4theta = pi + 2kpi $

Quindi:

$ theta = frac(pi + 2k pi)(4) $

Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dell’equazione:

$ k = 0 to theta = π/4 $
$ k = 1 to theta = frac(3π)(4) $
$ k = 2 to theta = frac(5π)(4) $
$ k = 3 to theta = frac(7π)(4) $

Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi $ z_1$ , $ z_2$, $ z_3$ e $ z_4$ nella forma $ a + ib$.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo l’uguaglianza:

$ z = e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta) $

Nel primo caso abbiamo:

$ z_1 = cos(π/4) + i sin(π/4) = frac(sqrt2)(2) + frac(sqrt2)(2) i $

Nel secondo caso:

$ z_2 = cos(3π/4) + i sin(3π/4) = – frac(sqrt2)(2) + frac(sqrt2)(2) i $

Nel terzo caso:

$ z_3 = cos(5π/4) + i sin(5π/4) = – frac(sqrt2)(2) – frac(sqrt2)(2) i $

Infine, la quarta soluzione è:

$ z_4 = cos(7π/4) + i sin(7π/4) = frac(sqrt2)(2) – frac(sqrt2)(2) i $

Come possiamo notare, le soluzioni sono tutte e quattro complesse, a due a due coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un quadrato.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Possiamo risolvere l’equazione con la normale formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:

$ z = frac(3i pm sqrt((3i)^2- 4*(-2)) )(2) $

Ricordiamo la relazione fondamentale per cui $ i^2 = -1$:

$ z = frac(3i pm sqrt( -9 + 8) )(2) = frac(3i pm sqrt( -1) )(2) $

Per determinare il valore di $sqrt(-1)$ possiamo procedere in due modi: possiamo utilizzare la notazione trigonometrica dei numeri complessi, oppure esprimere impostando un’equazione.
Vediamo il primo procedimento.
Sappiamo che un numero complesso $z$ può essere espresso nel seguente modo:

$ z = rho (cos(theta) + i sin(theta)) $

In questo caso, dovendo rappresentare il numero $-1$, il modulo è unitario; dobbiamo quindi trovare un angolo $theta$ tale per cui: $ cos(theta) + i sin(theta) = – 1 $.
In questo caso, tale angolo può essere individuato facilmente, non dovendo fare calcoli aggiuntivi; l’angolo cercato è $ theta = pi $.
Ora, sappiamo che vale la seguente relazione:

$ e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta) $

Nel nostro caso, quindi, abbiamo:

$ – 1 = cos(pi) + i sin(pi ) = e^(i pi) $

Poiché stiamo cercando una rappresentazione del numero $ sqrt(-1)$, e sapendo che:

$ sqrt(-1) = (-1)^(1/2)$

possiamo scrivere:

$ sqrt(-1) = (e^(iπ))^(1/2) = e^(iπ/2) $

Infine, volendo rappresentare tale numero nella forma $a + ib$, possiamo riutilizzare la notazione trigonometrica:

$ sqrt(-1) = e^(i pi/2) = cos(pi/2) + i sin(pi/2) = i $

Vediamo ora il secondo possibile procedimento.
Cerchiamo un numero complesso nella forma $ a + ib$ che sia uguale a $sqrt(-1)$. Impostiamo quindi l’equazione:

$ a + ib = sqrt(-1)$

Eleviamo entrambi i membri al quadrato:

$ (a + ib)^2 = (sqrt(-1))^2$

Otteniamo:

$ (a + ib)^2 = -1 $

L’unico numero complesso che soddisfa tale relazione è appunto $i$ (in realtà anche $-i$ soddisfa tale relazione, ma ai fini del nostro esercizio possiamo non considerare il segno e prendere solo $i$ come soluzione.

Torniamo dunque alla formula risolutiva dell’equazione iniziale, e sostituiamo il valore di $sqrt(-1)$ trovato precedentemente:

$ z = frac(3i pm sqrt( -1) )(2) = frac(3i pm i )(2) $

I due valori di $z$ sono:

$ z_1 = frac(3i + i )(2) = 2i $
$ z_2 = frac(3i – i )(2) = i $

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Per determinare parte reale e parte immaginaria di un numero complesso dobbiamo poter scrivere il numero z nella forma $a+ib$.

In questo caso si ha la differenza di due numeri complessi (coniugati) elevati alla quarta potenza. Per poter scrivere il numero nella forma desiderata, possiamo procedere notando che tale differenza può essere vista come differenza di due quadrati:

$ z = (1+2i)^4 – (1-2i)^4 = [(1+2i)^2]^2 – [(1-2i)^2]^2 $

Ricordiamo che la differenza di due quadrati $a^2 – b^2$ si può scrivere come $(a+b)(a-b)$; nel nostro caso si ottiene:

$ z = [(1+2i)^2]^2 – [(1-2i)^2]^2 = [(1+2i)^2 – (1-2i)^2] * [(1+2i)^2 + (1-2i)^2] $

All’interno delle prime parentesi quadre riconosciamo ancora una volta la differenza di due quadrati; a questo punto, tuttavia, è più conveniente svolgere i quadrati dei numeri complessi, in quinto otterremo diversi termini che si annulleranno a vicenda:

$ z = [1 + 4i^2 + 4i – (1 + 4i^2 – 4i)] * [1 + 4i^2 + 4i + 1 + 4i^2 – 4i] $

Ricordiamo la proprietà dei numeri complessi per cui $i^2 = -1$; procediamo quindi con lo svolgimento delle operazioni all’interno delle parentesi quadre:

$ z = [1 + 4*(-1) + 4i – (1 + 4*(-1) – 4i)] * [1 + 4*(-1) + 4i + 1 + 4*(-1) – 4i] = $
$ [1 – 4 + 4i – (1 – 4 – 4i)] * [1 – 4 + 4i + 1 – 4 – 4i] = $
$ [1 – 4 + 4i – 1 + 4 + 4i] * [1 – 4 + 4i + 1 – 4 – 4i] = $
$ [ 8i] * [- 6] = – 48 i $

Possiamo ora determinare quale la parte reale e la parte immaginaria del numero $z$:

$ Re(z) = 0 , Im(z) = – 48 $

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Per determinare parte reale e parte immaginaria di un numero complesso dobbiamo poter scrivere il numero z nella forma $a+ib$.
Nel nostro caso si ha una $i$ sia al numeratore che al denominatore; dobbiamo portare tutte le $i$ al numeratore in modo da poter scrivere il numero nella forma desiderata.
Possiamo procedere moltiplicando numeratore e denominatore della nostra frazione per il coniugato del denominatore:

$ z = frac(1 + 2i)(i – 3) = frac(1 + 2i)(i – 3) * frac(i+3)(i+3) $

Svolgiamo la moltiplicazione:

$ z = frac((1 + 2i)*(i+3))((i-3)(i+3)) = frac(i + 3 + 2i^2 + 6i)(i^2 – 9) $

Ricordiamo che una delle proprietà fondamentali dei numero complessi è la relazione $ i^2 = -1$; quindi abbiamo:

$ z = frac(i + 3 + 2i^2 + 6i)(i^2 – 9) = frac(i + 3 + 2*(-1) + 6i)(-1 – 9) = $
$ frac(i + 3 – 2 + 6i)(-1 – 9) = frac(1 + 7i)(- 10) $

A questo punto possiamo scrivere il numero $z$ nella forma desiderata:

$ z = frac(1 + 7i)(- 10) = – 1/(10) – 7/(10) i $

Da questa scrittura possiamo facilmente determinare quale sia la parte reale e quale la parte immaginaria del numero $z$:

$ Re(z) = – 1/(10) , Im(z) = – 7/(10) $

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Per determinare parte reale e parte immaginaria di un numero complesso dobbiamo poter scrivere il numero z nella forma $a+ib$; nel nostro caso si ha una $i$ al denominatore che deve essere portata al numeratore.
Possiamo procedere moltiplicando numeratore e denominatore della nostra frazione per il coniugato del denominatore:

$ z = i + frac(3)(2-i) = i + frac(3)(2-i) * frac(2+i)(2+i) $

Svolgiamo la moltiplicazione:

$ z = i + frac(3*(2+i))((2-i)(2+i)) = i + frac(6 + 3i)(4 – i^2) $

Ricordiamo che una delle proprietà fondamentali dei numero complessi è la relazione $ i^2 = -1$; quindi abbiamo:

$ z = i + frac(6 + 3i)(4 – i^2) = i + frac(6 + 3i)(4 – (-1)) = $
$ i + frac(6 + 3i)(4 + 1) = i + frac(6 + 3i)(5) $

A questo punto possiamo effettuare il minimo comune multiplo e sommare i due termini:

$ z = i + frac(6 + 3i)(5) = frac(5i + 6 + 3i)(5) = frac(8i + 6)(5) $

Possiamo ora scrivere il numero $z$ nella forma desiderata:

$ z = frac(8i + 6)(5) = 8/5 i + 6/5 $

Da questa scrittura possiamo facilmente determinare quale sia la parte reale e quale la parte immaginaria del numero $z$:

$ Re(z) = 6/5 , Im(z) = 8/5 $

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Procediamo considerando un generico numero complesso $z$ della forma $ a + ib $; ricordando che il coniugato di un numero complesso equivale al numero complesso che ha stesa parte reale e parte immaginaria opposta, la nostra diseguaglianza diventa:

$ ib – | a + ib + a – ib |^2 < 1 $

Svolgiamo i calcoli all’interno del modulo, ed eleviamo al quadrato:

$ b – | 2a |^2 < 1 $
$ b – 4a^2 < 1 $

Portiamo tutto a primo membro, cambiamo segno alla diseguaglianza e invertiamo il verso:

$ b – 4a^2 – 1 < 0 $ $ 4a^2 – b + 1 > 0 $

Ricordiamo che nel piano complesso la parte reale del numero rappresenta l’asse orizzontale, mentre la parte immaginaria l’asse verticale; ovvero :

$ Re(z) = a = x , Im(z) = b = y $

La nostra diseguaglianza diventa quindi:

$ 4x^2 – y + 1 > 0 $

Cioè:

$ y < 4x^2 + 1 $

Riconosciamo in tale espressione l’equazione di una parabola con asse coincidente con l’asse verticale ( $ y = 4x^2 + 1 $).
In particolare, il segno $<$ (minore) ci indica che la diseguaglianza rappresenta tutti i punti del piano che si trovano al di sotto di tale parabola.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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$ | a + ib + (a – ib)| + | a + ib – (a – ib) | <= 2 $

Svolgiamo i calcoli:

$ | a + ib + a – ib| + | a + ib – a + ib | <= 2 $
$ | 2a | + | 2bi | <= 2 $

Possiamo portare fuori dal modulo il numero 2 e semplificare:

$ 2 | a | + 2 | bi | <= 2 $
$ | a | + | bi | <= 1 $

Ricordiamo che $a$ e $b$ esprimono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso $z$, quindi:

$ | Re(z) | + | Im(z) | <= 1 $

Ricordiamo che nel piano complesso la parte reale del numero rappresenta l’asse orizzontale, mentre la parte immaginaria l’asse verticale; ovvero :

$ Re(z) = x , Im(z) = y $

La diseguaglianza, quindi, rappresenta il quadrato descritto nel piano $(x;y)$ dalla seguente relazione:

$ | x | + | y | <= 1 $

Si tratta, quindi, del quadrato che ha per vertici i seguenti punti:

$ (0;1) , (0; -1) , (1;0) , ( -1 ;0 ) $

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Analizziamo, nel nostro caso, il primo modulo della disequazione, ovvero:

$ | z^2 + 2z \bar{z} + (\bar{z})^2 | $

Notiamo, innanzitutto, che tale espressione può essere scritta come il quadrato di un binomio:

$ | z^2 + 2z \bar{z} + (\bar{z})^2 | = | (z + \bar{z})^2 | $

Se sostituiamo a tale espressione le considerazioni fatte in precedenza, otteniamo una forma più comprensibile dell’espressione:

$ | (z + \bar{z})^2 | = | (a + ib + a – ib)^2 | = | (2a)^2 | = 4a^2$

Quindi, la prima espressione può essere scritta come: $ 4 Re(z)^2$, dove con $Re(z)$ indichiamo la parte reale del numero $z$.

Passiamo ora al secondo modulo:

$ | z^2 – 2z \bar{z} + (\bar{z})^2 | $

Anche in questo caso, l’ espressione può essere scritta come il quadrato di un binomio:

$ | z^2 – 2z \bar{z} + (\bar{z})^2 | = | (z – \bar{z})^2 | $

Sostituiamo le forme generiche del numero complesso:

$ | (z – \bar{z})^2 | = | (a + ib – a + ib)^2 | = | (2bi)^2 | = 4b^2$

Questa espressione può essere scritta come: $ 4 Im(z)^2$, dove con $Im(z)$ indichiamo la parte immaginaria del numero $z$.

Sostituiamo le espressioni cosi scritte alla disequazione iniziale:

$ 4a^2 + 16b^2 <= 4$

Ovvero: $ a^2 + 4b^2 <= 1$ .

In un piano complesso la parte reale e la parte immaginaria di un numero rappresentano, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del piano.
Possiamo concludere, quindi, che la disequazione rappresenta l’insieme dei punti del piano che sono racchiusi all’interno dell’ellisse di equazione $ x^2 + 4y^2 = 1$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Procediamo alla risoluzione dell’equazione come nel caso reale: le uniche differenza che incontreremo saranno nella determinazione delle soluzioni.
Quindi, possiamo applicare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado $ x = frac(-b pm sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $, prestando attenzione al fatto che i termini con cui lavoriamo sono numeri complessi:

$ z = frac( ( 2 + i ) pm sqrt( ( 2 + i )^2 – 4*(3i – 3)) )(2) = $

Svolgiamo i quadrati e i prodotti:

$ z = frac( ( 2 + i ) pm sqrt( 4 + i^2 + 4i – 12i + 12) )(2)  $

Ricordiamo la relazione fondamentale, per cui $ i^2 = – 1$:

$ z = frac( ( 2 + i ) pm sqrt( 4 – 1 + 4i – 12i + 12) )(2) = $
$frac( ( 2 + i ) pm sqrt( 15 – 8i ) )(2) $

A questo punto abbiamo sotto radice un numero complesso in una forma più complicata, che non può essere risolta immediatamente; possiamo procedere cercando un numero complesso che sia equivalente a $sqrt( 15 – 8i ) $, ovvero un numero della forma $a + ib$ che elevato al quadrato sia uguale a $ 15 – 8i $.
Impostiamo quindi la seguente relazione:

$ a + ib = sqrt(15 – 8i) to (a + ib)^2 = 15 – 8i $

Procediamo svolgendo il quadrato:

$ a^2 + (ib)^2 + 2abi = 15 – 8i $

$ a^2 – b^2 + 2abi = 15 – 8i $

Due numeri complessi sono uguali quando sia le parti immaginarie che le parti reali sono uguali; quindi, per risolvere la nostra relazione uguagliamo le due parti:

$ { ( a^2 – b^2 = 15 ),( 2abi = – 8i ):}  $

Dalla seconda relazione otteniamo che

$ ab = – 4 to b = – 4/a $

Sostituiamo questa espressione nella prima equazione:

$ a^2 – (- 4/a)^2 = 15 $

Svolgiamo i calcoli e ricaviamo il valore di $a$:

$ a^2 – (16)/a^2 = 15 $

$ a^4 – 16 = 15a^2 $

$ a^4 – 15a^2 – 16 = 0 $

Risolviamo con la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:

$ a^2 = frac(15 pm sqrt(15^2 – 4* (-16)) )(2) = $

$ frac(15 pm sqrt(225 + 64) )(2) = frac(15 pm sqrt(289) )(2) = $

$ frac(15 pm 17 )(2) $

I possibili valori di $ a^2 $ sono quindi $16$ e $-1$; poiché $a$ deve essere un numero reale, dobbiamo scartare il valore $- 1$.

Gli unici valori di $a$ possibili sono quindi $ pm sqrt(16) = pm 4$.
Troviamo i relativi valori di $b$:

$ a = 4 to b = – 4/4 = – 1 $
$ a = -4 to b = – 4/(-4) = 1 $

Il numero complesso che stavamo cercando è dunque $ 4 – i $ o $ -4 + i $. Entrambi i numero elevati al quadrato forniscono il complesso $15 – 8i$, quindi possiamo utilizzare qualunque dei due al fine della nostra risoluzione.
Scegliamo il numero positivo, e sostituiamolo nella relazione che individua $z$:
$z = frac( ( 2 + i ) pm sqrt( 15 – 8i ) )(2) = frac( ( 2 + i ) pm (4 – i) )(2) $

Determiniamo le due soluzioni:

$ z_1 = frac( ( 2 + i ) + (4 – i) )(2) = frac( 2 + i + 4 – i )(2) = $
$ frac(6)(2) = 3 $
$ z_2 = frac( ( 2 + i ) – (4 – i) )(2) = frac( 2 + i – 4 + i )(2) = $
$ frac( -2 + 2i )(2) = – 1 + i $

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Procediamo alla risoluzione dell’equazione come nel caso reale: le uniche differenza che incontreremo saranno nella determinazione delle soluzioni.
Quindi, possiamo applicare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado $ x = frac(-b pm sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $:

$ z = frac(-(-3i) pm sqrt((3i)^2 – 4*(-2)))(2) = $

Ricordiamo la relazione fondamentale, per cui $ i^2 = – 1$:

$ z = frac( 3i pm sqrt( – 9 + 8))(2) = frac( 3i pm sqrt(-1))(2) $

Sapendo che $ i^2 = -1 to i = sqrt(-1)$, abbiamo:

$ z = frac( 3i pm sqrt(-1))(2) = frac( 3i pm i)(2) $

I due valori possibili di $ z $ sono quindi:

$ z_1 = frac( 3i + i)(2) = 2i $
$ z_2 = frac( 3i – i)(2) = i $

Possiamo concludere esplicitando le quattro soluzioni dell’equazione:

$ z_1 = i , z_2 = – i , z_3 = i sqrt2 , z_4 = – i sqrt2 $

Procediamo alla risoluzione dell’equazione come nel caso reale: le uniche differenza che incontreremo saranno nella determinazione delle soluzioni.
Quindi, possiamo applicare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado $ x = frac(-b pm sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $; in questo caso, però, l’incognita da trovare sarà $z^2$:

$ z^2 = frac(-3 pm sqrt(3^2 – 4*2))(2) = frac( – 3 pm sqrt(9 – 8))(2) = $
$ frac( – 3 pm sqrt(1))(2) = frac( – 3 pm 1)(2) $

I due valori possibili di $ z^2$ sono quindi:

$ z^2 = frac( – 3 + 1)(2) = – 1 $
$ z^2 = frac( – 3 – 1)(2) = – 2 $

Per trovare i valori di $z$ basta applicare la radice quadrata alle soluzioni; in questo caso ricordiamo la relazione fondamentale $ i^2 = – 1$:

$ z_(1,2) = pm sqrt(-1) = pm i $
$ z_(3,4) = pm sqrt(-2) = pm i sqrt2 $

Possiamo concludere esplicitando le quattro soluzioni dell’equazione:

$ z_1 = i , z_2 = – i , z_3 = i sqrt2 , z_4 = – i sqrt2 $

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Procediamo alla risoluzione dell’equazione come nel caso reale: le uniche differenza che incontreremo saranno nella determinazione delle soluzioni.
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$ z^2 = frac(-(-3) pm sqrt(3^2 – 4*2))(2) = frac( 3 pm sqrt(9 – 8))(2) = $
$ frac( 3 pm sqrt(1))(2)= frac( 3 pm 1)(2) $

I due valori possibili di $ z^2$ sono quindi:

$ z^2 = frac( 3 + 1)(2) = 2 $
$ z^2 = frac( 3 – 1)(2) = 1 $

Per trovare i valori di $z$ basta applicare la radice quadrata alle soluzioni:

$ z_(1,2) = pm sqrt2 $
$ z_(3,4) = pm 1 $

Possiamo concludere esplicitando le quattro soluzioni dell’equazione:

$ z_1 = 2 , z_2 = – 2 , z_3 = 1 , z_4 = – 1 $

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Per poter risolver l’esercizio, occorre calcolare le soluzioni dell’equazione $ z^2 + z + 1 = 0$; possiamo applicare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado $ x = frac(-b pm sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $:

$ z = frac(-(-1) pm sqrt( 1^2 – 4))(2) = frac( 1 pm sqrt(1 – 4))(2) = $

$ frac( 1 pm sqrt(-3))(2) $

Nel se il dominio in cui lavorare fosse stato R, avremmo detto che l’equazione non ammette soluzioni, essendo il ∆ negativo; in questo caso, però, lavorando con i numeri complessi, possiamo comunque ottenere delle soluzioni, che saranno soluzioni complesse.

Ricordando che $ i^2 = -1$ e quindi $i = sqrt(-1)$, possiamo procedere nel seguente modo:

$ frac( 1 pm sqrt(-3))(2) = frac( 1 pm sqrt(- 1 * 3))(2) = $

$ frac( 1 pm sqrt(-1) * sqrt3 )(2) = frac( 1 pm  i * sqrt3 )(2) $

Otteniamo quindi le soluzioni :

$ z = frac( 1 +  i * sqrt3 )(2) = 1/2 + frac(sqrt3)(2) i$

$ z = frac( 1 –  i * sqrt3 )(2) = 1/2 – frac(sqrt3)(2) i$

Queste soluzioni ci permettono di scrivere il polinomio nella forma desiderata:

$ z^2 – 5z + 6 = (z – 1/2 – frac(sqrt3)(2) i)(z – 1/2 + frac(sqrt3)(2) i) $

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$ z = frac(-(-5) pm sqrt((-5)^2 – 4*6))(2) = frac( 5 pm sqrt(25 – 24))(2) = $

$ frac( 5 pm sqrt(1))(2) = frac( 5 pm 1)(2) $

Otteniamo quindi le soluzioni $ z = 3$ e $ z = 2$; queste soluzioni ci permettono di scrivere il polinomio nella forma desiderata:

$ z^2 – 5z + 6 = (z – 3)(z – 2) $

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Il problema richiede di determinare il numero complesso della forma $a + ib$ ottenibile dal coniugato di una frazione, costituita da un numeratore e un denominatore complessi.

Per farlo, lasciamo il simboli di coniugato finche non abbiamo un numero della forma $a + ib$, e solo successivamente calcoliamo il coniugato del numero.

Cominciamo quindi moltiplicando numeratore e denominatore della frazione per il complesso coniugato del suo denominatore, cioè per $ 1 + i $:

$ \bar{ ( frac(2 – 3i)(1 – i) ) }  = \bar { ( frac(2 – 3i)(1 – i) * frac(1 + i)(1 + i) ) } $

Moltiplichiamo numeratore e denominatore:

$ \bar { ( frac((2 – 3i) * (1 + i) )((1 – i) * (1 + i)) ) }  $

Svolgiamo i prodotti:

$  \bar { ( frac(2 – 3i + 2i + 3)(1 + i^2) ) }  $

Applicando le proprietà riguardanti l’unità immaginaria, cioè il fatto che $i^2 = -1$, otteniamo:

$ \bar { ( frac(2 – 3i + 2i + 3)(1 + i^2) ) }  = \bar { ( frac(5 – i)(2) )}  $

Dividiamo ciascun addendo del numeratore per il denominatore:

$  \bar { ( frac(5 – i)(2) )}  = \bar { ( 5/2 – i/2 ) }  $

A questo punto, abbiamo il numero complesso nella forma desiderata; calcoliamo quindi il suo coniugato:

$  \bar { (5/2 – i/2)}  = 5/2 + i/2 $

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Dobbiamo determinare il numero complesso della forma $a + ib$ ottenibile dalla frazione, costituita da un numeratore e un denominatore complessi.

Per farlo possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, cioè per $ 1 + i $:

$ frac(1 + i)(1 – i) = frac(1 + i)(1 – i) * frac(1 + i)(1 + i)$

Moltiplichiamo numeratore e denominatore:

$ frac((1 + i) * (1 + i))((1 – i) * (1 + i)) $

Svolgiamo i prodotti:

$ frac((1 + i)^2)(1 – i^2) = frac(1 + i^2 + 2i)(1 – i^2) $

Applicando le proprietà riguardanti l’unità immaginaria, cioè il fatto che $i^2 = -1$, otteniamo:

$ frac(1 + i^2 + 2i)(1 – i^2) = frac(1 – 1 + 2i)(1 + 1) = $

$ frac( 2i )(2) $

Semplificando si ha:

$ frac( 2i )(2) = i$

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Per farlo possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, cioè per $ 1 – i $:

$ frac(1 – 3i)(1 + i) = frac(1 – 3i)(1 + i) * frac(1 – i)(1 – i)$

Moltiplichiamo numeratore e denominatore:

$ frac((1 – 3i) * (1 – i))((1 + i) * (1 – i)) $

Svolgiamo i prodotti:

$ frac(1 – 3i – i + 3i^2)(1 – i^2) $

Applicando le proprietà riguardanti l’unità immaginaria, cioè il fatto che $i^2 = -1$, otteniamo:

$ frac(1 – 3i – i + 3i^2)(1 – i^2) = frac(1 – 3i – i – 3)(1 + 1) = $

$ frac(-2 – 4i )(2) $

Semplificando si ha:

$ frac(-2 – 4i )(2) = -1 – 2i$