Determina $k$ nell’equazione $kx^2 – 2(k + 1)x + 1 + 2k = 0 $ in modo che le sue radici $x_1$ e $x_2$ soddisfino le seguenti condizioni:
- $x_1 = – x_2 $;
- $(frac(1)(x_1) + frac(1)(x_2))^2 = frac(16)(9)$ ;
- $ frac(1)(x_1 ^2) + frac(1)(x_2 ^2) = frac(13)(16) $ ;
- $ 2 x_1 + 3 x_2 = 9 $;
Svolgimento
Per prima cosa, affinché l’equazioni abbia significato, è necessario che il suo delta sia maggiore o uguale a zero, quindi:
$ b^2 – 4ac ≥ 0 $
$ [- 2(k + 1)]^2 – 4k(1 + 2k) ≥ 0$
$ [- 2k – 2)]^2 – 4k – 8k^2 ≥ 0$
$ 4k^2 + 4 + 8k – 4k – 8k^2 ≥ 0$
$ -4k^2 + 4k + 4 ≥ 0$
$ -k^2 + k + 1 ≥ 0$
$ k^2 – k – 1 ≥ 0$
Passiamo all’equazione associata e risolviamo con la formula $ k = frac(-b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $:
$ k^2 – k – 1 = 0$
$ k = frac(-(-1) ± sqrt((-1)^2 – 4*(-1)))(2) = frac( 1 ± sqrt(1 + 4))(2) = frac( 1 ± sqrt5 )(2) $
$ k_1 = frac( 1 + sqrt5 )(2) , k_2 = frac( 1 – sqrt5 )(2) $
Poiché la disequazione è minore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli interni alle radici:
$ frac( 1 – sqrt5 )(2) ≤ k ≤ frac( 1 + sqrt5 )(2) $
Svolgimento (1)
Affinché le radici siano l’una l’opposto dell’altra, deve essere che la loro somma sia uguale a zero:
$ x_1 + x_2 = 0$
Sappiamo che la somma delle radici è data dalla formula $- b/a$ :
$ – b/a = 0 to – frac(-2(k + 1))(k) = 0 $
Poniamo $k ≠ 0 $:
$2(k + 1) = 0 to k + 1 = 0 to k = – 1$
Dobbiamo tuttavia scartare questa soluzione, poiché non è compreso nell’intervallo delle soluzioni accettabili.
Svolgimento (2)
Calcoliamo il minimo comune multiplo all’interno della parentesi tonda:
$ (frac(x_2 + x_1)(x_1 x_2))^2 = frac(16)(9) $
Poiché la somma delle radici è data dalla formula $- b/a$ , mentre il loro prodotto è $c/a$, abbiamo che:
$ (frac(- b/a)(c/a))^2 = frac(16)(9) $
$ (- b/a * a/c)^2 = frac(16)(9) $
$ (- b/c)^2 = frac(16)(9) $
Sostituendo i valori dell’equazione abbiamo:
$ (- frac(-2k – 2)(1 + 2k) )^2 = frac(16)(9) $
$ frac((2k + 2)^2)((1 + 2k)^2) = frac(16)(9) $
Calcoliamo il minimo comune multiplo, ponendo $ 1 + 2k ≠ 0 to k ≠ – 1/2 $ :
$ 9 (2k + 2)^2 = 16 (1 + 2k)^2 $
$ 9 (4k^2 + 4 + 8k) = 16 (1 + 4k^2 + 4k) $
$ 36k^2 + 36 + 72k = 16 + 64k^2 + 64k $
$ 36k^2 + 36 + 72k – 16 – 64k^2 – 64k = 0 $
$ -28k^2 + 8k + 20 = 0 $
$ 28k^2 – 8k – 20 = 0 $
$ 7k^2 – 2k – 5 = 0 $
Troviamo le soluzioni con la formula ridotta $ k = frac(-b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $:
$ k = frac(-(-2)/2 ± sqrt(((-2)/2)^2 – (-5)*7))(7) = frac( 1 ± sqrt( 1 + 35))(7) = frac(1 ± 6)(7) $
$ k_1 = frac( 1 + 6 )(7) = 1 , k_2 = frac( 1 – 6 )(7) = – 5/7 $
Poiché $- 5/7$ non rientra nell’intervallo delle soluzioni accettabili, dobbiamo scartare questa soluzione.
Svolgimento (3)
Calcoliamo il minimo comune multiplo ed eliminiamo il denominatore, avendo posto $ x_1 ≠ 0$ e $x_2 ≠ 0$ :
$ 16 (x_1 ^2 + x_2 ^2) = 13 (x_1 ^2 x_2 ^2)$
La somma dei quadrati delle radici può essere scritta in questo modo:
$ x_1 ^2 + x_2 ^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 $
Mentre il prodotto dei quadrati delle radici possiamo scriverlo in questo modo:
$ x_1 ^2 x_2 ^2 = (x_1 x_2)^2 $
Sapendo che la somma delle radici è data dalla formula $ – b/a $ , mentre il loro prodotto è $c/a$, abbiamo che:
$ (x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 = (- b/a )^2 – 2 c/a$
$ (x_1 x_2)^2 = (c/a)^2$
$ 16 [(- b/a )^2 – 2 c/a] = 13(c/a)^2 $
Risolviamo:
$ 16 [(- frac(-2k – 2)(k) )^2 – 2 * frac(1 + 2k)(k)] = 13(frac(1 + 2k)(k))^2 $
$ 16 [(frac(2k + 2)(k) )^2 – frac(2 + 4k)(k)] = 13(frac(1 + 2k)(k))^2 $
Svolgiamo i quadrati:
$ 16 [frac(4k^2 + 4 + 8k)(k^2) – frac(2 + 4k)(k)] = 13 * frac(1 + 4k^2 + 4k)(k^2) $
$ 16 frac(4k^2 + 4 + 8k – 2k – 4k^2)(k^2) = frac(13 + 52k^2 + 52k)(k^2) $
$ 16 frac(4 + 6k)(k^2) = frac(13 + 52k^2 + 52k)(k^2) $
Togliamo il denominatore:
$ 64 + 96 k = 13 + 52k^2 + 52k $
$ 64 + 96 k – 13 – 52k^2 – 52k = 0 $
$ – 52k^2 + 44k + 51 = 0 $
$ 52k^2 – 44k – 51 = 0 $
Troviamo le soluzioni con la formula ridotta $ k = frac(-b/2 ± sqrt((b/2)^2 – ac))(a) $:
$ k = frac(-(-44)/2 ± sqrt(((-44)/2)^2 – (-51)*52))(52) = frac(22 ± sqrt( 484 + 2652))(52) = $
$ frac(22 ± 56)(52) $
$ k_1 = frac( 22 + 56 )(52) = 3/2 , k_2 = frac( 22 – 56 )(52) = – frac(17)(26) $
Poiché $- frac(17)(26) $ non rientra nell’intervallo delle soluzioni accettabili, dobbiamo scartare questa soluzione.
Svolgimento (4)
In questo caso dobbiamo impostare un sistema, considerando come altra equazione l’espressione
$x_1 + x_2 = – b/a = – frac(-2(k + 1))(k) = frac(2k + 2)(k) $
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
2 x_1+ 3 x_2 = 9 &\\
x_1 + x_2 = \frac{2k + 2}{k} &
\end{array}\right.
$$
Ricaviamo un’incognita da una delle due equazioni e risolviamo il sistema per sostituzione:
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
2 x_1+ 3 x_2 = 9 &\\
x_1 = \frac{2k + 2}{k} – x_2 &
\end{array}\right.
$$
Lavoriamo sulla prima equazione:
$ 2 (frac(2k + 2)(k) – x_2) + 3x_2 = 9 $
$ frac(4k + 4)(k) – x_2 + 3x_2 = 9 $
$ frac(4k + 4)(k) + x_2 = 9 $
$ x_2 = 9 – frac(4k + 4)(k) = frac(5k – 4)(k) $
troviamo il corrispondente valore di $x_1$ :
$ x_1 = frac(2k + 2)(k) – frac(5k – 4)(k) = frac(6 – 3k)(k) $
$$
\left\{ \begin{array}{rl}
x_2 = \frac{5k – 4}{k} &\\
x_1 = \frac{6 – 3k}{k} &
\end{array}\right.
$$
Possiamo ora sfruttare un’altra relazione, cioè il prodotto delle radici:
$ x_1 x_2 = c/a = frac(1 + 2k)(k) $
Sostituiamo ora i valori delle radici ottenuti:
$ frac(5k – 4)(k) * frac(6 – 3k )(k) = frac(1 + 2k)(k) $
$ frac((5k – 4)(6 – 3k))(k^2) = frac(1 + 2k)(k) $
Svolgiamo il minimo comune multiplo:
$ 30k – 24 – 15k^2 + 12k = k + 2k^2 $
$ 30k – 24 – 15k^2 + 12k – k – 2k^2 = 0 $
$ -17k^2 + 41 k – 24 = 0 $
$ 17k^2 – 41 k + 24 = 0 $
Troviamo le soluzioni con la formula $ k = frac(-b ± sqrt(b^2 – 4ac))(2a) $:
$ k = frac(-(-41) ± sqrt((-41)^2 – 4*24*17))(34) = frac(41 ± sqrt(1681 – 1632))(34) = $$ frac(41 ± sqrt(49))(34) = frac(41 ± 7)(34) $
$ k_1 = frac(41 + 7 )(34) = frac(24)(17) , k_2 = frac(41 – 7 )(34) = 1 $
