Indice di Rob: Media e Peggiore

Sai ched’è la statistica? È na’ cosa
che serve pe fà un conto in generale
de la gente che nasce, che sta male,
che more, che va in carcere e che spósa.
Ma pè me la statistica curiosa
è dove c’entra la percentuale,
pè via che, lì, la media è sempre eguale
puro co’ la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d’adesso
risurta che te tocca un pollo all’anno:
e, se nun entra nelle spese tue,
t’entra ne la statistica lo stesso
perch’è c’è un antro che ne magna due.
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Ponte sospeso

I ponti sono strutture fondamentali per le vie di comunicazioni ed i primi esempi risalgono a più di tre millenni fa, in Grecia. Grandi costruttori di ponti furono i romani che ne realizzarono molti durante l’espansione dell’Impero. Uno di questi, nella Francia meridionale, è rimasto praticamente intatto: il Pont du Gard (che sorreggeva un acquedotto), riportato nella foto sotto.
Continua a leggere “Ponte sospeso” →

Sulla paternità delle teorie della Relatività

In queste note verranno trattati alcuni punti riguardanti la paternità della nascita e lo sviluppo delle teorie della Relatività. Nonostante queste siano quasi universalmente attribuite al genio solitario di Albert Einstein, non mancano, di tanto in tanto, articoli o libri che sostengono il contrario, che arrivano persino ad accusare A. Einstein di plagio. Continua a leggere “Sulla paternità delle teorie della Relatività” →

Matematica dolce – Volume 1 – Edizione 2018

Testo di matematica in cinque volumi per le scuole di secondo grado a cura di Daniele Zambelli. Matematica dolce è un progetto collaborativo open-source. Trovi tutti i dettagli dell’iniziativa e le istruzioni per partecipare all’indirizzo https://bitbucket.org/zambu/matematicadolce.

Di seguito trovi l’indice e i link per scaricare il primo volume con la relativa copertina.

Indice del primo volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

I Aritmetica e Algebra 1

1 Numeri naturali 3
1.1 L’origine dei numeri 3
1.2 I numeri naturali 4
1.3 Cosa sono 4
1.4 Il sistema di numerazione decimale posizionale 5
1.4.1 Rappresentazione geometrica 6
1.5 Operazioni con i numeri naturali 6
1.5.1 Proprietà delle operazioni 6
1.5.2 Addizione in N 7
1.5.3 Sottrazione in N 7
1.5.4 Moltiplicazione in N 8
1.5.5 Divisione in N 9
1.5.6 Proprietà distributiva 11
1.6 Potenza 11
1.6.1 Proprietà delle potenze 12
1.7 Espressioni numeriche 13
1.7.1 Soluzione con grafo ad albero 14
1.7.2 Metodo sequenziale 16
1.8 Espressioni con un buco 17
1.8.1 Soluzione con grafo ad albero 17
1.8.2 Soluzione sequenziale 20
1.9 Divisibilità e numeri primi 21
1.9.1 Divisori, numeri primi, numeri composti 23
1.10 Scomposizione in fattori primi 26
1.10.1 Scomposizione con un grafo ad albero 26
1.10.2 Scomposizione con un metodo sequenziale 26
1.11 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo 27
1.12 Esercizi 29
1.12.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 29
1.12.2 Esercizi riepilogativi 35
2 Numeri interi relativi 37
2.1 I numeri che precedono lo zero 37
2.2 I numeri relativi e la retta 38
2.3 Confronto di numeri relativi 39
2.4 Le operazioni con i numeri relativi 39
2.4.1 Addizione 39
2.4.2 Sottrazione 40
2.4.3 Somma algebrica 41
2.4.4 Moltiplicazione 41
2.4.5 Divisione 42
2.4.6 Potenza di un numero relativo 43
2.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi 43
2.5 Esercizi 44
2.5.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 44
2.5.2 Esercizi riepilogativi 48
3 Numeri razionali 53
3.1 I numeri razionali 53
3.2 Notazione decimale 53
3.3 Frazioni 55
3.3.1 Rappresentazione mista 55
3.3.2 Rappresentazione sulla retta 56
3.3.3 Frazioni equivalenti 56
3.3.4 Confronto di frazioni 57
3.3.5 Operazioni con le frazioni 58
3.4 Decimali contro frazioni 61
3.4.1 Da frazione a decimale 61
3.4.2 Da decimale a frazione 61
3.5 Notazione scientifica e ordine di grandezza 63
3.5.1 Notazione scientifica 64
3.5.2 Ordine di grandezza 65
3.6 Rapporto, percentuale, proporzioni 66
3.6.1 Rapporto 66
3.6.2 Proporzioni 66
3.6.3 Percentuale 67
3.7 Problemi con le frazioni 67
3.7.1 Problemi diretti 67
3.7.2 Problemi inversi 68
3.8 Un po’ di storia 68
3.9 Esercizi 70
3.9.1 Esercizi riepilogativi 83
4 Calcolo letterale 89
4.1 Espressioni letterali e valori numerici 89
4.1.1 Lettere per esprimere formule 89
4.1.2 Valore numerico di un’espressione letterale 89
4.2 I monomi 90
4.2.1 Deﬁnizioni 90
4.2.2 Valore di un monomio 92
4.2.3 Moltiplicazione di monomi 93
4.2.4 Potenza di un monomio 93
4.2.5 Divisione di due monomi 94
4.2.6 Addizione di due monomi 95
4.2.7 Espressioni con i monomi 96
4.2.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi 97
4.3 Polinomi 99
4.3.1 Deﬁnizioni fondamentali 99
4.3.2 Somma algebrica di polinomi 021
4.3.3 Prodotto di un polinomio per un monomio 102
4.3.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio 102
4.3.5 Prodotto di polinomi 103
4.4 Prodotti notevoli 103
4.4.1 Quadrato di un binomio 103
4.4.2 Quadrato di un polinomio 104
4.4.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza 104
4.4.4 Prodotto particolare 105
4.4.5 Cubo di un binomio 106
4.4.6 Potenza n-esima di un binomio 106
4.5 Esercizi 108
4.5.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 108
4.5.2 Esercizi riepilogativi 126
II Geometria 129
5 Nozioni fondamentali 131
5.1 Introduzione alla geometria razionale 131
5.1.1 Breve nota storica 131
5.1.2 Lo spazio ﬁsico e la geometria 132
5.2 Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le deﬁnizioni 132
5.2.1 I teoremi 133
5.2.2 Postulati e assiomi 134
5.3 Prime deﬁnizioni 138
5.3.1 Semirette e segmenti 138
5.3.2 Semipiani e angoli 140
5.4 Confronto e operazioni tra segmenti e angoli 143
5.4.1 Premessa intuitiva 143
5.4.2 La congruenza 144
5.4.3 Costruzioni riga e compasso 145
5.4.4 Confronto di segmenti 147
5.4.5 Confronto di angoli 18
5.4.6 Operazioni con i segmenti 150
5.4.7 Operazioni con gli angoli 155
5.4.8 Angoli particolari 157
5.4.9 Perpendicolari e altre deﬁnizioni 159
5.5 Poligoni e poligonale 161
5.5.1 Poligono 162
5.6 Esercizi 165
5.6.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 165
6 Congruenza nei triangoli 175
6.1 Deﬁnizioni relative ai triangoli 175
6.2 Criteri di congruenza dei triangoli 178
6.3 Teoremi del triangolo isoscele 180
6.4 Esercizi 183
6.4.1 Esercizi riepilogativi 183
7 Il piano cartesiano 187
7.1 Un po’ di storia 187
7.2 Asse cartesiano 187
7.3 Piano cartesiano 188
7.4 Problemi nel piano cartesiano 190
7.4.1 Punto medio di un segmento 190
7.4.2 Lunghezza di un segmento 191
7.4.3 Area sottesa a un segmento 192
7.4.4 Area di un triangolo 194
7.5 Esercizi 196
7.5.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 196
7.5.2 Esercizi riepilogativi 196
III Relazioni e funzioni 199
8 Insiemi 201
8.1 Deﬁnizioni 201
8.1.1 Elementi primitivi della teoria degli insiemi 201
8.1.2 Insieme vuoto 202
8.1.3 Cardinalità 203
8.2 Rappresentazione degli insiemi 203
8.2.1 Rappresentazione tabulare 203
8.2.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica 204
8.2.3 Rappresentazione graﬁca (Diagramma di Venn) 205
8.3 Operazioni con gli insiemi 205
8.3.1 Sottoinsieme 205
8.3.2 Insieme delle parti 207
8.3.3 Insieme unione 208
8.3.4 Insieme intersezione 209
8.3.5 Proprietà distributiva 210
8.3.6 Insieme differenza 210
8.3.7 Insieme complementare 211
8.3.8 Leggi di De Morgan 212
8.3.9 Prodotto cartesiano fra insiemi 213
8.4 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema 215
8.5 Esercizi 218
8.5.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 218
8.5.2 Esercizi riepilogativi 226
9 Identità, equazioni 233
9.1 Identità ed equazioni 233
9.1.1 Ricerca dell’insieme soluzione 235
9.2 Prinicipi di equivalenza 235
9.2.1 Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado 236
9.3 Equazioni a coefﬁcienti frazionari 238
9.3.1 Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1 238
9.3.2 Equazioni in cui l’incognita scompare 239
9.3.3 Riassunto 239
9.4 Problemi di I grado in un’incognita 240
9.4.1 Un po’ di storia e qualche aneddoto 240
9.5 Esercizi 245
9.5.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 245
9.5.2 Problemi dalla realtà 251
9.5.3 Problemi di geometria 253
10 Relazioni e funzioni 255
10.1 Proposizioni e predicati 255
10.2 Relazioni in un insieme 255
10.2.1 Proprietà delle relazioni 256
10.2.2 Relazioni di equivalenza 258
10.2.3 Relazioni di ordine 260
10.3 Funzioni 260
10.3.1 Funzioni: deﬁnizioni 260
10.3.2 Il graﬁco di una funzione 262
10.3.3 Proporzionalità diretta e inversa 264
10.3.4 Funzioni particolari 267
10.4 Esercizi 269
10.4.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 269
IV Dati e previsioni 277
11 Statistica descrittiva 279
11.1 Indagine statistica 279
11.2 Fasi di un’indagine statistica 280
11.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 281
11.2.2 Rappresentazione graﬁca 283
11.3 Indici di posizione 288
11.3.1 Moda 288
11.3.2 Media aritmetica 289
11.3.3 Mediana 290
11.4 Esercizi 292
11.4.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 292
11.4.2 Esercizi riepilogativi 298
V Elementi di informatica 305
12 Foglio di calcolo 307
12.1 Avviamo “Calc” 307
12.2 Celle, colonne, righe… il foglio di calcolo 308
12.3 Formati e ordinamenti 310
12.4 Copiare in modo intelligente 312
12.5 Diagrammi 314
12.6 Esercizi 316
13 Geometria interattiva 1 317
13.1 Introduzione 317
13.1.1 Installiamo un interprete 317
13.1.2 Riassumendo 318
13.2 Elementi fondamentali 319
13.2.1 Un piano vuoto 319
13.2.2 Oggetti di base 321
13.2.3 Intersezioni 323
13.2.4 Altri oggetti primitivi 324
13.2.5 Poligoni 325
13.2.6 Riassumendo 327
13.3 Altri problemi 328

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Matematica dolce – Volume 3 – Edizione 2018

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Indice del terzo volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

1 Divisibilità e scomposizione di polinomi 1
1.1 Divisione tra polinomi 1
1.1.1 Algoritmo di Euclide 1
1.1.2 Regola di Rufﬁni 5
1.1.3 Teorema di Rufﬁni 7
1.2 Scomposizione in fattori 8
1.2.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori 8
1.2.2 Raccoglimento fattore comune 9
1.2.3 Raccoglimento parziale 11
1.2.4 Riconoscimento di prodotti notevoli 12
1.2.5 Altre tecniche di scomposizione 16
1.2.6 Scomposizione mediante metodi combinati 21
1.3 Esercizi 24
1.3.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 24
1.3.2 Esercizi riepilogativi 31

2 Frazioni algebriche 33
2.1 Divisore comune e multiplo comune 33
2.1.1 Massimo Comun Divisore 33
2.1.2 Minimo comune multiplo 34
2.2 Deﬁnizione di frazione algebrica 34
2.3 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica 35
2.4 Sempliﬁcazione di una frazione algebrica 36
2.5 Moltiplicazione di frazioni algebriche 37
2.6 Divisione di frazioni algebriche 38
2.7 Potenza di una frazione algebrica 39
2.7.1 Casi particolari dell’esponente 39
2.8 Addizione di frazioni algebriche 40
2.9 Esercizi 42
2.9.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 42

3 Complementi di algebra di primo grado 49
3.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado 49
3.2 Equazioni numeriche frazionarie 50
3.3 Equazioni letterali 51
3.4 Equazioni letterali e formule inverse 53
3.5 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili 54
3.6 Esercizi 55
3.6.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 55

4 Equazioni di secondo grado 61
4.1 Le equazioni di secondo grado in una incognita 61
4.1.1 Risoluzione di un’equazione di secondo grado pura 61
4.1.2 Risoluzione di un’equazione incompleta spuria 62
4.2 Risoluzione di un’equazione completa 62
4.2.1 Formula ridotta per equazioni di secondo grado 64
4.3 Equazioni numeriche frazionarie 65
4.4 Relazioni tra soluzioni e coefﬁcienti 66
4.4.1 Determinare due numeri conoscendone la somma e il prodotto 68
4.5 Scomposizione del trinomio di secondo grado 68
4.6 Equazioni parametriche 69
4.7 Problemi di secondo grado in una incognita 70
4.8 L’equazione di terzo grado, un po’ di storia 73
4.9 Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori 74
4.10 Sistemi di secondo grado 75
4.10.1 Sistemi di secondo grado numerici 76
4.11 Sistemi simmetrici 79
4.11.1 Sistemi simmetrici di secondo grado 80
4.11.2 Esercizi dei singoli paragraﬁ 82

5 La parabola nel piano cartesiano 95
5.1 Rappresentazione del trinomio di secondo grado 95
5.2 Signiﬁcato geometrico dei coefﬁcienti 97
5.3 Tracciare parabole 99
5.4 Parabola e retta 102
5.5 Rette tangenti ad una parabola 103
5.6 Intersezioni tra parabole 106
5.7 Ricerca dell’equazione di una parabola 107
5.8 Altre parabole 108
5.9 Esercizi 109
5.9.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 109

6 Disequazioni 113
6.1 Risoluzione delle disequazioni di secondo grado 113
6.1.1 Studio del segno di un trinomio di secondo grado 113
6.2 Disequazioni polinomiali di grado superiore 115
6.3 Disequazioni fratte 118
6.4 Sistemi di disequazioni 121
6.5 Esercizi 124
6.5.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 124

7 Dai Naturali agli Iperreali 131
7.1 Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 131
7.1.1 I numeri naturali N 131
7.1.2 I numeri interi Z 131
7.1.3 I numeri razionali Q 132
7.1.4 I numeri reali R 133
7.1.5 I numeri complessi C 135
7.2 I numeri iperreali ∗R 135
7.2.1 Il problema della velocità 135
7.2.2 Inﬁnitesimi..e inﬁniti 136
7.2.3 Tipi di Iperreali 137
7.2.4 Numeri inﬁnitamente vicini 138
7.2.5 Iperreali ﬁniti e parte standard 139
7.2.6 Retta Iperreale e strumenti ottici 140
7.2.7 Operazioni 142
7.2.8 Confronto 145
7.2.9 Indistinguibili 148
7.2.10 Principio di tranfer 150
7.3 Applicazioni 151
7.3.1 Problemi con gli Iperreali 151
7.3.2 Espressioni con gli Iperreali 152
7.4 Esercizi 155
7.4.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 155

8 Proporzionalità e similitudine 163
8.1 La misura 163
8.1.1 Classi di grandezze omogenee 163
8.2 Proporzionalità tra grandezze 167
8.2.1 Proprietà delle proporzioni 168
8.2.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali 169
8.2.3 Grandezze inversamente proporzionali 171
8.3 Teorema di Talete, caso generale 172
8.3.1 Conseguenze del teorema di Talete 173
8.4 Avere la stessa forma 176
8.5 La similitudine nei triangoli 177
8.5.1 Proprietà dei triangoli simili 179
8.6 Similitudine tra poligoni 180
8.6.1 Similitudine tra poligoni regolari 181
8.7 Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza 182
8.8 La sezione aurea 183
8.8.1 Il punto di vista algebrico 183
8.8.2 Il punto di vista geometrico 183
8.9 Esercizi 186
8.9.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 186

9 Goniometria 197
9.1 Angoli e archi 197
9.2 La circonferenza goniometrica 198
9.3 Le funzioni circolari 199
9.4 Relazioni tra le funzioni circolari 201
9.4.1 Relazione fondamentale della goniometria 201
9.4.2 Tangente in funzione di seno e coseno 201
9.4.3 Traslazione di seno e coseno 202
9.5 Angoli associati 202
9.6 Angoli particolari 202
9.6.1 Digressione pitagorica 203
9.6.2 Angolo di 30° 204
9.6.3 Angolo di 45° 204
9.6.4 Angolo di 60° 204
9.7 Formule goniometriche 205
9.8 Equazioni goniometriche 206
9.8.1 Equazioni goniometriche elementari 206
9.9 Disequazioni goniometriche 208
9.9.1 Funzioni periodiche e Iperreali 209
9.10 Esercizi 211
9.10.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 211

10 Trigonometria 217
10.1 Prime deﬁnizioni 217
10.2 Due identità fondamentali 218
10.3 Usare la calcolatrice 219
10.4 Risoluzione di triangoli rettangoli 221
10.4.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione 222
10.5 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli 222
10.5.1 Quadrilateri 223
10.5.2 Applicazioni della trigonometria 223
10.6 Risoluzione di un triangolo qualunque 225
10.6.1 Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti 226
10.6.2 Caso II: tre lati congruenti 227
10.6.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti 227
10.6.4 Riﬂessioni sull’uso del teorema dei seni 228
10.7 Esercizi 229
10.7.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 229

11 Vettori 237
11.1 Prime deﬁnizioni 237
11.2 Operazioni con i vettori 240
11.2.1 Somma di vettori 240
11.2.2 Differenza tra vettori 242
11.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore 243
11.2.4 Il prodotto scalare 244
11.2.5 Il prodotto vettoriale 244
11.3 Esercizi 246

12 Statistica descrittiva bivariata 247
12.1 Indagine statistica 247
12.2 Fasi di un’indagine statistica 248
12.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 249
12.2.2 Rappresentazione graﬁca 250
12.3 Indici di posizione 254
12.3.1 Moda 255
12.3.2 Media aritmetica 255
12.3.3 Mediana 257
12.4 Indici di variabilità 257
12.4.1 Scarto medio assoluto 258
12.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 258
12.4.3 Coefﬁciente di variazione 259
12.5 Tabelle a doppia entrata 260
12.6 Indipendenza e connessione 263
12.6.1 L’indipendenza statistica 263
12.6.2 Il Chi quadro 263
12.6.3 Il Chi quadro normalizzato 264
12.7 Correlazione 265
12.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 265
12.7.2 Il concetto di covarianza 265
12.7.3 Coefﬁciente di correlazione lineare 266
12.7.4 La retta di regressione 267
12.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 269
12.9 Esercizi 270
12.9.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 270

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Matematica dolce – Volume 4 – Edizione 2018

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Indice del quarto volume

Prefazione v
Prefazione alla seconda edizione vii
Prefazione all’edizione 2016 vii
Prefazione all’edizione 2017 vii
Prefazione all’edizione 2018 viii

1 Complementi di algebra 1
1.1 Equazioni di grado superiore al secondo 1
1.1.1 Equazioni che si possono risolvere tramite scomposizione 1
1.1.2 Equazioni monomie 1
1.1.3 Equazioni binomie 2
1.1.4 Equazioni trinomie particolari 3
1.2 Equazioni e disequazioni irrazionali 4
1.2.1 Equazioni irrazionali 4
1.2.2 Disequazioni irrazionali 6
1.3 Equazioni con valori assoluti 9
1.3.1 Deﬁnizione di valore assoluto 9
1.3.2 La funzione “valore assoluto” 10
1.3.3 Proprietà del valore assoluto 10
1.3.4 Equazioni con il valore assoluto 10
1.3.5 Disequazioni con i valori assoluti 12
1.4 Esercizi 15
1.4.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 15

2 Circonferenza 23
2.1 Circonferenza e cerchio: deﬁnizioni e prime proprietà 23
2.2 Posizioni relative fra rette e circonferenze 28
2.2.1 Posizioni reciproche di due circonferenze 30
2.3 Angoli nelle circonferenze 32
2.4 Proprietà dei segmenti di tangenza 36
2.5 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza 38
2.6 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti 40
2.7 Poligoni regolari 41
2.8 Esercizi 43
2.8.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 43
2.8.2 Esercizi riepilogativi 44

3 La circonferenza nel piano cartesiano 47
3.1 Circonferenza con il centro nell’origine 47
3.2 Circonferenza traslata 48
3.3 Equazione di una circonferenza 50
3.4 Circonferenze e rette 52
3.5 Posizioni reciproche tra circonferenze 55
3.6 Esercizi 57
3.6.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 57
3.6.2 Esercizi di riepilogo 61

4 Ellisse 63
4.1 Coniche 63
4.1.1 Le sezioni coniche 64
4.2 L’ellisse 65
4.2.1 L’ellisse come luogo geometrico 65
4.2.2 Le caratteristiche dell’ellisse 67
4.2.3 L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse Y 69
4.2.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’ellisse 69
4.3 Esercizi 71
4.3.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 71

5 Iperbole 73
5.1 L’iperbole 73
5.1.1 L’iperbole come luogo geometrico 73
5.1.2 Le caratteristiche dell’iperbole 74
5.1.3 L’iperbole con i fuochi sull’asse Y 75
5.1.4 Condizioni per determinare l’equazione dell’iperbole 76
5.1.5 L’iperbole equilatera e la funzione omograﬁca 76
5.2 Esercizi 80
5.2.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 80

6 Complementi sulle coniche 83
6.1 Le posizioni di una retta rispetto ad una conica 83
6.2 Rette tangenti ad una conica 84
6.2.1 Tangenti per un punto esterno ad una conica 84
6.2.2 Tangente per un punto appartenente alla conica 86
6.3 Curve deducibili dalle equazioni delle coniche 87
6.4 Esercizi 89
6.4.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 89

7 Esponenziali e logaritmi 91
7.1 Un problema 91
7.2 Esponenziali 92
7.2.1 La successione delle potenze di 2 92
7.2.2 Le potenze di 2 con esponente reale 93
7.2.3 Le funzioni esponenziali 94
7.2.4 Equazioni esponenziali 96
7.2.5 Le disequazioni esponenziali 98
7.3 Logaritmi 100
7.3.1 Le operazioni inverse e la potenza 100
7.3.2 Le equazioni logaritmiche 103
7.3.3 Le disequazioni logaritmiche 105
7.4 Esercizi 107
7.4.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 107

8 Statistica descrittiva bivariata 113
8.1 Indagine statistica 113
8.2 Fasi di un’indagine statistica 114
8.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione 115
8.2.2 Rappresentazione graﬁca 116
8.3 Indici di posizione 120
8.3.1 Moda 121
8.3.2 Media aritmetica 121
8.3.3 Mediana 123
8.4 Indici di variabilità 123
8.4.1 Scarto medio assoluto 124
8.4.2 Varianza e scarto quadratico medio 124
8.4.3 Coefﬁciente di variazione 125
8.5 Tabelle a doppia entrata 126
8.6 Indipendenza e connessione 129
8.6.1 L’indipendenza statistica 129
8.6.2 Il Chi quadro 129
8.6.3 Il Chi quadro normalizzato 130
8.7 Correlazione 131
8.7.1 La correlazione tra due variabili quantitative 131
8.7.2 Il concetto di covarianza 131
8.7.3 Coefﬁciente di correlazione lineare 132
8.7.4 La retta di regressione 133
8.8 Schema riassuntivo: formule della statistica 135
8.9 Esercizi 136
8.9.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 136

9 Calcolo combinatorio 147
9.1 Il calcolo combinatorio 147
9.2 Permutazioni 149
9.3 Permutazioni con ripetizione 149
9.4 Disposizioni 150
9.5 Disposizioni con ripetizione 150
9.6 Combinazioni 151
9.7 Combinazioni con ripetizione 152
9.8 Esercizi 153
9.8.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 153

10 Probabilità 155
10.1 Eventi aleatori, certi e impossibili 155
10.2 La probabilità di un evento 156
10.3 Probabilità dell’unione di due eventi 158
10.3.1 Unione di due eventi incompatibili 159
10.3.2 Unione di due eventi tra loro compatibili 159
10.4 La probabilità dell’evento intersezione di due eventi 160
10.4.1 Intersezione di due eventi tra loro indipendenti 161
10.4.2 Intersezione di due eventi tra loro dipendenti 164
10.4.3 Interpretazione insiemistica della probabilità condizionata 165
10.5 Teorema di disintegrazione e formula di Bayes 166
10.5.1 Teorema di disintegrazione 166
10.5.2 Formula di Bayes 167
10.6 Prove ripetute 168
10.7 Probabilità e statistica 170
10.8 Esercizi 171
10.8.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 171
10.8.2 Esercizi riepilogativi 175

11 Matematica ﬁnanziaria 179
11.1 Interesse semplice 180
11.2 Interesse composto 181
11.3 Capitalizzazione composta continua 182
11.3.1 Tassi equivalenti 182
11.4 Rendite 182
11.4.1 Valore attuale delle rendite 183
11.4.2 Montante delle rendite 184
11.5 Esercizi 185
11.5.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 185

12 Geometria cartesiana dello spazio 187
12.1 Punti e vettori 187
12.2 Operazioni con i vettori 188
12.3 Retta (forma parametrica) 188
12.4 Piano (forma parametrica) 189
12.5 Piano (forma cartesiana) 190
12.6 Retta (forma cartesiana) 190
12.7 Da forma cartesiana a implicita (e viceversa) 191
12.8 Posizioni reciproche tra rette e piani 191
12.9 Distanza punto-piano 192
12.12.1 Esercizi dei singoli paragraﬁ 195

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L’Analisi Multi-Criteri e le Strategie Aziendali basate su indici Economico/Finanziari

Azienda e denaro sono un binomio inscindibile. Chi si occupa di ‘Strategie Aziendali’ non deve mai trascurare questa visione, alla quale sono legate le scelte che un’azienda spesso deve compiere tra più possibili decisioni, ciascuna delle quali magari prospetta un diverso andamento di specifici indici economico/finanziari aziendali. Continua a leggere “L’Analisi Multi-Criteri e le Strategie Aziendali basate su indici Economico/Finanziari” →

Problem solving: dalla guerra al “Boom economico”

L’articolo sottolinea la rilevanza di diversi progetti, enti e metodi nella risoluzione dei molteplici problemi sorti dopo la seconda guerra mondiale. Il Patto Atlantico, il Piano Marshall, l’Università di Harvard, il Metodo dei Casi e il Concetto di Produttività, ebbero un ruolo importante per la ricostruzione” e per il successivo miracolo economico italiano. Continua a leggere “Problem solving: dalla guerra al “Boom economico”” →

L’isola delle tabelline

Germano Pettarin e Jacopo Olivieri sono i geniali autori de «L’isola delle tabelline», una favola matematica pensata per i bambini che cominciano a scoprire la fatica della matematica attraverso lo studio delle tabelline. Pettarin ha già scritto per Einaudi Ragazzi «La matematica fa schifo!», mentre Jacopo Olivieri è uno degli autori della collana “I classicini” di Edizioni EL. Le illustrazioni sono state realizzate da Desideria Guicciardini, che con i numeri colorati ci accompagna una pagina dopo l’altra, contribuendo a spiegare le regole che compaiono.

Continua a leggere “L’isola delle tabelline” →

La fisica e le misure

Estratto del libro “La Relatività e la Fisica contemporanea – Dalle favole sui neutrini superluminali alla realtà delle onde gravitazionali” Continua a leggere “La fisica e le misure” →

Rapporto aureo tra superfici

Sommario

Queste note descrivono la scoperta (ma è tale?) del tutto casuale del rapporto aureo tra alcune superfici legate in qualche modo al numero d’oro.

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Analisi e modellizzazione del flusso informativo in modalità tradizionale e con sistema RIS-PACS presso una unità di radiodiagnostica

Obiettivo di questo lavoro di tesi di Master è quello di rappresentare in modo formale e strutturato il flusso informativo all’interno di un Reparto di Radiodiagnostica dell’Istituto Nazionale per lo Studio e la Cura dei Tumori di Milano (INT), evidenziando le differenze nel flusso dei processi e delle informazioni tra la modalità tradizionale e la modalità digitale con sistema RIS-PACS. Continua a leggere “Analisi e modellizzazione del flusso informativo in modalità tradizionale e con sistema RIS-PACS presso una unità di radiodiagnostica” →

Possibile fare a meno delle onde di de Broglie?

In questo articolo si fa riferimento a quanto già sostenuto in [1, Paragrafo 4.7] e, in più, si propone un modello delle particelle che esclude il modello di de Broglie che associa ad ogni particella un’onda. Si sostiene, invece, che ogni particella, in particolare l’elettrone, sia un corpuscolo non perfettamente sferico (con superficie ondulata?), in modo da poter giustificare gli stessi risultati ottenuti con le classiche esperienze che sono portate a conferma del modello di de Broglie. Continua a leggere “Possibile fare a meno delle onde di de Broglie?” →

Debito 2

Il problema del debito di Stato e dei suoi effetti su economia e benessere dei cittadini rimane di notevole importanza e condiziona il dibattito pubblico e i titoli dei media. Continua a leggere “Debito 2” →

Galileo reloaded

«Galileo Reloaded» è il titolo dell’originale biografia di Galileo Galilei scritta da Luciano Canova e pubblicata da Egea. Luciano Canova è un economista, insegnante di economia comportamentale presso la Scuola Enrico Mattei, che collabora con diverse testate di divulgazione. Continua a leggere “Galileo reloaded” →

Ragazze con i numeri

«Ragazze con i numeri» è il titolo della raccolta delle storie di quindici scienziate, pubblicato da Editoriale Scienza. Le autrici sono Vichi De Marchi, che con “La trottola di Sofia” era arrivata in finale alla prima edizione del premio Strega ragazze e ragazzi, e Roberta Fulci, matematica e conduttrice di Radio3Scienza. Il libro, con le sue quindici biografie, celebra il quindicesimo anno della collana di Editoriale Scienza dedicata alle donne nella scienza. Continua a leggere “Ragazze con i numeri” →

Di chi è il merito o il demerito? La Shift-Share Analysis

Sono un distretto industriale, e mi occupo (ipotizziamo) del comparto del medicale. Le mie attività nell’ultimo anno vanno piuttosto bene. Vendo molto, il numero di personale occupato si è incrementato, il numero dei clienti è cresciuto. Tutto bene, quindi. Continua a leggere “Di chi è il merito o il demerito? La Shift-Share Analysis” →

“Project Management, Problem solving, Decision Making” di Roberto Chiappi

«Project Management, Problem solving, Decision Making» è stato pubblicato per Matematicamente.it nel 2015. L’autore è Roberto Chiappi, ingegnere elettronico che ha lavorato per trent’anni nel gruppo ENI, coautore con Rocco Amato di «Tecniche di Project Management», di cui questo testo costituisce un ampliamento. Nel 2014 ha avuto accesso alla fase finale del Premio Nazionale di Divulgazione Scientifica, bandito dall’Associazione Italiana del Libro, per la categoria “scienze matematiche, fisiche e naturali” con il libro «Problem solving: 102 nomi per 102 idee».
Continua a leggere ““Project Management, Problem solving, Decision Making” di Roberto Chiappi” →

“Problem solving: 102 nomi per 102 idee” di Roberto Chiappi

Problem solving: 102 nomi per 102 idee è stato pubblicato per Matematicamente.it nel 2014. L’autore è Roberto Chiappi, ingegnere elettronico, che ha al suo attivo altri tre libri di carattere tecnico professionale Continua a leggere ““Problem solving: 102 nomi per 102 idee” di Roberto Chiappi” →

Il nostro fratello gemello: il computer

In un suo libro del 1982, “Mia sorella gemella psicoanalisi” Cesare Musatti identifica la propria nascita con quella della psicoanalisi: nacque il 21 Settembre 1897 proprio quando Freud passava in treno davanti alla sua casa di Dolo, diretto a Venezia in procinto di scrivere a Fliess la famosa lettera in cui rinunciava alla teoria del trauma e proponeva la psicoanalisi come strumento di analisi del mondo interiore (inconscio). Continua a leggere “Il nostro fratello gemello: il computer” →

Verifica e Falsificazione (il gioco della serie numerica)

Il Demiurgo: stabilisce la legge e valuta se le ipotesi proposte sono congrue con essa.
Il Verificazionista: cerca conferme, verifiche delle sue ipotesi.
Il Falsificazionista: cerca di scoprire se le sue ipotesi sono false.
Continua a leggere “Verifica e Falsificazione (il gioco della serie numerica)” →

I numeri dell’Italia e degli italiani

Quali sono i conti dell’Italia e degli italiani? A quanto ammonta il PIL, il debito pubblico, la spesa pubblica e il deficit? Quali sono i redditi, la pressione fiscale, la produttività e i risparmi degli italiani? Quali sono le differenze tra Nord e Sud del paese e le disuguaglianze in Italia, in Europa e nel resto del mondo? A queste ed altre domande si cerca di rispondere nel brevissimo articolo, rimandando alla rete per ricerche più approfondite, precise e mirate. Continua a leggere “I numeri dell’Italia e degli italiani” →

Calcolare il valore del seguente integrale: $ int frac(x^4 + 1)(x^2 + 2x + 2) dx $

Per la risoluzione dell’integrale è conveniente spezzare la frazione integrando in due parti, ovvero esprimerla nel seguente modo:

$ frac(x^4 + 1)(x^2 + 2x + 2) = frac(x^4)(x^2 + 2x + 2) + frac(1)(x^2 + 2x + 2) $

Applicando la proprietà di linearità degli integrali possiamo calcolare singolarmente gli integrali delle due frazioni:

$ int frac(x^4 + 1)(x^2 + 2x + 2) dx = int frac(x^4)(x^2 + 2x + 2) dx + int frac(1)(x^2 + 2x + 2) dx $

Cominciamo dal primo integrale; poiché il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore, occorre eﬀettuare una divisione tra polinomi.

Applicando la regola di divisione, troviamo che il quoziente è $ x^2 – 2x + 2$, mentre il resto è -4.

Sapendo che il dividendo può essere espresso come somma del resto su dividendo più il quoziente, abbiamo la seguente espressione:

$ frac(x^4)(x^2 + 2x + 2) = x^2 – 2x + 2 + frac(-4)(x^2 + 2x + 2) $

Passiamo all’integrale:

$ int frac(x^4)(x^2 + 2x + 2) dx = int x^2 – 2x + 2 + frac(-4)(x^2 + 2x + 2) dx = $

$ int x^2 dx – 2 int x dx + 2 int 1 dx -4 int frac(1)(x^2 + 2x + 2) dx $

I primi integrali sono di facile risoluzione; abbiamo i seguenti risultati:

$ int x^2 dx = 1/3 x^3 + c $

$ int x dx = 1/2 x^2 + c $

$ int 1 dx = x $

Per risolvere l’ultimo integrale proviamo quindi a trovare le radici del polinomio a denominatore della frazione:

$ x^2 + 2x + 2 = 0 to x = -1 pm sqrt(1-2) = -1 pm sqrt(-1) = -1 pm i $

Il polinomio ha radici complesse; chiamando le sue radici $a$ e $b$, possiamo sempre scrivere il polinomio nella forma: $ (x-a)(x-b) $; abbiamo quindi:

$ x^2 + 2x + 2 = ( x – (-1+i) ) * ( x – (-1-i) ) $

Togliamo le parentesi tonde, e cerchiamo di scrivere la soluzione in una forma che può esserci utile:

$ ( x – (-1+i) ) * ( x – (-1-i) ) = (x + 1 – i) * (x + 1 + i) = ((x + 1) – i) * ((x + 1) + i) $

Notiamo quindi che abbiamo ottenuto un’espressione del tipo prodotto somma per diﬀerenza; come sappiamo, tale espressione può essere scritta come il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo, ovvero:

$ ((x + 1) – i) * ((x + 1) + i) = (x+1)^2 – (i)^2 $

e ricordando le proprietà dell’unità immaginaria si ha:

$ x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 – (i)^2 = (x+1)^2 – (-1) = (x+1)^2 + 1 $

Torniamo quindi all’integrale:

$ int frac(1)(x^2 + 2x + 2) dx = int frac(1)((x+1)^2 + 1) dx $

Abbiamo ottenuto un integrale che può essere ricondotto ad una forma notevole, in quanto al denominatore abbiamo un quadrato più il termine 1; il risultato dell’integrazione è quindi il seguente:

$ int frac(1)((x+1)^2 + 1) dx = arctan(x+1) + c $

Calcolare il valore del seguente integrale: $ int frac(1)(x^2 + 2x + 2) dx $

Notiamo che apparentemente l’integrale non sembra essere risolvibile con le tecniche note; proviamo quindi a trovare le radici del polinomio a denominatore della frazione:

$ x^2 + 2x + 2 = 0 to x = -1 pm sqrt(1-2) = -1 pm sqrt(-1) = -1 pm i $

Il polinomio ha radici complesse; chiamando le sue radici $a$ e $b$, possiamo sempre scrivere il polinomio nella forma: $ (x-a)(x-b) $; abbiamo quindi:

$ x^2 + 2x + 2 = ( x – (-1+i) ) * ( x – (-1-i) ) $

Togliamo le parentesi tonde, e cerchiamo di scrivere la soluzione in una forma che può esserci utile:

$ ( x – (-1+i) ) * ( x – (-1-i) ) = (x + 1 – i) * (x + 1 + i) = ((x + 1) – i) * ((x + 1) + i) $

Notiamo quindi che abbiamo ottenuto un’espressione del tipo prodotto somma per differenza; come sappiamo, tale espressione può essere scritta come il quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo, ovvero:

$ ((x + 1) – i) * ((x + 1) + i) = (x+1)^2 – (i)^2 $

e ricordando le proprietà dell’unità immaginaria si ha:

$ x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 – (i)^2 = (x+1)^2 – (-1) = (x+1)^2 + 1 $

Torniamo quindi all’integrale:

$ int frac(1)(x^2 + 2x + 2) dx = int frac(1)((x+1)^2 + 1) dx $

$ int frac(1)((x+1)^2 + 1) dx = arctan(x+1) + c $

Calcolare il valore del seguente integrale: $ int frac(x – 3)(x(x^2 – 3x + 2)) dx $

Per la risoluzione dell’integrale è conveniente cercare di esprimere l’integrando in fratti semplici, ovvero scomporre la frazione nel seguente modo:

$ frac(x – 3)(x(x^2 – 3x + 2)) = frac(x – 3)(x(x-1)(x-2)) = frac(A)(x) + frac(B)(x – 1) + frac(C)(x -2) $

dove i coeﬃcienti A, B e C possono essere ricavati nel seguente modo:

$ A = lim_(x to 0) frac(x-3)(x^2 – 3x + 2) = -3/2 $

$ B = lim_(x to 1) frac(x-3)(x(x – 2)) = 2 $

$ C = lim_(x to 2) frac(x-3)(x(x – 1)) = -1/2 $

Quindi la frazione può essere riscritta in questo modo:

$ frac(x – 3)(x(x^2 – 3x + 2)) = -3/2 frac(1)(x) + frac(2)(x – 1) -1/2 frac(1)(x -2) $

Applichiamo ora la proprietà di linearità degli integrali:

$ int frac(x – 3)(x(x^2 – 3x + 2)) dx = int -3/2 frac(1)(x) + frac(2)(x – 1) -1/2 frac(1)(x -2) dx = $

$ -3/2 int frac(1)(x) dx + 2 int frac(1)(x – 1) dx -1/2 int frac(1)(x -2) dx $

Questi integrali possono essere risolti riconducendoci ad un integrale notevole, notando che in ogni caso al numeratore delle frazioni è presente la derivata del denominatore; abbiamo quindi:

$ int frac(1)(x) dx = log(|x|) + c $

$ int frac(1)(x – 1) dx = log(|x-1|) + c $

$ int frac(1)(x-2) dx = log(|x-2|) + c $

Passando all’integrale generale:

$ -3/2 int frac(1)(x) dx + 2 int frac(1)(x – 1) dx -1/2 int frac(1)(x -2) dx = -3/2 log(|x|) + 2 log(|x-1|) -1/2 log(|x-2|) + c $

Calcolare il valore del seguente integrale: $ int frac(2x + 1)(x(x^2 – 1)) dx $

Per la risoluzione dell’integrale è conveniente separare la frazione, ottenendo la scrittura seguente:

$ frac(2x + 1)(x(x^2 – 1)) = frac(2x)(x(x^2 – 1)) + frac(1)(x(x^2 – 1)) $

Nella prima frazione possiamo semplifcare la $x$:

$ frac(2)(x^2 – 1) + frac(1)(x(x^2 – 1)) $

Procediamo applicando la proprietà di linearità degli integrali, e considerando separatamente le singole frazioni:

$ int frac(2)(x^2 – 1) + frac(1)(x(x^2 – 1)) dx = 2 int frac(1)(x^2 – 1) dx + int frac(1)(x(x^2 – 1)) dx $

Consideriamo il primo integrale:

$int frac(1)(x^2 – 1) dx = int frac(1)((x+1)(x-1)) dx$

Possiamo procedere scomponendo la frazione in fratti semplici, ovvero cercando una espressione della frazione che abbia la seguente forma:

$ frac(1)((x+1)(x-1)) = frac(A)(x+1) + frac(B)(x – 1) $

dove i coeffcienti A e B possono essere ricavati nel seguente modo:

$ A = lim_(x to -1) frac(1)(x – 1) = -1/2 $

$ B = lim_(x to 1) frac(1)(x + 1) = 1/2 $

Avremo quindi la frazione scritta in questo modo:

$ frac(1)(x^2 – 1) = frac(-1/2)(x+1) + frac(1/2)(x – 1) $

Passiamo ad integrare:

$ int frac(1)(x^2 – 1) dx = int frac(-1/2)(x+1) dx + int frac(1/2)(x – 1) dx = -1/2 int frac(1)(x+1) + 1/2 int frac(1)(x – 1) $

Questi due integrali possono essere risolti riconducendoci ad un integrale notevole, notando che al numeratore delle frazioni è presente la derivata del denominatore; abbiamo quindi:

$ -1/2 int frac(1)(x+1) dx + 1/2 int frac(1)(x – 1) dx = -1/2 log(|x+1|) + 1/2 log(|x-1|) + c $

applicando le proprietà dei logaritmi:

$ -1/2 log(|x+1|) + 1/2 log(|x-1|) + c = 1/2 log(| frac(x-1)(x+1) |) +c $

Passiamo ora al secondo integrale, la cui risoluzione può essere determinata in modo simile.
Anche in questo caso scomponiamo la frazione in fratti semplici:

$ frac(1)(x(x^2 – 1)) = frac(A)(x) + frac(B)(x – 1) + frac(C)(x + 1) $

dove i coeffcienti A, B e C possono essere ricavati nel seguente modo:

$ A = lim_(x to 0) frac(1)(x^2 – 1) = -1 $

$ B = lim_(x to 1) frac(1)(x(x + 1)) = 1/2 $

$ C = lim_(x to -1) frac(1)(x(x – 1)) = 1/2 $

Possiamo quindi scrivere la frazione come:

$ frac(1)(x(x^2 – 1)) = frac(-1)(x) + frac(1/2)(x – 1) + frac(1/2)(x + 1) $

e passando agli integrali:

$ int frac(1)(x(x^2 – 1)) dx = – int frac(1)(x) dx + 1/2 int frac(1)(x – 1) dx + 1/2 int frac(1)(x + 1) dx $

La risoluzione di tali integrali può essere effettuata riconducendosi sempre all’integrale notevole; si ha il seguente svolgimento:

$ – int frac(1)(x) dx + 1/2 int frac(1)(x – 1) dx + 1/2 int frac(1)(x + 1) dx = – log(|x|) + 1/2 log(|x-1|) + 1/2 log(|x+1|) + c $

e applicando le proprietà degli integrali:

$ – log(|x|) + 1/2 log(|x-1|) + 1/2 log(|x+1|) + c = – log(|x|) + 1/2 log(| (x-1)(x+1) |) + c $

Per concludere, riportiamo il valore fnale dell’integrale di partenza:

$ int frac(2x + 1)(x(x^2 – 1)) dx = log(| frac(x-1)(x+1) |) – log(|x|) + 1/2 log(| (x-1)(x+1) |) + c = $

$ log(|x-1|) – log(|x+1|) – log(|x|) + 1/2 log(|x-1|) + 1/2 log(|x+1|) + c = $

$ 3/2 log(|x-1|) – 1/2 log(|x+1|) – log(|x|) + c $

Calcolare il valore del seguente integrale: $ int frac(2x + 1)(x(x^2 + 1)) dx $

Per la risoluzione dell’integrale è conveniente separare la frazione, ottenendo la scrittura seguente:

$ frac(2x + 1)(x(x^2 + 1)) = frac(2x)(x(x^2 + 1)) + frac(1)(x(x^2 + 1)) $

A questo punto, nella prima frazione possiamo semplifcare la $x$, ottenendo così una forma che può essere ricondotta a un integrale noto:

$ frac(2)(x^2 + 1) + frac(1)(x(x^2 + 1)) $

Per quando riguarda la seconda frazione, possiamo procedere scomponendola in fratti semplici, ovvero cercando una espressione della frazione che abbia la seguente forma:

$ frac(1)(x(x^2 + 1)) = frac(A)(x) + frac(B)(x^2 + 1) $

dove il coeffciente A può essere ricavato nel seguente modo:

$ A = lim_(x to 0) frac(1)(x^2 + 1) = 1 $

ottenuto A, non è diffcile ricavare il valore di B; infatti si ha che:

$ frac(1)(x(x^2 + 1)) = frac(1)(x) + frac(B)(x^2 + 1) = frac(x^2 + 1 + Bx)(x(x^2 + 1)) $

e poiché il numeratore deve essere 1, si conclude che $ B = – x$; l’espressione generale del nostro integrale sarà quindi:

$ int frac(2)(x^2 + 1) + frac(1)(x) – frac(x)(x^2 + 1) dx $

Come sappiamo, dalla proprietà di linearità degli integrali, possiamo scrivere l’integrale della somma delle frazioni come somma degli integrali delle frazioni, ovvero:

$ int frac(2)(x^2 + 1) + frac(1)(x) – frac(x)(x^2 + 1) dx = 2 int frac(1)(x^2 + 1) dx + int frac(1)(x) dx – int frac(x)(x^2 + 1) dx $

Il primo integrale si può riconoscere come integrale notevole, e il suo valore è:

$ int frac(1)(x^2 + 1) dx = arctan(x) + c $

anche il secondo integrale è un integrale notevole, e il suo valore è:

$int frac(1)(x) dx = log(|x|) + c $

infne per l’ultimo integrale notiamo che abbiamo al numeratore la derivata del denominatore, a meno di un fattore moltiplicativo; possiamo quindi scrivere:

$ int frac(x)(x^2 + 1) dx = 1/2 int frac(2x)(x^2 + 1) dx = 1/2 log(x^2 + 1) + c $

Per concludere, riportiamo il valore fnale dell’integrale di partenza:

$ int frac(2x + 1)(x(x^2 + 1)) dx = 2 arctan(x) + log(|x|) – 1/2 log(x^2 + 1) + c $

Da Pitagora a Fermat a Homer

Questo breve articolo, ha solo intenti didattici e di divertimento, senza alcuna pretesa specialistica. Si vogliono però mettere a confronto, con semplici esempi, discipline molto diverse come: la storia della matematica, la geometria, la teoria dei numeri, i controlli empirici, il calcolo numerico, l’ottimizzazione e… i fumetti dei Simpson.
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Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 sin(x-y) )( sqrt(1+x^2) – sqrt(1+y^2) ) $

Il limite si presenta nella forma indeterminata $0/0$; per risolverlo, essendoci delle radici al denominatore, possiamo provare a razionalizzare la frazione, moltiplicando numeratore e denominatore per l’espressione $sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2) $ :

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 sin(x-y) )( sqrt(1+x^2) – sqrt(1+y^2) ) * frac(sqrt(1+x^2) +sqrt(1+y^2))(sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)) $

Procediamo calcolando i prodotti:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (sqrt(1+x^2) – sqrt(1+y^2)) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)) ) $

Al denominatore abbiamo un prodotto somma per differenza, che può essere scritto come quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (sqrt(1+x^2))^2 – (sqrt(1+y^2))^2 ) $

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( 1+x^2 – 1-y^2 ) $

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( x^2 -y^2 ) $

Possiamo fattorizzare il denominatore, essendo esso la differenza di due quadrati:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x+y) * (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (x+y)(x-y) ) $

A questo punto, notiamo che è possibile effettuare una semplificazione con uno dei termini del numeratore:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) frac( (x-1)^2 * sin(x-y) * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)))( (x-y) ) $

Non abbiamo ancora risolto la forma di indeterminazione, però possiamo ora determinare il valore del limite; notiamo, infatti, che abbiamo al numeratore una funzione seno con argomento uguale al denominatore della frazione; poiché tale valore tende a zero per $(x,y) to (1,1) $, possiamo ricondurci al limite notevole seguente:

$ lim_( z to 1 ) frac( sin(z))(z) = 1$

Nel nostro caso avremo quindi:

$ lim_( (x,y) to (1,1) ) (x-1)^2 * (sqrt(1+x^2) + sqrt(1+y^2)) * frac(sin(x-y))(x-y) = 0 $

Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( x sin(xy) + arctg(x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) $

Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed è la seguente:

$ x = r cos(theta) $

$ y = r sin(theta) $

Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r cos(theta) * r sin(theta)) + arctg((r cos(theta))^2 + (rsin(theta))^2) )( (r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 ) $

Svolgiamo i quadrati:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) + arctg( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) ) )( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) ) $

Possiamo effettuare un raccoglimento sia nell’argomento dell’arcotangente, sia al denominatore:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) + arctg( r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) )( r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) $

Notiamo che compaiono delle espressioni che possono essere semplificate, per l’identità fondamentale di seno e coseno:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) + arctg( r^2 ) )( r^2 ) $

Il limite presenta ancora una forma di indecisione, che è del tipo $0/0$; per risolverla, possiamo esprimere le funzioni che compaiono nei loro sviluppi di Taylor; essendo questi centrati in zero, possiamo sfruttare gli sviluppi fondamentali delle funzioni, che ricordiamo essere i seguenti:

$ sin(z) = z – frac(z^3)(6) + frac(z^5)(120) – … + frac((-1)^n z^(2n+1))((2n+1)!) + o(z^(2n+1)) $

$ arctan(z) = z – frac(z^3)(3) + frac(z^5)(5) – … + frac((-1)^n z^(2n+1))(2n+1) + o(z^(2n+2)) $

In questo caso, poiché al denominatore abbiamo un in\ufb01nitesimo di secondo ordine, dobbiamo cercare di sviluppare anche il numeratore al secondo ordine. Tuttavia, poiché l’argomento del seno presenta la variabile z al secondo grado, e la funzione è poi moltiplicata per z, ordine di infinitesimo più piccolo ottenibile è il terzo.

Abbiamo quindi il seguente sviluppo per la funzione seno:

$ sin(z) = z + o(z) $

Applicando la sostituzione $ z = r^2 cos(theta) * sin(theta)$, si ottiene:

$ sin(r^2 cos(theta) * sin(theta)) = r^2 cos(theta) * sin(theta) + o(r^2) $

Con un ragionamento analogo, abbiamo il seguente sviluppo per la funzione arcotangente:

$ arctan(z) = z + o(z^2) $

E la sostituzione necessaria è $ z = r^2$:

$ arctan(r^2) = r^2 + o((r^2)^2) = r^2 + o(r^4)$

Procediamo quindi riportando tutti gli sviluppi trovati all’interno del nostro limite:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) (r^2 cos(theta) * sin(theta) + o(r^2)) + r^2 + o(r^4) )( r^2 ) = $

Moltiplichiamo:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos^2(theta) * sin(theta) + o(r^3) + r^2 + o(r^4) )( r^2 ) = $

Possiamo eliminare $o(r^4) $, data la presenza di $o(r^3) $ :

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos^2(theta) * sin(theta) + r^2 + o(r^3) )( r^2 ) = $

Possiamo procedere mettendo in evidenza il termine $r^2$:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^2 (r cos^2(theta) * sin(theta) + 1 + o(r) ) )( r^2 ) = $

Semplifichiamo con il denominatore:

$ lim_( r to 0 ) r cos^2(theta) * sin(theta) + 1 + o(r) $

Possiamo quindi determinare il valore del limite:

$ lim_( r to 0 ) r cos^2(theta) * sin(theta) + 1 + o(r) = 1 $

Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( log(1 + x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) * (xy^2 + 2)$

Possiamo risolvere l’esercizio facendo riferimento al limite notevole seguente:

$ lim_(x to 0) frac(log(1+x))(x) = 1$

Infatti, anche in questo caso l’argomento del logaritmo si presenta come un termine che tende a zero ($x^2 + y^2$) sommato ad 1; possiamo quindi concludere che il primo fattore della funzione tende a 1:

$lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( log(1 + x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) = 1$

Il secondo fattore risulta facile da calcolare, in quanto non presenta forme di indecisione; abbiamo quindi:

$ lim_( (x,y) to (0,0) ) (xy^2 + 2) = 0*0^2 + 2 = 2$

Possiamo concludere che il valore finale del limite è il seguente:

$ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( log(1 + x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) * (xy^2 + 2) = 1 * 2 = 2 $

Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac( xy^2 log(x^2 + y^2) )( x^2 + y^2 ) $

Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed è la seguente:

$ x = r cos(theta) $

$ y = r sin(theta) $

Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) (r sin(theta))^2 log((r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2) )( (rcos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 ) $

Procediamo svolgendo i quadrati:

$ lim_( r to 0 ) frac( r cos(theta) r^2 sin^2(theta) * log( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) ) )( r^2cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta)) = $

Possiamo effettuare dei raccoglimenti totali all’interno del logaritmo e al denominatore della frazione:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos(theta) sin^2(theta) * log( r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) )( r^2 ( cos^2(theta) + sin^2(theta)) ) = $

Dall’identità fondamentale di seno e coseno otteniamo un’ulteriore semplificazione:

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos(theta) sin^2(theta) * log( r^2) )( r^2 ) = $

$ lim_( r to 0 ) frac( r^3 cos(theta) sin^2(theta) * 2log(r) )( r^2 ) = $

Semplifichiamo numeratore con denominatore:

$ lim_( r to 0 ) r cos(theta) sin^2(theta) * 2log(r) = $

Possiamo infine determinare il valore del limite; abbiamo una forma di indeterminazione del tipo $0 * +oo$, però possiamo semplicemente risolverla.

Notiamo, infatti, che è possibile scrivere il limite nei seguente modo:

$ lim_( r to 0 ) frac(log(r))(1/r) 2cos(theta) sin^2(theta) $

e poiché $1/r$ va a infinito più velocemente di $log(r)$, concludiamo che il valore del limite è 0.

Calcolare il valore del seguente limite: $ lim_( (x,y) to (0,0) ) frac(e^(2x^2) – cos(2y))(x^2 + y^2) $

Per la risoluzione di questo tipo di limiti occorre effettuare una sostituzione delle variabili; la sostituzione che si applica fa riferimento alle coordinate polari, ed è la seguente:

$ x = r cos(theta) $

$ y = r sin(theta) $

Poiché entrambe le variabili nel limite di partenza tendono a zero, con il cambio di coordinate faremo tendere la variabile r a zero:

$ lim_( r to 0 ) frac(e^(2 (r cos(theta))^2) – cos(2(r sin(theta))))((r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2) = $

Procediamo calcolando i quadrati:

$ lim_( r to 0 ) frac( e^(2 r^2 cos^2(theta)) – cos(2r sin(theta)) )( r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta)) = $

Al denominatore raccogliamo $r^2$ e riconosciamo la somma di coseno e seno al quadrato, che fa uno:

$ lim_( r to 0 ) frac( e^(2 r^2 cos^2(theta)) – cos(2r sin(theta)) )( r^2 ) = $

Ora, cercando di calcolare il limite, notiamo una forma indeterminata del tipo $0/0$; possiamo risolvere questa situazione calcolando gli sviluppi di Taylor delle funzioni presenti; poiché il centro dello sviluppo sarà zero, possiamo applicare le regole degli sviluppi fondamentali, che ricordiamo essere:

$ e^z = 1 + z + frac(z^2)(2) + frac(z^3)(6) + … + frac(z^n)(n!) + o(z^n) $

$ cos(z) = 1 – frac(z^2)(2) + frac(z^4)(24) – … + frac((-1)^n z^(2n))((2n)!) + o(z^(2n)) $

Poiché il denominatore è un in\ufb01nitesimo di secondo ordine, possiamo calcolare gli sviluppi del numeratore fermandoci al secondo ordine nel caso del coseno:

$ cos(z) = 1 – frac(z^2)(2) + o(z^2) $

Applicando la sostituzione $z = 2r sin(theta)$ si ha:

$ cos(2r sin(theta)) = 1 – frac((2r sin(theta))^2)(2) + o(r^2) = 1 – 1/2 * 4 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) = $

$ 1 – 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) $

Nel caso del seno, avendo una sostituzione diversa, possiamo fermarci al primo ordine:

$ e^z = 1 + z + o(z) $

Sostituiamo $z = 2r^2 cos^2(theta)$:

$ e^(2r^2 cos^2(theta)) = 1 + 2r^2 cos^2(theta) + o(r^2) $

Possiamo ora sostituire queste espressioni all’interno del nostro limite:

$ lim_( r to 0 ) frac( 1 + 2r^2 cos^2(theta) + o(r^2) – [1 – 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2)] )( r^2 ) = $

Procediamo semplificando il numeratore:

$ lim_( r to 0 ) frac( 1 + 2r^2 cos^2(theta) + o(r^2) – 1 + 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) )( r^2 ) = $

$ lim_( r to 0 ) frac( 2r^2 cos^2(theta) + 2 r^2 sin^2(theta) + o(r^2) )( r^2 ) = $

Mettendo in evidenza il fattore $2r^2$ e riconoscendo la somma dei quadrati di seno e coseno, possiamo determinare il valore finale del limite:

$ lim_( r to 0 ) frac( 2r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) + o(r^2) )( r^2 ) = $

$ lim_( r to 0 ) frac( 2r^2 + o(r^2) )( r^2 ) = 2 $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = sqrt(x^2 y) $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) ( sqrt(x^2 y) ) = frac(2xy)(2 sqrt(x^2 y) ) = frac(xy)( sqrt(x^2 y)) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) ( sqrt(x^2 y) ) = frac(x^2)(2 sqrt(x^2 y) ) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( frac(xy)( sqrt(x^2 y)) , frac(x^2)(2 sqrt(x^2 y) ) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = sqrt(x^2 + y^2) $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad $x$ si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) ( sqrt(x^2 + y^2) ) = frac(2x)(2 sqrt(x^2 + y^2)) = frac(x) ( sqrt(x^2 + y^2)) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) ( sqrt(x^2 + y^2) ) = frac(2y)(2 sqrt(x^2 + y^2)) = frac(y) ( sqrt(x^2 + y^2)) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( frac(x)( sqrt(x^2 + y^2)) , frac(y)( sqrt(x^2 + y^2)) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = x/y log(xy) $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad $x$ si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) ( x/y log(xy) ) = 1/y * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * y$

Semplificando si ha:

$ 1/y * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * y= 1/y * log(xy) + frac(1)(y) = 1/y * (log(xy) + 1) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) ( x/y log(xy) ) = -x/(y^2) * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * x $

Semplificando si ha:

$ -x/(y^2) * log(xy) + x/y * frac(1)(xy) * x = -x/(y^2) * log(xy) + frac(x)(y^2) = $

$ – frac(x)(y^2) * (log(xy) – 1) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( 1/y * (log(xy) + 1) , – frac(x)(y^2) * (log(xy) – 1) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = y^(-x^2) $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

Per semplicità, possiamo scrivere la funzione in modo diverso, ricordando le proprietà degli esponenziali e dei logaritmi, per cui si ha:

$ y^(-x^2) = e^(-x^2 log(y)) $

Procediamo, quindi, calcolando le derivate parziali.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) ( e^(-x^2 log(y)) ) = e^(-x^2 log(y)) * (-2x log(y)) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) ( e^(-x^2 log(y)) ) = e^(-x^2 log(y)) * frac(-x^2)(y) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( e^(-x^2 log(y)) * (-2x log(y)) , e^(-x^2 log(y)) * frac(-x^2)(y) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = x^y $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

Per semplicità, possiamo scrivere la funzione in modo diverso, ricordando le proprietà degli esponenziali e dei logaritmi, per cui si ha:

$ x^y = e^(y log(x)) $

Procediamo, quindi, calcolando le derivate parziali.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (e^(y log(x)) ) = e^(y log(x)) * frac(y)(x) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (e^(y log(x)) ) = e^(y log(x)) * log(x) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( e^(y log(x)) * frac(y)(x) , e^(y log(x)) * log(x) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = e^(-(x^2 + y^2)) $

Il gradiente di una funzione (simbolo $nabla$) è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (e^(-(x^2 + y^2))) = e^(-(x^2 + y^2)) * (-2x) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (e^(-(x^2 + y^2))) = e^(-(x^2 + y^2)) * (-2y) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( -2x * e^(-(x^2 + y^2)) , -2y * e^(-(x^2 + y^2)) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = arctan(y/x) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (arctan(y/x)) = frac(1)( 1 + (y/x)^2) * (-frac(y)(x^2)) = $

$ frac(1)( 1 + y^2/x^2) * (-frac(y)(x^2)) = frac(x^2)( x^2 + y^2) * (-frac(y)(x^2)) = $

$ frac(-y)( x^2 + y^2) $

Procediamo allo stesso modo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (arctan(y/x)) = frac(1)( 1 + (y/x)^2) * (frac(1)(x)) = $

$ frac(1)( 1 + y^2/x^2) * (frac(1)(x)) = frac(x^2)( x^2 + y^2) * (frac(1)(x)) = $

$ frac(x)( x^2 + y^2) $

Il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( frac(-y)( x^2 + y^2) , frac(x)( x^2 + y^2) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = log(x+y) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (log(x+y)) = frac(1)(x+y) $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (log(x+y)) = frac(1)(x+y) $

Notiamo che in questo caso le derivate parziali della funzione sono uguali; il gradiente della funzione $f$ è dato quindi dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( frac(1)(x+y) , frac(1)(x+y) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = sin(xy) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (sin(xy)) = y cos(xy) $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (sin(xy)) = x cos(xy) $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( y cos(xy) , x cos(xy) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = sin(x) + sin(y) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (sin(x) + sin(y)) = cos(x) $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (sin(x) + sin(y)) = cos(y) $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( cos(x) , cos(y) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = frac(x+y)(x-y) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (frac(x+y)(x-y)) = frac(x-y – (x+y) )((x-y)^2) = $

$frac(x-y – x – y)((x-y)^2) = frac(- 2y)((x-y)^2)$

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (frac(x+y)(x-y)) = frac(x-y – (x+y)(-1) )((x-y)^2) = $

$frac(x-y + x + y)((x-y)^2) = frac( 2x)((x-y)^2)$

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = (frac(- 2y)((x-y)^2) , frac( 2x) ((x-y)^2) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = x^4 y^2 – 3xy + 2y$

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (x^4 y^2 – 3xy + 2y) = 4x^3y^2 – 3y $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (x^4 y^2 – 3xy + 2y) = 2x^4 y – 3x + 2 $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( 4x^3y^2 – 3y , 2x^4 y – 3x + 2 ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili: $ f(x,y) = x^2 + 3xy$

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (x^2 + 3xy) = 2x + 3y $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (x^2 + 3xy) = 3x $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( 2x + 3y , 3x ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili nel punto $( 2, -1 )$: $ f(x,y) = log(1 + e^(xy)) $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è deﬁnito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) log(1 + e^(xy)) = frac(1)(1 + e^(xy)) * e^(xy) * y = frac(ye^(xy))(1 + e^(xy)) $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) log(1 + e^(xy)) = frac(1)(1 + e^(xy)) * e^(xy) * x = frac(xe^(xy))(1 + e^(xy)) $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( frac(ye^(xy))(1 + e^(xy)) , frac(xe^(xy))(1 + e^(xy)) ) $

Per calcolare il valore del gradiente in un preciso punto, basterà sostituire le coordinate del punto alla formula del gradiente:

$ nabla f(2,-1) = ( frac(-e^(-2))(1 + e^(-2)) , frac(2e^(-2))(1 + e^(-2)) ) $

Calcolare il gradiente della seguente funzione in due variabili nel punto $(2, 0)$: $ f(x,y) = xy + x^2 $

Il gradiente di una funzione, indicato con il simbolo $nabla$, è definito come un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

Per calcolare il gradiente, quindi, procediamo determinando le derivate parziali della funzione.

La derivata parziale rispetto ad x si ottiene considerando come variabile $x$, mentre si considera $y$ come costante:

$ frac(df)(dx) (x,y) = frac(d)(dx) (xy + x^2) = y + 2x $

Procediamo in modo analogo determinando la derivata parziale della funzione rispetto ad $y$:

$ frac(df)(dy) (x,y) = frac(d)(dy) (xy + x^2) = x $

Quindi, il gradiente della funzione $f$ sarà dato dalla seguente espressione:

$ nabla f(x,y) = ( y + 2x , x ) $

Per calcolare il valore del gradiente in un preciso punto, basterà sostituire le coordinate del punto alla formula del gradiente:

$ nabla f(2,0) = ( 2*2 , 2 ) = ( 4 , 2 ) $

Soluzione PDE con metodo Crank-Nicolson

per L’argomento equazioni alle derivate parziali è stato trattato qualche mese fa dall’autore su Matematicamente.it (R1). Ad esso si rimanda per una introduzione sulla PDE (Partial Derivative Equation) e per la descrizione/soluzione di un esempio applicativo di interesse tecnico: lo studio del transitorio termico per la valvola di alimentazione di un motore a scoppio. Questo articolo si propone di riesaminare e risolvere lo stesso problema con un metodo numerico diverso e più efficiente.
Continua a leggere “Soluzione PDE con metodo Crank-Nicolson” →

Dinamica dei Sistemi

“Sino ad oggi la maggior parte della teoria e della pratica manageriale si è occupata principalmente delle componenti. Contabilità, produzione, marketing, finanza, relazioni umane e valutazioni economiche sono state pensate e messe in pratica come se fossero argomenti separati. Solo nelle posizioni manageriali più elevate esiste la necessità di integrare queste funzioni separate.”
Continua a leggere “Dinamica dei Sistemi” →

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