Dilatazioni e compressioni, inclinazioni

Dilatazioni e compressioni

Dilatazioni e compressioni lungo l’asse x

Una dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x è un’affinità che presenta le seguenti equazioni:

\[ D_{x,k} : \begin{cases} x’ = kx \\ y’=y\end{cases} \,\,\,,\,\, k \ne 0 \]

 

Dilatazioni e compressioni lungo l'asse x

La matrice associata a una dilatazione o ad una compressione lungo l’asse x ha determinante uguale a k, ed è la seguente:

\[ A = \begin{pmatrix} k  & 0 \\ 0  & 1 \end{pmatrix} \,\,\, , \,\,\, \mbox{det}(A) = k \]

In base al valore di k, possiamo distinguere diversi casi:

  • se \(| k | \gt 1\) si ha una dilatazione lungo l’asse x;
  • se \(| k | \lt 1\)  si ha una compressione lungo l’asse x;
  • se $k = 1$ si ha l’identità;
  •  se $k = -1$ si ha una simmetria rispetto all’asse y.

Se la dilatazione, o compressione, ha rapporto k, la trasformazione inversa ha rapporto 1/k:

\[ D_{x,k}^{-1} = D_{x,\frac{1}{k}} \]

In particolare, queste trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell’asse y e tutti i punti delle rette parallele all’asse x, che sono pertanto punti e rette uniti.

Dilatazioni e compressioni lungo l’asse y

Dilatazioni e compressioni lungo l'asse yUna dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse y è un’affinità che presenta le seguenti equazioni:

\[ D_{x,k}: \begin{cases} x’=x \\ y’=ky \end{cases} \,\,\, , \,\,\, k \ne 0 \]

Anche la matrice associata a una dilatazione o ad una compressione lungo l’asse y ha determinante uguale a k, ed è la seguente:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \,\,\, ,\,\,\, \mbox{det}(A) = k \]

In questo caso, se $k = -1$ si ha una simmetria rispetto all’asse x.

La trasformazione inversa di una compressione o dilatazione di rapporto k ha rapporto 1/k:

\[ D_{y,k}^{-1} = D_{y,\frac{1}{k}} \]

Tutti i punti dell’asse x sono punti uniti, e tutte le rette parallele all’asse y sono rette unite.

Esempio: Consideriamo la funzione \( y = \sin x\). Se apportiamo modifiche al coefficiente di x, otteniamo una dilatazione.

Infatti, la funzione \(y = \sin (x/2) \) è una sinusoide con periodo maggiore rispetto a \(y = \sin x\).

 

Grafico funzione \( y = \sin(x/2) \) e \(y= \sin(x) \)

 

Mentre, invece, se apportiamo modifiche alla y, cioè se modifichiamo il coefficiente di sen x, otteniamo una compressione.

Ad esempio, consideriamo la funzione \(y = -1/2 \sin x\); notiamo che essa risulta essere compressa rispetto a \(y = \sin x\); ha stesso periodo, ma ampiezza minore.

 

Grafici funzioni \(y=\sin(x)\) e \( y = -\frac{1}{2}\sin(x)\)

 

Inclinazioni

Inclinazioni lungo l’asse x

Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere ad ogni punto ( x ; y ) del piano il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa incrementata proporzionalmente all’ordinata y.

 

Inclinazione lungo l'asse delle ascisse

 

Le equazioni di un’inclinazione lungo l’asse x sono le seguenti:

\[ I_{x,k}: \begin{cases} x’=x+ky \\ y’=y \end{cases} \]

La matrice associata alle equazioni è la matrice A, che ha determinante uguale a 1:

\[ A = \begin{pmatrix} 1  & k \\ 0  & 1 \end{pmatrix} \,\,\, , \,\,\, \mbox{det}(A) = 1 \]

Questo tipo di trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell’asse x e tutte le rette parallele all’asse x, che sono pertanto punti e rette unite.

Se la trasformazione ha coefficiente k, la sua inversa ha coefficiente – k:

\[ I_{x,k}^{-1} = I_{x,-k} \]

Inclinazioni lungo l’asse y

Inclinazione lungo l'asse delle ordinateSi definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere ad ogni punto ( x ; y ) del piano il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata incrementata proporzionalmente all’ascissa x.

Le equazioni di un’inclinazione lungo l’asse y sono le seguenti:

\[ I_{y,k}: \begin{cases} x’=x \\ y’=y+kx \end{cases} \]

La matrice associata alle equazioni è la matrice A, che ha determinante uguale a 1:

\[\begin{pmatrix} 1  & 0 \\ k  & 1 \end{pmatrix} \,\,\, , \,\,\, \mbox{det}(A) = 1 \]

Queste trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell’asse y e tutte le rette parallele all’asse y, che sono pertanto punti e rette unite.

Se la trasformazione ha coefficiente k, la sua inversa ha coefficiente – k, e si ha:

\[ I_{y,k}^{-1} = I_{y,-k} \]

In entrambi i casi, poiché il determinante della matrice associata alle equazioni è uguale a 1, le inclinazioni trasformano una figura F in una figura F’ ad essa equivalente.

 

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Inversione rispetto al cerchio

Questo tipo di trasformazione, detta inversione rispetto al cerchio, non rientra nella tipologia di trasformazioni delle affinità

Definizione

Dato un cerchio \(\gamma\) di centro O e raggio r, si dice inversione di centro O e potenza $r^2$ la trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto P’ della semiretta OP tale che:

Inversione rispetto al cerchio\[ OP \cdot OP’ = r^2 \]

In particolare, il numero $r^2$ viene definito potenza dell’inversione, mentre la circonferenza \(\gamma\) si dice cerchio di inversione.

Conoscendo la posizione del punto P è possibile ricostruire geometricamente la posizione del punto P’; vediamo alcuni casi:

  • P è esterno alla circonferenza \(\gamma\):

Cerchio di inversioneIn questo caso, si traccia la circonferenza di diametro OP; consideriamo il punto M, uno dei punti di intersezione con \(\gamma\); il punto P’ è la proiezione ortogonale di M su OP.

  • P è interno alla circonferenza \(\gamma\):

Si conduce da P la perpendicolare alla retta OP e si indicano con N ed M i punti in cui questa incontra la circonferenza \(\gamma\); P’ è il punto di intersezione delle tangenti a \(\gamma\) condotte da N e M.

  • P è un punto della circonferenza \(\gamma\):

In questo caso, P’ coincide con P; infatti, ad ogni punto P ≠ O

corrisponde uno e un solo punto P’ e viceversa, e tutti i punti di \(\gamma\) sono punti uniti, vengono cioè mandati in se stessi dalla trasformazione.

La trasformazione inversa dell’inversione rispetto al cerchio è l’inversione stessa; ciò significa che, componendo un’inversione con se stessa, otteniamo l’identità.

Formule dell’inversione

Consideriamo l’origine O del sistema di riferimento cartesiano come il centro della circonferenza di inversione, e prendiamo un punto P, di coordinate ( x ; y ), e un punto P’, di coordinate ( x’ ; y’ ), corrispondenti nell’inversione di centro O e potenza $k = r^2$. Abbiamo quindi che:

\[ OP \cdot OP’ = r^2 = k \]

Ricordando le formule delle equazioni delle circonferenza di centro O e diametro OP e OP’:

\[ OP^2 = x^2 + y^2 \,\,\,\, , \,\,\,\, OP’^2 = x’^2 +y’^2 \]

e sostituendole nella relazione precedente, otteniamo delle formule che descrivono la trasformazione, e ci permettono di determinare le coordinate del punto P’ conoscendo quelle del punto P:

\[ l_{O,k} : \begin{cases} x’=\frac{kx}{x^2+y^2} \\ y’=\frac{ky}{x^2+y^2} \end{cases} \]

Da questa relazione, possiamo ricavare le formule della trasformazione inversa, che ci permettono di determinare le coordinate del punto P conoscendo quelle del punto P’:

\[ l_{O,k}^{-1} : \begin{cases} x=\frac{kx’}{x’^2+y’^2} \\ y =\frac{ky’}{x’^2+y’^2} \end{cases} \]

 

Proprietà caratteristica dell’inversione

Due punti qualunque e i loro inversi si trovano su una stessa circonferenza, oppure sono allineai con il centro dell’inversione.

 

Composizione di inversioni aventi lo stesso centro

Il prodotto, o composizione, di due inversioni aventi lo stesso centro O, e potenza diversa, è un’omotetia di centro O.

In particolare, due figure inverse di una stessa figura, rispetto allo stesso centro O, si corrispondono in una omotetia di centro O.

 

Figura inversa di una retta

Vediamo cosa accade nel caso in cui sia trasformata un’intera retta con una inversione rispetto al cerchio.

  • Ogni retta passante per il centro della circonferenza d’inversione viene trasformata in se stessa; infatti, punti corrispondenti sono allineati con il centro O;
  • Ogni retta non passante per il centro della circonferenza d’inversione viene trasformata in una circonferenza passante per O.

 

Figura inversa di una circonferenza

Consideriamo il caso in cui questo tipo di trasformazione sia applicato ad una circonferenza.

  • Ad ogni circonferenza C passante per il centro O della circonferenza d’inversione corrisponde una retta non passante per O;
  • Ad ogni circonferenza C non passante per il centro O della circonferenza di inversione corrisponde una circonferenza C’ non passante per O.

 

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Cambiamenti di riferimento nel piano

Nel piano cartesiano, i punti hanno una precisa posizione, espressa dalle loro coordinate.

Tuttavia, uno stesso punto può avere coordinate diverse in base al riferimento che stiamo considerando.

Quindi, l’intera equazione di una curva esiste ed è tale in base al tipo di riferimento che consideriamo.

Vediamo ora alcuni tipi di cambio di riferimento.

 

Traslazione degli assi

Traslazione degli assi coordinatiConsideriamo i riferimenti cartesiani xOy e XO’Y, paralleli ed equiversi, e ipotizziamo che O’ abbia, nel riferimento xOy, coordinate \(( x_0 ; y_0 )\).

Consideriamo il punto P che nei due riferimenti ha coordinate, rispettivamente, ( x ; y ) e ( X ; Y ); allora, le sue coordinate nei due riferimenti sono legate dalle seguenti formule di traslazione:

\[ \begin{cases} X = x – x_0 \\ Y = y – y_0 \end{cases} \,\,\,\, , \,\,\,\, \begin{cases} x = X + x_0 \\ y = Y + y_0 \end{cases} \]

Grazie a queste formule, possiamo passare dal vecchio sistema di riferimento (xOy) all’altro (XO’Y), traslato rispetto al primo, e viceversa, se conosciamo le coordinate della nuova origine rispetto al vecchio riferimento.

 

Rotazione degli assi

Consideriamo due riferimenti cartesiani xOy e XOY, di cui quest’ultimo risulta essere ruotato di un angolo \(\alpha\) rispetto al primo.

Consideriamo un punto P che ha coordinate ( x ; y ) rispetto al riferimento di partenza, e coordinate ( X ; Y ) rispetto al riferimento ruotato.

Se conosciamo le coordinate del punto P rispetto al sistema xOy, possiamo determinare le sue coordinate rispetto al sistema XOY mediante le seguenti formule:

\[ \color{red}{\boxed{\color{black}{ \begin{cases}  X = x\cos \alpha + y \sin \alpha \\  Y = -x\sin\alpha + y \cos\alpha \end{cases} }}} \]

Da questa relazione, possiamo ottenere le formule inverse, che ci permettono di passare dal riferimento ruotato a quello di partenza.

Notiamo che questo passaggio inverso equivale ad una rotazione dello stesso angolo in senso contrario; le formule inverse, quindi, si possono ottenere semplicemente scambiando x con X, y con Y e \(\alpha\) con \(-\alpha\).

Abbiamo quindi le seguenti formule:

\[ \begin{cases}  x = X\cos (-\alpha) + Y \sin (-\alpha) \\  y = -X\sin(-\alpha) + Y \cos(-\alpha) \end{cases} \]

Tenendo conto delle proprietà delle funzioni goniometriche, otteniamo:

\[ \color{red}{\boxed{\color{black}{ \begin{cases}  x = X\cos \alpha – Y \sin \alpha \\  y = X\sin\alpha + Y \cos\alpha \end{cases} }}} \]

 

Rotazioni particolari

Applichiamo la formula della rotazione diretta nel caso di alcuni angoli particolari, di cui siano note le funzioni goniometriche.

Vediamo i casi in cui gli angoli sono multipli di 45°:

  • \( \alpha = 45° \,\,\,\,\, ( \alpha = \pi/4 )\)

In questo caso, sappiamo che per l’angolo di 45° le funzioni seno e coseno assumono il valore di \(\sqrt{2}/2\); possiamo quindi scrivere le formule in questo modo:

\[ \begin{cases} X=\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y \\ Y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y \end{cases} \]

Queste formule possono anche essere scritte ricordando il prodotto matrice-vettore:

\[ (X;Y) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}  & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2}  & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \cdot (x;y) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1  & 1 \\ -1  & 1 \end{pmatrix} \cdot (x;y) \]

 

  • \( \alpha = 90° \,\,\,\,\,\,\, ( \alpha = \pi/2 )\)

Poiché il seno vale 1 se l’angolo è di 90° e il coseno è uguale a zero, sostituendo i valori nelle formule otteniamo:

\[ \begin{cases} X=y \\ Y=-x \end{cases} \]

Esprimendo le formule con il prodotto matrice-vettore:

\[ (X;Y) =  \begin{pmatrix} 0  & 1 \\ -1  & 0 \end{pmatrix} \cdot (x;y) \]

 

  • \(\alpha = 180° \,\,\,\,\,\,\, ( \alpha = \pi )\)

Per gli angoli di 180° il seno vale 0 e il coseno è uguale -1, quindi sostituendo i valori nelle formule otteniamo:

\[ \begin{cases} X = -x \\ Y = -y \end{cases} \]

Con il prodotto matrice-vettore otteniamo la seguente scrittura:

\[ (X;Y) = \begin{pmatrix} -1  & 0 \\ 0  & -1 \end{pmatrix} \cdot (x;y) \]

 

  •  \(\alpha = 270°\,\,\,\,\,\,\, (\alpha = 3\pi/2 )\)

Per gli angoli di 270° il seno vale -1 e il coseno è uguale 0, quindi sostituendo i valori nelle formule otteniamo:

\[\begin{cases} X=-y \\ Y=x \end{cases}\]

Scriviamo le formule con il prodotto matrice-vettore:

\[ (X;Y) = \begin{pmatrix} 0  & -1 \\ 1  & 0 \end{pmatrix}\cdot (x;y) \]

 

Nel caso degli angoli multipli di 30° abbiamo i seguenti casi:

  • \(\alpha = 30°\,\,\,\,\,  ( \alpha = \pi/6 )\)

In questo caso, il coseno dell’angolo vale \(\sqrt{3}/2\), mentre il seno vale \(1/2\), quindi abbiamo:

\[ \begin{cases} X=\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ Y=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y \end{cases} \]

Possiamo scrivere le formule anche con la seguente notazione:

\[ (X;Y) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}  & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}  & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \cdot (x;y) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{3}  & 1 \\ -1  & \sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot (x;y) \]

 

  • \(\alpha = 60°\,\,\,\,\, ( \alpha= \pi/3 )\)

In questo caso, il seno dell’angolo vale \(\sqrt{3}/2\), mentre il coseno vale \(1/2\), quindi abbiamo:

\[ \begin{cases} X = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ Y=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}y \end{cases} \]

Anche in questo caso, possiamo esprimere le formule con il prodotto matrice-vettore:

\[ (X;Y) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}  & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}  & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot (x;y) = \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1  & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3}  & 1 \end{pmatrix} \cdot (x;y) \]

 

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Le coordinate polari nel piano

Le coordinate polari sono un sistema di coordinate del piano determinato da un punto $O$, detto polo, una semiretta $x$ avente origine in $O$, detta asse polare, e un segmento unitario $u$.

 

Coordinate polari nel piano: modulo e anomaliaEsempio di spirale

 

Ad ogni punto \( P \ne 0 \) del piano vengono associati due numeri \(\rho\) e \( \nu\) tali che:

  • \(\rho\) corrisponde alla misura del segmento $OP$ rispetto all’unità di misura $u$, detto modulo del punto $P$;
  • \(\nu\) corrisponde alla misura in radianti dell’angolo che l’asse $x$ forma con la retta $OP$, orientata da $O$ verso $P$, detta anomalia del punto $P$.

Un punto P che ha modulo \(\rho\) e anomalia \(\nu\), cioè che ha coordinate polari \(\rho\) e \(\nu\), si indica nel seguente modo:

\[ P[\rho;\nu]\]

Così come nella trigonometria, il segno dell’angolo \(\nu\) indica il verso in cui esso è misurato: se l’angolo è positivo, allora esso è misurato in senso antiorario, mentre se esso è negativo, allora è misurato in senso orario.

Possiamo quindi affermare che un angolo associato ad un dato punto non è unico, in quanto ogni angolo può essere espresso prendendolo in senso orario o antiorario.

Tuttavia, considerando un angolo \(\nu\) compreso tra $0$ e \(2\pi\), ad ogni punto \(P \ne 0\) resta associata la coppia di numeri reali \([ \rho ; \nu ]\) che esprimono le sue coordinate, e viceversa, ogni coppia di numeri reali \([ \rho ; \nu ]\), con \(\nu\) compreso tra $0$ e \(2\pi\), individua nel piano un punto $P$.

Tale punto può essere individuato come intersezione tra la circonferenza di centro $O$ e raggio \(\rho\) e la semiretta avente origine $O$ e formante con l’asse $x$ l’angolo \(\nu\).

 

Trasformazione delle coordinate polari in coordinate cartesiane

Trasformazione di coordinate polari in coordinate cartesianeSe il polo $O$ coincide con l’origine del sistema di riferimento cartesiano $xOy$, e se l’asse polare $x$ coincide con l’asse semipositivo delle ascisse, e le unità di misura dei due sistemi coincidono, possiamo individuare un metodo per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari, e viceversa.

Consideriamo un punto $P$ del piano che ha coordinate cartesiane \(( x ; y )\) e coordinate polari \([ \rho ; \nu ]\).

Allora, considerando il triangolo rettangolo $OPH$, possiamo ricavare il valore di $x$ ed $y$ in funzione delle coordinate polari:

\[ x = \rho \cos \nu \,\,\,\, , \,\,\,\, y = \rho \sin \nu \]

Tali formule rappresentano la relazione tra le coordinate polari \([ \rho ; \nu ]\) e le coordinate cartesiane \(( x ; y )\).

Quindi, queste formule ci permettono di passare dalle coordinate polari di un punto alle sue coordinate cartesiane.

Viceversa, se vogliamo determinare il passaggio inverso, eleviamo al quadrato le formule viste in precedenza:

\[ x^2 = \rho^2 \cos^2 \nu \,\,\,\, , \,\,\,\, y^2 = \rho^2 \sin^2 \nu \]

Sommando membro a membro le due scritture, otteniamo:

\[ x^2+y^2 = \rho^2 \cdot (\cos^2 \nu + \sin^2 \nu) = \rho^2 \]

Da questa relazione possiamo ricavare le formule necessarie per passare da un riferimento cartesiano ad un riferimento con coordinate polari:

\[ \rho = \sqrt{x^2+y^2} \]

\[ \cos\nu = \frac{x}{\rho} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \,\,\,\, , \,\,\,\,  \sin\nu = \frac{y}{\rho} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \]

 

La spirale

Consideriamo una curva di equazione $y = mx + q$; sappiamo che, in un riferimento cartesiano, tale equazione rappresenta una retta.

 

Esempio di spirale

 

In un riferimento polare, una simile equazione lineare, scritta come \( \rho = \nu + 1\), con \(\nu \ge 0 \), rappresenta una spirale, cioè una curva di questo tipo, che ha “inizio” nel polo:

 

In generale, una curva di equazione: \[ \rho = m \nu + q \]

in base al valore di $m$ può rappresentare:

  • una circonferenza con centro nel polo e raggio $q$, con \(q \ge 0\), se $m = 0$;
  • una spirale se \(m \ne 0\); in particolare, distinguiamo i casi in cui m sia maggiore o minore di zero:
    • se \( m \gt 0\) si ha una spirale che esce dal punto \(A ( q ; 0 )\) e al crescere di \(\nu\) da zero a \(+\infty\) si allarga ruotando nel verso antiorario via via più rapidamente a seconda della grandezza di $m$;
    • se \(m \lt 0\) si ha una spirale che esce dal punto \(A ( q ; 0 )\) e al decrescere di \(\nu\) da zero a \(-\infty\) si allarga ruotando in senso orario, più rapidamente a seconda della grandezza di $m$.

 

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Grafici in coordinate polari

Vediamo alcune curve particolari, le cui equazioni sono espresse in coordinate polari.

1. Consideriamo la curva di equazione \(\nu = \cos (t)\).

Questa curva rappresenta una semiretta che forma l’angolo di ampiezza \(\nu\) con l’asse polare; ad esempio, consideriamo il caso in cui l’angolo in questione misuri \(\pi/6\); il grafico in questione è il seguente:

 

Grafico in coordinate polari

 

2. Analizziamo la curva \(\rho = a = \cos (t)\).

Il luogo dei punti del piano P che hanno distanza costante uguale ad $a$ dal polo O è una

circonferenza di centro O e raggio $a$. Il grafico che corrisponde a questo tipo

di curva è il seguente:

 

Circonferenza in coordinate polari

 

 

3. Vediamo ora la curva di equazione \( \rho \cdot \sin (\nu) = a = \cos (t) \)

Dato che \(y = \rho \cdot \sin (\nu)\), questa curva è una retta parallela all’asse

$x$, in particolare si tratta della retta di equazione $y = a$.

Volendola rappresentare nel piano, otteniamo il seguente grafico, nel caso in cui si ha

\(a = 1/2\):

 

Parallela all'asse x in coordinate polari

 

4. Consideriamo una curva simile alla precedente, la curva di equazione \( \rho \cdot \cos (\nu) = a = \cos (t)\).

In questo caso, abbiamo che \(x = \rho \cdot \cos (\nu)\), cioè l’equazione rappresenta una retta parallela all’asse $y$, che possiamo anche scrivere in questo modo: $x = a$.

Il suo grafico risulta essere il seguente, nel caso in cui si ha \(a = 1/2\):

 

Grafico retta parallela all'asse y in coordinate polari

 

5. Consideriamo l’equazione \(\rho = a \cdot \sin (\nu)\) , essendo \(\nu\) compreso tra $0$ e \(\pi\).

Osserviamo, prima di tutto, che per \(\nu = 0\) e per \(\nu = \pi\), si ha che \(\rho = 0\), quindi la curva passa per l’origine; inoltre, sapendo che valgono le seguenti relazioni:

\[ \rho = \sqrt{x^2+y^2} \,\,\,\,\, , \,\,\,\, \sin\nu = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \]

sostituendole nell’equazione di partenza otteniamo:

\[ \sqrt{x^2+y^2} = a \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \]

e moltiplicando abbiamo la seguente equazione in $x$ e $y$:

\[ x^2+y^2 -ay = 0 \]

cioè, l’equazione di una circonferenza di centro \(( 0 ; a/2 )\) e raggio \(a/2\);

vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione \(\rho = 5 \cdot \sin (\nu)\):

 

Grafico curva in coordinate polari

 

6. Consideriamo ora un’equazione simile alla precedente: \(\rho = a \cdot \cos (\nu)\) , con \(\nu\) compreso tra \(-\pi/2 \mbox{ e } \pi/2\).

Notiamo subito che per \(\nu = -\pi/2\) e per \(\nu = \pi/2\) si ha che \(\rho = 0\), quindi possiamo concludere che la curva passa per l’origine. Così come nel caso precedente, abbiamo che la curva rappresenta una circonferenza di centro \(( a/2 ; 0 )\) e raggio \(a/2\).

Vediamo il grafico, per esempio, della circonferenza di equazione \(\rho = 5 \cdot \sin (\nu)\).

 

grafico-funzione-in-coordinate-polari

 

Le coniche

Le coniche cono delle curve che si possono ottenere dalla seguente equazione:

\[ a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1 = 0 \]

che può rappresentare una parabola, un’iperbole, un’ellisse, o una conica degenere; in particolare, le coniche possono essere distinte in base al valore di: \( c_1^2-4a_1b_1\).

Abbiamo quindi i seguenti casi:

\[ c_1^2-4a_1b_1 = 0 \rightarrow \mbox{parabola}\]

\[c_1^2-4a_1b_1 \gt 0 \rightarrow \mbox{iperbole}\]

\[ c_1^2-4a_1b_1 \lt 0 \rightarrow \mbox{ellisse} \]

Le coniche in coordinate polari

Una conica può essere descritta tramite alcune caratteristiche: il fuoco, la direttrice, e l’eccentricità.

In particolare, dati il fuoco F e la direttrice non passante per F, una conica può essere descritta come il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto ($e$) delle distanze dal fuoco ($PF$) e dalla direttrice ($PH$).

\[ C = \Big\{ P \Big| \frac{\overline{PF}}{\overline{PH}} = e \,\,\, ; \,\,\, e \in \mathbb{R}^{+}_0 \Big\} \]

In particolare, in base al valore di $e$ possiamo distinguere i seguenti casi:

  • se $e = 1$ la conica è una parabola;
  • se \(0 \lt e \lt 1\) la conica è un’ellisse;
  • se \(e \gt 1\) la conica è un’iperbole.

 

In un sistema di coordinate polari, consideriamo il fuoco $F$ come coincidente con il polo, l’asse polare la perpendicolare per $F$ alla direttrice ( orientata dalla direttrice al fuoco ), e \(d \gt 0\) la distanza di $F$ dalla direttrice.

Allora, l’equazione in forma polare di una conica risulta essere del tipo:

\[ \rho = \frac{a}{1\pm e \cdot \cos\nu} \]

Dove, \(\rho\) è la distanza del punto $P$ dal fuoco ( \(\rho\) e \(\nu\) sono le coordinate polari del punto $P$ ), $a$ è il prodotto \(d \cdot e\).

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Trasformazioni lineari e matrici

Definizione

Una trasformazione T si dice lineare se è del tipo:

\[ T: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \]

\[ (x;y) \rightarrow (x’;y’)\]

descritta dalle seguenti equazioni:

\[ \begin{cases} x’ = ax + by \\ y’ = cx + dy \end{cases} \]

La matrice A, del tipo:

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \]

si dice associata alla trasformazione, e se il suo determinante non è nullo, allora la trasformazione è un’affinità.

Esempio: Una trasformazione lineare può presentarsi in questo modo:

\[ T: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2  \]

\[ (x; y) \rightarrow (x+y; 2x-y) \]

In tal caso, la matrice associata alla trasformazione è la seguente:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \]

e, poiché il suo determinante è uguale a -3, ed è quindi diverso da zero, possiamo affermare che la trasformazione è un’affinità.

Proprietà

Vediamo ora alcune proprietà che caratterizzano le trasformazioni lineari:

  • Il punto O(0 ; 0) viene trasformato in se stesso, ed è quindi un punto unito;
  • per ogni coppia di vettori \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\) di $R^2$, indichiamo $T(u)$ e $T(v)$ i loro trasformati rispetto a $T$; se $h$ e $k$ sono due numeri reali qualsiasi, abbiamo che: \[ T(h\vec{u}+k\vec{v} = hT(\vec{u}) + kT(\vec{v}) \] cioè, il trasformato di una combinazione lineare tra due vettori equivale alla combinazione lineare dei trasformati dei vettori stessi.

 

Operazioni

Nell’insieme delle trasformazioni di $R^2$ in $R^2$, possiamo definire numerose operazioni di tipo algebrico; in particolare, le trasformazioni possono essere sommate tra loro, possono essere moltiplicate per un numero reale o tra loro.

Somma di due trasformazioni

Se $T$ e $T’$ sono due trasformazioni lineari di $R^2$ in $R^2$, definiamo la loro somma $T + T’$ la seguente trasformazione:

\[ T+T’: (x; y) \rightarrow T(x; y) + T'(x; y) \]

Ipotizziamo che la matrice associata alla trasformazione $T$ sia la matrice $A$, e la matrice associata alla trasformazione $T’$ sia la matrice $B$, e che siano così composte:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}\,\,\,\, B = \begin{pmatrix} \end{pmatrix} \]

Ciò significa che le trasformazioni $T$ e $T’$ sono tali che:

\[ T: (x;y) \rightarrow (a_{1,1}x+a_{1,2}y; a_{2,1}x+a_{2,2}y) \]

\[ T: (x;y) \rightarrow (b_{1,1}x+b_{1,2}y; b_{2,1}x+b_{2,2}y) \]

Allora, possiamo sommare le due trasformazioni, e ottenere la seguente trasformazione:

\[ T+T’: (x;y) \rightarrow (a_{1,1}x+a_{1,2}y; a_{2,1}x+a_{2,2}y)+(b_{1,1}x+b_{1,2}y; b_{2,1}x+b_{2,2}y) \]

in particolare, poiché è possibile sommare due matrici, la matrice della somma delle trasformazioni è così composta:

\[ A+B=\begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} \end{pmatrix} \]

La somma di due trasformazioni gode delle seguenti proprietà:

  • Proprietà associativa: \( T+(T’+T”) = (T+T’)+T”\)
  • Esistenza dell’elemento neutro: l’elemento neutro per la somma di trasformazioni lineari è la trasformazione $T_0$ che fa corrispondere ad ogni punto il vettore nullo, cioè: \[ T_0: (x;y) \rightarrow (0;0) \] In questo caso, risulta essere nulla anche la matrice associata alla trasformazione; l’elemento neutro per la somma di trasformazioni è tale che: \[ T_0 + T = T+T_0 = T \]
  • Esistenza della trasformazione opposta: la trasformazione opposta di una trasformazione $T$ è la trasformazione $-T$, definita in questo modo: \[ -T: (x;y) \rightarrow -T(x;y) \] Possiamo affermare che, sommando una trasformazione con la sua opposta otteniamo la trasformazione nulla; in particolare, la matrice associata alla trasformazione opposta è la matrice opposta di quella associata alla trasformazione $T$.
  • Proprietà commutativa: possiamo sommare due trasformazioni non tenendo conto dell’ordine con cui lo facciamo: \[ T+T’ = T’+T \]

Prodotto di una trasformazione per un numero reale

Definiamo il prodotto di un numero reale $k$ per una trasformazione $T$ la seguente trasformazione:

\[ kT: (x;y) \rightarrow k \cdot [T(x;y)] \]

Se $A$ è la matrice associata alla trasformazione $T$, la matrice associata alla trasformazione $kT$ è la matrice $kA$.

Proprietà del prodotto

  • Proprietà distributiva rispetto alla somma di trasformazioni: \[ k(T+T’) = kT+kT’ \]
  • Proprietà distributiva rispetto alla somma in $R$: \[ (h+k) \cdot T = hT + kT \]
  • Proprietà associativa: \[ h(kT) = (hk)t \]

 

Composizione o prodotto di trasformazioni

Il prodotto di due trasformazioni, o composizione, $T$ e $T’$ trasformazioni lineari, è la trasformazione che si ottiene applicando $T’$ ad ogni punto $( x ; y )$, e successivamente $T$ al punto $( x’ ; y’ )$ ottenuto per risultato.

Abbiamo quindi che: \[ [T\ast  T’] (x;y) = T[T'(x;y)] \]

La matrice associata alla composizione di trasformazioni è la matrice che si ottiene moltiplicando le due matrici associate alle singolo trasformazioni, cioè, se $A$ e $A’$ sono le matrici associate, rispettivamente a $T$ e $T’$, la matrice associata è: \(A \ast A’\).

In questo caso, l’elemento neutro della composizione è l’identità, che ha per matrice associata la seguente: \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Infatti, moltiplicando una trasformazione per l’identità otteniamo sempre la trasformazione stessa: \[ T \ast I = I \ast T = T \]

 

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Si consideri  il caso di una  società di costruzioni, operante nel settore dell’energia, che stava spostando i suoi interessi di business dai lavori on-shore a quelli off-shore ed esaminava progetti d’investimento innovativi  (posizionamento dinamico) di pontoni posatubi e piattaforme/navi  di perforazione. Si parlava di cambiamento/innovazione riposizionando la società da lavori – progetti “Labour intensive” a lavori “Capital Intensive” come è il caso dei lavori a terra rispetto a quelli a mare. Continua a leggere “Analisi inversa di un progetto d’investimento”

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Dal problema al modello matematico – Volume 1 per il biennio

Copertina de “Dal problema al modello matematico” di Carmelo di Stefano - Volume 1 per il biennio.Manuale di matematica per il 1° anno della scuola secondaria di secondo grado.
Carmelo Di Stefano DAL PROBLEMA AL MODELLO MATEMATICO Volume 1 per il biennio.
© Matematicamente.it 2013-2019
Quinta edizione (agosto 2019)
ISBN 9788896354476
Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-ND Attribuzione: devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera. Non commerciale: non puoi usare quest’opera per fini commerciali. Non opere derivate: non puoi alterare o trasformare quest’opera, né usarla per crearne un’altra.

696 pagine, centinaia di esempi svolti e centinaia di esercizi da svolgere con risultato.

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.
All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati “Quelli che vogliono sapere di più …
Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo con la Matematica, che si riferiscono, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
Vi sono poi quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari, proprio per esercitarti per le prove di ammissione nei corsi di laurea ad accesso programmato.
Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito Test di Mathinterattiva. Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è Matdidattica.
In quest’ultima edizione ho inserito diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora.

Buon lavoro
Carmelo Di Stefano

Indice
1. Le basi del ragionamento
1.1 Concetti logici applicati alle matematiche
Enunciati logici Pag. 2
Verifiche 5
I quantificatori 6
Verifiche 8
I connettivi 11
Verifiche 17
Per la prova Invalsi 20
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 21
Questions in English 22
Attività di recupero 24
1.2 Insiemi numerici fondamentali
Concetto di insieme Pag. 27
Verifiche 29
L’insieme dei numeri naturali 31
L’insieme dei numeri interi relativi 34
Verifiche 38
Intervallo matematico 42
Divisibilità e fattorizzazione nell’insieme dei numeri interi 43
Verifiche 49
L’insieme dei numeri razionali relativi 55
Verifiche 61
Operazioni con le frazioni 65
Verifiche 68
Giochiamo alla matematica 74
Per la prova Invalsi 75
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 81
Questions in English 85
Attività di recupero 87
1.3 Insiemi astratti
Proprietà caratteristica di un insieme Pag. 96
Verifiche 99
L’operazione di intersezione insiemistica 104
L’operazione di unione insiemistica 105
L’operazione di differenza insiemistica 106
L’operazione di differenza simmetrica insiemistica 107
Verifiche 108
Sottoinsiemi di un insieme e insieme delle parti 116
Verifiche 121
Per la prova Invalsi 126
La sfida 126
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 126
Questions in english 127
Attività di recupero 129
1.4 Le relazioni binarie
Richiamiamo le conoscenze Pag. 139
Prodotto cartesiano di insiemi 140
Verifiche 143
Concetti di relazione e funzione 145
Verifiche 150
Relazioni binarie 153
Verifiche 158
Giochiamo alla matematica 163
Relazioni di equivalenza 165
Verifiche 167
Relazioni di ordine 169
Verifiche 171
Per la prova Invalsi 172
La sfida 173
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 173
Questions in english 174
Attività di recupero 176
2. Il Calcolo simbolico
2.1 Monomi
Concetto di monomio Pag. 184
Verifiche 187
Operazione di somma algebrica nell’insieme dei monomi 191
Verifiche 194
Per la prova Invalsi 197
La sfida 197
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 198
Questions in english 198
Attività di recupero 200
2.2 Polinomi
Richiamiamo le conoscenze Pag. 204
Verifiche 205
Concetto di polinomio 206
Verifiche 209
Moltiplicazione nell’insieme dei polinomi 210
Verifiche 212
Prodotti notevoli 216
Verifiche 219
Potenze di binomi e triangolo di Tartaglia 228
Verifiche 231
Quelli che… vogliono saperne di più. Polinomi e notazione posizionale dei numeri. Cambiamenti di base. 237
Verifiche 239
Giochiamo alla matematica 240
Per la prova Invalsi 242
La sfida 243
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 243
Questions in english 244
Attività di recupero 245
2.3 La fattorizzazione dei polinomi
Operazione di divisione nell’insieme dei monomi Pag. 257
Verifiche 259
Operazione di divisione nell’insieme dei polinomi in una variabile 262
Verifiche 264
Operazione di divisione nell’insieme dei polinomi in più di una variabile 267
Verifiche 268
Teorema e regola di Ruffini 270
Verifiche 274
Scomposizione dei polinomi in fattori. Prodotti notevoli nelle scomposizioni 280
Verifiche 281
Messa in evidenza a fattor comune 286
Verifiche 288
Messa in evidenza con raggruppamenti parziali 292
Verifiche 293
Scomposizione di trinomi notevoli 296
Verifiche 298
Il teorema di Ruffini e la scomposizione di polinomi 304
Verifiche 305
Operazioni con le frazioni algebriche 308
Verifiche 311
Quelli che… vogliono saperne di più. Principio di identità dei polinomi e teorema fondamentale dell’algebra. 316
Verifiche 318
Per la prova Invalsi 319
La sfida 320
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 320
Questions in english 322
Attività di recupero 324
3. Geometria del piano
3.1 Prime nozioni di geometria
Postulati ed enti primitivi della geometria euclidea del piano. Le rette Pag. 340
Verifiche 351
Il concetto di isometria. Segmenti e poligoni 354
Verifiche 362
Concetto di angolo piano e sua misurazione in gradi sessagesimali 364
Verifiche 371
Per la prova Invalsi 373
La sfida 374
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 374
Questions in english 375
Attività di recupero 376
3.2 La geometria del triangolo
Criteri di isometria dei triangoli Pag. 381
Verifiche 388
Rette parallele tagliate da una trasversale e classificazione dei triangoli rispetto agli angoli 391
L’angolo storico (V postulato) 398
Verifiche 400
Classificazione dei triangoli rispetto ai lati. Segmenti e punti notevoli 404
L’antologia 413
Verifiche 415
Giochiamo alla matematica 420
Per la prova Invalsi 421
La sfida 422
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 423
Questions in english 425
Attività di recupero 427
3.3 La geometria dei poligoni con più di tre lati
Poligoni con più di tre lati Pag. 436
Verifiche 439
I parallelogrammi 443
Verifiche 447
Giochiamo alla matematica 452
Applicazioni ai triangoli. I trapezi. 453
L’Antologia 457
Verifiche 458
Quelli che… vogliono sapere di più. Applicazioni di geometria analitica. 462
Verifiche 464
Per la prova Invalsi 466
La sfida 468
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 468
Questions in english 470
Attività di recupero 472
3.4 Trasformazioni isometriche nel piano
Concetto di trasformazione geometrica. Le traslazioni Pag. 480
Verifiche 485
Le simmetrie 489
Verifiche 492
La rotazione 496
Verifiche 499
Intervallo matematico 501
Per la prova Invalsi 502
La sfida 504
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 505
Questions in english 506
Attività di recupero 507
4. Problemi lineari
4.1 Equazioni di I grado in una incognita
Il concetto di uguaglianza in matematica Pag. 511
Verifiche 514
Proprietà delle uguaglianze 516
Verifiche 520
Giochiamo alla matematica 521
Classificazione delle equazioni e risoluzione delle equazioni di primo grado 522
Verifiche 529
Equazioni fratte 535
Verifiche 536
Equazioni parametriche 538
Verifiche 539
Per la prova Invalsi 542
La sfida 544
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 545
Questions in english 545
Attività di recupero 547
4.2 Risolvere problemi
Problemi risolubili per tentativi Pag. 555
Verifiche 557
Problemi risolubili con equazioni di primo grado o a esse riconducibili 561
L’Antologia 562
Verifiche 564
Giochiamo alla matematica 572
Per la prova Invalsi 572
La sfida 576
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 576
Questions in english 578
Attività di recupero 580
4.3 Uguaglianze lineari in più variabili
I sistemi di equazioni.
Risoluzione dei sistemi lineari: metodo di sostituzione Pag. 587
Verifiche 591
Risoluzione dei sistemi lineari: metodo e teorema di Cramer 601
Verifiche 606
Rette nel piano cartesiano 612
Verifiche 615
Problemi lineari in più incognite 617
Verifiche 619
Giochiamo alla matematica 626
Per la prova Invalsi 628
La sfida 632
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 632
Questions in english 634
L’antologia 635
Attività di recupero 636
4.4 Disequazioni di primo grado in un’incognita
Proprietà delle disuguaglianze Pag. 645
Verifiche 647
Disequazioni di primo grado in un’incognita 648
Verifiche 650
Giochiamo alla matematica 652
Disequazioni prodotto e disequazioni fratte 653
Verifiche 656
Sistemi di disequazioni in un’incognita 660
Verifiche 661
Equazioni e disequazioni di primo grado in valore assoluto 666
Verifiche 668
Quelli che… vogliono sapere di più. Problemi indeterminati. 671
Verifiche 673
Per la prova Invalsi 675
La sfida 677
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 677
Questions in english 678
Attività di recupero 679


download C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico, volume 1 per il biennio, agosto 2019

 

Dal problema al modello matematico – Volume 2 per il biennio

Copertina de “Dal problema al modello matematico” di Carmelo Di Stefano - Volume 2 per il biennio.Manuale di matematica per il 2° anno della scuola secondaria di secondo grado.
Carmelo Di Stefano DAL PROBLEMA AL MODELLO MATEMATICO Volume 2 per il biennio.
© Matematicamente.it 2013-2019
Quinta edizione (agosto 2019)
ISBN 9788896354476
Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-ND Attribuzione: devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera. Non commerciale: non puoi usare quest’opera per fini commerciali. Non opere derivate: non puoi alterare o trasformare quest’opera, né usarla per crearne un’altra.

440 pagine, centinaia di esempi svolti e centinaia di esercizi da svolgere con risultato.

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.
All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati “Quelli che vogliono sapere di più …
Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo con la Matematica, che si riferiscono, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
Vi sono poi quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari, proprio per esercitarti per le prove di ammissione nei corsi di laurea ad accesso programmato.
Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito Test di Mathinterattiva. Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è Matdidattica.
In quest’ultima edizione ho inserito diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora.

Buon lavoro
Carmelo Di Stefano

Indice

5. Algebra non lineare
5.1 I numeri irrazionali
Richiamiamo le conoscenze Pag. 2
Operazione di estrazione di radice n–esima 4
Verifiche 6
Enigmi matematici 10
Operazioni con i radicali 11
Verifiche 15
Notazione esponenziale dei radicali 23
Verifiche 24
Razionalizzazione di una espressione irrazionale 26
Verifiche 29
Quelli che vogliono sapere di più.. Costruzione dei numeri irrazionali 35
Per la prova Invalsi 37
La sfida 38
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 38
Questions in english 39
Attività di recupero 40
5.2 Equazioni e sistemi di grado superiore al primo
Richiamiamo le conoscenze Pag. 50
Verifiche 52
Equazioni binomie 53
Verifiche 55
Equazioni di secondo grado 58
L’angolo storico. Il metodo del completamento dei quadrati 64
Verifiche 65
Equazioni trinomie 70
Verifiche 73
Relazioni fra i coefficienti di una equazione trinomia e le sue soluzioni 75
Verifiche 76
Equazioni parametriche di II grado 78
Verifiche 79
Equazioni fratte 82
Verifiche 83
Equazioni irrazionali 85
Verifiche 87
Sistemi di equazioni non lineari 90
Verifiche 92
Quelli che vogliono sapere di più… Regola dei segni di Cartesio 95
Verifiche 98
Quelli che vogliono sapere di più… Particolari equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni reciproche 100
Verifiche 104
L’Antologia 113
Per la prova Invalsi 116
La sfida 117
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 117
Questions in english 120
Attività di recupero 122
5.3 Disequazioni non lineari
Disequazioni non lineari Pag.132
Verifiche 136
Sistemi di disequazioni non lineari 141
Verifiche 143
Per la prova Invalsi 145
La sfida 145
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 146
Questions in english 146
Attività di recupero 147
5.4 Problemi non lineari
Problemi non lineari Pag.154
Verifiche 155
L’Antologia 161
Per la prova Invalsi 162
La sfida 163
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 163
Questions in english 165
Attività di recupero 166
6. Geometria del piano seconda parte
6.1 La Circonferenza
La circonferenza e le sue parti Pag.170
Verifiche 173
Posizione reciproche di retta e circonferenza 176
Verifiche 183
Enigmi matematici 188
Posizioni reciproche di due circonferenze 189
Verifiche 191
Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza 194
L’Antologia 198
Verifiche 200
Per la prova Invalsi 201
La sfida 203
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 203
Questions in english 205
Attività di recupero 207
6.2 La Similitudine
Richiamiamo le conoscenze. Le proporzioni Pag.213
Verifiche 216
Concetto di similitudine 219
Verifiche 222
Teorema di Talete 224
Verifiche 228
Criteri di similitudine 232
Verifiche 236
Importanti teoremi sulla similitudine 243
Verifiche 248
Quelli che vogliono sapere di più… Retta di Eulero e cerchio dei 9 punti 252
Nozioni di trigonometria 254
Verifiche 256
Per la prova Invalsi 259
La sfida 261
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 262
Questions in english 264
Attività di recupero 267
6.3 L’Equiestensione
Nozione di equiestensione ed area dei poligoni elementari Pag.276
Verifiche 286
Intervallo matematico 294
Enigmi matematici 295
Teorema di Pitagora 296
Verifiche 304
Teoremi di Euclide 315
Verifiche 318
Superficie del cerchio 320
Verifiche 323
L’Antologia 327
Quelli che vogliono sapere di più… Incommensurabilità di segmenti nel piano 329
Generalizzazioni del Teorema di Pitagora 330
Verifiche 332
Per la prova Invalsi 333
La sfida 339
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 340
Questions in english 344
Attività di recupero 348
7. La Matematica dell’incertezza
7.1 Il Calcolo delle Probabilità
Concetto di evento aleatorio. Probabilità secondo Laplace di eventi semplici Pag.359
Verifiche 363
L’Antologia 367
Unione di eventi elementari 371
Verifiche 374
Estrazioni con e senza rigenerazione. Eventi indipendenti. Probabilità condizionata 378
Verifiche 380
Enigmi matematici 384
Per la prova Invalsi 384
La sfida 388
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 388
Questions in english 390
Attività di recupero 392
7.2 La Statistica descrittiva
Prime nozioni Pag.400
Verifiche 403
Rappresentazioni grafiche 406
Verifiche 409
Indici centrali 413
Verifiche 419
Variabilità 427
Verifiche 430
Per la prova Invalsi 431
La sfida 442
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 442
Questions in english 444
Attività di recupero 447


download C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico, volume 2 per il biennio, agosto 2019

 

Dal problema al modello matematico – Volume 1 per il triennio

Copertina de “Dal problema al modello matematico” di Carmelo Di Stefano - Volume 1 per il triennio.Manuale di matematica per il 3° anno della scuola secondaria di secondo grado.
Carmelo Di Stefano DAL PROBLEMA AL MODELLO MATEMATICO Volume 1 per il triennio.
© Matematicamente.it 2013-2019
Quinta edizione (luglio 2019)
ISBN 9788896354476
Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-ND Attribuzione: devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera. Non commerciale: non puoi usare quest’opera per fini commerciali. Non opere derivate: non puoi alterare o trasformare quest’opera, né usarla per crearne un’altra.

525 pagine, centinaia di esempi svolti e centinaia di esercizi da svolgere con risultato.

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.
All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati “Quelli che vogliono sapere di più …
Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo con la Matematica, che si riferiscono, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
Vi sono poi quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari, proprio per esercitarti per le prove di ammissione nei corsi di laurea ad accesso programmato.
Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito Test di Mathinterattiva. Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è Matdidattica.
In quest’ultima edizione ho inserito diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora.

Buon lavoro
Carmelo Di Stefano

Indice

1. Le basi del ragionamento
1.1 Concetti logici applicati alle matematiche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 7
Che cosa sono le matematiche? 7
Nozione di problema 9
Concetto di verità 9
Nozione di definizione 10
L’Antologia 12
Verifiche 14
Assiomi e teoremi 16
L’Antologia 17
Verifiche 18
I principi della logica classica 19
Verifiche 22
L’angolo di Derive 23
La sfida 23
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 23
Questions in English 24
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 25
Intervallo matematico 26
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 27
1.2 Verso il concetto di dimostrazione
Richiamiamo le conoscenze Pag. 29
Verifiche 31
I quantificatori 33
Verifiche 37
L’Antologia 40
Il calcolo proposizionale 42
Verifiche 46
Intervallo matematico 47
Il concetto di dimostrazione 49
Verifiche 56
Giochiamo alla matematica 60
L’Antologia 61
L’angolo di Derive 62
L’angolo di Excel 62
Intervallo matematico 63
La sfida 64
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 64
Questions in English 67
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 68
Quelli che… vogliono sapere di più – I sillogismi aristotelici 73
Verifiche 75
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 76
1.3 Insiemi dotati di struttura
Richiamiamo le conoscenze Pag. 77
Verifiche 79
Strutture algebriche 82
Verifiche 86
I Gruppi 88
L’Antologia 90
Verifiche 91
Anelli, Corpi e Campi 94
Verifiche 97
Isomorfismi 98
Verifiche 99
L’angolo di Derive 99
La sfida 100
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 100
Questions in English 101
Quelli che… vogliono sapere di più – Ordine dei sottogruppi 102
Verifiche 104
2. Geometria delle coordinate
2.1 Risoluzione dei sistemi lineari
Richiamiamo le conoscenze Pag. 106
Verifiche 109
Risoluzione di un sistema lineare di n equazioni in n incognite 112
L’Antologia 123
Verifiche 124
Inversione di matrici 132
Verifiche 136
Giochiamo alla matematica 141
Risoluzione di sistemi lineari di n equazioni in m incognite 144
Verifiche 148
L’angolo di Derive 157
L’angolo di Microsoft Mathematics 157
La sfida 157
Temi assegnati agli esami di stato 158
Quelli che… vogliono sapere di più – Metodo di diagonalizzazione di Gauss 159
Verifiche 165
2.2 Il riferimento cartesiano ortogonale
Richiamiamo le conoscenze Pag. 168
Concetto di sistema di riferimento sulla retta 170
Verifiche 173
Concetto di sistema di riferimento sul piano 178
Verifiche 183
Giochiamo alla matematica 186
Geometria dei punti e delle figure poligonali 187
Verifiche 189
Suddivisione di un segmento in un dato rapporto 197
Verifiche 200
Aree di figure poligonali 204
Verifiche 207
L’angolo di Geogebra e Cabri 208
L’angolo di Derive 208
L’angolo di Microsoft Mathematics Pag. 208
La sfida 208
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 210
Questions in English 211
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 212
3. Rette e trasformazioni geometriche
3.1 Curve di primo grado
Richiamiamo le conoscenze Pag. 214
Concetto di luogo geometrico–analitico 216
L’Antologia 220
Verifiche 222
Equazione della retta 225
Verifiche 232
Posizioni reciproche di due rette 240
Verifiche 245
Fasci di rette 257
Verifiche 259
L’angolo di Derive 263
L’angolo di Geogebra e Cabri 263
L’angolo della MateFisica 264
La sfida 265
Temi assegnati agli esami di stato 265
Quelli che… vogliono sapere di più – Cenni sulla programmazione lineare 267
Verifiche 271
L’angolo di Derive 278
L’angolo di Geogebra 278
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 278
Questions in English 280
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 281
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 284
3.2 Trasformazioni geometriche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 286
Trasformazioni geometriche 287
Verifiche 290
Composizione di trasformazioni geometriche 292
Verifiche 294
Inversione di trasformazioni geometriche 295
L’Antologia 297
Verifiche 298
Leggi delle trasformazioni isometriche 299
Leggi della traslazione 300
Verifiche 302
Leggi delle simmetrie 305
Verifiche 309
Leggi delle rotazioni 318
Verifiche 320
Intervallo Matematico 324
Leggi delle omotetie 325
Verifiche 328
Leggi delle trasformazioni di similitudine 332
Verifiche Pag. 334
Leggi delle trasformazioni di affinità 338
Verifiche 341
L’angolo di Derive 345
L’angolo di Geogebra e Cabri 345
L’angolo della MateFisica 346
La sfida 347
Temi assegnati agli esami di stato 350
Giochiamo alla matematica 351
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 351
Questions in English 352
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 352
4. Geometria delle coniche
4.1 Le sezioni coniche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 354
Verifiche 354
I numeri complessi 355
L’Antologia 358
Operazioni aritmetiche con i numeri complessi 359
Verifiche 362
L’angolo di Derive 366
L’angolo di Microsoft Mathematics 366
Le coniche 367
L’Antologia 373
Verifiche 374
Posizioni reciproche di retta e conica e di due coniche 376
Verifiche 381
L’angolo di Geogebra 386
Fasci di coniche 387
Verifiche 389
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 391
4.2 Le circonferenze
Equazione della circonferenza Pag. 393
Verifiche 397
L’angolo di Derive 409
Fasci di circonferenze 410
Verifiche 413
L’angolo della MateFisica 415
La sfida 415
Temi assegnati agli esami di stato 417
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 419
Questions in English 420
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 421
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 422
4.3 Le ellissi
Equazione dell’ellisse Pag. 424
Verifiche 432
Fasci di ellissi 444
Verifiche 446
Intervallo matematico 447
L’angolo di Derive 447
L’angolo di Geogebra 448
L’angolo della MateFisica 448
La sfida 449
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 449
4.4 Le iperboli
Equazione dell’iperbole Pag. 451
Verifiche 458
Fasci di iperboli 471
L’antologia 473
Verifiche 474
Intervallo matematico 477
L’angolo di Derive 477
L’angolo di Geogebra 477
L’angolo della MateFisica 478
La sfida 478
Temi assegnati agli esami di stato 479
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 480
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 481
4.5 Le parabole
Equazione della parabola Pag. 483
Verifiche 490
Fasci di parabole 509
Verifiche 510
Intervallo matematico 511
L’angolo di Derive 511
L’angolo di Geogebra 511
L’angolo della MateFisica 512
La sfida 513
Temi assegnati agli esami di stato 514
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 521
Questions in English 521
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 522
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 523


download C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico, volume 1 per il triennio, agosto 2019

 

Dal problema al modello matematico – Volume 2 per il triennio

Copertina de “Dal problema al modello matematico” di Carmelo Di Stefano - Volume 2 per il triennio.Manuale di matematica per il 4° anno della scuola secondaria di secondo grado.
Carmelo Di Stefano DAL PROBLEMA AL MODELLO MATEMATICO Volume 2 per il triennio.
© Matematicamente.it 2013-2019
Quinta edizione (agosto 2019)
ISBN 9788896354476
Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-ND Attribuzione: devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera. Non commerciale: non puoi usare quest’opera per fini commerciali. Non opere derivate: non puoi alterare o trasformare quest’opera, né usarla per crearne un’altra.

450 pagine, centinaia di esempi svolti e centinaia di esercizi da svolgere con risultato.

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.
All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati “Quelli che vogliono sapere di più …
Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo con la Matematica, che si riferiscono, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
Vi sono poi quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari, proprio per esercitarti per le prove di ammissione nei corsi di laurea ad accesso programmato.
Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito Test di Mathinterattiva. Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è Matdidattica.
In quest’ultima edizione ho inserito diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora.

Buon lavoro
Carmelo Di Stefano

Indice
5. Funzioni esponenziali e logaritmiche
5.1 Esponenziali
Richiamiamo le conoscenze Pag. 8
Verifiche 10
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 13
Questions in English 14
Uso della calcolatrice per il calcolo di una potenza 14
Potenze ad esponente reale 15
Verifiche 17
Equazioni e disequazioni esponenziali 18
Verifiche 20
Giochiamo alla matematica 27
L’angolo di Derive 27
L’angolo di Microsoft Mathematics 27
La sfida 28
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 28
Questions in English 29
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29
5.2 Logaritmi
Concetto di logaritmo e curva logaritmica Pag. 31
Verifiche 35
Proprietà dei logaritmi 39
Verifiche 41
Intervallo matematico 48
Equazioni e disequazioni logaritmiche 49
Verifiche 51
L’angolo di Derive 56
L’angolo di Microsoft Mathematics 56
L’angolo della MateFisica 56
La sfida 58
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 59
Questions in English 61
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 62
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 63
6. Geometria dello spazio ambiente
6.1 Rette e piani nello spazio
Richiamiamo le conoscenze Pag. 65
Postulati ed enti primitivi della geometria euclidea dello spazio 66
Posizioni reciproche di piani nello spazio 67
Posizioni reciproche di rette nello spazio 68
Gli angoli diedri 69
Perpendicolarità nello spazio 70
L’antologia 72
Verifiche 73
L’angolo di Cabri3D 77
L’angolo di Geogebra 77
La sfida 77
Temi assegnati agli esami di stato 77
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 78
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 78
6.2 Geometria dei poliedri
Richiamiamo le conoscenze Pag. 80
I poliedri 81
Verifiche 85
I prismi 87
Verifiche 89
Le piramidi e i tronchi di piramide 93
Verifiche 96
I poliedri regolari 101
Verifiche 104
I poliedri semiregolari 108
Verifiche 111
L’angolo di Cabri3D 112
L’angolo di Geogebra 112
La sfida 113
Temi assegnati agli esami di stato 114
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 115
Questions in english 116
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 117
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 119
6.3. Geometria dei solidi di rotazione Pag. 121
Richiamiamo le conoscenze 122
Il cilindro, il cono e il tronco di cono 125
Verifiche 130
La sfera e le sue parti 136
Verifiche 141
L’angolo di Cabri3D 141
L’angolo di Geogebra 141
La sfida 142
Temi assegnati agli esami di stato 142
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 143
Questions in english 144
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 145
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari Pag. 147
6.4 Il volume
Concetto di volume e volume dei poliedri 152
Verifiche 155
Volume dei corpi rotondi 157
Verifiche 159
La sfida 159
Temi assegnati agli esami di stato 162
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 163
Questions in english 165
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 166
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari Pag. 168
6.5 Geometria analitica in 3D
Geometria degli spazi a più di 2 dimensioni 171
Verifiche 174
Piani e rette nello spazio cartesiano 180
Verifiche 184
L’angolo della MateFisica 183
L’angolo di Geogebra 184
La sfida 185
Temi assegnati agli esami di stato 187
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 187
Questions in english Pag. 189
7. Goniometria e trigonometria
7.1 Risoluzione dei triangoli
Richiamiamo le conoscenze 191
Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli acuti 197
Verifiche 202
Risoluzione dei triangoli rettangoli 205
Verifiche 214
L’angolo delle correzioni 215
Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema dei seni 221
Verifiche 227
Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema del coseno 231
Verifiche 239
L’angolo delle correzioni 240
L’angolo di Microsoft Mathematics 240
L’angolo della MateFisica 242
La sfida 244
Temi assegnati agli esami di stato 249
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 251
Questions in english 253
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 253
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari Pag. 255
7.2 Goniometria
Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli qualsiasi 259
Verifiche 265
Unità di misura in radianti e rappresentazione grafica 271
delle funzioni goniometriche elementari 280
Verifiche 280
L’angolo di Geogebra 283
L’angolo della MateFisica 284
Temi assegnati agli esami di stato 285
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 286
Questions in english 286
Quelli che vogliono sapere di più … Riferimento polare 287
Verifiche 288
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari Pag.290
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 293
7.3 Equazioni e disequazioni goniometriche
Risoluzione di equazioni goniometriche elementari 302
Verifiche 303
Equazioni omogenee in seno e coseno 307
Verifiche 308
Disequazioni goniometriche 314
Verifiche 314
Temi assegnati agli esami di stato 315
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 315
Questions in english 316
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari Pag. 318
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 328
7.4 Formule goniometriche
Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione degli archi 346
Verifiche 349
Equazioni lineari in seno e coseno 352
Verifiche 354
Formule di prostaferesi e di Werner 358
Verifiche 359
L’angolo della MateFisica 361
La sfida 363
Temi assegnati agli esami di stato 364
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 365
Questions in english 365
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari Pag. 367
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 368
7.5 Forma trigonometrica dei numeri complessi
Richiamiamo le conoscenze 372
Forma trigonometrica, radici ennesime dei numeri complessi 375
e piano di Argand–Gauss 376
Verifiche 378
Quelli che… vogliono sapere di più 381
Il campo dei numeri complessi 383
Equazioni in ℂ 384
Verifiche 384
La sfida 384
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali Pag. 386
Questions in english 387
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 387
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 392
8. Successioni di numeri reali
8.1 L’insieme dei numeri naturali
Assiomi dei numeri naturali 392
Il concetto di insieme infinito e di numerabilità 393
L’Antologia 395
Verifiche 397
Giochiamo alla matematica 398
Il Principio di induzione Pag. 400
Verifiche 401
La sfida 404
Temi di esame assegnati agli esami di stato 406
8.2 Combinatoria
Raggruppamenti semplici e con ripetizione e principio dei cassetti 408
Verifiche 410
Disposizioni semplici e ripetute 413
Verifiche 419
Permutazioni semplici e ripetute 423
Verifiche 424
Combinazioni semplici e ripetute 424
Verifiche 424
Quesiti di riepilogo 425
L’angolo di Derive 426
L’angolo di Microsoft Mathematics 430
La sfida 431
Temi di esame assegnati agli esami di stato 432
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali Pag. 434
Questions in english 437
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 440
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 442
8.3 Progressioni numeriche
Progressioni aritmetiche 444
Verifiche 445
Progressioni geometriche 445
Verifiche 448
La sfida 449
Temi assegnati agli esami di stato 449
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali
Questions in english
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari


download C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico, volume 2 per il triennio, agosto 2019

 

Dal problema al modello matematico – Volume 3 per il triennio

Copertina de “Dal problema al modello matematico” di Carmelo Di Stefano - Volume 3 per il triennio.Manuale di matematica per il 5° anno della scuola secondaria di secondo grado.
Carmelo Di Stefano DAL PROBLEMA AL MODELLO MATEMATICO Volume 3 per il triennio.
© Matematicamente.it 2013-2019
Quinta edizione (agosto 2019).
ISBN 9788896354476
Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-ND Attribuzione: devi attribuire la paternità dell’opera nei modi indicati dall’autore o da chi ti ha dato l’opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l’opera. Non commerciale: non puoi usare quest’opera per fini commerciali. Non opere derivate: non puoi alterare o trasformare quest’opera, né usarla per crearne un’altra.

521 pagine, centinaia di esempi svolti e centinaia di esercizi da svolgere con risultato.

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.
All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati “Quelli che vogliono sapere di più …
Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via).
Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?
Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche.
Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo con la Matematica, che si riferiscono, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa.
Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.
Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato.
Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.
Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese.
Vi sono poi quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari, proprio per esercitarti per le prove di ammissione nei corsi di laurea ad accesso programmato.
Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito Test di Mathinterattiva. Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è Matdidattica.
In quest’ultima edizione ho inserito diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora.

Buon lavoro
Carmelo Di Stefano

Indice
9. Successioni di numeri reali e funzioni reali di una variabile reale
9.1 Successioni infinite e serie numeriche
Richiamiamo le conoscenze Pag. 2
Verifiche 4
Proprietà delle successioni di numeri reali 6
Verifiche 10
Successioni divergenti 12
Verifiche 15
Successioni convergenti 17
Verifiche 22
Operazioni aritmetiche con i limiti 24
Successioni infinitesime e infinite 28
Verifiche 31
Proprietà dei limiti di successione 35
Verifiche 39
Le serie numeriche 40
Verifiche 44
Intervallo matematico 46
Serie a termini di segno costante 47
Verifiche 51
L’angolo di Derive 52
L’angolo di Microsoft Mathematics 52
La sfida 52
Temi assegnati agli esami di stato 53
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 54
Questions in english 55
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 56
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 56
9.2 Caratteristiche delle funzioni
Richiamiamo le conoscenze Pag. 58
Verifiche 60
Intervalli di numeri reali 62
Verifiche 64
Definizione di funzione secondo Dirichlet 65
Verifiche 68
Dominio e codominio delle funzioni 73
Verifiche 75
Iniettività e suriettività di una funzione. Funzioni invertibili 82
Verifiche 85
Particolari simmetrie delle funzioni 89
Verifiche 92
Composizione di due o più funzioni 95
Verifiche 96
La sfida 98
Temi assegnati agli esami di stato 100
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 101
Questions in english 102
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 103
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 105
9.3 Continuità delle funzioni
Richiamiamo le conoscenze Pag. 107
Topologia della retta 108
Verifiche 112
I limiti delle funzioni reali di una variabile reale 114
Verifiche 121
Operazioni aritmetiche con i limiti e forme indeterminate 124
Verifiche 130
Continuità di una funzione 135
Verifiche 139
Giochiamo alla matematica 141
Teoremi sulle funzioni continue 142
Verifiche 145
I limiti notevoli 147
Verifiche 153
L’angolo di Geogebra 159
La sfida 160
Temi assegnati agli esami di stato 160
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 162
Questions in english 163
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 164
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 164
10. Il calcolo differenziale
10.1 Le derivate
Concetto di derivata di una funzione Pag. 166
Verifiche 175
Derivate delle funzioni elementari 179
Verifiche 183
Operazioni aritmetiche elementari con le derivate 185
Verifiche 189
Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse 193
Verifiche 196
Teoremi del calcolo differenziale 201
Verifiche 212
L’angolo di Derive 219
L’angolo della MateFisica 219
La sfida 222
Temi assegnati agli esami di stato 222
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 227
Questions in english 228
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 230
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 230
10.2 Rappresentazione grafica delle funzioni
Estremi relativi di una funzione Pag. 232
Verifiche 239
Temi assegnati agli esami di stato 250
Rappresentazione grafica di una funzione 261
Verifiche 267
L’angolo di Derive 275
L’angolo della MateFisica 275
La sfida 276
Temi assegnati agli esami di stato 277
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 299
Questions in english 300
11. Il calcolo integrale
11.1 Integrazione indefinita
Richiamiamo le conoscenze Pag. 302
L’integrale come area di un trapezoide 303
Verifiche 307
L’operatore inverso della derivata 308
Verifiche 312
Integrazione per parti 319
Verifiche 321
Integrazione di funzioni razionali fratte 323
Verifiche 327
Integrazione per sostituzione 329
Verifiche 331
L’angolo di Derive 333
L’angolo di Geogebra 333
L’angolo della MateFisica 333
La sfida 334
Temi assegnati agli esami di stato 335
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 337
Questions in english 337
11.2 Integrazione definita
Calcolo di integrali definiti e applicazione al calcolo di aree Pag. 340
Verifiche 344
Volume di alcuni solidi di rotazione e lunghezza di alcune curve piane 351
Verifiche 354
Integrali impropri e generalizzati 358
Verifiche 361
L’angolo di Geogebra 362
L’angolo di Derive 362
L’angolo di Microsoft Mathematics 362
L’angolo della MateFisica 362
La sfida 365
Temi assegnati agli esami di stato 365
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 388
Questions in english 389
Quelli che… vogliono sapere di più – Equazioni differenziali 390
Verifiche 397
L’angolo della MateFisica 402
Temi assegnati agli esami di stato 403
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 403
Questions in english 403
12. Incertezza e realtà fisica
12.1 Il calcolo delle probabilità
Richiamiamo le conoscenze Pag. 406
Verifiche 407
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 408
Questions in english 408
Concetto di evento aleatorio e diversi punti di vista della Probabilità 409
L’Antologia 411
Verifiche 413
La concezione frequentista 414
Verifiche 416
Probabilità secondo Laplace 418
Verifiche 423
Giochiamo alla matematica 424
Probabilità dell’unione di eventi elementari 429
Verifiche 433
Estrazioni con e senza rigenerazione 437
Verifiche 439
Giochiamo alla matematica 441
Probabilità condizionata 442
Verifiche 445
Giochiamo alla matematica 447
Eventi dipendenti ed eventi indipendenti 448
Verifiche 451
Teorema di Bayes e legge dei grandi numeri 453
Verifiche 455
Intervallo matematico 457
L’angolo di Derive 458
L’angolo di Excel 459
La sfida 459
Temi assegnati agli esami di stato 460
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 464
Questions in english 468
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 470
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 473
12.2 Statistica inferenziale
Richiamiamo le conoscenze Pag. 475
Verifiche 478
Variabili casuali 479
Verifiche 482
Principali variabili casuali 485
Verifiche 491
Stime e decisioni statistiche 496
Verifiche 499
Correlazione e metodo dei minimi quadrati 502
Verifiche 506
L’angolo di Geogebra 509
L’angolo di Excel 509
Temi assegnati agli esami di stato 509
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 512
Questions in english 512
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 513
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Fisica C3, Elettromagnetismo, relatività e quanti

Presentazione

Questo ebook di fisica su elettromagnetismo, relatività e quanti fa parte di una collana di ebook con licenza Creative Commons BY-SA per la scuola. Il titolo Fisica C3 vuole indicare che il progetto è stato realizzato in modalità Collaborativa e con licenza Creative Commons, da cui le tre “C” del titolo. Non vuole essere un trattato completo sull’argomento ma una sintesi sulla quale l’insegnante può basare la sua lezione, indicando poi testi e altre fonti per gli approfondimenti. Lo studente può consultarlo come riferimento essenziale da cui partire per approfondire. In sostanza l’idea è stata quella di indicare il nocciolo essenziale della disciplina, nocciolo largamente condiviso dagli insegnanti. La licenza Creative Commons scelta permette non solo di fruire liberamente l’ebook ma anche di modificarlo e personalizzarlo secondo le esigenze dell’insegnante e della classe. Chiunque può contribuire a migliore questo ebook, segnalando integrazioni, modifiche e sviste al coordinatore del progetto [email protected]. Il libro è pensato per lo studio della fisica del quinto anno del liceo.

INDICE

Presentazione 3

  1. CAMPO MAGNETICO 7
    1. Sorgenti del campo magnetico 7
    2. Azione del campo magnetico su una carica in movimento .8
    3. Moto di una carica in un campo magnetico .10
    4. Azione del campo magnetico su un filo percorso da corrente 12
    5. Interazione tra fili percorsi da corrente 13
    6. Rotazione di una spira in un campo magnetico 14
    7. Campi magnetici generati da correnti e legge di Biot Savart 16
    8. Teorema della circuitazione di Ampère 19
    9. Teorema di Gauss per il magnetismo 21
    10. Magnetismo nella materia .23
    11. Approfondimenti .27
  2. INDUZIONE ELETTROMAGNETICA28
    1. Aspetti qualitativi dell’induzione elettromagnetica 28
    2. Legge di Faraday – Neumann e legge di Lenz 30
    3. Origine della f.e.m. indotta e f.e.m. cinetica 32
    4. Induttanza 35
    5. Autoinduzione e circuito RL 37
    6. Energia del campo magnetico 40
    7. Corrente alternata 42
    8. Produzione di una f.e.m. e di una corrente alternata 42
    9. Diagramma a fasori 43
    10. Circuito puramente resistivo 44
    11. I valori efficaci 46
    12. Circuito puramente capacitivo 47
    13. Circuito puramente induttivo 48
    14. Circuito RLC in serie 49
    15. Mutua induzione e trasformatori 53
    16. Approfondimenti 55
  3. ONDE ELETTROMAGNETICHE ED EQUAZIONI DI MAXWEL 56
    1. Campo magnetico variabile nel tempo 56
    2. Campo elettrico variabile nel tempo 57
    3. Equazioni di Maxwell 59
    4. Circuito LC 60
    5. Onde elettromagnetiche 63
    6. Approfondimenti 69
  4. RELATIVITÀ 70
    1. Inconciliabilità tra la teoria elettromagnetica di Maxwell e la legge di composizione classica delle velocità 70
    2. Teoria dell’etere ed esperimento di Michelson – Morley 70
    3. Le trasformazioni di Lorentz 73
    4. I postulati della relatività ristretta 74
    5. Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze 75
    6. Relatività della simultaneità 78
    7. Lo spazio-tempo e la relazione causa-effetto tra due eventi 80
    8. Composizione relativistica delle velocità 83
    9. Massa ed energia relativistica 84
    10. Relatività generale 87
    11. Primo caso 88
    12. Secondo caso 89
    13. Lo spazio-tempo nella relatività generale 89
    14. Gravità, luce e tempo 93
    15. Approfondimenti
  5. FISICA QUANTISTICA 96
    1. Origine della Fisica dei quanti 96
    2. La radiazione di corpo nero 96
    3. Effetto fotoelettrico 102
    4. Effetto Compton107
    5. Dualismo onda-corpuscolo 109
    6. Il principio di indeterminazione di Heisenberg e la funzione
      d’onda 111
    7. Modello atomico di Bohr e spettri di emissione a righe dei gas113
    8. Modello quantistico dell’atomo di idrogeno 117
    9. Atomi con molti elettroni 120
    10. Approfondimenti 122
  6. FISICA NUCLEARE, RADIOATTIVITÀ, PARTICELLE ELEMENTARI 123
    1. Il nucleo dell’atomo 123
    2. Radioattività 124
    3. Fissione e fusione nucleare 127
    4. Le forze fondamentali della natura 129
    5. Particelle elementari129
    6. I quark 134
    7. Modello standard 136
    8. Approfondimenti 138
  7. Indice delle immagini Creative Commons utilizzate 139

scarica Fisica C3, Eletromagnetismo, Relatività e Quanti.

Fisica C3

Magnetismo, Relatività, Quantistica, Radioattività

Autori

Prima stesura: Massimo Macchioro
Revisione e integrazioni: Annarita Lorenzo
Coordinamento editoriale: Antonio Bernardo
Immagini realizzate da Ginger Lab – www.gingerlab.it

© Matematicamente.it

www.matematicamente.it[email protected] Gennaio 2013

ISBN 978-88-96354-36-0

Progetto Educationalab

Mobility IT srl

Questo libro è rilasciato con licenza

Creative Commons BY-NC-SA

Attribuzione – Non commerciale – Condividi allo stesso modo 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/legalcode

Versione del 16/03/2013

Le successioni numeriche

Una successione numerica è una funzione che ha come dominio l’insieme dei numeri naturali, o un suo sottoinsieme, normalmente infinito. Una successione  numerica, quindi, è definita se vi è una legge che associa ogni punto del dominio, cioè ogni numero naturale dell’insieme di definizione, uno e un solo punto del codominio.

\[ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \,\,\,\,\,\,\,\, ; n \rightarrow f(n) \]

\[ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} \,\,\,\,\,\,\,\, ; n \rightarrow f(n) \]

Se l’insieme di arrivo della successione è l’insieme dei numeri reali, la successione si dice reale, altrimenti, se l’insieme di arrivo è l’insieme dei numeri complessi, essa si dice complessa.

I valori della funzione, cioè i numeri naturali che costituiscono gli elementi del codominio, sono definiti al variare di $n$ nell’insieme di definizione, e vengono detti elementi, o termini, della successione; questi vengono di solito indicati con una lettera che ha il corrispondente valore di $n$ come pedice:

\[ a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \]

E si ha che:

\[ a_0 = f(0), a_1 = f(1), a_2 = f(2), \ldots, a_n = f(n) \]

Definizione analitica di una successione

Le successioni numeriche sono spesso definite attraverso un’espressione analitica del tipo:

\[ a_n = f(n) \]

cioè, una legge che permette di determinare, con un finito numero di operazioni matematiche, un qualsiasi termine della successione, a partire dal valore di n.

In questo caso, ovviamente, si suppone che l’insieme di definizione della successione sia il sottoinsieme dei numeri naturali per il quale ha senso l’espressione di $a_n$.

Esempio:  Consideriamo la seguente funzione:

\( f: \mathbb{N}\\ \{0\} \rightarrow \mathbb{R}; n \rightarrow 1/n \)

Tale funzione esprime una successione la cui espressione analitica è la seguente:

\( a_n = \frac{1}{n} \)

Notiamo che, in questo caso, il dominio della successione è costituito da tutti i numeri naturali escluso lo zero, perché, infatti, l’espressione \(1/n\) non è definita per $n = 0$.

Possiamo calcolare gli elementi della successione sostituendo i valori del dominio alla sua espressione analitica:

\( a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{2}, a_3 = \frac{1}{3}, \ldots, a_n = \frac{1}{n} \)

Possiamo rappresentare l’andamento della successione su una retta:

 

Successione: andamento sulla retta reale

 

Non sempre le successioni hanno un codominio infinito; consideriamo, infatti, la successione definita dalla seguente funzione analitica:

\( a_n = (-1)^n \)

Determiniamo i primi termini della successione sostituendo alla $n$ i valori del dominio:

\( a_1 = 1, a_2 = -1, a_3 = 1, \ldots, a_n = (-1)^n \)

Possiamo quindi notare che la successione assume solamente due valori, e precisamente essa vale 1 per i valori di $n$ pari, mentre vale -1 per i valori  di $n$ dispari.

 

Successioni definite per ricorrenza

Un altro modo per descrivere una successione, è la definizione per ricorrenza. Le successioni definite per ricorrenza sono tali che ogni termine della successione, escluso il primo che viene definito direttamente, dipende dal termine precedente. Cioè, dopo aver definito il primo elemento della successione, si stabilisce una regola che permette, dato un certo termine della successione, di calcolare il successivo.

Esempio:  Una successione definita per ricorrenza è la seguente:

\( \begin{cases} a_0 = 1 \\ a_{n+1} = 2a_n \end{cases} \)

Questa legge descrive una successione in cui il primo termine è 1, e tutti gli altri termini sono tali che ogni termine è il doppio del precedente. Calcoliamo alcuni termini della successione a partire dal primo:

\( a_0 = 1, a_1 = 2a_0 = 2, a_2 = 2a_1 = 4, a_3 = 2a_2 = 8, \ldots \)

Una successione è definita per ricorrenza anche nel caso in cui si definiscono i primi $k$ termini, e si stabilisce una regola che permetta di calcolare un qualsiasi termine della successione a partire da uno  o più dei termini precedenti

Esempio:  La seguente successione, definita per ricorrenza, viene anche detta Successione di Fibonacci:

\(\begin{cases} a_0 = 0, a_1 = 1 \\ a_n=a_{n-1} + a_{n-2} \end{cases} \)

In questo caso, quindi, ogni termine della successione dipende dai due termini che lo precedono; calcoliamo i primi termini della successione come abbiamo fatto in     precedenza:

\( a_2 = a_1 + a_0 = 1 + 0 = 1 \)

\( a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \)

\( a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 \)

\( a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5 \)

E così via.

Il modo in cui una successione viene definita non caratterizza la successione stessa; infatti, in diversi casi, una successione può essere definita sia analiticamente che ricorsivamente. La definizione analitica di una successione è preferibile, in quanto permette di calcolare il valore di un suo termine a partire dal valore di $n$, mentre nel caso di una funzione ricorsiva, per calcolare un determinato termine dobbiamo prima calcolare tutti i suoi precedenti.

 

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Successioni limitate

Successioni limitate

Limitata superiormente: Una successione si dice superiormente limitata (o limitata dall’alto) se tutti i suoi termini risultano minori uguali ad un numero reale $L$, cioè se vale:

\[ \exists L \in \mathbb{R}: a_n \le L \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]

Limitata inferiormente:  Una successione si dice inferiormente limitata (o limitata dal basso) se tutti i suoi termini sono maggiori o uguali ad un numero reale $l$, cioè se:

\[ \exists l \in \mathbb{R}: a_n \ge l \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]

Limitata:  Una successione che è limitata sia inferiormente che superiormente, cioè sia dal basso che dall’alto, si dice limitata. Tutti i valori della successione, quindi, sono     compresi tra due numeri reali:

\[ \exists l, L \in \mathbb{R}: l \le a_n \le L \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]

Per abbreviare la notazione possiamo anche scrivere:

\[ \exists k \in \mathbb{R}: |a_n| \le k \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]

Notiamo che, con quest’ultima definizione la successione risulta essere compresa tra due valori uguali, in valore assoluto, anche se ciò non risultava dalla notazione precedente. In ogni caso, possiamo determinare sempre un raggio $k$ abbastanza grande per poter contenere una successione compresa tra due valori $l$ ed $L$: possiamo prendere un qualsiasi \(k \ge L\). Infatti, per \(k = L\), se la funzione è compresa tra $l$ ed $L$, automaticamente risulta compresa anche tra $-L$ e $+L$.

Esempio:  Consideriamo la successione definita analiticamente nel seguente modo:

\( a_n = n^2 – 6n \)

Per cercare di capire se la successione è limitata o meno, calcoliamo i primi termini:

\( a_0 = 0^2 – 6 \cdot 0 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\, a_5 = 5^2 – 6 \cdot 5 = -5 \)

\( a_1 = 1^2 – 6 \cdot 1 = -5 \,\,\,\,\,\,\,\, a_6 = 6^2 – 6 \cdot 6 = 0 \)

\( a_2 = 2^2 – 6 \cdot 2 = -8  \,\,\,\,\,\,\,\, a_7 = 7^2 – 6 \cdot 7 = 7 \)

\( a_3 = 3^2 – 6 \cdot 3 = -9 \,\,\,\,\,\,\,\, a_8 = 8^2 – 6 \cdot 8 = 16 \)

\( a_4 = 4^2 – 6 \cdot 4 = – 8 \,\,\,\,\,\,\,\, a_9 = 9^2 – 6 \cdot 9 = 27 \)

Da questa prima analisi, sembra che i termini della successione, dopo $n = 6$, crescano, e siamo sempre positivi.  Il valore più basso assunto dalla funzione, quindi, sembra essere $-9$, assunto per $n = 3$. Per poter dire, però, che la successione è limitata dobbiamo dimostrarlo, cioè dobbiamo verificare che per ogni $n$ valga la seguente disuguaglianza:

\( a_n \ge -9 \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \)

cioè:

\( n^2 – 6n \ge -9 \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \)

Risolviamo, quindi, la disequazione in $n$:

\( n^2 – 6n + 9 \ge 0 \rightarrow (n-3)^2 \ge 0 \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \)

Abbiamo, dunque, dimostrato che la successione è limitata  dal basso.

 

Successioni monotone

Crescente:  Una successione si dice crescente (o strettamente crescente) se i suoi termini crescono al crescere dell’indice $n$, cioè se si ha:

\[ \forall n, m \in \mathbb{N}\,\,\,\, n \lt m \Rightarrow a_n \lt a_m \]

Decrescente:  Una successione si dice decrescente (o strettamente decrescente) se i suoi termini decrescono al crescere dell’indice $n$, cioè se si ha:

\[ \forall n,m \in \mathbb{N}\,\,\,\, n \lt m \Rightarrow a_n \gt a_m \]

Debolmente crescente:  Una successione si dice debolmente crescente (o crescente in senso lato ) se si ha:

\[ \forall n, m \in \mathbb{N} \,\,\,\, n \lt m \Rightarrow a_n \le a_m \]

Debolmente decrescente: Una successione si dice debolmente decrescente (o decrescente in senso lato ) se si ha:

\[ \forall n, m \in \mathbb{N} \,\,\,\, n \lt m \Rightarrow a_n \ge a_m \]

Notiamo che per verificare che una successione è crescente (o decrescente) è sufficiente confrontare un termine con il suo successivo: infatti, se il termine precedente è minore del successivo, allora la successione è crescente:

\[ a_n \lt a_{n+1} \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \mbox{successione crescente}  \]

mentre se il termine precedente è maggiore del successivo, allora la successione è decrescente.

\[ a_n \gt a_{n+1} \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \mbox{successione decrescente}  \]

Allo stesso modo, se vogliamo verificare che una successione sia debolmente crescente, o debolmente decrescente, dobbiamo controllare che ogni termine sia minore o uguale al termine successivo (nel primo caso), oppure che ogni termine sia maggiore o uguale al termine successivo (nel secondo caso).

Se una successione è crescente, decrescente, debolmente crescente, o debolmente decrescente, la successione si dice monotòna.

Una successione che non è monotòna si dice oscillante.

Se una delle precedenti proprietà è soddisfatta non da tutti i termini della successione, ma solo da un certo termine in poi, cioè, da tutti i termini della successione che sono maggiori di un certo elemento, allora la proprietà in questione è soddisfatta definitivamente.

Quindi, se abbiamo che:

\[ \exists n_0 \in \mathbb{R}: \,\, \forall n \gt n_0, m \gt n_0; n,m \in \mathbb{N} \,\, n \lt m \Rightarrow a_n \lt a_m \]

la successione si dice definitivamente crescente, mentre se accade che:

\[ \exists n_0 \in \mathbb{R}: \,\, \forall n \gt n_0, m \gt n_0; n,m \in \mathbb{N} \,\, n \lt m \Rightarrow a_n \gt a_m \]

la successione si dice definitivamente decrescente.

Esempio:  Consideriamo la seguente successione: \( a_n = \frac{n}{n+1} \)

Cerchiamo di stabilire se essa è crescente, o decrescente.   Dobbiamo, quindi, capire se, per ogni $n$, un termine della successione è maggiore o minore del suo successivo.    Impostiamo, quindi, la seguente disuguaglianza:

\( a_n \lt a_{n+1} \)

Quindi: \( \frac{n}{n+1} \lt \frac{n+1}{(n+1)+1} \)

Risolviamo la disuguaglianza (possiamo eliminare i denominatori, in quanto n è sempre positivo, e in questo caso i denominatori non si annullano mai):

\( \frac{n}{n+1} – \frac{n+1}{(n+1)+1} \lt 0 \rightarrow \frac{n}{n+1} – \frac{n+1}{n+1} \lt 0 \rightarrow n(n+1)-(n+1)^2 \lt 0 \)

\( n^2 + n (n^2+2n+1) \lt 0 \rightarrow n^2+n-n^2-2n-1 \lt 0 \rightarrow -n-1 \lt 0 \)

Poiché $n$ è un numero naturale, la disuguaglianza è verificata per qualsiasi valore di $n$. Concludiamo, quindi, che la successione è crescente, in quanto, per ogni $n$, un termine della successione è minore del suo successivo.

 

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Limiti di successioni

Limite finito di una successione

Definizione: Si dice che una successione di elementi

\[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \]

tende ad un valore $l$, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un valore \(\epsilon\) positivo, abbastanza piccolo, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero \(n_\epsilon\) tale che, per ogni numero naturale \(n \gt n_\epsilon\), sia verificata la seguente relazione:

\[ |a_n – l| \lt \epsilon \]

In simboli, possiamo scrivere:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = l \Leftrightarrow \forall\epsilon \gt 0, \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}: |a_n – l| \lt \epsilon \,\, \forall n \gt n_{\epsilon}\ \]

Se una successione tende ad un valore $l$, reale, la successione di dice convergente.

Possiamo quindi affermare che una successione tende ad un valore $l$ se è possibile determinare, dopo aver fissato un qualunque numero \( \epsilon \) abbastanza piccolo, un numero \( n_\epsilon \) per cui i valori della successione, definiti per tutti gli indizi $n$ che sono maggiori di \(n_\epsilon\), si avvicinano sempre di più a $l$.

Quindi, da un certo punto in poi (da \(n_\epsilon\) in poi), la distanza dei valori della successione da $l$ diventano sempre più piccoli, più piccoli di qualsiasi numero piccolo \(\epsilon\).

Esempio:   Verifichiamo, utilizzando la definizione, che la successione   così definita: \( a_n = \frac{n+1}{n} \)

ha limite 1, cioè che: \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n+1}{n} = 1 \)

Procediamo fissando un \( \epsilon \gt 0 \), piccolo a piacere; dobbiamo mostrare che è possibile determinare un \(n_\epsilon\) ( che dipende da \(\epsilon\)) in modo che, per tutti i valori della successione individuati da \( n \gt n_\epsilon\), valga la seguente disuguaglianza:

\( \Big|\frac{n+1}{n}-1\Big| \lt \epsilon \)

Risolviamo la disuguaglianza:

\( \Big|\frac{n+1}{n}-1 \Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{n+1-n}{n} \Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big| \frac{1}{n} \Big| \lt \epsilon \)

Poiché $n$ è sempre positivo, possiamo togliere il valore assoluto:

\( \Big| \frac{1}{n} \Big| \lt \epsilon \rightarrow \frac{1}{n} \lt \epsilon \rightarrow n \gt \frac{1}{\epsilon} \)

Possiamo scegliere \( n_\epsilon = \frac{1}{\epsilon} \)

In questo modo, infatti, la disuguaglianza è verificata per tutti gli $n$ maggiori di \(n_\epsilon\).

 

Limite infinito

Definizione: Si dice che una successione di elementi \[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \] ha per limite più infinito, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un numero M positivo, abbastanza grande, è    possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero $n_M$ tale che, per ogni numero naturale \( n \gt n_M\), sia verificata la seguente relazione:

\[ a_n \gt M \]

In simboli, possiamo scrivere:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: a_n \gt M \,\,\, \forall n \gt n_M \]

Se una successione tende a più infinito, essa si dice positivamente divergente.

Possiamo riassumere la definizione affermando che una successione diverge a più infinito se, comunque scelto un numero $M$ molto grande, esiste un termine della successione tale che ciascun termine della successione che abbiamo indice superiore ad esso, è maggiore di $M$.

Allo stesso modo, possiamo definire una successione negativamente divergente:

Definizione: Una successione è negativamente divergente, cioè ha per limite meno infinito, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un numero $M$ positivo, abbastanza grande, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero $n_M$ tale che, per ogni numero naturale \( n \gt n_M\), sia verificata la seguente relazione:

\[ a_n \lt -M \]

In simboli:

\[ \lim_{} a_n = -\infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: a_n \lt -M \forall n \gt n_M \]

In generale, possiamo dire che una successione ha per limite infinito (generico) se:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: |a_n| \gt M\,\,\,  \forall n \gt n_M \]

Notiamo, quindi, che una successione positivamente (o negativamente) divergente non è limitata superiormente (inferiormente) ; allo stesso modo, si può affermare che una successione limitata superiormente (inferiormente) non può essere positivamente (negativamente) divergente.

Esempio: Consideriamo la successione definita analiticamente nel seguente modo: \( a_n = n^2 \)

Verifichiamo che essa diverge positivamente, cioè che: \( \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty \)

Applicando la definizione precedente, dobbiamo mostrare che, una volta fissato un numero $M$ abbastanza grande, è possibile determinare un valore $n_M$, che dipenda da $M$, in modo che la seguente disuguaglianza sia verificata per tutti i valori della successione che abbiamo indice maggiore di $M$:

\( a_n \gt M \rightarrow n^2 \gt M \)

Risolvendo la disuguaglianza, otteniamo:

\( n^2 \gt M \rightarrow n \lt -\sqrt{M} \vee n \gt \sqrt{M} \)

Possiamo ignorare la prima parte della soluzione, in quanto  $n$ è un numero positivo, e sappiamo che la radice di un numero $M$ positivo e sempre positiva, quindi non può essere \( n \lt -\sqrt{M} \).

Analizziamo ora la seconda parte della soluzione, cioè \( n \gt \sqrt{M} \). Possiamo scegliere \( n_M = \sqrt{M} \); in questo modo, la disuguaglianza precedente è verificata per tutti i valori di $n$ maggiori di $n_M$.

 

Successioni indeterminate

Non tutte le successioni ammettono limite, cioè sono convergenti o divergenti. Se una successione non ammette limite, né finito, né infinito, essa si dice indeterminata. Un esempio di successione indeterminata è la seguente:

\[ a_n = (-1)^n \]

la successione, infatti, assume il valore $1$ per $n$ pari, e il valore $-1$ per $n$ dispari.

 

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Teoremi sulle successioni

Teoremi sulle successioni monotone

Come abbiamo già visto, una successione si dice monotòna se essa è crescente, debolmente crescente, decrescente o debolmente crescente. Se una successione è monotòna, o definitivamente monotòna, valgono per essa i seguenti teoremi:

Teorema 1: Se una successione crescente (strettamente o debolmente) o definitivamente crescente (strettamente o debolmente) è limitata superiormente, allora essa è    convergente, cioè ammette limite.

Teorema 2: Se una successione decrescente (strettamente o debolmente) o definitivamente decrescente (strettamente o debolmente) è limitata inferiormente, allora essa è convergente, cioè ammette limite.

Teorema 3: Se una successione crescente (strettamente o debolmente) o definitivamente crescente (strettamente o debolmente) è illimitata superiormente, essa diverge    positivamente, cioè tende a più infinito.

Teorema 4: Se una successione decrescente (strettamente o debolmente) o definitivamente decrescente (strettamente o debolmente) è illimitata inferiormente, essa diverge negativamente, cioè tende a meno  infinito.

Possiamo quindi riassumere i teoremi precedenti, dicendo che una successione monotòna ammette sempre limite, sia che essa sia limitata, sia che non lo sia.

Il seguente teorema è molto utile, e permette di calcolare limiti di successioni che non saremmo in grado di calcolare altrimenti, o che risulterebbero particolarmente difficili:

Teorema del confronto

Siano $a_n, b_n, c_n$ tre successioni numeriche tali che si abbia:

\[ a_n \le b_n \le c_n \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]

sapendo, inoltre, che le successioni $a_n$ e $c_n$ tendono allo stesso limite $l$, cioè che:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} c_n = l \]

si può concludere che anche la successione $b_n$, compresa tra esse per ogni $n$, tenda allo stesso limite $l$:

Esempio: Calcoliamo il seguente limite di successioni: \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big[ \frac{1}{n} \cdot \sin(n) \Big] \)

Notiamo che il limite, così come si presente, non può essere calcolato, in quanto non esiste il limite per $n$ che tende all’infinito di \( \sin(n) \). Ricordiamo, però, che il seno è una funzione compresa sempre tra $-1$ e $1$; possiamo sfruttare questa ipotesi per dedurre che la nostra successione è compresa tra \(-1/n\) e \(1/n\), infatti si ha:

\( -1 \le \sin(n) \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n} \)

Siamo nelle ipotesi del teorema del confronto: infatti, abbiamo una disuguaglianza che riguarda tre successioni, delle quali conosciamo il limite per $n$ che tende all’infinito di quelle ai lati della disuguaglianza; infatti, sappiamo che:

\( \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big( \frac{1}{n}\Big) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \Big( -\frac{1}{n}\Big) = 0 \)

Per il teorema del confronto, possiamo concludere che anche la successione \(\sin(n)/n\) tende a zero, per $n$ che tende all’infinito.

Il teorema del confronto si può estendere anche al caso di successioni divergenti:

Teorema del confronto (successioni divergenti)

Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni numeriche tali che si abbia:

\[ a_n \le b_n \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]

Possiamo considerare i due seguenti casi:

  • Se $a_n$ diverge positivamente, cioè tende all’infinito, allora anche $b_n$ diverge positivamente, cioè, in simboli: \[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} b_n = +\infty \]
  • Se $b_n$ diverge negativamente, cioè tende a meno infinito, allora anche $a_n$ diverge negativamente, cioè: \[ \lim_{n \rightarrow +\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = -\infty \]
  • Se $b_n$ è limitata dall’alto, allora anche $a_n$ è limitata dall’alto;
  • Se $a_n$ è limitata dal basso, allora anche $b_n$ è limitata dal basso.

Vediamo, ora, altri due teoremi che ci permettono di semplificare molti il calcolo dei limiti:

Teorema (criterio del rapporto)

Sia $a_n$ una successione numerica, positiva. Se esiste il limite del rapporto tra un termine e il suo precedente e vale $l$, cioè:

\[\mbox{se } \exists \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l \]

possiamo determinare il limite della successione $a_n$ in base al valore di $l$, e in particolare:

  • se \( 0 \le l \lt 1 \), allora la successione $a_n$ tende a zero: \[ l \in [0; 1) \Rightarrow lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0 \]
  • se, invece, \( l \lt 1 \), allora la successione $a_n$ diverge positivamente: \[ l \in (1; +\infty) \Rightarrow lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = +\infty \]

Osserviamo che, nel caso in cui il limite del rapporto sia proprio $1$, il teorema non ci da informazioni sul limite della successione, e infatti, non possiamo concludere nulla.

Teorema (criterio della radice)

Sia $a_n$ una successione numerica, positiva. Se esiste il limite della radice n-esima di $a_n$ e vale $l$ cioè:

\[ \mbox{se } \exists \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}{a_n} = l \]

possiamo determinare il limite della successione $a_n$ in base al valore di $l$, e in particolare:

  • se \( 0 \le l \lt 1 \), allora la successione $a_n$ tende a zero: \[ l \in [0;1) \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0 \]
  • se, invece, \( l \gt 1 \), allora la successione $a_n$ diverge positivamente: \[ l \in (1;+\infty) \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = +\infty \]

Anche in questo caso, non possiamo concludere nulla nel caso in cui il limite della radice sia $1$.

 

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Le serie numeriche

Definizione

Consideriamo una successione di numeri reali:

\[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \]

dove $n$ è un generico numero naturale; ipotizziamo di voler sommare tutti i termini della successione, cioè di voler calcolare la somma:

\[ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]

Tale somma si dice serie numerica, o semplicemente  serie.

Gli elementi della successione si dicono termini della serie, e l’elemento $a_n$ prende il nome di termine generale della serie. Molto spesso è utile esprimere una successione con il simbolo di sommatoria, cioè:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]

Notiamo che ogni serie da luogo ad una successione, la successione delle somme parziali. Infatti, possiamo considerare le somme dei termini di $a_n$ nel seguente modo:

\( S_1 = a_1 \)

\( S_2 = a_1 + a_2 \)

\( S_3 = a_1 + a_2 + a_3 \)

\( \ldots \)

\( S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n \)

E quindi, la nuova successione ha per termini le somme parziali $S_1, …, S_n$. In questo caso, ha senso considerare il limite per $n$ che tende all’infinito di questa successione, e in particolare se il limite esiste finito, la serie si dice convergente, e tale limite corrisponde proprio con il valore della somma dei termini della successione $a_n$:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} S_n = S \in \mathbb{R} \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} a_n = S \]

Se, invece, il limite della successione delle somme parziali è infinito, la serie è divergente, e quindi la somma dei termini di $a_n$ è infinita; in particolare, se il limite vale più infinito, diremmo che la serie diverge positivamente, mentre se il limite vale meno infinito, diremmo che la serie diverge negativamente.

Infine, se il limite delle somme parziale non esiste, la serie si dirà indeterminata, oppure oscillante.

Determinare il carattere di una serie significa stabilire se essa è convergente, divergente, o oscillante.

 

La serie geometrica

La serie geometrica è una serie particolarmente importante, che è definita nel seguente modo:

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + \ldots + q^n + \ldots \]

Notiamo che, per $q = 0$ la serie converge, ed ha per somma $1$ (in questo caso, per far in modo che l’uguaglianza abbia significato anche per $q = 0$, si conviene che $0^0$ valga $1$).

Supponiamo, quindi, che \(q \ne 0 \), e osserviamo che il rapporto tra un generico termine della serie e il suo precedente è $q$:

\[ \frac{q^{n+1}}{q^n} = q^{n+1-n} = q \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N} \]

il termine $q$ viene detto, quindi, ragione della serie.

La serie in questione, quindi, prende il nome di progressione geometrica di ragione $q$.

Studiamo il comportamento della progressione geometrica nei casi in cui $q = 1$ e $q = – 1$.

Se $q = 1$, la serie è divergente, in quanto si ha la somma infinita di valori $1$, che tende a più infinito:

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} 1^n = 1 + 1 + 1^2 + 1^3 + \ldots + 1^n + \ldots \]

Se $q = -1$, la serie è indeterminata, in quanto assume la forma:

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n = 1 – 1 + (-1)^2 + (-1)^3 + \ldots + (-1)^n + \ldots \]

\[ \ldots = 1 – 1 + 1 -1 + \ldots + (-1)^n + \ldots \]

sappiamo, infatti, che la successione $(-1)^n$ assume il valore $1$ per $n$ pari, e il valore $-1$ per $n$ dispari, ed è quindi impossibile calcolarne il limite.

Si può dimostrare (utilizzando il principio di induzione) che la somma delle potenze di $q$, da $1$ a $n$, può essere scritta con la seguente formula:

\[ \sum_{k=0}^{n} q^k = 1+1+q^2+q^3+\ldots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \]

che possiamo indicare con $S_n$:

\[ S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \]

Possiamo ora studiare come si comporta questa successione per $n$ che tende all’infinito. Distinguiamo due casi:

  • se \(|q| \lt 1\), cioè se \( -1 \lt q \lt 1\) , allora la potenza $n+1$-esima di $q$ tende a zero, e quindi si ha che:

\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q} \]

In questo caso, quindi, la serie geometrica converge.

  • se, invece, \(|q| \gt 1\), cioè se \(q \lt -1\), o \(q \gt 1\), allora la potenza $n+1$-esima di $q$ tende all’infinito, e quindi si ha che: \[  \lim_{n\rightarrow +\infty} S_n = \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \infty \]

quindi, la serie geometrica diverge, positivamente o negativamente in base al segno di $q$.

 

Proprietà delle serie

Vediamo alcuni teoremi che riassumono delle importanti proprietà delle serie:

Teorema 1:  Il carattere di una serie rimane invariato se si moltiplicano o si dividono tutti i suoi termini per una costante $c$ diversa da zero:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n = s \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} c \cdot a_n = c \cdot s \]

Teorema 2: Sommando termine a termine due serie convergenti si ottiene una serie convergente la cui somma è la somma delle somme delle serie date:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n  = a \wedge \sum_{n=1}^{+\infty} b_n = b \Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n+b_n) = a + b \]

Teorema 3: Sopprimendo un numero finito di termini da una serie, il carattere di essa non cambia:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n  = s \wedge \sum_{n=1}^{k} a_n = A \Rightarrow \sum_{n=k+1}^{+\infty} a_n = s-A \]

 

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Il valore assoluto

Definizione e proprietà

Se $x$ è un numero reale, definiamo in questo modo il suo valore assoluto:

\[ |x| = \begin{cases} x & \mbox{se } x \ge 0 \\ -x & \mbox{se } x \lt 0 \end{cases} \]

Il numero reale $x$ viene definito argomento del modulo o del valore assoluto.

Possiamo estendere la definizione di valore assoluto al caso in cui l’argomento sia una generica espressione letterale, che indichiamo con $f(x)$:

\[ |f(x)| = \begin{cases} f(x) & \mbox{se } f(x) \ge 0 \\ -f(x) & \mbox{se } f(x) \lt 0 \end{cases} \]

Il valore assoluto di un numero, quindi, è sempre una quantità positiva, o nulla nel caso in cui l’argomento sia zero; deduciamo, quindi, che i numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto.

Quindi, due numeri hanno lo stesso valore assoluto se sono uguali o se sono opposti:

\[ |x| = |y| \Leftrightarrow x = y \vee x = -y \]

Se $x$ e $y$ sono due numeri reali, si possono verificare le seguenti proprietà:

\[ |x| \cdot |y| = |x \cdot y| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, |x+y| \le |x| + |y| \]

\[ \frac{|x|}{|y|} = \Big|\frac{x}{y}\Big| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, |x-y| \ge |x| – |y| \]

 

Risoluzione di equazioni e disequazioni con valore assoluto

Risoluzione immediata

Utilizzando la definizione, possiamo risolvere alcuni tipi di equazioni e disequazioni con valore assoluto in maniera immediata.

Vediamo alcuni esempi:

  • equazioni del tipo \( |p(x)| = a\)

sapendo che due numeri reali hanno lo stesso modulo se sono uguali, o se sono opposti, l’equazione può essere risolta ponendo:

\( p(x) = \pm a \rightarrow p(x) = a \vee p(x) = -a \)

  • equazioni del tipo \( |p(x)| = |q(x)| \)

possono essere risolte con lo stesso principio enunciato precedentemente:

\( p(x) = \pm q(x) \rightarrow p(x) = q(x) \vee p(x) = -q(x) \)

  • equazioni del tipo: \( |p(x)| = 0 \)

un valore assoluto è uguale a zero solo se il suo argomento è zero, quindi poniamo

\( p(x) = 0 \)

  • disequazioni del tipo \( |p(x)| \lt 0 \) sono impossibili, perché il modulo di un numero non può mai essere un numero negativo;
  • disequazioni del tipo \( |p(x)| \le 0 \) hanno come uniche soluzioni quelle date da \( p(x) = 0 \)
  • disequazioni del tipo \( |p(x)| \ge 0 \) e \( |p(x)| \ge -a \) (con $a$ positivo) sono verificate per qualunque valore di $x$, poiché il valore assoluto di un numero è sempre positivo;

 

Risoluzione di equazioni con valori assoluti

Vediamo un esempio di equazione in cui figura un solo valore assoluto: \( |x-2| = 3x + 2 \)

Secondo la definizione di valore assoluto, abbiamo che:

\(\displaystyle |x-2| = \begin{cases} x+2 & \mbox{se } x+2 \ge 0 \\ -(x+2) & \mbox{se } x+2 \lt 0 \end{cases}  \)

per risolvere questa equazione, dobbiamo risolvere i seguenti due sistemi:

\( \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+2=3x+2 \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x+2 \lt 0 \\ -(x+2)=3x+2 \end{cases} \)

risolviamo i due sistemi, tenendo presente che sono sistemi misti, cioè in cui compare una equazione e una disequazione:

\( \begin{cases} x \ge -2 \\ x-3x=2-2 \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x \lt -2 \\ -x -3x = 2+2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \ge -2 \\ -2x = 0 \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x \lt -2 \\ -4x = 4 \end{cases} \)

La soluzione è quindi $x=0$ dal primo sistema, in quanto il secondo sistema è impossibile.

Vediamo ora un altro esempio in cui nell’equazione compaiono due valori assoluti: \( |x+4| = 5 – |2x+5| \)

Cominciamo studiando il segno degli argomenti dei valori assoluti; abbiamo:

\( x+4 \gt 0 \rightarrow x \gt -4 \)

\( 2x + 5 \gt 0 \rightarrow x \gt -\frac{5}{2} \)

Rappresentiamo la situazione in uno schema: le linee tratteggiate rappresentano i tratti in cui l’argomento è negativo, mentre le linee piene il tratto in cui è positivo; diamo un nome a ciascun intervallo:

 

Disequazioni con valore assoluto: studio del segno degli argomenti

 

 

Per ogni intervallo individuato dobbiamo risolvere un sistema, in cui avremmo una disequazione, data dall’intervallo in cui ci troviamo, e un’equazione in cui gli argomenti dei valori assoluti assumeranno il segno che hanno in quell’intervallo:

Cominciamo dal primo intervallo:

\( S_1: \begin{cases} x \lt -4 \\ -(x+4) = 5 – (-2x -5) \end{cases} \)

risolviamo il sistema:

\( \begin{cases} x \lt -4 \\ -x -4 = 5 + 2x + 5 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x \lt -4 \\ -3x = 14 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \lt -4 \\ -x -2x = 5 + 5 + 4 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases}x \lt -4 \\ x = -\frac{14}{3} \end{cases} \)

concludiamo quindi che: \( S_1:  x = -\frac{14}{3} \)

Passiamo al secondo intervallo:

\( S_2: \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x+4 = 5-(-2x-5) \end{cases} \)

risolviamo il secondo sistema:

\( \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x+4 = 5+2x +5 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ -x = 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x -2x = 5+5-4 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x = -6 \end{cases} \)

La soluzione dell’equazione non soddisfa la disequazione, quindi concludiamo:

\( S_2 = \varnothing \)

Passiamo al terzo e ultimo sistema:

\( S_3: \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2} \\ x + 4 = 5 – (2x+5) \end{cases} \)

risolviamolo:

\( \begin{cases} x\ge -\frac{5}{2} \\ x+4 = 5-2x -5 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2}\\ 3x = -4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2} \\ x+2x = 5-5-4 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2} \\ x = -\frac{4}{3} \end{cases} \)

la soluzione dell’equazione è accettabile, quindi concludiamo:

\( S_3: x = -\frac{4}{3} \)

Le soluzioni dell’equazione di partenza sono date dall’unione delle soluzioni di tutti gli intervalli, quindi avremmo che:

\( S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 = \Big\{-\frac{4}{3}; -\frac{14}{3} \Big\} \)

 

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Disequazioni con valore assoluto

Disequazioni della forma \( |f(x) \lt k \) con \( k \gt 0 \)

Consideriamo il caso in cui l’argomento della valore assoluto sia $x$: \( |x| \lt k \)

sapendo che $k$ è un numero positivo,  possiamo affermare che $x$ può assumere tutti i valori che sono compresi tra $0$ e $k$; ma poiché due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, anche i valori compresi tra $-k$ e $0$ soddisfano l’equazione.

Possiamo quindi affermare che, essendo $k$ un generico numero positivo, le soluzioni sono date dai valori di $x$ compresi tra $-k$ e $k$:

\[ |x| \lt k \Leftrightarrow -k \lt x \lt k\,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

La stessa regola vale per \( |x| \le k \):

\[  |x| \le k \Leftrightarrow -k \le x \le k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

Possiamo generalizzare la regola precedente, considerando al posto di $x$ una generica espressione contenente $x$:

\[ |f(x)| \lt k \Leftrightarrow -k \lt f(x) \lt k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

\[ |f(x)| \le k \Leftrightarrow -k \le f(x) \le k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

In particolare, l’espressione \( -k \lt f(x) \lt k \)  si traduce nel seguente sistema:

\[ \begin{cases} f(x) \lt k \\ f(x) \gt -k \end{cases} \]

Esempio

Consideriamo la seguente disequazione con valore assoluto: \( |2x -3| \lt 5 \)

applicando la regola vista in precedenza, abbiamo che:

\( -5 \lt 2x -3 \lt 5 \)

quindi, le soluzioni della disequazione sono date dal seguente sistema:

\( \begin{cases} 2x – 3 \lt 5 \\ 2x – 3 \gt -5 \end{cases} \)

risolviamo il sistema:

\( \begin{cases} 2x \lt 5 + 3 \\ 2x \gt -5 + 3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 2x \lt 8 \\ 2x \gt -2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x \lt 4 \\ x \gt -1 \end{cases} \)

Concludiamo che le soluzioni della disequazione sono date dall’intervallo:

\( S: -1 \lt x \lt 4 \)

 

Disequazioni della forma \( |f(x)| \gt k \) con \( k \gt 0 \)

Consideriamo il caso in cui l’argomento del valore assoluto sia semplicemente $x$: \( |x| \gt k \)

possiamo notare che i valori di $x$ maggiori a $k$ verificano sicuramente la disequazione; ma poiché numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, sicuramente anche i valori di $x$ minori di $-k$ soddisferanno la disequazione.

In generale, quindi, essendo $k$ un generico numero positivo, le soluzioni della disequazione sono dati dai valori di $x$ maggiori di $k$ e minori di $-k$:

\[ |x| \gt k \Leftrightarrow x \lt -k \vee x \gt k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

\[ |x| \ge k \Leftrightarrow x \le -k \vee x \ge k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

Possiamo estendere questa affermazione al caso in cui, al posto di $x$, vi sia un’espressione contenente $x$:

\[ |f(x)| \gt k \Leftrightarrow f(x) \lt -k \vee f(x) \gt k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

\[ |f(x)| \ge k \Leftrightarrow f(x) \le -k \vee f(x) \ge k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]

Notiamo che dobbiamo risolvere due disequazioni per trovare le soluzioni della disequazione di partenza ma, in questo caso, a differenza di prima, non dobbiamo metterle a sistema, ma dobbiamo unire le loro soluzioni.

Esempio

Risolviamo la seguente disequazione con valore assoluto: \( |1+2x| \gt 5 \)

applicando la regola vista in precedenza, abbiamo che:

\( 1+2x \lt -5 \vee 1+2x \gt 5 \)

Risolviamo le due disequazioni una alla volta; cominciamo dalla prima:

\( 1+2x \lt -5 \)

\( 2x \lt -5 – 1 \)

\( 2x \lt -6 \rightarrow x \lt -3 \)

passiamo ora alla seconda:

\( 1+2x \gt 5 \)

\( 2x \gt 5 – 1 \)

\( 2x \gt 4 \rightarrow x \gt 2 \)

Le soluzioni della disequazione di partenza sono date dall’unione delle soluzioni delle due disequazioni precedenti:

\( S: (\infty; -3) \cup (2; +\infty) \)

 

Disequazioni con valori assoluti

Nel caso in cui non fosse possibile ricondurre una disequazione alle forme viste precedentemente, la disequazione va risolta studiando il degno dell’argomento; o nel caso in cui compiano, all’interno della disequazione, due o più valori assoluti, dobbiamo risolvere la disequazione studiando il segno degli argomenti, e risolvere i sistemi relativi ad ogni intervallo.

Vediamo alcuni esempi.

Cominciamo con una disequazione in cui compare un solo valore assoluto: \( |x-3| \gt 5 -3x \)

Dalla definizione di valore assoluto, abbiamo i seguenti due sistemi:

\( \begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x-3 \gt 5-3x \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x-3 \lt 0 \\ -(x-3) \gt 5 – 3x \end{cases} \)

Risolviamo il primo:

\( \begin{cases} x\ge 3 \\ x+3x \gt 5+3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x\ge 3 \\ 4x \gt 8 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x\ge 3 \\ x \gt 2 \end{cases} \)

la soluzione del sistema è l’intervallo \([3; +\infty)\);

Risolviamo ora il secondo:

\( \begin{cases} x \lt 3 \\ -x+3 \gt 5-3x \end{cases}\rightarrow \begin{cases} x \lt 3 \\ -x+3x \gt 5-3 \end{cases} \rightarrow \)

\( \rightarrow \begin{cases} x \lt 3 \\ 2x \gt 2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x \lt 3 \\ x \gt 1 \end{cases} \)

La soluzione del sistema è il seguente intervallo: \((1; 3)\).

Le soluzioni della disequazione sono date dall’unione delle soluzioni dei due sistemi: \((1; 3) \cup [3;+\infty)\);

quindi, la soluzione del sistema è l’intervallo \((1; +\infty)\) .

Vediamo ora un esempio in cui abbiamo due valori assoluti; risolviamo la seguente disequazione: \( |2x+4|+|x+1|-3x+1 \gt 0\)

Cominciamo studiando il segno degli argomenti e riportando lo studio in un grafico, in cui individuiamo i tre intervalli:

Valore assoluto: studio del segno dell'argomento del modulo\( 2x – 4 \gt 0 \rightarrow x \gt 2 \)

\( x+1 \gt 0 \rightarrow x \gt -1 \)

 

Impostiamo il primo sistema: nel primo intervallo entrambi gli argomenti sono negativi:

\( S_1: \begin{cases}x \lt -1 \\ -(2x-4)-(x+1)-3x+1 \gt 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x \lt -1 \\ -6x \gt 4 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x \lt -1 \\ x \lt \frac{2}{3}\end{cases} \)

La soluzione di questo primo sistema è l’intervallo \((-\infty; -1)\) ;

\( S_1: (-\infty; -1)\)

risolviamo il secondo sistema; nel secondo intervallo il primo argomento è positivo, mentre il secondo è negativo:

\( S_2: \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ -(2x-4) + x + 1 – 3x + 1 \gt 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ -2x+4+x+1-3x+1 \gt 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ -4x \gt -6 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ x \lt \frac{3}{2} \end{cases} \)

Le soluzioni del secondo sistema sono:

\( S_2: \Big[-1; \frac{3}{2} \Big) \)

Passiamo al terzo sistema; nel terzo intervallo entrambi gli argomenti sono positivi:

\( S_3: \begin{cases} x\ge 2 \\ 2x-4+x+1-3x+1 \gt 0 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x\ge 2 \\ 0 \cdot x \gt 2 \end{cases} \)

Il sistema è impossibile, quindi abbiamo

\( S_3: \varnothing \)

Sapendo che le soluzioni della disequazione iniziale sono date dall’unione di tutti gli intervalli che sono soluzione dei sistemi precedenti, abbiamo che:

\( S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 = (-\infty; -1) \cup \Big[-1; \frac{3}{2} \Big) \cup \varphi = \Big(-\infty; \frac{3}{2} \Big) \)

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Ricerca dei punti di massimo, minimo e flessi

Il metodo delle derivate successive permette di studiare e di determinare gli estremi relativi di una funzione. Per utilizzare questo metodo, che non prevede lo svolgimento di disequazioni, è necessario che la funzione sia derivabile due volte con continuità (questo termine si usa, in genere, per indicare che la derivata n-esima di una funzione sia continua).

Teorema: Sia $f(x)$ una funzione derivabile due volte, con derivata seconda continua, nei punti interni di un intervallo $I$, e sia $c$ un punto interno di tale intervallo; allora, si ha che:

  1. Se risulta $f'(c) = 0$ e \(f”(c) \lt 0\), allora $c$ è un punto di massimo relativo;
  2. Se risulta $f'(c) = 0$ e \(f”(c) \gt 0\), allora $c$ è un punto di minimo relativo.

Studio di funzione: punto di massimo e di minimo relativoNotiamo che il teorema può essere interpretato per via grafica: infatti, nel primo caso, abbiamo nel punto c una tangente orizzontale, e poiché la derivata seconda in quel punto è negativa, la curva volge la concavità verso in basso; al contrario, nel secondo caso, in cui la derivata seconda è positiva, la curva volge la concavità verso l’alto.

In alcuni casi, però, come accade per esempio con la funzione $y = x^4$, o $y = x^5$, che sia la derivata prima che la derivata seconda sono nulle (in questo caso nell’origine). Nel primo caso, la funzione presenta nell’origine un punto di minimo, mentre la seconda un flesso.

Il teorema appena mostrato, quindi, fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza di un estremo relativo, ma non necessaria.

Metodo della derivata terza

Il metodo della derivata terza fornisce un criterio sufficiente per la determinazione dei punti di flesso a tangente orizzontale.

Teorema: Sia $y = f(x)$ una funzione derivabile tre volte, con derivata terza continua, nei punti interni di un intervallo $I$. Se $c$ è un punto interno a $I$, e si ha che:

\[ f'(c) = f”(c) = 0 \wedge f”'(c) \ne 0 \]

allora, $c$ è un punto di flesso a tangente orizzontale. In particolare, il flesso sarà ascendente se \(f”'(c) \gt 0\), e discendente se \(f”'(c) \lt 0\).

Nel caso in cui, invece, la derivata seconda della funzione, calcolata in $c$, è nulla, ma sono diverse da zero la derivata prima e la derivata terza, cioè se:

\[ f”(c) = 0 \wedge f'(c) \ne 0 \wedge f”'(c) \ne 0 \]

allora, il punto $c$ rappresenta un punto di flesso a tangente obliqua.

 

Generalizzazione del metodo delle derivate successive:

Possiamo riassumere i metodi appena visti per la determinazione dei punti di massimo, minimo e flesso di una funzione con un unico teorema.

Teorema: Sia $y = f(x)$ una funzione derivabile $n$ volte con derivata $n$- esima continua nei punti interni di un intervallo $I$. Sia $c$ un punto interno di $I$, in cui si ha che:

\[ f'(c) = f”(c) = \ldots = f^{(n-1)}(c) = 0 \wedge f^{(n)}(c) \ne 0 \]

possiamo affermare che:

  • se $n$ è pari, il punto $c$ risulta essere un punto estremante; in particolare, $c$ sarà un punto di minimo se la derivata $n$-esima calcolata in $c$ è positiva, di massimo se questa è negativa;
  • se $n$ è dispari, allora il punto $c$ è un punto di flesso a tangente orizzontale; in particolare, $c$ sarà un punto di flesso ascendente se la derivata $n$-esima calcolata in $c$ è positiva, e discendente se questa è negativa;

 

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Esempi di studio di funzione

Funzione razionale intera

Studiamo la funzione di equazione \( f(x) = x^3 + 2x^2 – 3 \)

  1. Per prima cosa, notiamo che la funzione, come tutte le funzioni razionali intere, è definita in tutto l’asse reale, quindi il suo dominio coincide con \(\mathbb{R}\);
  2. Cerchiamo di capire se la funzione presenta simmetrie. Poiché si ha: \[ f(-x) = (-x)^3 + 2(-x)^2 – 3 = -x^3 +2x^2 – 3 \]  possiamo concludere che la funzione non presenta simmetrie, e quindi, non è né pari né dispari;
  3. Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani, e risolviamo i seguenti sistemi: \[ \begin{cases} y=x^3+2x^2-3 \\ y=0 \end{cases} \,\,\,\, ; \,\,\,\, \begin{cases}y=x^3+2x^2-3 \\ x=0 \end{cases} \] dai quali abbiamo i punti di intersezione $(0;-3)$ e $(1;0)$;
  4. Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione: \[ x^3 + 2x^2 -3 \gt 0 \] La disequazione è verificata per \(x \gt 1\), quindi possiamo affermare che in questo intervallo si ha \(f(x) \gt 0\); al contrario, per \( x \lt 1\), si ha \( f(x) \lt 0 \);
  5. Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per x che tende a più o meno infinito: \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} (x^3+2x^2-3) = +\infty \] \[ \lim_{x \rightarrow -\infty} (x^3+2x^2-3) = -\infty \] La funzione, quindi, non ammette asintoti orizzontali, in quanto entrambi i limiti precedenti sono infiniti. Inoltre, poiché la funzione è definita in tutto \(\mathbb{R}\), non può avere asintoti verticali. Possiamo, però, ricercare gli asintoti obliqui; studiamo, quindi, il seguente limite per determinare l’eventuale coefficiente angolare dell’asintoto:  \[ m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3+2x^2-3}{x} = +\infty \] Dato che il limite precedente è infinito, la funzione non ha neanche asintoti obliqui;
  6. Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari: \[ f'(x) = 3x^2+4x \] Risolviamo quindi la seguente equazione: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 + 4x = 0 \] Dalle soluzioni della disequazione, possiamo determinare due punti stazionari, che hanno ascisse: \[x_1 = 0, x_2 = -\frac{4}{3} \] Studiando il segno della derivata prima, troviamo i seguenti intervalli, nei quali la funzione è crescente: \[ x \lt -\frac{4}{3} \vee x \gt 0 \]
  7. Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso: \[ f”(x)  = 6x+4 \] Risolviamo la seguente equazione: \[ f”(x) = 0 \Rightarrow 6x+4=0 \] Da cui otteniamo il punto di ascissa \(-2/3\). Studiando il segno della derivata seconda, troviamo che per \( x \gt -2/3\), la funzione volge la concavità verso l’alto, e che quindi, per \(x \lt -2/3\), la funzione volge concavità verso il basso.

Unendo i dati ottenuti, siamo in grado di tracciare il grafico della funzione:

 

Studio di funzione: grafico della funzione razionale intera \( f(x) = x^3+2x^2-3 \)

Funzione esponenziale

Studiamo la funzione di equazione \( y=e^{\frac{x-1}{x}} \)

  1. La funzione esponenziale è definita per ogni valore di $x$; tuttavia, in questo caso l’esponente di $e$ è una frazione, definita per \(x \ne 0\). Il dominio della funzione è, quindi, \(\mathbb{R} – \{0\}\);
  2. La funzione non presenta simmetrie. Infatti, abbiamo: \[ f(-x) = e^{\frac{-x-1}{-x}} = e^{\frac{x+1}{x}} \] la funzione, quindi, non è né pari né dispari;
  3. Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani; sapendo che la funzione non è definita in zero, possiamo cercare solo le intersezioni con l’asse $x$: \[ \begin{cases} y=e^{\frac{x-1}{x}} \\ y = 0 \end{cases} \] Poiché la funzione esponenziale non si annulla mai, concludiamo che non vi sono intersezioni con gli assi;
  4. Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione: \[ e^{\frac{x-1}{x}} \gt 0 \] La disequazione è sempre verificata, quindi la funzione si trova sempre al di sopra dell’asse $x$.
  5. Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per $x$ che tende a più o meno infinito: \[ \lim_{x\rightarrow \infty} e^{\frac{x-1}{x}} = e \] Poiché il limite esiste ed è finito, possiamo affermare che la retta $y = e$ è asintoto orizzontale per la funzione $f(x)$. Dato che la funzione non è definita in $x = 0$, è lecito ricercare l’asintoto verticale. Calcoliamo, quindi, il limite per $x$ che tende a zero: \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}} e^{\frac{x-1}{x}} = 0 \,\,\,\, , \,\,\,\, \lim_{x\rightarrow 0^{-}} e^{\frac{x-1}{x}} = +\infty \] Possiamo concludere che la funzione ha $x = 0$ come asintoto verticale sinistro;
  6. Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari: \[ f'(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \] Risolviamo quindi la seguente equazione: \[ f'(x) \gt 0 \Rightarrow e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \gt 0 \] La disequazione è verificate per ogni $x$ del dominio, quindi la funzione è crescente in tutto il dominio;
  7. Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso: \[ f”(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} + e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{-2x}{x^4} = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot (1-2x) \] Risolviamo la seguente equazione: \[ f”(x) = 0 \] Da cui otteniamo il punto di ascissa \(1/2\), che è un punto di flesso per la funzione.

Studiando il segno della derivata seconda, troviamo che per \( x \lt 1/2\), la funzione volge la concavità verso l’alto, e che quindi, per \( x \gt 1/2\), la funzione volge concavità verso il basso.

Possiamo ora tracciare il grafico della funzione:

 

Studio di funzione: grafico della funzione esponenziale \( y = e^{\frac{x-1}{x}} \)

 

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Volare

In un recente articolo ho presentato un esempio di valutazione economica di un aereo, basata sul metodo di Montecarlo. E’ possibile che qualche lettore abbia curiosità o interesse per il fenomeno del volo, visto dal lato scientifico. In questo articolo provo a esporre, in forma semplificata, alcuni aspetti della teoria che sta alla base del sostentamento aereo e del volo.
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Introduzione alla statistica

La statistica si occupa della raccolta, dell’analisi, e dell’interpretazione di dati riguardanti fenomeni fisici, economici, etc, cioè di dati che si possono osservare e misurare.

In particolare, la statistica descrittiva studia i fenomeni collettivi, o di massa, cioè quei fenomeni determinati attraverso una molteplicità di osservazioni.

 

Definizioni

Popolazione statistica:  La popolazione è l’insieme dei valori (possono essere persone, oggetti, ecc.) che hanno l’insieme di caratteristiche X, o l’insieme degli elementi a cui si riferisce l’indagine statistica;

Unità statistica: è un elemento della popolazione statistica della cui minima unità si raccolgono i dati.

Campione statistico: Il campione statistico è un sottoinsieme della popolazione statistica, composto da un insieme qualsiasi di unità, che ha le stesse caratteristiche della popolazione.

Ad esempio, se volessimo fare un’indagine per scoprire dove gli italiani hanno trascorso le vacanze natalizie, la nostra popolazione sarebbe l’intera cittadinanza italiana, l’unità statistica è un singolo cittadino, mentre un campione statistico è un insieme qualsiasi di un certo numero di persone, scelte a caso.

Modalità: La modalità di un carattere è uno dei possibili valori relativi a quel carattere. Nel caso di caratteri quantitativi si usa spesso proprio il termine valore.

 

Variabili statistiche

Per descrivere tali dati, si usano delle variabili, denotate spesso con X, Y, W, Z…, e se un determinato dato viene osservato più volte, si aggiungono degli apici alla lettera maiuscola che rappresenta l’evento.

Per esempio, se l’evento X è stato osservato n volte, possiamo esprimere i valori raccolti con:

\[ x_1, x_2, \ldots, x_n \]

Ogni possibile valore è chiamato modalità.

Le variabili possono essere di diversi tipi, in base al tipo di analisi che stiamo svolgendo:

Variabili casuali

Le variabili casuali si hanno quando il fenomeno collettivo si presenta secondo modalità diverse nelle varie unità statistiche. Il valore che viene assunto dalla variabile casuale in una determinata unità statistica prende il nome ci osservazione.

Variabili quantitative

Si hanno variabili quantitative quando queste assumono valori numerici; le variabili quantitative possono essere continue (in questo caso possono assumere uno qualsiasi dei valori in un determinato intervallo di numeri reali), o discrete (se possono assumere solo un numero finito di valori.

Ad esempio, il peso e la statura di una persona sono variabili quantitative continue, mentre le votazioni ottenute ad un esame costituiscono variabili quantitative discrete.

Variabili qualitative

Sono variabili che assumono valori non numerici; possono essere ordinali se i dati sono in un ordine ben precise, o categoriche se riguardano una determinata categoria di soggetti.

 

Dati statistici

Sono costituiti dal numero che esprime quantitativamente una modalità e dal numero di volte in cui essa si presenta nell’indagine.

Matrice dei dati

I dati raccolti nel corso di un’indagine statistica, effettuata su un certo numero di unità statistiche, e con riferimento a determinate variabili, vengono raccolti in una tabella che prende il nome di matrice dei dati.

 

Frequenza

La frequenza indica il numero di volte che si presenta un determinato evento, e può essere assoluta o relativa:

  • La frequenza assoluta indica il numero di volte che si verifica un evento a prescindere dal numero totale di prove effettuate;
  • La frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di prove effettuate.

 

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Altro materiale di supporto

  • Questionario di statistica
  • Test di statistica

 

Tabelle, rappresentazioni grafiche, indici sintetici

La statistica descrittiva si occupa dello studio di un fenomeno mediante l’osservazione dell’intera popolazione, cioè la collettività di individui di cui si sono raccolti i dati. Questo studio viene svolto attraverso strumenti di sintesi, quali tabelle, rappresentazioni grafiche e indici sintetici.

 

Le tabelle

Le tabelle sono costituite dalle modalità della variabile e dalle frequenze associate a ciascuna variabile.

In particolare, possiamo distinguere tre tipi di frequenza:

  • La frequenza assoluta, che misura quante volte una certa modalità, cioè un determinato valore, è stato osservato nella popolazione studiata;
  • La frequenza relativa, che rappresenta la proporzione, o la percentuale, di osservazioni che presentano una determinata modalità della variabile in questione. La frequenza relativa può essere espressa come: \[ p_i = \frac{n_i}{n} \times 100 \] dove $n_i$ rappresenta la frequenza assoluta;
  • La frequenza cumulata associata ad una modalità della variabile,  che indica il numero di osservazioni che presentano un valore minore o uguale rispetto a quello della modalità in questione.  La frequenza cumulata può essere assoluta (Ni) o relativa (Pi).

 

Le classi

Possiamo costruire la distribuzione di frequenza anche nel caso di variabili continue, cioè di variabili che possono assumere un qualsiasi valore all’interno di un determinato intervallo (continuo) di numeri reali.

In questo caso, si suddivide l’intervallo in questione in sottointervalli, detti classi; poi, si determina il numero di osservazioni che si trovano in ogni classe.

Per costruire le classi, non vi sono delle regole precise; ma è bene formare classi che non abbiamo frequenze troppo basse, e che abbiamo ampiezze simili tra loro.

 

Rappresentazioni grafiche

Le rappresentazioni grafiche permettono di visualizzare le caratteristiche di una variabile, e in alcuni casi possono contenere informazioni maggiori delle tabelle.

Le rappresentazioni grafiche possono essere scelte in base al tipo di dato, e alla scala di valori utilizzata. In particolare, per dati quantitativi è solito utilizzare istogrammi, o poligoni, mentre per dati qualitativi si utilizzano diagrammi, areogrammi.

Nel caso in cui le classi si presentano di ampiezze diverse, le frequenze non sono facilmente confrontabili, quindi occorre introdurre un nuovo parametro che ci permetta di eliminare l’effetto dell’ampiezza di classe. Tale parametro si dice densità di frequenza, ed è il rapporto tra la frequenza e l’ampiezza di classe: \[ d_i = \frac{p_i}{\Delta_i} \]

Le densità di frequenza possono, ora, essere confrontate.

Statistica: istogramma frequenza assoluta e frequenza relativaPossiamo rappresentare la nostra indagine mediante un istogramma, in cui ogni rettangolo rappresenta una classe, e nell’ordinata si pone la frequenza assoluta, la frequenza relativa, o la densità di frequenza.

Grazie a questo tipo di rappresentazione, è possibile studiare l’andamento del fenomeno, per esempio l’indice di dispersione (cioè, la misura con la quale i valori sono distanti dal valore centrale), se vi è una tendenza centrale, e possiamo individuare il grado di simmetria della distribuzione.

 

Indici statistici

Le caratteristiche di un fenomeno, che si possono osservare in un grafico di distribuzione, possono essere descritti tramite dei numeri, definiti indici statistici.

Gli indici possono essere di tre tipi:

  • Gli indici di tendenza centrale (o indici di posizione) della distribuzione, che indicano una modalità attorno alla quale si addensano le altre; tali indici sono la media, la, mediana, la moda;
  • Gli indici di distribuzione o dispersione, che indicano come le modalità, nel campione, si dispongano le une  rispetto all’indice di tendenza centrale, cioè danno informazioni sulla dispersione dei dati rispetto al valore centrale. Tali indici comprendono la varianza, la deviazione standard;
  • Gli indici di forma, che forniscono dei valori che descrivono una misura della distribuzione di una determinata serie di dati, e in particolare riguardano la asimmetria e la curtosi, cioè l’allontanamento dalla normalità distributiva.

 

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Rapporti statistici

I rapporti statistici permettono di elaborare facilmente i dati ottenuti, in quanto essi consistono nel rapporto di due valori. Esistono vari tipi di rapporti, in base ai valori che vengono considerati: vi sono rapporti di composizione, di coesistenza o di unita, di derivazione, di durata, di ripetizione.

Rapporti di composizione

Il rapporto di composizione è il rapporto tra la frequenza assoluta di una modalità e il totale delle frequenza, per una data distribuzione di frequenza. Si può considerare questo tipo di rapporto come una frequenza relativa.

Rapporti di unità

Il rapporto di unità o di coesistenza relativo ad una distribuzione di frequenze è il rapporto tra le frequenze assolute di due modalità. Con questo tipo di rapporto si evidenziano i legami che vi sono tra fenomeni diversi, ma che sono riferiti allo stesso luogo e sono contemporanei.

Rapporti di derivazione

I rapporti di derivazione servono per confrontare fenomeni che sono uno il presupposto dell’altro. I casi più comuni sono:

  • il rapporto di natalità, calcolato dividendo il numero delle nascite in un determinato periodo e una determinata zona, per il numero totale della popolazione della zona;
  • il rapporto di mortalità, calcolato dividendo il numero delle morti in un determinato periodo e una determinata zona, per il numero totale della popolazione della zona;
  • il rapporto di fertilità, calcolato dividendo il numero delle nascite in un determinato periodo e una determinata zona, per il numero di donne in età fertile della zona.

Rapporti di durata

I rapporti di durata servono per analizzare fenomeni che possono variare nel tempo; è possibile calcolare la consistenza media nel periodo considerato mediante la formula: \[ c_m = \frac{c_i + c_f}{2} \]

indicando con $c_i$ la consistenza iniziale e con $c_f$ la consistenza finale. Questi rapporti possono essere utilizzati, per esempio, per studiare l’andamento del numero di spettatori di una partita, o del numero di prodotti presenti in un negozio.

Indicando, poi, con $m$ il movimento, la seguente espressione: \[ r_d = \frac{c_m}{m_m} \]

indichiamo la permanenza media di un’unità nel periodo considerato.

Rapporti di ripetizione

Il rapporto di ripetizione è il reciproco del rapporto di durata, e indica il numero medio di volte in cui il fenomeno si è ripetuto nel periodo considerato.

\[ r_r = \frac{c_m}{m_m} \]

I valori medi

Molto spesso, nelle indagini statistiche, si ha a che fare con una grandissima quantità di dati; per questo, può essere utile determinare un dato che rappresenta l’intera indagine, cioè l’insieme dei dati della distribuzione. Tale valore prende il nome di media.

Considerata una qualsiasi distribuzione di dati disposti in ordine non decrescente, definiamo la media come il valore che vi sta in mezzo, cioè un valore compreso tra il minore e il maggiore della distribuzione, estremi inclusi. Può succedere che il valore espresso dalla media non sia un valore presente nella distribuzione.

Vi sono diversi tipi ti medie utili nella statistica, che si calcolano in maniere differenti:

  • la media geometrica semplice e ponderata;
  • la media aritmetica semplice e ponderata;
  • la media quadratica semplice e ponderata;
  • la media armonica semplice e ponderata;

Queste medie vengono definite medie ferme, in quanto vengono calcolate tenendo conto di tutti i valori distribuzione.

Vi sono poi altre medie, che invece si calcolano tenendo conto solo di alcuni dei dati della distribuzione, e per questo vengono definite medie lasche:

  • la mediana;
  • la moda;

 

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Se hai qualche dubbio o ti serve aiuto, puoi chiedere nella sezione Statistica e probabilità del forum di Matematicamente.it.

 

I numeri indici

I numeri indici sono dei rapporti statistici che permettono di studiare come un determinato fenomeno si evolve nel tempo. Questi numeri sono particolarmente utilizzati nelle serie storiche, cioè quando si studiano fenomeni che, appunto, variano nel tempo.

Si distinguono due tipi di numeri indici, quelli semplici e quelli composti. Nel caso dei numeri indici semplici viene considerata una sola serie di valori alla volta, cioè si studia l’evoluzione di un solo fenomeno; nel caso dei numeri indici composti, invece, si esaminano contemporaneamente più fenomeni, che possono essere in relazione tra loro.

I numeri indici semplici

I numeri indici semplici sono dati dal rapporto tre due intensità di una stessa serie, e possono essere a base fissa, o a base mobile.

Numeri indici a base fissa

Nel caso dei numeri indici a base fissa, il periodo di riferimento rimane sempre lo stesso. Solitamente si sceglie il periodo base come quello in cui in fenomeno ha avuto un intensità normale, e tale periodo deve essere abbastanza lungo in modo che si possano compensare eventuali turbamenti di intensità.

Una volta scelto il periodo di base,  i valori per gli altri periodo si ottengono dividendo il valore relativo ad ogni periodo per quello scelto come base, e si moltiplica il risultato ottenuto per 100 (per ottenere il valore in percentuale).

Numeri indici a base mobile

I numeri indici semplici a base mobile si hanno quando la base è variabile, e corrisponde, per ogni periodo, al valore del periodo precedente.

In questo caso, per determinare tali numeri, considerando la stessa serie storica, si divide la modalità relativa ad ogni periodo per il valore del periodo precedente, e si moltiplica il risultato per 100.

Gli indici a base fissa mostrano l’andamento di medio-lungo periodo del fenomeno, in quanto mostrano l’andamento nel tempo del fenomeno studiato.

Gli indici a base mobile, invece, analizzano l’andamento nel tempo delle variazioni di intensità del fenomeno tra due periodi di tempo contigui.

Passaggio di base

E’ possibile passare da una base fissa ad una base mobile, e viceversa.

Nel primo caso, si divide ciascun numero indice della serie a base fissa per il precedente; nel secondo caso, invece, si moltiplicano progressivamente fare loro i numeri indici a base mobile.

 

I numeri indici composti

Come detto in precedenza, i numeri indici composti si riferiscono allo studio di più fenomeni contemporaneamente. Alcuni esempi di indici composti riguardano l’economia, e sono ad esempio l’indice ISTAT del costo della vita, o l’indice MIB della borsa di Milano.

Per calcolare gli indici composti, è possibile procedere in diversi modi. Vi sono, in particolare, il metodo delle medie degli indici, e il metodo dell’indice delle medie.

Metodo delle medie degli indici

Tale metodo consiste nel calcolare, per ogni serie, e con riferimento alla stessa base, i numeri indici, e poi di questi, per ogni anno, la media aritmetica.

Metodo degli indici delle medie

Questo metodo consiste, invece, nel calcolare prima le medie aritmetiche dei valori della serie in questione per ogni anno, e successivamente, scelto un determinato periodo come base, calcolare i numeri indici delle medie, che saranno i numeri indici cercati.

 

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Le medie

Le medie statistiche possono essere di due tipi: le medie ferme, che si hanno quando si considerano tutti i termini della distribuzione, e le medie lasche, che invece si hanno considerando solo alcuni dei valori ottenuti.

Le medie ferme

La media aritmetica

Consideriamo una distribuzione statistica i cui valori sono:

\[ x_1, x_2, \ldots, x_n \]

e presentano una frequenza assoluta pari a 1.

Si definisce, allora, la media aritmetica come il valore $m$ che, sostituito ad ogni valore della distribuzione, non ne altera la somma, cioè:

\[ x_1+x_2+\ldots+x_n = n \cdot m \Rightarrow \frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} = m \]

La media aritmetica, in questo caso, viene definita semplice, in quanto tutti i valori della distribuzione presentano una frequenza assoluta di 1.

Altrimenti, se i valori della distribuzione presentano frequenze diverse da 1, si può calcolare la media aritmetica tenendo conto delle diverse frequenze: indicando con $f_1, f_2, …, f_n$ le frequenze relative agli $n$ valori, la definizione di media aritmetica diventa:

\[ m’ = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2+\ldots+x_n f_n}{\sum f} \]

E il valore $m’$ calcolato prende il nome di media aritmetica ponderata.

Esempio

Consideriamo una distribuzione di valori come la seguente:

21 20 24 30 21 30 28 26 28 26

Calcoliamo la media aritmetica della distribuzione sommando tutti i termini e dividendo poi tale somma per 10:

\( m = \frac{21+20+24+30+21+30+28+26+28+26}{10} = \frac{254}{10} = 25,4 \)

 

La media geometrica

Data una distribuzione di $n$ valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media geometrica semplice il valore $m_g$ che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera il prodotto, cioè:

\[ x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = m_g^n \Rightarrow \sqrt{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} = m_g \]

Come visto precedentemente, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si può modificare la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:

\[ x_1^{f_1} \cdot x_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{f_n} = m_g^{\sum f} \Rightarrow \sqrt[\sum f]{x_1^{f_1} \cdot x_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{f_n}} = m_g \]

In questo caso, il valore di media trovato prende il nome di media geometrica ponderata.

Esempio

Consideriamo la distribuzione dell’esempio precedente, e calcoliamone la media geometrica.

21 20 24 30 21 30 28 26 28 26

Notiamo che alcuni valori appaiono più volte; sarà quindi necessario calcolare le relative frequenza, e applicare la formula seconda.

\( f_{21} = f_{30} = f_{28} = f_{26} = 2 \)

\( f_{20} = f_{24} = 1 \)

Ora possiamo calcolare la media geometrica:

\( m_g = \sqrt[10]{21^2 \cdot 30^2 \cdot 28^2 \cdot 26^2 \cdot 20 \cdot 24} = 25,14 \)

 

Media quadratica

Data una distribuzione di $n$ valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media quadratica semplice il valore $m_q$ che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei quadrati dei valori, cioè:

\[ x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = n \cdot m_q^2 \Rightarrow \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} = m_q \]

Come in precedenza, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si modifica la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:

\[ x_1^2 f_1 + x_2^2 f_2 + \ldots + x_n^2 f_n = {m’}_2^2 \Rightarrow \]

\[ \Rightarrow \sqrt{\frac{x_1^2 f_1 + x_2^2 f_2 + \ldots + x_n^2 f_n}{\sum f}}=m_q^{‘} \]

Il valore $m’$ così ottenuto prende il nome di media aritmetica ponderata.

Questo tipo di media è molto utile nel caso in cui si voglia ottenere il valore medio di una distribuzione senza tenere conto del segno dei valori.

Esempio

Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media quadratica, tenendo conto, come prima, delle diverse frequenze dei valori:

\( m_q = \sqrt{\frac{21^2+30^2\cdot 2 +28^2\cdot 2+26^2 \cdot 2+20^2+24^2}{10}} = 25,65\)

 

La media armonica

Data una distribuzione di $n$ valori, non nulli e ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media armonica semplice il valore che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei reciproci, cioè:

\[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n} = n \cdot \frac{1}{m_a} \Rightarrow \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}=m_a \]

Anche in questo caso, possiamo determinare la media armonica ponderata, che si ha quando le frequenze dei valori sono diverse da 1:

\[ \frac{f_1+f_2+\ldots+f_n}{\frac{f_1}{x_1}+\frac{f_2}{x_2}+\ldots\frac{f_n}{x_n}} = \frac{\sum f}{\sum \frac{f}{x}} = m_a^{‘} \]

Esempio

Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media armonica, tenendo conto, come in precedenza, delle diverse frequenze dei valori:

\( m_a = \frac{10}{\frac{2}{21}+\frac{2}{30}+\frac{2}{28}+\frac{2}{26}+\frac{1}{20}+\frac{1}{24}} = 24,88 \)

Possiamo notare, anche dagli esempi svolti, che, se i valori della distribuzione sono tutti positivi, tra le medie ferme sussiste la seguente relazione: \[ m_a \le m_g \le m \le m_q \]

 

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Esercizio (dal forum)

Una società di noleggio possiede diverse auto con diverso chilometraggio:

Km Numero di auto
0−30 8
30−50 10
50−70 12
70−80 5
80−90 3
90−100 2

Qual è il numero medio di km?
E quanti km ha il 50 per cento delle auto

(Puoi trovare uno spunto per la soluzione nel forum di Matematicamente.it)

 

Le medie lasche

Le medie lasche sono quelle medie il cui calcolo, a differenza delle medie ferme, non tiene conto di tutti i valori della distribuzione, ma solo di alcuni di essi. Le medie lasche sono la moda e la mediana.

La moda

Data una distribuzione di $n$ valori: $x_1, x_2, …, x_n$, aventi frequenze assolute $f_1, f_2, …, f_n$, si definisce moda il termine $x_i$ avente frequenza maggiore.

Nel caso in cui in una distribuzione tutti i valori hanno la stessa frequenza, non ha senso parlare di moda.

Nel caso in cui le modalità sono suddivise in classi, se le classi hanno uguale ampiezza si procede considerando i valori delle frequenza, come visto in precedenza; altrimenti, se l’ampiezza delle classi è differente, si considerano i rapporti tra le frequenze e le ampiezze di ciascuna classe.

Consideriamo, ad esempio, una distribuzione di valori come la seguente:

 

Moda statistica per una distribuzione di n valori

 

Notiamo che alcuni valori della distribuzione compaiono solo una volta (il valore 4, il valore 67 e il valore 53), mentre ce ne sono altri che si ripetono. La moda, come abbiamo detto precedentemente, è data dal valore che appare con frequenza maggiore.

Notiamo, quindi, che il valore 23 si ripete per due volte, mentre il valore 10 appare tre volte. Concludiamo, quindi, che il valore 10 è quello che appare con frequenza maggiore, e che quindi rappresenta la moda della distribuzione.

Nel caso in cui la distribuzione presenti due o più modalità con frequenza massima, si parla di distribuzioni bimodali, o plurimodali.

La mediana

Data una successione di $n$ valori $x_1, x_2, …, x_n$, disposti in ordine non decrescente, si definisce mediana il termine che occupa il posto centrale.

Non sempre in una successione di numeri esiste il valore centrale. Infatti, se $n$ è dispari, il valore centrale esiste, e la mediana coincide proprio con esso. Nel caso in cui, invece, $n$ è pari, non vi è un valore centrale, e si considera come mediana la media aritmetica dei due valori centrali.

Consideriamo la distribuzione dell’esempio precedente:

 

Mediana in una distribuzione di n valori, con n numero pari

 

Poiché in questo caso abbiamo a che fare con un numero pari di dati, non possiamo accedere subito al valore centrale della distribuzione, in quanto non vi è un valore centrale. Come abbiamo visto in precedenza, è possibile calcolare la mediana prendendo in considerazione i due valori centrali e facendo la media aritmetica dei due.

Poiché in questo caso i valori centrali sono 10 e 67, la mediana sarà data da:

\( \frac{10+67}{2} = \frac{77}{2} = 38,5 \)

Consideriamo ora una distribuzione di termini dispari:

 

Mediana statistica di una distribuzione di n termini, con n dispari

 

In questo caso, non abbiamo problemi nel determinare il termine centrale, in quanto questo è esplicito, ed è proprio 67.

La mediana può anche essere definita come il termine che lascia al di sopra e al di sotto di sé lo stesso numero di termini, che, cioè, divide a metà la distribuzione.

Spesso è utile conoscere anche termini che dividono diversamente la distribuzione; tali valori vengono detti quartili. Generalmente, si considerano quattro tipi di quartili:

  • il primo quartile, cioè il termine che lascia al di sopra di sé un quarto dei valori, e al di sotto i tre quarti dei valori;
  • il secondo quartile, che divide la distribuzione a metà, e coincide pertanto con la mediana;
  • il terzo quartile, che lascia al di sopra di se’ i tre quarti dei valori, e al di sotto un quarto dei valori;
  • il quarto quartile, che lascia al di sopra di se tutti i valori della distribuzione e coincide, quindi, con il termine più alto della successione.

 

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Variabilità e interpolazione statistica

La variabilità

La variabilità di un fenomeno riguarda la dispersione dei valori del fenomeno studiato, e viene misurata con dei numeri, detti valori sintetici, che indicano o di quanto i dati differiscono dal valore medio, o di quanto i dati differiscono tra loro.

Alcuni degli indici di dispersione esistenti sono il campo di variazione, lo scarto quadratico medio e la varianza.

Campo di variazione

Questo indice di variabilità consiste nella differenza tra il valore più alto e quello più basso della distribuzione; tale indice non fornisce un dato molto preciso della variabilità della distribuzione.

Ad esempio, se la distribuzione presenta i seguenti valori:

\( x_1 = 23, x_2 = 10, x_3 = 148, x_4 = 7, x_5 = 18, x_6 = 34 \)

il valore più grande è 148, mentre quelli più piccolo è 7, perciò il campo di variazione è dato da 148 – 7 = 141.

Varianza e scarto quadratico medio

Un indice di variabilità più accurato si ottiene calcolando il valore medio degli scarti della media al quadrato, e viene indicato con il termine varianza (var).

Si potrebbe pensare di trovare la varianza calcolando la media aritmetica degli scarti della media dei valori della distribuzione, ma in questo caso si troverebbe tale valore sempre nullo, poiché sono presenti scarti sia positivi che negativi, che si annullano a causa delle loro frequenze.

Data una distribuzione di $n$ valori $x_1, x_2, …, x_n$, di frequenza uguale a 1, la varianza è data dalla seguente formula:

\[ \mbox{var} = \frac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\ldots+(x_n-m)^2}{n} = \frac{\sum(x_i – m)^2}{n} \]

Dove $m$ indica la media aritmetica dei valori della distribuzione.

Se le frequenze delle distribuzioni non sono unitarie, dobbiamo modificare la formula precedente tenendo conto anche di tali frequenze:

\[ \mbox{var}= \frac{(x_1-m)^2\cdot f_1 +(x_2-m)^2\cdot f_2 +\ldots+(x_n-m)^2\cdot f_n}{f_1+f_2+\ldots+f_n} = \frac{\sum(x_i-m)^2\cdot f_i}{\sum f_i} \]

La radice quadrata della varianza prende il nome di scarto quadratico medio:

\[ \sigma = \sqrt{\mbox{var}} \]

La varianza è espressa nell’unità di misura dei valori della distribuzione al quadrato, mentre lo scarto quadratico medio ha la stessa unità di misura dei valori. Per agevolare i conti, in alcuni casi, si preferisce utilizzare numeri dimensionali, e quindi si ricorre al coefficiente di variabilità, dato dal rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media dei valori:

\[ \mbox{c.v.} = \frac{\sigma}{m} \]

Considerando la distribuzione dell’esempio precedente, possiamo calcolare la varianza della distribuzione.

La media dei valori è data da:

\( m=\frac{23+10+148+7+18+34}{6} = \frac{240}{6} = 40 \)

Applichiamo poi la formula precedente per trovare la varianza:

\( \mbox{var} = \frac{(23-40)^2+(10-40)^2+(148-40)^2+(7-40)^2+(18-40)^2+(24-40)^2}{6} =  \)

\( = \frac{(-17)^2+(-30)^2+(108)^2+(-33)^2+(-22)^2+(-6)^2}{6} = \)

\( = \frac{289+900+11664+1089+484+36}{6} = \frac{14462}{6} = 2410,33 \)

facendo poi la radice quadrata di tale numero, otteniamo lo scarto quadratico medio:

\( \sigma = \sqrt{2410,33} = 49,1 \)

 

L’interpolazione statistica

L’interpolazione statistica consiste nella sostituzione di una distribuzione reale con la cosiddetta curva interpolante.

Consideriamo due distribuzione statistiche di valori $x_1, x_2, …, x_n$ e $y_1, y_2, …, y_n$, tali da poter considerare le coppie $(x_i, y_i)$) come coordinate di punti di un piano cartesiano.

Rappresentando tali punti su piano, possiamo ottenere delle “nuvole” di punti, che non rappresentano delle curve ben definite. Se, però, la distribuzione di punti ricorda una curva ben precisa, è possibile sostituire tale insieme di punti con delle curve approssimate, che prendono il nome di curve interpolanti.

Statistica: grafici nuvole di punti e curve interpolantiNei due casi a fianco, per esempio, le “nuvole” di punti approssimano la curva di una retta e quella di una parabola. Vi sono diversi modi per poter determinare la curva interpolante; uno di questi è il metodo dei minimi quadrati.

Tale metodo prevede che l’equazione della curva deve essere tale che la somma dei quadrati degli scarti dei dati teorici , che si ottengono interpolando, da quelli reali, deve essere minima.

 

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La regressione

Nel caso in cui siano oggetto di studio due distribuzioni statistiche (X e Y), è possibile attribuire alle distribuzioni punti del piano cartesiano, ed è possibile inoltre interpolare tali punti, cioè individuare nuovi punti del piano nell’ipotesi che tutti questi possano riferirsi ad una funzione nota di variabile reale.

Se la funzione interpolante è una retta di equazione $y = mx + q$, è possibile determinare i coefficienti di tale retta; notiamo che per un insieme di punti possono passare infinite rette, ma quella di regressione è quella che minimizza la somma dei quadrati degli scarti tra i valori di una distribuzione e i corrispondenti valori dell’altra.

I coefficienti della retta cercata si possono determinare grazie al metodo dei minimi quadrati.

Metodo dei minimi quadrati

Chiamiamo $m_x$ e $m_y$ le medie dei due insiemi di grandezze $x_i$ e $y_i$, con $i$ che varia da $1$ a $n$; si ha quindi:

\[ m_x = \frac{\sum x_I}{n}\,\,\,\, , \,\,\,\, m_y = \frac{\sum y_i}{n} \]

Ricordiamo che la varianza di una distribuzione si calcola sommando le differenze tra ciascun valore della distribuzione con il valore medio, e dividendo tale somma per il numero dei dati; calcoliamo, quindi, le varianze per il nostro caso:

\[ \mbox{var}_1 = \frac{\sum (x_i-m_x)^2}{n} \,\,\,\, , \,\,\,\, \mbox{var}_2 = \frac{\sum(y_i-m_y)^2}{m}  \]

Definiamo una nuova quantità, detta covarianza, espressa dalla seguente scrittura:

\[ \mbox{var}_{1,2} = \frac{\sum (x_i-m_x)(y_i-m_y)}{n} \]

La retta interpolante che stiamo cercando avrà equazione:

\[ y = m_y + r_{y,x} (x-m_x) \]

dove il termine $r$, cioè il coefficiente angolare della retta, è dato dal rapporto tra la covarianza e la varianza della distribuzione $x$:

\[ r_{y,x} = \frac{\mbox{var}_{1,2}}{\mbox{var}_1} \]

Questo coefficiente angolare viene definito coefficiente di regressione di $y$ su $x$; la retta ottenuta viene quindi definita retta di regressione di $y$ su $x$.

Allo stesso modo, possiamo notare che se la retta avesse equazione

\[ x = m_x + r_{x,y} (y-m_y) \]

Il coefficiente angolare sarebbe dato dal rapporto tra la covarianza e la varianza della distribuzione $y$, e verrebbe definito coefficiente di regressione di $x$ su $y$; allo stesso modo, la retta ottenuta verrebbe definita retta di regressione di $x$ su $y$.

La differenza tra le due rette sta nella dipendenza di una delle due variabili dall’altra. Infatti, nel caso in cui si suppone una dipendenza di $y$ da $x$, si determina la retta di regressione di $y$ su $x$; se invece, si suppone una dipendenza di $x$ da $y$, si determina la retta di regressione di $x$ su $y$.

In genere queste due rette non sono coincidenti, ma si intersecano nel punto $(m_x, m_y)$.

I coefficienti di regressione indicano che esistono variazioni di una variabile rispetto all’altra. Essi, inoltre, hanno lo stesso segno. In particolare, se sono entrambi positivi, al crescere dei valori di una variabile crescono anche i valori dell’altra; altrimenti, se sono entrambe negative, se i valori di una crescono, i valori dell’altra decrescono.

Le rette, inoltre, formano un angolo che dipende dalla loro approssimazione rispetto alla distribuzione reale: tale angolo sarà tanto minore quanto l’approssimazione è accurata.

Se i coefficienti di correlazione sono nulli, le rette sono perpendicolari tra loro, quindi possiamo affermare che non si ha una dipendenza lineare tra le variabili, ma si avrà una dipendenza di tipo parabolico, esponenziale, ecc…

Bontà di adattamento della retta

Nel processo di raccolta dei dati, possono influire fattori esterni che influenzano la relazione tre le due variabili delle distribuzioni; in questo caso, si deve considerare la retta interpolante con l’aggiunta dell’errore commesso.

In particolare, si scompone la variabilità di $y$ in due componenti:

  • La devianza spiegata: somma delle differenze al quadrato tra i valori teorici della retta e la media della distribuzione Y;
  • La devianza residua: la somma degli scarti al quadrato tra i valori osservati e quelli teorici di Y.

Attraverso questi due valori, è possibile ottenere un indice che valuti la bontà di adattamento della retta con la distribuzione di punti. L’indice di bontà di adattamento ($R^2$) è ottenuto dividendo la devianza spiegata e la devianza totale.

Maggiori sono i valori di tale indice, migliore è l’adattamento della retta alla distribuzione; al contrario, valori prossimo allo zero di $R^2$ indicano una scarsa bontà di adattamento della retta alla vera relazione tra le distribuzioni $X$ e $Y$.

 

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La correlazione e le distribuzioni normali

La correlazione

Nel caso in cui, considerate due distribuzioni X e Y, esista tra di loro una corrispondenza lineare, stabilita per mezzo di rette di regressione, è possibile dare una misura sintetica di tale corrispondenza.

Per fare questo, si utilizzano dei coefficienti, e tra i più usati troviamo il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson, che si ottiene dal rapporto della covarianza delle distribuzioni per il prodotto delle loro deviazioni standard (cioè i loro scarti quadratici medi):

\[ r = \frac{(\mbox{var}_{x,y})^2}{\sigma_x \sigma_y} \]

Il valore di tale indice è un numero reale compreso tra -1 e 1. In particolare, possiamo notare che il coefficiente assume:

  • il valore -1 nel caso di perfetta correlazione negativa;
  • il valore 1 nel caso di perfetta correlazione positiva;
  • il valore 0 se non vi è correlazione tra le distribuzioni;
  • valori positivi nel caso di correlazione positiva;
  • valori negativi nel caso di correlazione negativa.

Tra la correlazione  e la regressione esiste un legame molto stretto, espresso dalla seguente:

\[ |r| = \sqrt{|r_{yx}\cdot r_{xy}|} \]

dove i coefficienti \(r_{yx}\) e \(r_{xy}\) sono, rispettivamente, i coefficienti di regressione di $y$ su $x$ e di $x$ su $y$.

Esempio

Consideriamo due distribuzioni aventi le seguenti modalità:

Statistica: modalità di una distribuzione d'esempio

 

Possiamo determinare per tali distribuzioni i rispettivi scarti quadratici medi, e il valore della covarianza; effettuando i calcoli, si ottiene:

\( \sigma_x = 1,708 \,\,\,\, , \,\,\,\, \sigma_y = 8,86 \)

\( (\mbox{var}_{x,y})^2 = 13,5 \)

Poiché il coefficiente di correlazione è dato dal rapporto tra la covarianza e il prodotto delle deviazioni, abbiamo che:

\( r = \frac{13,5}{1,708\cdot 8,86} = 0,892 \)

Notiamo che il valore di $r$ è molto prossimo a 1, il che indica che vi è una buona correlazione positiva.

Distribuzione normale

Una distribuzione normale è una distribuzione di frequenze caratteristica, in quanto essa può essere descritta da un grafico “a campana” simmetrico rispetto all’asse verticale che passa per il vertice (che corrisponde alla moda).

 

Statistica: distribuzione normale

 

La distribuzione normale è una distribuzione teorica, e può descrivere un numero infinito di osservazioni.

Possiamo notare, inoltre, che l’area compresa tra la curva e l’asse delle ascisse racchiude la totalità delle osservazioni; e che la frequenza dei valori compresi tra due valori dell’ascissa $x_1$ e $x_2$ corrisponde all’area racchiusa dalla curva e dall’intervallo $(x_2 ; x_1)$.

Poiché la curva è simmetrica rispetto al suo asse verticale, si ha che la media e la mediana coincidono con la moda.

Tra le proprietà che caratterizzano queste distribuzioni, vi è il fatto che tra la media e una deviazione standard sono compresi circa il 34% dei valori della distribuzione; è quindi possibile, in ogni caso, determinare la percentuale dei valori che si trovano tra un generico valore $x$ e la media.

Esempio

Consideriamo una distribuzione che abbia una media di 25, e uno scarto quadratico medio uguale a 3. Possiamo allora determinare la percentuale dei valori che si trovano tra 25 – 3 e 25 + 3, cioè i valori compresi tre 22 e 28.

Sapendo che tra la media e una deviazione standard cono compresi il 34% dei valori, possiamo concludere che tra 22 e 28 sono compresi (34∙2)% = 68% dei valori.

Indici di forma

Nelle distribuzioni reali, quasi sempre ci si allontana dalla distribuzione standard, e questo si può notare anche dalla differente forma che assumono le distribuzioni.

In particolare, le distribuzioni possono presentare un’asimmetria, e in questo caso la media aritmetica si sposta, rispetto alla mediana, verso la parte di grafico che si schiaccia maggiormente.

 

Statistica: indici di forma

 

Oppure possono risultare più o meno appiattite, e in questo caso si parla di curtosi.

 

Statistica: curtosi

 

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Sistemi lineari: definizioni

Definizione 1: Sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite.

Siano date $m$ equazioni lineari nelle incognite $x_1, x_2, …, x_n$. L’insieme di tali equazioni, ovvero dette equazioni considerate contemporaneamente, è detto sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite, e si scrive

\[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]

Definizione 2: Incognite, coefficienti, termini noti.

Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite. I simboli $x_j$ sono detti incognite del sistema, gli \(a_{jk}\) si chiamano coefficienti e i $b_j$ prendono il nome di termini noti.

Osservazione 1: Nella scrittura di cui alla definizione 1 può accadere che qualcuno degli \(a_{jk}\) sia nullo; ciò si verifica allorché l’incognita $x_k$ non compare nella ?-esima equazione.

Definizione 3: Sistema omogeneo.

Un sistema lineare si dice omogeneo allorché tutti i termini noti $b_j$ sono nulli; in caso contrario il sistema è detto non omogeneo.

Definizione 4: Soluzione di un sistema lineare.

Una ?-upla (\(c_1, c_2, \ldots, c_n\)) si dice soluzione di un sistema lineare allorché tutte le equazioni che lo compongono risultano identicamente verificate dopo che siano state effettuate le $n$ sostituzioni \(x_j \rightarrow c_j\).

Osservazione 2: Non tutti i sistemi lineari hanno una soluzione, e quando essa esiste non è necessariamente unica. La distinzione di queste tre eventualità e l’individuazione della soluzione stessa qualora essa esista costituiscono il problema dei sistemi lineari.

Definizione 5: Sistema possibile o compatibile.

Un sistema lineare si dice possibile o compatibile allorché esso ammette l’esistenza di almeno una soluzione. Un sistema che non abbia alcuna soluzione è detto, per contro, impossibile o incompatibile.

Definizione 6: Sistema determinato.

Un sistema lineare possibile si dice determinato allorché esso ammette una e una sola soluzione. Per contro, un sistema possibile che ammetta infinite soluzioni viene detto indeterminato.

Osservazione 3: È fondamentale osservare che non esistono altre possibilità. Si potrebbe infatti dimostrare che un sistema lineare o non ammette soluzioni, o ne ammette una sola, o ne ammette infinite: è esclusa la possibilità, cioè, che un sistema lineare ammetta un numero finito di soluzioni maggiore di uno.

Osservazione 4: Un sistema omogeneo è sempre possibile, in quanto ammette almeno la soluzione banale $(0,0,…,0)$ indipendentemente da quali siano i suoi coefficienti. Può poi darsi il caso, come sempre avviene per un sistema possibile, che esso sia determinato o indeterminato; nel primo caso esso ammetterà solo la soluzione nulla, mentre nel secondo ci saranno altre infinite soluzioni oltre a quella banale.

 

Forma matriciale

Definizione 7: Matrice incompleta o matrice dei coefficienti.

Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite. Si chiama matrice incompleta o matrice dei coefficienti del sistema quella matrice ? di tipo (?,?) data da

\[ \begin{pmatrix} a_{11}  & a_{12}  & \cdots  & a_{1n} \\ a_{21}  & a_{22}  & \cdots  & a_{2n} \\ \vdots   & \vdots   & \ddots   & \vdots  \\ a_{m1}  & a_{m2}  & \cdots   & a_{mn} \end{pmatrix} \]

Definizione 8: Vettore dei termini noti.

Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni. Si chiama vettore o matrice colonna dei termini noti la matrice $b$ di tipo $(m,1)$ data da

\[ b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots  \\ b_m \end{pmatrix} \]

Definizione 9: Matrice completa.

Sia dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite. Si chiama matrice completa del sistema quella matrice $A’$ di tipo $(m, n+1)$ che si ottiene aggiungendo l’ultima colonna ? alla matrice ?.

Osservazione 5: Le notazioni introdotte dalle definizioni 7, 8 e 9 sono molto utili non solo nello studio delle soluzioni di un sistema lineare, ma anche per scrivere in maniera più compatta il sistema stesso. Adoperando il prodotto righe per colonne possiamo infatti rappresentare il sistema nella forma più conveniente

\[ A \cdot x = b  \]

dove $x$ è un vettore colonna con $m$ coordinate i cui elementi sono le incognite $x_1, x_2, …, x_n$. Tale scrittura si chiama forma matriciale del sistema, mentre l’altra è detta normale.

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Altro materiale di supporto

 

Se hai qualche dubbio o ti serve aiuto, puoi chiedere nella sezione Geometria e Algebra lineare del forum di Matematicamente.it.

 

Sistemi lineari: il metodo di eliminazione

Descrizione del metodo

Uno dei metodi più comuni per la risoluzione di un sistema lineare è quello di eliminazione. Esso si basa sul seguente principio, detto di riduzione, la cui facile dimostrazione non diamo per brevità:

Principio di riduzione: Siano date due equazioni di un sistema lineare; se ad una di esse si sostituisce una loro combinazione lineare, il sistema ottenuto ha ancora le stesse soluzioni del precedente o, come pure si dice, gli è equivalente.

Procedimento: Il metodo di eliminazione è definito dal seguente algoritmo:

  1. Si dà una numerazione alle incognite e le si scrive in ogni equazione nello stesso ordine;
  2. Si deve fare in modo che nella prima equazione appaia la prima incognita, nella seconda equazione appaia la seconda incognita e così via. Se la situazione non è già così, basta confrontare l’equazione “sbagliata” con quelle sottostanti e scambiarne la posizione con la prima che sia “adatta”. Se neanche ciò è possibile, allora si torna al punto 1 e si cambia la numerazione delle incognite, mettendo all’ultimo posto quella problematica;
  3. Adesso nella prima equazione comparirà certamente la prima incognita; se essa appare anche nella seconda, moltiplichiamo ciascuna di queste due equazioni per il coefficiente della prima incognita dell’altra. Sottraiamo quindi le due equazioni ottenute l’una dall’altra e sostituiamo il risultato alla seconda; ciò è lecito in base al principio di riduzione.
  4. Se abbiamo svolto bene i calcoli, il risultato di questo procedimento sarà di aver eliminato la prima incognita dalla seconda equazione tramite un’elisione. Ripetiamo la parte 3 del procedimento con la prima equazione e la terza, poi con la prima e la quarta… fino a che non avremo eliminato la prima incognita da ogni equazione tranne la prima.
  5. Naturalmente se la prima incognita già non compare in qualcuna delle equazioni, salteremo il passaggio che la riguarda e andremo avanti.
  6. Tutto quello che ci resta da fare adesso è ripetere tutto il procedimento da 3 a 5 lavorando sulla seconda incognita e la seconda equazione, poi sulla terza incognita e la terza equazione, fino ad averle usate tutte. Il risultato sarà che le prime ? incognite appariranno ciascuna solo nell’equazione che ha il suo stesso numero d’ordine. Come si vedrà dagli esempi, ciò significa che il sistema è risolto.

 

Osservazione 1: Purtroppo non è possibile capire solo sulla base del numero di equazioni e incognite se un sistema sarà a priori impossibile o possibile e, in questo caso, determinato o indeterminato. Ciò che si può certamente dire è che se il numero $m$ delle equazioni è minore del numero $n$ delle incognite, allora il sistema, se è possibile, è certamente indeterminato. Ciò è dovuto al fatto che, usando il metodo di eliminazione, arriveremo a poter scrivere esplicitamente solo $m$ delle $n$ incognite, i valori delle altre rimanendo arbitrari.

Osservazione 2: Se in un sistema compare un’equazione numerica evidentemente errata,  come ad esempio 0=1, allora l’intero sistema è impossibile; in questo caso non ha senso continuare la risoluzione.

Osservazione 3: Se in un sistema compare un’equazione numerica evidentemente giusta,  come ad esempio 0=0, allora l’equazione è inutile alla risoluzione del sistema, e si può eliminare. In particolare, se otteniamo due equazioni uguali possiamo eliminarne una: ciò è dovuto al fatto che essa potrebbe essere sostituita dalla loro combinazione lineare con coefficienti 1 e −1, che darebbe come risultato esattamente l’eliminabile 0=0.

 

Esempi applicativi

Esempio 1: Si risolva con il metodo di eliminazione il sistema

\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ z-y=1 \\ y+2x = 3 \end{cases} \)

Notiamo in primo luogo che le tre incognite non sono scritte nello stesso ordine nelle tre equazioni; applicando il passo 1 del procedimento di eliminazione scriveremo quindi

\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ -y+z=1 \\ 2x+y=3 \end{cases} \)

Nella prima equazione appare effettivamente la prima incognita, ?, e nella seconda appare la ?; nella terza non appare però la ?: per correggere questa inesattezza applichiamo il passo 2 e invertiamo le ultime due equazioni

\( \begin{cases} x-2y+3z = 1 \\ 2x+y=3 \\ -y+z=1 \end{cases} \)

La ? compare adesso sia nella prima equazione che nella seconda, quindi va applicato il passo 3: moltiplichiamo la prima equazione per 2, la seconda per 1 e sostituiamo la loro differenza alla seconda equazione

\( 2(x-2y+3z)-1(2x+y)=2-3 \Rightarrow -5y+6z=-1 \)

\( \begin{cases} x-2y+3z=1 \\ -5y+6z=-1 \\ -y+z=1 \end{cases} \)

Siamo al passo 4: come volevamo la ? è sparita dalla seconda equazione, e possiamo andare avanti. Notiamo però che nella terza equazione la ? non c’è, e quindi come applicazione del passo 5 procederemo senza far nulla.

Per il passo 6 dovremo adesso ripetere l’intero procedimento da 3 in poi per la ?, basando i calcoli sulla seconda equazione. Avremo quindi

\(-5(x-2y+3z)+2(-5y+6z)=-5-2 \Rightarrow -5x-3z=-7\)

\(-5(-y+z)+1(-5y+6z)=-5-1 \Rightarrow z=-6\)

\( \begin{cases} -5x-3z=-7 \\ -5y+6z=-1 \\ z=-6 \end{cases} \)

Arrivati a questo punto non c’è più bisogno di ripetere il procedimento per la ?, poichè abbiamo già ottenuto l’esatto valore di questa incognita e possiamo perciò sostituirla nelle altre due equazioni. Questo, dopo qualche calcolo, ci dà la soluzione

\( \begin{cases} x=5 \\ y=-7 \\ z=-6 \end{cases} \)

 

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Sistemi lineari: il metodo della matrice inversa e la regola di Cramer

Descrizione del metodo della matrice inversa

Procedimento: Sia dato un sistema lineare di $n$ equazioni in $n$ incognite. Come sappiamo esso può essere scritto nella forma  \( A \cdot x = b \), nella quale ? è la matrice \(n \times n\) dei coefficienti e $x , b$ sono due vettori colonna di $n$ coordinate, detti rispettivamente delle incognite e dei termini noti.

Osserviamo che se esiste la matrice inversa di ?, ovvero se è possibile determinare in maniera unica una matrice \(n \times n\) \(A^{-1}\) tale che

\[ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I \]

allora il sistema è facilmente risolubile. Infatti in questo caso moltiplicando a sinistra per \(A^{-1}\) entrambi i membri dell’equazione che definisce il sistema abbiamo subito

\[ A \cdot x = b \Rightarrow A^{-1} \cdot (A\cdot x) = A^{-1} \cdot b \Rightarrow (A^{-1} \cdot A) \cdot x = A^{-1} \cdot b \]

Da cui  \(x = A^{-1} \cdot b\)  in virtù delle proprietà della matrice inversa e di quelle della matrice identica. In questo caso, a quanto pare, esiste sicuramente un vettore $x$ soluzione del sistema, ed esso è univocamente determinato perché deve essere necessariamente uguale a \(A^{-1}\cdot b\). Quindi il sistema non solo è possibile, ma anche determinato.

Osservazione 1: Naturalmente, non tutti i sistemi lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite sono possibili o determinati, come subito evidenziato dalla seguente coppia di sistemi \(2 \times 2\):

\( \begin{cases} x+y=1 \\ x+y=0 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x+y=0 \\ x+y=0 \end{cases} \)

Il primo di essi è chiaramente impossibile, visto che \( 0 \ne 1\). Il secondo di essi, invece, è indeterminato: dato un qualsiasi valore $x$, basta imporre $y=-x$ per avere una soluzione del tutto accettabile, il che significa che ne esistono infinite.

Osservazione 2: L’osservazione 1 non contraddice il procedimento prima descritto per il fatto che quest’ultimo è applicabile se e solo se la matrice ? è invertibile, e come sappiamo condizione sufficiente affinchè questo accada è che sia \(|A| \ne 0\). In entrambi gli esempi dell’osservazione 1 avevamo invece \(|A| = 0\).

 

Regola di Cramer

Osservazione 3: Anche nel caso in cui sia \(|A| \ne 0\), il metodo della matrice inversa risulta tedioso da applicare perché in primo luogo bisogna calcolare \(A^{-1}\), fatto questo già lungo e complesso di per sé, e quindi fare un ulteriore prodotto righe per colonne. Per semplificare i calcoli applichiamo perciò la seguente regola di Cramer.

Regola di Cramer: Consideriamo la forma generica della matrice inversa di ?:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{|A|}  & \frac{A_{21}}{|A|}  & \cdots  & \frac{A_{n1}}{|A|} \\ \frac{A_{12}}{|A|}  & \frac{A_{22}}{|A|}  & \cdots  & \frac{A_{n2}}{|A|} \\ \vdots   & \vdots   & \ddots   & \vdots  \\ \frac{A_{1n}}{|A|}  & \frac{A_{2n}}{|A|}  & \cdots   & \frac{A_{nn}}{|A|} \end{pmatrix} \]

Il risultato del prodotto righe per colonne di questa matrice con il vettore ? dei termini noti si calcola facilmente in base alla definizione come

\[ [A^{-1}\cdot b]_i = \sum_{j=1}^n [A^{-1}]_{ij} b_j = \sum_{j=1}^n \frac{A_{ji}}{|A|} b_j = \frac{1}{|A|} \sum_{j=1}^n A_{ji}b_j \]

L’ultima sommatoria scritta si può, e qui sta il trucco, interpretare come il determinante di quella matrice che si ottiene da ? sostituendo alla sua ?-esima colonna il vettore colonna dei termini noti, il determinante essendo naturalmente sviluppato rispetto alla colonna sostituita. Abbiamo così che

\[ x_i = \frac{D_i}{|A|} \]

ossia che il valore dell’?-esima incognita si ottiene dividendo per il determinante di ? il determinante di quella matrice che si ottiene sostituendo all’?-esima colonna di ? la colonna dei termini noti del sistema. Abbiamo così ottenuto un metodo che evita del tutto il calcolo della matrice inversa, essendo sufficiente a priori calcolare al più $n+1$  determinanti per avere la soluzione.

 

Esempi applicativi

Esempio 1: Si risolva con la regola di Cramer il sistema

\( \begin{cases} 5x+y+2z=5 \\ x-5y+z=15 \\ -2x+4y+z=-15 \end{cases} \)

Per prima cosa scriviamo il sistema in forma matriciale e controlliamo che il determinante della matrice ? dei coefficienti non sia 0; questo si può fare facilmente con la regola di Sarrus o con il metodo dei triangoli:

\( \begin{pmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 1  & -5  & 1 \\ -2  & 4  & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -15 \end{pmatrix} \)

\( |A| = \begin{vmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 1  & -5  & 1 \\ -2  & 4  & 1 \end{vmatrix} = -25+8-2-(20+20+1)=-19-41=-60 \ne 0 \)

Cosicché il metodo della matrice inversa, e consequenzialmente la regola di Cramer, sono applicabili. Per avere il valore di $x$, sostituiamo alla prima colonna di ? il vettore dei termini noti, e calcoliamo il determinante della matrice risultante; lo stesso facciamo per $y$ e $z$.

\( \begin{vmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 15  & -5  & 1 \\ -15  & 4  & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5  & 1  & 2 \\ 15  & -5  & 1 \\ 0  & -1  & 2 \end{vmatrix} = \)

\( = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 15  & 3  & 6 \\ 15  & -5  & 1 \\ 0  & -1  & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0  & 8  & 5 \\ 15  & -5  & 1 \\ 0  & -1  & 2 \end{vmatrix} = -105 \)

\( \begin{vmatrix} 5  & 5  & 2 \\ 1  & 15  & 1 \\ -2  & 15  & 1 \end{vmatrix} = 165 \)

\( \begin{vmatrix} 5  & 1  & 5 \\ 1  & -5  & 15 \\ -2  & 4  & 15 \end{vmatrix} = 30 \)

Nel primo caso abbiamo voluto mostrare come con le proprietà dei determinanti si possa spesso facilitare i calcoli. Per avere la soluzione non ci resta che dividere i numeri ottenuti per il determinante di ?, ottenendo  \(x=7/4, y = 11/4, z=-1/2\).

 

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Sistemi lineari: il teorema di Rouché-Capelli

Teorema: Siano ? ed ?′ rispettivamente la matrice dei coefficienti e la matrice completa di un dato sistema lineare e siano ? ed ?′ i loro ranghi. Il sistema è possibile se e soltanto se $r=r’$.

Osservazione 1: Osserviamo che in virtù della definizione di rango di una matrice, deve risultare necessariamente \(r \le r’\), visto che ? è una matrice estratta da ?′. Se avremo \(r \lt r’\) il sistema risulterà impossibile per il teorema di Rouché-Capelli; se invece sarà \(r = r’\) il sistema sarà possibile, e potrà dunque risultare determinato o indeterminato.

Osservazione 2: Abbiamo già osservato che se un sistema è omogeneo, ovvero se i suoi termini noti sono tutti nulli, allora senza subbio il sistema è possibile, ammettendo esso la soluzione banale costituita tutta da 0. Ciò è in perfetto accordo con quanto predicato dal teorema di Rouché-Capelli, poiché in caso di sistema omogeneo la matrice dei coefficienti e quella completa si differenziano solo per una colonna tutta nulla, e quindi hanno di certo lo stesso rango.

Procedimento risolutivo: Vediamo adesso come risolvere un sistema lineare basandoci sul teorema di Rouché-Capelli. A questo scopo, sia \( A \cdot x = b\) un sistema lineare:

  1. Per prima cosa controlliamo che ? ed ?′ abbiano lo stesso rango $r = r’$; se ciò non è vero, per l’osservazione 1 il sistema è impossibile e quindi non ha senso proseguire nei calcoli; se invece $r = r’$, il sistema è possibile e possiamo procedere;
  2. Se ? ha rango $r$, vuol dire che esiste una matrice ? quadrata di tipo \(r \times r\) estratta da ? il cui determinante non è nullo, tale cioè da risultare \(|M| \ne 0\). Individuiamo tale matrice e consideriamo il sistema di $r$ equazioni costituito da quelle equazioni i cui coefficienti appartengono alle righe di ?;
  3. In tale sistema consideriamo come incognite solo quelle i cui coefficienti appaiono nelle colonne di ?, e trattiamo tutte le altre come fossero termini noti. Abbiamo così un sistema di $r$ equazioni in $r$ incognite la cui matrice dei coefficienti è ?;
  4. Visto che \(|M| \ne 0\), applichiamo al sistema ottenuto il metodo della matrice inversa, per esempio adoperando la regola mnemonica di Cramer. In questa maniera otteniamo gli unici $r$ valori da assegnare alle $r$ incognite del sotto-sistema tali da verificare tutte le sue equazioni;
  5. Visto che il sotto-sistema è contenuto in quello iniziale, qualsiasi soluzione del secondo deve verificare anche il primo; poiché poi abbiamo appena trovato l’unica soluzione del primo, allora i valori che le $r$ incognite del sotto-sistema devono assumere per risolvere quello principale sono gli stessi. Il sistema è così risolto.

Osservazione 3: Sia $m$ il numero di equazioni del sistema iniziale. Naturalmente in nessun caso può risultare \( m \lt r\), dal momento che il rango di una matrice non può essere maggiore al numero delle sue righe (o delle sue colonne). Se risulta $r=m$, allora tutte le equazioni del sistema iniziale vengono scelte per risolvere quello estratto; i valori da associare alle eventuali $n-r$ incognite che non compaiono come tali nel sistema estratto possono essere scelti in modo del tutto arbitrario, poiché ininfluenti nella soluzione del sistema. Se \(n -r \gt 0\), il sistema è indeterminato.

Osservazione 4: Se $m=r$ e $n=r$, allora il sistema iniziale aveva effettivamente lo stesso numero di equazioni e incognite e, poiché il suo rango era uguale al numero di righe, il suo determinante era non nullo. In questo caso l’applicazione della regola di Cramer restituisce l’unica soluzione possibile, col che il sistema è determinato.

Osservazione 5: Se infine \(m \gt r\), le \(m-r\) equazioni non prescelte per la formazione del sotto-sistema sono ininfluenti per la soluzione, e quindi possono essere eliminate. Ciò è dovuto al fatto che, essendo il rango della matrice dei coefficienti $r$, esse risultano essere tutte combinazioni lineari delle $r$ equazioni selezionate.

 

Esempi applicativi

Esempio 1: Si risolva il sistema lineare

\( \begin{cases} 2x+3y-z-2v=0 \\ 4x-3y-5z +5v = 0 \\ 8x + 3y -7z +v = 0 \end{cases}\)

Iniziamo con l’osservare che il sistema considerato è omogeneo; segue dunque da una semplice applicazione dell’osservazione 2 che il sistema è possibile, grazie al teorema di Rouché-Capelli. Allo scopo di applicare il metodo risolutivo e le osservazioni da 3 a 5, ci serve comunque sapere quale sia il rango della matrice ?

\( A = \begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{3} & -1 & -2 \\ \color{red}{4} & \color{red}{-3} & -5 & 5 \\ 8 & 3 & -7 & 1 \end{pmatrix} \)

Per questo motivo applichiamo il teorema degli orlati. Si vede a occhio che il determinante della matrice evidenziata in rosso non è nullo, e infatti fa −18; ne consegue che il rango della matrice ? è almeno 2. Per sincerarcene non dobbiamo fare altro che orlarla negli unici due modi possibili, e scoprire così che

\( \begin{vmatrix} \color{red}{2}  & \color{red}{3}  & -1 \\ \color{red}{4}  & \color{red}{-3}  & -5 \\ 8  & 3  & -7 \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix} \color{red}{2}  & \color{red}{3}  & -2 \\ \color{red}{4}  & \color{red}{-3}  & 5 \\ 8  & 3  & 1 \end{vmatrix} = 0\)

col che il rango è effettivamente $r=2$, e la matrice ? è \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -3\end{pmatrix}\). Scriviamo il sotto-sistema estratto, nel quale le incognite sono solo quelle in rosso:

\(\begin{cases} 2\color{red}{x}+3\color{red}{y}=z+2v \\ 4\color{red}{x}-3\color{red}{y}=5z-5v \end{cases} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 &  3 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z+2v \\ 5z-5v \end{pmatrix}\)

Tale sistema si risolve con la regola di Cramer:

\( x = \frac{\begin{vmatrix} z+2v  & 3 \\ 5z-5v  & -3 \end{vmatrix}}{-18} = z – \frac{v}{2}\,\,\,\, , \,\,\,\, y = \frac{\begin{vmatrix} 2  & z+2v \\ 4  & 5z-5v \end{vmatrix}}{-18} = v – \frac{z}{3} \)

Abbiamo così scoperto che il sistema iniziale è indeterminato: i valori delle incognite ? e ? possono infatti essere scelti arbitrariamente, e se si avrà poi cura di porre \(x=z-\frac{v}{2}\) e \(y=v-\frac{z}{3}\) il sistema sarà verificato.

 

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Definizioni di probabilità

La Teoria delle probabilità è quella branca della Matematica che si occupa di studiare le frequenze con cui si verificano gli eventi, come queste siano collegate tra loro e i metodi per prevederle. Essa si basa sulle definizioni seguenti.

Definizioni

Definizione 1: Evento.

In probabilità si chiama evento e si indica tipicamente con $E$ una qualsiasi affermazione di cui sia possibile stabilire in maniera incontrovertibile, a seguito di un’osservazione, se sia verificata oppure no.

Osservazione 1: L’affermazione “??? ?????? ?′è ?? ?????” è un evento nel senso della definizione 1, poiché basta prendere visione del tavolo e si potrà dire con certezza se il libro c’è oppure no. Per contro, l’affermazione “?? ????? è ????????????” è soggettiva, cioè il fatto che essa sia o meno verificata dipende dall’osservatore; dunque essa non costituisce un evento.

Osservazione 2: Alcuni tipici esempi di eventi sono:

  • Il lancio di un dado dà come risultato 5;
  • Il primo numero estratto sulla ruota di Napoli è il 45;
  • Il quinto studente sul registro di classe è maschio.

Tali esempi sono tutti contraddistinti da una certà aleatorietà, ovvero obbediscono alle leggi del caso.

Definizione 2: Probabilità classica (o di Fermat) di un evento $E$.

Sia dato un evento $E$, e siano $n$ il numero di casi totali che possono succedere e $n_f$ il numero di tali casi in cui $E$ risulta verificato. Si definisce probabilità classica di $E$ e si indica con il simbolo \(P(E)\) il numero \[ P(E) = n_f/n\]

Definizione 3: Probabilità frequentista (o di Venn) di un evento $E$.

Sia dato un evento $E$. Si facciano $p$ esperimenti, e sia $p_r$ il numero di tali prove in cui $E$ risulta verificato. Si definisce probabilità frequentista di $E$ e si indica con il simbolo \[ f(E) = p_r/p \]

Osservazione 3: La probabilità classica di un evento $E$ si calcola in maniera teorica sulla base di ragionamenti matematici, ed è dunque un numero ben fissato per ogni evento $E$ per il quale sia calcolabile. Naturalmente perché $P(E)$ si possa effettivamente calcolare è necessario che tutti i casi che possono verificarsi siano ugualmente probabili; inoltre occorre saperli enumerare.

Osservazione 4: La probabilità frequentista di un evento $E$ si trova a seguito di esperimenti reali, ovvero testando sul campo un certo numero possibilimente grande di casi; essa può quindi dare risultati differenti ogni volta che viene calcolata. Infatti, se due persone diverse vogliono calcolare la probabilità frequentista che il lancio di una moneta dia come risultato “testa” effettuando 100 lanci ciascuno, solo molto difficilmente otterranno lo stesso numero di prove riuscite e, di conseguenza, la stessa probabilità. È comunque ragionevole che entrambi ottengano un numero di casi favorevoli “vicino” a 50.

Osservazione 5: In base alle osservazioni 3 e 4, deduciamo che la probabilità frequentista va adoperata solo allorché gli eventi in gioco non abbiano tutti la stessa probabilità o quando non si sappia enumerare il numero di casi totali o favorevoli per via matematica. L’apparente discrepanza tra i due tipi di probabilità è riconciliata dalla seguente:

Legge dei grandi numeri: Al crescere del numero di esperimenti effettuati, la probabilità frequentista di un evento tende alla sua probabilità classica.

La legge dei grandi numeri non è un teorema, ma una legge empirica; ciò significa che può essere verificata solo sperimentalmente per tutti quegli eventi di cui si sappiano calcolare entrambi i tipi di probabilità.

Osservazione 6: Poiché il numero $n_f$ di casi favorevoli è certamente minore o uguale del numero $n$ dei casi totali, la probabilità classica di un qualsiasi evento $E$ è sempre tale che \(0 \le P(E) \le 1\). Se la probabilità di un evento è 0, vuol dire che non si verifica in nessun caso ed è quindi impossibile; un evento di probabilità 1 si verifica invece in tutti i casi ed è quindi certo.

Osservazione 7: Similmente a quanto detto nell’osservazione 6, poiché il numero di prove riuscite è certamente minore o uguale di quello di prove totali effettuate, la probabilità frequentista di un qualsiasi evento ? è sempre tale che \(0 \le f(E) \le 1\).

Se \(f(E) = 0 \), non è detto che l’evento sia impossibile, ma solo che esso non si è mai verificato nelle prove: per quanto sia possibile ottenere testa dal lancio di una moneta, non è detto che lanciandola $p$ volte non otterremo tutte croci. Nello stesso modo, un evento tale che $f(E) = 1$ non è certo, ma si è solo verificato in tutte le prove effettuate.

 

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Esempi elementari di probabilità classica

Esempio 1: Si calcoli la probabilità classica che, lanciando due dadi, si ottenga:

  • un numero minore o uguale a 3;
  • un numero strettamente minore di 12;
  • esattamente 7.

In base alla definizione di probabilità classica, per trovare i risultati di questo problema dovremo calcolare per prima cosa il numero $n$ di tutti i casi possibili. Ci aiuta il calcolo combinatorio: dal momento che ciascun dado può cadere su ciascuna delle sue 6 facce e ci sono 2 dadi i cui movimenti sono indipendenti l’uno dall’altro, Il totale dei casi possibili sarà $n = 6 x 6 = 36$.

Adesso, enumeriamo quanti di questi casi ci consentono di ottenere un numero minore o uguale a 3, ovverosia, troviamo il numero $n_f$ dei casi favorevoli relativo alla prima richiesta. Le combinazioni utili sono solo 3, cioè \(\color{red}{\boxed{1}}\) \(\color{red}{\boxed{1}}\), \(\color{red}{\boxed{1}}\)\(\color{red}{\boxed{2}}\) e \(\color{red}{\boxed{2}}\)\(\color{red}{\boxed{1}}\); ne consegue che la probabilità relativa al primo evento sarà \(P(E_1)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\).

Passiamo adesso a calcolare il numero $n_f$ dei casi favorevoli relativi al secondo evento. Osserviamo che essendo 12 il numero massimo che si può ottenere lanciando due dadi, dire che si vuole un numero strettamente minore di 12 equivale a dire che i risultati favorevoli saranno tutti, tranne quelli che danno 12. Essendoci solo un tale risultato, cioè \( \color{red}{\boxed{6}} \)\( \color{red}{\boxed{6}} \), possiamo dire che $n_f = 36−1=35$ e dunque che \(P(E_2) = \frac{35}{36}\).

Concludiamo questo esercizio calcolando la probabilità di ottenere esattamente 7. Adesso i casi favorevoli sono molti di più, poiché per ogni valore ottenuto sul primo dado ne esiste uno da ottenere sull’altro tale che la loro somma sia 7. Essi sono \( \color{red}{\boxed{1}} \)\( \color{red}{\boxed{6}} \), \( \color{red}{\boxed{2}} \)\( \color{red}{\boxed{5}} \) , … fino a \( \color{red}{\boxed{6}} \)\( \color{red}{\boxed{1}} \), per un totale di 6. Ne deduciamo che \(P(E_3) = \frac{n_f}{n}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\) .

Osservazione 1: L’ultima richiesta dell’esercizio precedente poteva essere risolta in modo più semplice effettuando il seguente ragionamento. Immaginiamo di tirare i due dadi in successione; se il risultato ottenuto dal primo lancio è il numero \( 1 \le r \le 6 \), esiste uno e un sol numero, esattamente $7 – r$, che possiamo ottenere dal secondo lancio affinché il caso sia favorevole. Tale numero ha una probabilità di 1/6 di presentarsi, essendo le facce totali del dado 6 e lui 1 soltanto. Dunque il risultato è \(P(E_3) = 1/6\).

Tale ragionamento è lecito perché sono verificate le seguenti condizioni:

  • tutti i valori del primo lancio vanno bene ai nostri scopi;
  • per ogni valore ottenuto prima, solo uno dei valori ottenuti dopo va bene;
  • ogni numero ha la stessa probabilità di uscire su ogni dado durante ogni lancio.

Esempio 2: Un’urna contiene delle palline colorate, esattamente 5 palline rosse, 3 blu e 4 verdi. Calcolare le seguenti probabilità classiche:

  • che si estragga una pallina blu;
  • che si estragga una pallina rossa o verde;
  • che, estraendo due palline contemporaneamente, esse siano una rossa e una blu.

Come al solito, calcoliamo il numero $n$ dei casi possibili. Essendoci nell’urna in totale 12 palline, il numero di casi possibili è $n = 12$ sia per la prima richiesta che per la seconda. La probabilità di estrarre una pallina blu è allora \( P(E_1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) , dal momento che le palline blu sono $n_f = 3$. Allo stesso modo, calcoliamo che la probabilità di estrarre una pallina che sia rossa oppure verde è \( P(E_2) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) , poiché in questo caso il numero $n_f = 9$ risulta dalla somma del numero di palline verdi e rosse.

Il terzo caso invece è più complesso, poiché le due palline vanno estratte nello stesso momento. Dobbiamo quindi domandarci: essendo 12 il numero totale delle palline, in quanti modi essenzialmente diversi possiamo estrarne una coppia? Di tali coppie poi, quante saranno costituite esattamente di una pallina rossa e una blu?

Alla prima domanda si risponde calcolando la disposizione \(D_{12,2}\) : si tratta infatti di sapere quanti modi esistano di scegliere due oggetti fra dodici senza che interessi il loro ordine; il numero è perciò  \(n = C_{12,2} = \begin{pmatrix}12 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{12!}{2!10!}=\frac{11\cdot 12}{2}=66\). Per rispondere alla seconda domanda, osserviamo che il numero di coppie che possono formarsi prendendo la prima pallina rossa e la seconda blu è esattamente \(5 \times 3 = 15 \); non c’è bisogno di contare anche le coppie in cui la prima pallina è blu e la seconda è rossa, visto che nojn conta l’ordine. Perciò \(n_f = 15\), e infine \(P(E_3) = \frac{15}{66} = \frac{5}{22}\) .

Osservazione 2: Se sommiamo le probabilità relative ai primi due risultati dell’esempio 2 otteniamo \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\); ciò è in linea con il fatto che, in effetti, il fatto che una delle palline estratte sia blu, rossa o verde è sempre verificato.

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Esempi elementari di probabilità frequentista

Esempio 1: Si lancia per 10 volte una moneta da 2€, e si ottengono i seguenti risultati:

\( n_{\text{teste}} = 7 \,\,\,\, , \,\,\,\, n_{\text{croci}} = 3 \)

Si calcolino la probabilità frequentista e quella classica relative all’evento \(E= \{\text{esce testa}\}\). Sono uguali? Come mai? Con quale probabilità (classica) è ragionevole aspettarsi che con 10 lanci si verifichi proprio una tale distribuzione di teste e croci?

Per il calcolo della probabilità frequentista, tutto ciò che ci serve sapere è il numero \(p_r = 7\) delle prove riuscite e il numero \(p = 10 \) delle prove effettuate in totale; il risultato sarà allora \(f(E) = \frac{7}{10} = 0.7\) . Per calcolare la probabilità classica dello stesso evento $E$, invece, dobbiamo considerare che su $n=2$ casi possibili (o testa o croce) solo $n_f=1$ è favorevole (testa), col che \(P(E)=\frac{n_f}{n}=\frac{1}{2}=0.5\).

Osserviamo che le due probabilità ottenute non sono uguali: quella frequentista è molto più alta; d’altro canto, se avessimo considerato l’evento \(E_1= \{\text{esce croce}\}\) avremmo avuto \(P(E_1)=0.5\)  e  \(f(E_1)=0.3\), col che la probabilità frequentista sarebbe stata minore di quella classica. Questa disparità è dovuta al piccolo numero di prove effettuate: se invece di 10 ne avessimo fatte 1000, i due numeri ottenuti sarebbero stati assai più simili.

Per rendercene conto, rispondiamo all’ultima richiesta dell’esempio. Il numero totale di possibili risultati scaturiti da 10 lanci di una moneta è \(n=2^{10}=1024\), poiché ad ogni lancio la moneta può cadere in due posizioni differenti. Il numero di casi in cui si ottiene proprio la distribuzione dell’esempio è \(n_f=\begin{pmatrix}10 \\ 7\end{pmatrix}=\frac{10!}{7!3!}=\frac{10\cdot 9 \cdot 8}{6}=120\), poichè si deve scegliere tra i 10 lanci 7 di essi perché siano delle teste. Dunque la probabilità dell’evento in questione sarà \(P(E_2)=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}\approx 0.12\), circa il 12%. Nello stesso modo potremmo calcolare la probabilità che invece si osservi il caso “atteso”, cioè 5 teste e 5 croci. In quel caso avremmo circa il 25%.

Osservazione 1: L’ultima probabilità calcolata in modo classico si potrebbe trovare anche in maniera frequentista, se lo si volesse. A tale scopo occorrerebbe effettuare un numero molto alto di set di 10 lanci ciascuno, osservando in quanti di essi il numero di croci è esattamente 3. Per la legge dei grandi numeri, il risultato finale dei due calcoli sarebbe lo stesso.

Esempio 2: Si supponga di tirare 2 dadi per 100 volte; i risultati ottenuti dalle varie prove sono registrati nel seguente grafico:

 

Probabilita frequentista: lancio di due dadi

 

Si calcolino, esprimendole in percentuale, le probabilità frequentiste dei seguenti eventi:

  • il lancio dà come risultato 10;
  • il lancio dà come risultato un numero pari;
  • i due numeri mostrati dai dadi sono uno pari e uno dispari.

Per trovare le probabilità frequentiste ci occorre in primo luogo il numero $p$ delle prove effettuate; in questo caso sappiamo dall’enunciato che è $p=100$. Quante di tali prove hanno dato come risultato esattamente 10? Osservando il grafico scopriamo che il numero $p_r$ delle rpove riuscite è 8, col che \(f(E_1) = 8100=8\%\).

Per quanto riguarda l’evento $E_2$, occorrerà considerare come favorevoli tutte le prove in cui il risultato è stato un numero pari, e cioè 2, 4, 6, 8, 10 o 12. Per questo motivo il loro numero è $p_r=5+13+17+15+8+9=67$, e la probabilità frequentista di ottenere un risultato pari è \(f(E_2)=\frac{67}{100}=67\%\).

L’ultimo caso pare riguardare eventi i cui dettagli non sono registrati nel nostro grafico: in un caso come questo, occorrerebbe riferirsi alla probabilità classica, o se ciò è impossibile effettuare nuove prove. In realtà però è facile rendersi conto che le eventualità dell’evento $E_3$ sono tutte e sole quelle in cui il risultato del lancio è un numero dispari, e che dunque possiamo dire che \( f(E_3) = 1- f(E_2) = 1 – \frac{67}{100}=\frac{33}{100}=33\% \). Tale calcolo semplificato è lecito in quanto il risultato del lancio è sempre o pari, o dispari.

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Classificazione degli eventi

Definizioni

Definizione 1: Eventi complementari.

Due eventi $E_1$ ed $E_2$ si dicono complementari qualora uno di essi sia la negazione dell’altro, ovvero valga, in simboli, che $E_1 = bar(E_2)$.

Definizione 2: Eventi compatibili.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono compatibili qualora il verificarsi di uno di essi non impedisca il verificarsi di ciascuno degli altri.

In particolare, due eventi $E_1$ ed $E_2$ si dicono compatibili qualora il verificarsi di $E_1$ non impedisca il verificarsi di $E_2$, e viceversa.

Definizione 3: Eventi incompatibili.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono incompatibili qualora il verificarsi di uno di essi impedisca il verificarsi di qualsiasi altro degli eventi.

In particolare, due eventi $E_1$ ed $E_2$ si dicono incompatibili qualora il verificarsi di $E_1$ impedisca il verificarsi di $E_2$, e viceversa.

Definizione 4: Eventi indipendenti.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi compatibili \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono indipendenti qualora il verificarsi di uno di essi non modifichi la probabilità di verificare ciasuno degli altri.

In particolare, due eventi compatibili $E_1$ ed $E_2$ si dicono indipendenti qualora il verificarsi di $E_1$ non modifichi la probabilità di verificare $E_2$, e viceversa.

Definizione 5: Eventi dipendenti.

Dato $n$ un numero naturale maggiore o uguale di 2, $n$ eventi compatibili \(E_1, E_2, \ldots, E_n\) si dicono dipendenti qualora il verificarsi di uno di essi modifichi la probabilità di verificare ciascuno degli altri.

In particolare, due eventi compatibili $E_1$ ed $E_2$ si dicono dipendenti qualora il verificarsi di $E_1$ modifichi la probabilità di verificare $E_2$, e viceversa.

Osservazione 1: Le definizioni 4 e 5 di eventi indipendenti e dipendenti valgono solo se gli eventi in questione sono già compatibili, cioè possono verificarsi contemporaneamente.

Se $E_1$ ed $E_2$ sono incompatibili, allora in effetti il verificarsi di $E_1$ riduce a 0 la probabilità di verificare $E_2$, dunque in un certo senso essi sono anche dipendenti.

Osservazione 2: Due eventi complementari sono di certo incompatibili, ma il contrario non è generalmente vero, e quindi le due definizioni non sono ridondanti. Si confronti anche l’esempio 2.

 

Esempi

Esempio 1: Consideriamo i due eventi seguenti, relativi all’estrazione di una carta da gioco da un mazzo di carte francesi:

$E_1$ = “esce una carta di picche o fiori”    ,    $E_2$ = “esce una carta di quadri o cuori”.

Per forza di cose, se si verificherà $E_1$ non potrà verificarsi $E_2$, e ciò vale anche al contrario; inoltre uno dei due eventi dovrà necessariamente succedere. Abbiamo cioè $E_1 = bar(E_2)$ e dunque, in virtù della definizione 1, i due eventi sono complementari.

Esempio 2: Supponiamo adesso di estrarre due carte una alla volta da un mazzo di carte francesi; consideriamo i tre eventi seguenti:

$E_1$ = “la prima carta è l’asso di fiori”    ,    $E_2$ = “la seconda carta è di picche”   ,

$E_3$ = “la prima carta è di quadri”

Gli eventi $E_1$ ed $E_3$ sono incompatibili. Infatti, se la prima carta sarà l’asso di fiori essa di certo non sarà di quadri, e lo stesso vale anche al contrario. Questa era anche la situazione dell’esempio 1, ma in questo caso non è vero che uno dei due eventi $E_1$ o $E_3$ deve verificarsi per forza, in quanto potremmo anche estrarre, ad esempio, una qualsiasi carta di cuori. Dunque $E_1$ ed $E_3$ non sono complementari, come previsto dall’osservazione 2.

L’evento $E_2$, dal canto suo, è compatibile tanto con $E_1$ che con $E_3$. Infatti, qualunque sia il risultato della prima estrazione, è ancora possibile che la seconda carta pescata sia di picche.

Esempio 3: Ancora nel caso dell’esempio 2, distinguiamo le due eventualità seguenti:

  • caso 1: dopo aver estratto una carta, questa viene rimessa nel mazzo;
  • caso 2: dopo aver estratto una carta, questa viene eliminata.

Consideriamo i due eventi $E_1$ ed $E_2$, che abbiamo già visto essere compatibili. Nel primo caso, la prima estrazione non ha alcun effetto sulla seconda, dal momento che la prima carta pescata viene rimessa nel mazzo e dunque non c’è nulla che “abbia memoria” dell’avvenuta estrazione. Dunque $E_1$ ed $E_2$ sono anche indipendenti.

Nel secondo caso, invece, la prima carta estratta viene eliminata, e sorge una differenza fondamentale: se essa era l’asso di fiori, cioè se si è verificato $E_1$, allora le carte rimaste per la seconda estrazione sono 51 di cui 13 di picche, e quindi \(P(E_2) = 1351\). Se invece $E_1$ non si è verificato c’è una certa probabilità (esattamente 1/4) che la prima carta fosse di picche, nel qual caso le carte per la seconda estrazione sono sì 51, ma di queste solo 12 sono di picche. Avremmo allora \(P(E_2)=\frac{12}{51}=\frac{4}{17}\). La probabilità di $E_2$ nel secondo caso viene modificata dal fatto che $E_1$ si sia verificato o no: ciò rende $E_1$ ed $E_2$ eventi dipendenti.

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Probabilita composta e condizionata: formule ed esempi

Definizioni

Definizione 1: Probabilità composta.

Siano dati $n$ eventi $E_1, E_2, …, E_n$. Si definisce probabilità composta di $E_1, E_2, …, E_n$  e si indica con il simbolo \(P(E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n)\) la probabilità che si verifichino tutti gli $n$ eventi considerati contemporaneamente.

Definizione 2: Probabilità condizionata.

Siano dati 2 eventi $E_1$ ed $E_2$ compatibili e dipendenti. Si definisce probabilità condizionata di $E_2$ al verificarsi di $E_1$ e si indica con il simbolo \(P(E_2/E_1)\) la probabilità che si verifichi $E_2$ una volta che $E_1$ si è già verificato.

Formula 1: Probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti.

Siano dati $n$ eventi compatibili indipendenti $E_1, E_2, …, E_n$. La loro probabilità composta si calcola usando la formula seguente: \[ P(E_1 \cap E_2 \cap \ldots \cap E_n) = \prod_{i=1}^n P(E_i) \]

In particolare, se gli eventi compatibili indipendenti sono solo due la formula si riduce a

\[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) \]

Formula 2: Probabilità composta di due eventi compatibili dipendenti.

Siano dati 2 eventi compatibili dipendenti $E_1$ ed $E_2$. La loro probabilità composta si calcola usando questa formula: \[ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2/E_1) \]

Osservazione 1: La definizione 2 di probabilità condizionata si dà solo nel caso in cui i due eventi in questione sono compatibili e dipendenti, perché negli altri casi essa restituirebbe risultati banali. Se $E_1$ ed $E_2$ sono incompatibili, una volta che si è verificato $E_1$, $E_2$ non potrà più verificarsi, cosicché \(P(E_2/E_1) = 0\). Qualora invece avessimo che $E_1$ ed $E_2$ sono sì compatibili, ma indipendenti, allora in virtù solo della definizione di eventi indipendenti abbiamo che P(E_2/E_1), ovvero la probabilità di $E_2$ non risulta modificata dal fatto che $E_1$ si è già verificato.

Osservazione 2: Per quanto appena osservato, la formula 1 non è che un caso particolare della formula 2 in cui, essendo $E_1$ ed $E_2$ indipendenti, abbiamo che \(P(E_2/E_1) = P(E_2)\).

 

Esempi

Esempio 1: Supponiamo di estrarre due carte da gioco da un mazzo di carte francesi, avendo cura di reinserire nel mazzo la prima carta dopo l’estrazione; consideriamo i due seguenti eventi:

$E_1$:  “la prima carta estratta è un sette”

$E_2$:  “la seconda carta estratta non è di picche”

Calcoliamo la probabilità composta dei due eventi.

Poiché, come ben precisato nel testo dell’esercizio, le carte estratte vengono rimesse nel mazzo, i due eventi sono necessariamente compatibili e indipendenti; infatti la prima carta estratta non ha nessun modo di influenzare la seconda. Non dobbiamo far altro che usare la formula 1:

\( P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) = \frac{4}{52}\cdot\frac{39}{52}=\frac{3}{52} \)

Esempio 2: Una signora ha due figli di età diverse. Sapendo che la maggiore è femmina, calcolare la probabilità che essi siano di due sessi diversi.

In questo esempio non viene precisato quali siano gli eventi in questione; ragionando un poco possiamo supporre che essi siano i seguenti:

$E_1$:  “il primo figlio è femmina”

$E_2$:  “i due figli sono un maschio e una femmina”

Ora, è chiaro che \(P(E_1)=P(E_2)=1/2\). Infatti la probabilità che il primo figlio sia femmina è naturalmente una su due; inoltre, considerate tutte le 4 diverse combinazioni dei sessi dei figli (MM,MF,FM,FF), solo 2 di queste sono “miste” (MF, FM) e quindi soddisfano l’evento $E_2$. Ciò che vogliamo calcolare è la probabilità di $E_2/E_1$, ovvero semplicemente una probabilità condizionata.

Una volta esclusa la possibilità che il primo figlio sia maschio, i casi che possono verificarsi nel secondo evento sono solo (FM,FF), e di questi solamente (FM) è favorevole. La probabilità composta è allora \(P(E_2/E_1) = 1/2\). Si osservi che il fatto che essa sia uguale a \(P(E_2)\) è da ascriversi a casualità, come dimostra l’esempio seguente.

Esempio 3: Una signora ha due figli di età diverse. Sapendo che uno di essi è femmina, calcolare la probabilità che essi siano di due sessi diversi.

Come spesso capita in probabilità, una variazione apparentemente irrilevante del testo cambia del tutto ragionamenti e risultati. La probabilità che vogliamo calcolare è ancora \(P(E_2/E_1)\), ma stavolta l’evento 1 è

$E_1$:  “uno dei due figli è femmina”

e non è quindi necessariamente cronologicamente precedente al secondo, come lo era nell’esempio 2. La differenza sta nel fatto che, in base alle informazioni fornite dall’evento $E_1$, questa volta non possiamo più escludere la combinazione (MF) come facevamo prima. I casi possibili per \(E_2/E_1\) sono (MF, FM, FF), di cui due (MF, FM) sono favorevoli; ne deduciamo che la probabilità condizionata stavolta è, contro ogni aspettativa, \(P(E_2/E_1) = 2/3\).

 

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Esercizio proposto

Si estraggono da un’urna di 90 numeri 5 numeri senza reintroduzione (tipo l’enalotto). Dati i 2 eventi:

A = “vinco alla prima estrazione”
B = “vinco alla seconda estrazione” (settimana successiva)

Devo calcolare la probabilita’ di fare cinquina alla seconda estrazione dato che ho perso la prima.

Puoi trovare la soluzione nella sezione Probabilità e statistica del forum di Matematicamente.it.

 

Probabilità totale: formule ed esempi

Definizioni

Definizione 1: Probabilità totale.

Siano dati $n$ eventi $E_1, E_2, … , E_n$. Si definisce probabilità totale di $E_1, E_2, … , E_n$ e si indica con il simbolo \(P(E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n)\) la probabilità che si verifichi almeno uno degli $n$ eventi considerati.

Formula 1: Probabilità totale di due o più eventi incompatibili.

Siano dati $n$ eventi incompatibili $E_1, E_2, … , E_n$. La loro probabilità totale si calcola usando la formula seguente: \[ P(E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n) = \sum_{i=1}^n P(E_i)  \]

In particolare, se gli eventi incompatibili sono solo due la formula si riduce a

\[ P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) \]

Formula 2: Probabilità totale di due o più eventi compatibili.

Siano dati $n$ eventi incompatibili $E_1, E_2, … , E_n$. La loro probabilità totale si calcola usando la formula seguente: \[ \begin{equation} P(E_1 \cup E_2 \ldots \cup E_n) = \sum_{b\in \{0,1\}^n} (-1)^{1+\sum_{i=1}^n b_i} P\Big(\bigcap_{i:b_i \ne 0} E_i\Big) \label{eq1}\end{equation}\]

In particolare, se gli eventi incompatibili sono solo due o tre, la formula si riduce a

\[ \begin{equation}P(E_1 \cup E_2 = P(E_1) + P(E_2) – P(E_1 \cap E_2) \label{eq2}\end{equation} \]

\[ \begin{equation}P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) – P(E_1 \cap E_2) – P(E_1 \cap E_3) – P(E_2 \cap E_3) + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) \label{eq3}\end{equation}\]

Osservazione 1: Ciò che afferma la formula 2, che può sembrare un po’ complicata, e in sostanza quanto segue: la probabilità totale di $n$ eventi compatibili si calcola sommando la probabilità di ciascuno degli eventi, sottraendo le probabilità composte degli eventi presi due a due, sommando le probabilità composte degli eventi presi tre a tre, sottraendo le probabilità composte degli eventi presi quattro a quattro … e così fino a $n$.

Osservazione 2: È facile capire la motivazione per cui vale la formula \(eqref{eq2}\); consideriamo due eventi compatibili $E_1$ ed $E_2$. Se ci limitiamo a sommare le loro probabilità, avremo considerato due volte l’eventualità che $E_1$ ed $E_2$ si verifichino contemporaneamente: una volta come parte di $E_1$, ed una volta come parte di $E_2$. La probabilità totale si ottiene allora sottraendo una di queste due volte, proprio come fatto nella formula \(\eqref{eq2}\). Ragionamenti simili provano la validità delle altre due formule scritte.

 

Esempi

Esempio 1: Supponiamo di lanciare un dado a sei facce, e consideriamo i seguenti eventi:

$E_1$:  “esce un numero maggiore o uguale a 5”

$E_2$:  “esce una potenza di 2”

Calcoliamo la probabilità totale dei due eventi $E_1$ ed $E_2$.

In primo luogo dobbiamo scoprire se i due eventi sono o meno compatibili. Nel primo caso i risultati favorevoli del lancio sono \(\color{red}{\boxed{5}}\) e \(\color{red}{\boxed{6}}\), mentre nel secondo, \(\color{red}{\boxed{1}} \),  \(\color{red}{\boxed{2}} \) e  \(\color{red}{\boxed{4}} \) ; poiché non esistono risultati favorevoli in comune tra i due eventi, essi sono incompatibili e la formula da adoperare è la prima. Diremo allora che

\( P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) \cup P(E_2) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \)

La probabilità totale che si verifichi almeno uno dei due eventi è dunque \(5/6\). Questo risultato d’altro canto era prevedibile, poiché l’unico lancio che non rientra in nessuno dei due eventi è \(\color{red}{\boxed{3}} \), e questo naturalmente si verifica con probabilità 1/6.

Esempio 2: Supponiamo di lanciare un dado a sei facce, e consideriamo i seguenti eventi:

$E_1$:  “esce un multiplo di 3”

$E_2$:  “esce una potenza di 2”

$E_3$:  “esce un numero dispari”

Calcoliamo la probabilità totale dei tre eventi $E_1$, $E_2$ ed $E_3$.

Dobbiamo nuovamente scoprire, come nell’esempio precedente, se gli eventi sono o meno compatibili. L’evento $E_2$ è lo stesso che avevamo nell’esempio precedente; i casi favorevoli degli eventi $E_1$ ed $E_3$ sono invece rispettivamente \(\color{red}{\boxed{3}} \), \(\color{red}{\boxed{6}} \) nel primo caso e \(\color{red}{\boxed{1}} \),\(\color{red}{\boxed{3}} \), \(\color{red}{\boxed{5}} \) nel secondo. Dunque l’evento $E_3$ è compatibile con entrambi gli altri due, che invece sono tra loro incompatibili; in totale, i tre eventi formano un insieme compatibile e adopereremo quindi la formula \(\eqref{eq2} \):

\( P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) – P(E_1 \cap E_2) -P(E_1 \cap E_3) -P(E_2 \cap E_3) + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = \)

\( = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} +\frac{1}{2} – 0 – \frac{1}{6} – \frac{1}{6} + 0 = \frac{4}{3} -\frac{1}{3} = 1 \)

Ciò equivale a dire che la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi $E_1$, $E_2$ o $E_3$ è 1, ovverosia che tale eventualità è certa. Ciò non è una sorpresa, in quanto qualsiasi possibile risultato del lancio del dado rientra in almeno una delle ipotesi.

 

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Probabilità subordinata

Esempio 1: Supponiamo di avere una scatola contenente gessetti, di cui 10 bianchi e 5 azzurri, e sia ? l’evento “viene estratto un gessetto azzurro”. Come sappiamo, la probabilità di tale evento è \(P(A)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\)

Supponiamo adesso di aver preventivamente diviso i gessetti in due scatole, delle quali una contiene 4 gessetti azzurri e 6 bianchi e l’altra tutti i rimanenti. Vogliamo di nuovo estrarre un solo gessetto, e quel che ci domandiamo è se la probabilità dell’evento ? sia cambiata rispetto a prima oppure no. Per risolvere questo enigma introduciamo due nuovi eventi:

$E_1$: “viene scelto un gessetto dalla prima scatola”

$E_2$: “viene scelto un gessetto dalla seconda scatola”

Com’è chiaro, le due scatole hanno la stessa probabilità di essere scelte: dunque \(P(E_1)=P(E_2) = 1/2\). Quel che cambia è la probabilità di estrarre un gessetto azzurro da ciascuna delle due scatole, ovvero le probabilità condizionate seguenti:

\( P(A/E_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \,\,\,\, , \,\,\,\, P(A/E_2) = \frac{1}{5} \)

Come noto dalle leggi riguardanti le probabilità condizionate relative ad eventi compatibili e dipendenti, la probabilità dell’evento \( A \cap E_i\)∶ “estrazione di un gessetto azzurro dall’i-esima scatola” è, nei due casi,

\( P(A\cap E_1) = P(E_1)P(A/E_1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{5} \,\,\, , \,\,\, P(A\cap E_2) = P(E_2)P(A/E_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{10} \)

Adesso non resta che notare che i due eventi \(A\cap E_1\) ed \(A\cap E_2\) sono incompatibili, e in quanto tali la loro probabilità totale si calcola semplicemente come somma delle singole probabilità. Ne consegue che

\( P(A)=P((A\cap E_1)\cup (A \cap E_2)) = P(A \cap E_1) + P(A \cap E_2) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \ne \frac{1}{3}  \)

Osservazione 1: A ben pensarci, era evidente sin dall’inizio che avremmo ottenuto un risultato diverso. Infatti, se per esempio la divisione fosse stata tale da mettere tutti i gessetti bianchi in una scatola e tutti gli azzurri nell’altra, il problema sarebbe divenuto equivalente a quello di scegliere la scatola giusta tra due, e avremmo avuto \(P(A) = \frac{1}{2} \ne \frac{1}{3} \).

Definizione 1: Probabilità subordinata.

Siano dati $n$ eventi incompatibili $E_1, E_2, …, E_n$ tali che \(P(E_1)+P(E_2)+\ldots+P(E_n) = 1 \), e sia inoltre dato un ulteriore evento $A$. Allora la probabilità $P(A)$ viene detta subordinata a quelle di $E_1, E_2, …, E_n$, e essa può essere calcolata come

\[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(E_i)P(A/E_i) \]

Se in particolare $n=2$, nel qual caso gli eventi $E_1$ ed $E_2$ per ipotesi sono complementari, la formula diviene

\[ P(A) = P(E_1) P(A/E_1)+P(E_2)P(A/E_2) \]

Esempio 2: Si consideri la frase “LO STUDENTE SOLERTE È PROMOSSO”. Con quale probabilità, scelta prima casualmente una delle parole che la compongono, potremo estrarre da essa una consonante? Tale probabilità è maggiore, uguale o minore rispetto a quella di estrarre una consonante direttamente dalla frase, senza prima scegliere una delle parole?

Introduciamo i 5 eventi $E_i$:  “Viene scelta l’i-esima parola” per \(i \in \{1, \ldots, 5\}\). Possiamo calcolare subito che \(\forall i \in \{1, \ldots, 5\}, P(E_i) = 1/5 \) : ciò è determinato dal fatto che ogni parola ha la stessa probabilità di essere scelta. In virtù della loro definizione, gli eventi $E_i$ sono tra loro incompatibili, e la somma delle loro probabilità è 1.

Passiamo adesso a calcolare le probabilità condizionate \(P(A/E_i)\), dove naturalmente l’evento $A$ è l’estrazione di una consonante:

\( P(A/E_1)=\frac{1}{2}\,\, , \,\, P(A/E_2)=\frac{5}{8}\,\, , \,\, P(A/E_3)=\frac{4}{7}\,\, , \,\, P(A/E_4)=0\,\, , \,\, P(A/E_5) =\frac{5}{8}\)

Applicando adesso la formula 1 della probabilità subordinata, calcoliamo

\( P(A) = \sum_{i=1}^5 P(E_i)P(A/E_i) = \frac{1}{5}\cdot \Big( \frac{1}{2}+\frac{5}{8}+\frac{4}{7}+0+\frac{5}{8} \Big) = \frac{1}{5}\cdot\frac{65}{28}=\frac{13}{28} \)

Per contro, la probabilità di estrarre una consonante dall’intera frase è \(P(A)=15/26\).

Esempio 3: Sia dato un mazzo di carte numerate da 1 a 9. Da esso si vogliono estrarre due carte, senza rimetterle nel mazzo ad estrazione avvenuta, in modo tale che la loro somma abbia la stessa parità della prima carta estratta. Qual è la probabilità che ciò avvenga?

Consideriamo l’evento $E_1$: “La prima carta estratta è un numero pari”, e poniamo $E_2=bar(E)_1$. Ne consegue che \(P(E_1)=\frac{4}{9}, P(E_2)=\frac{5}{9}\) , che i due eventi $E_1$ ed $E_2$ sono incompatibili e per di più complementari. Con ciò in mente, passiamo a considerare l’evento seguente:

$A$: “La seconda carta è tale che la somma della carte ha la stessa parità della prima carta”

Dalla considerazione che la somma di due numeri pari è pari e che la somma di un numero pari e un numero dispari è dispari, deduciamo che in buona sostanza l’evento $A$ dice

$A$: “La seconda carta è pari”

Calcoliamo le probabilità condizionate \( P(A/E_1) \) e \( P(A/E_2) \), basandoci sulla quantità di carte pari rimaste in ciascuno dei due casi: abbiamo che \( P(A/E_1)=\frac{3}{8}, P(A/E_2) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \). Ciò ci consente di concludere che, adoperando la formula 1,

\( P(A) = P(E_1)P(A/E_1)+P(E_2)P(A/E_2) = \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}+ \frac{5}{9}\cdot  \frac{1}{2} =  \frac{1}{6} +  \frac{5}{18} =  \frac{4}{9} \)

Dunque tale eventualità si verifica quasi nella metà dei casi, e curiosamente ha la stessa probabilità di accadere che l’estrazione di una sola carta pari dal mazzo.

 

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Il teorema di Bayes

Enunciato e dimostrazione

Teorema di Bayes: Si considerino due eventi A e B compatibili e dipendenti. Le rispettive probabilità condizionate di A noto B e di B noto A sono tra loro collegate dalla formula seguente:

\[ P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) \]

Dimostrazione: Dal momento che A e B sono per ipotesi eventi compatibili e dipendenti, le due probabilità condizionate che appaiono nella formula sono entrambe ben definite, e quindi possono a buon diritto essere considerate. A questo punto il teorema è dimostrato per semplice applicazione della formula per la probabilità composta di due eventi compatibili e indipendenti:

\[ P(A)P(B/A) = P(A\cap B) = P(B \cap A) = P(B)P(A/B) \]

Osservazione 1: Se l’evento A non è impossibile, la formula del teorema di Bayes può essere riscritta anche come

\[ P(B/A) = \frac{P(B)P(A/B)}{P(A)} \]

Questa scrittura evidenzia la dipendenza delle due probabilità condizionate l’una dall’altra. Naturalmente, nel caso in cui A fosse impossibile avremmo sia $P(A) = 0$ che \(P(A/B)=0\), col che il teorema di Bayes esprimerebbe in questo caso una banalità.

Osservazione 2: Supponiamo adesso di avere $n$ eventi $E_1, E_2, …, E_n$ che siano tutti tra loro incompatibili e tali che \(\sum P(E_i) = 1\); inoltre supponiamo di avere un ulteriore evento A. In questo caso, in virtù di quanto già noto in merito alla probabilità subordinata, la formula del teorema di Bayes si può riscrivere anche come

\[ P(E_i/A) = \frac{P(E_1)P(A/E_i)}{\sum_{j=1}^n P(E_j)P(A/E_j)} \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall i \in \{1, \ldots, n\} \]

 

Esempi

Esempio 1: In un torneo scacchistico, 25 giocatori alle prime armi e 10 giocatori avanzati giocano ciascuno una partita contro il Grande Maestro del club. Ogni qual volta il Grande Maestro sfida un principiante, quest’ultimo viene regolarmente sconfitto; invece, quando la sfida è tra il Grande Maestro e uno dei giocatori avanzati, la probabilità che quest’ultimo ha di vincere è del 30%. Uno spettatore osserva una sola delle partite, che termina con la sconfitta dello sfidante. Su queste basi, si calcoli la probabilità che il giocatore che ha perso nel corso della partita osservata sia un principiante.

Consideriamo i tre eventi seguenti:

  1. ?:  “lo sfidante perde”
  2. $E_1$:  “lo sfidante è un principiante”
  3. $E_2 =bar(E)_1$:  “lo sfidante è un giocatore avanzato”

Ciò che ci viene richiesto di calcolare è la probabilità che lo sfidante sia un principiante sapendo che ha perso, ovvero null’altro che \(P(E_1/A)\). Grazie al teorema di Bayes, poiché vale tutto ciò che è stato detto nell’osservazione 2, potremo trovare il risultato con la formula seguente:

\[ P(E_1/A) = \frac{P(E_1)/P(A/E_1)}{P(E_1)P(A/E_1)+P(E_2)P(A/E_2)} = \]

\[ = \frac{  \frac{25}{35} \cdot 1}{   \frac{25}{35}\cdot 1 + \frac{10}{35}\cdot\frac{70}{100}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\cdot \frac{7}{10}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{5}{7}+\frac{1}{5}} = \frac{5}{7}\cdot \frac{35}{32} = \frac{25}{32} \approx 78\% \]

Esempio 2: La situazione che esponiamo nel seguente esempio è famosa in probabilità, e viene detta “Problema di Monty Hall”. Supponiamo di partecipare a un gioco a premi nel quale il presentatore ci pone davanti a tre porte chiuse, invitandoci a indovinare quale di esse sia l’unica dietro la quale si nasconde un ricco premio. Comunicata la nostra scelta al presentatore, questi farà aprire una delle due porte da noi non selezionate, mostrandoci che essa non nascondeva alcun premio. Al giocatore viene adesso data, se lo desidera, la possibilità di cambiare la sua scelta e selezionare dunque l’unica altra porta rimasta chiusa. Qual è la migliore strategia per il giocatore?

Per fissare le idee, supponiamo di aver inizialmente scelto la prima porta e che il presentatore abbia fatto aprire la terza: adesso ci stiamo domandando se ci convenga aprire la prima porta o cambiare idea e aprire invece la seconda. Consideriamo i quattro eventi seguenti:

\(E_i: \text{L’i-esima porta è quella vincente},  \forall i \in \{1, 2, 3\}\)

\(?:  \text{Il presentatore apre la terza porta}\)

Gli eventi $E_i$ sono tra loro incompatibili, e la probabilità di ciascuno di essi è $P(E_i)=1/3$; ciò ci consente di applicare il teorema di Bayes. Calcoliamo solo le due probabilità \(P(E_1/A)\) e \(P(E_2/A)\), poiché dal fatto che $E_3$ e $A$ sono incompatibili segue che \((P(E_3/A) = 0\). A tale scopo ci servirà calcolare \(P(A),P(A/E_1)\) e \(P(A/E_2)\):

  • dal momento che prima della nostra scelta il presentatore potrebbe aprire sia la porta due che la tre, $P(A) = 1/2$;
  • se abbiamo scelto la porta vincente, sia la due che la tre sono vuote, e quindi il presentatore può sceglierne una qualsiasi. Ne consegue che \(P(A/E_1)=1/2\);
  • se la seconda porta è quella vincente e abbiamo aperto la prima, al presentatore non resta altra scelta che aprire la terza. Dunque certamente \(P(A/E_2)=1\).

Possiamo adesso applicare la formula di Bayes e scoprire che

\[ P(E_1/A) = \frac{P(E_1)P(A/E_1)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \]

\[ P(E_2/A) = \frac{P(E_2)P(A/E_2)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \]

Col che raggiungiamo il risultato controintuitivo che la strategia giusta è sempre quella di cambiare la porta inizialmente scelta per l’altra: se faremo così, raddoppieremo in ogni caso le nostre probabilità di vittoria.

 

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Esercizio proposto

Un’impresa ha installato un sistema automatico per il controllo di qualità il quale garantisce che se un pezzo è difettoso esso viene eliminato con probabilità pari a 0.995. C’è una piccola probabilità, pari a 0.001, che anche un pezzo che non è difettoso venga eliminato. Si sa, inoltre, che la probabilità che un pezzo sia difettoso è pari a 0.2. Calcolare la probabilità che un pezzo che non sia stato eliminato al controllo di qualità sia difettoso. (Esercizio proposto nel forum)

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Il calcolo degli integrali definiti

Formula fondamentale del calcolo integrale

La formula fondamentale del calcolo integrale ci permette di calcolare il valore effettivo dell’area sottesa dal grafico di f(x), con dei semplici passaggi.

L’integrale definito di una funzione è uguale alla differenza dei valori assunti da una qualsiasi primitiva della funzione, rispettivamente nell’estremo superiore di integrazione e nell’estremo inferiore.

Vediamo come ricavare questa affermazione. Consideriamo una primitiva della funzione f(x), e chiamiamola \( \phi(x) \). Possiamo esprimere questa primitiva nel seguente modo, per un determinato $c_1$:

\[ \phi(x) = \int_a^x f(x)\, dx + c_1 \]

Se calcoliamo il valore di \( \phi(x) \) nell’estremo a, otteniamo la seguente uguaglianza:

\[ \phi(a) = \int_a^a f(x)\, dx + c_1 = 0 + c_1 = c_1 \]

Calcoliamo, ora, il valore di \( \phi(x) \) nell’estremo b dell’intervallo [a;b]:

\[ \phi(b) = \int_a^b f(x)\, dx + c_1 \]

e dall’uguaglianza precedente, possiamo scrivere:

\[ \phi(b) = \int_a^b f(x)\, dx + \phi(a) \]

Possiamo, quindi, ricavare il valore dell’integrale definito tra a e b della funzione f(x):

\[ \int_a^b f(x)\, dx = \phi(b) – \phi(a) \]

La scrittura precedente può anche essere rappresentata nel seguente modo:

\[ \int_a^b f(x)\, dx = \phi(b) – \phi(a) = [\phi(x)]_a^b \]

Possiamo quindi affermare che il calcolo degli integrali definiti deriva dal calcolo degli integrali indefiniti. Per calcolare il valore di un integrale definito, quindi, determiniamo per prima cosa l’integrale indefinito della funzione f(x), trovando così l’insieme generico di tutte le sue primitive, e scegliamo tra tutte quella per cui $c_1 = 0$. Successivamente, calcoliamo la differenza dei valori che tale primitiva assume negli estremi dell’intervallo in questione.

 

Integrali delle funzioni pari e dispari

Consideriamo una funzione f(x) dispari, cioè tale che \(f(-x) = -f(x)\).

 

Integrale di una funzione dispari

 

Sappiamo che tale funzione è simmetrica rispetto all’origine.

Supponiamo di voler calcolare l’area che la funzione delimita nell’intervallo simmetrico [-a;a]. Abbiamo allora il seguente integrale: \[ \int_{-a}^a f(x)\, dx \]

In questo caso, non sono necessari calcoli per stabilire il valore dell’integrale, ma solo ragionamenti dal punti di vista geometrico. Infatti, dobbiamo sommare le due aree A1 e A2, che hanno uguale estensione, e si trovano una al di sotto, e l’altra al di sopra dell’asse x. Sapendo che le aree delle figure che si trovano sotto le ascisse vengono indicate con il segno meno, abbiamo che l’area totale sarà nulla.

\[ f(x) \text{ funzione dispari } \rightarrow \int_{-a}^a f(x)\, dx = 0 \]

Vediamo ora il caso di una funzione f(x) pari, cioè tale che $f(-x) = f(x)$; tale funzione è simmetrica rispetto all’asse y.

 

Integrale di una funzione pari

 

Anche in questo caso, calcoliamo l’area che la funzione delimita nell’intervallo simmetrico [-a;a]: \[ \int_{-a}^a f(x)\, dx \]

Notiamo ora che le aree A1 e A2 che dobbiamo sommare sono equivalenti, e trovandosi entrambe al di sopra dell’asse x, le loro misure avranno lo stesso segno. Possiamo concludere, quindi, che l’area totale sarà il doppio di una singola area.

Quando dobbiamo calcolare l’integrale di una funzione pari, quindi, è più semplice calcolare la sua area in metà intervallo, e poi moltiplicarla per due.

\[ f(x) \text{ funzione pari } \rightarrow \int_{-a}^a f(x)\, dx = 2 \int_0^a f(x)\, dx \]

 

Area della parte di piano delimitata da due funzioni

Consideriamo due funzioni f(x) e g(x), continue e tali che i loro grafici si intersecano in due punti A e B; le due figure, quindi, delimitano una parte di piano. Supponiamo che nell’intervallo [a;b], in cui è racchiusa tale parte, \(f(x) \ge g(x)\).

 

Area del piano delimitata da due funzioni

 

L’area di piano considerata può essere calcolata come la differenza tra l’area della parte di piano compresa tra l’asse x e il grafico di f(x), e quella tra l’asse x e il grafico di g(x). Possiamo, quindi, esprimere tale area come: \[ \int_a^b f(x)\, dx – \int_a^b g(x)\, dx \]

e, ricordando le proprietà degli integrali, possiamo esprimere tale differenza con un unico integrale: \[ \int_a^b f(x)\, dx – \int_a^b g(x)\, dx = \int_a^b [f(x)-g(x)] dx \]

 

Proprietà degli integrali definiti

Esaminiamo alcune proprietà degli integrali definiti che ci permetteranno di effettuare operazioni con essi.

  1. Questa proprietà riguarda l’intervallo considerato in cui vogliamo calcolare l’area: se questo intervallo è costituito da un solo punto, l’area sottesa dal grafico della funzione è nulla: \[ \int_a^b f(x)\, dx = 0 \]
  2. Se, invece, al posto di calcolare l’area del trapezoide nell’intervallo [a;b], consideriamo l’intervallo [b;a], otteniamo, per convenzione, un risultato di segno opposto: \[ \int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx \]
  3. Consideriamo, ora, una funzione f(x) continua in un intervallo [a;b], e sia c un punto interno a tale intervallo. Allora, l’area sottesa dal grafico di f(x) nell’intervallo [a;b] può essere espressa come la somma delle aree sottese dalla funzione negli intervalli [a;c] e [c;b]: \[ \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx \]
  4. L’integrale definito della somma di due funzioni è uguale alla somma dei loro integrali definiti, calcolati singolarmente; possiamo applicare tale regola anche nel caso della somma di più di due funzioni: \[ \int_a^b [f(x)+g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx \]
  5. L’integrale definito del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’ integrale definito della funzione: \[ \int_a^b \alpha \cdot f(x)\, dx = \alpha \int_a^b f(x)\, dx \]
  6. Dalle due proprietà precedenti deriva che l’integrale definito della combinazione lineare di due o più funzioni è la combinazione lineare dei loro integrali definiti; l’integrale definito, quindi, è un operatore lineare: \[ \int_a^b [\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)]\, dx = \alpha \cdot \int_a^b f(x)\, dx + \beta \cdot \int_a^b g(x)\, dx \]

 

Teorema della media

Consideriamo una funzione f(x) positiva nell’intervallo [a;b]; per il teorema di Bolzano-Weirestrass, sappiamo che esistono in tale intervallo il massimo M della funzione e il minimo m.

 

Teorema della media

 

Possiamo notare che l’area del rettangolo colorato (che ha altezza uguale al minimo assunto dalla funzione) è minore dell’area del rettangolo con bordo nero (che invece ha altezza pari al massimo assunto dalla funzione), e l’area sottesa dal grafico di f(x) è proprio compresa tra questi due valori.

\[  m(b-a) \le \int_a^b f(x)\, dx \le M (b-a) \]

In particolare, il teorema afferma che esiste un punto c interno all’intervallo [a;b] per cui si ha che:

\[ \int_a^b f(x)\, dx = (b-a) \cdot f(c) \]

Il valore di f(c) prende il nome di valore medio della funzione f(x) nell’intervallo [a;b]. Questo valore può essere pensato anche come il limite, per n che tende all’infinito, della media aritmetica dei valori che la funzione assume nei punti \(c_1, c_2, \ldots, c_n \), interni agli n intervalli in cui è stato suddiviso l’intervallo [a,b]:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(c_1)+f(c_2)+\ldots+f(c_n)}{n} = \frac{\int_a^b f(x)\, dx}{(b-a)} \]

 

La funzione integrale

Consideriamo una funzione f(x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b], e sia x un punto di tale intervallo. La funzione F(x), definita come:

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\, dt \]

viene definita funzione integrale di f in [a;b].

La variabile indipendente per la funzione F(x) è l’estremo superiore dell’integrale definito, mentre la variabile t viene definita variabile di integrazione.

 

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Se la funzione f(x) è continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile, e per ogni x appartenente a tale intervallo, si ha che:

\[ F'(x) = f(x) \]

Quindi, essendo F(x) derivabile, e quindi continua, nell’estremo x di [a;b], la sua derivata coincide con il valore assunto dalla funzione integranda f(x) in tale estremo. La funzione F(x) è, quindi, una primitiva di f(x).

Sapendo che, in generale, possiamo esprimere le primitive di f(x) come F(x)+c, e sapendo che la primitiva di f(x) è il suo integrale indefinito, possiamo scrivere che:

\[ \int f(x)\, dx = \int_a^x f(x)\, dx + c \]

Possiamo, quindi, affermare che l’integrale indefinito di una funzione continua in un intervallo [a;b] esiste sempre.

 

Altro materiale di supporto

Videocorso di Analisi Matematica I